资源简介

2.2.3两条直线的位置关系
课程标准 学习目标
1.能根据两条直线的斜率判定这两条直线平行或垂直 2.能用解方程组的方法求两条相交直线的交点坐标: 3.掌握两点间的距离公式、点到直线的距离公式，会求两条平行直线间的距离 1.掌握两条直线平行的条件: 2.能应用两条直线平行的条件解题.
知识点01 两条直线的相交、平行与重合
1.若直线l1：y=k1x+b1,l2：y=k2x+b2,则两条直线的位置关系，可以用方程组的解的情况进行判断，得出结论：①l1与l2相交：;②l1与l2平行：且;③l1与l2重合：且
2.设直线l1：A1x+B1y+C1=0,l2：A2x+B2y+C2=0,则两条直线的位置关系可以用法向量来处理.
因为v1=(A1,B1)是直线l1的一个法向量，v2=(A2,B2)是直线l2的一个法向量，则：
①l1与l2相交（只有一个交点）的充要条件是v1与v2不共线，即A1B2≠A2B1
②l1与l2平行或重合的充要条件是v1与v2共线，即A1B2=A2B1，其中l1与l2重合的充要条件是，存在实数
A1=λA2，B1=λB2，C1=λC2。
直线Ax+By+C1=0与直线Ax+By+C2=0平行的充要条件是C1≠C2，重合的充要条件C1=C2
【即学即练1】（23-24高二上·新疆·期末）直线与平行，则（ ）
A． B．0 C．1 D．2
【即学即练2】（24-25高二上·全国·课后作业）根据下列给定的条件，判断直线与直线是否平行．
(1)经过点，，经过点，；
(2)的倾斜角为80°，经过点，．
知识点02两条直线的垂直
一般地，若已知平面直角坐标系中的直线l1：y=k1x+b1,l2：y=k2x+b2,（k1，k2存在且不为0）可得l1⊥l2，则=-1.
设直线l1：A1x+B1y+C1=0,l2：A2x+B2y+C2=0,因为v1=(A1,B1)是l1直线的一个法向量，v2=(A2,B2)是l2直线的一个法向量，所以l1⊥l2，则v1⊥v2，则A1A2+B1B2=0.
【即学即练3】（23-24高二上·重庆长寿·期末）已知两条直线和互相垂直，则a .
【即学即练4】（24-25高二上·上海·课后作业）经过直线：和：的交点，且与直线垂直的直线方程为 ．
难点：分类讨论思想的运用
示例1：（22-23高二上·四川雅安·阶段练习）已知点，直线将四边形分割为面积相等的两部分，则的取值范围是 ．
【题型1：平行垂直关系的判定】
例1．（22-23高二上·全国·课后作业）下列说法中正确的有（ ）
A．若两直线平行，则两直线的斜率相等
B．若两直线的斜率相等，则两直线平行
C．若两直线的斜率乘积等于，则两直线垂直
D．若两直线垂直，则两直线的斜率乘积等于
变式1．（2023高二·上海·专题练习）已知直线和，则（　　）
A．m和n可能重合
B．m和n不可能垂直
C．存在直线m上一点P，以P为中心旋转后与n重合
D．以上都不对
变式2．(多选)（23-24高二上·江西九江·期末）设，对于直线：，下列说法中正确的是（ ）
A．的斜率为 B．在轴上的截距为
C．不可能平行于轴 D．与直线垂直
变式3．（多选）（23-24高二上·全国·课后作业）下列各直线中，与直线平行的是（ ）
A． B．
C． D．
变式4．（23-24高二下·全国·课前预习）直线，那么与 .
变式5．（24-25高二上·上海·课堂例题）已知，则直线：和直线：的位置关系为 ．
变式6．（24-25高二上·全国·课前预习）判断下列两条直线是否垂直．
(1)直线的斜率为，直线经过点，；
(2)直线经过点，，直线经过点，；
(3)直线的法向量为，直线的法向量为．
【方法技巧与总结】
判断两条直线是否平行的步骤：
看斜率：
1.斜率都不存在看横截距：①横截距相等时：两条直线重合②横截距不相等时：两条直线平行
2.斜率存在看斜率是否相等：①斜率相等时看纵截距：1）纵截距相等：两条直线重合，2）纵截距不相等时：两条直线平行.
②斜率不相等时，两条直线不平行.
【题型2：由平行关系求参数】
例2．（24-25高三上·湖北·开学考试）已知两条直线，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
变式1．（24-25高二上·全国·课后作业）已知点，，，，且直线AB与直线CD平行，则m的值为（ ）
A．或0 B．0或1 C．1 D．2
变式2．（24-25高二上·全国·课后作业）已知，，三点，且有一点D满足，，则点D的坐标为（ ）
A． B． C． D．
变式3．（23-24高二下·安徽芜湖·阶段练习）“”是“直线与直线平行”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
变式4．（23-24高二下·山西长治·阶段练习）已知直线与直线平行，则（ ）
A． B． C． D．
变式5．（23-24高三下·上海浦东新·期中）“”是“直线与直线平行”的（ ）
A．充分非必要条件 B．必要非充分条件
C．充要条件 D．既非充分又非必要条件
变式6．（23-24高二下·上海·阶段练习）已知平行四边形中，一组对边、所在直线的方程分别为，，求实数的值 .
