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2.1.2 一元二次方程的解集及其根与系数的关系
课程标准 学习目标
1、掌握一元二次方程一般式解集的方法. 2、掌握一元二次方程根与系数的关系. 3、会用整体代入法解一元二次方程. 4、学会用配方法推出一元二次方程的解集. 5. 灵活运用根与系数的关系解决一元二次方程问题. 1、学会整体代入法解特殊一元二次方程思想方法。 2、由一般性地配方法解集推理出特殊性的方程解集，探索其过程。 3、在实际情景中分析问题，构建一元二次方程模型，计算结果，检验结果实际性。 4、掌握解一元二次方程的运算法则，选择运算方法。 5、对特殊一元二次方程选择相关系数进行分析，得出简捷运算方法。
知识点01一元二次方程的解集
一元二次方程ax2＋bx＋c0(a≠0)，其判别式Δb2－4ac.
(1)当Δb2－4ac>0时，方程的解集为
；
(2)当Δb2－4ac0时，方程的解集为；
(3)当Δb2－4ac<0时，方程的解集为 .
注：对于一元二次方程ax2＋bx＋c0(a≠0)，有
(1)当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根x1，2；
(2)当Δ0时，方程有两个相等的实数根x1x2－；
(3)当Δ＜0时，方程没有实数根．
【即学即练1】（2024·高一课时练习）方程的解集是（ ）
A． B． C． D．
知识点02一元二次方程的基本特征
一元二次方程的基本特征有两个：一是最高次幂，其指数为2；二是二次项系数不为0.判断方程解的情况，需依据判别式的符号．若二次项系数含有参数，则需要对参数进行分类讨论．
【即学即练1】（2024·高一课时练习）若关于x的一元二次方程有实数根，则k的取值范围是 .
知识点03 一元二次方程根与系数的关系
当一元二次方程ax2＋bx＋c0(a≠0)的解不是空集时，这个方程的解可以记为x1，
x2，则有
【即学即练3】（2024·高一课时练习）若关于x的方程的两根分别是，则（ ）
A．6 B．7 C．8 D．9
难点：应用根与系数的关系求字母系数的值或范围
例题 已知关于x的方程x2－(k＋1)x＋k2＋10，根据下列条件，求出k的值．
(1)方程两实根的积为5；
(2)方程的两实根x1，x2，满足|x1|x2.
【题型1：求一元二次方程的解集】
例1.（2024·高一课时练习）方程的解集是（ ）
A． B． C． D．
变式1.（2024·全国·高三专题练习）集合________．
变式2．（2024·全国·高三专题练习）方程的解集为 ．
变式3．（2024·湖北恩施·高一校考阶段练习）解下列方程：
(1)；
(2).
变式4.（2024·全国·高三专题练习）方程的实数根是_______________．
【方法技巧与总结】
一元二次方程的解法
（1）直接开平方法：利用平方根的定义直接开平方求一元二次方程的解；
（2）配方法：通过方程的简单变形，将左边配成一个含有未知数的完全平方式，若右边是一个非负常数，则可以直接开平方求解；
（3）公式法：将一元二次方程中的系数，，的值代入式子中求解；
（4）因式分解法：通过移项将等式右边变成0，再因式分解，令每个因式为0即可求解。
【题型2：方程根个数的判断及应用】
例2．（2024·高一课时练习）下列一元二次方程没有实数根的是（　　）
A． B．
C． D．
变式1.（2024·辽宁）已知关于x的一元二次方程没有实数根，则k的取值范围是_______．
变式2．（2024·辽宁·高二统考学业考试）已知关于的方程有两个相等的实数根，下列选项中可以取的值是（ ）．
A．4 B．2 C．0 D．
变式3.（2024·江苏）关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
变式4．（2024·江苏·高一假期作业）求证：方程有两个同号且不相等实根的充要条件是.
变式5．（2024·广东佛山·高一顺德一中校考开学考试）已知关于x的一元二次方程.
(1)若上述方程无正数根，求实数k的取值范围；
(2)若上述方程的两根都是正数，求实数k的取值范围；
(3)若上述方程的两根恰有一个是正数，且k为整数，如果有直接写出实数k的取值，如果不存在说明理由.
