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第03讲 用样本估计总体
课程标准 学习目标
1.结合实例，能用样本估计总体的集中趋势参数(平均数、中位数、众数)，理解集中趋势参数的统计含义. 2.结合实例，能用样本估计总体的离散程度参数(标准差、方差、极差)，理解离散程度参数的统计含义. 3.结合实例，能用样本估计总体的取值规律. 4.结合实例，能用样本估计百分位数，理解百分位数的统计含义 5.结合具体实例，掌握分层抽样的样本均值和样本方差． 1.能用样本的数字特征估计总体的数字特征. 2.用样本的分布估计总体的分布 3.通过用样本估计总体提升数据分析素养、数学运算素养和逻辑推理素养．
知识点01 用样本估计总体
1．用样本估计总体
(1)前提
样本的容量恰当，抽样方法合理．
(2)必要性
①在容许一定误差存在的前提下，可以用样本估计总体，这样能节省人力和物力等．
②有时候总体的数字特征不可能获得，只能用样本估计总体．
(3)误差
估计一般是有误差的．但是，大数定律可以保证，当样本的容量越来越大时，估计的误差很小的可能性将越来越大.
【即学即练1】(多选)对于用样本分布估计总体分布的过程，下列说法不正确的是(　　)
A．总体容量越大，估计越精确
B．总体容量越小，估计越精确
C．样本容量越大，估计越精确
D．样本容量越小，估计越精确
【答案】ABD　
【解析】样本为所研究的具体对象，样本容量越大，越能反映总体情况，估计越精确．总体容量不影响样本估计结果．
知识点02用样本的数字特征来估计总体的数字特征
(1)一般来说，在估计总体的数字特征时，只需直接算出样本对应的数字特征即可．
(2)样本是用分层抽样得到的，由每一层的数字特征估计总体的数字特征．以分两层抽样的情况为例．
条件 假设第一层有m个数，分别为x1，x2，…，xm，平均数为，方差为s2；第二层有n个数，分别为y1，y2，…，yn，平均数为，方差为 t2.
结论 如果记样本均值为 ，样本方差为 b2，则 ,
【即学即练2】李大伯承包了一个果园，种植了100棵樱桃树，今年已进入收获期，收获时，从中任选并采摘了10棵树的樱桃，分别称得每棵树所产樱桃的质量如下表：
序号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
质量/千克 14 21 27 17 18 20 19 23 19 22
据调查，市场上今年樱桃的批发价格为每千克15元，用所学的统计知识估计今年此果园樱桃的总产量与按批发价格销售樱桃所得的总收入分别约为(　　)
A．200千克，3 000元
B．1 900千克，28 700元
C．2 000千克，30 000元
D．1 870千克，27 770元
【答案】D　
【解析】样本平均数为(14＋21＋27＋17＋18＋20＋19＋23＋19＋22)÷1020(千克)．
由此可估计每棵樱桃树所产樱桃质量平均约为20千克，所以这100棵樱桃树所产樱桃的质量约为20×1002 000(千克)．根据樱桃批发价格为每千克15元，可得总收入约为15×2 00030 000(元)．
知识点03用样本的分布来估计总体的分布
如果总体在每一个分组的频率记为π1，π2，…，πn，样本在每一组对应的频率记为p1，p2，…，pn，一般来说，不等于零．当样本的容量越来越大时，上式很小的可能性将越来越大．
【即学即练3】(多选)下列说法中正确的为(　　)
A．数据的极差越小，样本数据分布越集中、稳定
B．数据的平均数越小，样本数据分布越集中、稳定
C．数据的标准差越小，样本数据分布越集中、稳定
D．数据的方差越小，样本数据分布越集中、稳定
【答案】ACD　
【解析】由数据的极差、标准差、方差的定义可知，它们都可以影响样本数据的分布和稳定性，而数据的平均数则与之无关，故B不正确，ACD正确．
知识点04“大数据”简介
凡是可以被 “数据化”的信息载体都可以看成数据．信息载体包括的数据量达到一定的规模或者达到一定的复杂程度，都可以被认为是"大数据".
题型01 用样本数估计总体数
【典例1】我国古代数学名著《数书九章》有“米谷粒分”题：粮仓开仓收粮，有人送来米1534石，验得米内夹谷，抽样取米一把，数得254粒内夹谷28粒，则这批米内夹谷约为(　　)
A．134石 B．169石
C．338石 D．1365石
【答案】C
【解析】根据样本比例关系等于总体比例关系进行计算.
【变式1】从某市的中学生中随机调查了部分男生，获得了他们的身高数据，整理得到如下频率分布直方图，则a的值为 ，该市中学生中的全体男生的平均身高的估计值为 cm.
【答案】0.01；172.5
【解析】根据题意得，解得；
估计该市中学生中的全体男生的平均身高为
.
【变式2】为了了解某学校学生的身体发育情况，抽查了该校100名高中男生的体重情况，根据所得数据画出样本的频率分布直方图如图所示．根据此图，估计该校2000名高中男生中体重大于70.5公斤的人数为（ ）
A．300 B．380 C．420 D．470
【答案】C
【分析】由题意，根据频率分布直方图得出高中男生中体重大于70.5公斤的人数在总体中所占的比例，再根据总人数是2000，即可求出人数得出答案.
【详解】由图可知，高中男生中体重大于70.5公斤的人数在总体中所占的比例是
，故该校2000名高中男生中体重大于70.5公斤的人数为，.
【变式3】某校240名学生参加某次数学选择题测验（共10题每题1分），随机调查了20个学生的成绩如下：
成绩 1分 2分 3分 4分 5分 6分 7分 8分 9分 10分
人数 6 0 0 2 4 2 3 2 1 0
(1)求样本的均值；
(2)请问估计有多少学生可达7分（包括7分）以上？
【答案】(1)4.6
(2)72
【分析】（1）根据平均数的计算公式求解即可；
（2）先求出抽样的20名学生中，可达7分（包括7分）以上的学生频率，再估计可达7分（包括7分）以上的学生人数即可.
【详解】（1）样本的均值为：.
（2）抽样的20名学生中，可达7分（包括7分）以上的学生频率为，
所以估计可达7分（包括7分）以上的学生有人.
题型02 样本平均数估计总体平均数
【典例2】某校从参加高三模拟考试的学生中随机抽取80名学生，将其数学成绩（均为整数）分成六组后得到如下部分频率分布直方图．观察图形的信息，回答下列问题：
（1）求分数在内的频率；
（2）若在同一组数据中，将该组区间的中点值（如组区间的中点值为）作为这组数据的平均分，据此，估计本次考试的平均分．
【答案】（1）；（2）
【解析】（1）分数在内的频率为；
分数在内的频率为；
分数在内的频率为；
分数在内的频率为；
分数在内的频率为；
则分数在内的频率为.