变式7．（23-24高二下·上海·期中）已知直线，，根据下列条件分别求实数的取值范围．
(1)与相交；
(2)与重合．
【方法技巧与总结】
设直线l1：y=k1x+b1,l2：y=k2x+b2,则有
1.l1与l2的斜率都存在，分别为，k1，k2则l1//l2k1=k2,
2.设直线l1：A1x+B1y+C1=0,l2：A2x+B2y+C2=0，l1//l2A1B2=A2B1,且直线不重合
【题型3：由垂直关系求参数】
例3．（24-25高三上·江苏宿迁·阶段练习）已知，，直线和垂直，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
变式1．（23-24高二上·福建莆田·期中）若直线与直线垂直.则（ ）
A．1 B． C．0 D．0或
变式2．（2024·河南·三模）已知直线与直线垂直，则（ ）
A． B．
C． D．
变式3．（多选）（23-24高二下·浙江·期中）已知直线和直线，则下列说法正确的是（ ）
A．若，则表示与轴平行或重合的直线
B．直线可以表示任意一条直线
C．若，则
D．若，则
变式4．（23-24高二下·上海·期中）若直线和直线垂直，则 ．
变式5．（24-25高二上·广西·开学考试）已知直线，直线.
(1)若 ，求实数的值；
(2)若，求实数的值.
变式6．（23-24高二下·上海·期中）已知点，．
(1)设，若直线与直线垂直，求的值；
(2)求过点且与直线夹角的余弦值为的直线方程．
变式7．（24-25高二上·全国·课后作业）已知直线的斜率为1，若直线，则直线的倾斜角为 ．
【方法技巧与总结】
1.设直线l1：y=k1x+b1,l2：y=k2x+b2,则有
对应关系 l1与l2的斜率都存在，分别为，k1，k2则l1⊥l2k1k2=-1 l1与l2中的一条斜率不存在，另一条斜率为0，则l1与l2的位置关系是l1⊥l2
图示
设直线l1：A1x+B1y+C1=0,l2：A2x+B2y+C2=0，l1⊥l2A1A2+B1B2=0
【题型4：由平行关系求直线方程】
例4．（23-24高二下·四川南充·阶段练习）与直线平行且过点的直线方程是（ ）
A．
B．
C．
D．
变式1．（2024高二上·全国·专题练习）过点且与平行的直线方程是（ ）
A． B．
C． D．
变式2．（23-24高二上·青海西宁·期末）经过点，且与直线平行的直线方程是（ ）
A． B．
C． D．
变式3．（20-21高二上·天津北辰·期末）过点且与直线平行的直线方程是（ ）
A． B．
C． D．
变式4．（23-24高二上·北京西城·期末）过点且与直线平行的直线方程为 .
变式5．（23-24高二上·安徽蚌埠·期末）求过两条直线与的交点，且分别满足下列条件的直线方程.
(1)过点；
(2)平行于直线.
【方法技巧与总结】
当所求直线与已知直线Ax＋By＋C0平行时，可设所求直线为Ax＋By＋λ0(λ为参数，且λ≠C)，再结合其他条件求出λ，即得所求直线方程．
【题型5：由垂直关系求直线方程】
例5．（23-24高二上·吉林延边·期中）过两条直线，的交点，且与直线垂直的直线的方程为（ ）
A． B．
C． D．
变式1．（多选）（23-24高二上·四川成都·期末）已知的顶点，边上的中线所在直线方程为，边上的高所在直线方程为，则下列说法正确的有（ ）
A．过点且平行于的直线的方程为
B．直线的方程为
C．点的坐标为
D．边的垂直平分线的方程为
变式2．（24-25高二上·江苏徐州·开学考试）直线过点且与直线垂直，则直线与坐标轴围成的三角形面积为
变式3．（23-24高二下·河北张家口·开学考试）过直线与的交点，且垂直于直线的直线方程是 ．
变式4．（23-24高二上·北京·期中）经过点且与直线垂直的直线方程为 .
变式5．（23-24高二上·四川成都·期中）已知的两顶点坐标为，，是边的中点，是边上的高．
(1)求所在直线的方程；
(2)求高所在直线的方程.
变式6．（23-24高二上·四川成都·阶段练习）已知直线经过点，求分别满足下列条件直线的方程：
(1)垂直于直线；
(2)平行于直线.
变式7．（23-24高二下·全国·课后作业）已知点和直线l： ，求：
(1)过点A且与直线l平行的直线的点斜式方程；
(2)过点A且与直线l垂直的直线的点斜式方程.
变式8．（23-24高二上·甘肃白银·期中）已知的三个顶点坐标分别为，，，求：
(1)边所在直线的方程；
(2)边的垂直平分线所在直线的方程．
变式9．（23-24高二上·广东珠海·期末）已知的三个顶点是，，．
(1)求边上的中线的直线方程；
(2)求边上的高的直线方程
(3)求AC边的垂直平分线
【方法技巧与总结】
当所求直线与已知直线Ax＋By＋C0垂直时，可设所求直线为Bx－Ay＋λ0(λ为参数)，再结合其他条件求出λ，即得所求直线方程．　
一、单选题
1．（24-25高二上·全国·课后作业）已知直线l：，若轴，则下列结论正确的是（ ）
A．，， B．，，
C．，， D．，，
2．（24-25高二上·全国·课后作业）过点和点的直线与直线的位置关系是（ ）
A．相交但不垂直 B．平行 C．重合 D．垂直
3．（24-25高二上·上海·随堂练习）已知是直线：外一点，则方程与的倾斜角（ ）
A．相等 B．互余 C．互补 D．不相等
4．（23-24高二下·上海杨浦·期末）“”是“直线与直线互相垂直”的（ ）．
A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分也非必要条件
5．（23-24高二下·江西·开学考试）过点且与直线平行的直线方程是（ ）
A． B．
C． D．
6．（23-24高二上·福建厦门·期末）已知直线的倾斜角为，直线过点，若，则在轴上的截距为（ ）
A． B． C．2 D．
7．（23-24高二上·湖南益阳·期末）已知直线和互相平行，则的值是（ ）
A． B． C．1 D．4
8．（23-24高二上·浙江金华·期末）过点且与直线垂直的直线方程是（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
9．（22-23高二上·安徽马鞍山·期末）若三条直线可以围成一个三角形，则实数的值可以为（ ）
A． B．0 C．1 D．3
10．（19-20高二·全国·课后作业）设平面内四点，，，，则下面四个结论正确的是（ ）
A． B． C． D．
11．（22-23高二上·安徽·阶段练习）已知的顶点坐标分别为，则（ ）
A．为直角三角形
B．过点P斜率范围是的直线与线段有公共点
C．是的一条中位线所在直线方程
D．是的一条高线所在直线的方程
三、填空题
12．（23-24高二上·内蒙古赤峰·期末）过点且与直线垂直的直线方程是 .
