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第04讲 向量的坐标及其运算
课程标准 学习目标
1.了解直线上向量的坐标. 2.掌握平面向量的正交分解及坐标表示. 3.理解平面向量的坐标运算. 4.掌握向量平行的坐标表示． 1．掌握求直线上向量的坐标的方法． 2．熟练进行直线上向量的坐标运算． 3．掌握数轴上两点之间的距离公式及数轴上的中点坐标公式． 4．掌握向量的坐标表示与运算。 5．能根据向量的坐标解决平行问题
知识点01　直线上向量的坐标及其运算
1．直线上向量的坐标
(1)定义：给定一条直线l以及这条直线上一个单位向量e，由共线向量基本定理可知，对于直线l上的任意一个向量a，一定存在唯一的实数x，使得axe，此时，x称为向量a的坐标．
(2)向量的模和方向与x的关系
|a||xe||x||e||x|(e为单位向量)．
当x>0时，a的方向与e的方向相同；
当x0时，a是零向量；
当x<0时，a的方向与e的方向相反．
在直线上给定了单位向量，则直线上的向量完全被其坐标确定．
(3)直线上向量的坐标：在直线l上指定一点O作为原点，以e的方向为正方向，e的模为单位长度建立数轴，对于l上的任意一个向量a，如果我们把它的始点平移到原点O，那么a的终点对应的数就是向量a的坐标．
2．直线上向量的运算与坐标的关系
如果直线上两个向量a，b的坐标分别为x1，x2.
(1)ab的充要条件是x1x2.
(2)a＋b的坐标为x1＋x2，a－b的坐标为x1－x2，λa的坐标为λx1.
(3)设A(x1)，B(x2)是数轴上的两点，M(x)是线段AB的中点，则AB|x2－x1|，x.
【即学即练1】
1.如图，向量的坐标为________.
【答案】3　
【解析】因为向量的始点在原点，因此终点A的坐标就是向量的坐标，故向量的坐标为3.
2.已知直线上向量a，b的坐标分别为－2，2，则向量a＋b的坐标为(　　)
A.1　　　　　　　 B．－1
C．0 D．4
【答案】C　　
【解析】因为向量a，b的坐标分别为－2，2，所以向量a＋b的坐标为－2＋×2－1.
知识点02　平面向量的坐标及其运算
1．平面向量的坐标
(1)向量的垂直：平面上的两个非零向量a，b，如果它们所在的直线互相垂直，则称向量a，b垂直，记作a⊥b.规定零向量与任意向量都垂直．
(2)向量的正交分解：如果平面向量的基底{e1，e2}中，e1⊥e2，则称这组基底为正交基底，在正交基底下向量的分解称为向量的正交分解．
(3)向量的坐标：给定平面内两个相互垂直的单位向量e1，e2，对于平面内的向量a，如果axe1＋ye2，则称(x，y)为向量a的坐标，记作a(x，y)．
2．平面上向量的运算与坐标的关系
若a(x1，y1)，b(x2，y2)，λ∈R，则：
(1)a＋b(x1＋x2，y1＋y2)．
(2)a－b(x1－x2，y1－y2)．
(3)λa(λx1，λy1)．
(4)向量相等的充要条件：ab x1x2且y1y2.
(5)模长公式：|a|.
3.平面直角坐标系内两点之间的距离公式与中点坐标公式
如图所示，在平面直角坐标系中，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则：
(1)向量(x1，y1)，(x2，y2)，向量(x2－x1，y2－y1)．
(2)它们之间的距离：AB||
.
(3)设AB的中点M(x，y)，则x，y.
【解读】(1)区别的坐标与a－b的坐标：的坐标为终点坐标减去始点坐标，而a－b的坐标是对应的坐标相减．
(2)由于自由向量的始点可以任意选取，如果向量以坐标原点为始点，那么向量的坐标就与其终点的坐标相同；如果向量不以坐标原点为始点，那么向量的坐标就与其终点的坐标不同．　　
4．向量平行的坐标表示
设向量a(x1，y1)，b(x2，y2)，则a∥b x2y1x1y2.
【即学即练2】如图所示，{e1，e2}为正交基底，则向量2a＋b的坐标为(　　)
A．(3，4) B．(2，4)
C．(3，4)或(4，3) D．(4，2)或(2，4)
【答案】A　
【解析】∵ae1＋e2，∴2a2e1＋e2.又be1＋3e2，∴2a＋b(2e1＋e2)＋(e1＋3e2)3e1＋4e2.
∴2a＋b在基底{e1，e2}下的坐标为(3，4)．
题型01 直线上向量的坐标及运算
【典例1】如图所示，直线上向量a，b的坐标分别为(　　)
A．－2，4 B．2，4
C．4，－2 D．－4，－2
【答案】D
【解析】向量a的始点在原点，则a的坐标为4，把向量b的始点平移到原点，则b的坐标为－2.故选C.
