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1.1.2 集合的基本关系
课程标准 学习目标
1.理解子集、真子集概念以及集合相等。 2.掌握用数学符号语言以及V图语言表示集合间的基本关系。 3.能够区分集合间的包含关系与元素与集合的属于关系。 1.对集合之间包含与相等的含义以及子集、真子集概念的理解； 2.集合的子集的辨析和应用； 3.对给出的集合能写出其子集和真子集；有集合元素个数求子集个数； 4.在理解集合间关系的过程中，运用数轴和venn图解决子集及真子集问题，提高学生分析问题和解决问题的能力； 5.通过观察身边的实例，发现集合间的基本关系，体验其现实意义。
知识点1 子集
1.概念：一般地，如果集合A的任意一个元素都是集合B的元素，那么集合A称为集合B 的子集.
2.记法：A B（或B A）.
3.读法：A包含于B（或"B包含A"）.
4.如果A不是B的子集，记作AB（或B A），读作“A不包含于B”（或“B不包含A”）.
5.性质：A A； A.
6.图形表示：
【即学即练1】（2023·江苏·高一假期作业）设集合，，则下列关系正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】根据集合与集合间的关系可得出结论.
【详解】因为，，则.
.
【即学即练2】（2023·全国·高一假期作业）下列各式：①，②，③，④，⑤，其中错误的个数是（ ）
A．1 B．2
C．3 D．4
【答案】C
【分析】由元素与集合的关系，集合与集合的关系考查所给式子是否正确即可．
【详解】由元素与集合的关系可知，故①错误；
由集合与集合的关系可知，故②错误；
任何集合都是自身的子集，故③正确；
空集是任何非空集合的子集，故④正确；
集合中的元素具有互异性和无序性，故⑤正确；
综上可得，只有①②错误．
故选B．
【即学即练3】（2023·全国·高一假期作业）已知集合，则含有元素0的A的子集个数是（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
【答案】A
【分析】列出含有元素0的A的子集，求出答案.
【详解】含有元素0的A的子集有，，，，，，，，
故含有元素0的A的子集个数为8.
.
知识点2 真子集
1.概念：一般地，如果集合A是集合B的子集，并且B中至少有一个元素不属于A，那么集合A称为集合B的真子集.
2.记法：A B（或BA）.
3.读法：A真包含于B（或“B真包含A”）.
4.性质：对于集合A，B，C，①如果A B,B C,则A C
②如果A B，B C，则A C；
5.图形表示：
6.如果集合A中含有n个元素，则有
（1）A的子集的个数有2n个．
（2）A的非空子集的个数有2n－1个．
（3）A的真子集的个数有2n－1个．
（4）A的非空真子集的个数有2n－2个．
【即学即练4】（2024秋·江苏盐城·高一统考期中）若集合，，则集合A与B的关系是（ ）
A． B． C． D．不确定
【答案】C
【解析】因为集合A中的元素，都在集合B中，而B中的元素不一定都在A中，
所以，故选：.
【即学即练5】（2023春·江西南昌·高二南昌市铁路第一中学校考阶段练习）满足条件的所有集合的个数是（ ）
A．32 B．31 C．16 D．15
【答案】C
【解析】由集合满足条件，
所以集合至少含元素1,2，将1,2看成一个整体用来表示，
则上述集合关系式变成：，
则此时集合为集合的真子集，
问题转化为求集合的真子集的个数即：，
故满足题意的集合有31个..
知识点3空集
1、定义：一般地，把不含任何元素的集合叫做空集，记为 ，规定：空集是任何集合的子集．
在这个规定的基础上，结合子集和真子集的有关概念，可以得到：
（1）空集只有一个子集，即它本身； （2）空集是任何非空集合的真子集．
2、0，{0}， ，{ }的关系
与0 与{0} 与{ }
相同点 都表示无的意思 都是集合 都是集合
不同点 是集合； 0是实数 中不含任何元素； {0}含一个元素0 不含任何元素； { }含一个元素，该元素是
关系 0 {0} { }或 ∈{ }
【即学即练6】（2024秋·湖北咸宁·高一校考阶段练习）给出下列说法：
①空集没有子集；
②任何集合至少有两个子集；
③空集是任何集合的真子集；
④若，则．
其中正确的说法有（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
【答案】A
【解析】由于任何一个集合都是它本身的子集，空集的子集还是空集，故①不正确；
由于空集的子集还是空集，所以空集的子集只有一个，故②不正确；
由于空集的子集还是空集，但不是真子集，故③不正确；
由于，则或，故④不正确；
综上，正确的说法有0个..
知识点4 Venn图
用平面上封闭曲线的内部代表集合，这种图称为Venn图。表示集合的Venn图的边界是封闭曲线，它可以是圆、矩形、椭圆，也可以是其他封闭曲线。
韦恩图可以直观、形象地表示出集合之间的关系
【即学即练7】（2024·河南新乡·高一统考阶段练习）下列表示集合和关系的Venn图中正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】先求出集合M、N，然后根据集合之间的关系选出对应的韦恩图.
【详解】解：由题意得：
由题意得，
所以N是M的真子集．
知识点5 集合的相等与子集的关系
1.定义：如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素，同时集合B的任何一个元素都是集合A的元素，那么集合A与集合B相等
2.图形表示：
3.如果 A B，且B A则 A= B.
4.如果A=B则A B且B A.
【即学即练8】已知集合，若，则的值为（ ）
A．1 B． C． D．1或
【答案】A
【分析】根据求得，由此求得.
【详解】由于，
所以对于集合有或.
若，则，此时符合题意，.
若，则集合不满足互异性，不符合.
所以的值为.
易错点　忽略空集的特殊性致误　
示例：　设M{x|x2－2x－30}，N{x|ax－10}，若N M，求所有满足条件的a的取值集合．
【错解】　由N M，M{x|x2－2x－30}{－1，3}，
得N{－1}或{3}．
当N{－1}时，由－1，得a－1.
当N{3}时，由3，得a.
故满足条件的a的取值集合为{-1， }.
【正解】　由N M，M{x|x2－2x－30}{－1，3}，
得N 或N{－1}或N{3}．
当N 时，ax－10无解，即a0.
当N{－1}时，由－1，得a－1.
当N{3}时，由3，得a.
故满足条件的a的取值集合为{-1，0，}.
【易错警示】
错误原因 纠错心得
错解忽略了N 这种情况． 空集是任何集合的子集，解这类问题时，一定要注意“空集优先”的原则．
【题型1：集合间关系的判断】
例1.（2022秋·江苏盐城·高一统考期中）若集合，，则集合A与B的关系是（ ）
A． B． C． D．不确定
【答案】C
【解析】因为集合A中的元素，都在集合B中，而B中的元素不一定都在A中，
所以，故选：.
变式1.（2024·北京·高三专题练习）已知集合，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】用列举法写出集合A，利用集合间的基本关系判断．
【详解】，，则 .
.
变式2.（2024·全国·高三专题练习）下列结论正确的是（ ）
A．， B．，
C． D．
【答案】C
【分析】根据元素与集合，集合与集合的关系逐项判断.
【详解】对于A，因为为无理数，不是有理数知，A错误；
对于B，因为为任何集合的子集，所以，
又集合中含有元素，所以，B正确；
对于C，集合表示方程中的变量的范围的集合，
故，，C错误；
对于D，正方形是菱形，但菱形不一定是正方形，所以D错误．
.
变式3.（2024·宁夏银川·校联考二模）下列集合关系中错误的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据集合与集合的关系判断即可.
