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2.2.1直线的倾斜角与斜率
课程标准 学习目标
1.了解直线方程的概念 2.正确理解直线倾斜角和斜率概念:理解每条直线的倾斜角是唯一的，但不是每条直线都存在斜率 3.理解公式的推导过程，掌握过两点的直线的斜率公式 4.通过直线倾斜角概念的引入和直线倾斜角与斜率关系的揭示，培养学生观察、探索能力，运用数学语言表达能力，数学交流与评价能力 5.通过斜率概念的建立和斜率公式的推导，帮助学生进一步理解数形结合思想，培养学生树立辩证统一的观点，培养学生形成严谨的科学态度和求简的数学精神 1.重点:直线的倾斜角和斜率概念 2.难点:斜率概念的理解，直线倾斜角与斜率变化关系探究。
知识点01 直线的倾斜角
1.定义：平面直角坐标系中，对于一条与轴相交的直线，如果把轴绕着交点按逆时针方向旋转到和直线重合时所转的最小正角记为，则叫做直线的倾斜角.
2.规定：当直线和轴平行或重合时，直线倾斜角为，
3.范围：[0,π)
4.图形：
【即学即练1】（23-24高一下·北京顺义·阶段练习）若直线l过两点和，则直线l的倾斜角为（ ）
A． B． C． D．
【即学即练2】（23-24高二上·湖北武汉·期末）若直线的斜率为，且，则直线的倾斜角为（ ）
A．或 B．或 C．或 D．或
知识点02直线的斜率
1.定义：一般的，如果直线l的倾斜角为，则当时，称k=tan为直线l的斜率；当时，称直线l的斜率不存在.
2.公式：已知点、，是直线l上两个不同的点，则当时，直线l的斜率为，当时，直线l的斜率不存在.
【即学即练3】（23-24高二下·湖南邵阳·期末）已知直线的倾斜角为，则直线的斜率为（ ）
A． B． C．1 D．
【即学即练4】（23-24高二上·河北石家庄·期中）过两点和的直线的斜率为（ ）
A．3 B． C． D．
知识点03 直线的方向向量
1.定义：一般地，如果表示非零向量a的有向线段所在的直线与直线l平行或重合 ，则称向量a为直线l的一个方向向量，记作a//l
2.性质：①如果a为直线l的一个方向向量，那么对于任意的实数λ≠0，向量λa都是l的一个方向向量，而且直线l的任意两个方向向量一定共线.
②如果A（x1，y1），B（x2，y2）是直线l上两个不同的点，则=(x2-x1,y2-y1)是直线l的一个方向向量.
③若为直线l的倾斜角，则（cos，sin）一定是直线l的一个方向向量.
④如果已知a=（u,v）为直线l的一个方向向量，则当u=0时，直线l的斜率不存在，倾斜角为90°；当u0时，直线l的斜率是存在的，直线l的斜率k=,即tan=.
【即学即练5】（23-24高二上·湖北黄石·期末）已知是直线的一个方向向量，则直线的倾斜角为（ ）
A． B． C． D．
【即学即练6】（23-24高二下·全国·课堂例题）已知直线l通过点与，则直线l的一个方向向量为 .
知识点04 直线的法向量
一般的，如果表示非零向量的v的有向线段所在的直线与直线l垂直，则称向量v为直线l的一个法向量，记作v⊥l，一条直线的方向向量与法向量互相垂直.
【即学即练7】（23-24高二上·上海奉贤·期末）直线的法向量可以为（ ）
A． B．
C． D．
【即学即练8】（23-24高二下·全国·课堂例题）若是直线的一个法向量，则直线的斜率为 ，倾斜角的大小为 ．
难点：动点问题
示例1：（23-24高二下·全国·课后作业）已知实数x，y满足，且，则的取值范围（ ）
A． B．
C． D．
【题型1：直线的倾斜角】
例1．（21-22高二下·安徽芜湖·阶段练习）直线的倾斜角是（ ）
A．0 B． C． D．
变式1．（23-24高二下·宁夏吴忠·开学考试）若直线经过、两点，则直线的倾斜角为（ ）
A． B． C． D．
变式2．（23-24高二上·陕西西安·阶段练习）图中能表示直线的倾斜角的是（ ）
A．①④ B．①② C．①③ D．②④
变式3．（2023高二上·江苏·专题练习）已知直线l的倾斜角为，则与l关于x轴对称的直线的倾斜角为（ ）
A． B．
C． D．
变式4．（多选）（24-25高二上·全国·课堂例题）设直线过坐标原点，它的倾斜角为，如果将绕坐标原点按逆时针方向旋转，得到直线，那么的倾斜角可能为（ ）
A． B．
C． D．
变式5．（多选）（23-24高二下·黑龙江大庆·开学考试）在平面直角坐标系中，下列说法不正确的是（ ）
A．任意一条直线都有倾斜角和斜率
B．直线的倾斜角越大，则该直线的斜率越大
C．若一条直线的倾斜角为，则该直线的斜率为
D．与坐标轴垂直的直线的倾斜角是或
变式6．（多选）（23-24高二上·河南信阳·阶段练习）下列说法中正确的是（ ）
A．若直线的倾斜角越大，则直线的斜率就越大
B．若直线的倾斜角为，则直线的斜率为
C．若，，则直线的倾斜角为
D．若直线过点，且它的倾斜角为，则这条直线必过点
变式7．（24-25高二上·上海·课后作业）若，则经过两点，的直线的倾斜角为 ．
【方法技巧与总结】
求直线倾斜角的方法及关注点
（1）定义法：根据题意画出图形，结合倾斜角的定义找倾斜角.
（2）关注点：结合图形求角时，应注意平面几何知识的应用，如三角形内角和定理及其有关推论.
【题型2：直线的斜率】
例2．（23-24高二上·江西·期末）已知直线l的倾斜角为，则l的斜率为（ ）
A．1 B．45 C． D．
变式1．（23-24高二上·湖北十堰·期中）直线的斜率为（ ）
A．不存在 B． C． D．
变式2．（23-24高二上·河南郑州·期中）已知直线经过两点，直线的倾斜角是直线的倾斜角的两倍，则直线的斜率是（ ）
A．0 B．1 C．-2 D．不存在
变式3．（23-24高二上·四川遂宁·阶段练习）过点和点的直线的倾斜角和斜率分别是 （ ）
A． B．不存在 C． D．
变式4．（23-24高二上·广东茂名·期中）若正方形一条对角线所在直线的斜率为，写出该正方形的一条边所在直线的斜率为 ．
变式5．（23-24高二上·福建泉州·阶段练习）在平面直角坐标系中，已知直线l上的一点向右平移1个单位长度，再向下平移3个单位长度后，仍在该直线l上，则直线l的斜率为 ．
变式6．（23-24高二上·上海虹口·阶段练习）直线l的倾斜角满足，则直线l斜率为 .
