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2024年广东省汕头市龙湖区中考一模数学试题
一、选择题（本大题10小题，每小题3分，共30分）每小题给出四个选项中只有一个是正确的，请把答题卡上对应题目所选的选项涂黑．
1．（2024九下·龙湖模拟）某速冻水饺的储藏温度是－18±2℃，下列四个冷藏室的温度中不适合储藏此种水饺的是（　　）
A．－24℃ B．－18℃ C．－17℃ D．－16℃
【答案】A
【知识点】正数和负数的认识及应用
【解析】【解答】解：∵ ， ，
∴速冻水饺的储藏温度是-20～-16℃，
故答案为：A符合题意，选项B，C，D不符合题意，
故答案为：A.
【分析】可以看出速冻水饺的储藏温度的标准量为-18℃ ，最多可以超过标准温度2℃，最少可以不足标准准温度2℃，从而根据有理数的加法法则可求-18+2；根据有理数的加法法则可-18-2，可以求得速冻水饺的储藏温度的范围，本题得以解决.
2．（2024九下·龙湖模拟）据悉，在国内大量终端的背景下，鸿蒙生态有望形成百亿级别的市场规模．仅移动端APP应用规模达2610000，为鸿蒙相关技术服务开辟道路．数据“2610000”用科学记数法表示（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：数据2610000用科学记数法表示为，
故答案为：B．
【分析】科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数.
3．（2024九下·龙湖模拟）某商场的休息椅如图所示，它的俯视图是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】简单几何体的三视图
【解析】【解答】解：此商场的休息椅的俯视图为A，
故答案为：A．
【分析】根据三视图的定义求解即可。
4．（2024九下·龙湖模拟）下列计算正确的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】同底数幂的乘法；同底数幂的除法；合并同类项法则及应用；幂的乘方运算
5．（2024九下·龙湖模拟）如图，已知直线l1//l2，将一块直角三角板ABC按如图所示方式放置，若∠1＝39°，则∠2等于（　　）
A．39° B．45° C．50° D．51°
【答案】D
【知识点】平行线的性质；猪蹄模型；平行线的判定与性质的应用-求角度
【解析】【解答】如图，作BD//l1，
∵BD//l1，
∴∠1＝∠CBD，
∵l1//l2，
∴BD//l2，
∴∠ABD＝∠2，
又∵∠1＝39°，
∴∠CDB＝39°
又∵∠CBA＝∠CBD+∠ABD＝90°，
∴∠ABD＝51°，
∴∠2＝51°．
故答案为：D．
【分析】作BD//l1，根据直线平行性质可得∠CDB＝39°，再根据角之间的关系即可求出答案.
6．（2024九下·龙湖模拟）中国美食讲究色香味美，优雅的摆盘造型能让美食锦上添花．图1中的摆盘，其形状是扇形的一部分，图2是其几何示意图（阴影部分为摆盘），通过测量得到，两点之间的距离是，，则摆盘的面积是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】等边三角形的判定与性质；扇形面积的计算
【解析】【解答】解：如图，连接．
∵，，
∴是等边三角形，
∴，
∴
，
故答案为：B．
【分析】连接，根据等边三角形判定定理可得是等边三角形，则，再根据，结合扇形面积即可求出答案.
7．（2024九下·龙湖模拟）如图，在直角坐标系中，已知点，直线与x轴正半轴的夹角为，那么的值是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】坐标与图形性质；勾股定理；求余弦值
【解析】【解答】解：过点作轴的垂线，垂足为，如图所示，
∵，
∴，，
∴．
在中，．
故答案为：C．
【分析】过点作轴的垂线，垂足为，根据勾股定理求出，再根据余弦的定义计算即可求出答案.
8．（2024九下·龙湖模拟）如图，添加以下哪个条件，仍不能直接证明与相似 （　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】相似三角形的判定
【解析】【解答】解：由题意可得，，
A、当时，，故本选项不符合题意；
B、当时，，故本选项不符合题意；
C、当时，，故本选项不符合题意；
D、当时，不能推断与相似，故选项符合题意；
故答案为：D．
【分析】结合已知及三角形相似的判定方法“ 有两个对应角相等的三角形相；有两个对应边的比相等，且其夹角相等，则两个三角形相似；三组对应边的比相等，则两个三角形相似 ”，逐项分析解题即可．
9．（2024九下·龙湖模拟）如图，二次函数 的图象与x轴交于点A、B两点，与y轴交于点C；对称轴为直线 ，点B的坐标为 ，则下列结论：① ；② ；③ ；④ ，其中正确的结论有（　　）个.
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】D
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数图象上点的坐标特征；二次函数y=ax²+bx+c的图象
【解析】【解答】解：∵抛物线的对称轴为x=-1，
所以B（1，0）关于直线x=-1的对称点为A（-3，0），
∴AB=1-（-3）=4，故①正确；
由图象可知：抛物线与x轴有两个交点，
∴Δ=b2-4ac>0，故②正确；
由图象可知：抛物线开口向上，
∴a>0，
由对称轴可知： <0，
∴b>0，故③正确；
当x=-1时，y=a-b+c<0，故④正确；
所以，正确的结论有4个，
故答案为：D.
【分析】 ①根据二次函数图象的对称性求出点A的坐标，根据A、B两点的坐标求出AB长； ②根据抛物线与x轴有两个交点即可判断Δ=b2-4ac>0；③根据抛物线的开口判断a的符号，结合对称轴的位置判断b的符号即可； ④在图象中找出x=-1时对应点的函数值，即可判断a-b+c的符号.