【详解】对于A：集合为点集，含有元素，集合含有两个元素，，
所以不包含于，故A错误；
对于B：，故B正确；
对于C：，故C正确；
对于D：因为，所以，故D正确；
变式4.（2023秋·高一课时练习）已知集合，，则M与P的关系为（ ）
A．MP B．MP C．P M D．MP
【答案】A
【解析】①对于任意
∵，∴，
∴，由子集定义知.
②∵，此时，即，
而在时无解，.
综合①②知，MP.故选：
变式5.（2024秋·江西南昌·高一校联考期中）若，，则必有（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】先判断P是实数集合，再判断Q是点集，然后得出结果.
【详解】是大于等于零的实数构成的集合，
而是由抛物线上的点构成的集合，两个不同属性的集合没有关系，所以ABD都不对，
.
变式6.【多选】（2024·高一单元测试）集合，，则下列关系错误的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】ABD
【分析】将两个集合化简后比较分子的关系可得两个集合的关系.
【详解】因为，
表示整数，表示奇数，
故，故选项A、B、D错误，选项C正确，
BD.
变式7.(2023秋·高一课时练习）若集合，，，则的关系是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】已知，，，
显然可表示整数，而只能表示偶数；
所以.．
【方法技巧与总结】
判断集合间关系的方法
(1)用定义判断
首先，判断一个集合A中的任意元素是否属于另一集合B，若是，则A B，否则A不是B的子集；
其次，判断另一个集合B中的任意元素是否属于第一个集合A，若是，则B A，否则B不是A的子集；
若既有A B，又有B A，则AB.
(2)数形结合判断
对于不等式表示的数集，可在数轴上标出集合的元素，直观地进行判断，但要注意端点值的取舍．
【题型2：确定集合的子集、真子集】
例2．（2023秋·海南儋州·高一校考期中）写出集合的所有子集和它的真子集.
【答案】答案见解析.
【分析】根据子集和真子集的定义进行求解即可.
【详解】集合的所有子集为；
集合的所有真子集为.
变式1.．（2023秋·湖南郴州·高一校考阶段练习）下列集合中，可以为集合的真子集的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】直接根据真子集的概念得答案.
【详解】集合的真子集为.
.
变式2.．（2023秋·高一校考课时练习）若，则 .
【答案】
【分析】由题意可知B是由A集合的子集构成的集合，利用列举法写出集合B即可.
【详解】因为，
所以集合中的元素是集合的子集：，
则集合.
故答案为：.
变式3.．（2024·高一课时练习）已知集合且，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据二元一次方程组求解方程组的根，进而可得集合,由子集的性质即可求解.
【详解】由，又且,所以，
变式4.．（2023秋·山东日照·高一校考阶段练习）设，．
(1)写出集合A的所有子集；
(2)若B为非空集合，求a的值．
【答案】(1)；
(2)3
【分析】（1）求解即可得；
（2）由B为非空集合，得或或，分别将元素代入解出a即可.
【详解】（1）由解得或，则，
故集合A的子集为：；
（2）B为非空集合，得或或，
由或代入可得，故a的值为3.
【方法技巧与总结】
对集合子集、真子集概念的认识：
(1)真子集的概念也可以叙述为：若集合A B，存在元素x满足x∈B且xA，则称集合A是集合B的真子集．
(2)集合A是集合B的真子集，需要满足以下两个条件：①集合A是集合B的子集；②存在元素x满足x∈B，且xA.所以，如果集合A是集合B的真子集，那么集合A一定是集合B的子集，反之不不成立．
(3)空集是任意非空集合的真子集，这里强调的是“非空”两字，解题时不能丢掉空集这一特例．
(4)任意集合都一定有子集，但是不一定有真子集．空集没有真子集．一个集合的真子集的个数比子集的个数少1.
【题型3：子集、真子集个数问题】
（一）求子集、真子集个数
例3．（2023春·浙江衢州·高一统考期末）已知集合，则集合的子集有（ ）
A．7个 B．6个 C．4个 D．3个
【答案】D
【分析】列举出集合的子集即可得解.
【详解】因为集合，
所以集合的子集有共个.
.
变式1.（2024秋·湖北·高一校联考）集合的子集的个数是（ ）
A．16 B．8 C．7 D．4
【答案】C
【解析】集合，集合含有3个元素，
所以集合的子集个数是..
变式2.（2023·全国·高一专题练习）集合，则的子集的个数为（ ）
A．4 B．8 C．15 D．16
【答案】A
【解析】集合，,
，
故有个子集.．
变式3.．（2024·高一单元测试）已知非空集合，且A中至多有一个奇数，则这样的集合共有 个．
【答案】5.
【分析】列举出满足条件的集合即可得答案.
【详解】若A中没有奇数，则，共1个；
若A中有一个奇数，A可能为：，共4种可能性.
则满足条件的集合有5个.
故答案为：5.
变式4.（2023秋·高一课时练习）已知非空集合满足:对任意，总有，且.若，则满足条件的的个数是（ ）
A．11 B．12 C．15 D．16
【答案】A
【分析】由题意得，集合是集合的非空子集，且去掉元素2，4同时出现的集合，即可求解.
【详解】当中有元素时，，
当中有元素时，，
所以，
所以集合是集合的非空子集，且去掉元素2，4同时出现的集合，
故满足题意的集合有，共11个.
.
变式5．（2023秋·江苏扬州·高一统考阶段练习）已知集合，则集合的真子集个数为（ ）
A．8 B．7 C．6 D．5
【答案】C
【分析】先求出集合中包含的元素个数，再求真子集个数.
【详解】集合，
所以集合的真子集个数为：.
.
变式6．（2024·河南开封·统考三模）已知集合，，则集合B的真子集个数是（ ）
A．3 B．4 C．7 D．8
【答案】D
【分析】根据题意得到集合，然后根据集合中元素的个数求集合的真子集个数即可.
【详解】由题意得，所以集合的真子集个数为.
.
变式7．（2023秋·高一课时练习）设集合，且，若，，则集合M的非空真子集的个数为（ ）
A．4 B．6 C．7 D．15
【答案】C
【分析】求得集合，即可求得结果.
【详解】根据题意知，集合且，其非空真子集的个数为.
变式8．（2023秋·高一课时练习）若一个集合含有n个元素，则称该集合为“n元集合”.已知集合，则其“2元子集”的个数为（ ）
A．6 B．8 C．9 D．10
【答案】A
【分析】根据子集的定义即可求解.
【详解】集合的所有“2元子集”为，，，，，共6个.
.
变式9.（2023秋·高一校考课时练习）已知，则符合条件的集合的个数是（ ）
A．3 B．4 C．6 D．8
【答案】C
【分析】由条件分析集合的元素的特征，列举满足条件的的个数即可得解.
【详解】因为，
所以或或或，即满足条件的集合的个数为4.
．
变式10.（2024秋·云南保山·高一校联考）满足的集合的个数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】，，，
满足题意的集合有：，，，，，
，，，共个..
变式11．（2024·全国·高三对口高考）若集合A满足 ，则集合A所有可能的情形有（ ）
A．3种 B．5种 C．7种 D．9种
【答案】D
【分析】由集合的包含关系讨论A所含元素的可能性即可.
【详解】由 ，可知集合A必有元素，即至少有两个元素，至多有四个元素，
依次有以下可能：七种可能.
变式12.（2024·全国·高一专题练习）已知集合M满足 则集合M的个数为 ．
【答案】7
【分析】直接根据集合的关系列举出集合即可得结果.
【详解】因为，
所以可以为：，，，，，，
共计7个，
故答案为：7.
变式13.（2023秋·高一课时练习）已知集合，，则满足条件的集合C的个数为 ，满足条件 B的集合C的个数为 ．
【答案】 4 3
【分析】分别求出集合A，B，根据集合间的包含关系求出集合C即可.