变式6.（2024·高一课时练习）方程的两根均大于1，则实数的取值范围是_______
变式7.（2024·高一课时练习）若关于的方程的一根大于1，另一根小于1，则实数的取值范围为 ．
变式8．【多选】（2024·湖南永州·高一校考期中）已知方程有且只有一个实数根，则（ ）
A．
B．
C．若不等式的解集为，则
D．若不等式的解集为，则
【方法技巧与总结】
一元二次方程根的个数问题
(1)只有当方程是一元二次方程时，才能利用根的判别式确定字母的取值范围．
(2)对于一元二次方程ax2＋bx＋c0(a≠0)，其根的判别式为Δb2－4ac.
①“方程有两个不相等的实根”的充要条件是“Δ>0”；
②“方程有两个相等的实根”的充要条件是“Δ0”；
③“方程有两个实根”的充要条件是“Δ≥0”；
④“方程没有实根”的充要条件是“Δ<0”．　
【题型3：直接应用根与系数的关系进行计算】
例3．（2024·云南·高一校联考阶段练习）已知一元二次方程的一个根为2，那么另一根为 ；的值为 ．
变式1．（2024·上海宝山·高一上海市吴淞中学校考期末）已知一元二次方程的两个实根为，则
变式2.（2024·高一课时练习）若是方程的两个根，则( )
A． B．2 C．4 D．8
变式3．（2024·上海徐汇·高一统考期末）已知方程的两个根为、，则 ．
变式4．（2024·上海嘉定·高一上海市嘉定区第一中学校考期中）设是方程的两个实数根，则
变式5．（2024·上海宝山·高一校考阶段练习）一元二次方程的两个实根为，则 ．
变式6．（2024·上海静安·高一上海市市西中学校考期中）已知是方程的两根，则 ．
变式7．（2024·高一课时练习）已知，且，则 .
变式8．（2024·浙江台州·高一台州一中校考开学考试）已知、是方程的两根，则的值为 .
变式9．（2024·山西吕梁·高一统考期中）若a，b是方程的两个实数根，则（ ）
A．2023 B．2023 C．2019 D．2018
变式10．（2024·高一课时练习）若是方程的两个根，试求下列各式的值；
(1)；
(2)；
(3)；
(4)．
变式11．（2024·辽宁朝阳·高一建平县实验中学校考阶段练习）已知方程的两根为与，求下列各式的值：
(1)；
(2)；
(3).
变式12.（2024·高一课时练习）已知方程的两根为，，分别计算下列各式的值：
（1）； （2）； （3）； （4）．
【方法技巧与总结】
1.根与系数的关系
在求含有一元二次方程两根的代数式的值时，利用根与系数的关系解题可起到化难为易、化繁为简的作用．在计算时，要先根据原方程求出两根之和与两根之积，再将代数式变形为局部含有两根之和与两根之积的形式，然后代入求值．
2.应用一元二次方程的根与系数的关系时，常有以下变形：
)－2x1x2(x1＋x2)2－2x1x2；
(2)(x1－x2)2(x1＋x2)2－4x1x2；
(3)|x1－x2|；
(4)；
(5).
【题型4：应用根与系数的关系求字母系数的值或范围】
例4．（2024·上海闵行·高一统考期末）已知一元二次方程的两个实根分别为，且，则实数n的值为 ．
变式1．（2024·上海普陀·高一曹杨二中校考阶段练习）已知关于的方程的两实根为，若，则实数的值为 ．
变式2．（2024·上海闵行·高一上海市七宝中学校考期末）已知关于的方程的两根为、.若，则实数的值是 ．
变式3．（2024·上海普陀·高一曹杨二中校考阶段练习）已知是关于的方程的两个实数根，若，则实数 ．
变式4.（2024·高一课时练习）若为实数，关于的方程的解集为，则______．
变式5．（2024·上海松江·高一校考期中）已知，是关于的一元二次方程的两个实数根.
(1)求实数的取值范围；
(2)若，求实数的值；
(3)求使的值为整数的实数的整数值.
变式6．（2024·北京·高一北京十五中校考期中）已知：关于的方程的两个实数根分别为、.
(1)求实数的取值范围；
(2)当时，求的值；
(3)若，求实数的值.
