资源简介

6.2.1排列 + 6.2.2排列数
——高二数学人教A版（2019）选择性必修第三册课前导学
知识填空
1.排列：一般地，从个不同元素中取出个元素，并按照一定的顺序排成一列，叫做从个不同元素中取出个元素的一个 .
2.两个排列相同的充要条件是：两个排列的元素完全 ，且元素的排
列 也相同.
3.排列数：把从个不同元素中取出个元素的所有不同排列的 ，叫做从个不同元素中取出个元素的排列数，用符号 表示.
4.排列数公式：.这里，并且.
排列数公式还可以写成 .
5.全排列的概念：特别地，把个不同的元素全部取出的一个排列，叫做个元素的一个全排列.正整数1到的连乘积，叫做的 ，用表示，于是，个元素的全排列数公式可以写成 . 另外规定， .
思维拓展
1.排列问题的判断标准是什么？
2.解决含有特殊元素或特殊位置的排列问题的基本思路是什么？
3.解数字排列问题的常见方法有哪些？
基础练习
1.某学校安排4位教师在星期一至星期五值班，每天只安排1位教师，每位教师至少值班1天，至多值班2天且这2天相连，则不同的安排方法共有( )
A.24种 B.48种 C.60种 D.96种
2.一个小型联欢会要安排1个诗词朗诵类节目，2个独唱类节目，2个歌舞类节目，则同类节目不相邻的安排方式共有( )
A.44种 B.48种 C.72种 D.80种
3.国庆期间，中华世纪坛举办“传奇之旅：马可 波罗与丝绸之路上的世界”展览，现有8个同学站成一排进行游览参观，若将甲、乙、丙3个同学新加入排列，且甲、乙、丙互不相邻，保持原来8个同学顺序不变，则不同的方法种数为( )
A.84 B.120 C.504 D.720
4.在某次太空游行中，宇航员们负责的科学实验要经过5道程序，其中A，B两道程序既不能放在最前，也不能放在最后，则该实验不同程序的顺序安排共有( )
A.18种 B.36种 C.72种 D.108种
5.一只小蜜蜂位于数轴上的原点处，小蜜蜂每一次具有只向左或只向右飞行一个单位或者两个单位距离的能力，且每次飞行至少一个单位.若小蜜蜂经过4次飞行后，停在位于数轴上实数3的点处，则小蜜蜂不同的飞行方式有( )
A.22 B.24 C.26 D.28
【答案及解析】
一、知识填空
1.排列
2.相同 顺序
3.个数
4.
5.阶乘 1
二、思维拓展
1.（1）元素无重复性；
（2）元素有序性.
2.（1）特殊元素优先安排位置，特殊位置优先安排元素.
（2）排除法（即间接求解），先不考虑限制条件计数，再逐一排除不符合要求的方法数即得.
（3）重视对问题作分类或分步处理，从而将复杂问题简单化.
3.（1）两优先排法：特殊元素优先排列，特殊位置优先填充.
（2）分类讨论法：按照某一标准将排列分成几类，然后按照分类加法计数原理进行，要注意如下两点：一是分类标准必须恰当；二是分类过程要做到不重不漏.
（3）排除法：全排列数减去不符合条件的排列数.
（4）位置分析法：按位置逐步讨论，把每个数位用符合条件的数字排列.
三、基础练习
1.答案：D
解析：由题意，从星期一至星期五值，2天相连的情况有4种，则不同的安排方法共有种.故选：D.
2.答案：B
解析：依题意五个节目全排列有种排法；若独唱类节目相邻，则有种排法；
若歌舞类节目相邻，则有种排法；若独唱类节目相邻且歌舞类节目也相邻，则有种排法；综上可得同类节目不相邻的安排方式共有种.
故选：B
3.答案：C
解析：8个同学站成一排有9个空，甲、乙、丙在9个空中任意排列，则不同的方法种数为.故选：C.
4.答案：B
解析：先排A，B两道程序，其既不能放在最前，也不能放在最后，则在第2，3，4道程序中选两个放A，B，共有种安排方法；再排剩余的3道程序，共有种安排方法，所以一共有种不同的顺序安排方法.故选：B.
5.答案：B
解析：经过4次飞行，停在位于数轴上实数3的点处，设向右飞行1个单位为事件A，向右飞行2个单位为事件B，
情况一，满足要求，此时只需安排好B，，故不同的飞行方式为种，
情况二，满足要求，此时只需安排好，A故不同的飞行方式为种，
综上，小蜜蜂不同的飞行方式有种.故选：B6.3.1 二项式定理
——高二数学人教A版（2019）选择性必修第三册课前导学
知识填空
公式，叫做_____________，右边的多项式叫做的_____________，其中各项的系数叫做_____________.式中的叫做二项展开式的_________，用表示，即通项为展开式的第项：_____________.