【详解】解：，解得或，则，
由，可得，
满足条件的集合为或或或，共4个，
满足条件 B的集合为或或，共3个，
故答案为：4；3．
【方法技巧与总结】
1.求集合子集、真子集个数的三个步骤
2.集合子集、真子集个数的有关结论
若集合A中含有n个元素，集合A的子集个数为2n，真子集的个数为2n－1，非空真子集的个数为2n－2.
（二）根据集合的子集、真子集个数求参数
例4．（2023秋·广东汕尾·高一华中师范大学海丰附属学校校考阶段练习）若集合有且仅有两个子集，则实数的值是 .
【答案】
【分析】通过集合有且仅有两个子集，可知集合中只有一个元素，根据二次项系数是否为分类讨论.
【详解】由集合有且仅有两个子集，得中只有一个元素.
当即时，，符合题意.
当即时， 解得.
故答案为：
变式1.．（2023秋·湖北武汉·高一校联考期中）已知集合的子集只有两个，则实数的值为 ．
【答案】0或1
【分析】分类讨论确定集合中元素或元素个数后得出其子集个数，从而得结论．
【详解】时，，子集只有两个，满足题意，
时，若即，则，子集只有1个，不满足题意；
若，即，则集合有两个元素，子集有4个，不满足题意，
时，，，子集只有两个，满足题意，
所以或1.
故答案为：0或1，
变式2．（2023秋·甘肃酒泉·高一统考期末）已知集合恰有两个非空真子集，则m的值可以是 ．（说明：写出满足条件的一个实数m的值）
【答案】（答案不唯一）
【分析】先根据题意得集合A中所含元素个数，再通过二次方程得答案.
【详解】集合恰有两个非空真子集,
则集合A中含有2个元素，即方程由2个不等实根，
，
解得且.
故答案为：（答案不唯一）.
变式3．（2023秋·上海浦东新·高一校考阶段练习）集合．
(1)若是，求实数的取值范围
(2)是否存在这样的实数，使得集合有且仅有两个子集，若存在，求出实数及对应的子集，若不存在，说明理由．
【答案】(1)
(2)当时，对应的两个子集为和；当时，对应的两个子集为和.
【分析】（1）若，对应的方程没有实数根，可求实数的取值范围；
（2）要使集合A有且仅有两个子集，集合A有且只有一个元素，即对应的方程有且只有一个实根，可求实数的值．
【详解】（1）若，方程没有实数根，当时，方程有实数根不合题意；则，二次方程没有实数根，，解得.
所以实数的取值范围为
（2）要使集合A有且仅有两个子集，则集合A有且只有一个元素，即对应的方程有且只有一个实根，
当时，方程化为，解得，此时，对应的两个子集为和；
当，二次方程只有一个实根，，解得，此时，对应的两个子集为和.
【题型4：判断两个集合是否相等】
例5.（2023·全国·高一专题练习）已知集合，则与集合相等的集合为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】对A，，故A错误；
对B，中，解得，
故，故B错误；
对C，，故C错误；
对D，，故D正确..
变式1.（2023秋·高一课时练习）下列集合中表示同一集合的是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
【答案】C
【解析】对于A，表示不同的点，故A不正确；
对于B，集合与集合相同，故B正确；
对于C，为点的集合，为数的集合，两者不相同，故C不正确；
对于D， 为点的集合，为数的集合，两者不相同，故D不正确..
变式2.（2023·全国·高一专题练习）下列与集合表示同一集合的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】由解得或，
所以，C正确；
选项A不是集合，选项D是两条直线构成的集合，选项B表示点集，
变式3.（2023秋·山西运城·高一校考）下面关于集合的表示正确的序号是 .
①；
②；
③；
④.
【答案】③④
【解析】∵集合中的元素具有无序性，∴，∴①不不成立；
∵是点集，而不是点集，∴②不不成立；
∵与都表示大于1的实数组成的集合，∴③不成立；
∵与都表示奇数组成的集合，∴④不成立.
故答案为：③④.
【题型5：根据集合相等关系求参数】
例6.（2024·江苏·高一假期作业）由三个数a， ，1组成的集合与由，，0组成的集合相等，求的值．
【答案】1
【分析】由题意可得或，从而可求出的值，再检验3个数是否能组成集合，然后代入计算即可.
【详解】由a，，1组成一个集合，可知且，，
由题意可得或，综上可得，
当时，三个数为，可以组成一个集合，符合题意，
所以.
变式1.（2024秋·山东济宁·高一月考）已知，，若，则（ ）
A．0 B．1 C． D．
【答案】D
【解析】因为，所以或，解得或或，
又集合中的元素需满足互异性，所以，
则．.
变式2.（2024·高一课时练习）设，且，求实数x，y的值．
【答案】
【分析】根据集合中的元素对应相等，结合互异性即可分情况求解.
【详解】由于，所以且，
若集合中，则，此时，由得，所以此时符合要求，
若集合中，则，此时这与矛盾，故这种情况不不成立，
综上可知
变式3.（2024·江苏·高一假期作业）已知集合，若，求实数q的值．
【答案】
【分析】由集合相等的定义一一讨论元素对应关系即可.
【详解】由元素的互异性得，
若，则有以下两种情况：
①，不符合题意舍去；
②或（舍去），
综上，.
变式4.（2023秋·湖北恩施·高一巴东一中校考阶段练习）已知集合，集合.
（1）若，求的值；
（2）若，求实数的值；
（3）是否存在实数，使.
【答案】（1）0或；（2）；（3）不存在.
【分析】（1）中不可能等于，让另外两个元素分别等于求得检验；
（2）让中元素分别等于，求得，然后检验；
（3）由，令和分别求得，然后检验是否符合题意．
【详解】（1）集合中有三个元素：，，，，
或，
解得或，
当时，，，，不成立；
当时，，，，不成立.
的值为0或.
（2）集合中也有三个元素：0，1，.，
当取0，1，时，都有，
集合中的元素都有互异性，，，
.
实数的值为.
（3），
若，则，，5，，
若，则，，，，
不存在实数，，使.
变式5.（2024秋·四川·高一眉山第一中学校考）（多选）若集合 ，则的值可能为（ ）
A． B． C．0 D．
【答案】AB
【解析】根据题意， 只有一个实数根，
当 时，化为， 所以；
当 时，， 则，
又是方程的解， 所以，
得．
故答案为:
【题型6：空集性质及其应用】
例7．（2024·全国·高一假期作业）下列集合中为的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根据集合的表示方法，逐项判定，即可求解.
【详解】对于A中，由集合中有一个元素，不符合题意；
对于B中，由集合中有一个元素，不符合题意；
对于C中，由方程，即，此时方程无解，可得，符合题意；
对于D中，不等式，解得，，不符合题意.
.
变式1.【多选】（2023秋·海南儋州·高一校考期末）下列关系中表述正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】CD
【分析】根据集合的相关概念逐项分析判断.
【详解】对A：写法不对，应为或，A错误；
对B：是任何集合的子集，故不成立，B正确；
对C：是不含任何元素的集合，故，C错误；
对D：是所有自然数组成的集合，故不成立，D正确.
D.
变式2.（2023·全国·高一专题练习）已知六个关系式①；②；③；④；⑤；⑥，它们中关系表达正确的个数为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】D
【解析】根据元素与集合、集合与集合关系：
是的一个元素，故，①正确；
是任何非空集合的真子集，故、，②③正确；
没有元素，故，④正确；且、，⑤错误，⑥正确；
所以①②③④⑥正确.
变式3.（2023秋·湖南永州·高一校考阶段练习）若集合 为空集，则实数的取值范围是 .
【答案】或
【分析】根据不等式的解集为空集，比较左右端点值的大小，列式即可求解.
【详解】因为集合为空集，所以，即或.
