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第七章
相交线与平行线
7.1.2 两条直线垂直
复习引入
问题1 如图，在相交线的模型中，如果两根木条a，b所成的角中有一个角∠α=35 ，其他三个角分别等于多少度？如果∠α等于90 呢？
合作探究
垂直
一般地，当两条直线a、b相交所成的四个角中有一个角是直角时，我们说a与b互相垂直，记作“a⊥b”.
垂线和垂足
两条直线互相垂直，其中的一条直线叫作另一条直线的垂线，它们的交点叫作垂足. 如图，AB⊥CD，垂足为O.
垂直概念具有双重作用
已知线垂直得直角
已知直角得线垂直
推理过程
因为 ∠AOD=90 ，
所以 AB⊥CD.
合作探究
垂线的性质
如果直线AB，CD相交于点O，∠AOD=90 ，那么AB⊥CD.
垂线的判定
如果AB⊥CD，那么∠AOD=90 .
推理过程
因为 AB⊥CD，
所以 ∠AOD=90 .
合作探究
问题2 两条直线垂直和相交是什么关系？
答：垂直是相交的特殊情况.
问题3 如何判定两条射线垂直？两条线段呢？
答：两条射线垂直、两条线段垂直、线段与射线垂直、线段与直线垂直、射线与直线垂直，都是指它们所在的直线垂直．
合作探究
问题4 在日常生活中，两条直线互相垂直的情形很常见.你能再举出其他例子吗？
合作探究
探究1 用三角尺或量角器画已知直线l的垂线.
(1)经过直线l上一点A画l的垂线，这样的垂线能画出几条？
(2)经过直线l外一点B画l的垂线，这样的垂线能画出几条？
(3)不经过哪点的情况下，这样的垂线能画几条？
垂线的画法
归纳总结
用量角器画
用三角尺画
一“落”：
二“移”：
三“画”：
让三角尺的一条直角边落在已知直线上，使其已知直线重合
沿已知直线移动三角尺，使其另一条直线边经过已知点
沿此直角边画直线，则这条直线就是已知直线的垂线
合作探究
探究1 用三角尺或量角器画已知直线l的垂线.
(1)经过直线l上一点A画l的垂线，这样的垂线能画出几条？
(2)经过直线l外一点B画l的垂线，这样的垂线能画出几条？
1条
1条
(3)不经过哪点的情况下，这样的垂线能画几条？
无数条
在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直.
可以发现，经过一点（在已知直线上或直线外），能画出已知直线的一条垂线，并且只能画出一条垂线。
归纳总结
由此得到关于垂线的基本事实
前提条件
存在且唯一
（垂线的性质）
两个缺一不可的条件
1、必须是在同一平面
2、过一点（这一点可以在其直线上也可以在直线外）
巩固练习
用三角尺画已知直线l的垂线.
典例分析
例2 如图，过点P画出射线AB或线段AB的垂线.
(1) (2) (3)
画一条射线或线段的垂线，就是画它们所在直线的垂线.
注意：过一点画一条线段或射线的垂线就是画它们所在直线的垂线，垂足可能在这条线段或射线上，也可能在线段的延长线上或射线的反向延长线上
合作探究
问题5 如图，在灌溉时，要把河中的水引到农田P处，如何挖渠能使渠道最短？
合作探究
探究2 如图，P是直线l外一点，PO⊥l，垂足为O，我们称PO为点P到直线l的垂线段. A是直线l上除点O外一点，连接PA. 测量并比较线段PO与PA的长度，你能得到什么结论？改变点A的位置呢？
结论
线段PO的长度比线段PA的长度短.
垂线段
垂线段的定义
过直线外一点画已知直线的垂线，连接这点与垂足之间的线段按，叫做这点到已知直线的垂线段.
合作探究
垂线段最短
连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短，简单说成垂线段最短.
点到直线的距离
直线外一点到这条直线的垂线段的长度叫做点到直线的距离.