思维拓展
1.利用二项式定理解题的思路是什么？
2.如何求二项展开式特定项？
3.利用二项式定理证明或判断整除问题的一般方法是什么？
基础练习
1.在展开式中，系数为( )
A.5 B.10 C.15 D.20
2.已知，则等于( )
A.16 B.80 C.81 D.243
3.展开式中的项数为( )
A.11 B.12 C.22 D.
4.若，则( )
A.20 B.19 C. D.
5.若，则( )
A.40 B.41 C.-40 D.-41
【答案及解析】
一、知识填空
二项式定理 二项展开式 二项式系数 通项
二、思维拓展
1.（1）求二项展开式时，要根据公式利用组合数系数作为因子写出各项，然后化简得结果.
（2）逆用二项式定理可将一些特殊的多项式化简，其方法是将多项式的项数、各项的系数及幂指数等构造成满足二项展开式的结构特征，即可逆用二项式定理将多项式化为的形式.
2.利用二项展开式的通项可以求二项展开式中任一特定项，如常数项、有理项等.解题时务必须注意：（1）是求某个特定项还是求其系数；（2）是指展开式中的第项，而非第r项；（3）有些特定项不知道是第几项，需要列出r的方程解出r，进而得.
3.（1）变形：将幂底数写成两个数之和，其中一个数是除数的倍数或k次方根；
（2）展开：将变形后的式子按二项式定理展开；
（3）判断：判断或证明展开式中各项均能被除数整除；
（4）下结论.
三、基础练习
1.答案：C
解析：依题意，，因此展开式中，含的项为，所以系数为15.故选：C.
2.答案：C
解析：，所以，故选：C
3.答案：B
解析：因为，所以，，则，共有12项，故选：B.
4.答案：C
解析：.所以，故选C.
5.答案：B
解析：依题意，令，可得，令，可得，以上两式相加可得，所以，故选B.6.2.3 组合+6.2.4 组合数
——高二数学人教A版（2019）选择性必修第三册课前导学
知识填空
1.组合：一般地，从n个不同元素中取出个元素作为一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个___________.
2.组合数：从n个不同元素中取出个元素的所有不同组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的___________，用符号___________表示.
3.组合数公式：__________________.这里，并且.
还可以写成______________.规定__________.
思维拓展
1.排列问题与组合问题的区分方法是什么？
2.基本组合问题的解法？
3.求解组合应用题的方法有哪些？
4.求解排列、组合综合问题的注意事项有什么？
基础练习
1.若，则n的值为( )
A.2 B.8 C.2或8 D.2或4
2.某学校利用周末时间组织学生进行志愿者服务，高二年级共6个班，其中（1）班有2个志愿者队长，本次志愿者服务一共20个名额，志愿者队长必须参加且不占名额，若每个班至少有3人参加，则共有( )种分配方法.
A.90 B.60 C.126 D.120
3.今年暑期档推出多部精彩影片，其中比较热门的有《解密》，《名侦探柯南》，《抓娃娃》，《逆行人生》，《死侍与金刚狼》，甲和乙两位同学准备从这5部影片中各选2部观看.若两人所选的影片恰有一部相同，且甲一定选《抓娃娃》，则两位同学不同的观影方案种数为( )
A.24 B.28 C.36 D.12
4.若，则的值为( )
A.83 B.119 C.164 D.219
5.老师有6本不同的课外书要分给甲、乙、丙三人，其中甲分得2本，乙、丙每人至少分得一本，则不同的分法有( )
A.248种 B.168种 C.360种 D.210种
【答案及解析】
一、知识填空
1.组合
2.组合数
3. 1
二、思维拓展
1.排列：若交换某两个元素的位置对结果产生影响，则是排列问题，即排列问题与选取元素的顺序有关.
组合：若交换任意两个元素的位置对结果没有影响，则是组合问题，即组合问题与选取元素的顺序无关.
2.（1）确定是组合问题；
（2）是分类还是分步；
（3）根据分类或分步的列式方法，把组合数用加法或用乘法列出式子求解.
3.解决组合问题的一般思路是首先合理地进行分类或分步，再将问题化归为组合问题，利用组合数计数，对于“至少”或“至多”取某类元素的组合问题，既可以采用直接法，也可以采用排除法，计数时要做到不重不漏，先分类再计数常可避免重复计数，当类别是两个或两个以上时，用表格表示简明扼要.
