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17.2三角形的内角和
一、单选题
1．如图，，是的外角，，则的大小是（ ）
A． B． C． D．
2．下列计算错误的是（ ）
A．不是三角形的外角 B．是三角形的外角
C． D．
3．将一副含，的三角板按图中的方式放置，则（ ）
A． B． C． D．
4．如图，已知，于点，若，则的度数是（ ）

A． B． C． D．
5．在探究证明“三角形的内角和是180°”时，综合实践小组的同学作了如下四种辅助线，其中不能证明“三角形内角和是180°”的是（ ）
A． B．
C． D．
6．如图，将一副三角板按如图方式叠放，则角α等于（ ）
A．165° B．135° C．105° D．75°
7．如图，把沿EF翻折，叠合后的图形如图，若，，则的度数是（ ）
A．15° B．20° C．25° D．35°
8．如图所示，∠A，∠1，∠2的大小关系是（　　）

A.∠A＞∠1＞∠2 B．∠2＞∠1＞∠A
C．∠A＞∠2＞∠1 D．∠2＞∠A＞∠1
9．如图，平分交的平分线于，交的外角平分线于，若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
10．如图，，、、分别平分、、．以下结论，其中正确的是（ ）
①；②；③；④．

A．①② B．②③④ C．①③④ D．①②③④
二、填空题
11．在直角三角形中，一个锐角比另一个锐角的倍还多，则较小的锐角度数是 ．
12．在中，为边上的高，，，则是 度．
13．如图，中，，直尺的一边与平行，则 ．
14．如图，AD，AE为△ABC的高线，角平分线，DF⊥AE于点F．当∠DAC＝21°，∠B＝25°时，∠EDF的度数为 ．
15．如图，在 中，是 边上的高线，是 的平分线，则 的度数为 ．
16．如图，的平分线与的平分线交于点E，，，则的度数是 ．
17．如图，在中，是的角平分线，在射线上，于，，，则 度．
18．如果三角形中任意两个内角与满足，那么我们称这样的三角形为“准直角三角形”．如图，在中，，，平分交于点D．在线段上取一点F，当是“准直角三角形”时，则 °．
三、解答题
19．如图，AD平分∠CAE，∠B=35°，∠DAE=60°，试求∠ACD的度数.
20．如图所示，在△ABC中，D是BC边上一点，∠1=∠2，∠3=∠4，∠BAC=63°，求∠DAC的度数．
21．如图，已知D是边延长线上一点，交于点E，，．

(1)求的度数；
(2)若，求的度数．
22．在下图的基础上，平分，点P为直线上一点，过点P作于点F．

(1)若点P在线段上，则与，有什么关系？
(2)若点P在线段或的延长线上，（1）中探究的结论还成立么？请说明理由．
23．如图，△ABC的∠ABC和∠ACB的平分线BE，CF相交于点G.求证：

⑴∠BGC=180°-（∠ABC+∠ACB）
⑵∠BGC=90°+∠A
24．如图，在中，点E是边上一点，．
(1)如图1，作的平分线交，于D，F两点．试说明：；
(2)如图2，作的外角的平分线，交的延长线于点D，延长，交于点F，试探究（1）中的结论是否成立？请说明理由．
答案
一、单选题
1．B
【分析】根据三角形的外角性质直接求解即可．
【解析】是的外角，，，
．
．
故选B．
2．C
【分析】根据三角形的外角性质结合图形解答即可．
【解析】解：A、∠1不是三角形ABC的外角，正确，故A选项不符合题意；
B、∠ACD是三角形ABC的外角，正确，故B选项不符合题意；
C、∠ACD＝∠A＋∠B，错误，故C选项符合题意；
D、∠B＜∠1＋∠2，正确，故D选项不符合题意；
故选：C．
3．C
【分析】本题考查三角形外角的性质，关键是掌握三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和．三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和，由此即可求解．
【解析】解：如图，
，，
．
故选：C
4．C
【分析】根据直角三角形的性质求出，再根据平行线的性质解答即可．
【解析】解：在中，，，