【变式1】已知向量a，b在同一直线上，|a|2|b|，若b的坐标为2，则a的坐标为(　　)
A．4 B．－4
C．2或－2 D．4或－4
【答案】A
【解析】由b的坐标为2，得b2e，由|a|2|b|，得a4e或a－4e，故a的坐标为4或－4.故选D.
【变式2】若e是直线l上的一个单位向量，这条直线上的向量a，b的坐标分别为x，y，下列说法错误的是(　　)
A．|a|x　　　　　　　 B．bye
C．a＋b的坐标为x＋y D．|e|1
【答案】A　
【解析】由题意知，|e|1，|a||x|，bye, a＋bxe＋ye(x＋y)e，所以a＋b的坐标为x＋y，只有A错误．
【变式3】若数轴上A，B两点的坐标分别为－2，x，且的坐标是－8，则x________．
【答案】－10
【解析】由题意得，的坐标为x＋2－8，
解得x－10，
故答案为－10.
【变式4】已知e是直线l上的一个单位向量，a4e，b－2e，则a＋b的坐标为(　　)
A．1 B．2
C．－2 D．4
【答案】C
【解析】因为a4e，b－2e，所以a＋b4e－2e2e，故a＋b的坐标为2．故选B．
题型02 平面向量的坐标表示
【典例2】（23-24高一下·浙江宁波·期末）已知平行四边形，，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】由两点的坐标求得，由平行四边形的性质有，求值即可.
【详解】由，，有，
平行四边形中，有，即，
.
【变式1】（23-24高一下·浙江·期中）已知，把向量按向量平移后，所得向量的坐标是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】向量平移后与原向量为相等向量，所求坐标即为向量的坐标.
【详解】根据题意可知，，把向量按向量平移后，与原向量相等，
所得向量仍然为.
.
【变式2】（2024高二下·安徽·学业考试）点，,则向量（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由向量坐标的概念即可求解.
【详解】.
【变式3】（23-24高一下·陕西渭南·期末）已知向量，则与向量方向相反的单位向量是（ ）
A． B． C． D．或
【答案】D
【分析】利用单位向量及相反向量的意义求解即得.
【详解】向量，则，
所以与向量方向相反的单位向量是.
题型03 平面向量的坐标运算
【典例3】（2024高二下·湖北·学业考试）已知向量，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】运用向量的坐标运算计算即可.
【详解】因为向量，所以.
.
【变式1】（23-24高一下·新疆·期中）已知，，若，则（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】C
【分析】由平面向量加法的坐标运算求解即可．
【详解】已知向量，，
则，解得．
．
【变式2】（23-24高一·上海·课堂例题）已知点、、，求．
【答案】
【分析】首先表示出，，再根据平面向量线性运算的坐标表示计算可得.
【详解】因为、、，
所以，，
所以.
【变式3】（23-24高一下·全国·单元测试）已知，，求：
(1)；
(2).
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）（2）由向量线性运算的坐标运算，即可得到结果..
【详解】（1）因为，，
所以.
（2）因为，，
所以.
题型04 根据线段比例求点的坐标
【典例4】（23-24高一·上海·课堂例题）已知点、，点是直线上一点，且，求点的坐标．
【答案】或
【分析】设，由可得或，再设，表示出，，根据平面向量线性运算的坐标表示得到方程组，解得即可.
【详解】因为点是直线上一点，
所以设，又，所以或，
即或，
设，又、，
所以，，
所以或，
即或，
解得或，
即或.
【变式1】（24-25高三上·湖北·期中）已知，点在线段的延长线上，且，则点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据已知条件及中点坐标公式即可求解.
【详解】因为点在线段的延长线上，且，所以点为中点，
设点，则，解得，所以点的坐标为.
.
【变式2】（23-24高一下·四川绵阳·期中）（多选）点，向量，，点是线段的三等分点，则点坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】AD
【分析】结合向量的坐标运算，并分类讨论，即可求解.
【详解】设点坐标为，因为向量，，则，，
当点为靠近点的三等分点时，则，故，解得：，，故点坐标为，
当点为靠近点的三等分点时，则，故，解得：，，故点坐标为，
D
【变式3】（23-24高一·上海·课堂例题）已知点、，且，求点的坐标．
【答案】
【分析】设点的坐标为，利用平面向量的坐标运算与向量相等列出方程组，求解即可．
【详解】设点，由得，，
因为，所以，解得，
所以点的坐标为．
题型05 根据坐标求向量的模
【典例5】（2024高一·全国·专题练习）已知向量，，则（　　）
A． B．2 C． D．10
【答案】D
【分析】根据条件，利用向量的坐标运算得到，再利用模长的计算公式，即可求解.