变式7．（2024·上海青浦·二模）已知直线的倾斜角比直线的倾斜角小，则的斜率为 ．
【方法技巧与总结】
斜率公式是最基本的求解直线斜率的方法。如有直线的两个点坐标分别为、，则该直线的斜率为:
【题型3：倾斜角与斜率的变化】
例3．（2023高二上·江苏·专题练习）如图，若直线，，的斜率分别为，，，则（ ）
A． B． C． D．
变式1．（23-24高二上·福建福州·期末）已知两条直线，的斜率分别为，，倾斜角分别为.若，则下列关系正确的是（ ）
A． B． C． D．
变式2．（24-25高二上·全国·课后作业）已知函数，若，则，，的大小关系为（ ）
A． B．
C． D．
变式3．（23-24高二上·河南南阳·阶段练习）已知直线的倾斜角分别为30°，53°，125°，斜率分别为 ，则（ ）
A．
B．
C．
D．
变式4．（多选）（23-24高二上·河南南阳·期中）（多选）已知三条直线、、的斜率分别为、、，倾斜角分别为、、，且，则其倾斜角的关系可能为（ ）
A． B．
C． D．
变式5．（2024高二·全国·专题练习）已知直线的倾斜角为，并且，直线的斜率的范围是（ ）
A． B．
C．或 D．或
变式6．（23-24高二上·江苏·单元测试）若直线的斜率的变化范围是，则它的倾斜角的变化范围是(　 )
A．
B．
C．
D．或
变式7．（多选）（23-24高二上·江苏连云港·期中）已知直线，的斜率分别为2，，直线l与直线，围成一个等腰三角形，且顶角为钝角，则直线l的斜率可能是（ ）
A． B． C． D．1
变式8．（23-24高二上·湖南张家界·阶段练习）已知某直线的倾斜角，则该直线的斜率的范围为 ．
【方法技巧与总结】
直线都有倾斜角，但不一定都有斜率，二者的关系具体如下：
斜率k k=tanα>0 k=0 k=tanα<0 不存在
倾斜角α 锐角 0° 钝角 90°
图示
【题型4：已知斜率求参数问题】
例4．（23-24高二上·广东潮州·期末）已知斜率为的直线经过点，则（ ）
A． B． C．1 D．0
变式1．（23-24高二上·广东梅州·期末）若过点的直线的倾斜角为，则的值为（ ）
A． B． C． D．2
变式2．（多选）（23-24高二上·江苏连云港·阶段练习）已知点的坐标为，在坐标轴上有一点，若，则点的坐标可以为（ ）
A． B． C． D．
变式3．（多选）（23-24高二上·四川·期中）若直线的斜率为，则直线的倾斜角可能为（ ）
A． B． C． D．
变式4．（23-24高二上·贵州黔南·期中）已知两点，所在直线的斜率为，则 .
变式5．（23-24高二上·安徽亳州·期中）过，的直线的斜率大于，则满足条件的一个a值可以为 .
变式6．（23-24高二上·全国·课后作业）已知，若直线与直线的斜率分别为和，则点的坐标为 ．
变式7．（22-23高二下·安徽·开学考试）已知点，在曲线图像上，且，两点连线的斜率为2，请写出满足条件的一组点 ， ．
【题型5：过两点求斜率取值范围】
例5．（24-25高二上·江苏徐州·开学考试）已知点，，若，则直线的倾斜角的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
变式1．（21-22高二上·辽宁大连·阶段练习）直线l经过， 两点，那么直线l的倾斜角的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
变式2．（23-24高二上·全国·课后作业）已知直线过点，直线的倾斜角为锐角时的取值范围为 ．
变式3．（21-22高二上·安徽芜湖·期中）已知曲线，则的取值范围是 ．
变式4．（23-24高二上·全国·课后作业）求经过两点，的直线l的斜率．
变式5．（23-24高二上·全国·课后作业）已知直线过点.
(1)当为何值时，直线的斜率是
(2)当为何值时，直线的倾斜角为？求此时直线的一个方向向量．
变式6．（23-24高二上·四川·阶段练习）已知坐标平面内两点.
(1)当直线的倾斜角为锐角和钝角时，分别求出的取值范围；
(2)若直线的方向向量为，求的值.
【题型6：动直线与线段相交问题】
例6．（24-25高二上·陕西西安·开学考试）已知点，，若过点的直线与线段AB相交，则该直线斜率的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
变式1．（21-22高二上·北京·阶段练习）已知，若点在线段上，则的最小值为（ ）
A．1 B． C． D．
变式2．（23-24高二上·福建厦门·期中）已知两点，，过点的直线与线段（含端点）有交点，则直线的斜率的取值范围为（ ）
B．
C． D．
变式3．（2022高三·全国·专题练习）已知点、、， 过点C的直线l与线段AB有公共点，则直线l的斜率k的取值范围是（　　）
A． B．
C． D．以上都不对
变式4．（多选）（23-24高二上·陕西安康·期末）已知直线过点且与线段的延长线有公共点，若，，则直线的斜率的取值可以是（ ）
A． B．0 C． D．
变式5．（23-24高二上·全国·期中）已知点，，若直线过点，且与线段有交点，则直线的斜率的取值范围是 ．
变式6．（22-23高二上·江苏镇江·阶段练习）已知直线和以为端点的线段无公共点，则实数的取值范围为
【方法技巧与总结】
利用直线上两点确定直线的倾斜角，应从斜率存在、不存在两方面入手分类讨论．斜率不存在的情况在解题中容易忽视，应引起注意.
【题型7：三点共线问题】
例7．（2020高三·全国·专题练习）若平面内三点A(1，－a)，B(2，a2)，C(3，a3)共线，则a（ ）
A．1±或0 B．或0
C． D．或0
变式1．（23-24高二下·甘肃武威·开学考试）若三点，，共线，则 .
变式2．（2023高二上·江苏·专题练习）若三点，， (其中)共线，则 .
变式3．（22-23高二·全国·课堂例题）已知，判断A，B，C是否共线．
变式4．（20-21高二上·宁夏吴忠·阶段练习）已知，，三点．
（1）若过A，C两点的直线的倾斜角为，求m的值．
（2）A，B，C三点可能共线吗？若能的，求出m值；若不能，请说明理由．
【方法技巧与总结】
三点共线问题
1.已知三点A，B，C，若直线AB，AC'的斜率相同，则三点共线.