合作探究
问题5 如图，在灌溉时，要把河中的水引到农田P处，如何挖渠能使渠道最短？
使挖的渠道垂直于河道
归纳总结
垂线与垂线段的区别：
垂线是一条直线，长度不可以度量，而垂线段是一条线段，长度可以度量
点到直线的距离与两点间的距离的区别：
点到直线的距离是直线外一点到这条直线的垂线段的长度，而两点的距离只连接两点间的线段的长度
垂线段与点到直线的距离的区别：
垂线段是几何图形，而点到直线的距离是点到直线的垂线段的长度，是一个数量
我们学过了垂线、垂线、点到直线的距离、两点间的距离它们之间有什么区别呢？
巩固练习
1. 当两条直线相交所成的四个角都相等时，这两条直线有什么位置关系，为什么？
解：这两条直线是垂直关系.
因为 两条直线相交所成的四个角都相等，
所以 每个角都是360 ÷4=90 ，
所以 这两条直线是垂直关系.
巩固练习
2. 如图，在一张半透明的纸上画一条直线l，在l上任取一点P，在l外任取一点Q，折出过点P且与l垂直的直线，这样的直线能折出几条？为什么？过点Q呢？
解：过点P且与l垂直的直线只能折出一条，过点Q且与l垂直的直线也只能折出一条.因为在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直.
巩固练习
3. 如图，分别过点P画直线AB，CD的垂线，并量出点P到直线AB的距离.
点P到直线AB的距离就是线段PQ的长度.
巩固练习
4. 如图，在三角形ABC中，∠C=90 .
(1)分别指出点A到直线CB，点B到直线AC的距离是哪些线段的长度？
(2)三条边AB，AC，CB中哪条边最长，为什么？
解：(1)点A到直线CB的距离是线段AC的长度；点B到直线AC的距离是线段BC的长度.
(2)三条边中AB边最长，理由如下：
因为垂线段最短，
所以AB>AC，AB>BC，
所以AB边最长.
巩固练习
5. 如图，AB⊥l，CB⊥l，B为垂足，那么A，B，C三点在同一条直线上吗？请说明理由.
解：A，B，C三点在同一条直线上.
理由如下：
因为 在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，
所以 若AB⊥l，BC⊥l，则直线AB与直线BC重合，
所以 A，B，C三点在同一条直线上．
归纳总结
两条直线垂直 垂直的定义 一般地，当两条直线a、b相交所成的四个角中有一个角是直角时，我们说a与b互相垂直，记作“a⊥b”.
垂线和垂足 两条直线互相垂直，其中的一条直线叫作另一条直线的垂线，它们的交点叫作垂足.
垂线的画法 借助三角尺画垂线.
关于垂线的基本事实 在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直.
垂线段最短 连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短，简单说成垂线段最短.
点到直线的距离 直线外一点到这条直线的垂线段的长度叫做点到直线的距离.
感受中考
1. (2024 北京)如图，直线AB和CD相交于点O，OE⊥OC．若∠AOC＝58 ，则∠EOB的大小为（　 ）
A．29 B．32 C．45 D．58
B
感受中考
2. (2020 河北)如图，在平面内作已知直线m的垂线，可作垂线的条数有（ 　）
A．0条 B．1条 C．2条 D．无数条
D
感受中考
3. (2016 淄博)如图，AB⊥AC，AD⊥BC，垂足分别为A，D，则图中能表示点到直线距离的线段共有（ 　）
A．2条 B．3条 C．4条 D．5条
D
感受中考
4. (2020 吉林)如图，某单位要在河岸l上建一个水泵房引水到C处．他们的做法是：过点C作CD⊥l于点D，将水泵房建在了D处．这样做最节省水管长度，其数学道理是 　 　．
垂线段最短
垂线段最短
点到直线的距离
小结梳理
两条直线垂直
垂线段
垂线
垂足
两条直线相交
一般
特殊
基本事实
下课
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