【详解】因为，，所以，
得到，
.
【变式1】（23-24高一下·江苏盐城·期中）已知向量，则向量的模为（ ）
A． B．4 C．2 D．
【答案】D
【分析】求出向量的坐标，再求模长.
【详解】因为向量，
所以向量，
所以.
.
【变式2】（23-24高一下·湖南株洲·期末）已知向量，在正方形网格中的位置如图所示.若网格中每个小正方形的边长均为1，则（ ）
A．2 B． C．4 D．8
【答案】C
【分析】根据题图写出向量坐标，再进行坐标运算即可.
【详解】根据题图，以题图向量起点为原点，该点横纵方向为轴，
则，，所以，
则.
故选：.
【变式3】（23-24高三下·湖南·阶段练习）已知，平面向量，，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】利用平面向量的坐标运算结合二次函数性质求解即可.
【详解】易知
,故
，当时，最小，
此时由二次函数性质得，故，
故的最小值为，故A正确.
【变式4】（23-24高三上·山西忻州·开学考试）已知向量，，若，则k= .
【答案】
【分析】利用平面向量的坐标运算求得的坐标，根据求模公式建立方程，解出即可.
【详解】因为向量，，
所以，
则，
解得.
故答案为：
题型06 根据坐标运算求参数
【典例6】（24-25高三上·天津滨海新·阶段练习）已知点，，，．若点在轴上，则实数的值为 ．
【答案】
【分析】根据向量坐标运算，表示的坐标，结合点在轴上求的值.
【详解】∵，，，
∴，，
∵，
∴，
∵点在轴上，
∴，
∴.
故答案为：
【变式1】（24-25高二下·云南曲靖·阶段练习）已知向量，，，则实数m的值为（ ）
A． B． C． D．1
【答案】A
【分析】先求得的坐标，再由求解.
【详解】因为向量，，
所以，
又因为，
所以，
解得.
.
【变式2】（23-24高一下·河南郑州·期中）如图，在直角梯形中，，，，为的中点，若，则的值（ ）
A． B． C．2 D．
【答案】C
【分析】建立平面直角坐标系，由，利用向量相等求解.
【详解】解：建立如图所示平面直角坐标系：
则，
所以，
因为，
所以，
则，解得，
所以，
【变式3】（24-25高三上·天津·阶段练习）在正六边形中，对角线，相交于点，若，则 ．
【答案】
【分析】建立直角坐标系坐标表示向量，由向量相等关系建立方程组求解系数即可.
【详解】以为坐标原点，所在直线为轴，所在直线为轴建立如图所示的平面直角坐标系，
设正六边形ABCDEF边长为，
则，
，
由，则，
所以有，解得，则.
故答案为：
题型07向量共线的坐标表示
【典例7】（24-25高三上·河北石家庄·阶段练习）已知向量，若，则实数（ ）
A． B． C．11 D．2
【答案】A
【分析】根据向量共线的坐标表示得到方程，解出即可.
【详解】，因为，
则，解得.
.
【变式1】（23-24高一下·北京顺义·期末）已知向量，，那么向量可以是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】利用共线向量的坐标表示判断即得.
【详解】对于A，由，得与不共线，A不是；
对于B，由，得与不共线，B不是；
对于C，由，得与不共线，C不是；
对于D，由，得，D是.
【变式2】（23-24高一下·河北·期中）若向量，则的取值集合为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据平面共线向量的坐标表示建立方程，解之即可求解.
【详解】因为，，
所以，解得或0．
即x的取值集合为.
【变式3】（24-25高一上·河北保定·期中）已知向量，，，若，则实数的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由平面向量共线的坐标表示，代入计算，即可得到结果.
【详解】由题意可得，，且，
由可得，解得.
【变式4】（23-24高一下·河南南阳·期中）已知，，，若，则（ ）
A．10 B．11 C．12 D．13
【答案】A
【分析】代入向量共线的坐标表示，即可求解．
【详解】，，，
则，，
，
则，解得．
题型08 利用坐标法求最值（范围）
【典例8】（23-24高一下·江苏南京·阶段练习）四边形是正方形，延长至点，使得，若为中点，为中点，点在线段上移动（包含端点），设，求的取值范围 ．
【答案】
【分析】由图建立平面直角坐标系，利用平面向量坐标运算可得的范围.
【详解】
如图，建立平面直角坐标系，设，则，，
由题意设，则，
由得，
则，故，
即，
故答案为：
【变式1】（23-24高一下·江苏淮安·阶段练习）正方形中棱长为4，E为的中点，为边上一点（不包括C，D），若，则的取值范围为 ．
【答案】
【分析】建系标点，设，根据向量的坐标表示可得，进而可得取值范围.
