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高中数学 必修 2
第六章平面向量
设 为 ABC所在平面上一点，角 A,B,C所对边长分别为 a,b,c，则

（1）O为 的外心 2 2 2 ABC OA OB OC .
2 （ ）O为 ABC的重心 OA OB OC 0 .
3 （ ）O为 ABC的垂心 OA OB OB OC OC OA .
4 （ ）O为 ABC的内心 aOA bOB cOC 0 .
【6.1】平面向量的概念
1、向量的定义及表示（向量无特定的位置，因此向量可以作任意的平移）
（1）定义：既有大小又有方向的量叫做向量.
（2）表示：①有向线段：带有方向的线段，它包含三个要素：起点、方向、长度；
②向量的表示：
2、向量的有关 概念：相等向量是平行
（共线）向量，但平行（共线）向量不一定是相等向量
向量名称 定义
零向量 长度为 0的向量，记作 0
单位向量 长度等于 1个单位长度的向量
平行向量 方向相同或相反的非零向量，向量 a，b 平行，记作 a∥b，
（ 共 线 向 规定：零向量与任一向量平行
量）
相等向量 长度相等且方向相同的向量；向量 a，b 相等，记作 a＝b
1
【6.2】平面向量的运算
1、向量的加法
（1）定义：求两个向量和的运算.
（2）运算法则：
向量求和的法则 图示 几何意义
三角形法则 已知非零向量 a，b，在平面内任取一
使用三角形法则时要注意 点 A，作 ＝a， ＝b，则向量
“首尾相接”的条件，而向量 叫做 a 与 b 的和，记作 a＋b，即 a＋b
加法的平行四边法则应用的 ＝ ＋ ＝
前提是共起点
平行四边形法则 以同一点 O 为起点的两个已知向量
a，b，以 OA，OB为邻边作 OACB，
则以 O 为起点的向量 （OC 是
OACB的对角线）就是向量 a 与 b
的和
（3）规定：对于零向量与任意向量 a，规定 a＋0＝0＋a＝a.
（4）位移的合成可以看作向量加法三角形法则的物理模型；力的合成可以看作向量加
法平行四边形法则的物理模型.
（5）一般地我们有|a＋b|≤|a|＋|b|，当且仅当 a，b 方向相同时等号成立.
（6）向量加法的运算律与实数加法的运算律相同
2、向量的减法
（1）相反向量（利用相反向量的定义，－ ＝ 就可以把减法转化为加法）
定义：我们规定，与向量 a 长度相等，方向相反的向量，叫做 a 的相反向量
性质：①对于相反向量有：a＋（－a）＝0；②若 a，b 互为相反向量，则 a＝－b，a
＋b＝0；③零向量的相反向量仍是零向量
（2）向量减法运算（向量的减法是向量加法的一种逆运算）
定义：求两个向量差的运算叫做向量的减法.
a－b＝a＋（－b），减去一个向量就等于加上这个向量的相反向量.
几何意义：a－b 表示为从向量 b 的终点指向向量 a 的终点的向量.
3、向量的数乘运算（实数与向量可以进行数乘运算，但不能进行加减运算）
（1）定义：规定实数λ与向量 a 的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘，记作：λa，
它的长度和方向规定如下：
①|λa|＝|λ||a|；②当λ>0时，λa 的方向与 a 的方向相同；当λ<0时，λa 的方向与 a 的方
向相反.
③由①可知，当λ＝0时，λa＝0；由①②知，（－1）a＝－a.
2
（2）运算律：设λ，μ为任意实数，则有：①λ（μa）＝（λμ）a；②（λ＋μ）a＝λa＋μa；
③λ（a＋b）＝λa＋λb；
特别地，有（－λ）a＝－（λa）＝λ（－a）；λ（a－b）＝λa－λb.
（3）向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算，向量的线性运算结果仍是向
量.对于任意向量 a，b，以及任意实数λ，μ1，μ2，恒有λ（μ1 a±μ2b）＝λμ1 a±λμ2 b.
（4）共线向量定理：向量 a（a≠0）与 b 共线的充要条件是：存在唯一一个实数λ，使
b＝λa.也就是说，位于同一直线上的向量可以由位于这条直线上的一个非零向量表示.
4、向量的数量积
（1）向量的夹角：两向量的夹角与两直线的夹角的范围不同，向量夹角范围是[0，π]，

而两直线夹角的范围为 0，
2
（2）向量的夹角的定义：已知两个非零向量 a，b，O是平面上的任
意一点，作向量 ＝a， ＝b，则∠aOb＝θ（0≤θ≤π）叫做向量 a
与 b 的夹角.
当θ＝0时，a 与 b 同向；当θ＝π时，a 与 b 反向.
a b 如果 与 的夹角是 ，我们说 a 与 b 垂直，记作 a⊥b.
2
（3）向量的数量积及其几何意义：向量的数量积是一个实数，不是向量，它的值可正
可负可为 0
（4）向量的数量积的定义：已知两个非零向量 a 与 b，它们的夹角为θ，我们把数量
|a||b|cosθ叫做向量 a 与 b 的数量积（或内积），记作 a·b，即 a·b＝|a||b|cosθ.规定：零向
量与任一向量的数量积为 0.
（5）投影：如图，设 a，b 是两个非零向量， ＝a， ＝b，我们
考虑如下变换：过 的起点 a 和终点 b，分别作 所在直线的垂线，
垂足分别为 A 1，B 1得到 1 1，我们称上述变换为向量 a 向向量 b 投
影， 1 1叫做向量 a 在向量 b 上的投影向量.
（6）向量数量积的性质
设 a，b 是非零向量，它们的夹角是θ，e 是与 b 方向相同的单位向量，则
①a·e＝e·a＝|a|cosθ②a⊥b a·b＝0③当 a 与 b 同向时，a·b＝|a||b|；当 a 与 b 反向时，a·b
＝－|a||b|，特别地，a·a＝|a|2或|a|＝ · .在求解向量的模时一般转化为模的平方，但不
要忘记开方④|a·b|≤|a|·|b|.
