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7.3.2 离散型随机变量的方差
——高二数学人教A版（2019）选择性必修第三册课前导学
知识填空
1.方差：称_____________为随机变量的方差，有时也记为，并称为随机变量的标准差，记为_________.
2.方差的简化计算：_____________.
3.方差的性质：_____________.
思维拓展
1.随机变量的方差与样本的方差有何关系？
2.利用方差的性质求随机变量的方差（标准差）的方法有哪些？
3.解答均值、方差综合应用题的注意事项有哪些？
基础练习
1.已知随机变量X，Y满足，且，则( )
A.16 B.8 C.4 D.
2.已知一组数据1，2，2，5，5，6的第60百分位数为m，随机变量X的分布列为
X 2 m 14
P 0.3 0.6 0.1
( )
A.5 B.6 C.9.8 D.10.8
3.随机变量X的分布列为，，.若，则( )
A.0.2 B.0.4 C.0.6 D.0.8
4.已知随机变量X的分布列是
X 0 1
P a b
若，则( )
A.0 B. C. D.1
5.随机变量的可能取值为0，1，2，若，，则_________.
【答案及解析】
一、知识填空
1.
2.
3.
二、思维拓展
1.随机变量的方差即为总体的方差，它是一个常数，不随样本容量的变化而变化，是客观存在的常数.样本方差随着样本容量的不同而不同，对于简单随机抽样，随着样本容量的增加，样本方差越来越接近于总体的方差.
2.对于有线性关系的两个随机变量，已知一个变量的方差，求另一个变量的方差，注意方差性质的应用，如，这样处理既避免了求随机变量的分布列，又避免了复杂的计算，简化了计算过程.
3.（1）离散型随机变量的分布列、均值和方差是三个紧密联系的有机统一体，一般在试题中综合在一起考查，其解题的关键是求出分布列.
（2）在求分布列时，要注意利用等可能事件、互斥事件、相互独立事件的概率公式计算概率，并注意结合分布列的性质，简化概率计算.
（3）在计算均值与方差时要注意运用均值和方差的性质以避免一些复杂的计算，若随机变量X服从两点分布、二项分布，可直接利用对应公式求解.
（4）根据均值与方差的意义对实际应用题作出判断.
三、基础练习
1.答案：B
解析：由题可知.故选:B.
2.答案：D
解析：， ，，
故选：D.
3.答案：B
解析：因为随机变量X的分布列为，，，，
所以，解得，，所以.故选：B.
4.答案：C
解析：由已知可得解得，因此，.
5.答案：
解析：，则.所以，故，.所以.7.2 离散型随机变量及其分布列
——高二数学人教A版（2019）选择性必修第三册课前导学
知识填空
1.随机变量：一般地，对于随机试验样本空间中的每个样本点，都有唯一的实数 与之对应，则称X为随机变量.
2.离散型随机变量：可能取值为 个或可以一一列举的随机变量，称之为离散型随机变量.通常用大写英文字母表示随机变量，例如X，Y，Z；用小写英文字母表示随机变量的 ，例如x，y，z.
3.分布列的概念：一般地，设离散型随机变量X的可能取值为，则称X取每一个值的概率 ，为X的概率分布列，简称 .
4.分布列的性质：（1） ，；
（2） .
思维拓展
1.判断离散型随机变量的方法是什么？
2.随机变量分布列性质的应用有哪些？
3.求离散型随机变量分布列的一般步骤是什么？
基础练习
1.从装有2个白球、3个黑球的袋中任取2个小球，下列可以作为随机变量的是( )
A.至多取到1个黑球 B.至少取到1个白球
C.取到白球的个数 D.取到的球的个数
2.设X是一个离散型随机变量，其分布列为
X 2 3 4
P
则q等于( )
A.1 B. C. D.
3.下表是离散型随机变量的概率分布，则( )
1 2 3 4
P
A. B. C. D.
4.随机变量X所有可能取值的集合是，且，，，则的值为( )
A. B. C. D.
5.已知随机变量X的分布列如下表：
X 1 2 3
P
其中a是常数，则的值为__________.
【答案及解析】
一、知识填空
1.
2.有限 取值
3. 分布列
4.0 1
二、思维拓展
1.根据随机变量X满足的三个特征，运用离散型随机变量的定义判断：
①可以用不同的数来表示不同的试验结果；
②试验前可以判断其可能出现的所有值；
③在试验前不能确定取何值.