故答案为：或
变式4.（2023秋·高一校考课时练习）已知空集，则实数a的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】根据二次方程无解等价于判别式小于0计算即可.
【详解】由题意，二次方程无解，故，解得.
变式5.（2024·高一课时练习）若集合，则实数a的取值范围 ．
【答案】
【分析】利用判别式小于0求解
【详解】故无解则
故答案为：
变式6.（2023秋·上海浦东新·高一上海市进才中学校考阶段练习）关于的不等式组的解集为，则实数的取值范围为 ．
【答案】
【分析】由题意得，解不等式即可得出答案.
【详解】由题意得：，所以．
故答案为：.
【题型7：根据集合的包含关系求参数】
例8：（2023秋·辽宁大连·高三第二十高级中学校考开学考试）已知集合，，，则实数m的值为（ ）
A．－1 B．0 C．1 D．2
【答案】C
【解析】
或（不可能，舍去）或（不可能，舍去）
变式1.（2023秋·安徽芜湖·高一校考阶段练习）若集合，，且，求实数m的值.
【答案】或或
【分析】分和两种情况讨论，结合已知即可得解.
【详解】，
当时，，
当时，，
因为，所以或，
所以或，
综上所述，或或.
变式2.（2023秋·湖南怀化·高一校联考期末）已知集合，.若，求实数的取值范围.
【答案】或.
【分析】由题意，求得，再根据，结合韦达定理分和两种情况讨论即可求出答案．
【详解】由，则.
，
为方程的解集.
①若，则，
或或，
当时有两个相等实根，即不合题意，同理，
当时，符合题意；
②若则，即，
综上所述，实数的取值范围为或
变式3.（2024·高一课时练习）已知集合，，若，求a的取值范围．
【答案】
【分析】分和两种情况讨论，当时，利用数轴列出不等式组即可.
【详解】当时，，解得，
当时，因为，则，解得，
综上.
变式4.（2023秋·广东东莞·高一东莞实验中学校考期中）设集合.
(1)当时，求的非空真子集的个数；
(2)若，求的取值范围.
【答案】(1)254
(2)
【分析】（1）由题得即可解决.（2）根据得，即可解决.
【详解】（1）由题知，，
当时，共8个元素，
的非空真子集的个数为个；
（2）由题知，
显然，
因为，
所以，解得，
所以实数的取值范围是.
变式5.（2024·全国·高一假期作业）已知集合.
(1)若，求实数的取值范围；
(2)若，求实数的取值范围.
【答案】(1)
(2)不存在
【分析】（1）根据题意，分和两种情况讨论，列出不等式组，即可求解；
（2）根据题意，结合，列出不等式组，即可求解.
【详解】（1）解：①当时，即，解得，此时满足；
②当时，要使得，
则满足，解得，
综上可得，实数的取值范围是.
（2）解：由题意，要使得，则满足，此时不等式组无解，
所以实数不存在，即不存在实数使得.
变式6.（2024·全国·高一假期作业）已知集合.
(1)若，则实数a的值是多少
(2)若，则实数a的取值范围是多少
(3)若B A，则实数a的取值范围是多少
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】利用集合相等的性质及集合的包含关系，结合数轴法求解即可.
【详解】（1）因为集合，，
所以.
（2）因为，如图，

由图可知，即实数a的取值范围是.
（3）因为B A，如图，

由图可知，即实数a的取值范围是.
变式7.（2023秋·安徽滁州·高一校考阶段练习）已知集合，，
(1)若，求实数的取值范围；
(2)若 ，求实数的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】根据集合之间的包含关系，建立不等式组，解得答案.
【详解】（1）因为，
当时：，即符合题意；
当时，，，
综上所述：.
（2）因为 ，
当时，，
，解得，无解，
当时，或，
，
综上所述：.
【方法技巧与总结】
根据集合的包含关系求参数
(1)分析集合关系时，首先要分析、简化每个集合．
(2)此类问题通常借助数轴，利用数轴分析法，将各个集合在数轴上表示出来，以形定数，还要注意验证端点值，做到准确无误，一般含“”用实心点表示，不含“”用空心点表示．
(3)此类问题还应注意“空集”这一“陷阱”，尤其是集合中含有字母参数时，初学者会想当然认为非空集合而丢解，因此分类讨论思想是必需的．
一、单选题
1．（2024·四川成都·三模）已知集合 ，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题主要考查集合间的包含关系，根据题意，分析集合之间的关系，进而作出判断即可.
【详解】因为，
所以，
即，
故选项D正确，选项A、B、C错误.
.
2．（23-24高二下·天津·期末）若集合，，则集合B的真子集个数为（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
【答案】D
【分析】先用列举法求出集合，在根据真子集的公式求解.
【详解】由题意可知，所以集合的真子集个数为个.
3．（23-24高一上·云南昆明·期中）已知集合，，集合满足，则所有满足条件的集合的个数为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】C
【分析】根据集合的定义求得，再根据集合的包含关系，即可求得.
【详解】，又，，
故集合为包含元素和，且为的子集，
故集合可以为：，则集合的个数是个.
.
4．（2024·广东深圳·模拟预测）定义两集合的差集：且，已知集合，，则的子集个数是（ ）个．
A．2 B．4 C．8 D．16
【答案】C
【分析】根据题意求得集合，从而求得其子集的个数.
【详解】因为，，
所以，
所以，有两个元素，
则的子集个数是个．
．
二、多选题
5．（2024高一上·全国·专题练习）关于下图说法正确的是（ ）
A．集合A中的元素既是集合B中的元素也是集合U中的元素
B．集合A、B、U中有相同的元素
C．集合U中有元素不在集合B中
D．集合A、B、U中的元素相同
【答案】ABC
【分析】由图形可知集合间的包含关系，对选项中的结论进行判断.
【详解】由韦恩图可得，ABU，且，结合真子集的定义可知，
集合A中的元素既是集合B中的元素也是集合U中的元素，A选项正确；
集合A、B、U中有相同的元素，B选项正确；
集合U中有元素不在集合B中，C选项正确；
集合A、B、U不相等，D选项错误.
BC.
6．（22-23高一上·山东青岛·阶段练习）下列说法正确的有（ ）
A．集合有16个真子集 B．对于任意集合A，
C．任何集合都有子集，但不一定有真子集 D．若，则
【答案】CCD
【分析】根据集合的真子集个数公式判断A；利用空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集判断B、C、D.
【详解】集合有4个元素，故其有个真子集，故A错误；
空集是任何集合的子集，则，故B正确；
空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集，故C正确；
空集是任何非空集合的真子集，若，则，故D正确.
CD.
7．（23-24高一上·浙江·阶段练习）已知，集合与集合相等，下列说法正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】CCD
【分析】根据题意，利用集合相等的概念，结合集合中元素的互异性可解．
【详解】根据题意，，或，
当时，，不合题意；
当时，，，
则，解得（舍）或，
所以，，
CD．
8．（22-23高一上·新疆乌鲁木齐·期中）下列关系中正确的有（ ）
A． B． C． D．
【答案】ABC
【分析】根据元素与集合、集合与集合的关系及空集的性质、集合相等的定义判断各项的正误.
【详解】A：是集合中的元素，故，正确；
B：是任意非空集合的真子集，故，正确；
C：是的真子集，故，正确；
D：研究数值，而研究有序数对，故它们不相等，错误.
BC
9．（23-24高二上·山西晋中·阶段练习）已知集合，，则下列命题中正确的是（ ）
A．若，则
B．若，则
C．若，则或
D．若，则或或
【答案】ABC
【分析】解一元二次方程求得集合，根据集合包含关系，集合相等的定义和集合的概念即可逐一判断．
【详解】依题意可得，
对于A，若，则，解得，故A正确；
对于B，若，则，解得，故B正确；
对于C，当时，则，解得或，故C正确；
对于D，当时，，故D错误．
BC．
10．（23-24高一上·山东·期中）已知集合，且，则实数可能的取值是（ ）
A． B．0 C．-1 D．
【答案】ABC
【分析】首先求出集合A，然后结合的条件，对集合B中的参数a分类讨论即可得答案.