故分数在内的频率为.
（2）样本平均数.
故估计本次考试的平均分为.
【变式1】（24-25高一上·四川成都·开学考试）廖老师为了了解学生周末利用网络进行学习的时间，在所任教班级随机调查了10名学生，其统计数据如下表：
时间（单位：小时） 4 3 2 l 0
人数 3 4 1 1 1
则这10名学生周末利用网络进行学均时间是 小时.
【答案】2.7
【分析】依据加权平均数的概念求解可得.
【详解】这10名学生周末利用网络进行学均时间是：
.
故答案为：2.7
【变式2】某公司为了了解广告投入对销售收益的影响，在若干地区各投入万元广告费用，并将各地的销售收益绘制成频率分布直方图(如图所示)．由于工作人员操作失误，横轴的数据丢失，但可以确定横轴是从开始计数的．
（1）根据频率分布直方图计算图中各小长方形的宽度；
（2）估计该公司在若干地区各投入万元广告费用之后，对应销售收益的平均值(以各组的区间中点值代表该组的取值)．
【答案】（1）；（2）
【解析】（1）设各小长方形的宽度为，
则，解得：，
即各小长方形的宽度为.
（2）对应销售收益的平均值为.
【变式3】了解某医院急救中心病人的等待时间，现随机抽取20位病人，对他们的等待时间记录如下表：
等待时间/分钟 [0，5) [5，10) [10，15) [15，20) [20，25]
频数 4 8 5 2 1
用上述数据估计该医院急救中心病人的平均等待时间为________分钟．
【答案】9.5
【变式4】新冠肺炎疫情期间，某地为了解本地居民对当地防疫工作的满意度，从本地居民中随机抽取若干居民进行评分（满分为100分），根据调查数据制成如下频率分布直方图.
（1）求频率分布直方图中a的值；
（2）根据频率分布直方图估计本次评测分数的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表，并精确到0.1）.
【答案】（1）；（2）
【解析】（1）由题意可得：，解得.
（2）估计本次评测分数的平均数
.
题型03样本方差估计总体方差
【典例3】（2024·浙江·三模）在对某校高三学生体质健康状况某个项目的调查中，采用样本量比例分配的分层随机抽样，如果不知道样本数据，只知道抽取了男生80人，女生120人，其方差分别为15，10，由此估计样本的方差不可能为（ ）
A．11 B．13 C．15 D．17
【答案】A
【分析】根据题意，设男生体质健康状况的平均数为，女生的平均数为，总体的平均数为，方差为，结合方差的公式，分析选项，即可求解.
【详解】设男生体质健康状况的平均数为，女生的平均数为，总体的平均数为，方差为，
则，
，
结合选项，可得A项不符合.
.
【变式1】（2024·辽宁葫芦岛·二模）某地为了了解学生的睡眠时间，根据初中和高中学生的人数比例采用分层抽样，抽取了40名初中生和20名高中生，调查发现初中生每天的平均睡眠时间为8小时，方差为2，高中生每天的平均睡眠时间为7小时，方差为1.根据调查数据，估计该地区中学生睡眠时间的总体方差约为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据给定条件，求出该地区中学生每天睡眠时间的平均数，再利用分层抽样方差的计算方法求得结果.
【详解】该地区中学生每天睡眠时间的平均数为：（小时），
该地区中学生每天睡眠时间的方差为：.
.
【变式2】（23-24高一下·福建福州·期末）在对某中学高一年级学生身高（单位：）调查中，抽取了男生20人，其平均数和方差分别为174和12，抽取了女生30人，其平均数和方差分别为164和30，根据这些数据计算出总样本的平均数为 ，方差为 .
【答案】
【分析】利用分样本平均数和方差与总样本的平均数和方差的关系，代入计算即可得出结论.
【详解】易知总样本的平均数为，
代入公式可得总样本的方差为；
因此总样本的平均数为，方差为；
故答案为：；.
【变式3】（25-26高一上·全国·课后作业）2023年10月22日，2023襄阳马拉松成功举行，志愿者的服务工作是马拉松成功举办的重要保障，某单位承办了志愿者选拔的面试工作．现随机抽取了100名候选者的面试成绩，并分成五组：第一组，第二组，第三组，第四组，第五组，绘制成如图所示的频率分布直方图．已知第一、二组的频率之和为0.3，第一组和第五组的频率相同．

(1)估计这100名候选者面试成绩的平均数．
(2)现从以上各组中用分层抽样的方法选取20人，担任本次宣传者．若本次宣传者中第二组面试者的面试成绩的平均数和方差分别为62和40，第四组面试者的面试成绩的平均数和方差分别为80和70，据此估计这次第二组和第四组所有面试者的方差．
【答案】(1)69.5
(2)．
【分析】（1）根据频率直方图中各小矩形的面积之和为1，结合平均数的运算公式进行求解即可；
（2）根据分层抽样的抽样比公式，结合总体方差运算公式进行求解即可.
【详解】（1）由题意可知，
解得
可知每组的频率依次为，，
所以这100名候选者面试成绩的平均数为：
．
（2）设第二组、第四组的平均数分别为，方差分别为，
且各组频率之比为：
，
所以用分层抽样的方法抽取第二组面试者人，
第四组面试者人，
则第二组和第四组面试者的面试成绩的平均数，
第二组、第四组面试者的面试成绩的方差
故估计第二组、第四组面试者的面试成绩的方差是．
题型04总体百分数的估计
【典例4】（24-25高三上·江苏苏州·开学考试）“绿水青山就是金山银山”的理念深入人心，人民群众的生态环境获得感、幸福感、安全感不断提升.某校高一年级举行环保知识竞赛，共700人参加，若参赛学生成绩的第80百分位数是80分，则关于竞赛成绩不小于80分的人数的说法正确的是（ ）
A．至少为300人 B．至少为200人
C．至多为300人 D．至多为200人
【答案】A
【分析】根据百分位数的定义判断．
【详解】由题意，，因此竞赛成绩不小于80分的人数至多有人，
．
【变式1】（24-25高二上·重庆·开学考试）为了落实习主席提出“绿水青山就是金山银山”的环境治理要求，重庆市政府积极鼓励居民节约用水．计划调整居民生活用水收费方案，拟确定一个合理的月用水量标准（吨），一位居民的月用水量不超过的部分按平价收费，超出的部分按议价收费．为了了解居民用水情况，通过抽样，获得了某年200位居民每人的月均用水量（单位：吨），将数据按照，，…，分成9组，制成了如图所示的频率分布直方图，其中．
(1)求直方图中，的值，并由频率分布直方图估计该市居民用水的平均数（每组数据用该组区间中点值作为代表）；
(2)设该市有40万居民，估计全市居民中月均用水量不低于2吨的人数，并说明理由；
(3)若该市政府希望使的居民每月的用水量不超过标准（吨），估计的值，并说明理由．
【答案】(1)，，平均数为
(2)万，理由见解析
(3)5.8吨，理由见解析
【分析】（1）由频率之和为1以及列方程组求得的值，并由频率分布直方图中间值作为代表，计算出平均数；
（2）计算不低于2吨人数对应的频率，求出对应的人数；
（3）由频率分布直方图计算频率，可判断，再根据频率列出方程，求出的值.
