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2024--2025学年中考数学上第二轮专题复习
专题二 弧长、扇形面积的相关计算
一、知识总结
1.弧长及扇形的面积：
（1）半径为r，n°的圆心角所对的弧长公式： ；
（2）半径为R，n°的圆心角所对的扇形面积公式： (l是扇形的弧长)；
2.圆锥的侧面积和全面积：
圆锥的侧面展开图是一个扇形，若设圆锥的母线长为l，底面半径为r；
那么这个扇形的半径为圆锥的母线长l，扇形的弧长为圆锥的底面圆周长2πr。
（1）圆锥的侧面积公式：
(其中l是圆锥的母线长，r是圆锥的底面半径)；
（2）圆锥的全面积公式：
S圆锥全＝侧面积＋底面圆面积=πrl＋πr2；
3.求阴影部分面积的几种常见方法：
（1）公式法；
（2）割补法；
（3）拼凑法；
（4）等积变形构造方程法；
（5）去重法。
4.正方形的面积：设正方形边长为a，对角线长为b，S正方形=。
二、真题演练
这部分考题的考查题型基本是选择题、填空题，主要考查弧长的计算，阴影部分面积的计算，不规则图形面积的计算，从各地真题分析，命题在继承中有创新，创新体现在加大开放探究，注重学生实际情境中对学生思维认知能力的考查。
1．[2024年山西中考真题]如图①是小区围墙上的花窗，其形状是扇形的一部分，图②是其几何示意图（阴影部分为花窗）.通过测量得到扇形AOB的圆心角为，，点C，D分别为OA，OB的中点，则花窗的面积为________.
2．[2023年山西中考真题]中国高铁的飞速发展，已成为中国式现代化建设的重要标志，如图是高铁线路在转向处所设计的圆曲线（即圆弧），高铁列车在转弯时的曲线起点为A，曲线终点为B，过点A，B的两条切线相交于点C，列车在从A到B行驶的过程中转角为60°.若圆曲线的半径，则这段圆曲线的长为( )
A. B. C. D.
3．[2022年山西中考真题]如图，扇形纸片AOB的半径为3，沿AB折叠扇形纸片，点O恰好落在上的点C处，图中阴影部分的面积为( )
A. B. C. D.
4．[2021年山西中考真题]如图，正六边形ABCDEF的边长为2，以点A为圆心，AC的长为半径画弧，得，连接AC，AE，则图中阴影部分的面积为( )
A. B. C. D.
5．[2020年山西中考真题]中国美食讲究色香味美，优雅的摆盘造型也会让美食锦上添花，图①中的摆盘，其形状是扇形的一部分，图②是其几何示意图（阴影部分为摆盘），通过测量得到两点之间的距离为，圆心角为60°，则图中摆盘的面积是（ ）
A. B. C. D.
6．[2019年山西中考真题]如图，在中，，，，以AB的中点O为圆心，OA的长为半径作半圆交AC于点D，则图中阴影部分的面积为( )
A. B. C. D.
7．[2024年江苏无锡中考真题]已知圆锥的底面圆半径为3，母线长为4，则圆锥的侧面积为( )
A. B. C. D.
8．[2024年山东潍坊中考真题]如图，圆柱的底面半径为，高为1，下列关于该圆柱的结论正确的有( )
A.体积为 B.母线长为1
C.侧面积为 D.侧面展开图的周长为
9．[2024年宁夏中考真题]如图，是的外接圆，AB为直径，点D是的内心，连接AD并延长交于点E，过点E作的切线交AB的延长线于点F.
(1)求证：；
(2)连接CE，若的半径为2，，求阴影部分的面积(结果用含π的式子表示).
10．[2024年河北中考真题]已知的半径为3，弦，中，，，.在平面上，先将和按图1位置摆放（点B与点N重合，点A在上，点C在内），随后移动，使点B在弦上移动，点A始终在上随之移动，设.
（1）当点B与点N重合时，求劣弧的长；
（2）当时，如图2，求点B到的距离，并求此时x的值；
（3）设点O到的距离为d.
①当点A在劣弧上，且过点A的切线与垂直时，求d的值；
②直接写出d的最小值.