（7）运算律：①a·b＝b·a；②（a＋b）·c＝a·c＋b·c
（8）运算性质：类比多项式的乘法公式
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【6.3】平面向量基本定理及坐标表示
1、平面向量基本定理（定理中要特别注意向量 e 1与向量 e 2是两个不共线的向量）
条件：e 1，e2是同一平面内的两个不共线向量
结论：对于这一平面内的任意向量 a，有且只有一对实数λ1，λ2，使 a＝λ1 e 1＋λ2 e 2
基底：不共线的向量 e 1，e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底
2、平面向量的坐标表示
（1）基底：在平面直角坐标系中，设与 x轴、y轴方向相同的两个单位向量分别为 i，
j，取{i，j}作为基底.
（2）坐标：对于平面内的一个向量 a，由平面向量基本定理可知，有且仅有一对实数
x，y，使得 a＝xi＋yj，则有序数对（x，y）叫做向量 a 的坐标.
（3）坐标表示：a＝（x，y）.
（4）特殊向量的坐标：i＝（1，0），j＝（0，1），0＝（0，0）.
（5）平面向量的加减法坐标运算（可类比实数的加减运算法则进行记忆）
设向量 a＝（x 1，y 1），b＝（x 2，y 2），λ∈R，则有下表：
文字描述 符号表示
加法 两个向量和的坐标分别等于这两个向量相应 a＋b＝（x 1＋x 2，y 1＋y 2）
坐标的和
减法 两个向量差的坐标分别等于这两个向量相应 a－b＝（x 1－x 2，y 1－y 2）
坐标的差
重要结论 一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段 已知 A（x 1，y 1），B（x 2，
的终点的坐标减去起点的坐标 y 2），则 ＝（x 2－x 1，y 2
－y 1）
（6）平面向量数乘运算的坐标表示
设向量 a＝（x，y），则有λa＝（λx，λy），这就是说实数与向量的积的坐标等于用这
个实数乘原来向量的相应坐标.
（7）平面向量共线的坐标表示：设 a＝（x 1，y 1），b＝（x 2，y 2），其中 b≠0.向量 a，
b（b≠0）共线的充要条件是 x 1 y 2－x 2 y 1＝0.
（8）中点坐标公式：若 P 1，P 2的坐标分别是（x 1，y 1），（x 2，y 2），线段 P 1P 2
P x y = 1+ 2 = + 的中点 的坐标为（ ， ），则 1 2.此公式为线段 P 1 P 2的中点坐标公2 2
式.
（9）两向量的数量积与两向量垂直的坐标表示
已知两个非零向量，向量 a＝（x 1，y 1），b＝（x 2，y 2），a 与 b 的夹角为θ.
数量积：两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和，即：a·b＝x 1 x 2＋y 1 y 2
向量垂直：a⊥b x 1 x 2＋y 1 y 2＝0
4
（10）与向量的模、夹角相关的三个重要公式
①向量的模：设 a＝（x，y），则|a|＝ 2+ 2.
2 2
②两点间的距离公式：若 A（x 1，y 1），B（x 2，y 2），则| |＝ （ 1－ 2） ＋（ 1－ 2） .
③向量的夹角公式：设两非零向量 a＝（x 1，y 1），b＝（x 2，y 2），a 与 b 的夹角为θ，
则
· 1 2 + 1 = = 2
| || |
12＋ 12 22＋ 22
【6.4】平面向量的应用
1、平面几何中的向量方法
用向量方法解决平面几何问题的“三步曲”
（1）建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问
题转化为向量问题；（2）通过向量运算，研究几何元素之间的关系；（3）把运算结
果“翻译”成几何关系.
2、向量在物理中的应用举例
（1）向量与力：向量是既有大小，又有方向的量，它们可以有共同的起点，也可以没
有共同的起点.而力是既有大小和方向，又有作用点的量.用向量知识解决力的问题时，
往往把向量平移到同一作用点上.
（2）向量与速度、加速度、位移：速度、加速度、位移的合成与分解，实质上就是向
量的加、减运算.用向量解决速度、加速度、位移等问题，用的知识主要是向量的线性
运算，有时也借助于坐标来运算.
（3）向量与功、动量：力所做的功是力在物体前进方向上的分力与物体位移的乘积，
它的实质是力和位移两个向量的数量积，即 W＝F·s＝|F||s|cosθ（θ为 F 和 s 的夹角）.
动量 mν实际上是数乘向量.
3、余弦定理、正弦定理
（1）余弦定理的表示及其推论（SAS、SSS、SSA）
文字语言：三角形中任何一边的平方，等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角
的余弦的积的两倍.
符号语言：a2 b2 c2 2bc cosA；b2 c2 a2 2ca cosB； c2 a2 b2 2ab cosC .
2 2 2
在△ABC中，有 a2 b2 c2 2bc cos ，推论： cos b c a
2bc
（2）解三角形：一般地，三角形的三个角 A，B，C和它们的对边 a，b，c叫做三角形
的元素.已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫做解三角形.
5
（3）正弦定理的表示（AAS、SSA）
文字语言：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，该比值为该三角形外
接圆的直径.
符号语言：在△ABC中，角 A，B，C所对的边分别为 a，b，c，则 a b c 2R
sin sin sinC
（R为△ABC的外接圆的半径）
（4）正弦定理的变形形式变形形式是在三角形中实现边角互化的重要公式
设三角形的三边长分别为 a，b，c，外接圆半径为 R，正弦定理有如下变形：
① a 2R sin ， b 2R sin ， c 2R sinC ； ② sin a b ， sin ， sin C c ；
2R 2R 2R
③ a :b : c sin : sin : sinC ；
1 1 1
（5）三角形面积公式： S C bc sin ab sin C ac sin ．2 2 2
（6）相关术语
①仰角和俯角：与目标视线在同一铅垂平面内的水平视 线和目标视
线的夹角，目标视线在水平视线上方时叫仰角，目标视 线在水平视
线下方时叫俯角，如图所示.