4.解决排列与组合问题，首先要把握问题的实质，并结合两个计数原理，按元素的性质确定分类的标准，按事情发生的过程确定分步的顺序，此外还应遵循以下原则：（1）先组合后排列；（2）先特殊后一般.
三、基础练习
1.答案：A
解析：由组合数的性质可得，解得，又，所以或，解得（舍去）或.故选：A.
2.答案：C
解析：若每个班至少3人参加，由于（1）班有2个志愿者队长，故只需先满足每个班级有2个名额，还剩10个名额，再将10个名额分配到6个班级，每个班级至少1个名额，故只需在10个名额中的9个空上放置5个隔板即可，有种分配方法.故选：C.
3.答案：A
解析：若两人所选影片中，《抓娃娃》相同，则两人从剩余4部中各选1部，有种方案，若两人所选影片中，不是《抓娃娃》相同，相同的影片为4部中1部，有种选择，再给乙从剩余3部中选择一部，有种选择，故共有种方案，综上，共有种方案.故选：A.
4.答案：D
解析：由于，故，，则
，故选：D.
5.答案：D
解析：根据题意进行分类：第一类：甲、乙、丙每人分得2本，（种）；
第二类：甲分得2本，乙、丙两人中一人分得1本另一人分得3本，（种）.所以由分类加法计数原理可得共有种不同的分法.故选：D.6.1 分类加法计数原理与分步乘法计数原理
——高二数学人教A版（2019）选择性必修第三册课前导学
知识填空
1.分类加法计数原理：完成一件事有 不同方案，在第1类方案中有m种不同的方法，在第2类方案中有n种不同的方法，那么完成这件事共有
种不同的方法.
2.分步乘法计数原理：完成一件事需要两个 ，做第1步有m种不同的方法，做第2步有n种不同的方法，那么完成这件事共有 种不同的方法.
思维拓展
1.利用分类加法计数原理解题的思路方法及注意事项有哪些？
2.利用分步乘法计数原理解题的思路方法及注意事项有哪些？
3.应用两个计数原理解题的思路方法是什么？
4.涂色问题的解题策略有哪些？
基础练习
1.某影城有一些电影新上映，其中有3部科幻片、4部警匪片、3部战争片及2部喜剧片，小明从中任选1部电影观看，不同的选法共有( )
A.9种 B.12种 C.24种 D.72种
2.将数字1，2，3，4填入标号为1，2，3，4的四个方格中，每格填一个数字，则每个方格的标号与所填的数字均互不相同的填法有( )
A.6种 B.9种 C.18种 D.24种
3.如图，用4种不同的颜色对A，B，C，D四个区域涂色，要求相邻的两个区域不能用同一种颜色，则不同的涂色方法有( )
A.24种 B.48种 C.72种 D.96种
4.某大学开设篮球、足球等5门球类选修课，要求每个学生都必须选择其中的一门课程.现有小明、小强、小红3位同学进行选课，其中小明不选篮球和足球，则不同的选课方法共有( )
A.36种 B.50种 C.75种 D.125种
5.学校教师运动会设置有“跳绳”、“立定跳远”、“定点投篮”、“沙包掷准”四个比赛项目，每个项目各需要一位裁判，现有甲、乙、丙、丁四位体育老师，每人做且仅做一项裁判工作，因为时间问题，甲不能安排“跳绳”裁判，乙不能安排“定点投篮”裁判，则不同的安排方法共有( )
A.12种 B.14种 C.7种 D.9种
【答案及解析】
一、知识填空
1.两类
2.步骤
二、思维拓展
1.在用分类加法计数原理解题时，首先要明确问题中要完成的“一件事”指的是什么，同时要确定一个恰当的分类标准进行分类；其次，在分类时要注意完成这件事的任何一种方法必须属于某一类，并且属于不同类的两种方法是不同的方法，即分类时要遵循“不重不漏，一步完成”的原则，有时各个类别的方法用列举法逐一列出更加清楚，列举时可一一列举，也可列表列举或画树状图列举，一一列举时要注意按一定的顺序才能不重不漏.
2.（1）运用分步乘法计数原理解题时，首先应根据题意确定一个合理的分步标准，然后分别计算每一步的方法数，最后利用分步乘法计数原理求出完成这件事的方法总数.
（2）在分步中，每步之间必须连续，只有每个步骤都完成了，这件事才算完成，且每步之间既不能重复也不能遗漏.