变式7．（2024·辽宁·高一辽宁实验中学校考期中）已知方程的两根分别是和，且满足，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
变式8．（2024·新疆和田·高一统考期中）设函数，若，
(1)求证：方程有实根.
(2)若，、为方程的两实数根，求的取值范围.
【方法技巧与总结】
应用根与系数的关系求字母系数的值或范围
利用一元二次方程根与系数的关系求待定字母的值时，务必注意根与系数的关系的应用前提条件，即Δ≥0.
一、单选题
1．（2024高一上·辽宁阜新·阶段练习）关于的一元二次方程：有实数根，若其中一个根为，则另一个根为（ ）.
A． B． C． D．
2．（2024高一下·辽宁抚顺·阶段练习）若方程两根为c，d，则方程的根是（ ）
A．， B．， C．， D．，
3．（24-25高一上·全国·课后作业）已知，是方程的两个根，则的值为（ ）
A． B．2
C． D．
4．（2024高一上·江苏宿迁·阶段练习）关于的方程有实数根的充要条件是（ ）
A． B． C． D．
5．（2024高一上·湖南株洲·阶段练习）已知是方程的两个根，，则的值为（ ）
A． B． C． D．
6．（24-25高一上·上海·随堂练习）若关于x的一元二次方程中m为实数，则（ ）．
A．没有实根 B．有两相等实根
C．有两不相等实根 D．可能有实根
7．（2024高一上·上海·期中）已知，则关于的方程 ）
A．一定有不相等的两个实数根 B．一定有两个相等的实数根
C．可能有两个相等的实数根 D．没有实数根
8．（2024高一上·北京西城·期中）已知方程组的解集为，且，则（ ）
A．1或 B．或 C．或 D．2或
二、多选题
9．（2024高一上·湖北·期中）已知函数有两个零点，，则（ ）
A． B．且
C．若，则 D．函数有四个零点或两个零点
10．（2024高一上·全国·课后作业）已知关于x的方程，下列说法正确的是（ ）
A．若方程有两个互为相反数的实数根，则
B．若方程没有实数根，则方程必有两个不相等的实数根
C．若二次三项式是完全平方式，则
D．若，则方程必有两个不相等的实数根
11．（2024高一上·安徽铜陵·阶段练习）已知二次函数有两个零点，，且，则（ ）
A． B．
C． D．
12．（2024高一上·重庆璧山·阶段练习）已知，是关于x的方程的两个实根，则（ ）
A．或 B．
C． D．
三、填空题
13．（2024高一上·上海松江·期末）已知方程 的两个根为 ，则
14．（24-25高一上·上海·随堂练习）若、是一元二次方程的两个根，则的值是 ．
15．（24-25高一上·全国·课后作业）已知二次函数（m为常数）的图象与x轴的一个交点为，则关于x的一元二次方程的两实数根是 ．
16．（2024高二下·辽宁·期末）已知关于x的方程的两个实数根同号，则实数m的取值范围为 ．
17．（25-26高一上·全国·课后作业）已知关于的一元二次方程的两个实数根为，且，则实数的值为 ．
四、解答题
18．（24-25高一上·上海·课后作业）已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根、．若，求的值．
19．（24-25高一上·上海·课后作业）已知、、均为实数，且，求关于的方程的解集．
20．（2024高一·上海·课堂例题）已知方程的两个根为、，求下列各式的值：
(1)；
(2)；
(3)；
(4).
21．（2024高一上·江苏镇江·阶段练习）若，且，则的值为（ ）
A． B． C． D．
22．（2024高一上·江西南昌·阶段练习）设的两实根为，，而以，为根的一元二次方程仍是，则数对组成的集合的真子集的个数是（ ）
A．7 B．8 C．15 D．16
23．（2024高三下·四川成都·阶段练习）已知实数满足，则的最大值为 .