【详解】（1）由频率分布直方图可得
，
又，则，，
该市居民用水的平均数估计为：
；
（2）由频率分布直方图可得，
月均用水量不超过2吨的频率为：，
则月均用水量不低于2吨的频率为：，
所以全市40万居民中月均用水量不低于2吨的人数为：
（万）；
（3）由频率分布直方图知月均用水量不超过6吨的频率为：0.88，
月均用水量不超过5吨的频率为0.73，
则85%的居民每月的用水量不超过标准（吨），，
，解得，
即标准为5.8吨．
【变式2】（2024·四川南充·一模）甲同学近10次数学考试成绩情况如下：103，106，113，119，123，118，134，118，125，121，则甲同学数学考试成绩的第75百分位数是（ ）
A．118 B．121 C．122 D．123
【答案】A
【分析】根据百分位数的定义计算．
【详解】已知数据按从小到大排列为：，
，因此第75百分位数是第8个数123.
．
【变式3】(2024·贵州遵义期末)某景点某天接待了1270名游客，老年有625人，中青年有700人，少年有125人，该景点为了提升服务质量，采用分层抽样从当天游客中抽取100人，以评分方式进行满意度回访．将统计结果按照[70，80)，[80，70)，[70，80)，[80，90)，[90，100]分成5组，制成如下频率分布直方图：
(1)求抽取的样本中老年、中青年、少年的人数；
(2)求频率分布直方图中a的值；
(3)估计当天游客满意度分值的75%分位数；
(4)估计当天游客满意度分值不低于80分的人数．
【解析】(1)因为老年有625人，中青年有700人，少年有125人，所以老年、中青年、少年的人数比例为625∶700∶1255∶4∶1，
故抽取100人的样本中老年的人数为100×70，中青年的人数为100×40，少年的人数为100×10.
(2)由题意可得(0.010＋0.025＋0.035＋a＋0.010)×101，解得a0.020.
(3)设当天游客满意度分值的75%分位数为x，
因为(0.010＋0.025＋0.035)×100.7<0.75，0.7＋0.020×100.9>0.75，
所以x位于区间[80，90)内，
则(x－80)×0.0200.75－0.7，
解得x82.5.
所以估计当天游客满意度分值的75%分位数为82.5.
(4)由题图可知，样本数据落在[80，100]的频率为(0.020＋0.010)×100.30.
所以估计当天游客满意度分值不低于80分的人数为1270×0.30375.
题型05样本分布估计总体分布
【典例5】一个社会调查机构就某地居民的月收入调查了10000人，并根据所得数据制作了样本的频率分布直方图（如下图）.为了分析居民的收入与年龄、学历、职业等方面的关系，要从这10000人中再用分层随机抽样的方法抽出100人做进一步调查，则在段应抽出（ ）
A．25人 B．70人 C．100人 D．125人
【答案】A
【解析】10000人中在段的有（人），
利用分层随机抽样从10000人中抽取100人做进一步调查，
设在段应抽取人，则，解得.
【变式1】为了了解高一学生的体能情况，某校抽取部分学生进行1分钟跳绳测试，将所得数据整理后，画出频率分布直方图（如图），图中从左到右各小矩形面积之比为，第二小组频数为12．
（1）第二小组的频率是多少？样本容量是多少？
（2）若次数在110以上（含110）为达标，试估计该校全体高一学生的达标率是多少．
【答案】（1），样本容量为；（2）.
【解析】（1）依题意，频率直方图中各小矩形的面积对应该小组的频率，
所以第二小组的频率为：，样本容量为：.
（2）由图估计该学校高一学生的达标率约为.
【变式2】某校为了解学生第一个“双减”后的暑假最期待什么活动，校学生会随机对该校七年级部分学生进行了问卷调查，调查结果分为四个类别：A表示“广泛阅读”，B表示“劳动实践”，C表示“户外运动”，D表示“其他”，每个同学只能选择其中的一项，根据调查统计结果，绘制成两种不完整的统计图．请结合统计图，回答下列问题．

（1）参加这次调查的学生总人数为______ 人；
（2）将条形统计图补充完整；
（3）该校七年级有800名学生，估计全校七年级学生中最期待“劳动实践”的约有多少名？
【答案】（1）；（2）条形统计图见解析；（3）128名
【解析】（1）参加这次调查的学生总人数为：人.
（2）由题意得B的人数为：人，
将条形统计图补充完整如下：
（3）（名）
【变式3】为保障食品安全，某地食品药监管部门对辖区食品企业进行检查，从甲企业生产的某种同类产品中随机抽取了100件作为样本，并以样本的一项关键质量指标值为检测依据.已知该质量指标值对应的产品等级如下：
质量指标值
等级 次品 二等品 一等品 二等品 三等品 次品
根据质量指标值的分组，统计得到了甲企业的样本频率分布直方图（其中）.现从甲企业生产的产品中任取一件，估计该件产品为次品的概率为 .
【答案】
【解析】由题得：，解得：，
则甲企业的样本中次品的频率为：，
故从甲企业生产的产品中任取一件，估计该件产品为次品的概率为：.
一、单选题
1．（23-24高三上·天津·阶段练习）为了解某校今年准备报考飞行员的学生的体重情况，对所得的体重数据（单位：）进行分组，区间为，将其按从左到右的顺序分别编号为第一组，第二组，……，第五组．画出频率分布直方图（如图所示），已知第一组，第二组和第三组的频率之比为，且第一组的频数为6，则报考飞行员的学生人数是（ ）
A．48 B．5 C．54 D．80
【答案】A
【分析】先由题意求出前三组频率之和，进而求出第一组的频率，从而再结合第一组频数即可得解.
【详解】由题前三组频率之和为，
又第一组、第二组和第三组的频率之比为，
所以第一组的频率为，又第一组的频数为，
所以报考飞行员的学生人数为人.
.
2．（23-24高三下·河南·阶段练习）高二年级进行消防知识竞赛，统计所有参赛同学的成绩，成绩都在内，估计所有参赛同学成绩的第75百分位数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】先由长方形的面积和为1求出，再由第75百分位数的定义求解；
【详解】因为，所以.
参赛成绩位于内的频率为，
第75百分位数在内，
设为，则，
解得5，即第75百分位数为85，
.