2.（1）利用分布列的性质可以检验分布列的正确性；
（2）利用分布列的性质可求分布列中相关字母的取值；
（3）利用“离散型随机变量在某一范围内取值的概率等于它取这个范围内各个值的概率之和”求某些特定事件的概率.
3.（1）用大写英文字母（或小写希腊字母）表示离散型随机变量；
（2）确定离散型随机变量的所有可能取值；
（3）计算离散型随机变量取每个值时的概率，并利用分布列的性质对计算结果进行检验；
（4）写出分布列（通常以表格的形式呈现）.
三、基础练习
1.答案：C
解析：根据随机变量的定义可知，随机变量的结果都可以数量化，是不确定的，由试验结果决定，满足条件的只有取到白球的个数，可以是0，1，2.故选C.
2.答案：C
解析：依题意，即，解得，
经检验可知，符合题意.故选：C.
3.答案：B
解析：由题意可得：，解得，所以.
故选：B.
4.答案：C
解析：依题意可得，，所以.故选C.
5.答案：
解析：由随机变量的分布列的性质可知，解得.则.7.1.1 条件概率
——高二数学人教A版（2019）选择性必修第三册课前导学
知识填空
1.条件概率：一般地，设，为两个随机事件，且，则称 为在事件 的条件下，事件发生的条件概率，简称条件概率.
2.条件概率和事件相互独立性的关系：当时，当且仅当事件与相互独立时，有 .
3.概率的乘法公式：由条件概率的定义，对任意两个事件与，若，则 .上式称为概率的乘法公式.
4.条件概率的性质：设，则
（1） ；
（2）如果和是两个互斥事件，则 ；
（3）设和互为对立事件，则
思维拓展
1.对条件概率中“条件”怎样理解？
2.求条件概率的思路有哪些？
3.非相互独立事件同时发生的概率怎么求解？
基础练习
1.已知盒子中有6个大小相同的球，分别标有数字1，2，3，4，5，6，从中有放回地随机取两球，每次取一球，记第一次取出的球的数字是x，第二次取出的球的数字是y.若事件“为偶数”，事件“x，y中有偶数且”，则( )
A. B. C. D.
2.小张 小王两人计划报一些兴趣班，他们分别从“篮球 绘画 书法 游泳 钢琴”这五个随机选择一个，记事件A：“两人至少有一人选择篮球”，事件B：“两人选择的兴趣班不同”，则概率( )
A. B. C. D.
3.在某次美术专业测试中，若甲、乙、丙三人获得优秀等级的概率分别是0.6，0.8和0.5，且三人的测试结果相互独立，则测试结束后，在甲、乙、丙三人中恰有两人没达优秀等级的前提条件下，乙没有达优秀等级的概率为( )
A. B. C. D.
4.已知盒中装有3只螺口灯泡与9只卡口灯泡，这些灯泡的外形都相同且灯口向下放置，现需要一只卡口灯泡，电工师傅每次从中任取一只且不放回，则在他第1次抽到螺口灯泡的条件下，第2次抽到卡口灯泡的概率为( )
A. B. C. D.
5.正值元宵佳节，赤峰市“盛世中华·龙舞红山”纪念红山文化命名七十周年大型新春祈福活动中，有4名大学生将前往3处场地A，B，C开展志愿服务工作.若要求每处场地都要有志愿者，每名志愿者都必须参加且只能去一处场地，则当甲去场地A时，场地B有且只有1名志愿者的概率为( )
A. B. C. D.
【答案及解析】
一、知识填空
1. 发生
2.
3.
4.1
二、思维拓展
1.（1）一般地，每一个随机试验都是在一定条件下进行的，这里所说的条件概率是当试验结果的一部分信息已知（即在原随机试验的条件上，再加上“某事件发生”的附加条件），求另一事件在此条件下发生的概率.
（2）通常情况下，事件B在“事件A已发生”这个附加条件下的概率与没有这个附加条件的概率是不同的.
2.（1）利用条件概率公式计算，其步骤：①用字母B，A分别表示已发生事件与待求概率的事件；②由古典概型概率计算公式分别计算与；③代入条件概率公式即得.
（2）利用缩小样本空间的方法计算，即确定事件B发生后对应进行的新的随机试验，再利用古典概型的概率公式计算相应的概率即可.
3.若A，B不是相互独立事件，则的求法是用条件概率的变形式.而可采用缩减样本空间法来计算，，其中表示事件AB包含的样本点个数，表示事件A包含的样本点个数.