2.三点共线问题也可利用线段相等来求，若|AB|＋|BC|=|AC|，也可断定A，B，C三点共线.
3.利用向量和向量共线也能断定A，B，C三点共线.
一、单选题
1．（23-24高二上·陕西咸阳·期中）已知点，点，则直线的倾斜角是（ ）
A． B． C． D．
2．（23-24高二上·全国·课后作业）若过点和的直线的斜率为，则a的值为（ ）
A．4 B．0
C． D．1
3．（23-24高二上·河南南阳·阶段练习）已知直线l1上有两点,直线的倾斜角是直线倾斜角的2倍，则直线的斜率为 （ ）
A． B． C． D．
4．（23-24高二上·新疆·期中）经过的直线l在x轴上的截距的取值范围为，则直线l的斜率k的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
5．（23-24高二上·江苏常州·期中）若过，两点的直线的倾斜角为，则（ ）
A． B． C． D．
6．（23-24高二上·山西吕梁·阶段练习）斜率为的直线的倾斜角所在的范围是（ ）
A． B． C． D．
7．（23-24高二上·安徽合肥·期中）直线的倾斜角为（ ）
A． B． C． D．不存在
8．（23-24高二上·江苏镇江·期中）已知直线经过点，且不经过第三象限，则直线的斜率的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
二、多选题
9．（23-24高二上·福建泉州·阶段练习）过点作直线，使得直线和连接点的线段总有公共点，则直线的倾斜角可能是（ ）
A． B． C． D．
10．（21-22高二上·江苏南通·期中）若经过和的直线的倾斜角为钝角，则实数的值不可能为（ ）
A． B． C． D．
11．（20-21高二·全国·课后作业）以下四个命题正确的是（ ）
A．若直线的斜率存在，则必有倾斜角与之对应
B．若直线的倾斜角存在，则必有斜率与之对应
C．坐标平面上所有的直线都有倾斜角
D．坐标平面上并不是所有直线都有斜率
三、填空题
12．（23-24高二上·上海·期末）直线的斜率的取值范围为，则其倾斜角的取值范围是 .
13．（23-24高二上·江苏扬州·阶段练习）经过两点 的直线的倾斜角为，则
14．（23-24高二上·广西河池·阶段练习）若直线的斜率满足，则直线的倾斜角的取值范围是 ．
四、解答题
15．（24-25高二上·全国·课后作业）已知直线l经过两点，，问：当m取何值时：
(1)直线l与x轴平行？
(2)直线l与y轴平行？
(3)直线的倾斜角为？
(4)直线的倾斜角为锐角？
16．（23-24高二上·河南南阳·阶段练习）已知直线过点，.
(1)若直线的倾斜角为，求实数的值；
(2)若直线的倾斜角为钝角，求实数的取值范围.
17．（23-24高二上·四川巴中·阶段练习）已知坐标平面内三点，，.
(1)求直线AC的倾斜角；
(2)若D为的AB边上一动点，求直线CD的倾斜角的取值范围.
18．（23-24高二上·湖北·阶段练习）已知坐标平面内两点．
(1)当直线的倾斜角为锐角时，求的取值范围；
(2)若直线的方向向量为，求的值．
19．（22-23高二上·全国·课后作业）已知点，，点在线段上.
(1)求直线的斜率；
(2)求的最大值.
21世纪教育网(www.21cnjy.com)2.2.1直线的倾斜角与斜率
课程标准 学习目标
1.了解直线方程的概念 2.正确理解直线倾斜角和斜率概念:理解每条直线的倾斜角是唯一的，但不是每条直线都存在斜率 3.理解公式的推导过程，掌握过两点的直线的斜率公式 4.通过直线倾斜角概念的引入和直线倾斜角与斜率关系的揭示，培养学生观察、探索能力，运用数学语言表达能力，数学交流与评价能力 5.通过斜率概念的建立和斜率公式的推导，帮助学生进一步理解数形结合思想，培养学生树立辩证统一的观点，培养学生形成严谨的科学态度和求简的数学精神 1.重点:直线的倾斜角和斜率概念 2.难点:斜率概念的理解，直线倾斜角与斜率变化关系探究。
知识点01 直线的倾斜角
1.定义：平面直角坐标系中，对于一条与轴相交的直线，如果把轴绕着交点按逆时针方向旋转到和直线重合时所转的最小正角记为，则叫做直线的倾斜角.
2.规定：当直线和轴平行或重合时，直线倾斜角为，
3.范围：[0,π)
4.图形：
【即学即练1】（23-24高一下·北京顺义·阶段练习）若直线l过两点和，则直线l的倾斜角为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】不与轴垂直的直线斜率与倾斜角的关系,根据正切值求即可.
【详解】该直线不与轴垂直，设倾斜角为，
斜率,.
【即学即练2】（23-24高二上·湖北武汉·期末）若直线的斜率为，且，则直线的倾斜角为（ ）
A．或 B．或 C．或 D．或
【答案】C
【分析】根据直线的倾斜角与斜率之间的关系求解即可.
【详解】设直线的倾斜角为，则
因为，所以，
当时，即，则；
当时，即，则，
所以直线的倾斜角为或.
.
知识点02直线的斜率
1.定义：一般的，如果直线l的倾斜角为，则当时，称k=tan为直线l的斜率；当时，称直线l的斜率不存在.
2.公式：已知点、，是直线l上两个不同的点，则当时，直线l的斜率为，当时，直线l的斜率不存在.
【即学即练3】（23-24高二下·湖南邵阳·期末）已知直线的倾斜角为，则直线的斜率为（ ）
A． B． C．1 D．
【答案】D
【分析】利用直线的斜率和直线倾斜角的关系进行求解即可.
【详解】由直线的倾斜角为，
则直线的斜率，
.
【即学即练4】（23-24高二上·河北石家庄·期中）过两点和的直线的斜率为（ ）
A．3 B． C． D．
【答案】D
【分析】根据斜率公式计算得解.
【详解】由斜率公式可知，
知识点03 直线的方向向量
1.定义：一般地，如果表示非零向量a的有向线段所在的直线与直线l平行或重合 ，则称向量a为直线l的一个方向向量，记作a//l
2.性质：①如果a为直线l的一个方向向量，那么对于任意的实数λ≠0，向量λa都是l的一个方向向量，而且直线l的任意两个方向向量一定共线.
②如果A（x1，y1），B（x2，y2）是直线l上两个不同的点，则=(x2-x1,y2-y1)是直线l的一个方向向量.