3．（2024高二下·湖北·学业考试）习近平总书记在致首届全民阅读大会的贺信中指出：“阅读是人类获取知识 启智增慧 培养道德的重要途径，可以让人得到思想启发，树立崇高理想，涵养浩然之气；希望全社会都参与到阅读中来，形成爱读书 读好书 善读书的浓厚氛围.”为落实习总书记关于阅读的重要指示，复兴中学开展了“读名著 品经典”活动.现从全校学生中随机抽取了部分学生，并统计了他们的阅读时间（单位：），分组整理数据得到如图所示的频率分布直方图，据此估计该校学生阅读时间不少于的概率为（ ）
A．0.170 B．0.400 C．0.470 D．0.870
【答案】A
【分析】根据频率分布直方图中矩形面积的含义即可求得答案.
【详解】由频率分布直方图可估计该校学生阅读时间不少于的概率为：
，
4．（24-25高二上·海南海口·阶段练习）某学校高一年级在校人数为人，其中男生人，女生人，为了解学生身高发展情况，按分层随机抽样的方法抽出的男生身高为一个样本，其样本平均数为cm，抽出的女生身高为一个样本，其样本平均数为cm，则该校高一学生的平均身高为（ ）
A．cm B．cm C．cm D．cm
【答案】C
【分析】由题意可知，，且，根据样本平均数，求解即可.
【详解】由题意可知，，且，
所以样本平均数，
故该校高一学生的平均身高的估计值为．
.
5．（24-25高二上·山东青岛·阶段练习）某校举行劳动技能大赛，统计了100名学生的比赛成绩，得到如图所示的频率分布直方图，已知成绩均在区间内，不低于90分的视为优秀，低于80分的视为不及格.若同一组中数据用该组区间中间值做代表值，则下列说法中错误的是（ ）
A． B．优秀学生人数比不及格学生人数少15人
C．该次比赛成绩的平均分约为70.5 D．这次比赛成绩的分位数为78
【答案】A
【分析】根据频率分布直方图的性质特点，利用平均分的法则和百分位数的定义即可求解.
【详解】对于A项，由题意，所以，故A错误；
对于B项，优秀学生人数为，不及格学生人数，
优秀学生人数比不及格学生人数少15人，故B正确；
对于C项，平均分，故C正确；
对于D项，设百分位数为，则有，所以，故D正确.
6．（24-25高三上·江苏苏州·开学考试）“绿水青山就是金山银山”的理念深入人心，人民群众的生态环境获得感、幸福感、安全感不断提升.某校高一年级举行环保知识竞赛，共700人参加，若参赛学生成绩的第80百分位数是80分，则关于竞赛成绩不小于80分的人数的说法正确的是（ ）
A．至少为300人 B．至少为200人
C．至多为300人 D．至多为200人
【答案】A
【分析】根据百分位数的定义判断．
【详解】由题意，，因此竞赛成绩不小于80分的人数至多有人，
．
7．（23-24高三上·河南·期中）某班男生人数是女生人数的两倍，某次数学考试中男生成绩（单位：分）的平均数和方差分别为120和20，女生成绩的平均数和方差分别为123和17，则全班学生数学成绩的方差为（ ）
A．21 B．19 C．18 D．
【答案】A
【分析】根据题意，结合总体的平均数、方差公式，准确计算，即可求解.
【详解】根据题意，设该班有女生m人，则全班有3m人，
则全班学生数学成绩的平均数，
全班学生数学成绩的方差．
．
8．（24-25高二上·河北邢台·开学考试）已知数据，，，…，，满足：（），若去掉，后组成一组新数据，则新数据与原数据相比，下列说法错误的是（ ）
A．中位数不变 B．第35百分位数不变 C．平均数不变 D．方差不变
【答案】A
【分析】由中位数，百分位数，平均数和方差的定义，计算后确定结论.
【详解】原来的中位数与现在的中位数均为，故中位数不变，故A选项正确；
原数据中，，第35百分位数是第4个数据，
去掉，后，，第35百分位数是新数据中的第3个，
第35百分位数不变，B选项正确；
原来的平均数为，
去，掉后的平均数为，平均数不变，故C选项正确；
原来的方差为，
去掉后，的方差为，
方差变小，故D选项错误.
.
二、多选题
9．（24-25高二上·海南省直辖县级单位·阶段练习）以下命题为真命题的是（ ）
A．若样本数据，，，，，的方差为2，则数据，，，，，的方差为8
B．一组数据8，9，10，11，12的第80百分位数是11.5
C．数据0，1，2，4的极差与平均数之积为6
D．已知一组不完全相同的数据，，，的平均数为，在这组数据中加入一个数后得到一组新数据，，，，，其平均数为，则
【答案】ABD
【分析】对A，由方差的性质：即可求解；对B，根据百分位数的定义即可求解；对C，根据极差和平均数的定义即可求解；对D，根据平均数的定义即可求解.
【详解】对A，，，，，，的方差为2，
，，，，，的方差为，故A对；
对B，数据8，9，10，11，12共个数，，
故数据8，9，10，11，12的第80百分位数是：，故B对；
对C，数据0，1，2，4的极差为：，平均数为：，
故极差与平均数之积为：，故C错；
对D，一组不完全相同的数据，，，的平均数为，
，故，
故，故D对.
BD.
10．（2024·贵州黔东南·二模）某学校为了解学生身高（单位：cm）情况，采用分层随机抽样的方法从4000名学生（该校男女生人数之比为）中抽取了一个容量为100的样本.其中，男生平均身高为175，方差为184，女生平均身高为180，方差为179.则下列说法正确的是参考公式：总体分为2层，各层抽取的样本量、样本平均数和样本方差分别为：，，，，，.记总的样本平均数为，样本方差为，则（ ）
参考公式：
A．抽取的样本里男生有80人
B．每一位学生被抽中的可能性为
C．估计该学校学生身高的平均值为170
D．估计该学校学生身高的方差为236
【答案】ABD
【分析】根据分层抽样的公式，以及利用每层样本的平均数和方差公式，代入总体的均值和方差公式，即可判断选项.
【详解】对于项，抽取的样本里男生有人，所以A项正确；
对于B项，由题可知，每一位学生被抽中的可能性为，所以B项正确；
对于C项，估计该学校学生身高的平均值为，所以C项错误；
对于D，估计该学校学生身高的方差为，所以D项正确.
BD
11．（24-25高三上·江苏苏州·开学考试）已知一组数据的平均数为，另一组数据的平均数为．若数据的平均数为，则 （ ）
A．当时， B．当时，
C．当时， D．当时，
【答案】ACD
【分析】对于A，C，D运用分层抽样的平均数公式，结合已知条件计算判断；对于B,举反例判断.
【详解】当时， ，A正确；
当时，取则m与n不一定相等，B错误；
当时， ，C正确；
当时,，有，故
即，所以，D正确．
CD.