【详解】解：，且，则：
①当时，或，解得或，A适合题意；
②若，则，解得，
③若，则，此时无解，
④若，则，此时无解，不合题意；
综上：的值为0和.
BC.
三、填空题
11．（23-24高二下·安徽·阶段练习）设集合，则集合的真子集个数为 ．
【答案】63
【分析】依题意求出集合，即可求得其真子集个数．
【详解】由可知是的正因数，
即可取，故可得的值依次取，
即，
故集合的真子集有个．
故答案为：63.
12．（2024·重庆·三模）已知集合，，则满足的集合的个数为 .
【答案】7
【分析】化简集合，结合求集合的子集的结论即可求得结果.
【详解】因为，
，
所以满足的集合中必有元素2，3，
所以求满足的集合的个数，即求集合的真子集个数，
所以满足的集合的个数为个.
故答案为：7.
四、解答题
13．（22-23高一·全国·课堂例题）指出下列各组集合之间的关系：
(1)，；
(2)，；
(3)，．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）利用数轴即可判断集合关系；
（2）利用集合所表示的含义即可判断；
（3）求出集合即可判断.
【详解】（1）在数轴上表示出集合A，B，如图所示，由图可知．
（2）∵集合A是偶数集，集合B是4的倍数集，∴．
（3）．在集合B中，当n为奇数时，，
当n为偶数时，，∴，∴．
14．（24-25高一上·上海·假期作业）确定下列每组两个集合的包含关系或相等关系：
(1)A={为12的正约数}与；
(2)与{为4的正整数倍}.
【答案】(1)
(2)为的真子集
【分析】（1）用列举法表示出集合可得答案；
（2）根据集合与里元素的性质可得答案.
【详解】（1）因为，所以；
（2）因为，，
所以为.的真子集.
15．（2022高一上·全国·专题练习）设，写出集合的子集，并指出其中哪些是它的真子集．
【答案】答案见解析
【分析】解出集合，按元素个数进行分类写出其子集即可.
【详解】由，得，
解方程得或或，故集合.
由0个元素构成的子集为；
由1个元素构成的子集为；
由2个元素构成的子集为；
由3个元素构成的子集为,
因此集合A的子集为:，，，．
真子集为:，，.
16．（2023高一·江苏·专题练习）已知集合，，若BA，求实数m的取值范围.
【答案】
【分析】由集合的包含关系，列不等式求m的取值范围.
【详解】当时，由，得.
当时，如图所示.

则，得，即，
综上可得，实数m的取值范围是.
17．（2024高一上·全国·专题练习）已知集合．
(1)若，为常数，求实数m的取值范围．
(2)若，为常数，求实数m的取值范围．
(3)若为常数，是否存在实数m，使得？若存在，求出m的值；若不存在，说明理由．
【答案】(1)
(2)
(3)不存在，理由见解析
【分析】（1）由集合的包含关系，分和两种情况，列不等式求实数m的取值范围；
（2）由集合的包含关系，列不等式求实数m的取值范围；
（3）由集合的相等关系，列方程组求实数m的值.
【详解】（1）①若，满足，则，解得．
②若，满足，则解得．
由①②可得，符合题意的实数m的取值范围为．
（2）若，数轴表示如下：
依题意有即
此时m的取值范围是．
（3）假设存在满足题意的实数m．若，
则必有且，此时无解，即不存在使得的实数m．
18．（23-24高一上·云南昆明·期末）已知集合．
(1)若，求实数m的取值范围；
(2)若AB，求实数m的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由题意首先有，得，结合包含关系列出方程组即可求解.
（2）结合A是B的真子集列出不等式组即可求解.
【详解】（1）因为为非空数集，得，解得，
若，则，解得，即实数m的取值范围是.
（2）若AB，则（等号不同时取得），解得，即实数m的取值范围是.
19．（23-24高一上·广东佛山·期末）设集合
(1)若，试判断集合与的关系；
(2)若，求的值组成的集合．
【答案】(1)，是的真子集；
(2)．
【分析】（1）当时求出集合A与B，再判断关系；
（2）求出集合B，注意对与分类讨论，根据，列方程求解．
【详解】（1）
当时，，
所以B是A的真子集．
（2）．
若，则，是真子集不成立；
若，则，因为是A真子集，
或，所以或．
所以的值组成的集合．
20．（23-24高一上·安徽马鞍山·阶段练习）已知集合，其中是关于的方程的两个不同的实数根.
(1)若，求出实数的值；
(2)若，求实数的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）先根据得到，结合方程的两根得到方程，求出；
（2），故，结合方程的两根得到不等式，求出.
【详解】（1）因为，故，
又的两根分别为，
故，
故；
（2）因为，故，
又的两根分别为，
故，解得，
故实数的取值范围是.
21．（23-24高一上·上海嘉定·期中）已知集合
(1)若A中只有一个元素，求a的值
(2)若A中至多有一个元素，求a的取值范围
(3)若，求a的取值范围
【答案】(1)0或
(2)
(3)
【分析】（1）分和两种情况，结合二次方程的判别式分析求解；
（2）分A中有一个元素或两种情况，结合二次方程的判别式分析求解；
（3）分类讨论A是否为空集以及是否为0，结合二次方程的判别式和韦达定理分析求解.
【详解】（1）若时，，符合题意；
当时，可知方程为一元二次方程，则，解得；
综上所述：或.
（2）若A中至多有一个元素，即A中有一个元素或，
若A中有一个，由（1）可知：或；
若，则，解得；
综上所述：a的取值范围为.
（3）因为，则有：
若，由（2）可知：；
若，则有：
若时，由（1）可知，符合题意；
当时，则，解得；
综上所述：a的取值范围为.
22．（23-24高一上·吉林四平·阶段练习）已知集合.
(1)若，存在集合使得为 的真子集且为的真子集，求这样的集合；
(2)若集合是集合的一个子集，求的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）确定，并求出集合，写出的真子集即得；
（2）分类讨论，时满足题意，时，由集合中的元素属于集合，分别代入求出参数，得集合检验即可．
【详解】（1）当时，方程的根的判别式，所以.
又，故.
由已知，得应是一个非空集合，且是的一个真子集，
用列举法可得这样的集合共有6个，分别为.
（2）当时，是的一个子集，此时对于方程，
有，所以.
当时，因为，所以当时，
，即，此时，
因为，所以不是的子集；
同理当时，，，也不是的子集；
当时，，，也不是的子集.
综上，满足条件的的取值范围是.
23．（23-24高一上·江苏南通·阶段练习）已知，对于，若且，则称k为A的“孤立元”.给定集合，则A的所有子集中，只有一个“孤立元”的集合的个数为（ ）
A．10 B．11 C．12 D．13
【答案】A
【分析】根据“孤立元”概念，分类讨论求解即可.
【详解】“孤立元”为的集合为，，，，
“孤立元”为的集合为，，
“孤立元”为的集合为，
“孤立元”为的集合为，，
“孤立元”为的集合为，，，，
综上：满足题意的集合有13个.
