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2.3简谐运动的回复力和能量
第二章 机械振动
回复力
简谐运动的能量
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01
02
03
04
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CONTENTS
回复力
PART 1
思考：当我们把弹簧振子的小球拉离平衡位置释放后，小球就会在平衡位置附近做简谐运动。小球的受力满足什么特点才会做这种运动呢？系统中各能量间的转化是否具有周期性？
2.特征：
(1)有一个“中心位置”，也是振动物体静止时的位置；
(2)运动具有往复性。
O
A
B
C
D
O
A
B
C
D
O
A
B
C
D
O
A
B
C
D
O
A
B
C
D
O
A
B
C
D
O
A
B
C
D
O
B
C
D
A
X
X
X
X
X
X
F
F
F
F
F
F
O
A
B
观察弹簧振子的运动，并尝试做出以下8个时刻小球的合力和位移方向？
根据胡克定律
回复力的大小F回＝k|x| （k为弹簧的劲度系数）
由于力F的方向总是与位移X的方向相反，即总是指向平衡位置。它的作用总是要把物体拉回到平衡位置，所以称为回复力。
一、回复力
1.定义:做简谐运动的物体偏离平衡位置后受到的迫使它回到平衡位置的力称为回复力。
2.特点:
按力的作用效果命名，方向始终指向平衡位置
3.来源：
回复力可以是弹力,也可以是其它力(包括摩擦力);
可以是某一个力，或几个力的合力,或者某个力的分力.
M
m
m
4.表达式:F=-kx
即回复力的大小与位移大小成正比,“-”表明回复力的方向与位移方向相反,k是一个常数,由振动系统决定。
对一般的简谐运动，由于回复力不一定是弹簧的弹力，所以K不一定是劲度系数
例1.在劲度系数为k，原长为L0的固定于一点的弹簧下端挂一质量为m的小球，释放后小球做上下振动，此过程弹簧没有超出弹性限度，小球的振动是简谐运动吗？
解：规定向下为正方向
平衡位置:
振子在C点受到的弹力为:
振子受的回复力：
所以，小球的振动是简谐运动
解：小球在斜面上平衡时，设弹簧伸长量为Δl，
有mgsin α－kΔl＝0
当小球离开平衡位置向下运动的位移为x时，
弹簧伸长量为x＋Δl，小球所受合力
F合＝mgsin α－k(x＋Δl)
联立可得F合＝－kx，可知小球做简谐运动
例2.一个振动，如果回复力与偏离平衡位置的位移成正比且方向与位移相反，就能判定它是简谐运动。请你据此证明：把图中倾角为α的光滑斜面上的小球沿斜面拉下一段距离，然后松开，小球的运动是简谐运动
解：设水的密度为 ，横截面积为S，静止时浸入水中的深度为h0，则
假设木筷离开平衡位置的位移为x，木筷所受的浮力
规定向下为正方向，则木筷所受的回复力
由此可知，木筷的运动是简谐运动。
例3.某人想判定以下振动是不是简谐运动，请你陈述求证的思路（可以不做定量证明）：粗细均匀的一条木筷，下端绕几圈铁丝，竖直浮在较大的筒中(图11.3-4)。把木筷往上提起一段距离后放手，木筷就在水中上下振动
例4.如图，弹簧振子在光滑水平面上以振幅A做简谐运动，质量为M的滑块上放一个质量为m砝码，m 随 M 一起做简谐运动，已知弹簧的劲度系数为k，试求：m做简谐运动的回复力？
解：设向右为正方向，以整体为研究对象。
经分析可知，静摩擦力给m提供了回复力
=ma=-
k不一定是劲度系数而是回复力与位移的比例系数。
5.判断物体是否做简谐运动的两种方法
(1).运动学特征：x-t图像为正弦曲线
(2).动力学特征：F-x 满足 F=-kx的形式
(3).常用步骤：
（1）找平衡位置 （2）找回复力
（3）找F=-kx （4）找方向关系
例5.关于简谐运动回复力,说法正确的是 (　　)
A.回复力是使物体回到平衡位置的力,它只能由物
体受到的合外力来提供
B.物体到达平衡位置,回复力一定为零
C.回复力的方向总是跟物体离开平衡位置的位移方
向相同
D.回复力的方向总是跟物体的速度方向相反
B
例6.在光滑水平面上做简谐运动的弹簧振子
的质量是2 kg,当它运动到平衡位置左侧
2 cm处时,受到的回复力是4 N。当它运动到
平衡位置右侧4 cm处时,它的加速度是 (　　)
A.2 m/s2,方向向右　 B.2 m/s2,方向向左
C.4 m/s2,方向向右　　D.4 m/s2,方向向左
D
例7.对于弹簧振子的回复力和位移的关系，下列图中正确的是(　　)
C
例8.一质点做简谐运动，其振动图像如图所示，在t1和t2时刻的位移为x1＝x2＝7 cm，在t3时刻的位移为x3＝－5 cm，以v1、v2、v3和a1、a2、a3分别表示t1、t2、t3时刻质点振动速度大小和加速度大小，则以下关系正确的是(　　)