三、填空题
12．（24-25高二上·北京平谷·阶段练习）某辆汽车每次加油都把油箱加满，下表记录了该车相邻两次加油时情况
加油时间 加油量（升） 加油时的累计里程（千米）
2024年9月1日 12 37000
2024年9月15日 80 358000
注：“累计里程”指汽车从出厂开始累计行驶的路程.在这段时间内，该车每100千米平均耗油量为 升.
【答案】10
【分析】根据表格，得出耗油量及行驶的里程数便可得到答案.
【详解】因为每次都把油箱加满，第二次加了80升油，说明这段时间总耗油量为80升，
而行驶的路程为 (千米)，故每100千米平均耗油量为 (升)．
故答案为：10.
13．（24-25高一上·四川成都·开学考试）已知一组数据、、、、、的中位数是，则的值是 ．
【答案】
【分析】先确定从小到大排列后的位置，再根据中位数的定义解答即可．
【详解】根据题意，的位置按照从小到大的排列只能是：、、、、、，
根据中位数是，得：，解得：．
故答案为：．
14．同学甲用公式计算一组样本数据的方差，那么 .
【答案】700
【分析】根据题意结合方差公式可知样本均值为5，即可得结果.
【详解】因为，
则样本均值为5，共100个数据，所以.
故答案为：700.
四、解答题
15.在党中央领导下，我国经济社会发展取得显著成效，商业模式创新发展，消费结构升级持续发展．某主打线上零售产品的企业随机抽取了70名销售员，统计了其2023年的月均销售额(单位：万元)，将数据按照[12，14)，[14，16)，[16，18)，[18，20)，[20，22)，[22，24]分成6组，制成了如图所示的频率分布直方图．已知[14，16)组的频数比[12，14)组多4.
(1)求频率分布直方图中a和b的值；
(2)该企业为了挖掘销售员的工作潜力，对销售员实行冲刺目标管理，即给销售员确定一个具体的冲刺目标，完成这个冲刺目标，则给予额外奖励，若公司希望恰有20%的销售人员能够获得额外奖励，求该企业应该制定的月销售冲刺目标值．
【解析】(1)由题意得
解得
(2)设该企业应该制定的月销售冲刺目标值为x万元，则在频率分布直方图中x右边的面积为0.2.
最后一组的面积是0.04×20.08，最后两组的面积之和为0.10×2＋0.080.28.
因为0.08＜0.2＜0.28，所以x位于区间[20，22)内，则(22－x)×0.10＋0.080.2，
解得x20.8.
故该企业应该制定的月销售冲刺目标值为20.8万元．
16.某市为了制定合理的节水方案，对居民用水情况进行了调查．通过抽样，获得了某年100户居民每人的月均用水量（单位：吨）.将数据按照，，…，分成9组，制成了如下图所示的频率分布直方图．
（1）求直方图中a的值；
（2）用每组区间的中点作为每组用水量的平均值，这9组居民每人的月均用水量前四组的方差都为0.3，后5组的方差都为0.4，求这100户居民月均用水量的方差．
【答案】（1）0.30；（2）1.1136.
【解析】（1）由频率分布直方图知，
数据在
的频率依次，
则由，解得，
所以直方图中a的值为0.30.
（2）由频率分布直方图得100户居民月均用水量的平均数为：
，
所以这100户居民月均用水量的方差为：
.
17.（24-25高二上·安徽阜阳·开学考试）某市教育局组织全市170名校园安全员参加校园安全知识竞赛，竞赛后对其成绩(满分100分)进行统计，将数据按，， ， ， 分为5组，其频率分布直方图如图所示．
(1)试估计这170名安全员竞赛成绩的平均分；(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)
(2)教育局拟对竞赛得分不低于85分的安全员进行表彰，试估计本次竞赛受表彰的安全员有多少位；
(3)该教育局准备对本次安全知识竞赛成绩较差的15%的安全员开展校园安全知识讲座，则需要参加讲座的安全员的分数不超过多少分(结果四舍五入成整数).
【答案】(1)79.4
(2)54
(3)66
【分析】（1）应用频率分布直方图计算平均数即可；
（2）根据频率分布直方图计算不低于85分的概率乘以170计算；
（3）根据频率分布直方图应用概率得即可求出分数.
【详解】（1），
所以估计这170名安全员竞赛成绩的平均分为79.4．
（2）因为这170位安全员得分不低于85分的频率为：，，所以估计本次竞赛受表彰的安全员有54位．
（3）由频率分布直方图可得，第一组的频率为，
前两组的频率之和为．
设需要参加讲座的居民的分数不超过x，则．
．
故需要参加讲座的居民的分数不超过66分．
18．如下茎叶图记录了某篮球队内两大中锋在六次训练中抢得篮板球数的记录，现有一个数据被污损，在图中以X表示，但知道乙球员抢得篮板球数的平均数为10.
(1)求X的值和乙球员抢得篮板球数的方差；
(2)如果你是该球队的教练，在正式比赛中你会派谁上场？请说明理由(用数据说明)．
解：(1)由茎叶图，可得10，
解得X9；
乙球员抢得篮板球数的方差为
s×[(9－10)2＋(8－10)2＋(9－10)2＋(8－10)2＋(14－10)2＋(12－10)2]5.
(2)甲10，
s×[(6－10)2＋(9－10)2＋(9－10)2＋(14－10)2＋(11－10)2＋(11－10)2]6，
由(1)，可知甲乙，s＜s，
所以乙球员发挥得更稳定，派乙球员上场．
19.（22-23高一下·山东临沂·期末）某市文旅局为激发夜间文旅市场的活力，共设置夜市摊点700个，为调查这些夜市摊点的服务情况，该文旅局随机抽取了100个夜市摊点进行评分，评分越高，服务越好，满分为100分．将分数以20为组距分为5组：、、、、，得到100个夜市摊点得分的频率分布直方图，如图，已知组的频数比组多8．
(1)求直方图中和的值；
(2)为进一步提升夜市经济消费品质，提高服务质量，该文旅局准备对剩下的所有夜市摊点进行评分，并制定一个评分分数，给达到这个分数的摊位颁发“服务优秀”荣誉证书．若该文旅局希望使得恰有70%的摊位获得荣誉证书，求应该制定的评分分数．
【答案】(1)，；
(2)72分.
【分析】（1）根据给定的频率分布直方图，利用各小矩形面积和为1及已知列出方程组，求解即得.
（2）由频率分布直方图中，评分分数右侧小矩形面积和为0.5，列式计算即得.
【详解】（1）依题意，，
所以，.
（2）设应该制定的评分分数为分，则在频率分布直方图中，直线右边小矩形的面积和为0.5，
而的小矩形面积是，
则在内，于是，解得，
所以应该制定的评分分数为72分.