24．（21-22高一·全国·课后作业）定义A B{z|zxy，x∈A，y∈B}．设集合A{0，2}，B{1，2}．
(1)求集合A B的所有元素之和．
(2)写出集合A B的所有真子集．
【答案】(1)9
(2) ，{0}，{4}，{5}，{0，4}，{0，5}，{ 4，5}
【分析】（1）分别将A，B中的元素代入，从而求出A B中的元素，进而求出元素之和；
（2）由（1）A B{0，4，5}，逐项写出即可．
【详解】（1）因为 A B{0，4，5}，
所以集合所有元素和 9
（2） ，{0}，{4}，{5}，{0，4}，{0，5}，{ 4，5}共7种可能．
25．（23-24高一上·上海普陀·期中）已知集合，集合，定义为中元素的最小值，当取遍的所有非空子集时，对应的的和记为，则 .
【答案】120
【分析】确定最小值分别为时相应的集合A的个数，再求和即可.
【详解】设，对M的任意非空子集A共有个，
其中最小值为1的有，最小值为2的有个，…，最小值为6的只有个，
．
故答案为：120
26．（23-24高一上·内蒙古赤峰·阶段练习）含有有限个元素的数集，定义“元素和”如下：把集合中的各数相加；定义“交替和”如下：把集合中的数按从大到小的顺序排列，然后从最大的数开始交替地减加各数.例如的元素和是；交替和是；而的元素和与交替和都是5.
(1)写出集合的所有非空子集的交替和的总和；
(2)已知集合，根据提示解决问题.求集合所有非空子集的元素和的总和；
【答案】(1)12；
(2)672.
【分析】（1）先求出集合的所有非空子集，根据“交替和”的定义分别求和后可得所有的“交替和”的和；
（2）根据提示可计算每个元素出现的次数求所有非空子集的元素和的总和.
【详解】（1）集合的非空子集为，，，，，，，
集合，，的交替和分别为1，2，3，
集合的交替和为，
集合的交替和为，
集合的交替和为，
集合的交替和为，
所以集合的所有非空子集的交替和的总和为；
（2）在集合所有非空子集中，数字1与中的元素构成子集，
故数字1在集合所有非空子集中共出现次，
同理2，3，4，5，6各出现次，
所以集合所有非空子集的元素和的总和为.
【点睛】关键点睛：本题的关键是在第（2）问中求集合的所有非空子集.
27．（23-24高三上·上海浦东新·期中）是正整数集的子集，满足：，并有如下性质：若、，则，其中表示不超过实数的最大整数，则的非空子集个数为 ．
【答案】
【分析】根据题意，先判断中相邻两数不可能大于等于2，可得2，3，，，从而求出，再根据子集的个数与集合元素个数之间的关系即可得答案．
【详解】由题意可知：若，，则，，，均属于，
而事实上，若，中，
所以，
故，中有正整数，
从而中相邻两数不可能大于等于2，
故2，3，，，
若，，则有，与矛盾，
当时，，
当时，则，
所以，，
所以，2，，，
所以非空子集有个．
故答案为：．
【点睛】新定义题型的特点是：通过给出一个新概念，或约定一种新运算，或给出几个新模型来创设全新的问题情景，要求考生在阅读理解的基础上，依据题目提供的信息，联系所学的知识和方法，实现信息的迁移，达到灵活解题的目的.遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质，按新定义的要求，“照章办事”，逐条分析、验证、运算，使问题得以解决.
28．（2012高一·全国·竞赛）已知集合的子集B满足：对任意，有，则集合B中元素个数的最大值是（ ）．
A．1005 B．1006 C．1007 D．1008
【答案】C
【分析】假设B中元素最大是2012，再将其余元素分组，再结合抽屉原理即可得解.
【详解】假设B中元素最大是2012，
将其余元素分组：共1005组，
一定不包含，
若B中元素多于1006个，
由抽屉原理可知，必有两个数在同一组，两数和为2012，与已知矛盾，
所以B中元素最多为1006个，
同理可知，当B中最大元素小于2012时，元素个数不超过1006个，
又满足题意，元素个数为1006个．
所以B中元素个数的最大值为1006．
.
【点睛】关键点点睛：解决本题的关键在于对不等关系进行等价转化，找出便于理解的处理方式，当然此题解法不唯一，可以讨论极限情况，可以分类列举观察规律.
29．（21-22高一上·河南·阶段练习）定义：表示集合中元素的个数，.已知集合，集合，集合，若，则的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．且
【答案】A
【分析】由题意，，由，得或，分类讨论集合B中元素个数即可.
【详解】，，
，又，或，
方程的解为；
方程可能有0个解，2个相同的解，2个不同的解，
或或，故只需要排除，
若，①当，即时，
时方程的解为，时方程的解为，
或，不成立，
②若是方程的根，则，方程的解为和，
，不成立，
③若1是方程的根，则，方程的解为和，
，不成立，
0不可能是方程的根，
综上所述，当且仅当或时，，
故的取值范围是且.
．
21世纪教育网(www.21cnjy.com)1.1.2 集合的基本关系
课程标准 学习目标
1.理解子集、真子集概念以及集合相等。 2.掌握用数学符号语言以及V图语言表示集合间的基本关系。 3.能够区分集合间的包含关系与元素与集合的属于关系。 1.对集合之间包含与相等的含义以及子集、真子集概念的理解； 2.集合的子集的辨析和应用； 3.对给出的集合能写出其子集和真子集；有集合元素个数求子集个数； 4.在理解集合间关系的过程中，运用数轴和venn图解决子集及真子集问题，提高学生分析问题和解决问题的能力； 5.通过观察身边的实例，发现集合间的基本关系，体验其现实意义。
知识点1 子集
1.概念：一般地，如果集合A的任意一个元素都是集合B的元素，那么集合A称为集合B 的子集.
2.记法：A B（或B A）.
3.读法：A包含于B（或"B包含A"）.
4.如果A不是B的子集，记作AB（或B A），读作“A不包含于B”（或“B不包含A”）.
5.性质：A A； A.
6.图形表示：
【即学即练1】（2023·江苏·高一假期作业）设集合，，则下列关系正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【即学即练2】（2023·全国·高一假期作业）下列各式：①，②，③，④，⑤，其中错误的个数是（ ）
A．1 B．2
C．3 D．4
【即学即练3】（2023·全国·高一假期作业）已知集合，则含有元素0的A的子集个数是（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
知识点2 真子集
1.概念：一般地，如果集合A是集合B的子集，并且B中至少有一个元素不属于A，那么集合A称为集合B的真子集.
2.记法：A B（或BA）.
3.读法：A真包含于B（或“B真包含A”）.
4.性质：对于集合A，B，C，①如果A B,B C,则A C
②如果A B，B C，则A C；
5.图形表示：
6.如果集合A中含有n个元素，则有
（1）A的子集的个数有2n个．
（2）A的非空子集的个数有2n－1个．
（3）A的真子集的个数有2n－1个．
（4）A的非空真子集的个数有2n－2个．
【即学即练4】（2024秋·江苏盐城·高一统考期中）若集合，，则集合A与B的关系是（ ）
A． B． C． D．不确定
【即学即练5】（2023春·江西南昌·高二南昌市铁路第一中学校考阶段练习）满足条件的所有集合的个数是（ ）
A．32 B．31 C．16 D．15
知识点3空集
1、定义：一般地，把不含任何元素的集合叫做空集，记为 ，规定：空集是任何集合的子集．
在这个规定的基础上，结合子集和真子集的有关概念，可以得到：
（1）空集只有一个子集，即它本身； （2）空集是任何非空集合的真子集．
2、0，{0}， ，{ }的关系
与0 与{0} 与{ }
相同点 都表示无的意思 都是集合 都是集合
不同点 是集合； 0是实数 中不含任何元素； {0}含一个元素0 不含任何元素； { }含一个元素，该元素是
关系 0 {0} { }或 ∈{ }
【即学即练6】（2024秋·湖北咸宁·高一校考阶段练习）给出下列说法：
①空集没有子集；
②任何集合至少有两个子集；
③空集是任何集合的真子集；
④若，则．
其中正确的说法有（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
知识点4 Venn图
用平面上封闭曲线的内部代表集合，这种图称为Venn图。表示集合的Venn图的边界是封闭曲线，它可以是圆、矩形、椭圆，也可以是其他封闭曲线。
韦恩图可以直观、形象地表示出集合之间的关系
【即学即练7】（2024·河南新乡·高一统考阶段练习）下列表示集合和关系的Venn图中正确的是（ ）
A． B．
C． D．
知识点5 集合的相等与子集的关系
1.定义：如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素，同时集合B的任何一个元素都是集合A的元素，那么集合A与集合B相等
2.图形表示：
3.如果 A B，且B A则 A= B.