10．（2024九下·龙湖模拟）如图1，点P从等边三角形ABC的顶点A出发，沿直线运动到三角形内部一点，再从该点沿直线运动到顶点B．设点P运动的路程为x，，图2是点P运动时y随x变化的关系图象，则等边三角形ABC的边长为（　　）
A．6 B．3 C． D．
【答案】A
【知识点】等边三角形的性质；锐角三角函数的定义；动点问题的函数图象；三角形全等的判定-SSS
【解析】【解答】解：如图，令点P从顶点A出发，沿直线运动到三角形内部一点O，再从点O沿直线运动到顶点B，
结合图象可知：当点P在AO上运动时，=1，
∴PB=PC，AO=.
∵△ABC为等边三角形，
∴∠BAC=60°，AB=AC，
∴△APB≌△APC（SSS），
∴∠BAO=∠CAO=30°.
当点P在OB上运动时，可知点P到达点B时的路程为，
∴OB=，即OA=OB=，
∴∠BAO=∠ABO=30°.
过点O作OD⊥AB，垂足为D，
∴AD=BD=AO·cos30°=3，
∴AB=AD+BD=6，即△ABC的边长为6.
故答案为：A.
【分析】结合图象可知：当点P在AO上运动时，=1，则PB=PC，AO=，由等边三角形的性质可得∠BAC=60°，AB=AC，利用SSS证明△APB≌△APC，得到∠BAO=∠CAO=30°；当点P在OB上运动时，可得OB=，即OA=OB=，推出∠BAO=∠ABO=30°，过点O作OD⊥AB，垂足为D，由三角函数的概念可得AD，进而可得AB.
二、填空题（本大题共6题，每题3分，共18分）将正确答案写在答题卡相应的位置上．
11．（2024九下·龙湖模拟）点关于原点对称点为　 　．
【答案】
【知识点】关于原点对称的点的坐标特征
【解析】【解答】解：点关于原点O的对称点为．
故答案为：．
【分析】根据关于原点对称的点的坐标特征即可求出答案.
12．（2024九下·龙湖模拟）一元二次方程x2＝2x的解为　 　.
【答案】x1＝0，x2＝2
【知识点】因式分解法解一元二次方程
【解析】【解答】移项得x2-2x=0，即x（x-2）=0，解得x=0或x=2.
【分析】利用因式分解——提公因式法解方程即可.
13．（2024九下·龙湖模拟）如图，为了测盘凹档的宽度，把一块等腰直角三角板（，）放置在凹槽内，三个顶点A，B，C分别落在凹槽内壁上，若，测得，，则该凹槽的宽度的长为　 　．
【答案】48
【知识点】三角形全等及其性质；等腰直角三角形；三角形全等的判定-AAS；同侧一线三垂直全等模型
【解析】【解答】解：∵是等腰直角三角形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴
故答案为：48．
【分析】根据等腰直角三角形性质可得，再根据角之间的关系可得，再根据全等三角形判定定理可得，则，再根据边之间的关系即可求出答案.
14．（2024九下·龙湖模拟）陈力参加某企业招聘测试，他的笔试、面试、技能操作得分分别为84分、80分、92分，若依次按照的比例确定成绩，则小王的成绩是　 　分．
【答案】86.8
【知识点】加权平均数及其计算
【解析】【解答】解：根据题意得：
（分），
所以，小王的成绩是86.8分．
故答案为：86.8．
【分析】根据加权平均数的计算公式列出算式，再进行计算即可．
15．（2024九下·龙湖模拟）《墨子·天文志》记载：“执规矩，以度天下之方圆．”度方知圆，感悟数学之美．如图，正方形的面积为2，以它的对角线的交点为位似中心，作它的位似图形．若，则四边形的外接圆的直径为　 　．
【答案】4
【知识点】圆周角定理；圆内接正多边形
【解析】【解答】解：如图，连接．
∵正方形正方形，相似比为，
又∵正方形的面积为2，
∴正方形的面积为8，
∴，
∵，
∴，
∴正方形的外接圆的直径为4，
故答案为：4．
【分析】连接．根据相似多边形的性质求出正方形的面积，求出边长，再求出可得结论．
16．（2024九下·龙湖模拟）如图，P是第一象限内一次函数图象上一动点，反比例函数经过点P，则k的取值范围是　 　．
【答案】
【知识点】反比例函数与一次函数的交点问题；二次函数的最值
【解析】【解答】解：∵P是第一象限内一次函数图象上一动点，
∴可设点P的坐标为，且，
∴，
∵反比例函数经过点P，
∴，
∴当时，k的值最大，最大值为2，
∵，
∴当时，k随a的增大而增大，当时，k随a的增大而减小，
∵当时，，当时，，
∴k的取值范围是．
故答案为：
【分析】根据题意可设可设点P的坐标为，且，可得，再根据反比例函数的性质可得，然后根据二次函数的性质，即可求出答案.
三、解答题（一）（本大题3小题，第17、18题各4分，第19题6分，共14分）
17．（2024九下·龙湖模拟）计算：．
【答案】解：
．

【知识点】零指数幂；实数的绝对值；特殊角的三角函数的混合运算
【解析】【分析】原式先化简，，，然后再合并即可得到答案．
18．（2024九下·龙湖模拟）化简：．
【答案】解：

【知识点】分式的混合运算
【解析】【分析】原式先将括号内的进行通分计算，再把除法转换为乘法约分后即可得到结果
19．（2024九下·龙湖模拟）下面是小明设计的“过圆外一点作圆的切线”的尺规作图过程．
已知：P是外一点，求作：经过点P的的切线．作法：如图，
①连接，作线段的垂直平分线交于点A；
②以点A为圆心，的长为半径作圆，交于B，C两点；
③作直线．直线就是所求作的切线．
请根据小明的作法完成作图和证明．
证明：连接．
补完证明过程
∴是的切线．
【答案】解：图形如图所示．
证明：连接，
∵为的直径，
∴．
∴．
∴为的切线．
【知识点】切线的判定；尺规作图-过圆外一点作圆的切线
【解析】【分析】根据要求即可画出图形；再根据直径所对的圆周角是直角即可求出答案.