三、中考预测
预测2025年中考中这部分内容的以考查不规则图形面积、弧长计算、圆锥侧面计算为重点，综合应用圆周角定理及推论、切线的判定、性质进行计算与证明，注重在实际情境中对弧长，面积的考查，注重学生思维认知能力的考查。
1．如图，已知长方形ABCD的宽，以点B为圆心，线段AB的长为半径画弧与边BC交于点E，连接DE.若.
(1)用含x的代数式表示图中阴影部分的面积；
(2)当时，求图中阴影部分的面积.(计算结果保留)
2．如图，半圆O的直径，以长为2的弦为直径，向点O方向作半圆M，其中P点在弧上且不与A点重合，但Q点可与B点重合．
（1）弧的长与弧的长之和为定值l，请直接写出l的值；
（2）请直接写出点M与的最大距离，此时点间的距离；点M与的最小距离，此时半圆M的弧与所围成的封闭图形面积．
（3）当半圆M与相切时，求弧的长．
（注：结果保留，）
3．[2023届·河北唐山·二模]如图，点P是内一点，，垂足为点D，将线段绕点P顺时针旋转得到扇形，过点E作交于点M，连接，与弧交于点F，过点P作交于点N.
(1)求证：；
(2)已知，.
①通过计算比较线段和弧哪个长度更长；
②计算图中阴影部分的面积（结果保留）.（参考数据：）
.
4．如图，在矩形中，点边上，且,过点，垂足为点.
(1)求证：;
(2)以为圆心，长为半径作弧交于点，若求阴影部分的面积.(结果保留)
5．如图，秋千拉绳AB长为3m，静止时踩板离地面0.5m，某小朋友荡该秋千，当秋千在最高处时踩板离地面2m（左右对称），请计算该秋千所荡过的最大弧长（精确到0.1m）.
6．装有水的水槽放置在水平台面上，其横截面是以为直径的半圆，，如图和图所示，为水面截线，为台面截线，，半圆与相切于水槽最低点，如图，初始情况下，重合，且．
计算：在图1中．
（1）求圆心到水面的距离；
（2）求水槽最高和最低点之间的距离；
探究：将图中的水槽沿向右作无滑动的滚动，当时停止滚动，如图．
（）在图中画出此时的水面截线，并求圆心移动的距离．
拓展：在图滚动至图的过程中，有一段弧从未露出水面，求其所对扇形的面积．
（参考数据：，，）
7．在平面内，将小棒经过适当的运动，使它调转方向(调转前后的小棒不一定在同一条直线上)，那么小棒扫过区域的面积如何尽可能地小呢？
已知小棒长度为4，宽度不计．
方案1：将小棒绕中点O旋转180°到，设小棒扫过区域的面积为(即图中灰色区域的面积，下同)；
方案2：将小棒先绕A逆时针旋转60°到，再绕C逆时针旋转60°到，最后绕B逆时针旋转60°到，设小棒扫过区域的面积为．

(1)①______，______；(结果保留)
②比较与的大小．(参考数据：，．)
(2)方案2可优化为方案3：首次旋转后，将小棒先沿着小棒所在的直线平移再分别进行第2、3次旋转，三次旋转扫过的面积会重叠更多，最终小棒扫过的区域是一个等边三角形．
①补全方案3的示意图；
②设方案3中小棒扫过区域的面积为，求．
(3)设计方案4，使小棒扫过区域的面积小于，画出示意图并说明理由．
8．[2024届·广东东莞·二模]如图，菱形ABCD的边长为4cm，，弧BD是以点A为圆心，AB长为半径的弧，弧CD是以点B为圆心，BC长为半径的弧，则阴影部分的面积为______.
9．[2024届·山东济宁·模拟考试]如图,在矩形中,以点D为圆心,长为半径画弧,以点C为圆心,长为半径画弧,两弧恰好交于边上的点E处,若,则阴影部分的面积为____.
10．[2023届·山西太原·一模校考]《梦溪笔谈》是北宋的沈括所著的笔记体综合性科学著作，其中收录了计算圆弧长度的“会圆术”，如图，弧是以点O为圆心，为半径的圆弧，C是弦的中点，且.“会圆术”给出弧的弧长的近似值s的计算公式： .当，时，_____.