4.如果A=B则A B且B A.
【即学即练8】已知集合，若，则的值为（ ）
A．1 B． C． D．1或
易错点　忽略空集的特殊性致误　
示例：　设M{x|x2－2x－30}，N{x|ax－10}，若N M，求所有满足条件的a的取值集合．
【题型1：集合间关系的判断】
例1.（2022秋·江苏盐城·高一统考期中）若集合，，则集合A与B的关系是（ ）
A． B． C． D．不确定
变式1.（2024·北京·高三专题练习）已知集合，，则（ ）
A． B． C． D．
变式2.（2024·全国·高三专题练习）下列结论正确的是（ ）
A．， B．，
C． D．
变式3.（2024·宁夏银川·校联考二模）下列集合关系中错误的是（ ）
A． B． C． D．
变式4.（2023秋·高一课时练习）已知集合，，则M与P的关系为（ ）
A．MP B．MP C．P M D．MP
变式5.（2024秋·江西南昌·高一校联考期中）若，，则必有（ ）
A． B． C． D．
变式6.【多选】（2024·高一单元测试）集合，，则下列关系错误的是（ ）
A． B．
C． D．
变式7.(2023秋·高一课时练习）若集合，，，则的关系是（ ）
A． B． C． D．
【方法技巧与总结】
判断集合间关系的方法
(1)用定义判断
首先，判断一个集合A中的任意元素是否属于另一集合B，若是，则A B，否则A不是B的子集；
其次，判断另一个集合B中的任意元素是否属于第一个集合A，若是，则B A，否则B不是A的子集；
若既有A B，又有B A，则AB.
(2)数形结合判断
对于不等式表示的数集，可在数轴上标出集合的元素，直观地进行判断，但要注意端点值的取舍．
【题型2：确定集合的子集、真子集】
例2．（2023秋·海南儋州·高一校考期中）写出集合的所有子集和它的真子集.
变式1.．（2023秋·湖南郴州·高一校考阶段练习）下列集合中，可以为集合的真子集的是（ ）
A． B． C． D．
变式2.．（2023秋·高一校考课时练习）若，则 .
变式3.．（2024·高一课时练习）已知集合且，则（ ）
A． B． C． D．
变式4.．（2023秋·山东日照·高一校考阶段练习）设，．
(1)写出集合A的所有子集；
(2)若B为非空集合，求a的值．
【方法技巧与总结】
对集合子集、真子集概念的认识：
(1)真子集的概念也可以叙述为：若集合A B，存在元素x满足x∈B且xA，则称集合A是集合B的真子集．
(2)集合A是集合B的真子集，需要满足以下两个条件：①集合A是集合B的子集；②存在元素x满足x∈B，且xA.所以，如果集合A是集合B的真子集，那么集合A一定是集合B的子集，反之不不成立．
(3)空集是任意非空集合的真子集，这里强调的是“非空”两字，解题时不能丢掉空集这一特例．
(4)任意集合都一定有子集，但是不一定有真子集．空集没有真子集．一个集合的真子集的个数比子集的个数少1.
【题型3：子集、真子集个数问题】
（一）求子集、真子集个数
例3．（2023春·浙江衢州·高一统考期末）已知集合，则集合的子集有（ ）
A．7个 B．6个 C．4个 D．3个
变式1.（2024秋·湖北·高一校联考）集合的子集的个数是（ ）
A．16 B．8 C．7 D．4
变式2.（2023·全国·高一专题练习）集合，则的子集的个数为（ ）
A．4 B．8 C．15 D．16
变式3.．（2024·高一单元测试）已知非空集合，且A中至多有一个奇数，则这样的集合共有 个．
变式4.（2023秋·高一课时练习）已知非空集合满足:对任意，总有，且.若，则满足条件的的个数是（ ）
A．11 B．12 C．15 D．16
变式5．（2023秋·江苏扬州·高一统考阶段练习）已知集合，则集合的真子集个数为（ ）
A．8 B．7 C．6 D．5
变式6．（2024·河南开封·统考三模）已知集合，，则集合B的真子集个数是（ ）
A．3 B．4 C．7 D．8
变式7．（2023秋·高一课时练习）设集合，且，若，，则集合M的非空真子集的个数为（ ）
A．4 B．6 C．7 D．15
变式8．（2023秋·高一课时练习）若一个集合含有n个元素，则称该集合为“n元集合”.已知集合，则其“2元子集”的个数为（ ）
A．6 B．8 C．9 D．10
变式9.（2023秋·高一校考课时练习）已知，则符合条件的集合的个数是（ ）
A．3 B．4 C．6 D．8
变式10.（2024秋·云南保山·高一校联考）满足的集合的个数为（ ）
A． B． C． D．
变式11．（2024·全国·高三对口高考）若集合A满足 ，则集合A所有可能的情形有（ ）
A．3种 B．5种 C．7种 D．9种
变式12.（2024·全国·高一专题练习）已知集合M满足 则集合M的个数为 ．
变式13.（2023秋·高一课时练习）已知集合，，则满足条件的集合C的个数为 ，满足条件 B的集合C的个数为 ．

【方法技巧与总结】
1.求集合子集、真子集个数的三个步骤
2.集合子集、真子集个数的有关结论
若集合A中含有n个元素，集合A的子集个数为2n，真子集的个数为2n－1，非空真子集的个数为2n－2.
（二）根据集合的子集、真子集个数求参数
例4．（2023秋·广东汕尾·高一华中师范大学海丰附属学校校考阶段练习）若集合有且仅有两个子集，则实数的值是 .
变式1.．（2023秋·湖北武汉·高一校联考期中）已知集合的子集只有两个，则实数的值为 ．
变式2．（2023秋·甘肃酒泉·高一统考期末）已知集合恰有两个非空真子集，则m的值可以是 ．（说明：写出满足条件的一个实数m的值）
变式3．（2023秋·上海浦东新·高一校考阶段练习）集合．
(1)若是，求实数的取值范围
(2)是否存在这样的实数，使得集合有且仅有两个子集，若存在，求出实数及对应的子集，若不存在，说明理由．
【题型4：判断两个集合是否相等】
例5.（2023·全国·高一专题练习）已知集合，则与集合相等的集合为（ ）
A． B．
C． D．
变式1.（2023秋·高一课时练习）下列集合中表示同一集合的是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
变式2.（2023·全国·高一专题练习）下列与集合表示同一集合的是（ ）
A． B．
C． D．
变式3.（2023秋·山西运城·高一校考）下面关于集合的表示正确的序号是 .
①；
②；
③；
④.
【题型5：根据集合相等关系求参数】
例6.（2024·江苏·高一假期作业）由三个数a， ，1组成的集合与由，，0组成的集合相等，求的值．
变式1.（2024秋·山东济宁·高一月考）已知，，若，则（ ）
A．0 B．1 C． D．
变式2.（2024·高一课时练习）设，且，求实数x，y的值．
变式3.（2024·江苏·高一假期作业）已知集合，若，求实数q的值．
变式4.（2023秋·湖北恩施·高一巴东一中校考阶段练习）已知集合，集合.