A．v1＝v2＞v3　a1＝a2＞a3
B．v1＝v2＜v3　a1＝a2＜a3
C．v1＝v2＞v3　a1＝a2＜a3
D．v1＝v2＜v3　a1＝a2＞a3
D
例9.(多选)如图所示，物体A与滑块B一起在光滑水平面上做简谐运动，A、B之间无相对滑动，已知水平轻质弹簧的劲度系数为k，A、B的质量分别为m和M，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，重力加速度为g，则下列说法正确的是(　　 )
A．物体A的回复力是由滑块B对物体A的摩擦力提供的
B．滑块B的回复力是由弹簧的弹力提供的
C．物体A与滑块B(整体看成一个振子)的回复力大小跟位移大小之比为k
D．若A、B之间的动摩擦因数为μ，则A、B间无相对滑动的最大振幅
为
ACD
简谐运动的能量
PART 2
弹簧振子中小球的速度在不断变化，因而它的动能在不断变化；弹簧的伸长量或压缩量在不断变化，因而它的势能也在不断变化。弹簧振子的能量变化具有什么规律呢？
O
Q
P
O
Q
P
位置 Q Q→O O O→P P
位移的大小
速度的大小
动能
弹性势能
机械能
最大
↓
0
↑
最大
0
↑
最大
↓
0
0
↑
最大
↓
0
最大
↓
0
↑
最大
不变
不变
不变
不变
不变
二、简谐运动中的能量
1.定义：指振动系统的机械能,振动的过程就是动能和势 能互相转化的过程。
2.简谐运动中的机械能总量不变，即机械能守恒，是理
想化模型。
3.简谐运动的能量与振幅有关，振幅越大，振动的能量越大。
03.
t
E
0
机械能
势能
动能
Q
P
O
4.物体在做简谐运动时的Ek-t和Ep-t及E-t图像
O
Q
P
5.在简谐运动中,动能和势能完成一次周期性变化的时间是物体振动周期的一半。
例10.(2024陕西西安第八十三中学月考)如图所示,在光滑的水平台面上,一轻弹簧左端固定,右端连接一金属小球,O点是弹簧保持原长时小球的位置。压缩弹簧使小球至A位置,然后释放小球,小球就在A、B间做往复运动(已知AO=OB)。小球从A位置运动到B位置的过程中,下列判断正确的是( )
A.小球的动能不断增加
B.弹簧的弹性势能不断减少
C.在任一位置弹簧的弹性势能和小球的动能之和保持不变
D.小球运动到O点时的动能与此时弹簧的弹性势能相等
C
例11.(2024江苏南通海门期中)如图所示,固定的与地面夹角为θ的
光滑斜面顶端固定一垂直斜面的挡板,劲度系数为k的轻弹簧一端固
定一个质量为m的小物体,另一端固定在挡板上。物体在平行斜面方
向上的A、B两点间做简谐运动,当物体振动到最高点A时,弹簧正好
为原长。已知重力加速度为g,则物体在向下振动的过程中 (　　)
A.物体的动能不断增大
B.物体在B点时受到的弹力大小为2mg sin θ
C.物体在A、B两点的加速度相同
D.在平衡位置处,弹簧的弹性势能和物体的重力势能之和最大
B
例12.(2023北京丰台期末)如图甲所示,弹簧振子的平衡位置为O点,在A、B两点之间做简谐运动,取向右为正方向,以振子从A点开始运动的时刻作为计时起点,振子的位移x随时间t的变化如图乙所示,下列说法正确的是( )
A.振子的振动方程为x=10 sin cm
B.t=0.8 s时,振子的加速度方向向右
C.t=0.8 s到t=1.2 s的时间内,振子的回复力逐渐增大
D.t=1.2 s到t=1.6 s的时间内,振子的动能逐渐减小
D
例13.如图所示，一水平弹簧振子在P、Q间做简谐运动，振幅为A，取平衡位置O处为原点，向右为正，则图中表示振子速度v与振动位移x关系的图像可能正确的是（　　）
A．
B．
C．
D．
D
例14.(2024江苏苏州大学附属中学月考)如图所示,倾角为α的斜面体(斜面光滑且足够长)固定在水平地面上,斜面顶端与劲度系数为k、自然长度为L的轻质弹簧相连,弹簧的另一端连接着质量为m的物块。压缩弹簧使其长度为L时将物块由静止开始释放,物块开始做简谐运动。重力加速度为g。求:
(1)物块处于平衡位置时弹簧的形变量Δx;
(2)物块的振幅和加速度的最大值;
(3)物块做简谐运动过程中弹簧的最大长度。
解：(1)物块做简谐运动时回复力为F=-kx,物块处于平衡位置时所受合力为零。
设物块在斜面上平衡时,弹簧伸长量为Δx,有
mg sin α-kΔx=0
解得弹簧的形变量Δx=
(1)物块处于平衡位置时弹簧的形变量Δx;
(2)物块的振幅和加速度的最大值;
解：(2)物块处于平衡位置时,弹簧的长度为L'=L+Δx=L+
物块的振幅为A=L'-L=L+
在初始位置时,加速度最大,有mg sin α+k=ma
解得a=g sin α+
(3)物块做简谐运动过程中弹簧的最大长度。
解：(3)由对称性可知,弹簧的最大长度为Lm=L'+A=+
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