13．（23-24高二上·江苏淮安·期末）直线过点且与直线平行，则直线与，轴围成的三角形面积为 .
14．（23-24高二上·全国·课后作业）已知直线的倾斜角为，直线，则直线的斜率为 ．
四、解答题
15．（23-24高二下·全国·课堂例题）判断下列各组直线的位置关系，如果相交，求出交点坐标：
(1)，；
(2)，；
(3)，；
(4)，．
16．（23-24高二上·山东·期中）已知直线过点．
(1)若在两坐标轴上的截距相等，求的方程；
(2)设为坐标原点，若与轴正半轴交于点与轴正半轴交于点，求面积的最小值．
17．（23-24高二上·河北张家口·阶段练习）菱形的顶点的坐标分别为边所在直线过点.
(1)求边所在直线的方程；
(2)求对角线所在直线的方程.
18．（23-24高二上·福建厦门·期中）如图，已知平行四边形的三个顶点的坐标为，，.

(1)求平行四边形的顶点的坐标；
(2)在中，求边上的高线所在直线方程.
19．（22-23高二上·浙江温州·期中）已知直线 （）交轴正半轴于，交轴正半轴于．
(1)为坐标原点，求的面积最小时直线的方程；
(2)设点是直线经过的定点，求的值最小时直线的方程．
21世纪教育网(www.21cnjy.com)2.2.3两条直线的位置关系
课程标准 学习目标
1.能根据两条直线的斜率判定这两条直线平行或垂直 2.能用解方程组的方法求两条相交直线的交点坐标: 3.掌握两点间的距离公式、点到直线的距离公式，会求两条平行直线间的距离 1.掌握两条直线平行的条件: 2.能应用两条直线平行的条件解题.
知识点01 两条直线的相交、平行与重合
1.若直线l1：y=k1x+b1,l2：y=k2x+b2,则两条直线的位置关系，可以用方程组的解的情况进行判断，得出结论：①l1与l2相交：;②l1与l2平行：且;③l1与l2重合：且
2.设直线l1：A1x+B1y+C1=0,l2：A2x+B2y+C2=0,则两条直线的位置关系可以用法向量来处理.
因为v1=(A1,B1)是直线l1的一个法向量，v2=(A2,B2)是直线l2的一个法向量，则：
①l1与l2相交（只有一个交点）的充要条件是v1与v2不共线，即A1B2≠A2B1
②l1与l2平行或重合的充要条件是v1与v2共线，即A1B2=A2B1，其中l1与l2重合的充要条件是，存在实数
A1=λA2，B1=λB2，C1=λC2。
直线Ax+By+C1=0与直线Ax+By+C2=0平行的充要条件是C1≠C2，重合的充要条件C1=C2
【即学即练1】（23-24高二上·新疆·期末）直线与平行，则（ ）
A． B．0 C．1 D．2
【答案】A
【分析】由两直线平行得斜率相等且截距不等，即可得解.
【详解】直线与平行，且的斜率为2，
它们在轴上的截距不相等，且直线的斜率也为2，
即.
.
【即学即练2】（24-25高二上·全国·课后作业）根据下列给定的条件，判断直线与直线是否平行．
(1)经过点，，经过点，；
(2)的倾斜角为80°，经过点，．
【答案】(1)
(2)或与重合
【分析】（1）由，且A，B，C，D，四点不共线，可判断；
（2）由，可判断.
【详解】（1）设两直线，的斜率分别为，．
由题意知，．
因为，又，
所以，所以A，B，C三点不共线，所以A，B，C，D四点不共线，
所以．
（2）设两直线，的斜率分别为，．
由题意知，．
所以，所以或与重合．
知识点02两条直线的垂直
一般地，若已知平面直角坐标系中的直线l1：y=k1x+b1,l2：y=k2x+b2,（k1，k2存在且不为0）可得l1⊥l2，则=-1.
设直线l1：A1x+B1y+C1=0,l2：A2x+B2y+C2=0,因为v1=(A1,B1)是l1直线的一个法向量，v2=(A2,B2)是l2直线的一个法向量，所以l1⊥l2，则v1⊥v2，则A1A2+B1B2=0.
【即学即练3】（23-24高二上·重庆长寿·期末）已知两条直线和互相垂直，则a .
【答案】
【分析】由两直线互相垂直斜率间的关系，求的值.
【详解】直线斜率为3，直线和互相垂直，
则直线的斜率.
故答案为：
【即学即练4】（24-25高二上·上海·课后作业）经过直线：和：的交点，且与直线垂直的直线方程为 ．
【答案】
【分析】首先求两条直线的交点，再利用垂直关系，利用待定系数法求直线方程.
【详解】联立，得，
设与直线垂直的直线方程为，
得，得，
所以直线方程为.
故答案为：
难点：分类讨论思想的运用
示例1：（22-23高二上·四川雅安·阶段练习）已知点，直线将四边形分割为面积相等的两部分，则的取值范围是 ．
【答案】
【分析】分和两种情况进行讨论，根据面积关系结合等腰梯形的对称性从而可得的取值范围.
【详解】显然四边形为等腰梯形，
因为，根据等腰梯形的对称性可知：当或时不符合题意，所以，
当时，设直线与y轴的交点，
根据等腰梯形的对称性可得符合题意；
当时，设直线与梯形上、下底分别交于M、N，
因为三角形与三角形全等，
所以直线将四边形分割为面积相等的两部分；

当时，设直线与轴交于点，与梯形两腰交于，
直线将四边形分割为面积相等的两部分，则该直线与梯形的两腰交于，
可知：直线，
联立，解得，即，
同理可得：，
由题意可得：，
整理得，且，解得；

综上所述：的取值范围是.