【详解】如图，以A为坐标原点，建立平面直角坐标系，
则，设，
可得，
若，
则，解得，
可得，
因为，则，可得，
所以的取值范围为.
故答案为：.
【变式2】（23-24高一下·陕西咸阳·期中）（多选）如图，在长方形中，，点满足，其中，则的取值可以是（ ）

A．8 B．9 C．10 D．11
【答案】ABC
【分析】建立平面直角坐标系，写出点的坐标，得到，，从而求出，求出值域。
【详解】以为坐标原点，，所在直线分别为，轴，建立平面直角坐标系，则，，，，
设，因为，所以，即，，故，，
则，
，因为，所以.
BC

【变式3】（23-24高一下·四川德阳·阶段练习）边长为4的正方形，点在正方形内（含边界），满足，当点在线段上时，则的最小值为 .
【答案】
【分析】建立平面直角坐标系，求出线段方程，由在线段上可得，利用二次函数值域计算即可得出结果.
【详解】建立平面直角坐标系如图所示，根据题意可得：
，，，，
设为，则，，，
因为，
所以，，，，所以，
易知线段方程为：，，，
因为点在上，所以，，，
所以，，，
所以，，，，，
则，
当时取得最小值为.
故答案为：
题型09 坐标法在几何中的应用
【典例9】（23-24高一下·山西运城·阶段练习）如图，正方形的边长为6，E是的中点，F是边上靠近点B的三等分点，与交于点M．
(1)求的值；
(2)已知点P是正方形四条边上的动点，若，求的长度．
【答案】(1)
(2)或
【分析】（1）建立适当的平面直角坐标系，求出的坐标，由向量坐标的数量积公式即可求解；
（2）首先由，，得出点满足的两条直线方程，联立得的坐标，进一步由，对分类讨论即可求出它的位置，由向量模的坐标公式即可求解.
【详解】（1）如图所示，建立以点A为原点的平面直角坐标系．
则，，，，
所以，，
所以．
（2）设，
所以，
因为，
所以，
所以．
因为，，，
所以，所以，
所以，所以，，所以．
由题得，又，由图易知，点P在线段上或线段，
①若P在上，设，，，，则，
解得，
所以，．
②若P在上，设，，，，则，
解得，
所以，．
综上，的长度为或．
【变式1】如图，在平面直角坐标系中，，，．
(1)求点B的坐标；
(2)求证：．
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）根据结合，根据直角三角形中的关系结合求解即可；
（2）先求得，再根据向量平行的性质证明即可
【详解】（1）由题意，因为，，故，故，即点B的坐标为
（2）由题意，，又，故，且不共线，故
【变式2】如图，已知直角梯形中，，过点C作于点E，M为的中点.
求证：（1）；
（2）D，M，B三点共线.
【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.
.
（1）因为，，
所以，即.
（2）因为M为的中点，所以，
所以，，
所以，所以.
又与有公共点，所以D，M，B三点共线.
【变式3】如图，在平面直角坐标系中，，，
（1）求点的坐标；
（2）求证：四边形为等腰梯形．
【答案】（1）；；（2）证明见解析．
【分析】（1）先根据，，求得B的坐标，再加上向量的坐标即得点C的坐标；
（2）利用向量的坐标可得,计算模可得，从而证得.
【详解】解：（1）设，则，
，
，
，
；
（2）证明：连接,
，，
，且，
又，，
,
四边形为等腰梯形.
一、单选题
1．直线上向量，的坐标分别为-3，5，则向量的坐标和模分别是（ ）
A．-19，19 B．21，21 C．-19，5 D．1，1
【答案】A
【分析】根据直线上向量的坐标运算法则代入数据即可求得答案.
【详解】由题可知，向量的坐标为，
向量的模为
2．（23-24高一下·广西梧州·期末）已知点，则向量（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据向量的坐标运算即可求解.
【详解】，
3．（23-24高一下·甘肃·期末）已知，分别为的边，的中点，若，，则点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据向量的数乘运算，向量坐标与终点、始点的关系求解.
【详解】因为，分别为AB，AC的中点，所以.
设，又，所以，即解得
即点的坐标为.
.
4．（23-24高一下·福建漳州·期中）已知向量，若，则（ ）
A． B． C．10 D．
【答案】D
【分析】运用向量共线的结论可解.
【详解】向量，由，得，所以.
5．（23-24高一下·浙江嘉兴·期中）已知向量，则与向量反向的单位向量的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】与向量方向相反的单位向量为求解即可.