四、解答题（二）（本大题4小题，第20，21每题7分，第22，23每题9分，共32分）
20．（2024九下·龙湖模拟）有专家指出：人为型空气污染（如汽车尾气排放等）是雾霾天气的重要成因．某校为倡议“每人少开一天车，共建绿色家园”，想了解学生上学的交通方式．九年级（8）班的5名同学联合设计了一份调查问卷．对该校部分学生进行了随机调查．按A（骑自行车）、B（乘公交车）、C（步行）、D（乘私家车）、E（其他方式）设置选项，要求被调查同学从中单选．并将调查结果绘制成条形统计图1和扇形统计图2，根据以上信息，解答下列问题：
（1）本次接受调查的总人数是　 　人，扇形统计图中“骑自行车”所在扇形的圆心角度数是　 　度，请补全条形统计图；
（2）已知这5名学生中有2名女同学，要从这5名学生中任选两名同学汇报调查结果．请用列表法或画树状图的方法，求出恰好选出1名男生和1名女生的概率．
【答案】解：（1）400（人），54°，
补全条形统计图为：
（2）画树状图为：
共有20种等可能的结果数，其中选出1名男生和1名女生的结果数为12种，
所以恰好选出1名男生和1名女生的概率==．
【知识点】条形统计图；用列表法或树状图法求概率
【解析】【解答】（1）本次接受调查的总人数为160÷40%=400（人），
扇形统计图中“骑自行车”所在扇形的圆心角度数为×360°=54°，
乘私家车的人数=400﹣60﹣160﹣80=100（人），
【分析】（1）用乘公交车的人数除以它所占的百分比即可得到调查的总人数，再用“骑自行车”所占的百分比乘以360°得到“骑自行车”所在扇形的圆心角度数，然后计算出乘私家车的人数后补全条形统计图；
（2）先画树状图展示所有20种等可能的结果数，再找出选出1名男生和1名女生的结果数，然后根据概率公式求解.
21．（2024九下·龙湖模拟）为增强体质，小明和小强相约周末去登山，小明同学从北坡山脚C处出发，小强同学同时从南坡山脚B处出发，如图所示．已知小山北坡长为240米，坡度，南坡的坡脚是．（出发点B和C在同一水平高度，将山路看成线段）
（1）求小山南坡的长；
（2）如果小明以每分钟24米的速度攀登，小强若要和小明同时到达山顶A，求小强攀登的速度．（结果保留根号）
【答案】（1）解：如下图，过A作，垂足为D，
在中，
，
，
，
（米），
在中，
，
（米）
小山南坡的长为米；
（2）解：设小强登山的速度为x米/分，根据题意，得：，
解得：，
小强登山的速度为米．
【知识点】分式方程的实际应用；解直角三角形的实际应用﹣坡度坡角问题
【解析】【分析】（1）过A作，垂足为D，在中，先求出的度数，然后利用含角的直角三角形的性质可得米，在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，即可求出答案.
（2）利用（1）的结论，根据路程，速度，时间之间的关系建立方程，解方程即可求出答案.
22．（2024九下·龙湖模拟）某校在商场购进A、B两种品牌的篮球，购买A品牌篮球花费了2500元，购买B品牌篮球花费了2000元，且购买A品牌篮球数量是购买B品牌篮球数量的2倍，已知购买一个B品牌篮球比购买一个A品牌篮球多花30元．
（1）问购买一个A品牌、一个B品牌的篮球各需多少元？
（2）该校决定再次购进A、B两种品牌篮球共60个，恰逢商场对两种品牌篮球的售价进行调整，A品牌篮球售价不变，B品牌篮球按第一次购买时售价的9折出售，如果该校此次购买A、B两种品牌篮球的总费用不超过3500元，那么该校此次最多可购买多少个B品牌篮球？
【答案】（1）解：设购买一个A品牌的篮球需x元，则购买一个B品牌的篮球需元，
由题意得：，
解得：，
经检验，是原方程的解，且符合题意，
则．
答：购买一个A品牌的篮球需50元，购买一个B品牌的篮球需80元．
（2）解：设该校此次可购买a个B品牌篮球，则购进A品牌篮球个，
由题意得：，
解得：，
∵是整数，
所以，该校此次最多可购买22个B品牌篮球．
【知识点】分式方程的实际应用；一元一次不等式的应用
【解析】【分析】（1）设购买一个A品牌的篮球需x元，则购买一个B品牌的篮球需元，由题意：购买A品牌篮球花费了2500元，购买B品牌篮球花费了2000元，且购买A品牌篮球数量是购买B品牌篮球数量的2倍，列出分式方程，解方程即可求出答案.
（2）设该校此次可购买a个B品牌篮球，则购进A品牌篮球个，根据购买A、B两种品牌篮球的总费用不超过3500元，列出不等式，解不等式即可求出答案.