则，
∵，
∴，
故选：C．
5．C
【分析】根据“直角三角形两锐角互余”是由三角形内角和定理推导的判断即可．
【解析】解：∵“直角三角形两锐角互余” 是由三角形内角和定理推导的
即，作后，利用直角三角形两锐角互余得到三角形内角和是180°的证明方法不正确，
故选：C．
6．A
【分析】根据三角形内角和定理求出∠1，根据三角形外角的性质求出∠2，根据邻补角的概 念计算即可．
【解析】
解：∠1＝90°﹣30°﹣60°，
∴∠2＝∠1﹣45°＝15°，
∴∠α＝180°﹣15°＝165°，
故选A．
7．C
【分析】先根据折叠的性质得到∠BEF=，∠CFE=，再根据邻补角的定义得到180°-∠AEF=∠1+∠AEF，180°-∠AFE=∠2+∠AFE，则可计算出 ∠AEF=42.5°，再根据三角形内角和定理计算出∠AFE=77.5°，然后把∠AFE=77.5°代入180°-∠AFE=∠2+∠AFE即可得到∠2的度数．
【解析】解：如图，∵△ABC沿EF翻折，
∴∠BEF=，∠CFE=，
∴180°-∠AEF=∠1+∠AEF，180°-∠AFE=∠2+∠AFE，
∵∠1=95°，
∴∠AEF=（180°-95°）=42.5°，
∵∠A+∠AEF+∠AFE=180°，
∴∠AFE=180°-60°-42.5°=77.5°，
∴，
∴∠2=25°．
故选C．
8．B
【解析】分析：先根据∠1是△ACD的外角，故∠1＞∠A，再根据∠2是△CDE的外角，故∠2＞∠1，进而可得出结论．
解答：解：∵∠1是△ACD的外角，
∴∠1＞∠A；
∵∠2是△CDE的外角，
∴∠2＞∠1，
∴∠2＞∠1＞∠A．
故选B．
9．C
【分析】本题考查角平分线性质、三角形外角的性质、三角形内角和，根据题意得到，推出，根据角平分线性质推出与的和，利用三角形内角和即可解题．
【解析】解：平分，平分，
，，
，
，
，
，
平分，
，
，
．
故选：C．
10．D
【分析】①根据角平分线的性质和三角形外角的性质可得，易得，即可证明，故①正确；由平行线的性质和角平分线的性质可得，，易得，故②正确；首先证明，结合三角形内角和定理可得，进而证明，故③正确；首先证明
④首先证明，结合，，，易得，进而可证明，故④正确．
【解析】解：①∵平分，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，故①正确；
②∵，
∴，
∵平分，，
∴，
∴，故②正确；
③∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，故③正确；
④∵平分，
∴，
∵，
∴，，
∴，
∵平分，
∴，
∵，，，
∴，
∴，
∴，故④正确；
综上所述，正确的有①②③④，共4个．
故选：D．
二、填空题
11．20°.
【分析】设另一个锐角为x°，表示出一个锐角，然后根据直角三角形两锐角互余列方程求解即可.
【解析】解：设另较小一个锐角为x°，则一个锐角为（3x+10）°，
由题意得，x+（3x+10）=90，解得x=20，
故答案为20°.
12．40或80
【分析】根据题意，由于类型不确定，需分三种情况：高在三角形内部、高在三角形边上和高在三角形外部讨论求解．
【解析】解：根据题意，分三种情况讨论：
①高在三角形内部，如图所示：
在中，为边上的高，，
，
，
；
②高在三角形边上，如图所示：
可知，
，
故此种情况不存在，舍弃；
③高在三角形外部，如图所示：
在中，为边上的高，，
，
，
；
综上所述：或，
故答案为：或．
13．
【分析】根据平行线的性质，同位角相等，再利用三角形外角的性质即可求得．
【解析】如图，直尺的一边与平行
故答案为：．
14．22°
【分析】利用三角形的内角和定理先求∠C、∠BAC，再利用角平分线的性质求出∠BAE，利用外角内角的关系求出∠AED，最后利用三角形的内角和求出∠EDF的度数．