【详解】因为，所以，
与向量方向相反的单位向量为，
6．（24-25高三上·湖南长沙·阶段练习）已知向量，，且实数，若A，B，C三点共线．则（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】A
【分析】由三点共线转化为两个向量共线，即共线，由向量共线的坐标表示计算．
【详解】，，
因为A，B，C三点共线，所以，
则，解得或，
，.
.
7．（23-24高一下·山东东营·期末）如图，已知，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】题中有90°，因此建立平面直角坐标系，用坐标表示向量进行运算即可．
【详解】建立如图所示的直角坐标系，
，
，
设，
，
，解得，
所以.
.
8．我国东汉末数学家赵爽在《周髀算经》中利用一幅“弦图”给出了勾股定理的证明，后人称其为“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形，若E为AF的中点，，则（ ）

A． B． C． D．
【答案】C
【分析】构建以为坐标原点，所在直线为轴，所在直线为轴，建立如图直角坐标系，设，标注相关点的坐标，进而可得坐标，结合，应用向量线性运算的坐标表示列方程求出即可.
【详解】以为坐标原点，所在直线为轴，所在直线为轴，建立如图直角坐标系，设，又为的中点，

∴，则，
由，得：，
∴，解得，则
.
二、多选题
9．（2024高一下·全国·专题练习）下面几种说法中正确的有（　　）
A．相等向量的坐标相同
B．平面上一个向量对应于平面上唯一的坐标
C．一个坐标对应于唯一的一个向量
D．平面上一个点与以原点为始点、该点为终点的向量一一对应
【答案】ABD
【分析】根据向量的定义和坐标的定义，即可判断选项.
【详解】A.相等向量的坐标相同，故A正确；
B.根据向量坐标的定义，可知平面上一个向量对应于平面上唯一的坐标，故B正确；
C.由向量坐标的定义不难看出一个坐标可对应无数个相等的向量，故C错误；
D. 平面上一个点与以原点为始点、该点为终点的向量一一对应，故D正确.
BD
10．（23-24高三下·山东济宁·开学考试）已知为坐标原点，向量是线段的三等分点，则的坐标可能为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】AC
【分析】根据向量的坐标运算求解，注意三等分点有两种可能.
【详解】因为，，可得，
又因为点是线段的三等分点，则或，
所以或，
即点的坐标为或.
C.
11．（23-24高一下·广东湛江·期末）已知向量，，，若点A，B，C能构成三角形，则实数m可以是（ ）
A．0 B．1 C． D．
【答案】CD
【分析】根据题意分析可知不共线，结合向量共线的坐标表示运算求解.
【详解】因为，，，
则，
若点A，B，C能构成三角形，即A，B，C不共线，则不共线，
可得，即，
结合选项可知A错误；BCD正确.
CD.
三、填空题
12．已知点，点在线段的延长线上，且，则点P的坐标是 .
【答案】
解得，即点的坐标为.
故答案为：.
13．（23-24高一下·全国·课前预面内距离公式与中点坐标公式：设，，则 ，两点之间的距离 ，中点的坐标为 .
【答案】
【分析】由向量的坐标表示，及两点间距离公式、中点坐标公式即可求解.
【详解】由，，
可得：，
由两点间距离公式可得：，
由中点坐标公式可得中点的坐标为：，
故答案为：，，
14．如图．在直角梯形中．，点P是腰上的动点，则的最小值为 ．
【答案】4
【分析】建立平面直角坐标系，设，求得相关点坐标，求出的表达式，结合二次函数的性质即可求得答案.
【详解】由在直角梯形中．，
则，则以A为原点，为轴建立平面直角坐标系，
设，设，则，
故，
所以，故，
当且仅当即时取得等号，
即的最小值为4，
故答案为：4
四、解答题
15．（24-25高一上·上海·课堂例题）已知向量、.
(1)求的模和其单位向量；
(2)若，以、为基表示向量.
【答案】(1)，
(2)
【分析】（1）利用平面向量的坐标运算求出向量的模，再利用单位向量的性质求解单位向量即可.
（2）利用平面向量的坐标运算建立方程，求解参数，表示即可.
【详解】（1）∵，，
∴，
∴，
∴的单位向量.
（2）设，则，
∴解得，∴
16．（24-25高一上·上海·随堂练习）如图，在平行四边形中，已知、、，其对角线交点为M.求：
(1)向量与的坐标；
(2)点D与M的坐标.
设，则，
由得，
即所以即.
17．（23-24高一下·河南·期末）如图，已知平行四边形的三个顶点、、的坐标分别是、、.
(1)求顶点的坐标；
(2)在线段上是否存在一点满足，若存在，求；若不存在，请说明理由.
【答案】(1)
(2)存在，
顶点A的坐标为.
（2）存在.
由（1）可知，，，，
设，则.
又，，
解得，，即.