三、基础练习
1.答案：C
解析：由题意，有放回的随机取两球，所以，因为事件“x，y中有偶数且”，
所以，因为事件“为偶数”，事件“x，y中有偶数且”，所以事件“x，y均为偶数且”，所以，所以.故选：C.
2.答案：C
解析：由题意可知：两人都没选择篮球，即，所以，
而：有一人选择篮球，另一人选别的兴趣班，则，所以，故选:C.
3.答案：B
解析：设甲、乙、丙三人获得优秀等级分别为事件A、B、C，则，，且A，B，C相互独立，设甲、乙、丙三人中恰有两人没达优秀等级为事件D，
则，
设乙没有达优秀等级为事件E，则，所以.故选：B.
4.答案：C
解析：设事件A为第1次抽到螺口灯泡，事件B为第2次抽到卡口灯泡，则在第1次抽到螺口灯泡的条件下，第2次抽到卡口灯泡的概率.故选C.
5.答案：A
解析：设事件A为甲去场地A，事件B为场地B有且只有1名志愿者，
事件A：甲去场地A，当剩下的3名大学生只去场地A，B，C，有种方案，当剩下的3名大学生只去场地B，C时，有种方案，共12种不同方案，事件:甲去场地A，且场地B有且只有1名志愿者，场地B，C各有1名志愿者时，有种方案，共9种方案，当甲去场地A时，场地B有且只有1名志愿者的概率为:.
故选:A.7.4.2 超几何分布
——高二数学人教A版（2019）选择性必修第三册课前导学
知识填空
1.超几何分布：一般地，假设一批产品共有N件，其中有M件次品.从N件产品中随机抽取n件（不放回），用X表示抽取的n件产品中的次品数，则X的分布列为___________，.
其中，，，.
如果随机变量X的分布列具有上式的形式，那么称随机变量X服从 .
2.超几何分布的均值：________.
思维拓展
1.求超几何分布的均值的步骤？
2.区别二项分布与超几何分布的方法有哪些？
基础练习
1.某10人组成兴趣小组，其中有5名团员，从这10人中任选4人参加某种活动，用X表示4人中的团员人数，则( )
A. B. C. D.
2.在15个村庄中，有7个村庄交通不方便，若用随机变量X表示任选10个村庄中交通不方便的村庄的个数，则X服从超几何分布，其参数为( )
A.，， B.，，
C.，， D.，，
3.已知离散型随机变量X服从二项分布，则下列选项正确的是( )
A. B.
C. D.
4.已知随机变量，若，，则( )
A. B. C. D.
5.如果随机变量，且，则( )
A. B. C. D.
【答案及解析】
一、知识填空
1. 超几何分布
2.
二、思维拓展
1.（1）先判断随机变量服从超几何分布，找出参数N，M，n的取值.
（2）利用公式，，求出分布列.
（3）利用均值定义求出均值.
2.一般地，超几何分布的模型是“取次品”，是不放回抽样，而二项分布的模型则是“独立重复试验”，对于抽样，则是有放回抽样，当产品的数量充分大，且抽取数量较小时，即便是不放回抽样，也可视其为二项分布，解题时应从本质上给予区分，切忌混淆.
三、基础练习
1.答案：D
解析：表示出抽取的4人中有3个团员，所以.故选：D.
2.答案：A
解析：根据超几何分布的概念可知选A.
3.答案：D
解析：由于X服从二项分布，故，，故AC错误，，，故C错误，D正确故选：D.
4.答案：B
解析：随机变量，则有，，由，解得，，所以.故选B.
5.答案：D
解析：因为，即，又因为随机变量，且，
则，解得.故选：D.7.3.1 离散型随机变量的均值
——高二数学人教A版（2019）选择性必修第三册课前导学
知识填空
1.离散型随机变量的均值：一般地，若离散型随机变量X的分布列如表所示，
X …
P …
则称____________________________为随机变量X的均值或数学期望，数学期望简称期望.
2.两点分布的均值：一般地，如果随机变量X服从两点分布，那么__________.
3.均值的性质：一般地，有_____________.