【解析】解：∵AD，AE为△ABC的高线，角平分线，
∴∠EAB＝∠BAC，∠ADC＝90°．
∵∠DAC＝21°，∠B＝25°，
∴∠C＝90°﹣∠DAC
＝69°，
∴∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C
＝180°﹣25°﹣69°
＝86°．
∴∠BAE＝43°．
∴∠AED＝∠BAE+∠B
＝43°+25°
＝68°．
∵DF⊥AE，
∴∠EFD＝90°．
∴∠EDF＝90°﹣∠DEA
＝90°﹣68°
＝22°．
故答案为：22°．
15．60°
【分析】本题考查了三角形内角和以及外角性质、角平分线的定义，先求出，因为角平分线的定义得，结合高的定义，得，运用三角形的外角性质，即可作答．
【解析】解：∵
∴
∵是 的平分线，
∴
∵是 边上的高线，
∴
则．
故答案为：60°
16．
【分析】本题考查了角平分线，三角形外角的性质．熟练掌握角平分线，三角形外角的性质是解题的关键．由的平分线与的平分线交于点E，可得，，由，，可得，计算求解即可．
【解析】解：∵的平分线与的平分线交于点E，
∴，，
∵，，
∴，
即，
解得，，
故答案为：．
17．22
【分析】本题考查了三角形内角和定义、三角形的外角性质以及垂线．在中，利用三角形内角和定理，可求出的度数，结合角平分线的定义，可求出的度数，由于，可得出，再利用三角形的外角性质，可求出的度数．
【解析】解：在中，，，
，
又平分，
．
于，
．
是的外角，是的外角，
，
，
．
故答案为：22．
18．或
【分析】由三角形内角和可得，进而可得，，，再根据定义进行分类讨论即可求解．
【解析】解：∵，，
∴，
又∵平分交于点D．
∴，则，
∴，
①当时，是“准直角三角形”，
即：，；
②当时，是“准直角三角形”，
即：，，不符合题意；
③当时，是“准直角三角形”，
即：，；
④当时，是“准直角三角形”，
即：，，不符合题意；
⑤当时，是“准直角三角形”，
即：，，不符合题意；
④当时，是“准直角三角形”，
即：，，不符合题意；
综上，或，
故答案为：或．
三、解答题
19．∵AD平分∠CAE
∴∠CAE=2∠DAE
∵∠DAE=60°
∴∠CAE =120°
∴∠BAC=60°
∵∠B=35°
∴∠ACD=∠BAC+∠B =35°+60°=95°
20．设∠1=∠2=x，则∠3=∠4=2x．
因为∠BAC=63°，
所以∠2+∠4=117°，即x+2x=117°，
所以x=39°；
所以∠3=∠4=78°，∠DAC=180°-∠3-∠4=24°．
21．（1）∵是的一个外角，，，
∴.
（2）∵是的一个外角，，，
∴
22．（1）解：如图所示，过点A作于点D．

∵，，
∴，
∴．
∵，
∴，
∵平分，
∴，
又∵，
∴，
∴．
（2）解：（1）中探究的结论仍然成立．理由如下：
如图所示：

∵，，
∴，
∴．
由（1）知，，
∴．
23．（1）∵∠ABC和∠ACB的平分线BE，CF相交于点G，
∴∠GBC= ∠ABC，∠GCB= ∠ACB，
∴∠GBC+∠GCB= （∠ABC+∠ACB），
在△BCG中，∠BGC=180°-（∠GBC+∠GCB）=180°-（∠ABC+∠ACB）；
即：∠BGC=180°- （∠ABC+∠ACB）；
（2）在△ABC中，∠ABC+∠ACB=180°-∠A，
所以，∠BGC=180°- （∠ABC+∠ACB）=180°- （180°-∠A）=90°+ ∠A，
即：∠BGC=90°+ ∠A．
24．（1）解：∵平分，
∴，
∵，，
又∵，
∴；
（2）探究（1）中结论仍成立；
理由：∵平分，
∴，
∵
∴，
∵，，
又∵，
∴．

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