18．如图，在直角梯形中，//，，，为上靠近的三等分点，交于，为线段上的一个动点．
(1)用和表示；
(2)设，求，的取值范围．
【答案】(1)；
(2)，.
【分析】（1）利用向量的线性运算，结合已知条件，即可容易表达；
设，则，
因为点在上运动，故可设其坐标为，
则，
由可得，
则，因为，则，
故.
19．（23-24高一下·北京·期中）对于任意实数a，b，c，d，表达式称为二阶行列式，记作．
(1)求下列行列式的值：
①；②
(2)求证：向量与向量共线的充要条件是；
(3)讨论关于，的二元一次方程组（）有唯一解的条件，并求出解．（结果用二阶行列式的记号表示）
【答案】(1)①1； ②0
(2)证明见详解
(3)答案见详解
【分析】（1）利用行列式的定义可以直接求出行列式的值；
（2）根据向量共线的坐标运算结合充要条件分析证明；
（3）求出，，由此能求出当时，关于x，y的二元一次方程组（）有唯一解，并能求出解.
【详解】（1）①由题意可得：；
②由题意可得：.
（2）若向量与向量共线，则：
当时，有，即，
当时，有，即，所以必要性得证.
反之，若，即，
当c，d不全为0时，即时，
不妨设，则，可得，
因为，则，
可得，则与共线，
当且时，，则与共线，充分性得证；
综上所述：向量与向量共线的充要条件是.
（3）用和分别乘上面两个方程的两端，然后两个方程相减，消去y得：
，③
同理，消去x，得：，④
当时，即时，由③④得：
，，
所以当时，关于x，y的二元一次方程组（）有唯一解，且，.
【点睛】关键点点睛：最后一问关键点在于借助行列式的定义表示出x、y，从而得出其有唯一解的条件.
21世纪教育网(www.21cnjy.com)第04讲 向量的坐标及其运算
课程标准 学习目标
1.了解直线上向量的坐标. 2.掌握平面向量的正交分解及坐标表示. 3.理解平面向量的坐标运算. 4.掌握向量平行的坐标表示． 1．掌握求直线上向量的坐标的方法． 2．熟练进行直线上向量的坐标运算． 3．掌握数轴上两点之间的距离公式及数轴上的中点坐标公式． 4．掌握向量的坐标表示与运算。 5．能根据向量的坐标解决平行问题
知识点01　直线上向量的坐标及其运算
1．直线上向量的坐标
(1)定义：给定一条直线l以及这条直线上一个单位向量e，由共线向量基本定理可知，对于直线l上的任意一个向量a，一定存在唯一的实数x，使得axe，此时，x称为向量a的坐标．
(2)向量的模和方向与x的关系
|a||xe||x||e||x|(e为单位向量)．
当x>0时，a的方向与e的方向相同；
当x0时，a是零向量；
当x<0时，a的方向与e的方向相反．
在直线上给定了单位向量，则直线上的向量完全被其坐标确定．
(3)直线上向量的坐标：在直线l上指定一点O作为原点，以e的方向为正方向，e的模为单位长度建立数轴，对于l上的任意一个向量a，如果我们把它的始点平移到原点O，那么a的终点对应的数就是向量a的坐标．
2．直线上向量的运算与坐标的关系
如果直线上两个向量a，b的坐标分别为x1，x2.
(1)ab的充要条件是x1x2.
(2)a＋b的坐标为x1＋x2，a－b的坐标为x1－x2，λa的坐标为λx1.
(3)设A(x1)，B(x2)是数轴上的两点，M(x)是线段AB的中点，则AB|x2－x1|，x.
【即学即练1】
1.如图，向量的坐标为________.
2.已知直线上向量a，b的坐标分别为－2，2，则向量a＋b的坐标为(　　)
A.1　　　　　　　 B．－1
C．0 D．4
知识点02　平面向量的坐标及其运算
1．平面向量的坐标
(1)向量的垂直：平面上的两个非零向量a，b，如果它们所在的直线互相垂直，则称向量a，b垂直，记作a⊥b.规定零向量与任意向量都垂直．
(2)向量的正交分解：如果平面向量的基底{e1，e2}中，e1⊥e2，则称这组基底为正交基底，在正交基底下向量的分解称为向量的正交分解．
(3)向量的坐标：给定平面内两个相互垂直的单位向量e1，e2，对于平面内的向量a，如果axe1＋ye2，则称(x，y)为向量a的坐标，记作a(x，y)．
2．平面上向量的运算与坐标的关系
若a(x1，y1)，b(x2，y2)，λ∈R，则：
(1)a＋b(x1＋x2，y1＋y2)．
(2)a－b(x1－x2，y1－y2)．
(3)λa(λx1，λy1)．
(4)向量相等的充要条件：ab x1x2且y1y2.