③若为直线l的倾斜角，则（cos，sin）一定是直线l的一个方向向量.
④如果已知a=（u,v）为直线l的一个方向向量，则当u=0时，直线l的斜率不存在，倾斜角为90°；当u0时，直线l的斜率是存在的，直线l的斜率k=,即tan=.
【即学即练5】（23-24高二上·湖北黄石·期末）已知是直线的一个方向向量，则直线的倾斜角为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】由直线的方向向量可知直线的斜率，进而可得倾斜角.
【详解】设直线的倾斜角为，
由直线的方向向量可知直线的斜率，所以.
.
【即学即练6】（23-24高二下·全国·课堂例题）已知直线l通过点与，则直线l的一个方向向量为 .
【答案】（答案不唯一）
【分析】求出，得到答案.
【详解】由已知可得，是直线l的一个方向向量．
故答案为：（答案不唯一）
知识点04 直线的法向量
一般的，如果表示非零向量的v的有向线段所在的直线与直线l垂直，则称向量v为直线l的一个法向量，记作v⊥l，一条直线的方向向量与法向量互相垂直.
【即学即练7】（23-24高二上·上海奉贤·期末）直线的法向量可以为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】根据直线法向量与方向向量的关系，结合直线的点斜率式方程进行求解即可.
【详解】由，可得，所以直线的斜率,
所以直线的方向向量为，
当时，有，所以，不是直线的法向量，故A不正确；
当时，有，所以，不是直线的法向量，故B不正确；
当时，有，所以，不是直线的法向量，故C不正确；
当时，有，所以，是直线的法向量，故D正确.
.
【即学即练8】（23-24高二下·全国·课堂例题）若是直线的一个法向量，则直线的斜率为 ，倾斜角的大小为 ．
【答案】
【分析】由直线的法向量得到直线斜率，进而得到倾斜角.
【详解】由题意知，向量是直线的一个法向量，可得斜率为，
设直线的倾斜角为，可得，可得
则直线的倾斜角的大小为.
故答案为：；.
难点：动点问题
示例1：（23-24高二下·全国·课后作业）已知实数x，y满足，且，则的取值范围（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】作出对应图象，利用斜率与倾斜角的关系，找出其边界情况即可求解.
【详解】由于点满足关系式，且，
可知在线段上移动，且
设，则，
因为点在线段上，所以的取值范围是，
.

【题型1：直线的倾斜角】
例1．（21-22高二下·安徽芜湖·阶段练习）直线的倾斜角是（ ）
A．0 B． C． D．
【答案】A
【分析】根据倾斜角的定义判断.
【详解】直线与轴垂直，所以倾斜角为.
.
变式1．（23-24高二下·宁夏吴忠·开学考试）若直线经过、两点，则直线的倾斜角为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】求出直线的斜率，根据斜率的定义，即可求得直线的倾斜角.
【详解】直线经过、两点，则其斜率为，
设直线倾斜角为，则，
由于直线的倾斜角范围为大于等于小于，
故该直线的倾斜角为，
变式2．（23-24高二上·陕西西安·阶段练习）图中能表示直线的倾斜角的是（ ）
A．①④ B．①② C．①③ D．②④
【答案】D
【分析】根据直线的倾斜角的定义判断即可.
【详解】根据倾斜角的定义可知图①中的为直线的倾斜角，
图③中的的对顶角为直线的倾斜角，
图②中的的补角为直线的倾斜角，
图④中的为直线的倾斜角.
故符合题意的只有①③.
变式3．（2023高二上·江苏·专题练习）已知直线l的倾斜角为，则与l关于x轴对称的直线的倾斜角为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根据倾斜角的定义结合图形可得答案.
【详解】根据倾斜角的定义，并结合图形知，所求直线的倾斜角为.
.
变式4．（多选）（24-25高二上·全国·课堂例题）设直线过坐标原点，它的倾斜角为，如果将绕坐标原点按逆时针方向旋转，得到直线，那么的倾斜角可能为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】AB
【分析】分类讨论，结合倾斜角概念可解.
【详解】根据题意，画出图形，如图所示．
通过图象可知，
当时，的倾斜角为；
当时，的倾斜角为．
B
变式5．（多选）（23-24高二下·黑龙江大庆·开学考试）在平面直角坐标系中，下列说法不正确的是（ ）
A．任意一条直线都有倾斜角和斜率
B．直线的倾斜角越大，则该直线的斜率越大
C．若一条直线的倾斜角为，则该直线的斜率为
D．与坐标轴垂直的直线的倾斜角是或
【答案】ABC
【分析】由题意利用直线的倾斜角和斜率的定义，逐一判断即可.
【详解】对于A，当直线的倾斜角为时，直线没有斜率，故A错误；
对于B，当直线的倾斜角为时，斜率为，
当直线的倾斜角为时，斜率为，故B错误；
对于C，若一条直线的倾斜角为，则该直线的斜率不存在，故C错误；
对于D，当直线与轴垂直时，直线的倾斜角是，
当直线与轴垂直时，直线的倾斜角是，
即与坐标轴垂直的直线的倾斜角是或，故D正确.
BC.
变式6．（多选）（23-24高二上·河南信阳·阶段练习）下列说法中正确的是（ ）
A．若直线的倾斜角越大，则直线的斜率就越大
B．若直线的倾斜角为，则直线的斜率为
C．若，，则直线的倾斜角为
D．若直线过点，且它的倾斜角为，则这条直线必过点
【答案】DD
【分析】根据倾斜角与斜率关系，点斜式及斜截式判断各项正误即可.
【详解】A：倾斜角为锐角，斜率为正；倾斜角为钝角时，斜率为负，错；
B：直线的倾斜角为时，直线的斜率不存在，错；
C：由题设，知两点横坐标相同，直线方程为，直线的倾斜角为，对；
D：过，两点的斜率为：，对.
D.
变式7．（24-25高二上·上海·课后作业）若，则经过两点，的直线的倾斜角为 ．
【答案】
【分析】根据两点求出斜率，再结合斜率和倾斜角的关系可解.
【详解】因为，
所以
又因为，
且，
所以直线的倾斜角为.
故答案为：.
【方法技巧与总结】
求直线倾斜角的方法及关注点
（1）定义法：根据题意画出图形，结合倾斜角的定义找倾斜角.
（2）关注点：结合图形求角时，应注意平面几何知识的应用，如三角形内角和定理及其有关推论.