23．（2024九下·龙湖模拟）综合与实践
问题情境：数学课上，同学们以特殊四边形为基本图形，添加一些几何元素后探究图形中存在的结论．已知在中，，的平分线交边于点E，交边的延长线于点F，以为邻边作，
特例探究：（1）如图1，“创思”小组的同学研究了四边形为矩形时的情形，发现四边形是正方形，请你证明这一结论；
（2）“敏学”小组的同学在图1基础上连接，得到图2，发现图2中线段与之 间存在特定的数量关系，请你帮他们写出结论并说明理由；
拓展延伸：（3）“善问”小组的同学计划对展开类似研究．如图3，在中，．当时，请补全图形，并直接写出A，G两点之间的距离．
【答案】（1）证明：∵四边形为矩形，
∴，
∴，
∵四边形平行四边形，
∴平行四边形为矩形，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
∴矩形为正方形．
（2），理由如下：
连接交于点O，连接，如图2，
由（1）得四边形为正方形，
∴，
∴垂直平分，
∴，
∵四边形为矩形，
∴，
∴．
（3）补全图形如图，过点G作交于点H，连接，
由题意得四边形为平行四边形，
∵，平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴四边形为是菱形，
∴，易得，
∵，
∴
∴，
∴，
此时，A，G两点之间的距离为．
【知识点】平行线的性质；含30°角的直角三角形；勾股定理；平行四边形的性质；菱形的判定；矩形的判定与性质；角平分线的概念
【解析】【分析】（1）根据矩形的性质可得，则，再根据矩形判定定理可得平行四边形为矩形，由角平分线定义可得，则，再根据正方形判定定理即可求出答案.
（2）连接交于点O，连接，由（1）得四边形为正方形，则，然后由线段垂直平分线的性质可得，再根据矩形性质可得，即，即可求出答案.
（3）过点G作交于点H，连接，根据角平分线定义可得，再根据直线平行性质可得，由边之间的关系可得，再根据直线平行性质可得，则，再根据菱形判定定理可得四边形为是菱形，则，易得，再根据含30°角的直角三角形性质可得，根据边之间的关系可得AH=5，再根据勾股定理即可求出答案.
五、解答题（三）（本大题2小题，每小题12分，共24分）
24．（2024九下·龙湖模拟）如图1，是的直径，是延长线上一点，切于点，连接，平分，交于点，交于点．
（1）在图1中连结，求证：；
（2）若的半径为，求的值；
（3）如图，若，点是的中点，与交于点，连接．请猜想，，的数量关系，并证明．
【答案】（1）证明：∵是的切线，
∴
∵是直径，
∴
∴；
（2）解：如图所示，连接并延长交于点，连接
∵是直径，
∴，
又∵平分，
∴
∴，
∵是直径，的半径为，
∴，，
∵
∴
∵
∴
∴

（3）解：．理由如下：
如图，连接、，
由（2）可得，
，，
，，
∵
，
，
，，
，
，
，
点是的中点，
，
，，
，，
设，
则，
，
又，
，
，
，
即，
，
在中，，
．
【知识点】圆周角定理；切线的性质；相似三角形的判定；角平分线的概念；求余弦值；相似三角形的性质-对应边
【解析】【分析】（1）根据切线的性质可得，根据半径相等可得，根据是直径，得出，等量代换即可求出答案.
（2）连接并延长交于点，连接，根据角平分线定义可得，，再根据据余弦定义可得，则，化简计算即可求出答案.
（3）连接、，根据圆周角定义及角之间的关系可得，，再根据相似三角形判定定理可得，则，再设，根据勾股定理可得，从而，结合，根据相似三角形判定定理可得，则，即，再根据勾股定理即可求出答案.
25．（2024九下·龙湖模拟）综合与探究：
如图，已知抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B的左边），与y轴交于点C．直线与抛物线的对称轴交于点E．将直线沿射线方向向下平移个单位，平移后的直线与直线交于点F，与抛物线的对称轴交于点D．
（1）求出点A，B，C的坐标，并直接写出直线的解析式；
（2）当是以为直角边的直角三角形时，求出n的值；
（3）直线上是否存在一点P，使以点D，E，F，P为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）解：当时，，
解得或，
∴，
当时，，
∴，
设直线的解析式为，
∴，
解得，
∴直线的解析式为，
设直线的解析式为，
∴，
解得，
∴直线的解析式为；
（2）解：∵，
∴抛物线的对称轴为直线，
∴，
平移后的直线解析式为，
∴，
∴，，，
∵是以为斜边的直角三角形，
∴，
解得或（舍）；
（3）或
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；一次函数图象的平移变换；二次函数-特殊三角形存在性问题
【解析】【解答】解：（3）存在点P，使以点D，E，F，P为顶点的四边形是菱形，理由如下：
当时，解得
∴，
当为邻边时，与为菱形的对角线，
∴，
∴轴，
∴，
∴，
解得，
∴；
当为菱形的对角线时，，
∴，
∵，
∴E点向左平移个单位，向上平移个单位得到P点，
∴，
∴，
解得，
∴；
综上所述：P点坐标为或．
【分析】（1）根据坐标轴上点的坐标特征令y=0，x=0，代入二次函数解析式可得A，B点坐标，设直线的解析式为，根据待定系数法将点A，C坐标代入解析式可得直线的解析式为，设直线的解析式为，再根据待定系数法将点B，C坐标代入解析式即可求出答案.
（2）根函数图象平移性质先求平移后的直线解析式为，则，再由勾股定理可得方程，解方程即可求出答案.