②方位角
指从正北方向顺时针转到目标方向线的水平角，
如 B点的方位角为α（如图 1所示）.
③方位角的其他表示——方向角
正南方向：指从原点 O出发的经过目标的射线与
正南的方向线重合，即目标在正南的方向线上.依
此可类推正北方向、正东方向和正西方向.
东南方向：指经过目标的射线是正东和正南的夹角平分线（如图 2所示）.
（7）解三角形应用题
解题思路：
6
基本步骤：
运用正弦定理、余弦定理解决实际问题的基本步骤如下：
①分析：理解题意，弄清已知与未知，画出示意图（一个或几个三角形）；
②建模：根据已知条件与求解目标，把已知量与待求量尽可能地集中在有关三角形中，
建立一个解三角形的数学模型.
③求解：利用正弦定理、余弦定理解三角形，求得数学模型的解.
④检验：检验所求的解是否符合实际问题，从而得出实际问题的解.
第七章 复数
【7.1】复数的概念
1、数系的扩充和复数的概念
（1）复数的定义：形如 a＋bi（a，b∈R）的数叫做复数，其中 i叫做虚数单位，全体
复数所构成的集合 C＝{a＋bi|a，b∈R}叫做复数集.
（2）复数通常用字母 z表示，代数形式为 z＝a＋bi（a，b∈R），其中 a与 b分别叫
做复数 z的实部与虚部.
（3）复数相等：在复数集 C＝{a＋bi|a，b∈R}中任取两个数 a＋bi，c＋di（a，b，c，
d∈R），我们规定：a＋bi与 c＋di相等当且仅当 a＝c且 b＝d.
（4）复数的分类
①对于复数 a＋bi（a，b∈R），当且仅当 b＝0时，它是实数；当且仅当 a＝b＝0时，
它是实数 0；当 b≠0 时，叫做虚数；当 a＝0 且 b≠0 时，叫做纯虚数.这样，复数 z＝a
＋bi（a，b∈R）可以分类如下：
实数（ ＝0）
复数 ，
虚数（ ≠ 0）（当 ＝0时为纯虚数）
②集合表示：
7
2、复数的几何意义
（1）复平面（复平面中点的横坐标表示复数的实部，点的纵坐标表示复数的虚部）
（2）复数的几何意义
一一对应
①复数 z＝a＋bi（a，b∈R）复平面内的点 z（a，b）.
一一对应
②复数 z＝a＋bi（a，b∈R）平面向量 .
（3）复平面上的两点间的距离公式： d | z1 z2 | (x x ) 2 (y y ) 22 1 2 1 （ z1 x1 y1i ，
z2 x2 y2i）.
（4）复数的模
①定义：向量 的模叫做复数 z＝a＋bi（a，b∈R）的模或绝对值.
②记法：复数 z＝a＋bi的模记为|z|或|a＋bi|.
③公式：|z|＝|a＋bi|＝ 2 + 2（a，b∈R）.
如果 b＝0，那么 z＝a＋bi是一个实数，它的模就等于|a|（a的绝对值）.
（5）共轭复数：一般地，当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫
做互为共轭复数，虚部不等于 0的两个共轭复数也叫做共轭虚数.复数 z的共轭复数用
表示，即如果 z＝a＋bi，那么 ＝a－bi.
（6）两个实数可以比较大小，但两个复数如果不全是实数就不能比较大小。
（7）解复数方程
2
若 b2 4ac 0，在复数集C
b (b 4ac)i
内有且仅有两个共轭复数根 x (b 2 4ac 0) .
2a
【7.2】复数的四则运算
1、复数的加、减运算及其几何意义
（1）复数的加法法则
①运算法则：设 z 1＝a＋bi，z 2＝c＋di（a，b，c，d∈R）是任意两个
复数，那么（a＋bi）＋（c＋di）＝（a＋c）＋（b＋d）i，两个复数的
和仍然是一个确定的复数.
②复数加法的几何意义：如图，复数 z 1＋z 2是以 1， 2为邻边的平
行四边形的对角线 所对应的复数.
8
③加法运算律：对任意 z 1，z 2，z 3∈c，有 z 1＋z 2＝z 2＋z 1，
（z 1＋z 2）＋z 3＝z 1＋（z 2＋z 3）.
④复数加法的几何意义：两个向量 1与 2的和就是与复数（a＋c）＋（b＋d）i对应
的向量，复数的加法可以按照向量的加法来进行.
（2）复数的减法法则
①运算法则：复数的减法是加法的逆运算；设 z 1＝a＋bi，z 2＝c＋di是
任意两个复数，则（a＋bi）－（c＋di）＝（a－c）＋（b－d）i，两个
复数的差是一个确定的复数.
②复数减法的几何意义：如图，复数 z 1－z 2是从向量 2的终点指向向量 1的终点的
向量 1 2所对应的复数.
2、复数的乘、除运算
（1）复数的乘法运算
①复数的乘法法则：设 z 1＝a＋bi，z 2＝c＋di（a，b，c，d∈R），则 z 1·z 2＝（a＋bi）
（c＋di）＝（ac－bd）＋（ad＋bc）i.
②复数乘法的运算律
对任意复数 z 1，z 2，z 3∈C，有
交换律 z 1·z 2＝z 2·z 1
乘法对加法的分配律 z 1（z 2＋z 3）＝z 1 z 2＋z 1 z 3
结合律 （z 1·z 2）·z 3＝z 1·（z 2·z 3）
（2）复数的除法运算
设 z 1＝a＋bi，,z 2＝c＋di（c＋di≠0）），则
1 ＋ （ ＋ ）（ ） + = = = +
2 ＋ （ ＋ 2 2 2 2）（ ） + +
复数的除法的实质是分母实数化.若分母为 a＋bi型，则分子、分母同乘 a－bi；若分母
为 a－bi型，则分子、分母同乘 a＋bi.