思维拓展
1.定义法求离散型随机变量的均值的步骤是什么？
2.利用均值的性质求随机变量的均值的方法有哪些？
3.离散型随机变量均值的实际应用有哪些？
基础练习
1.已知离散型随机变量X的分布列如下，若，则( )
X 0 a 2
P b
A. B.1 C. D.
2.一个袋子中装有6个红球和4个白球，假设每个球被摸到的可能性是相等的.从袋子中摸出2个球，其中白球的个数为X，则X的数学期望是( )
A. B. C. D.
3.设离散型随机变量X可能的取值为1，2，3，，.若X的均值，则等于( )
A. B.0 C. D.
4.已知随机变量X的分布列如下表所示，则( )
X 1 2 3
P a
A. B. C. D.
5.某一随机变量X的分布列如下表，且，则____________.
X 0 1 2 3
P 0.1 m 0.2 n
【答案及解析】
一、知识填空
1.
2.
3.
二、思维拓展
1.（1）理解随机变量X的实际意义，写出X全部可能的取值；
（2）求出随机变量X的每一个可能取值对应的概率；
（3）写出X的分布列（不一定是表格形式）；
（4）利用求出均值.
2.对于求型随机变量的均值，可以利用均值的性质进行求解，即，也可以先求出的分布列，再利用定义求得.
3.解答此类题目时，首先应把实际问题的概率模型化，然后利用有关概率的知识去分析相应各事件发生的可能性的大小，并求出分布列，最后利用公式求出均值，从而利用随机变量的均值对问题中的预测作出判断.
三、基础练习
1.答案：C
解析：由题意知，解得，因为，所以，即，则，解得，所以，故选：C.
2.答案：A
解析：由题意知，1，2，则，，.
所以.故A正确.故选：A.
3.答案：C
解析：由题意，得解得所以.故选C.
4.答案：C
解析：由分布列可得，解得，则，所以.故选：C.
5.答案：8
解析：由题意，得，解得，，所以，所以.故答案为：8.7.1.2 全概率公式
——高二数学人教A版（2019）选择性必修第三册课前导学
知识填空
1.全概率公式：一般地，设是一组两两 的事件，，且，，则对任意的事件，有 .此公式称为全概率公式.
2.*贝叶斯公式：设是一组两两互斥的事件，，且，，则对任意的事件，，有 ，.
思维拓展
1.应用全概率公式的解题步骤是什么？
2.贝叶斯公式与全概率公式的关系？
基础练习
1.3月15日是国际消费者权益日.中央电视台特地推出3.15公益晚会，曝光了食品、医美、直播等多领域乱象，在很大程度上震慑了一些不良商家，也增强了消费者的维权意识.一名市民在某商店买了一只灯泡，结果用了两个月就坏了，他拨打了12315投诉电话.通过调查，发现该商店将一些不合格灯泡混入一批合格灯泡中以次充好卖给顾客.假设合格灯泡在使用1000小时后损坏的概率为0.004，不合格灯泡在使用1000小时后损坏的概率为0.4，若混入的不合格灯泡数占灯泡总数的，现一顾客在该商店买一只灯泡，则该灯泡在使用1000小时后不会损坏的概率为( )
A.0.103 B.0.301 C.0.897 D.0.699
2.为践行“保护环境，绿色出行”的环保理念，李先生每天从骑自行车、坐公交车两种方式中随机选择一种去上班.已知他选择骑自行车的概率为0.6，且骑自行车准时到达单位的概率为0.95.若李先生准时到达单位的概率为0.93，则他坐公交车准时到达单位的概率为( )
A.0.6 B.0.7 C.0.8 D.0.9
3.某次考试共有8道单选题，某学生掌握了其中5道题，2道题有思路，1道题完全没有思路.掌握了的题目他可以选择唯一正确的答案，有思路的题目每道做对的概率为，没有思路的题目，只好任意猜一个答案，猜对的概率为.已知这个学生随机选一道题作答且做对了，则该题为有思路的题目的概率为( )
A. B. C. D.
4.某卡车为乡村小学运送书籍，共装有10个纸箱，其中5箱英语书、2箱数学书、3箱语文书.到目的地时发现丢失1箱，但不知丢失哪1箱.现从剩下9箱中任意打开2箱，结果都是英语书，则丢失的1箱也是英语书的概率为( )
A. B. C. D.
5.假定某工厂甲、乙、丙个车间生产同一种螺钉产量依次占全厂的、、如果各车间的次品率依次为、、.现在从待出厂产品中检查出个次品则它是由甲车间生产的概率是_______________.
【答案及解析】
一、知识填空
1.互斥
2.