3.对于两个计数原理的综合应用问题，一般是先分类再分步，分类时要先设计好分类标准，防止重复和遗漏；分步时要注意步与步之间的连续性，同时应合理设计步骤的顺序，使各步互不干扰，也可以根据题意恰当合理地画出示意图或列出表格，使问题的实质直观地显现出来，从而便于解题.
4.根据不同要求，涂色问题可以采用分类法，也可以采用分步法，有时分类中又有分步，或者一个步骤中又有分类，这时要处理好“类中有步”“步中有类”的关系，为避免出错，一定要按照类别分开列式.
三、基础练习
1.答案：B
解析：任选1部电影可分四类：第一类选的是科幻片，第二类选的是警匪片，第三类选的是战争片，第四类选的是喜剧片，由分类加法计数原理可得不同的选法共有（种）.故选：B.
2.答案：B
解析：第一步：先把数字1填入方格中，符合条件的有3种方法，
第二步：把第一步中数字1填入的方格的序号所对应数字填入剩下的三个方格其中之一，
又有种方法，
第三步：填余下的两个数字，只有1种填法，共有种填法.故选：B.
3.答案：B
解析：按涂色顺序进行分四步：涂A部分时，有4种涂法；涂B部分时，有3种涂法；涂C部分时，有2种涂法；涂D部分时，有2种涂法.由分步乘法计数原理，得不同的涂色方法共有种.故选：B.
4.答案：C
解析：因为小明不选篮球和足球，所以小明有3种选课方法，小强和小红各有5种选课方法，所以不同的选课方法共有种.故选：C.
5.答案：B
解析：当甲安排“定点投篮”，另外3人任意安排工作有6种方法，当甲不安排“定点投篮”时，先安排甲有2种，再安排乙有2种，另外剩余2人有2种，此时有种方法，共有种，故选：B6.3.2 二项式系数的性质
——高二数学人教A版（2019）选择性必修第三册课前导学
知识填空
1.二项式系数的对称性：与首末两端“等距离”的两个二项式系数__________.
2.增减性与最大值：因为，即，所以，当，即__________时，随的增加而__________；由对称性知，当__________时，随的增加而__________.当是偶数时，中间的一项__________取得最大值；当是奇数时，中间的两项__________和__________相等，且同时取得最大值.
3.各二项式系数的和：的展开式的各二项式系数的和等于__________.
思维拓展
1.求二项展开式系数最大的项有哪些方法？
2.二项式系数之和与二项展开式各项系数之和的求法？
基础练习
1.的展开式中，系数最小的项是( )
A.第4项 B.第5项 C.第6项 D.第7项
2.已知的展开式中第3项与第9项的二项式系数相等，则所有偶数项的二项式系数之和为( )
A. B. C. D.
3.的展开式中，系数最大的项是( )
A.第项 B.第n项
C.第项 D.第n项与第项
4.若，则( )
A.40 B.41 C.-40 D.-41
5.在的展开式中，系数最大的是( )
A.第3项 B.第4项 C.第5项 D.第6项
【答案及解析】
一、知识填空
1.相等
2. 增大 减小
3.
二、思维拓展
1.（1）求二项式系数最大的项：若n是偶数，则中间一项：第项的二项式系数最大，即最大值是；若n是奇数，则中间两项：第项与第项的二项式系数相等且最大，即最大.
（2）求展开式中系数最大的项：如求的展开式中系数最大的项，一般是采用待定系数法，设展开式中各项系数分别为，且第项系数最大，应用解出r，即得系数最大的项.
2.（1）二项式系数之和与指数n有关，其和为，其中奇数项的二项式系数之和与偶数项的二项式系数之和相等，都等于.
（2）求二项展开式各项系数之和，往往采用赋值法，对变量赋值1计算可得.
三、基础练习
1.答案：C
解析：依题意，的展开通项公式为，其系数为，当r为奇数时，才能取得最小值，又由二项式系数的性质可知，是的最大项，所以当时，取得最小值，即第6项的系数最小.故选：C.
2.答案：C
解析：由题意可得，，所以，则的二项式系数之和为.所以所有偶数项的二项式系数之和，故选：C.
3.答案：C
解析：在的展开式中，第项的系数与第项的二项式系数相同，再根据中间项的二项式系数最大，展开式共有项，可得第项的系数最大，故选C.
4.答案：B
解析：方法一：依题意，令，可得，令，得，以上两式相加可得，所以，故选B.
方法二：二项式的通项为，分别令，可分别得，，，所以，故选B.
5.答案：C
解析：的展开式的通项为，其中，，要求系数最大的项，则r必须为偶数，分别令，2，4，6，可得其对应项的系数为1，，，，因为，所以当时满足条件，故系数最大的是第5项.故选C.

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