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乘法公式重点考点 归纳练
2025年中考数学一轮复习备考
一、单选题
1．（2023·贵州遵义·三模）如图（1），边长为的正方形剪去边长为2的正方形得到①、②两部分，再把①、②两部分拼接成图（2）所示的长方形，根据阴影部分的而积不变，你能验证的结论是（ ）

A． B．
C． D．
2．（22-23七年级下·江苏苏州·期中）如果多项式是一个完全平方式，则的值是 （ ）
A． B． C．或 D．或
3．（2023·上海杨浦·三模）下列计算中，正确的是（ ）
A． B． C． D．
4．（2022·四川眉山·一模）下列运算正确的是（ ）
A．·＝ B．3－＝3 C．·＝ D．＝＋
5．（2023·河北沧州·模拟预测）下列一定相等的组数是( )
①与
②与
③与
A．0 B．1 C．2 D．3
6．（2021·广东深圳·三模）下列计算正确的是（ ）
A．（﹣2x）2 x3＝x6 B．a3+a2＝a5
C．（x﹣y）2＝x2﹣y2 D．x2÷x＝x
7．（23-24七年级下·浙江杭州·期中）下列计算正确的是（　　）
A． B．
C． D．
8．（2022·山东聊城·一模）下列运算正确的是（ ）
A． B． C． D．
9．（18-19八年级上·全国·单元测试）如果一个正整数可以表示为两个连续奇数的平方差，那么称该正整数为“和谐数”．如，，即8，16均为“和谐数”．在不超过2022的正整数中，所有“和谐数”之和等于（ ）
A．255054 B．255064 C．250554 D．255024
10．（23-24八年级上·江西上饶·期末）下列运算中，正确的是（ ）
A． B． C． D．
11．（22-23八年级下·重庆涪陵·开学考试）下列计算中，正确的是（ ）
A． B．
C． D．
12．（2024·重庆潼南·模拟预测）学习平方差公式后，小明所在的学习小组为了加强对公式的理解，编了一个小游戏，游戏规则如下：第一次操作：把多项式与的平方差的结果记为，
第二次操作：把多项式与的平方差的结果记为，
第三次操作：，
第四次操作：把多项式与的平方差的结果记为，
．．．以此类推，
每到了的倍数时就把前两次的结果求和（其中，为整数）．下列说法：
（1）若为偶数，则为正整数时都是的倍数；
（2）当，时，；
（3）若是一个奇数，则必然也是一个奇数；
（4）若为奇数，且，从开始的连续个数的和记为，则，，三个数中只有一个奇数；其中正确的个数是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
13．（12-13七年级下·江苏宿迁·期中）已知x+y＝3，xy＝2，则x2+y2＝ ．
14．（2023·江苏苏州·二模）若x满足，则 ．
15．（22-23八年级下·全国·单元测试）已知a+b＝3，ab＝﹣4，则 ．
16．（2023·陕西榆林·一模）我国古代数学家赵爽在其所著的《勾股圆方图注》中记载过一元二次方程（正根）的几何解法，以方程即为例加以说明，构造如图1，大正方形的面积是，其中它又等于四个矩形的面积加上中间小正方形的面积，即，据此易得．那么，图2是方程 的几何解法．