11．如图，在矩形中，，，以A为圆心，长为半径画弧交于点E，以C为圆心，长为半径画弧交的延长线于点F，则图中阴影部分的面积是_____.
12．如图，在中，，，.现分别以点B，C为圆心，大于长为半径画弧，两弧交于点M，N，连接MN，交BC于点D，以点D为圆心，CD长为半径画弧，交AB于点E，则图中阴影部分的面积为____________(结果保留).
圆锥是生活中常见的立体图形，如雪糕筒，漏斗，羽毛球，路障等，赵亮同学用一个如图①所示的扇形围成如图②所示的圆锥，为圆锥的高，点D为母线上的中点，，为底面圆半径，，求图①中的长度．（参考数据：取，，）
解：如图②，因为，所以，
因为在中，点D为边中点，，
所以（__________）（填推理依据），
_________（填“”或“”）．
如图①，所以_______（填相应的三角形函数值）________（）（结果精确到）．
2024--2025学年中考数学上第二轮专题复习
专题二 弧长、扇形面积的相关计算（解析版）
一、知识总结
1.弧长及扇形的面积：
（1）半径为r，n°的圆心角所对的弧长公式： ；
（2）半径为R，n°的圆心角所对的扇形面积公式： (l是扇形的弧长)；
2.圆锥的侧面积和全面积：
圆锥的侧面展开图是一个扇形，若设圆锥的母线长为l，底面半径为r；
那么这个扇形的半径为圆锥的母线长l，扇形的弧长为圆锥的底面圆周长2πr。
（1）圆锥的侧面积公式：
(其中l是圆锥的母线长，r是圆锥的底面半径)；
（2）圆锥的全面积公式：
S圆锥全＝侧面积＋底面圆面积=πrl＋πr2；
3.求阴影部分面积的几种常见方法：
（1）公式法；
（2）割补法；
（3）拼凑法；
（4）等积变形构造方程法；
（5）去重法。
4.正方形的面积：设正方形边长为a，对角线长为b，S正方形=。
二、真题演练
这部分考题的考查题型基本是选择题、填空题，主要考查弧长的计算，阴影部分面积的计算，不规则图形面积的计算，从各地真题分析，命题在继承中有创新，创新体现在加大开放探究，注重学生实际情境中对学生思维认知能力的考查。
1．[2024年山西中考真题]如图①是小区围墙上的花窗，其形状是扇形的一部分，图②是其几何示意图（阴影部分为花窗）.通过测量得到扇形AOB的圆心角为，，点C，D分别为OA，OB的中点，则花窗的面积为________.
答案：
解析：由题意知,,
点C,D分别是,的中点,
,
,
花窗的面积为,
故答案为:.
2．[2023年山西中考真题]中国高铁的飞速发展，已成为中国式现代化建设的重要标志，如图是高铁线路在转向处所设计的圆曲线（即圆弧），高铁列车在转弯时的曲线起点为A，曲线终点为B，过点A，B的两条切线相交于点C，列车在从A到B行驶的过程中转角为60°.若圆曲线的半径，则这段圆曲线的长为( )
A. B. C. D.
答案：B
解析：由题意可知，，，，
的长度为.
3．[2022年山西中考真题]如图，扇形纸片AOB的半径为3，沿AB折叠扇形纸片，点O恰好落在上的点C处，图中阴影部分的面积为( )
A. B. C. D.
答案：B
解析：连接OC，则，是等边三角形，.同理，，.，四边形ACBO是菱形，，.
4．[2021年山西中考真题]如图，正六边形ABCDEF的边长为2，以点A为圆心，AC的长为半径画弧，得，连接AC，AE，则图中阴影部分的面积为( )
A. B. C. D.
答案：A
解析：六边形ABCDEF是正六边形，，，，，，.如图，过点B作于点H，则，，.
5．[2020年山西中考真题]中国美食讲究色香味美，优雅的摆盘造型也会让美食锦上添花，图①中的摆盘，其形状是扇形的一部分，图②是其几何示意图（阴影部分为摆盘），通过测量得到两点之间的距离为，圆心角为60°，则图中摆盘的面积是（ ）
A. B. C. D.
答案：B
解析：
6．[2019年山西中考真题]如图，在中，，，，以AB的中点O为圆心，OA的长为半径作半圆交AC于点D，则图中阴影部分的面积为( )
A. B. C. D.
答案：A
解析：在中，，，，
，
，，
，，
阴影部分的面积是：，
故选：A.