3、几个重要的结论
① | z 21 z2 | | z1 z2 |
2 2(| z 2 2 2 2 2 21 | | z2 | )② z z | z | | z | ③若 z为虚数，则 | z | z
4、运算律
① zm zn zm n ② (zm )n zmn ③ (z z )n1 2 z
n
1 z
n
2 (m,n R)
5、关于虚数单位 i的一些固定结论：
① i2 1② i3 i③ i4 1④ in in 2 in 3 in 4 0
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【7.3】复数的三角表示
1、复数的三角表示式
（1）复数的三角形式：一般地，任何一个复数 z＝a＋bi都可以表示成 r(cosθ＋isinθ)
的形式，其中，r是复数 z的模；θ是以 x轴的非负半轴为始边，向量 所在射线(射线
OZ)为终边的角，叫做复数 z＝a＋bi的辐角，r(cosθ＋isinθ)叫做复数 z＝a＋bi的三角表
示式，简称三角形式，为了与三角形式区分开来，a＋bi叫做复数的代数表示式，简称
代数形式.
（2）辐角主值：规定在 0≤θ<2π范围内的辐角θ的值为辐角的主值，通常记作 argz.
2、复数乘、除运算的三角表示及其几何意义
（1）复数三角形式的乘法：两个复数相乘，积的模等于各复数模的积，积的辐角等于
各复数的辐角的和.
r 1(cosθ1＋isinθ1)·r 2(cosθ2＋isinθ2)＝r 1 r 2[cos(θ1＋θ2)＋isin(θ1＋θ2)].
（2）复数三角形式的除法：两个复数相除，商的模等于被除数的模除以除数的模所得
的商，商的辐角等于被除数的辐角减去除数的辐角所得的差.
1（ 1＋ 1） = 1 [ ( 1－ 2)＋ ( 1－ 2)]
2（ 2＋ 2） 2
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第八章 立体几何初步
【8.1】基本立体图形
1、多面体
（1）空间几何体（我们研究空间几何体就是研究其形状和大小）
空间几何体：在我们周围存在着各种各样的物体， 它们都占据着空间的一部分.如
果只考虑这些物体的形状和大小， 而不考虑其他因素， 那么由这些物体抽象出来的
空间图形就叫做空间几何体
多面体：由若干个平面多边形围成的几何体叫做多面体.围成多面体的各个多边形叫
做多面体的面； 两个面的公共边叫做多面体的棱； 棱与棱的公共点叫做多面体的顶
点
旋转体：一条平面曲线(包括直线)绕它所在平面内的一条定直线旋转所形成的曲面
叫做旋转面， 封闭的旋转面围成的几何体叫做旋转体， 这条定直线叫做旋转体的轴
（2）多面体
多面体 定义 图形及表示 相关概念 特殊情形
棱柱 有两个面互相平行， 底面(底)：两个互相平 直棱柱：侧棱垂
其余各面都是四边 行的面 直于底面的棱
形，并且相邻两个四 侧面：其余各面 柱
边形的公共边都互 侧棱：相邻侧面的公 斜棱柱：侧棱不
记作：棱柱
相平行，由这些面所 共边 垂直于底面的
ABCDEF－
围成的多面体叫做 A′B′C′D′E′F′ 顶点：侧面与底面的 棱柱
棱柱 公共顶点 正棱柱：底面是
正多边形的直
棱柱
棱锥 有一个面是多边形， 底面(底)：多边形面 正棱锥：底面是
其余各面都是有一 侧面：有公共顶点的 正多边形，并且
个公共顶点的三角 各个三角形面 顶点与底面中
形，由这些面所围成 侧棱：相邻侧面的公 心的连线垂直
的多面体叫做棱锥 记作：棱锥 S－ 共边 于底面的棱锥
ABCD 顶点：各侧面的公共
顶点
棱台 用一个平行于棱锥 上底面：原棱锥的截
底面的平面去截棱 面
锥，底面和截面之间 下底面：原棱锥的底
那部分多面体叫做 面
棱台 侧面：其余各面
11
记作：棱台 侧棱：相邻侧面的公
ABCD－ 共边
A′B′C′D′ 顶点：侧面与上(下)
底面的公共顶点
（3）圆柱、 圆锥、 圆台、 球
旋转 结构特征 图形 表示
体
圆柱 以矩形的一边所在直线为旋转轴， 其余 圆柱用表示它的
三边旋转一周形成的面所围成的旋转体 轴的字母表示，
叫做圆柱.旋转轴叫做圆柱的轴；垂直于 如图中的圆柱记
轴的边旋转而成的圆面叫做圆柱的底 作圆柱 O′O
面； 平行于轴的边旋转而成的曲面叫做
圆柱的侧面；无论旋转到什么位置， 平
行于轴的边都叫做圆柱侧面的母线
圆锥 以直角三角形的一条直角边所在直线为 圆锥也用表示它
旋转轴， 其余两边旋转一周形成的面所 的轴的字母表示，
围成的旋转体叫做圆锥 如图中的圆锥记
作圆锥 SO
圆台 用平行于圆锥底面的平面去截圆锥， 底 圆台也用表示它
面与截面之间的部分叫做圆台 的轴
的字母表示， 如
图中的圆台记作
圆台 O′O
球 半圆以它的直径所在直线为旋转轴， 旋 球常用表示球心
转一周形成的曲面叫做球面， 球面所围 的字母来表示，
成的旋转体叫做球体，简称球.半圆的圆 左图可表示为球
心叫做球的球心， 连接球心和球面上任 O
意一点的线段叫做球的半径； 连接球面
上两点并且经过球心的线段叫做球的直
径
（4）棱柱和圆柱统称为柱体，棱锥和圆锥统称为锥体，棱台和圆台统称为台体.
（5）简单组合体（“接”和“截”简单几何体就可得到组合体）
①定义：由简单几何体组合而成的几何体叫做简单组合体.
②简单组合体的构成形式：一种是由简单几何体拼接而成的；另一种是由简单几何体
12
截去或挖去一部分而成的.