【题型2：直线的斜率】
例2．（23-24高二上·江西·期末）已知直线l的倾斜角为，则l的斜率为（ ）
A．1 B．45 C． D．
【答案】D
【分析】根据斜率的定义，即可求得答案.
【详解】由题意知直线l的倾斜角为，
则l的斜率为，
变式1．（23-24高二上·湖北十堰·期中）直线的斜率为（ ）
A．不存在 B． C． D．
【答案】A
【分析】根据题意，得到直线表示与轴平行的直线，即可求解.
【详解】由直线，表示与轴平行的直线，所以直线的斜率为.
.
变式2．（23-24高二上·河南郑州·期中）已知直线经过两点，直线的倾斜角是直线的倾斜角的两倍，则直线的斜率是（ ）
A．0 B．1 C．-2 D．不存在
【答案】C
【分析】由l经过两点可得直线l的倾斜角，则直线m的倾斜角可求，再根据倾斜角与斜率的关系可得斜率的值.
【详解】由l经过可得直线l的倾斜角为，所以直线m的倾斜角为，
又因为，所以直线m的斜率为1，
.
变式3．（23-24高二上·四川遂宁·阶段练习）过点和点的直线的倾斜角和斜率分别是 （ ）
A． B．不存在 C． D．
【答案】C
【分析】结合点的位置，由直线的倾斜角和斜率的概念可得.
【详解】已知和点，由两点横坐标相等，
可知直线的倾斜角为，斜率不存在.
.
变式4．（23-24高二上·广东茂名·期中）若正方形一条对角线所在直线的斜率为，写出该正方形的一条边所在直线的斜率为 ．
【答案】、（写一个即可）
【分析】设正方形的一条边所在直线的倾斜角为，设正方形一条对角线所在直线斜率为的直线的倾斜角为，可得出，分、两种情况讨论，利用两角和或差的正切公式可求出该正方形的一条边所在直线的斜率.
【详解】设正方形的一条边所在直线的倾斜角为，
设正方形一条对角线所在直线斜率为的直线的倾斜角为，
则，所以，，
由题意可知，正方形的一条边所在直线与这条对角线所在直线的夹角为，则，
当时，，则，
当时，，则，
所以，该正方形的一条边所在直线的斜率为或.
故答案为：、（写一个即可）.
变式5．（23-24高二上·福建泉州·阶段练习）在平面直角坐标系中，已知直线l上的一点向右平移1个单位长度，再向下平移3个单位长度后，仍在该直线l上，则直线l的斜率为 ．
【答案】
【分析】根据直线的移动方式求得直线的斜率.
【详解】依题意，直线l上的一点向右平移1个单位长度，再向下平移3个单位长度后，
仍在该直线l上，如下图所示，
所以直线的斜率为.
故答案为：
变式6．（23-24高二上·上海虹口·阶段练习）直线l的倾斜角满足，则直线l斜率为 .
【答案】
【分析】根据斜率的定义结合同角三角关系运算求解.
【详解】因为，且，则，
所以直线l斜率为.
故答案为：.
变式7．（2024·上海青浦·二模）已知直线的倾斜角比直线的倾斜角小，则的斜率为 ．
【答案】
【分析】根据直线方程求出直线斜率为，由此确定直线倾斜角，结合已知条件求得直线倾斜角为，由此即可求得直线的斜率.
【详解】由直线方程：得的倾斜角为，
所以的倾斜角为，即的斜率为.
故答案为：.
【方法技巧与总结】
斜率公式是最基本的求解直线斜率的方法。如有直线的两个点坐标分别为、，则该直线的斜率为:
【题型3：倾斜角与斜率的变化】
例3．（2023高二上·江苏·专题练习）如图，若直线，，的斜率分别为，，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据直线的倾斜角的大小，即可判断斜率大小.
【详解】倾斜角为锐角时，斜率为正，倾斜角越大，倾斜程度越大，斜率越大；倾斜角为钝角时，斜率为负，
所以.
变式1．（23-24高二上·福建福州·期末）已知两条直线，的斜率分别为，，倾斜角分别为.若，则下列关系正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据直线斜率与倾斜角的关系，结合正切函数的单调性即可得解.
【详解】依题意得，，，，
而在和上单调递增，且在上，，
在上，所以，即.
变式2．（24-25高二上·全国·课后作业）已知函数，若，则，，的大小关系为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】作出函数的图象，将视为函数图象上的点与原点连线的斜率，数形结合可得出、、的大小关系.
【详解】作出函数的大致图象，如图所示：

由图象可知，y轴右侧曲线上各点与原点连线的斜率随x的增大而减小，
由，得．
变式3．（23-24高二上·河南南阳·阶段练习）已知直线的倾斜角分别为30°，53°，125°，斜率分别为 ，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】由直线倾斜角与斜率的关系即可求解.
【详解】，所以，
变式4．（多选）（23-24高二上·河南南阳·期中）（多选）已知三条直线、、的斜率分别为、、，倾斜角分别为、、，且，则其倾斜角的关系可能为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】ABD
【分析】分、、、四种情况讨论，结合正切函数的单调性可得结果.
【详解】因为正切函数在上为增函数，在上也为增函数，
分以下四种情况讨论：
当时，则、、均为锐角，且；
当时，则为钝角，、均为锐角，且；
当时，则、均为钝角，为锐角，且；
当时，则、、均为钝角，且.
BD.
变式5．（2024高二·全国·专题练习）已知直线的倾斜角为，并且，直线的斜率的范围是（ ）
A． B．
C．或 D．或
【答案】D
【分析】根据倾斜角与斜率的关系可求得斜率的取值范围.
【详解】因为斜率，且，其中时直线无斜率，
当时，得；
当时，得；
.
变式6．（23-24高二上·江苏·单元测试）若直线的斜率的变化范围是，则它的倾斜角的变化范围是(　 )
A．
B．
C．
D．或
【答案】A
【分析】作出正切函数在的图象，根据斜率的范围结合图象确定出的范围.
【详解】作出正切函数在的图象如下图，

如图所示，当，即，
解得或，
即或，
.
变式7．（多选）（23-24高二上·江苏连云港·期中）已知直线，的斜率分别为2，，直线l与直线，围成一个等腰三角形，且顶角为钝角，则直线l的斜率可能是（ ）
A． B． C． D．1
【答案】ACD
【分析】借助直线斜率的定义，三角形性质求解，即可得出选项.