17．（2022·广东潮州·一模）一个长方形的面积为10，设长方形的边长为和，且，则长方形的周长为 ．
18．（22-23八年级下·浙江·阶段练习）已知，则 ．
三、解答题
19．（2023·湖南衡阳·一模）先化简，再求值：，其中．
20．（2022·浙江温州·一模）（1）计算：．
（2）化简：．
21．（2024·江苏南通·二模）（1）解不等式组：
（2）化简求值：，其中．
22．（23-24八年级上·山西朔州·阶段练习）综合与实践
如图1，有A型，B型正方形卡片和C型长方形卡片各若干张．
(1)用1张A型卡片，2张B型卡片，3张C型卡片拼成一个长方形，如图2，用两种方法计算这个长方形面积，可以得到一个等式，请你写出该等式： ．
(2)选取1张A型卡片，8张C型卡片， 张B型卡片，可以拼成一个正方形，这个正方形的边长用含a，b的式子表示为 ．
(3)如图3，正方形边长分别为m，n，已知，，求阴影部分的面积．
23．（2023·山东枣庄·三模）已知，求下列各式的值：
(1)；
(2)．
24．（2021·安徽合肥·二模）观察下列等式：
①；②；③；④．
(1)请按以上规律写出第⑥个等式：___________；
(2)猜想并写出第n个等式：___________；并证明猜想的正确性．
(3)利用上述规律，直接写出下列算式的结果：___________．
参考答案
1．D
解：图（1）中，①、②两部分的面积和为：，
图（2）中，①、②两部分拼成长为，宽为，故面积为：，
因此．
2．C
∵是一个完全平方公式，
∴，
∴，
∴，
∴．
故选：C．
3．C
解：A． ，故选项A不符合题意；
B． ，故选项B不符合题意；
C． ，故选项C符合题意；
D． ，故选项D不符合题意．
4．C
∵·＝，
∴A错误，不符合题意；
∵3－＝2，
∴B错误，不符合题意；
∵·＝，
∴C正确，符合题意；
∵，
∴D错误，不符合题意；
故选C．
5．D
解：①，故①符合题意；
②，
，
，故②符合题意；
③，
，
，故③符合题意；
则相等的组数有3个．
故选：D．
6．D
解：A．（﹣2x）2 x3＝4x5，此选项不符合题意；
B．a3与a2不是同类项，不能合并，此选项不符合题意；
C．（x﹣y）2＝x2﹣2xy+y2，此选项不符合题意；
D．x2÷x＝x，此选项符合题意；
故选：D．
7．C
、，原选项计算错误，不符合题意；
、，原选项计算错误，不符合题意；
、，原选项计算正确，符合题意；
、，原选项计算错误，不符合题意；
故选：．
8．D
解：A、（a-1）2=a2+2a+1，故选项A不合题意；
B、（a3）2 =a6，故选项B不合题意；
C、a6÷a3 =a3，故选项C不合题意；
D、a3 ×a4=a7，故选项D符合题意．
9．D
解:由（2n+1）2﹣（2n﹣1）2=8n≤2022，
解得：n≤252，
则在不超过2027的正整数中，
所有的“和谐数”之和为32﹣12+52﹣32+…+5052﹣5032=5052﹣12=255024．
故选D．
10．C
解：A．，故选项错误，不符合题意；
B．，故选项错误，不符合题意；
C．，故选项正确，符合题意；
D．，故选项错误，不符合题意．
故选：C．
11．C
A. ，故运算错误，不符合题意；
B. 和不是同类二次根式，不能合并，故不符合题意；
C. ，运算正确，符合题意；
D. 和不是同类二次根式，不能合并，故不符合题意．
12．C
，
，
，
∵，
∴
，
∴，，，
，，，
，
∴，，，
若为偶数，是的倍数，
则为正整数时，都是的倍数，
∴①正确；
当，时，，
∴正确；
∵，
∴
，
∴当操作次数为的倍数时，其结果是偶数，
∵是的倍数，
∴必然是一个偶数，
∵，是一个奇数，
∴必然也是一个奇数，
∴正确；
若为奇数，且，从开始的连续个数的和记为，
由上可知必为偶数，，必为奇数，
当为的倍数时，为偶数，则为奇数，为偶数， 则，，三个数中只有一个奇数；
当为的倍数时，为偶数，则为奇数，为奇数， 则，，三个数中有两个奇数；
当为的倍数时，为偶数，则为奇数，为偶数， 则，，三个数中只有一个奇数；
∴错误；
以上说法中正确的个，
故选：C．
13．5
解：将x+y＝3两边平方得：
（x+y）2＝x2+2xy+y2＝9，
将xy＝2代入得：
x2+4+y2＝9，
x2+y2＝5
故答案为：5
14．15
根据，计算求解即可．
解：
，
故答案为：15．
15．
∵，
∴，
∴，
∵ab＝﹣4，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
16．（答案不唯一）
解：由图②知大正方形的面积是，它又等于四个矩形的面积加上中间小正方形的面积，即，
图2可看出的几何解法，
故答案为：（答案不唯一）．
17．14
解：∵，，
∴．
∴．
∴长方形周长为：．
故答案为：14．
18．或
设，则
∵，
∴，
，
∴，
整理得，
解得
当，即时，去分母整理得到，，此方程有解；
当，即时，去分母整理得到，，此方程有解；
综上所述，或
故答案为：或
19．，
根据完全平方公式和单项式乘多项式将题目中的式子展开，然后合并同类项，再将的值代入化简后的式子计算即可．
解：
，
当时，原式．
20．（1）1；（2）
（1）分别计算算术平方根、零指数幂，再利用有理数的加法法则相加即可；
（2）利用完全平方公式和单项式乘多项式法则计算后，合并同类项即可．
解：（1）原式＝4＋1－4＝1
（2）原式＝
21．（1）；（2），
解：（1）
解不等式①得：，
解不等式②得：，
∴不等式组的解集为；
（2）解：原式

，
当时，原式．
22．(1)；
(2)
(3)．
考查完全平方公式的几何意义， 用不同方法表示同一个图形的面积是常用的方法．
（1）用两种方法表示图2的面积， 即可得出等式；
（2）由拼图可得 是完全平方式, 则即从而得出答案；
（3）表示阴影部分的面积， 化成，再整体代入求值即可．
（1）解：方法1，长方形的面积为 ，
方法2， 图2中六部分的面积和为：，
因此有 ．
（2）(2)由面积拼图可知，
∴要16张B型卡片，可以拼成一个正方形，这个正方形的边长为．
（3）解：由图形面积之间的关系可得，
∵，，
∴原式
．
23．(1)
(2)47
（1）∵
∴；
（2）∵
∴
∴
∴
∴
∴
∴．
24．(1)
(2)，见解析
(3)4850
（1）解：第⑥个式子为：；
故答案为：；
（2）猜想第个等式为：，
证明：左边右边，
故答案为：；
（3）原式
．
故答案为：4850．
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