故答案为：.
【点睛】关键点睛：利用等腰梯形的对称性，并分类讨论和数形结合处理问题.
【题型1：平行垂直关系的判定】
例1．（22-23高二上·全国·课后作业）下列说法中正确的有（ ）
A．若两直线平行，则两直线的斜率相等
B．若两直线的斜率相等，则两直线平行
C．若两直线的斜率乘积等于，则两直线垂直
D．若两直线垂直，则两直线的斜率乘积等于
【答案】D
【分析】根据直线斜率与位置关系的相关知识直接判断即可.
【详解】对于A，两直线平行，可以是斜率都不存在，所以A错误；
对于B，若两直线的斜率相等，则两直线平行或重合，所以B错误；
对于C，若两直线的斜率乘积等于，则两直线垂直，故C正确；
对于D，若两直线垂直，可能是一条直线斜率为0，另一条直线斜率不存在，则不是两直线的斜率乘积等于，故D错误；
变式1．（2023高二·上海·专题练习）已知直线和，则（　　）
A．m和n可能重合
B．m和n不可能垂直
C．存在直线m上一点P，以P为中心旋转后与n重合
D．以上都不对
【答案】D
【分析】A选项求出直线m与直线n的斜率判断；B选项由斜率之积是否为判断；C选项由两直线不平行，得出两直线相交判断.
【详解】对A，直线，斜率为；
直线，斜率为；
，所以m和n不可能重合，A错误；
对B，时，，m和n垂直，所以B错误；
对C，由知m和n不平行，设m、n相交于点P，
则直线m以P为中心旋转后与n重合，所以C正确．
．
变式2．(多选)（23-24高二上·江西九江·期末）设，对于直线：，下列说法中正确的是（ ）
A．的斜率为 B．在轴上的截距为
C．不可能平行于轴 D．与直线垂直
【答案】CD
【分析】根据已知条件，结合直线的斜率、截距的定义，以及直线垂直的性质，即可求解．
【详解】对于A，直线：，
则的斜率为，故A错误；
对于B，令，解得，
故在轴上的截距为，故B正确；
对于C，当时，直线：，平行于轴，故C错误；
对于D，当时，直线与直线显然垂直，
当时，直线的斜率为，
直线的斜率为，
所以，故D正确．
D．
变式3．（多选）（23-24高二上·全国·课后作业）下列各直线中，与直线平行的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】ABC
【分析】根据直线平行的充要条件一一判定即可.
【详解】两直线，
其平行的充要条件为且或，
对于A项，易知且，即A正确；
对于B项，易得，有且，即B正确；
对于C项，易知且，即C正确；
对于D项，易知，D项不符合.
BC
变式4．（23-24高二下·全国·课前预习）直线，那么与 .
【答案】平行
【分析】根据两条直线斜率关系即可判断.
【详解】由题可得，且与不重合，所以与平行；
故答案为：平行
变式5．（24-25高二上·上海·课堂例题）已知，则直线：和直线：的位置关系为 ．
【答案】垂直或重合
【分析】求出值，再代入方程并确定位置关系即得.
【详解】由，得或，
当时，：，：，，，
显然，所以直线与垂直；
当时，：，：，所以直线与重合．
故答案为：垂直或重合
变式6．（24-25高二上·全国·课前预习）判断下列两条直线是否垂直．
(1)直线的斜率为，直线经过点，；
(2)直线经过点，，直线经过点，；
(3)直线的法向量为，直线的法向量为．
【答案】(1)垂直
(2)垂直
(3)垂直
【分析】（1）根据斜率关系判断两直线是否垂直；
（2）根据斜率关系判断两直线是否垂直；
（3）根据法向量关系判断两直线是否垂直.
【详解】（1）直线的斜率，直线的斜率，因为，所以与垂直．
（2）直线的斜率不存在，故与轴垂直，直线的斜率为0，故直线与轴平行，所以与垂直．
（3）因为，所以与的法向量垂直，所以与垂直．
【方法技巧与总结】
判断两条直线是否平行的步骤：
看斜率：
1.斜率都不存在看横截距：①横截距相等时：两条直线重合②横截距不相等时：两条直线平行
2.斜率存在看斜率是否相等：①斜率相等时看纵截距：1）纵截距相等：两条直线重合，2）纵截距不相等时：两条直线平行.
②斜率不相等时，两条直线不平行.
【题型2：由平行关系求参数】
例2．（24-25高三上·湖北·开学考试）已知两条直线，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】由两直线平行求出，再利用充分条件、必要条件的定义判断即得.
【详解】当时，，则，
所以“”是“”的充分不必要条件.
变式1．（24-25高二上·全国·课后作业）已知点，，，，且直线AB与直线CD平行，则m的值为（ ）
A．或0 B．0或1 C．1 D．2
【答案】C
【分析】分直线与直线的斜率不存在与存在两类分别讨论，斜率存在时由斜率相等建立关于的关系式，解之即可.
【详解】当时，直线与直线的斜率均不存在，此时直线的方程为，
直线的方程为，故；
当时，，，
则，即，得，
综上，或1．
.
变式2．（24-25高二上·全国·课后作业）已知，，三点，且有一点D满足，，则点D的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】设，根据平行、垂直关系列式求解即可.
【详解】由题意可知：，，
若，，可知直线的斜率存在，
设，则，，
则，即，解得，即．
.
变式3．（23-24高二下·安徽芜湖·阶段练习）“”是“直线与直线平行”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】D
【分析】根据两直线平行的条件进行判断
【详解】当时，直线与直线，
即为直线与直线的斜率都是，纵截距不同，则两直线平行，是充分条件；
若直线与直线平行，当时，两直线方程都为，直线重合不符合题意，
当时，两直线平行则斜率相等，截距不相等，解得，是必要条件；
变式4．（23-24高二下·山西长治·阶段练习）已知直线与直线平行，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】利用两直线平行列式计算即可.