21世纪教育网(www.21cnjy.com)第03讲 用样本估计总体
课程标准 学习目标
1.结合实例，能用样本估计总体的集中趋势参数(平均数、中位数、众数)，理解集中趋势参数的统计含义. 2.结合实例，能用样本估计总体的离散程度参数(标准差、方差、极差)，理解离散程度参数的统计含义. 3.结合实例，能用样本估计总体的取值规律. 4.结合实例，能用样本估计百分位数，理解百分位数的统计含义 5.结合具体实例，掌握分层抽样的样本均值和样本方差． 1.能用样本的数字特征估计总体的数字特征. 2.用样本的分布估计总体的分布 3.通过用样本估计总体提升数据分析素养、数学运算素养和逻辑推理素养．
知识点01 用样本估计总体
1．用样本估计总体
(1)前提
样本的容量恰当，抽样方法合理．
(2)必要性
①在容许一定误差存在的前提下，可以用样本估计总体，这样能节省人力和物力等．
②有时候总体的数字特征不可能获得，只能用样本估计总体．
(3)误差
估计一般是有误差的．但是，大数定律可以保证，当样本的容量越来越大时，估计的误差很小的可能性将越来越大.
【即学即练1】(多选)对于用样本分布估计总体分布的过程，下列说法不正确的是(　　)
A．总体容量越大，估计越精确
B．总体容量越小，估计越精确
C．样本容量越大，估计越精确
D．样本容量越小，估计越精确
知识点02用样本的数字特征来估计总体的数字特征
(1)一般来说，在估计总体的数字特征时，只需直接算出样本对应的数字特征即可．
(2)样本是用分层抽样得到的，由每一层的数字特征估计总体的数字特征．以分两层抽样的情况为例．
条件 假设第一层有m个数，分别为x1，x2，…，xm，平均数为，方差为s2；第二层有n个数，分别为y1，y2，…，yn，平均数为，方差为 t2.
结论 如果记样本均值为 ，样本方差为 b2，则 ,
【即学即练2】李大伯承包了一个果园，种植了100棵樱桃树，今年已进入收获期，收获时，从中任选并采摘了10棵树的樱桃，分别称得每棵树所产樱桃的质量如下表：
序号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
质量/千克 14 21 27 17 18 20 19 23 19 22
据调查，市场上今年樱桃的批发价格为每千克15元，用所学的统计知识估计今年此果园樱桃的总产量与按批发价格销售樱桃所得的总收入分别约为(　　)
A．200千克，3 000元
B．1 900千克，28 700元
C．2 000千克，30 000元
D．1 870千克，27 770元
知识点03用样本的分布来估计总体的分布
如果总体在每一个分组的频率记为π1，π2，…，πn，样本在每一组对应的频率记为p1，p2，…，pn，一般来说，不等于零．当样本的容量越来越大时，上式很小的可能性将越来越大．
【即学即练3】(多选)下列说法中正确的为(　　)
A．数据的极差越小，样本数据分布越集中、稳定
B．数据的平均数越小，样本数据分布越集中、稳定
C．数据的标准差越小，样本数据分布越集中、稳定
D．数据的方差越小，样本数据分布越集中、稳定
知识点04“大数据”简介
凡是可以被 “数据化”的信息载体都可以看成数据．信息载体包括的数据量达到一定的规模或者达到一定的复杂程度，都可以被认为是"大数据".
题型01 用样本数估计总体数
【典例1】我国古代数学名著《数书九章》有“米谷粒分”题：粮仓开仓收粮，有人送来米1534石，验得米内夹谷，抽样取米一把，数得254粒内夹谷28粒，则这批米内夹谷约为(　　)
A．134石 B．169石
C．338石 D．1365石
【变式1】从某市的中学生中随机调查了部分男生，获得了他们的身高数据，整理得到如下频率分布直方图，则a的值为 ，该市中学生中的全体男生的平均身高的估计值为 cm.
【变式2】为了了解某学校学生的身体发育情况，抽查了该校100名高中男生的体重情况，根据所得数据画出样本的频率分布直方图如图所示．根据此图，估计该校2000名高中男生中体重大于70.5公斤的人数为（ ）
A．300 B．380 C．420 D．470
【变式3】某校240名学生参加某次数学选择题测验（共10题每题1分），随机调查了20个学生的成绩如下：
成绩 1分 2分 3分 4分 5分 6分 7分 8分 9分 10分
人数 6 0 0 2 4 2 3 2 1 0
(1)求样本的均值；
(2)请问估计有多少学生可达7分（包括7分）以上？
题型02 样本平均数估计总体平均数
【典例2】某校从参加高三模拟考试的学生中随机抽取80名学生，将其数学成绩（均为整数）分成六组后得到如下部分频率分布直方图．观察图形的信息，回答下列问题：
（1）求分数在内的频率；
（2）若在同一组数据中，将该组区间的中点值（如组区间的中点值为）作为这组数据的平均分，据此，估计本次考试的平均分．
【变式1】（24-25高一上·四川成都·开学考试）廖老师为了了解学生周末利用网络进行学习的时间，在所任教班级随机调查了10名学生，其统计数据如下表：
时间（单位：小时） 4 3 2 l 0
人数 3 4 1 1 1
则这10名学生周末利用网络进行学均时间是 小时.
【变式2】某公司为了了解广告投入对销售收益的影响，在若干地区各投入万元广告费用，并将各地的销售收益绘制成频率分布直方图(如图所示)．由于工作人员操作失误，横轴的数据丢失，但可以确定横轴是从开始计数的．
（1）根据频率分布直方图计算图中各小长方形的宽度；
（2）估计该公司在若干地区各投入万元广告费用之后，对应销售收益的平均值(以各组的区间中点值代表该组的取值)．
【变式3】了解某医院急救中心病人的等待时间，现随机抽取20位病人，对他们的等待时间记录如下表：
等待时间/分钟 [0，5) [5，10) [10，15) [15，20) [20，25]
频数 4 8 5 2 1
用上述数据估计该医院急救中心病人的平均等待时间为________分钟．
【变式4】新冠肺炎疫情期间，某地为了解本地居民对当地防疫工作的满意度，从本地居民中随机抽取若干居民进行评分（满分为100分），根据调查数据制成如下频率分布直方图.
（1）求频率分布直方图中a的值；
（2）根据频率分布直方图估计本次评测分数的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表，并精确到0.1）.