（3）先设，当为邻边时，与为菱形的对角线，轴，可得，再将点P代入直线的解析式中求出n的值，即可求；当为菱形的对角线时，，此时，再由E点向左平移个单位，向上平移个单位得到P点，则，得到方程，求出n的值即可求P点坐标．
1 / 12024年广东省汕头市龙湖区中考一模数学试题
一、选择题（本大题10小题，每小题3分，共30分）每小题给出四个选项中只有一个是正确的，请把答题卡上对应题目所选的选项涂黑．
1．（2024九下·龙湖模拟）某速冻水饺的储藏温度是－18±2℃，下列四个冷藏室的温度中不适合储藏此种水饺的是（　　）
A．－24℃ B．－18℃ C．－17℃ D．－16℃
2．（2024九下·龙湖模拟）据悉，在国内大量终端的背景下，鸿蒙生态有望形成百亿级别的市场规模．仅移动端APP应用规模达2610000，为鸿蒙相关技术服务开辟道路．数据“2610000”用科学记数法表示（　　）
A． B． C． D．
3．（2024九下·龙湖模拟）某商场的休息椅如图所示，它的俯视图是（　　）
A． B．
C． D．
4．（2024九下·龙湖模拟）下列计算正确的是（　　）
A． B． C． D．
5．（2024九下·龙湖模拟）如图，已知直线l1//l2，将一块直角三角板ABC按如图所示方式放置，若∠1＝39°，则∠2等于（　　）
A．39° B．45° C．50° D．51°
6．（2024九下·龙湖模拟）中国美食讲究色香味美，优雅的摆盘造型能让美食锦上添花．图1中的摆盘，其形状是扇形的一部分，图2是其几何示意图（阴影部分为摆盘），通过测量得到，两点之间的距离是，，则摆盘的面积是（　　）
A． B． C． D．
7．（2024九下·龙湖模拟）如图，在直角坐标系中，已知点，直线与x轴正半轴的夹角为，那么的值是（　　）
A． B． C． D．
8．（2024九下·龙湖模拟）如图，添加以下哪个条件，仍不能直接证明与相似 （　　）
A． B． C． D．
9．（2024九下·龙湖模拟）如图，二次函数 的图象与x轴交于点A、B两点，与y轴交于点C；对称轴为直线 ，点B的坐标为 ，则下列结论：① ；② ；③ ；④ ，其中正确的结论有（　　）个.
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
10．（2024九下·龙湖模拟）如图1，点P从等边三角形ABC的顶点A出发，沿直线运动到三角形内部一点，再从该点沿直线运动到顶点B．设点P运动的路程为x，，图2是点P运动时y随x变化的关系图象，则等边三角形ABC的边长为（　　）
A．6 B．3 C． D．
二、填空题（本大题共6题，每题3分，共18分）将正确答案写在答题卡相应的位置上．
11．（2024九下·龙湖模拟）点关于原点对称点为　 　．
12．（2024九下·龙湖模拟）一元二次方程x2＝2x的解为　 　.
13．（2024九下·龙湖模拟）如图，为了测盘凹档的宽度，把一块等腰直角三角板（，）放置在凹槽内，三个顶点A，B，C分别落在凹槽内壁上，若，测得，，则该凹槽的宽度的长为　 　．
14．（2024九下·龙湖模拟）陈力参加某企业招聘测试，他的笔试、面试、技能操作得分分别为84分、80分、92分，若依次按照的比例确定成绩，则小王的成绩是　 　分．
15．（2024九下·龙湖模拟）《墨子·天文志》记载：“执规矩，以度天下之方圆．”度方知圆，感悟数学之美．如图，正方形的面积为2，以它的对角线的交点为位似中心，作它的位似图形．若，则四边形的外接圆的直径为　 　．
16．（2024九下·龙湖模拟）如图，P是第一象限内一次函数图象上一动点，反比例函数经过点P，则k的取值范围是　 　．
三、解答题（一）（本大题3小题，第17、18题各4分，第19题6分，共14分）
17．（2024九下·龙湖模拟）计算：．
18．（2024九下·龙湖模拟）化简：．
19．（2024九下·龙湖模拟）下面是小明设计的“过圆外一点作圆的切线”的尺规作图过程．
已知：P是外一点，求作：经过点P的的切线．作法：如图，
①连接，作线段的垂直平分线交于点A；
②以点A为圆心，的长为半径作圆，交于B，C两点；
③作直线．直线就是所求作的切线．
请根据小明的作法完成作图和证明．
证明：连接．
补完证明过程
∴是的切线．
四、解答题（二）（本大题4小题，第20，21每题7分，第22，23每题9分，共32分）
20．（2024九下·龙湖模拟）有专家指出：人为型空气污染（如汽车尾气排放等）是雾霾天气的重要成因．某校为倡议“每人少开一天车，共建绿色家园”，想了解学生上学的交通方式．九年级（8）班的5名同学联合设计了一份调查问卷．对该校部分学生进行了随机调查．按A（骑自行车）、B（乘公交车）、C（步行）、D（乘私家车）、E（其他方式）设置选项，要求被调查同学从中单选．并将调查结果绘制成条形统计图1和扇形统计图2，根据以上信息，解答下列问题：
（1）本次接受调查的总人数是　 　人，扇形统计图中“骑自行车”所在扇形的圆心角度数是　 　度，请补全条形统计图；
（2）已知这5名学生中有2名女同学，要从这5名学生中任选两名同学汇报调查结果．请用列表法或画树状图的方法，求出恰好选出1名男生和1名女生的概率．
21．（2024九下·龙湖模拟）为增强体质，小明和小强相约周末去登山，小明同学从北坡山脚C处出发，小强同学同时从南坡山脚B处出发，如图所示．已知小山北坡长为240米，坡度，南坡的坡脚是．（出发点B和C在同一水平高度，将山路看成线段）
（1）求小山南坡的长；
（2）如果小明以每分钟24米的速度攀登，小强若要和小明同时到达山顶A，求小强攀登的速度．（结果保留根号）
