资源简介

2025 年春季学期甘肃省兰州第一中学高三开学诊断考试
数学试题
考试时间：120 分钟 试卷总分：150 分
一、单选题:本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是
符合题目要求的。
1. 是虚数单位，若复数 满足 ，则 取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
2. 已知命题 p： ，命题 q：直线 与抛物线 有两个公共点，则 p 是 q 的（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
3. 为庆祝广益中学建校 130 周年，高二年级派出甲 乙 丙 丁 戊 5 名老师参加“130 周年办学成果展”活动，
活动结束后 5 名老师排成一排合影留念，要求甲、乙两人不相邻且丙、丁两人必须相邻，则排法共有（ ）
种.
A. 40 B. 24 C. 20 D. 12
4. 若过点 的圆与两坐标轴都相切，则圆心到直线 的距离为( )
A. B. C. D.
5. 公元前四世纪，毕达哥拉斯学派对数和形的关系进行了研究，他们借助几何图形（或格点）来表示数，
称为形数，形数是联系算数和几何的纽带；下图为五角形数的前 4 个，现有如下说法：①第 9 个五角形数
比第 8 个五角形数多 25；②前 8 个五角形数之和为 288；③记所有的五角形数从小到大构成数列 ，则
的前 20 项和为 610；则正确的个数为（ ）
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
6．对于给定的正整数 ，设集合 ， ，且 ．记 为集合 中的最大元素，
当取遍 的所有非空子集时，对应的所有 的和记为 ，则 （ ）
A． B．
C． D．
7. 图为世界名画《蒙娜丽莎》.假设蒙娜丽莎微笑时的嘴唇可看作半径为 的圆 的一段圆弧 ，且弧 所
对的圆周角为 .设圆 的圆心 在点 与弧 中点的连线所在直线上.若存在圆 满足：弧 上存在四
点满足过这四点作圆 的切线，这四条切线与圆 也相切，则弧 上的点与圆 上的点的最短距离的取值
范围为（ ）
A. B.
C. D.
8. 已知直线 是圆 的一条对称轴，设直线 与 轴的交点为 ，
将直线 绕点 按顺时针方向旋转 得到直线 ，则直线 被圆 截得的弦长为（ ）
A. 1 B. C. 2 D.
二、多选题:本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目
要求。全部选对的得 6 分，有选错的得 0 分，部分选对的得部分分。
9. 在正方体 中， 分别为棱 的中点，动点 平面 ，
，则下列说法正确的是（ ）
A. 的外接球面积为 B. 直线 平面
C. 正方体被平面 截得的截面为正六边形 D. 点 的轨迹长度为
10. 设函数 ，如图是函数 及其导函数 的部分图像，
则（ ）
A.
B.
C. 与 y 轴交点坐标为
D. 与 的所有交点中横坐标绝对值的最小值为
11. 已知抛物线 的焦点为 ，准线为 ，过抛物线 上一点 作 的垂线，垂足为 ，则下列
说法正确的是（ ）
A. 准线 的方程为
B. 若过焦点 的直线交抛物线 于 两点，且 ，则
C. 若 ，则 的最小值为 3
D. 延长 交抛物线 于点 ，若 ，则
三.填空题:本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分.
12. 在同一平面直角坐标系 中，曲线 所对应的图形经过伸缩变换 得到图形
.点 在曲线 上，则点 到直线 的距离的最小值为____________.
13. 若函数 的图象关于直线 对称，则实数 _______．
14. 的展开式中所有有理项的系数之和为__________.
四.解答题:本题共 5 小题，共 77 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15.（13 分）设数列 的前 项和为 ，且 .
（1）求 ；
（2）记 ，数列 的前 项和为 ，求 .
16．（15 分）已知函数 其中 为常数，设 为自然对数的底数.
（1）当 时，求曲线 在点 处的切线方程；
（2）是否存在实数 ，使得 在区间 上的最大值为 ？若存在，求出求 的值，若不存在，请
说明理由.
17.（15 分）记 的内角 的对边分别是 ，已知 的外接圆半径 ，
且
（1）求 和 的值；
（2）求 面积的最大值．
18.（17 分）已知 为坐标原点，椭圆 的左 右焦点分别为 ，直线 与
椭圆 交于 两点，当 的周长取得最大值 8 时， .
（1）求椭圆 的标准方程；
（2）过点 作斜率存在且不为 0 的直线 交椭圆 于 两点，若 ，直线 与直线 交于
点 ，记直线 的斜率分别为 ，试判断 是否为定值，若是，求出该定值；若不是，说
明理由.
19.（17 分）已知函数 .
（1） 是 的导函数，求 的最小值；
（2）证明：对任意正整数 ，都有 （其中 为自然对数
的底数）
2025 年春季学期甘肃省兰州第一中学高三开学诊断考试
数学参考答案
一、单选题:
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 A B B A C D D C
二.多选题:
题号 9 10 11
答案 ABC AD BCD
三. 填空题:
12. 13. 14.
四.解答题:
15.【答案】（1）
（2）
【小问 1 详解】
由 ，
当 时， ，解得 ，
当 时， ，
所以 ，
整理得： ，①
所以有 ，②
①-②可得 ，
所以 为等差数列，
（ ）股份有限公司 — 1 —
因为 ，所以公差为 ，
所以 .
【小问 2 详解】
，
∴
.
16.【答案】（1）
（2）不存在，理由见解析.
【小问 1 详解】
当 时， ， ， ，
， ，
所以曲线 在点 处的切线方程为 ，即 .
【小问 2 详解】
假设存在实数 ，使得 在区间 上的最大值为 ，
因为 ， ， ，
若 ，则 在区间 上恒成立， 在区间 上单调递增，此时 在区间 上无
最大值；故 ，
令 ，得 ，令 ，得 ，
则函数 在 上单调递增，在 上单调递减，
因为函数 在开区间 上有最大值为 ，所以 ，即 ，
所以函数 在 上单调递增，在 上单调递减，
所以 ，得 ，
又 ，所以 不成立，
故不存在实数 ，使得 在区间 上的最大值为 .
17.【答案】（1） ，
（2） 面积的最大值为
【小问 1 详解】
因为 ，所以
即
故
因为 ，所以
又 ，所以 ，因为 ，所以
由正弦定理得 ，则
【小问 2 详解】
由余弦定理 ，得
由基本不等式得 ，
当且仅当 时取等号，
所以
所以
故 面积的最大值为
18.【答案】（1）
（2） 为定值，值为 1.
有限公司 — 3 —
）股份
【小问 1 详解】
如图，当直线 与椭圆 相交于 两点，与 轴交于 点时，
连接 ，由椭圆定义可知 ，显然 ，
同理可知， ，显然 ，
所以当直线 经过焦点 时， 的周长最大，
最大值为 ，所以 .
此时 ，则 ，
即 .
所以椭圆 的标准方程为 .
【小问 2 详解】
设直线 的方程为 ，与椭圆 方程联立得 ，
设 ，则 ，
可得 ，
又 ，所以直线 的方程为 ，
令 ，得 ，
，
所以 为定值，值为 1.
19. 【答案】（1）0
（2）证明见解析.
【小问 1 详解】
由题意， ，
，
，
令 ，解得 ，
又 时， 时， ，
所以 在 上单调递减，在 单调递增，
，即 的最小值为 0.
【小问 2 详解】
证明：由（1）得， ，
可知 ，当且仅当 时等号成立，
京 股份有限公司 — 5 —
令 ，则 .
，
即 ，
也即 ，
所以 ，
故对任意正整数 ，都有 .
） 有限公司 — 6 —
（北京 股份

展开更多......

收起↑