(5)模长公式：|a|.
3.平面直角坐标系内两点之间的距离公式与中点坐标公式
如图所示，在平面直角坐标系中，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则：
(1)向量(x1，y1)，(x2，y2)，向量(x2－x1，y2－y1)．
(2)它们之间的距离：AB||
.
(3)设AB的中点M(x，y)，则x，y.
【解读】(1)区别的坐标与a－b的坐标：的坐标为终点坐标减去始点坐标，而a－b的坐标是对应的坐标相减．
(2)由于自由向量的始点可以任意选取，如果向量以坐标原点为始点，那么向量的坐标就与其终点的坐标相同；如果向量不以坐标原点为始点，那么向量的坐标就与其终点的坐标不同．　　
4．向量平行的坐标表示
设向量a(x1，y1)，b(x2，y2)，则a∥b x2y1x1y2.
【即学即练2】如图所示，{e1，e2}为正交基底，则向量2a＋b的坐标为(　　)
A．(3，4) B．(2，4)
C．(3，4)或(4，3) D．(4，2)或(2，4)
题型01 直线上向量的坐标及运算
【典例1】如图所示，直线上向量a，b的坐标分别为(　　)
A．－2，4 B．2，4
C．4，－2 D．－4，－2
【变式1】已知向量a，b在同一直线上，|a|2|b|，若b的坐标为2，则a的坐标为(　　)
A．4 B．－4
C．2或－2 D．4或－4
【变式2】若e是直线l上的一个单位向量，这条直线上的向量a，b的坐标分别为x，y，下列说法错误的是(　　)
A．|a|x　　　　　　　 B．bye
C．a＋b的坐标为x＋y D．|e|1
【变式3】若数轴上A，B两点的坐标分别为－2，x，且的坐标是－8，则x________．
【变式4】已知e是直线l上的一个单位向量，a4e，b－2e，则a＋b的坐标为(　　)
A．1 B．2
C．－2 D．4
题型02 平面向量的坐标表示
【典例2】（23-24高一下·浙江宁波·期末）已知平行四边形，，，则（ ）
A． B． C． D．
【变式1】（23-24高一下·浙江·期中）已知，把向量按向量平移后，所得向量的坐标是（ ）
A． B． C． D．
【变式2】（2024高二下·安徽·学业考试）点，,则向量（ ）
A． B． C． D．
【变式3】（23-24高一下·陕西渭南·期末）已知向量，则与向量方向相反的单位向量是（ ）
A． B． C． D．或
题型03 平面向量的坐标运算
【典例3】（2024高二下·湖北·学业考试）已知向量，则（ ）
A． B． C． D．
【变式1】（23-24高一下·新疆·期中）已知，，若，则（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【变式2】（23-24高一·上海·课堂例题）已知点、、，求．
【变式3】（23-24高一下·全国·单元测试）已知，，求：
(1)；
(2).
题型04 根据线段比例求点的坐标
【典例4】（23-24高一·上海·课堂例题）已知点、，点是直线上一点，且，求点的坐标．
【变式1】（24-25高三上·湖北·期中）已知，点在线段的延长线上，且，则点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【变式2】（23-24高一下·四川绵阳·期中）（多选）点，向量，，点是线段的三等分点，则点坐标为（ ）
A． B． C． D．
【变式3】（23-24高一·上海·课堂例题）已知点、，且，求点的坐标．
题型05 根据坐标求向量的模
【典例5】（2024高一·全国·专题练习）已知向量，，则（　　）
A． B．2 C． D．10
【变式1】（23-24高一下·江苏盐城·期中）已知向量，则向量的模为（ ）
A． B．4 C．2 D．
【变式2】（23-24高一下·湖南株洲·期末）已知向量，在正方形网格中的位置如图所示.若网格中每个小正方形的边长均为1，则（ ）
A．2 B． C．4 D．8
【变式3】（23-24高三下·湖南·阶段练习）已知，平面向量，，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【变式4】（23-24高三上·山西忻州·开学考试）已知向量，，若，则k= .