【8.2】空间几何体的直观图
1、用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图的步骤
2、斜二测画法的步骤：①平行于坐标轴的线依然平行于坐标轴；②平行于 y轴的线长
度变半，平行于 x，z轴的线长度不变
3、原图与直观图的关系：S 直=
2 S 原；S 原= 2 2 S4 直
【8.3】简单几何体的表面积与体积
1、空间几何体的表面积
（1）棱柱、棱锥的表面积：各个面面积之和
（2）圆柱的表面积 S 2 rl 2 r 2 2（3）圆锥的表面积 S rl r
2
（4）圆台的表面积 S rl r Rl R2 （5）球的表面积 S 4 R2
2、空间几何体的体积
1
（1）柱体的体积V S底 h （2）锥体的体积V S底 h3
（3 1）台体的体积V （S上 S上S下 S下 )
4
h （4）球体的体积V R 3
3 3
3、球的组合体
（1）球与长方体的组合体：长方体的外接球的直径是长方体的体对角线长.
（2）球与正方体的组合体：正方体的内切球的直径是正方体的棱长，正方体的外接球
的直径是正方体的体对角线长（ 3 a）.
（3 6）球与正四面体的组合体：棱长为 a的正四面体的内切球的半径为 a，外接球的
12
6
半径为 a .
4
13
【8.4】空间点、直线、平面之间的位置关系
1、平面
（1）含义：平面是无限延展的
（2）平面的画法及表示
D C
①平面的画法：水平放置的平面通常画成一个平行四边形，锐角
画成 45°，且横边画成邻边的 2倍长（如图） A α B
②平面通常用希腊字母α、β、γ等表示，如平面α、平面β等，也可
以用表示平面的平行四边形的四个顶点或者相对的两个顶点的大写字母来表示，如平
面 AC、平面 ABCD等。
2、点、直线、平面之间的基本位置的符号表示
文字语言 符号语言
点 A在直线 l上 A∈l
点 A在直线 l外 A l
点 A在平面α内 A∈α
点 A在平面α外 A α
直线 l在平面α内 l α
直线 l在平面α外 l α
平面α，β相交于 l α∩β＝l
3、三个基本事实：
（1）基本事实 1：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面。
符号表示为：A、B、C三点不共线=>有且只有一个平面α，使 A∈α、B∈α、C∈α。
基本事实 1作用：确定一个平面的依据。
（2）基本事实 2：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内。
符号表示为：A∈l，B∈l，A∈α，B∈α=>l α
基本事实 2作用：判断直线是否在平面内
（3）基本事实 3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该
点的公共直线。
符号表示为：P∈α∩β=>α∩β=l，且 P∈l
基本事实 3作用：判定两个平面是否相交的依据
4、基本事实 1和基本事实 2的三个推论
（1）经过一条直线和这条直线外一点，有且只有一个平面
符号表示为：A l=>存在唯一的α，使 A∈α，l α
（2）经过两条相交直线，有且只有一个平面
符号表示为：l∩m=A=>存在唯一的α，使 l α，m α
（3）经过两条平行直线，有且只有一个平面
14
符号表示为：l∥m=>存在唯一的α，使 l α，m α
5、空间中直线与直线之间的位置关系
空间的两条直线有如下三种关系：
相交直线：同一平面内，有且只有一个公共点
共面直线
平行直线： 同一平面内，没有公共点
异面直线：不同在任何一个平面内，没有公共点
6、空间中直线与平面的位置关系
直线与平面有三种位置关系：
（1）直线在平面内——有无数个公共点
（2）直线与平面相交——有且只有一个公共点
（3）直线在平面平行——没有公共点
指出：直线与平面相交或平行的情况统称为直线在平面外，可用 a α来表示
a α a∩α=A a∥α
7、空间中平面与平面之间的位置关系
平面与平面有三种位置关系：
（1）两个平面平行——没有公共点
（2）两个平面相交——无数个公共点（在同一直线上）
α//β α∩β=a
15
【8.5】空间直线、平面的平行 A
1、直线与直线平行
（1）基本事实 4：平行于同一条直线的两条直线互相平行。
B
符号表示为：a∥b，c∥b=>a∥c
强调：基本事实 4实质上是说平行具有传递性，在平面、空间这个性
C D
质都适用。
基本事实 4作用：判断空间两条直线平行的依据。
（2）空间四边形：顺次连接不共面的四点 A、B、C、D所构成的图形。
（3）等角定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补
符号表示为：OA∥O’A’，OB∥O’B’且同向=>∠AOB=∠A’O’B’
等角定理作用：判定与证明两个角相等。
2、直线与平面平行
（1）直线与平面平行的判定定理：平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该
直线与此平面平行。
简记为：线线平行，则线面平行。符号表示：a α，b β，a∥b=>a∥α
（2）直线与平面平行的性质定理：一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平
面与此平面的交线与该直线平行。
简记为：线面平行则线线平行。符号表示：a∥α，a β，α∩β=b=>a∥b
作用：利用该定理可解决直线间的平行问题。
3、平面与平面平行
（1）两个平面平行的判定定理：一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这
两个平面平行。
简记为：线面平行则面面平行。符号表示：a β，b β，a∩b=P，a∥α，b∥α=>β∥α