【详解】分别设直线，，的倾斜角为，，，则，，直线的斜率为，
将直线，平移至原点位置，设直线l与直线，分别交于点，，
当时，如图所示：
由题意知，
因为为等腰三角形，且顶角为钝角，
所以为钝角或为钝角，
若为钝角，则，
所以
，
所以直线的斜率为，故A选项正确；
若为钝角，则，

所以，
，
，
所以，
所以直线的斜率为，故C选项正确；
当时，如图所示：

因为为等腰三角形，则，
所以
，
所以由，解得或（舍），
所以，
所以直线的斜率为，故D选项正确；
CD.
变式8．（23-24高二上·湖南张家界·阶段练习）已知某直线的倾斜角，则该直线的斜率的范围为 ．
【答案】
【分析】根据倾斜角和斜率关系确定斜率范围即可.
【详解】当，斜率，
当，斜率不存在，
当，斜率，
综上，，则.
故答案为：
【方法技巧与总结】
直线都有倾斜角，但不一定都有斜率，二者的关系具体如下：
斜率k k=tanα>0 k=0 k=tanα<0 不存在
倾斜角α 锐角 0° 钝角 90°
图示
【题型4：已知斜率求参数问题】
例4．（23-24高二上·广东潮州·期末）已知斜率为的直线经过点，则（ ）
A． B． C．1 D．0
【答案】C
【分析】利用斜率公式即可求解.
【详解】因为斜率为的直线经过点，
所以，解得.
.
变式1．（23-24高二上·广东梅州·期末）若过点的直线的倾斜角为，则的值为（ ）
A． B． C． D．2
【答案】A
【分析】根据倾斜角与斜率的关系求解.
【详解】由题意得，解得，
变式2．（多选）（23-24高二上·江苏连云港·阶段练习）已知点的坐标为，在坐标轴上有一点，若，则点的坐标可以为（ ）
A． B． C． D．
【答案】CC
【分析】由题意设点B的坐标为或，根据斜率公式计算即可．
【详解】当点B在轴上时，设，由，可得，解得，，
当点B在轴上时，设，由，可得，解得，
，
所以点B坐标为或.
C.
变式3．（多选）（23-24高二上·四川·期中）若直线的斜率为，则直线的倾斜角可能为（ ）
A． B． C． D．
【答案】AD
【分析】根据二次函数性质求斜率范围，然后由正切函数图象观察可得.
【详解】记直线的倾斜角为，斜率为，
则，即，
由正切函数图象可得.
D

变式4．（23-24高二上·贵州黔南·期中）已知两点，所在直线的斜率为，则 .
【答案】
【分析】根据两点的斜率公式计算可得.
【详解】因为两点，所在直线的斜率为，
所以，解得.
故答案为：
变式5．（23-24高二上·安徽亳州·期中）过，的直线的斜率大于，则满足条件的一个a值可以为 .
【答案】（满足的一个值即可）
【分析】根据两点的斜率公式计算可得.
【详解】因为过，的直线的斜率大于，所以，
则，解得．
故答案为：（满足的一个值即可）
变式6．（23-24高二上·全国·课后作业）已知，若直线与直线的斜率分别为和，则点的坐标为 ．
【答案】
【分析】根据直线的斜率列方程，由此求得点的坐标.
【详解】设，显然，则，
解得，所以.
故答案为：
变式7．（22-23高二下·安徽·开学考试）已知点，在曲线图像上，且，两点连线的斜率为2，请写出满足条件的一组点 ， ．
【答案】
【分析】根据，在曲线上，设出点，的坐标，由，两点连线的斜率得出，的坐标关系，即可得到满足条件的一组点.
【详解】由题意，
在中，点，在曲线上，
设，，
，两点连线的斜率为2，
∴，
解得：，
∴当时，，．
故答案为：，.
【题型5：过两点求斜率取值范围】
例5．（24-25高二上·江苏徐州·开学考试）已知点，，若，则直线的倾斜角的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据题意，设直线的倾斜角为，由的坐标求出直线的斜率，结合的范围可得即的取值范围，
再利用正切函数的性质分析可得的范围，即可得答案.
【详解】解：根据题意，设直线的倾斜角为，
点，，则直线的斜率，
又由，则的取值范围为，，
即的范围为，，
又由，则
.
变式1．（21-22高二上·辽宁大连·阶段练习）直线l经过， 两点，那么直线l的倾斜角的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】利用斜率的定义得到，根据倾斜角，求出答案.
【详解】因为两点横坐标不同，故倾斜角不为，
由题意得，
因为，所以.
变式2．（23-24高二上·全国·课后作业）已知直线过点，直线的倾斜角为锐角时的取值范围为 ．
【答案】
【分析】根据倾斜角为锐角得到，解得答案.
【详解】由于直线的倾斜角为锐角，故，解得.
故答案为：.
变式3．（21-22高二上·安徽芜湖·期中）已知曲线，则的取值范围是 ．
【答案】
【分析】首先画出函数的图象，表示曲线上的点 与连线的斜率，求出临界点处的斜率，即可求出的取值范围.
【详解】函数，
则函数在上单调递增，在上单调递减，函数图象如下所示：
当时，即，当时，则，
表示曲线上的点 与连线的斜率，令，
又，，
由图可得或，
即的取值范围为.
故答案为：
变式4．（23-24高二上·全国·课后作业）求经过两点，的直线l的斜率．
【答案】答案见解析
【分析】由斜率的概念以及过两点的斜率公式可直接求解，注意讨论斜率不存在的情况.
【详解】当，即时，直线l垂直于x轴，其斜率不存在；
当，即时，直线l的斜率．
变式5．（23-24高二上·全国·课后作业）已知直线过点.
(1)当为何值时，直线的斜率是
(2)当为何值时，直线的倾斜角为？求此时直线的一个方向向量．
【答案】(1)
(2)，此时直线的一个方向向量为.
【分析】
（1）根据直线的斜率列方程，从而求得.
（2）根据直线的倾斜角列方程，由此求得，并求得此时直线的一个方向向量.
【详解】（1）依题意，且，解得.
（2）若直线的倾斜角为，则，
此时直线的方程为，与轴平行，
所以此时直线的一个方向向量为.
变式6．（23-24高二上·四川·阶段练习）已知坐标平面内两点.
(1)当直线的倾斜角为锐角和钝角时，分别求出的取值范围；
(2)若直线的方向向量为，求的值.