【详解】由题意可知，，所以，且.
.
变式5．（23-24高三下·上海浦东新·期中）“”是“直线与直线平行”的（ ）
A．充分非必要条件 B．必要非充分条件
C．充要条件 D．既非充分又非必要条件
【答案】D
【分析】根据两直线平行的充要条件求值即可得.
【详解】设，，
直线方程可化为，且直线的斜率为，
若，则直线斜率存在，，
故直线方程可化为，
由，解得，故 ，
当时，直线的方程为，直线的方程为，
此时，即 .
因此，是的充要条件.
.
变式6．（23-24高二下·上海·阶段练习）已知平行四边形中，一组对边、所在直线的方程分别为，，求实数的值 .
【答案】
【分析】
根据得到方程和不等式，得到答案.
【详解】
因为，，整理可得，，
因为四边形为平行四边形，故，则，且，
解得.
故答案为：
变式7．（23-24高二下·上海·期中）已知直线，，根据下列条件分别求实数的取值范围．
(1)与相交；
(2)与重合．
【答案】(1)且
(2)
【分析】（1）易知当满足题意，当时，两直线斜率不相等，可求得的取值范围；
（2）根据直线方程的一般形式可得当时，即时，与重合.
【详解】（1）当时，的斜率不存在，此时与相交，符合题意；
当时，的斜率为，需满足，
解得且；
所以当且时，与相交；
（2）若与重合，需满足，且，
解得，
即时，与重合.
【方法技巧与总结】
设直线l1：y=k1x+b1,l2：y=k2x+b2,则有
1.l1与l2的斜率都存在，分别为，k1，k2则l1//l2k1=k2,
2.设直线l1：A1x+B1y+C1=0,l2：A2x+B2y+C2=0，l1//l2A1B2=A2B1,且直线不重合
【题型3：由垂直关系求参数】
例3．（24-25高三上·江苏宿迁·阶段练习）已知，，直线和垂直，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由题意利用两直线垂直的性质，求得，再利用基本不等式，求得的最小值．
【详解】，，直线，，且，
，即．
则，当且仅当时，等号不成立，
故的最小值为8，
．
变式1．（23-24高二上·福建莆田·期中）若直线与直线垂直.则（ ）
A．1 B． C．0 D．0或
【答案】A
【分析】利用两条直线垂直的充要条件，列式计算即得.
【详解】由直线与直线垂直，得，
所以或.
变式2．（2024·河南·三模）已知直线与直线垂直，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】由直线垂直的充要条件即可列式得解.
【详解】直线的斜率为2，又两直线互相垂直，所以直线的斜率为，
即且，，所以.
.
变式3．（多选）（23-24高二下·浙江·期中）已知直线和直线，则下列说法正确的是（ ）
A．若，则表示与轴平行或重合的直线
B．直线可以表示任意一条直线
C．若，则
D．若，则
【答案】ABD
【分析】利用线线平行、线线垂直的性质可直接判断.
【详解】对于A，当时，斜率为0，与轴平行或重合，故A正确；
对于B，当时，斜率不存在，当时，斜率存在，能表示任意直线，故B正确；
对于C，若，且或，则 ，故C错误；
对于D，若，则由可得斜率之积为-1，故，若，可得，此时满足，此时两条直线一条斜率为0，一条斜率不存在，故，故D正确.
BD.
变式4．（23-24高二下·上海·期中）若直线和直线垂直，则 ．
【答案】
【分析】利用两直线垂直斜率乘积为计算可得.
【详解】易知直线的斜率为，
直线的斜率为,
由两直线垂直可得，解得.
故答案为：
变式5．（24-25高二上·广西·开学考试）已知直线，直线.
(1)若 ，求实数的值；
(2)若，求实数的值.
【答案】(1)
(2)或.
【分析】（1）根据两条直线平行公式计算即可求参，再检验是否重合；
（2）根据两条直线垂直公式计算即可求参.
【详解】（1）因为 ，所以，
整理得
解得或.
当时，重合；
当时，，符合题意.
故.
（2）因为，所以
解得或.
变式6．（23-24高二下·上海·期中）已知点，．
(1)设，若直线与直线垂直，求的值；
(2)求过点且与直线夹角的余弦值为的直线方程．
【答案】(1)
(2)或
【分析】（1）根据直线垂直即可求解；
（2）先对用正弦定理，得到的正弦值，对用正弦定理，得到，设出交点求解二次方程即可求解.
【详解】（1）直线的斜率为，因为直线与直线垂直，
所以，所以；
（2）
如图点为过点且与直线夹角的余弦值为的直线与直线的交点，
点为直线与轴的交点，点为直线与直线的交点，
点为过点作轴的垂线交直线的交点，，，
设夹角为，因为，所以，
因为，，
所以在中，，所以，
因为，所以在中，，
所以，所以，易知，
设交点坐标为，所以，
所以或，所以交点坐标为或，
所以直线方程为或，
即或.
变式7．（24-25高二上·全国·课后作业）已知直线的斜率为1，若直线，则直线的倾斜角为 ．
【答案】
【分析】根据垂直关系可得直线的斜率，进而可得斜率.
【详解】因为直线的斜率，且直线，则直线的斜率，
所以直线的倾斜角为135°．
故答案为：.
【方法技巧与总结】
1.设直线l1：y=k1x+b1,l2：y=k2x+b2,则有
对应关系 l1与l2的斜率都存在，分别为，k1，k2则l1⊥l2k1k2=-1 l1与l2中的一条斜率不存在，另一条斜率为0，则l1与l2的位置关系是l1⊥l2
图示
设直线l1：A1x+B1y+C1=0,l2：A2x+B2y+C2=0，l1⊥l2A1A2+B1B2=0
【题型4：由平行关系求直线方程】
例4．（23-24高二下·四川南充·阶段练习）与直线平行且过点的直线方程是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】设所求直线方程为，代入点的坐标求得C，即可得出答案.