证明方法：反证法
（2）两个平面平行的判定定理的推论：如果一个平面内有两条相交直线分别平行于另
一个平面内的两条直线，那么这两个平面平行。
符号表示：a β，b β，a∩b=P，a’ α，b’ α，a’∩b’=P’，a∥α，b∥α=>β∥α
（3）平面与平面平行的性质定理：如果两个平面同时与第三个平面相交，那么它们的
交线平行。
简记为：面面平行则线线平行。符号表示：α∥β，α∩γ=a，β∩γ=b=>a∥b
（4）两平面平行的相关性质
①若两个平面平行，则一个平面内的任意一条直线都和另一个平面平行（β∥α，
a α=>a∥β）
②夹在两个平行平面间的两条平行线段相等
③平行平面具有传递性及平行于同一平面的两个平面平行（β∥α，β∥γ=>α∥γ）
16
④两条直线被三个平行平面所截截得的对应线段成比例
4、判断两平面平行的方法有三种：
（1）用定义；（2）判定定理；（3）垂直于同一条直线的两个平面平行。
【8.6】空间直线、平面垂直
1、异面直线所成的角

①两条异面直线所成的角θ∈（0， ）；
2
②当两条异面直线所成的角是直角时，我们就说这两条异面直线互相垂直，记作 a⊥b；
③两条直线互相垂直，有共面垂直与异面垂直两种情形；
④计算中，通常把两条异面直线所成的角转化为两条相交直线所成
的角。 l
2、直线与平面垂直
（1）定义：如果直线 l与平面α内的任意一条直线都垂直，我们就说
P
直线 l与平面α互相垂直，记作 l⊥α，直线 l叫做平面α的垂线，平面α α
叫做直线 l的垂面。如图，直线与平面垂直时，它们唯一公共点 P叫做垂足。
符号表示：任意 a α，都有 l⊥a=>l⊥α
（2）判定定理：一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂
直。
符号表示：a α，b α，a∩b=P，l⊥a，l⊥b=>β∥α
3、直线与平面所成的角
（1）定义：平面的一条斜线和它在平面内的射影所成的锐角。当直线与平面垂直时，
规定这条直线与该平面成直角。当直线与平面平行或在平面内时，规定这条直线与该
平面成 0°角。
（2）范围：斜线与平面所成的角θ的范围是 0≤θ≤90°
（3）求法：作出斜线在平面上的射影；
（4）斜线与平面所成的角的特征：斜线与平面中所有直线所成角中最小的角。
4、直线与平面垂直的性质定理：
（1）直线与平面垂直的性质定理 1：垂直于平面的直线与平面内任意一条直线垂直。
简记为：线面垂直则线线垂直。符号表示：l⊥α，b α=>l⊥b
（2）直线与平面垂直的性质定理 2：垂直于同一个平面的两条直线平行。
简记为：线面垂直则线线平行。作用：作平行线。符号表示：a⊥α，b⊥α=>a//b
5、点面距、线面距、面面距
（1）点面距：过一点做垂直于已知平面的直线，则该点与垂足间的线段叫做这个点到
17
该平面的垂线段，垂线段的长度叫做这个点到该平面的距离
点面距 AO范围：AO≥0
（2）线面距：一条直线与一个平面平行直线条直线上任意一点到这个平面的距离，叫
做这条直线到这个平面的距离
当直线 l与平面α相交或 l α时，直线 l到平面α的距离为 O
（3）面面距：如果两个平面平行，那么其中一个平面内的任意一点到另一个平面的距
离都相等我们把它叫做这两个平行平面间的距离
当平面β与平面α相交时，平面β到平面α的距离为 O
6、平面与平面垂直
（1）二面角的概念：表示从空间一直线出发的两个半平面所组成
的图形
二面角的记法：二面角α－l－β或α－AB－β或 P－l－Q或 P－AB－Q.
（2）平面与平面垂直：两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两
个平面互相垂直。符号表示：α⊥β
（3）两个平面互相垂直的判定定理：一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂
直。
简记为：线面垂直则面面垂直。符号表示：AB⊥β，AB α=>α⊥β
（4）平面与平面垂直的性质定理：两个平面垂直，如果一个平面内有一直线垂直于这
两个平面的交线，则这条直线与另一个平面垂直。
简记为：面面垂直则线面垂直。作用：作平面的垂线。符号表示：α⊥β，α∩β=l，a α，
a⊥l=>α⊥β
18
第九章 统计
【9.1】随机抽样
1、在统计学里，我们把所要考察对象的全体叫做总体，把总体中个体的总数叫做总体
容量．总体中的每一个考察对象叫做个体，从总体中所抽取的一部分个体叫做总体的
一个样本．其中个体的个数称为样本容量．
2、简单随机抽样：也叫纯随机抽样。就是从总体中不加任何分组、划类、排队等，完
全随机地抽取调查单位。
3、简单随机抽样常用的方法：
在简单随机抽样的样本容量设计中，主要考虑：①总体变异情况；②允许误差范围；
③概率保证程度。
（1）抽签法的一般步骤：将总体的个体编号；连续抽签获取样本号码．
适用于：总体中个体数相对较少
特点：每个样本单位被抽中的可能性相同（等可能性）；总体中个体数有限（有限
性）；从主体中逐个抽取（逐一性）
（2）随机数表法的步骤：将总体的个体编号；在随机数表中选择开始数字；读数获取
样本号码．
适用于：总体中个体数相对较多
4、总体平均数与样本平均数
（1）总体平均数（总体均值）：一般地，总体中有 N个个体，它们的变量值分别为
Y ，Y ··· ，Y ，则称 = 1+ 2+···+ 11 2， N = =1
（2）加权平均数：如果总体的 N个变量值中，不同的值共有 k（k≤N）个，不妨记为
Y1，Y2，···，Yk，其中 Yi出现的频数 fi（i=1，2，···，k），则总体均值还可以写成加权
平均数的形式 = 1
=1

（3）样本平均数（样本均值）：如果从总体中抽取一个容量为 n的样本，他们的变量
值分别为 y1，y2，···，yn，则称 =