题型06 根据坐标运算求参数
【典例6】（24-25高三上·天津滨海新·阶段练习）已知点，，，．若点在轴上，则实数的值为 ．
【变式1】（24-25高二下·云南曲靖·阶段练习）已知向量，，，则实数m的值为（ ）
A． B． C． D．1
【变式2】（23-24高一下·河南郑州·期中）如图，在直角梯形中，，，，为的中点，若，则的值（ ）
A． B． C．2 D．
【变式3】（24-25高三上·天津·阶段练习）在正六边形中，对角线，相交于点，若，则 ．
题型07向量共线的坐标表示
【典例7】（24-25高三上·河北石家庄·阶段练习）已知向量，若，则实数（ ）
A． B． C．11 D．2
【变式1】（23-24高一下·北京顺义·期末）已知向量，，那么向量可以是（ ）
A． B． C． D．
【变式3】（24-25高一上·河北保定·期中）已知向量，，，若，则实数的值为（ ）
A． B． C． D．
题型08 利用坐标法求最值（范围）
【典例8】（23-24高一下·江苏南京·阶段练习）四边形是正方形，延长至点，使得，若为中点，为中点，点在线段上移动（包含端点），设，求的取值范围 ．
【变式1】（23-24高一下·江苏淮安·阶段练习）正方形中棱长为4，E为的中点，为边上一点（不包括C，D），若，则的取值范围为 ．
【变式2】（23-24高一下·陕西咸阳·期中）（多选）如图，在长方形中，，点满足，其中，则的取值可以是（ ）

A．8 B．9 C．10 D．11
【变式3】（23-24高一下·四川德阳·阶段练习）边长为4的正方形，点在正方形内（含边界），满足，当点在线段上时，则的最小值为 .
题型09 坐标法在几何中的应用
【典例9】（23-24高一下·山西运城·阶段练习）如图，正方形的边长为6，E是的中点，F是边上靠近点B的三等分点，与交于点M．
(1)求的值；
(2)已知点P是正方形四条边上的动点，若，求的长度．
【变式1】如图，在平面直角坐标系中，，，．
(1)求点B的坐标；
(2)求证：．
【变式2】如图，已知直角梯形中，，过点C作于点E，M为的中点.
求证：（1）；
（2）D，M，B三点共线.
【变式3】如图，在平面直角坐标系中，，，
（1）求点的坐标；
（2）求证：四边形为等腰梯形．
一、单选题
1．直线上向量，的坐标分别为-3，5，则向量的坐标和模分别是（ ）
A．-19，19 B．21，21 C．-19，5 D．1，1
2．（23-24高一下·广西梧州·期末）已知点，则向量（ ）
A． B． C． D．
3．（23-24高一下·甘肃·期末）已知，分别为的边，的中点，若，，则点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
4．（23-24高一下·福建漳州·期中）已知向量，若，则（ ）
A． B． C．10 D．
5．（23-24高一下·浙江嘉兴·期中）已知向量，则与向量反向的单位向量的坐标为（ ）
A． B． C． D．
6．（24-25高三上·湖南长沙·阶段练习）已知向量，，且实数，若A，B，C三点共线．则（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
7．（23-24高一下·山东东营·期末）如图，已知，则（ ）
A． B．
C． D．
8．我国东汉末数学家赵爽在《周髀算经》中利用一幅“弦图”给出了勾股定理的证明，后人称其为“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形，若E为AF的中点，，则（ ）

A． B． C． D．
二、多选题
9．（2024高一下·全国·专题练习）下面几种说法中正确的有（　　）
A．相等向量的坐标相同
B．平面上一个向量对应于平面上唯一的坐标
C．一个坐标对应于唯一的一个向量
D．平面上一个点与以原点为始点、该点为终点的向量一一对应
10．（23-24高三下·山东济宁·开学考试）已知为坐标原点，向量是线段的三等分点，则的坐标可能为（ ）
A． B．
C． D．
11．（23-24高一下·广东湛江·期末）已知向量，，，若点A，B，C能构成三角形，则实数m可以是（ ）
A．0 B．1 C． D．
三、填空题
12．已知点，点在线段的延长线上，且，则点P的坐标是 .
13．（23-24高一下·全国·课前预面内距离公式与中点坐标公式：设，，则 ，两点之间的距离 ，中点的坐标为 .
14．如图．在直角梯形中．，点P是腰上的动点，则的最小值为 ．
四、解答题
15．（24-25高一上·上海·课堂例题）已知向量、.
(1)求的模和其单位向量；
(2)若，以、为基表示向量.
16．（24-25高一上·上海·随堂练习）如图，在平行四边形中，已知、、，其对角线交点为M.求：
(1)向量与的坐标；
(2)点D与M的坐标.
17．（23-24高一下·河南·期末）如图，已知平行四边形的三个顶点、、的坐标分别是、、.
(1)求顶点的坐标；
(2)在线段上是否存在一点满足，若存在，求；若不存在，请说明理由.
18．如图，在直角梯形中，//，，，为上靠近的三等分点，交于，为线段上的一个动点．
(1)用和表示；
(2)设，求，的取值范围．
19．（23-24高一下·北京·期中）对于任意实数a，b，c，d，表达式称为二阶行列式，记作．
(1)求下列行列式的值：
①；②
(2)求证：向量与向量共线的充要条件是；
(3)讨论关于，的二元一次方程组（）有唯一解的条件，并求出解．（结果用二阶行列式的记号表示）
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