（1）若，求的值；
（2）若，求实数的值；
（3）是否存在实数，使.
变式5.（2024秋·四川·高一眉山第一中学校考）（多选）若集合 ，则的值可能为（ ）
A． B． C．0 D．
【题型6：空集性质及其应用】
例7．（2024·全国·高一假期作业）下列集合中为的是（ ）
A． B．
C． D．
变式1.【多选】（2023秋·海南儋州·高一校考期末）下列关系中表述正确的是（ ）
A． B． C． D．
变式2.（2023·全国·高一专题练习）已知六个关系式①；②；③；④；⑤；⑥，它们中关系表达正确的个数为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
变式3.（2023秋·湖南永州·高一校考阶段练习）若集合 为空集，则实数的取值范围是 .
变式4.（2023秋·高一校考课时练习）已知空集，则实数a的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
变式5.（2024·高一课时练习）若集合，则实数a的取值范围 ．
变式6.（2023秋·上海浦东新·高一上海市进才中学校考阶段练习）关于的不等式组的解集为，则实数的取值范围为 ．
【题型7：根据集合的包含关系求参数】
例8：（2023秋·辽宁大连·高三第二十高级中学校考开学考试）已知集合，，，则实数m的值为（ ）
A．－1 B．0 C．1 D．2
变式1.（2023秋·安徽芜湖·高一校考阶段练习）若集合，，且，求实数m的值.
变式2.（2023秋·湖南怀化·高一校联考期末）已知集合，.若，求实数的取值范围.
变式3.（2024·高一课时练习）已知集合，，若，求a的取值范围．
变式4.（2023秋·广东东莞·高一东莞实验中学校考期中）设集合.
(1)当时，求的非空真子集的个数；
(2)若，求的取值范围.
变式5.（2024·全国·高一假期作业）已知集合.
(1)若，求实数的取值范围；
(2)若，求实数的取值范围.
变式6.（2024·全国·高一假期作业）已知集合.
(1)若，则实数a的值是多少
(2)若，则实数a的取值范围是多少
(3)若B A，则实数a的取值范围是多少
变式7.（2023秋·安徽滁州·高一校考阶段练习）已知集合，，
(1)若，求实数的取值范围；
(2)若 ，求实数的取值范围.
【方法技巧与总结】
根据集合的包含关系求参数
(1)分析集合关系时，首先要分析、简化每个集合．
(2)此类问题通常借助数轴，利用数轴分析法，将各个集合在数轴上表示出来，以形定数，还要注意验证端点值，做到准确无误，一般含“”用实心点表示，不含“”用空心点表示．
(3)此类问题还应注意“空集”这一“陷阱”，尤其是集合中含有字母参数时，初学者会想当然认为非空集合而丢解，因此分类讨论思想是必需的．
一、单选题
1．（2024·四川成都·三模）已知集合 ，则（ ）
A． B． C． D．
2．（23-24高二下·天津·期末）若集合，，则集合B的真子集个数为（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
3．（23-24高一上·云南昆明·期中）已知集合，，集合满足，则所有满足条件的集合的个数为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
4．（2024·广东深圳·模拟预测）定义两集合的差集：且，已知集合，，则的子集个数是（ ）个．
A．2 B．4 C．8 D．16
二、多选题
5．（2024高一上·全国·专题练习）关于下图说法正确的是（ ）
A．集合A中的元素既是集合B中的元素也是集合U中的元素
B．集合A、B、U中有相同的元素
C．集合U中有元素不在集合B中
D．集合A、B、U中的元素相同
6．（22-23高一上·山东青岛·阶段练习）下列说法正确的有（ ）
A．集合有16个真子集 B．对于任意集合A，
C．任何集合都有子集，但不一定有真子集 D．若，则
7．（23-24高一上·浙江·阶段练习）已知，集合与集合相等，下列说法正确的是（ ）
A． B．
C． D．
8．（22-23高一上·新疆乌鲁木齐·期中）下列关系中正确的有（ ）
A． B． C． D．
9．（23-24高二上·山西晋中·阶段练习）已知集合，，则下列命题中正确的是（ ）
A．若，则
B．若，则
C．若，则或
D．若，则或或
10．（23-24高一上·山东·期中）已知集合，且，则实数可能的取值是（ ）
A． B．0 C．-1 D．
三、填空题
11．（23-24高二下·安徽·阶段练习）设集合，则集合的真子集个数为 ．
12．（2024·重庆·三模）已知集合，，则满足的集合的个数为 .
四、解答题
13．（22-23高一·全国·课堂例题）指出下列各组集合之间的关系：
(1)，；
(2)，；
(3)，．
14．（24-25高一上·上海·假期作业）确定下列每组两个集合的包含关系或相等关系：
(1)A={为12的正约数}与；
(2)与{为4的正整数倍}.
15．（2022高一上·全国·专题练习）设，写出集合的子集，并指出其中哪些是它的真子集．
16．（2023高一·江苏·专题练习）已知集合，，若BA，求实数m的取值范围.
17．（2024高一上·全国·专题练习）已知集合．
(1)若，为常数，求实数m的取值范围．
(2)若，为常数，求实数m的取值范围．
(3)若为常数，是否存在实数m，使得？若存在，求出m的值；若不存在，说明理由．
18．（23-24高一上·云南昆明·期末）已知集合．
(1)若，求实数m的取值范围；
(2)若AB，求实数m的取值范围．
19．（23-24高一上·广东佛山·期末）设集合
(1)若，试判断集合与的关系；
(2)若，求的值组成的集合．
20．（23-24高一上·安徽马鞍山·阶段练习）已知集合，其中是关于的方程的两个不同的实数根.
(1)若，求出实数的值；
(2)若，求实数的取值范围.
21．（23-24高一上·上海嘉定·期中）已知集合
(1)若A中只有一个元素，求a的值
(2)若A中至多有一个元素，求a的取值范围
(3)若，求a的取值范围
22．（23-24高一上·吉林四平·阶段练习）已知集合.
(1)若，存在集合使得为 的真子集且为的真子集，求这样的集合；
(2)若集合是集合的一个子集，求的取值范围.
23．（23-24高一上·江苏南通·阶段练习）已知，对于，若且，则称k为A的“孤立元”.给定集合，则A的所有子集中，只有一个“孤立元”的集合的个数为（ ）
A．10 B．11 C．12 D．13
24．（21-22高一·全国·课后作业）定义A B{z|zxy，x∈A，y∈B}．设集合A{0，2}，B{1，2}．
(1)求集合A B的所有元素之和．
(2)写出集合A B的所有真子集．
25．（23-24高一上·上海普陀·期中）已知集合，集合，定义为中元素的最小值，当取遍的所有非空子集时，对应的的和记为，则 .
26．（23-24高一上·内蒙古赤峰·阶段练习）含有有限个元素的数集，定义“元素和”如下：把集合中的各数相加；定义“交替和”如下：把集合中的数按从大到小的顺序排列，然后从最大的数开始交替地减加各数.例如的元素和是；交替和是；而的元素和与交替和都是5.
(1)写出集合的所有非空子集的交替和的总和；
(2)已知集合，根据提示解决问题.求集合所有非空子集的元素和的总和；
27．（23-24高三上·上海浦东新·期中）是正整数集的子集，满足：，并有如下性质：若、，则，其中表示不超过实数的最大整数，则的非空子集个数为 ．
28．（2012高一·全国·竞赛）已知集合的子集B满足：对任意，有，则集合B中元素个数的最大值是（ ）．
A．1005 B．1006 C．1007 D．1008
29．（21-22高一上·河南·阶段练习）定义：表示集合中元素的个数，.已知集合，集合，集合，若，则的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．且
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