22．（2024九下·龙湖模拟）某校在商场购进A、B两种品牌的篮球，购买A品牌篮球花费了2500元，购买B品牌篮球花费了2000元，且购买A品牌篮球数量是购买B品牌篮球数量的2倍，已知购买一个B品牌篮球比购买一个A品牌篮球多花30元．
（1）问购买一个A品牌、一个B品牌的篮球各需多少元？
（2）该校决定再次购进A、B两种品牌篮球共60个，恰逢商场对两种品牌篮球的售价进行调整，A品牌篮球售价不变，B品牌篮球按第一次购买时售价的9折出售，如果该校此次购买A、B两种品牌篮球的总费用不超过3500元，那么该校此次最多可购买多少个B品牌篮球？
23．（2024九下·龙湖模拟）综合与实践
问题情境：数学课上，同学们以特殊四边形为基本图形，添加一些几何元素后探究图形中存在的结论．已知在中，，的平分线交边于点E，交边的延长线于点F，以为邻边作，
特例探究：（1）如图1，“创思”小组的同学研究了四边形为矩形时的情形，发现四边形是正方形，请你证明这一结论；
（2）“敏学”小组的同学在图1基础上连接，得到图2，发现图2中线段与之 间存在特定的数量关系，请你帮他们写出结论并说明理由；
拓展延伸：（3）“善问”小组的同学计划对展开类似研究．如图3，在中，．当时，请补全图形，并直接写出A，G两点之间的距离．
五、解答题（三）（本大题2小题，每小题12分，共24分）
24．（2024九下·龙湖模拟）如图1，是的直径，是延长线上一点，切于点，连接，平分，交于点，交于点．
（1）在图1中连结，求证：；
（2）若的半径为，求的值；
（3）如图，若，点是的中点，与交于点，连接．请猜想，，的数量关系，并证明．
25．（2024九下·龙湖模拟）综合与探究：
如图，已知抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B的左边），与y轴交于点C．直线与抛物线的对称轴交于点E．将直线沿射线方向向下平移个单位，平移后的直线与直线交于点F，与抛物线的对称轴交于点D．
（1）求出点A，B，C的坐标，并直接写出直线的解析式；
（2）当是以为直角边的直角三角形时，求出n的值；
（3）直线上是否存在一点P，使以点D，E，F，P为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】正数和负数的认识及应用
【解析】【解答】解：∵ ， ，
∴速冻水饺的储藏温度是-20～-16℃，
故答案为：A符合题意，选项B，C，D不符合题意，
故答案为：A.
【分析】可以看出速冻水饺的储藏温度的标准量为-18℃ ，最多可以超过标准温度2℃，最少可以不足标准准温度2℃，从而根据有理数的加法法则可求-18+2；根据有理数的加法法则可-18-2，可以求得速冻水饺的储藏温度的范围，本题得以解决.
2．【答案】B
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：数据2610000用科学记数法表示为，
故答案为：B．
【分析】科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数.
3．【答案】A
【知识点】简单几何体的三视图
【解析】【解答】解：此商场的休息椅的俯视图为A，
故答案为：A．
【分析】根据三视图的定义求解即可。
4．【答案】D
【知识点】同底数幂的乘法；同底数幂的除法；合并同类项法则及应用；幂的乘方运算
5．【答案】D
【知识点】平行线的性质；猪蹄模型；平行线的判定与性质的应用-求角度
【解析】【解答】如图，作BD//l1，
∵BD//l1，
∴∠1＝∠CBD，
∵l1//l2，
∴BD//l2，
∴∠ABD＝∠2，
又∵∠1＝39°，
∴∠CDB＝39°
又∵∠CBA＝∠CBD+∠ABD＝90°，
∴∠ABD＝51°，
∴∠2＝51°．
故答案为：D．
【分析】作BD//l1，根据直线平行性质可得∠CDB＝39°，再根据角之间的关系即可求出答案.
6．【答案】B
【知识点】等边三角形的判定与性质；扇形面积的计算
【解析】【解答】解：如图，连接．
∵，，
∴是等边三角形，
∴，
∴
，
故答案为：B．
【分析】连接，根据等边三角形判定定理可得是等边三角形，则，再根据，结合扇形面积即可求出答案.
7．【答案】C
【知识点】坐标与图形性质；勾股定理；求余弦值
【解析】【解答】解：过点作轴的垂线，垂足为，如图所示，
∵，
∴，，
∴．
在中，．
故答案为：C．
【分析】过点作轴的垂线，垂足为，根据勾股定理求出，再根据余弦的定义计算即可求出答案.
8．【答案】D
【知识点】相似三角形的判定
【解析】【解答】解：由题意可得，，
A、当时，，故本选项不符合题意；
B、当时，，故本选项不符合题意；
C、当时，，故本选项不符合题意；
D、当时，不能推断与相似，故选项符合题意；
故答案为：D．
【分析】结合已知及三角形相似的判定方法“ 有两个对应角相等的三角形相；有两个对应边的比相等，且其夹角相等，则两个三角形相似；三组对应边的比相等，则两个三角形相似 ”，逐项分析解题即可．
9．【答案】D
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数图象上点的坐标特征；二次函数y=ax²+bx+c的图象
【解析】【解答】解：∵抛物线的对称轴为x=-1，
所以B（1，0）关于直线x=-1的对称点为A（-3，0），
∴AB=1-（-3）=4，故①正确；
由图象可知：抛物线与x轴有两个交点，
∴Δ=b2-4ac>0，故②正确；
由图象可知：抛物线开口向上，
∴a>0，
由对称轴可知： <0，
∴b>0，故③正确；
当x=-1时，y=a-b+c<0，故④正确；
所以，正确的结论有4个，
故答案为：D.