7．[2024年江苏无锡中考真题]已知圆锥的底面圆半径为3，母线长为4，则圆锥的侧面积为( )
A. B. C. D.
答案：B
解析：，
故选：B.
8．[2024年山东潍坊中考真题]如图，圆柱的底面半径为，高为1，下列关于该圆柱的结论正确的有( )
A.体积为 B.母线长为1
C.侧面积为 D.侧面展开图的周长为
答案：BC
解析：A.圆柱的底面半径为，高为1，
圆柱的体积为，故选项A不符合题意；
B.圆柱的高为1，
圆柱的母线长为1，故选项B正确，符合题意；
C.圆柱的底面半径为，高为1，
圆柱的底面周长为，
侧面积为，故选项C正确，符合题意；
D.圆柱的底面周长为，高为1，
圆柱的侧面展开图的周长为，故选项D错误，不符合题意
综上，正确的结论为B，C，
故选：BC.
9．[2024年宁夏中考真题]如图，是的外接圆，AB为直径，点D是的内心，连接AD并延长交于点E，过点E作的切线交AB的延长线于点F.
(1)求证：；
(2)连接CE，若的半径为2，，求阴影部分的面积(结果用含π的式子表示).
答案：(1)见解析
(2)
解析：(1)证明：连接OE，交BC于点G，
，
，
又为的内心，
，
，
，
又为的直径，
，
，
又为的切线且OE为的半径，
，
，
；
(2)连接BE，
，
，
，
，，
，
.
10．[2024年河北中考真题]已知的半径为3，弦，中，，，.在平面上，先将和按图1位置摆放（点B与点N重合，点A在上，点C在内），随后移动，使点B在弦上移动，点A始终在上随之移动，设.
（1）当点B与点N重合时，求劣弧的长；
（2）当时，如图2，求点B到的距离，并求此时x的值；
（3）设点O到的距离为d.
①当点A在劣弧上，且过点A的切线与垂直时，求d的值；
②直接写出d的最小值.
答案：（1）π
（2）点B到的距离为2；3
（3）①；②
解析：（1）如图，连接，，
的半径为3，，，为等边三角形，，的长为；
（2）过B作于I，过O作于H，连接，，，四边形是矩形，，，
，，，而，，点B到的距离为2；，，，，；
（3）①如图，过点A的切线与垂直，过圆心，
过O作于J，过O作于K，而，四边形为矩形，，，，，，，，即；
②如图，当B为中点时，过O作于L，过O作于J，，，此时最短，
如图，过A作于Q，而，B为中点，则，由（2）可得，，，
，，，，，设，则，，解得：（不符合题意的根舍去），d的最小值为.
三、中考预测
预测2025年中考中这部分内容的以考查不规则图形面积、弧长计算、圆锥侧面计算为重点，综合应用圆周角定理及推论、切线的判定、性质进行计算与证明，注重在实际情境中对弧长，面积的考查，注重学生思维认知能力的考查。
1．如图，已知长方形ABCD的宽，以点B为圆心，线段AB的长为半径画弧与边BC交于点E，连接DE.若.
(1)用含x的代数式表示图中阴影部分的面积；
(2)当时，求图中阴影部分的面积.(计算结果保留)
答案：(1)
(2)
解析：(1)AB、BE是半径，，
，
，
长方形ABCD的宽，
，，，
；
(2)当时，.
2．如图，半圆O的直径，以长为2的弦为直径，向点O方向作半圆M，其中P点在弧上且不与A点重合，但Q点可与B点重合．
（1）弧的长与弧的长之和为定值l，请直接写出l的值；
（2）请直接写出点M与的最大距离，此时点间的距离；点M与的最小距离，此时半圆M的弧与所围成的封闭图形面积．
（3）当半圆M与相切时，求弧的长．
（注：结果保留，）
答案：（1）；
（2），2，，；
（3）半圆M与相切，分两种情况：
①如图1，半圆M与切于点T时，连结．则，
在中，，．
在中，，，即，
．弧的长．
②如图2，半圆M与切于点S时，连结．
根据圆的对称性，同理得弧的长为，得弧的长为．
综上，弧的长为或．
解析：

3．[2023届·河北唐山·二模]如图，点P是内一点，，垂足为点D，将线段绕点P顺时针旋转得到扇形，过点E作交于点M，连接，与弧交于点F，过点P作交于点N.