1+ 2+···+ = 1
=1

5、分层抽样
（1）分层抽样（类型抽样）：先将总体中的所有单位按照某种特征或标志（性别、年
龄等）划分成若干类型或层次，然后再在各个类型或层次中采用简单随机抽样或系用
抽样的办法抽取一个子样本，最后，将这些子样本合起来构成总体的样本。抽样比＝
样本量
总样本量
（2）分层抽样是把异质性较强的总体分成一个个同质性较强的子总体，再抽取不同的
子总体中的样本分别代表该子总体，所有的样本进而代表总体。
分层标准：①调查所要分析和研究的主要变量或相关的变量②保证各层内部同质性强、
19
各层之间异质性强、突出总体内在结构的变量③有明显分层区分的变量
（3）分层的比例问题：①按比例分层抽样②不按比例分层抽样
（4）在分层随机抽样中，如果层数分为 2层，第 1层和第 2层包含的个体数分别为M
和 N，抽取的样本量分别为 m和 n.我们用 X 1，X 2，···，X M表示第 1层各个个体的变
量值，用 X 1，X 2，···，Xm表示第 1层样本的各个个体的变量值；用 Y1，Y 2，···，Y N
表示第 2层各个个体的变量值，用 y 1，y 2，···，y n表示第 2层样本的各个个体的变量
值，则：
第 1 + +···+ 1层的总体平均数和样本平均数分别为 = 1 2 = =1 =
1+ 2+···+ = 1
=1

第 2 + +···+ 1层的总体平均数和样本平均数分别为 = 1 2 = =1 =
1+ 2+···+ = 1
=1


总体平均数和样本平均数分别为 = =1 + =1 =
=1 + =1
+ +
在比例分配的分层随机抽样中，可以直接用样本平均数 估计总体平均数 ，即 =
+ = + = + + + +
6、获取数据的基本途径
获取数据的基本 适用类型 注意问题
途径
通过调查获取数 对于有限总体问题，一般通过抽 要充分有效地利用背景信息选
据 样调查或普查的方法获取数据 择或创建更好的抽样方法，并有
效地避免抽样过程中的人为错
误
通过试验获取数 没有现存的数据可以查询 严格控制试验环境，通过精心的
据 设计安排试验，以提高数据质量
通过观察获取数 自然现象 借助专业测量设备通过长久的
据 持续观察获取数据
通过查询获得数 众多专家研究过，其收集的数据 必须根据问题背景知识“清洗”
据 有所存储 数据去伪存真
20
【9.2】用样本估计总体
1、画频率分布直方图的步骤（画频率分布直方图时，纵坐标表示频率与组距的比值，
而不是频率）
（1）求极差：极差是一组数据中最大值与最小值的差.
（2）决定组距与组数：当样本容量不超过 100时，常分成 5～12组，一般取等长组距，
并且组距应力求“取整”.
（3）将数据分组.
（4）列频率分布表：一般分四列，即分组、频数累计、频数、频率.其中频数合计应是
样本容量，频率合计是 1.
频率 频率
（5）画频率分布直方图：横轴表示样本数据，纵轴表示 .小长方形的面积＝组距×
组距 组距
＝频率.各小长方形的面积和等于 1.）
2、其他统计图表
扇形图 直观描述各类数据占总数的比例
条形图和直方图 直观描述不同类别或分组数据的频数和频
率
折线图 描述数据随时间的变化趋势
3、第 p百分位数
（1）定义：（第 50百分位数就是中位数，中位数是百分位数的特例，百分位数是中
位数的推广）一般地，一组数据的第 p百分位数是这样一个值，它使得这组数据中至
少有 p%的数据小于或等于这个值，且至少有（100－p）%的数据大于或等于这个值.
（2）计算一组 n个数据的第 p百分位数的步骤
第 1步，按从小到大排列原始数据
第 2步，计算 i＝n×p%
第 3步，若 i不是整数，而大于 i的比邻整数为 j，则第 p百分位数为第 j项数据；若 i
是整数，则第 p百分位数为第 i项与第（i＋1）项数据的平均数
（3）四分位数：25%，50%，75%这三个分位数把一组由小到大排列后的数据分成四
等份，因此称为四分位数，其中第 25百分位数也称为第一四分位数或下四分位数，第
75百分位数也称为第三四分位数或上四分位数
4、总体集中趋势的估计
（1）众数、中位数和平均数的定义
①众数：一组数据中出现次数最多的数
②中位数：一组数据按大小顺序排列后，处于中间位置的数.如果个数是偶数，则取中
间两个数据的平均数
③平均数：一组数据的和除以数据个数所得到的数
21
（2）众数、中位数和平均数的比较
名称 优点 缺点
众数 体现了样本数据的最大集中点 众数只能传递数据中的信息的很少一部
分，对极端值不敏感
中 位 不受少数几个极端数据（即排序靠前 对极端值不敏感
数 或靠后的数据）的影响
平 均 与中位数相比，平均数反映出样本数 任何一个数据的改变都会引起平均数的
数 据中更多的信息，对样本中的极端值 改变，数据越“离群”，对平均数的影响
更加敏感 越大
5、总体离散程度的估计
（1）一组数据 x 1，x 2，…，x n的方差和标准差
1 2
若数据 x 1，x 2，…，x n的平均数为 ，则数据 x 1，x 2，…，x n的方差为 （ ） =1
1 2
标准差为 （ ）
=1
（2）总体方差和标准差
如果总体中所有个体的变量值分别为 Y 1，Y 2，…，Y N，总体的平均数为 ，则称 2＝
1
2
=1
（ ）
为总体方差，S＝ 2为总体标准差
如果总体中所有个体的变量值分别为 y ，y ，…，y ，总体的平均数为 ，则称 21 2 n ＝
1 2 =1（ ）
为总体方差，s＝ 2为总体标准差
（3）加权方差：如果总体的 N个变量值中，不同的值共有 k（k≤N）个，不妨记为 Y 1，
Y 2，…，Y k，其中 Y i出现的频数为 f（i i＝1，2
1
，…，k），则总体方差为 2＝ =1 （
2
）
22
第十章 概率
【10.1】随机事件与概率
1、有限样本空间与随机概率
（1）随机试验