【分析】 ①根据二次函数图象的对称性求出点A的坐标，根据A、B两点的坐标求出AB长； ②根据抛物线与x轴有两个交点即可判断Δ=b2-4ac>0；③根据抛物线的开口判断a的符号，结合对称轴的位置判断b的符号即可； ④在图象中找出x=-1时对应点的函数值，即可判断a-b+c的符号.
10．【答案】A
【知识点】等边三角形的性质；锐角三角函数的定义；动点问题的函数图象；三角形全等的判定-SSS
【解析】【解答】解：如图，令点P从顶点A出发，沿直线运动到三角形内部一点O，再从点O沿直线运动到顶点B，
结合图象可知：当点P在AO上运动时，=1，
∴PB=PC，AO=.
∵△ABC为等边三角形，
∴∠BAC=60°，AB=AC，
∴△APB≌△APC（SSS），
∴∠BAO=∠CAO=30°.
当点P在OB上运动时，可知点P到达点B时的路程为，
∴OB=，即OA=OB=，
∴∠BAO=∠ABO=30°.
过点O作OD⊥AB，垂足为D，
∴AD=BD=AO·cos30°=3，
∴AB=AD+BD=6，即△ABC的边长为6.
故答案为：A.
【分析】结合图象可知：当点P在AO上运动时，=1，则PB=PC，AO=，由等边三角形的性质可得∠BAC=60°，AB=AC，利用SSS证明△APB≌△APC，得到∠BAO=∠CAO=30°；当点P在OB上运动时，可得OB=，即OA=OB=，推出∠BAO=∠ABO=30°，过点O作OD⊥AB，垂足为D，由三角函数的概念可得AD，进而可得AB.
11．【答案】
【知识点】关于原点对称的点的坐标特征
【解析】【解答】解：点关于原点O的对称点为．
故答案为：．
【分析】根据关于原点对称的点的坐标特征即可求出答案.
12．【答案】x1＝0，x2＝2
【知识点】因式分解法解一元二次方程
【解析】【解答】移项得x2-2x=0，即x（x-2）=0，解得x=0或x=2.
【分析】利用因式分解——提公因式法解方程即可.
13．【答案】48
【知识点】三角形全等及其性质；等腰直角三角形；三角形全等的判定-AAS；同侧一线三垂直全等模型
【解析】【解答】解：∵是等腰直角三角形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴
故答案为：48．
【分析】根据等腰直角三角形性质可得，再根据角之间的关系可得，再根据全等三角形判定定理可得，则，再根据边之间的关系即可求出答案.
14．【答案】86.8
【知识点】加权平均数及其计算
【解析】【解答】解：根据题意得：
（分），
所以，小王的成绩是86.8分．
故答案为：86.8．
【分析】根据加权平均数的计算公式列出算式，再进行计算即可．
15．【答案】4
【知识点】圆周角定理；圆内接正多边形
【解析】【解答】解：如图，连接．
∵正方形正方形，相似比为，
又∵正方形的面积为2，
∴正方形的面积为8，
∴，
∵，
∴，
∴正方形的外接圆的直径为4，
故答案为：4．
【分析】连接．根据相似多边形的性质求出正方形的面积，求出边长，再求出可得结论．
16．【答案】
【知识点】反比例函数与一次函数的交点问题；二次函数的最值
【解析】【解答】解：∵P是第一象限内一次函数图象上一动点，
∴可设点P的坐标为，且，
∴，
∵反比例函数经过点P，
∴，
∴当时，k的值最大，最大值为2，
∵，
∴当时，k随a的增大而增大，当时，k随a的增大而减小，
∵当时，，当时，，
∴k的取值范围是．
故答案为：
【分析】根据题意可设可设点P的坐标为，且，可得，再根据反比例函数的性质可得，然后根据二次函数的性质，即可求出答案.
17．【答案】解：
．

【知识点】零指数幂；实数的绝对值；特殊角的三角函数的混合运算
【解析】【分析】原式先化简，，，然后再合并即可得到答案．
18．【答案】解：

【知识点】分式的混合运算
【解析】【分析】原式先将括号内的进行通分计算，再把除法转换为乘法约分后即可得到结果
19．【答案】解：图形如图所示．
证明：连接，
∵为的直径，
∴．
∴．
∴为的切线．
【知识点】切线的判定；尺规作图-过圆外一点作圆的切线
【解析】【分析】根据要求即可画出图形；再根据直径所对的圆周角是直角即可求出答案.
20．【答案】解：（1）400（人），54°，
补全条形统计图为：
（2）画树状图为：
共有20种等可能的结果数，其中选出1名男生和1名女生的结果数为12种，
所以恰好选出1名男生和1名女生的概率==．
【知识点】条形统计图；用列表法或树状图法求概率
【解析】【解答】（1）本次接受调查的总人数为160÷40%=400（人），
扇形统计图中“骑自行车”所在扇形的圆心角度数为×360°=54°，
乘私家车的人数=400﹣60﹣160﹣80=100（人），
【分析】（1）用乘公交车的人数除以它所占的百分比即可得到调查的总人数，再用“骑自行车”所占的百分比乘以360°得到“骑自行车”所在扇形的圆心角度数，然后计算出乘私家车的人数后补全条形统计图；
（2）先画树状图展示所有20种等可能的结果数，再找出选出1名男生和1名女生的结果数，然后根据概率公式求解.
21．【答案】（1）解：如下图，过A作，垂足为D，
在中，
，
，
，
（米），
在中，
，
（米）
小山南坡的长为米；
（2）解：设小强登山的速度为x米/分，根据题意，得：，
解得：，
小强登山的速度为米．
【知识点】分式方程的实际应用；解直角三角形的实际应用﹣坡度坡角问题
【解析】【分析】（1）过A作，垂足为D，在中，先求出的度数，然后利用含角的直角三角形的性质可得米，在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，即可求出答案.