(1)求证：；
(2)已知，.
①通过计算比较线段和弧哪个长度更长；
②计算图中阴影部分的面积（结果保留）.（参考数据：）
答案：(1)见解析
(2)①更长
②
解析：（1）证明：，
，
将线段绕点P顺时针旋转得到，
，，
，
，
，
，
，
，
在和中，
，
；
（2）①，
，
在中，，
，
，
，
弧长度，
；
更长；
②，
，，
.
4．如图，在矩形中，点边上，且,过点，垂足为点.
(1)求证：;
(2)以为圆心，长为半径作弧交于点，若求阴影部分的面积.(结果保留)
答案：(1)证明四边形是矩形, 在中,
(2)解：
由(1)知，阴影部分的面积=的面积-扇形的面积
解析：
5．如图，秋千拉绳AB长为3m，静止时踩板离地面0.5m，某小朋友荡该秋千，当秋千在最高处时踩板离地面2m（左右对称），请计算该秋千所荡过的最大弧长（精确到0.1m）.
答案：解：由题意得，m，m，m，
作于点G，
则 m，
m，在中，，
，
根据对称性，知，
故秋千所荡过的最大弧长是（m）.
解析：
6．装有水的水槽放置在水平台面上，其横截面是以为直径的半圆，，如图和图所示，为水面截线，为台面截线，，半圆与相切于水槽最低点，如图，初始情况下，重合，且．
计算：在图1中．
（1）求圆心到水面的距离；
（2）求水槽最高和最低点之间的距离；
探究：将图中的水槽沿向右作无滑动的滚动，当时停止滚动，如图．
（）在图中画出此时的水面截线，并求圆心移动的距离．
拓展：在图滚动至图的过程中，有一段弧从未露出水面，求其所对扇形的面积．
（参考数据：，，）
【答案】计算：（1）；（2）；（3）；拓展：
【分析】（1）设交于点，根据垂径定理得出，进而勾股定理即可求解；
（2）连接，勾股定理求得，进而根据，即可求解；
（3）根据解直角三角形得出，则，依题意，点移动的距离即为的长，根据弧长公式，即可求解；
拓展：作，则段弧从未露出水面，进而根据扇形面积公式，即可求解．
【详解】（1）解：如图所示，设交于点，
∵，则，
∵
∴
∴，
在中，
即圆心到水面的距离；
（2）如图所示，连接，
∵是直径，
∴，
∴
由（1）可得
∴
∴和最低点之间的距离为；
（3）如图所示，
∵
∴
∴，
又∵
∴
根据题意，点移动的距离即为的长，
7．在平面内，将小棒经过适当的运动，使它调转方向(调转前后的小棒不一定在同一条直线上)，那么小棒扫过区域的面积如何尽可能地小呢？
已知小棒长度为4，宽度不计．
方案1：将小棒绕中点O旋转180°到，设小棒扫过区域的面积为(即图中灰色区域的面积，下同)；
方案2：将小棒先绕A逆时针旋转60°到，再绕C逆时针旋转60°到，最后绕B逆时针旋转60°到，设小棒扫过区域的面积为．

(1)①______，______；(结果保留)
②比较与的大小．(参考数据：，．)
(2)方案2可优化为方案3：首次旋转后，将小棒先沿着小棒所在的直线平移再分别进行第2、3次旋转，三次旋转扫过的面积会重叠更多，最终小棒扫过的区域是一个等边三角形．
①补全方案3的示意图；
②设方案3中小棒扫过区域的面积为，求．
(3)设计方案4，使小棒扫过区域的面积小于，画出示意图并说明理由．
【答案】(1)①，；②
(2)①见解析；②
(3)见解析
【分析】（1）①利用圆的面积公式计算，利用方案2扫过区域为三个圆心角为60°且半径为4的扇形面积减去两倍的面积计算；
②利用参考数据计算近似值再比较即可；
（2）①依题意补全方案3的示意图即可；
②利用等边三角形的高是4，计算出底边，再利用面积公式计算即可；
（3）作等边，首先让点B在上运动，点A在的延长线上，运动，使得的长度保持不变，当点B运动到点C时，由此边调转到边，接着两次同样的方式旋转到边和边，从而得到最终小棒扫过的区域，由于所得区域非常不规则，因此可以利用放缩法证明．
【详解】（1）解：①由依题意得：，
，
∴
又依题意得：方案2扫过区域为三个圆心角为60°且半径为4的扇形面积减去两倍的面积．等边三角形的面积公式：，为等边三角形的边长．