【答案】(1)答案见解析．
(2)
【分析】（1）由斜率为正或为负求解；
（2）由坐标得方向向量，然后利用向量共线得结论．
【详解】（1）直线的倾斜角为锐角时，，解得，
直线的倾斜角为钝角时，，解得或，
所以直线的倾斜角为锐角时，，为钝角时，或；
（2）由已知，又直线的方向向量为，
所以，解得．
【题型6：动直线与线段相交问题】
例6．（24-25高二上·陕西西安·开学考试）已知点，，若过点的直线与线段AB相交，则该直线斜率的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】首先求出直线、的斜率，然后结合图象即可写出答案．
【详解】解：记为点，直线的斜率，直线的斜率，
因为直线l过点，且与线段相交，
结合图象，可得直线的斜率的取值范围是．
．
变式1．（21-22高二上·北京·阶段练习）已知，若点在线段上，则的最小值为（ ）
A．1 B． C． D．
【答案】D
【分析】利用两点连线的斜率公式知表示点和点连线的斜率，再数形结合，即可求出结果.
【详解】如图，因为表示点和点连线的斜率，
又，所以，，
由图知，的最小值为，

.
变式2．（23-24高二上·福建厦门·期中）已知两点，，过点的直线与线段（含端点）有交点，则直线的斜率的取值范围为（ ）
B．
C． D．
【答案】A
【分析】画出图像，数形结合，根据倾斜角变化得到斜率的取值范围.
【详解】如图所示，

直线逆时针旋转到的位置才能保证过点的直线与线段有交点，
从转到过程中，倾斜角变大到，斜率变大到正无穷，
此时斜率，所以此时；
从旋转到过程中，倾斜角从开始变大，斜率从负无穷开始变大，
此时斜率，所以此时，
综上可得直线的斜率的取值范围为.
变式3．（2022高三·全国·专题练习）已知点、、， 过点C的直线l与线段AB有公共点，则直线l的斜率k的取值范围是（　　）
A． B．
C． D．以上都不对
【答案】D
【分析】过点C的直线l与线段AB有公共点，利用数形结合，得到直线l的斜率或，进而求解即可
【详解】如图，过点C的直线l与线段AB有公共点，则直线l的斜率或，
而，于是直线l的斜率或，
所以直线l斜率k的取值范围是，
变式4．（多选）（23-24高二上·陕西安康·期末）已知直线过点且与线段的延长线有公共点，若，，则直线的斜率的取值可以是（ ）
A． B．0 C． D．
【答案】ABC
【分析】先作出直线与线段的延长线，再结合图像观察即可得解.
【详解】由图像可知：要使直线与线段的延长线有公共点，
则，
又，
则直线的斜率的取值范围是.
BC.
变式5．（23-24高二上·全国·期中）已知点，，若直线过点，且与线段有交点，则直线的斜率的取值范围是 ．
【答案】
【分析】根据题意，利用斜率公式，分别求得线和直线的斜率，结合图象，即可求解.
【详解】由题意，点，直线过点，
可得直线的斜率为，直线的斜率为，
如图所示，要使得直线与线段有交点，
则直线的斜率的取值范围为.
故答案为：.
变式6．（22-23高二上·江苏镇江·阶段练习）已知直线和以为端点的线段无公共点，则实数的取值范围为
【答案】
【分析】求出直线恒过的定点，再求出恰好过点时的直线斜率，从而数形结合即可求得实数的取值范围.
【详解】直线恒过定点，
则，，
若直线和以为端点的线段有公共点，
则或，
所以直线和以为端点的线段无公共点时，.
故答案为：.
【方法技巧与总结】
利用直线上两点确定直线的倾斜角，应从斜率存在、不存在两方面入手分类讨论．斜率不存在的情况在解题中容易忽视，应引起注意.
【题型7：三点共线问题】
例7．（2020高三·全国·专题练习）若平面内三点A(1，－a)，B(2，a2)，C(3，a3)共线，则a（ ）
A．1±或0 B．或0
C． D．或0
【答案】A
【分析】根据三点共线的条件之斜率相等，可求得选项．
【详解】由题意知kABkAC，即，即a(a2－2a－1)0，解得a0或a1±.
．
【点睛】本题考查两点的斜率公式的应用，属于基础题．
变式1．（23-24高二下·甘肃武威·开学考试）若三点，，共线，则 .
【答案】
【分析】由三点共线可得其中任意两点的直线斜率相等，列出方程解之即得.
【详解】由题意，直线的斜率为，直线的斜率为：，
因三点共线，故，即，解得：.
故答案为：.
变式2．（2023高二上·江苏·专题练习）若三点，， (其中)共线，则 .
【答案】
【分析】依题意可得，利用斜率公式得到方程，解得即可.
【详解】由于，，三点共线且、，
显然、的斜率存在，则，
所以，所以，所以.
故答案为：
变式3．（22-23高二·全国·课堂例题）已知，判断A，B，C是否共线．
【答案】A，B，C不共线．
【分析】首先求出与的坐标，再根据平面向量共线定理判断即可.
【详解】因为，，
又因为，所以与不共线，从而A，B，C不共线．
变式4．（20-21高二上·宁夏吴忠·阶段练习）已知，，三点．
（1）若过A，C两点的直线的倾斜角为，求m的值．
（2）A，B，C三点可能共线吗？若能的，求出m值；若不能，请说明理由．
【答案】（1）；（2）能共线，.
【分析】（1）利用直线的倾斜角和斜率的关系，以及斜率公式得tan45°=1= ， 即可求得m的值；
（2）三点共线，则任过两点的直线的斜率相等，根据斜率公式，可求m的值.
【详解】（1）过A，C两点的直线的斜率为 ，
又直线AC的倾斜角为，所以，得.
（2），，
若，，三点共线，则有，即，解得，
所以A，B，C三点能共线，且.
【点睛】本题考查了斜率公式，考查了斜率与倾斜角的关系；判断A、B、C三点共线的方法.
【方法技巧与总结】
三点共线问题
1.已知三点A，B，C，若直线AB，AC'的斜率相同，则三点共线.
2.三点共线问题也可利用线段相等来求，若|AB|＋|BC|=|AC|，也可断定A，B，C三点共线.
3.利用向量和向量共线也能断定A，B，C三点共线.
一、单选题
1．（23-24高二上·陕西咸阳·期中）已知点，点，则直线的倾斜角是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】求出直线的斜率，结合斜率与倾斜角的关系可求得直线的倾斜角.
【详解】设直线的倾斜角为，则，
由斜率公式可得，因此，.
.
2．（23-24高二上·全国·课后作业）若过点和的直线的斜率为，则a的值为（ ）
A．4 B．0
C． D．1
【答案】C
【分析】根据题意结合斜率计算公式运算求解.
【详解】由题意可得：，解得.
.
3．（23-24高二上·河南南阳·阶段练习）已知直线l1上有两点,直线的倾斜角是直线倾斜角的2倍，则直线的斜率为 （ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据两点求解斜率，即可根据二倍角公式求解.