①对随机现象的实现和对它的观察称为随机试验，简称试验，常用字母 E表示
②研究具有以下特点的随机试验：
试验可以在相同条件下重复进行；试验的所有可能结果是明确可知的，并且不止一个；
每次试验总是恰好出现这些可能结果中的一个，但事先不能确定出现哪一个结果
（2）样本空间
把随机试验 E的每个可能的基本结果称为样本点，全体样本点的集合称为试验 E的样
本空间，一般地，用Ω表示样本空间，用ω表示样本点，如果一个随机试验有 n个可能
结果ω1，ω2，…，ωn，则称样本空间Ω＝{ω1，ω2，…，ωn}为有限样本空间
（3）随机事件、必然事件、不可能事件
①一般地，随机试验中每个随机事件都可以用这个试验的样本空间的子集来表示，把
样本空间Ω的子集称为随机事件，简称事件，并把只包含一个样本点的事件称为样本点，
随机事件一般用大写字母 A，B，C，…表示，当且仅当 A中某个样本点出现时，称为
事件 A发生
②Ω作为自身的子集，包含了所有样本点，在每次试验中总有一个样本点发生，所以Ω
总会发生，称Ω为必然事件
③空集 不包含任何样本点，在每次试验中都不会发生，称为不可能事件
2、事件的关系和运算
（1）事件的关系（对立事件一定是互斥事件，互斥事件不一定是对立事件）
定义 表示法 图示
包 若事件 A发生，事件 B一定发生，称事 B A（或 A B）
含 件 B包含事件 A（或事件 A包含于事件
关 B）
系
互 如果事件 A与事件 B不能同时发生，称 若 A∩B＝ ，则 A与 B互
斥 事件 A与事件 B互斥（或互不相容） 斥
事
件
对 如果事件 A和事件 B在任何一次试验中 若 A∩B＝ ，且 A∪B＝
立 有且仅有一个发生，称事件 A与事件 B Ω，则 A与 B对立
事 互为对立，事件 A的对立事件记为
件
23
（2）事件的运算
定义 表示法 图示
并事件 事件A与事件B至少 A∪B（或A＋B）
事件 A发生事件 B不发生；事 有一个发生，称这个
件 A不发生事件 B发生；事件 事件为事件 A 与事
A和事件 B同时发生 件 B的并事件（或和
事件）
交事件 事件A与事件B同时 A∩B（或 AB）
发
生，称这样一个事件
为
事件A与事件B的交
事
件（或积事件）
（3）事件关系或运算的含义
事件关系或运算 含义 符号表示
包含 A发生导致 B发生 A B
并事件（和事件） A与 B至少一个发生 A∪B或 A＋B
交事件（积事件） A与 B同时发生 A∩B或 AB
互斥（互不相容） A与 B不能同时发生 A∩B＝
互为对立 A与 B有且仅有一个发生 A∩B＝ ，A∪B＝Ω
3、古典概型
（1）概率：对随机事件发生可能性大小的度量（数值）称为事件的概率.事件 A的概率
用 P（A）表示
（2）古典概型：（有限性与等可能性是判断古典概型的两个重要依据）
定义：一般地，若试验 E有如下特征：①有限性：样本空间的样本点只有有限个②可
能性：每个样本点发生的可能性相等.我们将具有以上两个特征的试验称为古典概型试
验，其数学模型称为古典概率模型，简称古典概型
（3）计算公式
应用公式的关键是分清样本空间中样本点的个数及事件 A中包含的样本点的个数
一般地，设试验 E是古典概型，样本空间Ω包含 n个样本点，事件 A包含其中的 k个
24
A ( ) = （ ）样本点，则定义事件 的概率 ＝ ，其中 n（A）和 n（Ω）分别表示事件
（ ）
A和样本空间Ω包含的样本点的个数
4、概率的基本性质
性质 1：对任意的事件 A，都有 P（A）≥0
性质 2：必然事件的概率为 1，不可能事件的概率为 0，即 P（Ω）＝1，P（ ）＝0
性质 3：如果事件 A与事件 B互斥，那么 P（A∪B）＝P（A）＋P（B）
性质 4：如果事件 A与事件 B互为对立事件，那么 P（B）＝1－P（A），P（A）＝1
－P（B）
性质 5：如果 A B，那么 P（A）≤P（B）
性质 6：设 A，B是一个随机试验中的两个事件，我们有 P（A∪B）＝P（A）＋P（B）
－P（A∩B）
【10.2】事件的相互独立性
1、相互独立事件：对任意两个事件 A与 B，如果 P（AB）＝P（A）P（B）成立，则
称事件 A与事件 B相互独立，简称为独立.
2、相互独立事件的性质：如果事件 A与 B相互独立，那么 与 B，A与 ， 与 也相
互独立.
【10.3】频率与概率
1、频率的稳定性（频率是概率的估计值，概率是频率的稳定值）
大量的试验证明，在任何确定次数的随机试验中，一个随机事件 A发生的频率具有随
机性.一般地，随着试验次数 n的增大，频率偏离概率的幅度会缩小，即事件 A发生的
频率 f n（A）会逐渐稳定于事件 A发生的概率 P（A），我们称频率的这个性质为频率
的稳定性.因此我们可以用频率 f n（A）估计概率 P（A）.
2、随机模拟
（1）随机数的产生
应用计算器或计算机产生随机数时要特别注意遵照随机数产生的方法进行，切不可随
意改变其步骤顺序和操作程序，否则会出现错误.
①标号：把 n个大小、形状相同的小球分别标上 1，2，3，…，n②搅拌：放入一个袋
中，把它们充分搅拌③摸取：从中摸出一个.
这个球上的数就称为从 1～n之间的随机整数，简称随机数.
（2）伪随机数的产生
①规则：依照确定的算法.②特点：具有周期性（周期很长）③性质：它们具有类似随
机数的性质.
计算机或计算器产生的随机数并不是真正的随机数，我们称为伪随机数.
（3）产生随机数的常用方法：①用计算器产生；②用计算机产生；③抽签法.
25
（4）随机模拟方法（蒙特卡洛方法）：利用计算机或计算器产生的随机数来做模拟试
验，通过模拟试验得到的频率来估计概率，这种用计算机或计算器模拟试验的方法称
为随机模拟方法或蒙特卡洛方法
26

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