二、思维拓展
1.（1）找出样本空间的完备事件组，并用字母表示各个事件；
（2）求出各组相关事件的概率或条件概率；
（3）代入全概率公式求得结果.
2.（1）全概率公式用于求结果概率，即全概率公式是“由因求果”，贝叶斯公式是“由果索因”
（2）利用贝叶斯公式求概率时，通常先利用全概率公式计算出复杂事件B的概率.
三、基础练习
1.答案：C
解析：由全概率公式，可得任取一零件，它是合格品的概率为.，故选：C.
2.答案：D
解析：设“李先生骑自行车上班”，“李先生坐公交车上班”，“李先生准时到达单位”，根据题意得，，，，设，则，解得.故选D.
3.答案：B
解析：设事件表示选到会做的题，事件表示选到有思路的题，事件表示选到完全没有思路的题；设事件B表示答对该题，则，，，设事件U表示答对某个题，则，设事件C表示将有思路的题目做对，则，故选：B
4.答案：B
解析：用A表示“丢失1箱后任取2箱是英语书”，用表示“丢失的1箱为k，分别表示英语书、数学书、语文书”.由全概率公式得，.故选B.
5.答案：
解析：设“从待出厂产品中取出1个是次品”为事件A从待出厂产品中取出1个产品是甲、乙、丙车间生产的事件分别为事件，则，，，，由全概率公式得，现在从待出厂产品中检查出1个次品则它是由甲车间生产的概率是.故答案为：.7.4.1 二项分布
——高二数学人教A版（2019）选择性必修第三册课前导学
知识填空
1.伯努利试验：只包含_______可能结果的试验叫做伯努利试验.
2.n重伯努利试验：将一个伯努利试验独立地重复进行n次所组成的随机试验称为n重伯努利试验.
n重伯努利试验的特征：（1）同一个伯努利试验重复做________次；（2）各次试验的结果___________.
3.二项分布：一般地，在n重伯努利试验中，设每次试验中事件A发生的概率为p（），用X表示事件A发生的次数，则X的分布列为____________，.如果随机变量X的分布列具有上式的形式，则称随机变量X服从二项分布，记作_________.
_________.
4.二项分布的均值与方差：如果，那么________，________.
思维拓展
1.求二项分布的分布列的解题步骤？
2.用二项分布求解实际应用题的步骤？
3.求二项分布的方差的步骤？
基础练习
1.在n重伯努利试验中，设每次成功的概率为，则失败的概率为，将试验进行到恰好出现r次成功时结束试验，用随机变量X表示试验次数，则称X服从以r，p为参数的帕斯卡分布，记为.已知，若，则p的最大值为( )
A. B. C. D.
2.若，则取得最大值时，( )
A.4或5 B.5或6 C.10 D.5
3.已知随机变量X服从二项分布，则等于( )
A. B. C. D.
4.某群体中的每位成员使用移动支付的概率都为p,各成员的支付方式相互独立.设X为该群体的10位成员中使用移动支付的人数,,则( )
A.0.7 B.0.6 C.0.4 D.0.3
5.现有10张分别标有-5，-4，-3，-2，-1,0,1,2,3,4的卡片，它们的大小和颜色完全相同，从中随机抽取1张，记下数后放回，连续抽取3次，则记下的数中有正有负且没有0的概率为( )
A. B. C. D.
【答案及解析】
一、知识填空
1.两个
2.n 相互独立
3. 1
4.
二、思维拓展
1.（1）确定随机变量服从二项分布及相应的参数n与p；
（2）写出随机变量的分布列：，；
（3）计算各概率值，即得表格形式的分布列.
2.（1）判断随机变量X服从二项分布，即.
（2）根据二项分布公式，求出分布列.
（3）求二项分布的均值可用公式求解.
3.（1）判断随机变量X服从二项分布.
（2）确定好分布的两个参数n与p.
（3）代入相应的公式，即时，.
三、基础练习
1.答案：C
解析：因为，所以，解得，即p的最大值为.故选：C.
2.答案：D
解析：因为，所以，当时，取得最大值，即取得最大值，所以.故选D.
3.答案：D
解析：.故选：D.
4.答案：B
解析：由题意得.因为,所以,解得或.因为,所以,即,解得,所以.故选B.
5.答案：B
解析：由题意，知每次抽到标有正数的卡片的概率为，抽到标有负数的卡片的概率为，抽到标有0的卡片的概率为，而记下的数中有正有负且没有0的情况有两种：2正1负，1正2负，则所求的概率为.

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