题型03样本方差估计总体方差
【典例3】（2024·浙江·三模）在对某校高三学生体质健康状况某个项目的调查中，采用样本量比例分配的分层随机抽样，如果不知道样本数据，只知道抽取了男生80人，女生120人，其方差分别为15，10，由此估计样本的方差不可能为（ ）
A．11 B．13 C．15 D．17
【变式1】（2024·辽宁葫芦岛·二模）某地为了了解学生的睡眠时间，根据初中和高中学生的人数比例采用分层抽样，抽取了40名初中生和20名高中生，调查发现初中生每天的平均睡眠时间为8小时，方差为2，高中生每天的平均睡眠时间为7小时，方差为1.根据调查数据，估计该地区中学生睡眠时间的总体方差约为（ ）
A． B． C． D．
【变式2】（23-24高一下·福建福州·期末）在对某中学高一年级学生身高（单位：）调查中，抽取了男生20人，其平均数和方差分别为174和12，抽取了女生30人，其平均数和方差分别为164和30，根据这些数据计算出总样本的平均数为 ，方差为 .
【变式3】（25-26高一上·全国·课后作业）2023年10月22日，2023襄阳马拉松成功举行，志愿者的服务工作是马拉松成功举办的重要保障，某单位承办了志愿者选拔的面试工作．现随机抽取了100名候选者的面试成绩，并分成五组：第一组，第二组，第三组，第四组，第五组，绘制成如图所示的频率分布直方图．已知第一、二组的频率之和为0.3，第一组和第五组的频率相同．

(1)估计这100名候选者面试成绩的平均数．
(2)现从以上各组中用分层抽样的方法选取20人，担任本次宣传者．若本次宣传者中第二组面试者的面试成绩的平均数和方差分别为62和40，第四组面试者的面试成绩的平均数和方差分别为80和70，据此估计这次第二组和第四组所有面试者的方差．
题型04总体百分数的估计
【典例4】（24-25高三上·江苏苏州·开学考试）“绿水青山就是金山银山”的理念深入人心，人民群众的生态环境获得感、幸福感、安全感不断提升.某校高一年级举行环保知识竞赛，共700人参加，若参赛学生成绩的第80百分位数是80分，则关于竞赛成绩不小于80分的人数的说法正确的是（ ）
A．至少为300人 B．至少为200人
C．至多为300人 D．至多为200人
【变式1】（24-25高二上·重庆·开学考试）为了落实习主席提出“绿水青山就是金山银山”的环境治理要求，重庆市政府积极鼓励居民节约用水．计划调整居民生活用水收费方案，拟确定一个合理的月用水量标准（吨），一位居民的月用水量不超过的部分按平价收费，超出的部分按议价收费．为了了解居民用水情况，通过抽样，获得了某年200位居民每人的月均用水量（单位：吨），将数据按照，，…，分成9组，制成了如图所示的频率分布直方图，其中．
(1)求直方图中，的值，并由频率分布直方图估计该市居民用水的平均数（每组数据用该组区间中点值作为代表）；
(2)设该市有40万居民，估计全市居民中月均用水量不低于2吨的人数，并说明理由；
(3)若该市政府希望使的居民每月的用水量不超过标准（吨），估计的值，并说明理由．
【变式2】（2024·四川南充·一模）甲同学近10次数学考试成绩情况如下：103，106，113，119，123，118，134，118，125，121，则甲同学数学考试成绩的第75百分位数是（ ）
A．118 B．121 C．122 D．123
【变式3】(2024·贵州遵义期末)某景点某天接待了1270名游客，老年有625人，中青年有700人，少年有125人，该景点为了提升服务质量，采用分层抽样从当天游客中抽取100人，以评分方式进行满意度回访．将统计结果按照[70，80)，[80，70)，[70，80)，[80，90)，[90，100]分成5组，制成如下频率分布直方图：
(1)求抽取的样本中老年、中青年、少年的人数；
(2)求频率分布直方图中a的值；
(3)估计当天游客满意度分值的75%分位数；
(4)估计当天游客满意度分值不低于80分的人数．
题型05样本分布估计总体分布
【典例5】一个社会调查机构就某地居民的月收入调查了10000人，并根据所得数据制作了样本的频率分布直方图（如下图）.为了分析居民的收入与年龄、学历、职业等方面的关系，要从这10000人中再用分层随机抽样的方法抽出100人做进一步调查，则在段应抽出（ ）
A．25人 B．70人 C．100人 D．125人
【变式1】为了了解高一学生的体能情况，某校抽取部分学生进行1分钟跳绳测试，将所得数据整理后，画出频率分布直方图（如图），图中从左到右各小矩形面积之比为，第二小组频数为12．
（1）第二小组的频率是多少？样本容量是多少？
（2）若次数在110以上（含110）为达标，试估计该校全体高一学生的达标率是多少．
【变式2】某校为了解学生第一个“双减”后的暑假最期待什么活动，校学生会随机对该校七年级部分学生进行了问卷调查，调查结果分为四个类别：A表示“广泛阅读”，B表示“劳动实践”，C表示“户外运动”，D表示“其他”，每个同学只能选择其中的一项，根据调查统计结果，绘制成两种不完整的统计图．请结合统计图，回答下列问题．

（1）参加这次调查的学生总人数为______ 人；
（2）将条形统计图补充完整；
（3）该校七年级有800名学生，估计全校七年级学生中最期待“劳动实践”的约有多少名？
【变式3】为保障食品安全，某地食品药监管部门对辖区食品企业进行检查，从甲企业生产的某种同类产品中随机抽取了100件作为样本，并以样本的一项关键质量指标值为检测依据.已知该质量指标值对应的产品等级如下：
质量指标值
等级 次品 二等品 一等品 二等品 三等品 次品
根据质量指标值的分组，统计得到了甲企业的样本频率分布直方图（其中）.现从甲企业生产的产品中任取一件，估计该件产品为次品的概率为 .