【详解】设所求直线方程为，
又过点，则可得，解得，
则所求直线方程为
变式1．（2024高二上·全国·专题练习）过点且与平行的直线方程是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根据两直线平行，可设所求直线方程为，将点的坐标代入，求得c，即可求得答案.
【详解】由题意可设所求直线方程为，
因为在该直线上，
所以，得，
故该直线方程为，
变式2．（23-24高二上·青海西宁·期末）经过点，且与直线平行的直线方程是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】由与已知直线平行设出所求直线的一般式方程为，代入已知点的坐标待定系数可得.
【详解】与直线平行的直线的方程可设为，
又经过点，所以，解得，
故所求直线方程为.
.
变式3．（20-21高二上·天津北辰·期末）过点且与直线平行的直线方程是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】根据互相平行直线方程的特点，结合代入法进行求解即可.
【详解】与直线平行的直线方程可设为，
因为点在直线上，
所以，
即过点且与直线平行的直线方程是，
变式4．（23-24高二上·北京西城·期末）过点且与直线平行的直线方程为 .
【答案】
【分析】根据平行得出斜率，利用过点即可得出直线方程.
【详解】由题意，
与直线平行的直线的斜率为，
直线过点，
∴过点且与直线平行的直线方程为：，
即：.
故答案为：.
变式5．（23-24高二上·安徽蚌埠·期末）求过两条直线与的交点，且分别满足下列条件的直线方程.
(1)过点；
(2)平行于直线.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）求出两条直线与的交点，利用两点式方程整理计算即可;
（2）求出平行于的直线斜率，利用点斜式方程整理计算即可.
【详解】（1）由解得,
即两直线的交点坐标为.
直线经过点和，由两点式方程得，，
化简得所求直线方程为.
（2）由可得直线的斜率为，
故平行于直线的直线的斜率为，
结合（1）问可得：两条直线与的交点为，
由点斜式方程得，，
化简得所求直线方程为.
【方法技巧与总结】
当所求直线与已知直线Ax＋By＋C0平行时，可设所求直线为Ax＋By＋λ0(λ为参数，且λ≠C)，再结合其他条件求出λ，即得所求直线方程．
【题型5：由垂直关系求直线方程】
例5．（23-24高二上·吉林延边·期中）过两条直线，的交点，且与直线垂直的直线的方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】先求出两直线的交点坐标，再由与直线垂直可设所求直线为，将交点坐标代入可求得结果.
【详解】由，得，
设与直线垂直的直线的方程为，则
，得，
所以所求直线方程为.
变式1．（多选）（23-24高二上·四川成都·期末）已知的顶点，边上的中线所在直线方程为，边上的高所在直线方程为，则下列说法正确的有（ ）
A．过点且平行于的直线的方程为
B．直线的方程为
C．点的坐标为
D．边的垂直平分线的方程为
【答案】ABC
【分析】设过点且平行于的直线的方程为，再将点代入即可判断A；先求出的斜率，再根据点斜式即可判断B；联立直线的方程即可判断C；求出边的中点坐标及所求直线的斜率，再根据点斜式即可判断D.
【详解】对于A，设过点且平行于的直线的方程为，
则，解得，
所以过点且平行于的直线的方程为，故A正确；
对于B，由题意知，，
∵，∴，
所以直线的方程为，即，故B正确；
对于C，联立，解得，
所以点的坐标为，故C正确；
对于D，边的中点坐标为，，
所以边的垂直平分线的斜率为，
所以边的垂直平分线的方程为，即，故D错误.
BC.
变式2．（24-25高二上·江苏徐州·开学考试）直线过点且与直线垂直，则直线与坐标轴围成的三角形面积为
【答案】9
【分析】根据直线垂直求出直线的方程，再求出直线与坐标轴的交点，进而可得与坐标轴围成的三角形面积.
【详解】直线过点且与直线垂直，直线的斜率为，得直线的斜率为2，
故直线的方程为，即，
当时，，当时，，
所以直线与坐标轴围成的三角形面积为.
故答案为：9
变式3．（23-24高二下·河北张家口·开学考试）过直线与的交点，且垂直于直线的直线方程是 ．
【答案】
【分析】首先利用二元一次方程组求出交点的坐标，进一步利用直线垂直的充要条件求出直线的方程．
【详解】过直线与的交点，
故，解得，故交点坐标为；
故过点且与直线垂直的直线方程为，整理得．
故答案为：．
变式4．（23-24高二上·北京·期中）经过点且与直线垂直的直线方程为 .
【答案】
【分析】由题可设直线方程为，代入已知点坐标即得.
【详解】由题可设所求直线方程为，
代入点，可得，即，
所以经过点且与直线垂直的直线方程为.
故答案为：.
变式5．（23-24高二上·四川成都·期中）已知的两顶点坐标为，，是边的中点，是边上的高．
(1)求所在直线的方程；
(2)求高所在直线的方程.
【答案】(1)；
(2).
【分析】（1）由条件结合中点坐标公式求的坐标，利用点斜式求直线方程，再化为一般式即可；
（2）根据垂直直线的斜率关系求直线的斜率，利用点斜式求直线方程，再化为一般式即可.
【详解】（1）因为是边的中点，所以，
所以直线的斜率，
所以所在直线的方程为：，即，
（2）因为是边AB的中点，所以，
因为是边上的高，
所以，所以，
所以，
因此高所在直线的方程为：，即.

变式6．（23-24高二上·四川成都·阶段练习）已知直线经过点，求分别满足下列条件直线的方程：
(1)垂直于直线；
(2)平行于直线.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）首先根据两直线垂直求斜率，再代入点斜式直线方程，即可求解；
（2）首先根据两直线平行求斜率，再代入点斜式直线方程，即可求解.