（2）利用（1）的结论，根据路程，速度，时间之间的关系建立方程，解方程即可求出答案.
22．【答案】（1）解：设购买一个A品牌的篮球需x元，则购买一个B品牌的篮球需元，
由题意得：，
解得：，
经检验，是原方程的解，且符合题意，
则．
答：购买一个A品牌的篮球需50元，购买一个B品牌的篮球需80元．
（2）解：设该校此次可购买a个B品牌篮球，则购进A品牌篮球个，
由题意得：，
解得：，
∵是整数，
所以，该校此次最多可购买22个B品牌篮球．
【知识点】分式方程的实际应用；一元一次不等式的应用
【解析】【分析】（1）设购买一个A品牌的篮球需x元，则购买一个B品牌的篮球需元，由题意：购买A品牌篮球花费了2500元，购买B品牌篮球花费了2000元，且购买A品牌篮球数量是购买B品牌篮球数量的2倍，列出分式方程，解方程即可求出答案.
（2）设该校此次可购买a个B品牌篮球，则购进A品牌篮球个，根据购买A、B两种品牌篮球的总费用不超过3500元，列出不等式，解不等式即可求出答案.
23．【答案】（1）证明：∵四边形为矩形，
∴，
∴，
∵四边形平行四边形，
∴平行四边形为矩形，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
∴矩形为正方形．
（2），理由如下：
连接交于点O，连接，如图2，
由（1）得四边形为正方形，
∴，
∴垂直平分，
∴，
∵四边形为矩形，
∴，
∴．
（3）补全图形如图，过点G作交于点H，连接，
由题意得四边形为平行四边形，
∵，平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴四边形为是菱形，
∴，易得，
∵，
∴
∴，
∴，
此时，A，G两点之间的距离为．
【知识点】平行线的性质；含30°角的直角三角形；勾股定理；平行四边形的性质；菱形的判定；矩形的判定与性质；角平分线的概念
【解析】【分析】（1）根据矩形的性质可得，则，再根据矩形判定定理可得平行四边形为矩形，由角平分线定义可得，则，再根据正方形判定定理即可求出答案.
（2）连接交于点O，连接，由（1）得四边形为正方形，则，然后由线段垂直平分线的性质可得，再根据矩形性质可得，即，即可求出答案.
（3）过点G作交于点H，连接，根据角平分线定义可得，再根据直线平行性质可得，由边之间的关系可得，再根据直线平行性质可得，则，再根据菱形判定定理可得四边形为是菱形，则，易得，再根据含30°角的直角三角形性质可得，根据边之间的关系可得AH=5，再根据勾股定理即可求出答案.
24．【答案】（1）证明：∵是的切线，
∴
∵是直径，
∴
∴；
（2）解：如图所示，连接并延长交于点，连接
∵是直径，
∴，
又∵平分，
∴
∴，
∵是直径，的半径为，
∴，，
∵
∴
∵
∴
∴

（3）解：．理由如下：
如图，连接、，
由（2）可得，
，，
，，
∵
，
，
，，
，
，
，
点是的中点，
，
，，
，，
设，
则，
，
又，
，
，
，
即，
，
在中，，
．
【知识点】圆周角定理；切线的性质；相似三角形的判定；角平分线的概念；求余弦值；相似三角形的性质-对应边
【解析】【分析】（1）根据切线的性质可得，根据半径相等可得，根据是直径，得出，等量代换即可求出答案.
（2）连接并延长交于点，连接，根据角平分线定义可得，，再根据据余弦定义可得，则，化简计算即可求出答案.
（3）连接、，根据圆周角定义及角之间的关系可得，，再根据相似三角形判定定理可得，则，再设，根据勾股定理可得，从而，结合，根据相似三角形判定定理可得，则，即，再根据勾股定理即可求出答案.
25．【答案】（1）解：当时，，
解得或，
∴，
当时，，
∴，
设直线的解析式为，
∴，
解得，
∴直线的解析式为，
设直线的解析式为，
∴，
解得，
∴直线的解析式为；
（2）解：∵，
∴抛物线的对称轴为直线，
∴，
平移后的直线解析式为，
∴，
∴，，，
∵是以为斜边的直角三角形，
∴，
解得或（舍）；
（3）或
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；一次函数图象的平移变换；二次函数-特殊三角形存在性问题
【解析】【解答】解：（3）存在点P，使以点D，E，F，P为顶点的四边形是菱形，理由如下：
当时，解得
∴，
当为邻边时，与为菱形的对角线，
∴，
∴轴，
∴，
∴，
解得，
∴；
当为菱形的对角线时，，
∴，
∵，
∴E点向左平移个单位，向上平移个单位得到P点，
∴，
∴，
解得，
∴；
综上所述：P点坐标为或．
【分析】（1）根据坐标轴上点的坐标特征令y=0，x=0，代入二次函数解析式可得A，B点坐标，设直线的解析式为，根据待定系数法将点A，C坐标代入解析式可得直线的解析式为，设直线的解析式为，再根据待定系数法将点B，C坐标代入解析式即可求出答案.
（2）根函数图象平移性质先求平移后的直线解析式为，则，再由勾股定理可得方程，解方程即可求出答案.
（3）先设，当为邻边时，与为菱形的对角线，轴，可得，再将点P代入直线的解析式中求出n的值，即可求；当为菱形的对角线时，，此时，再由E点向左平移个单位，向上平移个单位得到P点，则，得到方程，求出n的值即可求P点坐标．
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