一、单选题
1．（23-24高三上·天津·阶段练习）为了解某校今年准备报考飞行员的学生的体重情况，对所得的体重数据（单位：）进行分组，区间为，将其按从左到右的顺序分别编号为第一组，第二组，……，第五组．画出频率分布直方图（如图所示），已知第一组，第二组和第三组的频率之比为，且第一组的频数为6，则报考飞行员的学生人数是（ ）
A．48 B．5 C．54 D．80
2．（23-24高三下·河南·阶段练习）高二年级进行消防知识竞赛，统计所有参赛同学的成绩，成绩都在内，估计所有参赛同学成绩的第75百分位数为（ ）
A． B． C． D．
3．（2024高二下·湖北·学业考试）习近平总书记在致首届全民阅读大会的贺信中指出：“阅读是人类获取知识 启智增慧 培养道德的重要途径，可以让人得到思想启发，树立崇高理想，涵养浩然之气；希望全社会都参与到阅读中来，形成爱读书 读好书 善读书的浓厚氛围.”为落实习总书记关于阅读的重要指示，复兴中学开展了“读名著 品经典”活动.现从全校学生中随机抽取了部分学生，并统计了他们的阅读时间（单位：），分组整理数据得到如图所示的频率分布直方图，据此估计该校学生阅读时间不少于的概率为（ ）
A．0.170 B．0.400 C．0.470 D．0.870
4．（24-25高二上·海南海口·阶段练习）某学校高一年级在校人数为人，其中男生人，女生人，为了解学生身高发展情况，按分层随机抽样的方法抽出的男生身高为一个样本，其样本平均数为cm，抽出的女生身高为一个样本，其样本平均数为cm，则该校高一学生的平均身高为（ ）
A．cm B．cm C．cm D．cm
5．（24-25高二上·山东青岛·阶段练习）某校举行劳动技能大赛，统计了100名学生的比赛成绩，得到如图所示的频率分布直方图，已知成绩均在区间内，不低于90分的视为优秀，低于80分的视为不及格.若同一组中数据用该组区间中间值做代表值，则下列说法中错误的是（ ）
A． B．优秀学生人数比不及格学生人数少15人
C．该次比赛成绩的平均分约为70.5 D．这次比赛成绩的分位数为78
6．（24-25高三上·江苏苏州·开学考试）“绿水青山就是金山银山”的理念深入人心，人民群众的生态环境获得感、幸福感、安全感不断提升.某校高一年级举行环保知识竞赛，共700人参加，若参赛学生成绩的第80百分位数是80分，则关于竞赛成绩不小于80分的人数的说法正确的是（ ）
A．至少为300人 B．至少为200人
C．至多为300人 D．至多为200人
7．（23-24高三上·河南·期中）某班男生人数是女生人数的两倍，某次数学考试中男生成绩（单位：分）的平均数和方差分别为120和20，女生成绩的平均数和方差分别为123和17，则全班学生数学成绩的方差为（ ）
A．21 B．19 C．18 D．
8．（24-25高二上·河北邢台·开学考试）已知数据，，，…，，满足：（），若去掉，后组成一组新数据，则新数据与原数据相比，下列说法错误的是（ ）
A．中位数不变 B．第35百分位数不变 C．平均数不变 D．方差不变
二、多选题
9．（24-25高二上·海南省直辖县级单位·阶段练习）以下命题为真命题的是（ ）
A．若样本数据，，，，，的方差为2，则数据，，，，，的方差为8
B．一组数据8，9，10，11，12的第80百分位数是11.5
C．数据0，1，2，4的极差与平均数之积为6
D．已知一组不完全相同的数据，，，的平均数为，在这组数据中加入一个数后得到一组新数据，，，，，其平均数为，则
10．（2024·贵州黔东南·二模）某学校为了解学生身高（单位：cm）情况，采用分层随机抽样的方法从4000名学生（该校男女生人数之比为）中抽取了一个容量为100的样本.其中，男生平均身高为175，方差为184，女生平均身高为180，方差为179.则下列说法正确的是参考公式：总体分为2层，各层抽取的样本量、样本平均数和样本方差分别为：，，，，，.记总的样本平均数为，样本方差为，则（ ）
参考公式：
A．抽取的样本里男生有80人
B．每一位学生被抽中的可能性为
C．估计该学校学生身高的平均值为170
D．估计该学校学生身高的方差为236
11．（24-25高三上·江苏苏州·开学考试）已知一组数据的平均数为，另一组数据的平均数为．若数据的平均数为，则 （ ）
A．当时， B．当时，
C．当时， D．当时，
三、填空题
12．（24-25高二上·北京平谷·阶段练习）某辆汽车每次加油都把油箱加满，下表记录了该车相邻两次加油时情况
加油时间 加油量（升） 加油时的累计里程（千米）
2024年9月1日 12 37000
2024年9月15日 80 358000
注：“累计里程”指汽车从出厂开始累计行驶的路程.在这段时间内，该车每100千米平均耗油量为 升.
13．（24-25高一上·四川成都·开学考试）已知一组数据、、、、、的中位数是，则的值是 ．
14．同学甲用公式计算一组样本数据的方差，那么 .
四、解答题
15.在党中央领导下，我国经济社会发展取得显著成效，商业模式创新发展，消费结构升级持续发展．某主打线上零售产品的企业随机抽取了70名销售员，统计了其2023年的月均销售额(单位：万元)，将数据按照[12，14)，[14，16)，[16，18)，[18，20)，[20，22)，[22，24]分成6组，制成了如图所示的频率分布直方图．已知[14，16)组的频数比[12，14)组多4.
(1)求频率分布直方图中a和b的值；
(2)该企业为了挖掘销售员的工作潜力，对销售员实行冲刺目标管理，即给销售员确定一个具体的冲刺目标，完成这个冲刺目标，则给予额外奖励，若公司希望恰有20%的销售人员能够获得额外奖励，求该企业应该制定的月销售冲刺目标值．
16.某市为了制定合理的节水方案，对居民用水情况进行了调查．通过抽样，获得了某年100户居民每人的月均用水量（单位：吨）.将数据按照，，…，分成9组，制成了如下图所示的频率分布直方图．
（1）求直方图中a的值；
（2）用每组区间的中点作为每组用水量的平均值，这9组居民每人的月均用水量前四组的方差都为0.3，后5组的方差都为0.4，求这100户居民月均用水量的方差．
17.（24-25高二上·安徽阜阳·开学考试）某市教育局组织全市170名校园安全员参加校园安全知识竞赛，竞赛后对其成绩(满分100分)进行统计，将数据按，， ， ， 分为5组，其频率分布直方图如图所示．
(1)试估计这170名安全员竞赛成绩的平均分；(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)
(2)教育局拟对竞赛得分不低于85分的安全员进行表彰，试估计本次竞赛受表彰的安全员有多少位；
(3)该教育局准备对本次安全知识竞赛成绩较差的15%的安全员开展校园安全知识讲座，则需要参加讲座的安全员的分数不超过多少分(结果四舍五入成整数).
18．如下茎叶图记录了某篮球队内两大中锋在六次训练中抢得篮板球数的记录，现有一个数据被污损，在图中以X表示，但知道乙球员抢得篮板球数的平均数为10.
(1)求X的值和乙球员抢得篮板球数的方差；
(2)如果你是该球队的教练，在正式比赛中你会派谁上场？请说明理由(用数据说明)．
19.（22-23高一下·山东临沂·期末）某市文旅局为激发夜间文旅市场的活力，共设置夜市摊点700个，为调查这些夜市摊点的服务情况，该文旅局随机抽取了100个夜市摊点进行评分，评分越高，服务越好，满分为100分．将分数以20为组距分为5组：、、、、，得到100个夜市摊点得分的频率分布直方图，如图，已知组的频数比组多8．
(1)求直方图中和的值；
(2)为进一步提升夜市经济消费品质，提高服务质量，该文旅局准备对剩下的所有夜市摊点进行评分，并制定一个评分分数，给达到这个分数的摊位颁发“服务优秀”荣誉证书．若该文旅局希望使得恰有70%的摊位获得荣誉证书，求应该制定的评分分数．
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