【详解】（1）因为垂直于直线，所以所求直线斜率为，
所求直线方程为，即.
（2）因为平行于直线所以斜率.所求直线方程为，即.
变式7．（23-24高二下·全国·课后作业）已知点和直线l： ，求：
(1)过点A且与直线l平行的直线的点斜式方程；
(2)过点A且与直线l垂直的直线的点斜式方程.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）可知直线l的斜率，根据平行关系结合点斜式方程运算求解；
（2）根据垂直关系结合点斜式方程运算求解.
【详解】（1）因为直线l：y，则直线l的斜率，
可知与直线l平行的直线的斜率，
过点且与直线l平行的直线方程为.
（2）由（1）可知：与直线l平行的直线的斜率，
过点且与直线l垂直的直线方程为.
变式8．（23-24高二上·甘肃白银·期中）已知的三个顶点坐标分别为，，，求：
(1)边所在直线的方程；
(2)边的垂直平分线所在直线的方程．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用斜率公式求出直线的斜率，代入点斜式即可得解；
（2）利用中点坐标公式求出的中点坐标，然后利用相互垂直的直线斜率关系求出斜率，代入点斜式即可求解.
【详解】（1）因为，，
所以边所在直线的斜率为，且，
所以边所在直线的方程为，即.
（2）因为，，所以的中点为，
又直线的斜率为，所以边的垂直平分线所在直线的斜率为，
所以边的垂直平分线所在直线的方程为，即.
变式9．（23-24高二上·广东珠海·期末）已知的三个顶点是，，．
(1)求边上的中线的直线方程；
(2)求边上的高的直线方程
(3)求AC边的垂直平分线
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）求出中点，则可得到中线的直线方程；
（2）根据直线垂直得到高的斜率，则得到边上的高的直线方程；
（3）求出AC的中点，再根据斜率垂直则得到斜率，即可得到直线方程.
【详解】（1），，由中点坐标公式得中点为，
又，由直线方程的两点式得边上的中线的直线方程为，
整理得：.
（2），，则，所以边上的高的直线的斜率为，
又，则边上的高的直线方程为，
整理得：．
（3）因为，，则其中点坐标为，
而，则AC边的垂直平分线的斜率为1，其方程为：，
即.
【方法技巧与总结】
当所求直线与已知直线Ax＋By＋C0垂直时，可设所求直线为Bx－Ay＋λ0(λ为参数)，再结合其他条件求出λ，即得所求直线方程．　
一、单选题
1．（24-25高二上·全国·课后作业）已知直线l：，若轴，则下列结论正确的是（ ）
A．，， B．，，
C．，， D．，，
【答案】C
【分析】利用直线与轴平行但不重合的性质直接求解即可．
【详解】∵直线：平行于y轴，
∴，解得，，．
.
2．（24-25高二上·全国·课后作业）过点和点的直线与直线的位置关系是（ ）
A．相交但不垂直 B．平行 C．重合 D．垂直
【答案】C
【分析】根据斜率公式求得的斜率，得出直线的方程，进而得出两直线的位置关系.
【详解】由题意，由点和点，可得，所以的方程为，又由直线的斜率为，且两直线不重合，所以两直线平行.
．
3．（24-25高二上·上海·随堂练习）已知是直线：外一点，则方程与的倾斜角（ ）
A．相等 B．互余 C．互补 D．不相等
【答案】A
【分析】根据直线一般式判断两直线位置关系，即可判断.
【详解】由直线方程，即，
又：，
又在直线外，所以，
则，
所以直线与平行，
即两直线倾斜角相等，
.
4．（23-24高二下·上海杨浦·期末）“”是“直线与直线互相垂直”的（ ）．
A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分也非必要条件
【答案】A
【分析】由两直线互相垂直可得，求解可得结论.
【详解】由直线与直线互相垂直，
可得，解得或，
所以“”是“直线与直线互相垂直”的充分不必要条件.
.
5．（23-24高二下·江西·开学考试）过点且与直线平行的直线方程是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】根据直线与（）平行，先设出所求直线方程，代入已知点的坐标，可求待定系数.
【详解】设与直线平行的直线方程是，
代入点，得，解得，
所以所求的直线方程是．
故选:A
6．（23-24高二上·福建厦门·期末）已知直线的倾斜角为，直线过点，若，则在轴上的截距为（ ）
A． B． C．2 D．
【答案】A
【分析】求出直线的斜率，点斜式得到直线方程，求出答案.
【详解】由题意得直线的斜率为，故直线的方程为，
即，令得，
故在轴上的截距为.
7．（23-24高二上·湖南益阳·期末）已知直线和互相平行，则的值是（ ）
A． B． C．1 D．4
【答案】A
【分析】根据题意得到平行时的方程，解出即可.
【详解】由题意得，解得，
此时后者直线方程为，满足题意.
.
8．（23-24高二上·浙江金华·期末）过点且与直线垂直的直线方程是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】由题意设直线方程为：，将点代入求解.
【详解】解：由题意设直线方程为：，
因为该直线过点，
所以，
解得，
所以直线方程为：，
二、多选题
9．（22-23高二上·安徽马鞍山·期末）若三条直线可以围成一个三角形，则实数的值可以为（ ）
A． B．0 C．1 D．3
【答案】CD
【分析】由题意可得三条直线两两都不平行且不同时过同一个点，写出限定条件即可得结果.
【详解】根据题意可知三条直线两两都不平行，且不同时过同一个点；
当平行时可得，此时不合题意，因此；
联立，即，解得交点坐标为，
因此不在上，即可得，可得；
所以若三条直线围成一个三角形，只需且即可.
D
10．（19-20高二·全国·课后作业）设平面内四点，，，，则下面四个结论正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】ABD
【分析】求相应直线的斜率，结合平行、垂直关系逐项分析判断.