∴
故答案是：，；
②∵，，，
∴；
（2）①依题意补全方案3的示意图如下：

②连接，M为切点，则的中点，

设，则，
由勾股定理得：，即，
解得：，
∴，
∴．
（3）设计方案4：如下图，是等边三角形，首先让点B在上运动，点A在的延长线上运动，使得的长度保持不变，当点B运动到点C时，由此边调转到边，接着两次同样的方式旋转到边和边，最终小棒扫过的区域是如下图所示．

对于第一次旋转，当旋转旋转到时，此时，
又作，则
依题意得：阴影部分比等边三角形多三块全等的图形，记每块面积为，
则有，F为的中点，
∵，
∴，
∴，
∴．
8．[2024届·广东东莞·二模]如图，菱形ABCD的边长为4cm，，弧BD是以点A为圆心，AB长为半径的弧，弧CD是以点B为圆心，BC长为半径的弧，则阴影部分的面积为______.
答案：
解析：如图，连接BD，
四边形ABCD是菱形，
，
，
是等边三角形，
，
又菱形的对边，
，
，
，
，，
，
.
故答案为.
9．[2024届·山东济宁·模拟考试]如图,在矩形中,以点D为圆心,长为半径画弧,以点C为圆心,长为半径画弧,两弧恰好交于边上的点E处,若,则阴影部分的面积为____.
答案：/0.5
解析：连接,如下图：
∵四边形是矩形,,
∴,,,
∴,,
∴扇形的面积为：,
∵的面积为：,
∴阴影部分的面积为：.
故答案为：.
10．[2023届·山西太原·一模校考]《梦溪笔谈》是北宋的沈括所著的笔记体综合性科学著作，其中收录了计算圆弧长度的“会圆术”，如图，弧是以点O为圆心，为半径的圆弧，C是弦的中点，且.“会圆术”给出弧的弧长的近似值s的计算公式： .当，时，_____.
答案：3
解析：如图所示，连接，
，，C是弦的中点，
，，，
，
O、C、D三点共线，
，
.
故答案为：3.
11．如图，在矩形中，，，以A为圆心，长为半径画弧交于点E，以C为圆心，长为半径画弧交的延长线于点F，则图中阴影部分的面积是_____.
答案：
解析：在矩形中，，，，
，，
图中阴影部分的面积为：
.
故答案为：.
12．如图，在中，，，.现分别以点B，C为圆心，大于长为半径画弧，两弧交于点M，N，连接MN，交BC于点D，以点D为圆心，CD长为半径画弧，交AB于点E，则图中阴影部分的面积为____________(结果保留).
答案：
解析：连接DE，如图.由题中作图步骤可知点D为BC边的中点，.
，，，，，，，.
圆锥是生活中常见的立体图形，如雪糕筒，漏斗，羽毛球，路障等，赵亮同学用一个如图①所示的扇形围成如图②所示的圆锥，为圆锥的高，点D为母线上的中点，，为底面圆半径，，求图①中的长度．（参考数据：取，，）
解：如图②，因为，所以，
因为在中，点D为边中点，，
所以（__________）（填推理依据），
_________（填“”或“”）．
13 .如图①，所以_______（填相应的三角形函数值）________（）（结果精确到）．
【答案】在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半，，，
【分析】本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长，三角函数的应用，根据在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半得，再根据，求出r，再根据弧长等于圆锥底面圆的周长即可得出答案．
【详解】解：如图②，因为，所以，
因为在中，点D为边中点，，
所以（在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半）（填推理依据），
（填“”或“”）．
如图①，所以（填相应的三角形函数值）（）（结果精确到）．
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