【详解】由得,设的倾斜角为，
所以，
故，
故直线的斜率为，
4．（23-24高二上·新疆·期中）经过的直线l在x轴上的截距的取值范围为，则直线l的斜率k的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】求出端点处的直线l的斜率，从而求出斜率k的取值范围.
【详解】由直线l在x轴上的截距的取值范围为，
l过点的斜率，
l过点的斜率，

故直线l的斜率k的取值范围为.
5．（23-24高二上·江苏常州·期中）若过，两点的直线的倾斜角为，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据两点间斜率公式，结合斜率与倾斜角的关系可得解.
【详解】过，两点的直线的斜率，
又直线的倾斜角为，即，
所以，解得，
.
6．（23-24高二上·山西吕梁·阶段练习）斜率为的直线的倾斜角所在的范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据斜率与倾斜角的关系判断．
【详解】由题意，而，所以，
．
7．（23-24高二上·安徽合肥·期中）直线的倾斜角为（ ）
A． B． C． D．不存在
【答案】A
【分析】由直线在坐标平面内位置判断倾斜角.
【详解】因为直线平行于轴，所以倾斜角为.
.
8．（23-24高二上·江苏镇江·期中）已知直线经过点，且不经过第三象限，则直线的斜率的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】直接根据图像观察可得直线斜率的取值范围.
【详解】因为直线经过点，且不经过第三象限
所以，
又，
所以.
.
二、多选题
9．（23-24高二上·福建泉州·阶段练习）过点作直线，使得直线和连接点的线段总有公共点，则直线的倾斜角可能是（ ）
A． B． C． D．
【答案】AD
【分析】由题意画出图形，数形结合即能求出使直线与线段有公共点的直线的斜率的范围与倾斜角的范围.
【详解】
由题意，，，
且直线与连接点的线段总有公共点，如下图所示，
所以，即
又因为．故.
D．
10．（21-22高二上·江苏南通·期中）若经过和的直线的倾斜角为钝角，则实数的值不可能为（ ）
A． B． C． D．
【答案】CCD
【分析】利用求出的范围即可.
【详解】据题意可知，
即，所以．
CD．
11．（20-21高二·全国·课后作业）以下四个命题正确的是（ ）
A．若直线的斜率存在，则必有倾斜角与之对应
B．若直线的倾斜角存在，则必有斜率与之对应
C．坐标平面上所有的直线都有倾斜角
D．坐标平面上并不是所有直线都有斜率
【答案】ACD
【分析】由直线的斜率与倾斜角的关系可得答案.
【详解】有意义，则倾斜角必存在，所以A正确，
若，则不存在，所以B错误，C，D正确．
CD.
三、填空题
12．（23-24高二上·上海·期末）直线的斜率的取值范围为，则其倾斜角的取值范围是 .
【答案】
【分析】由斜率的定义及正切函数的性质，即可求得结果.
【详解】设直线的倾斜角为，斜率为，因为，
又因为，所以，
故答案为：.
13．（23-24高二上·江苏扬州·阶段练习）经过两点 的直线的倾斜角为，则
【答案】/
【分析】根据斜率列方程，由此求得.
【详解】倾斜角为，斜率为，
所以，
解得.
故答案为：
14．（23-24高二上·广西河池·阶段练习）若直线的斜率满足，则直线的倾斜角的取值范围是 ．
【答案】
【分析】根据题意斜率的定义结合正切函数分析求解.
【详解】由直线斜率和倾斜角关系知：，即，解得，
所以直线倾斜角的取值范围为．
故答案为：.
四、解答题
15．（24-25高二上·全国·课后作业）已知直线l经过两点，，问：当m取何值时：
(1)直线l与x轴平行？
(2)直线l与y轴平行？
(3)直线的倾斜角为？
(4)直线的倾斜角为锐角？
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)
【分析】（1）直线l与x轴平行，则直线的斜率，据此可以求m的值；
（2）直线l与y轴平行，则直线l的斜率不存在，据此可以得出m的值；
（3）直线的倾斜角为，则直线的斜率，据此可以求m的值；
（4）直线的倾斜角为锐角，则直线的斜率，据此可以求出m的范围.
【详解】（1）若直线l与x轴平行，则直线l的斜率，
所以.
（2）若直线l与y轴平行，则直线l的斜率不存在，
所以.
（3）由题意可知，直线l的斜率，即，
解得.
（4）由题意可知，直线l的斜率，即，解得.
16．（23-24高二上·河南南阳·阶段练习）已知直线过点，.
(1)若直线的倾斜角为，求实数的值；
(2)若直线的倾斜角为钝角，求实数的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据斜率公式和斜率为倾斜角的正切值可得.
（2）倾斜角为钝角时，斜率小于，再利用斜率公式可得.
【详解】（1）由题意得，得.
（2）由题意得，得，
故实数的取值范围为
17．（23-24高二上·四川巴中·阶段练习）已知坐标平面内三点，，.
(1)求直线AC的倾斜角；
(2)若D为的AB边上一动点，求直线CD的倾斜角的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由两点式斜率公式求出斜率，然后根据斜率与倾斜角的关系求解即可
（2）数形结合，利用两点式斜率公式，根据斜率与倾斜角变化的规律分析求解即可.
【详解】（1）由，得，
因为斜率等于倾斜角的正切值，且倾斜角的范围是，所以直线AC的倾斜角为.
（2）如图，当直线CD绕点C由CA逆时针转到CB时，直线CD与线段AB恒有交点，即D在线段AB上，

此时由增大到，又，，所以的取值范围为，
即直线CD的倾斜角的取值范围为.
18．（23-24高二上·湖北·阶段练习）已知坐标平面内两点．
(1)当直线的倾斜角为锐角时，求的取值范围；
(2)若直线的方向向量为，求的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）结合两点式求斜率，解不等式即可得出答案；
（2）根据方向向量得，解方程即可得出答案.
【详解】（1）因为倾斜角为锐角，则，又
即，解得．
（2）直线的方向向量为
19．（22-23高二上·全国·课后作业）已知点，，点在线段上.
(1)求直线的斜率；
(2)求的最大值.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用两点斜率公式可直接解答；
（2）先确定满足的关系式，然后利用基本不等式可直接解答.
【详解】（1）由题意知，直线的斜率.
（2）当点在两点之间时，
由点在线段上，
易知，即，
即，
当P与重合时也满足，
因此，
亦即，且，
所以，
，
当且仅当，即时，等号不成立.
故的最大值为.
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