【详解】由题意可得：，，，，，
因为，可知，故A正确；
因为，可知，故B正确；
因为，可知PS与QS不平行，故C错误；
因为，可知，故D正确；
BD.
11．（22-23高二上·安徽·阶段练习）已知的顶点坐标分别为，则（ ）
A．为直角三角形
B．过点P斜率范围是的直线与线段有公共点
C．是的一条中位线所在直线方程
D．是的一条高线所在直线的方程
【答案】AC
【分析】求直线的斜率，根据斜率关系判断与的位置关系，由此判断的形状，结合图像及两点斜率公式判断B，求的中位线方程，判断C，求的高的方程判断D.
【详解】由已知，所以，故为直角三角形，A正确；如图可得过点P与线段有公共点的直线斜率范围是，B错误；的中点为，的中点为，的中点为，过点，的直线方程为，所以为的一条中位线，故C正确；直线直线的斜率为，又，，所以直线与的三条边都不垂直，所以直线不是的高，故D错误，
C.
三、填空题
12．（23-24高二上·内蒙古赤峰·期末）过点且与直线垂直的直线方程是 .
【答案】
【分析】由垂直关系确定斜率，应用点斜式写出直线方程.
【详解】由题设，与直线垂直的直线的斜率为2，
所以所求直线方程为，即.
故答案为：
13．（23-24高二上·江苏淮安·期末）直线过点且与直线平行，则直线与，轴围成的三角形面积为 .
【答案】
【分析】根据直线平行求出直线的方程，再求出直线与，轴的交点，进而可得与，轴围成的三角形面积.
【详解】直线的斜率为，
故直线的方程为，即，
当时，，当时，，
所以直线与，轴围成的三角形面积为.
故答案为：
14．（23-24高二上·全国·课后作业）已知直线的倾斜角为，直线，则直线的斜率为 ．
【答案】
【分析】根据题意，由两直线平行，斜率相等，即可得到结果.
【详解】因为直线的倾斜角为，所以，
又，所以.
故答案为：
四、解答题
15．（23-24高二下·全国·课堂例题）判断下列各组直线的位置关系，如果相交，求出交点坐标：
(1)，；
(2)，；
(3)，；
(4)，．
【答案】(1)
(2)相交，交点为
(3)
(4)重合
【分析】根据两直线的斜率关系，以及截距，即可结合两直线的位置关系求解.
【详解】（1）设两直线，的斜率分别为，，在轴上的截距分别为，．
因为，，，，所以．
（2）因为，，，所以与相交．
，解得，所以交点为.
（3）由两直线的方程可知，轴，轴，且两直线在轴上的截距不相等，所以．
（4），因为，，所以与重合．
16．（23-24高二上·山东·期中）已知直线过点．
(1)若在两坐标轴上的截距相等，求的方程；
(2)设为坐标原点，若与轴正半轴交于点与轴正半轴交于点，求面积的最小值．
【答案】(1)或
(2)4
【分析】（1）因为在两坐标轴上的截距相等，所以按截距是否为，分类求解；
（2）设直线斜率为，求解与坐标轴的交点，将面积表示为函数，利用基本不等式求最值即可.
【详解】（1）①当直线过坐标原点，直线过点．
所以方程为，即；
②当直线不过坐标原点，，设方程为，
由直线过点，将代入方程得，解得，
所以直线的方程为，即；
综上：的方程为或.
（2）由题意知斜率存在且小于0，设方程为，
令，解得；令，解得；
因为，所以，，
所以面积
，
当且仅当即时取等号，
所以面积的最小值为4.
17．（23-24高二上·河北张家口·阶段练习）菱形的顶点的坐标分别为边所在直线过点.
(1)求边所在直线的方程；
(2)求对角线所在直线的方程.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）先根据菱形的性质得 ；再根据相互平行直线斜率相等及斜率公式计算；最后利用点斜式方程即可解答.
（2）先求出线段的中点坐标及；再根据菱形性质、相互垂直直线斜率之间关系及点斜式方程即可解答.
【详解】（1）
由菱形的性质可知: .
边所在直线过点，点坐标为，
则.
又点坐标为，
边所在直线的方程为，即.
所以边所在直线的方程为.
（2） ，
线段的中点为，且.
由菱形的几何性质可知：且为的中点.
则.
所以对角线所在直线的方程为，
即.
所以对角线所在直线的方程为：.
18．（23-24高二上·福建厦门·期中）如图，已知平行四边形的三个顶点的坐标为，，.

(1)求平行四边形的顶点的坐标；
(2)在中，求边上的高线所在直线方程.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）先求出线段中点坐标，再利用平行四边形的性质得为线段中点，从而利用中点坐标公式列方程组求解即可；
（2）通过直线垂直求出高线的斜率，代入点斜式直线公式求解即可.
【详解】（1）设线段中点为，则点坐标为，
设点坐标为，由平行四边形性质得为线段中点，有，
解得，所以；

（2）因为直线的斜率为，
所以边上的高线所在直线的斜率为，
又，故边上的高线所在直线的方程为，
即为.
19．（22-23高二上·浙江温州·期中）已知直线 （）交轴正半轴于，交轴正半轴于．
(1)为坐标原点，求的面积最小时直线的方程；
(2)设点是直线经过的定点，求的值最小时直线的方程．
【答案】(1)
(2)．
【分析】（1）求出点的坐标，表示的面积，结合基本不等式求其最小值，可得的值，由此确定直线的方程；
（2）由直线方程求出定点的坐标，结合数量积坐标运算求，利用基本不等式求其最小值，由此确定直线的方程.
【详解】（1）作图可知．
因为直线的方程为，
令，，所以，令，，所以，
所以，
所以．
因为，由基本不等式可得，当且仅当时取等号，
所以，当且仅当时取等号，
所以面积最小时，直线的方程为．
（2）因为直线的方程可化为，
所以直线经过的定点，
所以
所以，
又，
所以，当且仅当时等号不成立，
所以的值最小时，直线的方程为．
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