（24-25高一上·上海·随堂练习）法国数学家佛郎索瓦·韦达于1615年在著作《论方程的识别与订正》中建立了方程根与系数的关系，由于韦达最早发现代数方程的根与系数之间的这种关系，人们把这个关系称为韦达定理，它的内容为：“对于一元二次方程，它的两根α、β有如下关系：，．”
韦达定理还有逆定理，它的内容为：“如果两数α和β满足如下关系：，，那么这两个数α和β是方程的根．”通过韦达定理的逆定理，我们就可以利用两数的和与积的关系构造一元二次方程，例如：，，那么m和n是方程的两根．请应用上述材料解决以下问题：
(1)已知m、n是两个不相等的实数，且满足，，求的值；
(2)已知实数x、y满足，，求的值．
21世纪教育网(www.21cnjy.com)2.1.2 一元二次方程的解集及其根与系数的关系
课程标准 学习目标
1、掌握一元二次方程一般式解集的方法. 2、掌握一元二次方程根与系数的关系. 3、会用整体代入法解一元二次方程. 4、学会用配方法推出一元二次方程的解集. 5. 灵活运用根与系数的关系解决一元二次方程问题. 1、学会整体代入法解特殊一元二次方程思想方法。 2、由一般性地配方法解集推理出特殊性的方程解集，探索其过程。 3、在实际情景中分析问题，构建一元二次方程模型，计算结果，检验结果实际性。 4、掌握解一元二次方程的运算法则，选择运算方法。 5、对特殊一元二次方程选择相关系数进行分析，得出简捷运算方法。
知识点01一元二次方程的解集
一元二次方程ax2＋bx＋c0(a≠0)，其判别式Δb2－4ac.
(1)当Δb2－4ac>0时，方程的解集为
；
(2)当Δb2－4ac0时，方程的解集为；
(3)当Δb2－4ac<0时，方程的解集为 .
注：对于一元二次方程ax2＋bx＋c0(a≠0)，有
(1)当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根x1，2；
(2)当Δ0时，方程有两个相等的实数根x1x2－；
(3)当Δ＜0时，方程没有实数根．
【即学即练1】（2024·高一课时练习）方程的解集是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由方程，可得方程，解得或，
所以或，即方程的解集为..
知识点02一元二次方程的基本特征
一元二次方程的基本特征有两个：一是最高次幂，其指数为2；二是二次项系数不为0.判断方程解的情况，需依据判别式的符号．若二次项系数含有参数，则需要对参数进行分类讨论．
【即学即练1】（2024·高一课时练习）若关于x的一元二次方程有实数根，则k的取值范围是 .
【答案】.
【分析】由题意可得且，从而可得k的取值范围.
【详解】因为关于x的一元二次方程有实数根，
所以且，
即且，
解得且，
所以k的取值范围是，
故答案为：.
知识点03 一元二次方程根与系数的关系
当一元二次方程ax2＋bx＋c0(a≠0)的解不是空集时，这个方程的解可以记为x1，
x2，则有
【即学即练3】（2024·高一课时练习）若关于x的方程的两根分别是，则（ ）
A．6 B．7 C．8 D．9
【答案】D
【解析】因为是方程的两根，
所以
所以，
难点：应用根与系数的关系求字母系数的值或范围
例题 已知关于x的方程x2－(k＋1)x＋k2＋10，根据下列条件，求出k的值．
(1)方程两实根的积为5；
(2)方程的两实根x1，x2，满足|x1|x2.
【解析】Δ[－(k＋1)]2－4×2k－3，Δ≥0，k≥.
(1)设方程的两个根为x1，x2，x1x2k2＋15，
k216，k4或k－4(舍)．
(2)①若x1≥0，则x1x2，Δ0，k.
方程为x2－x＋0，x1x2>0满足．
②若x1<0，则x1＋x20，即k＋10，k－1.
方程为x2＋0而方程无解，
所以k≠－1，所以k.
方法小结：利用一元二次方程根与系数的关系求待定字母的值时，务必注意根与系数的关系的应用前提条件，即Δ≥0.
【题型1：求一元二次方程的解集】
例1.（2024·高一课时练习）方程的解集是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据集合的表示方法求解.
【详解】方程的解为,
所以方程的解集是，
故选:C.
变式1.（2024·全国·高三专题练习）集合________．
【答案】
【解析】因为的＜0，所以方程无实数解，所以A﹒
变式2．（2024·全国·高三专题练习）方程的解集为 ．
【答案】
【分析】对方程左侧作因式分解变为乘积形式求解即可.
【详解】由，
所以或或，故解集为.
故答案为：
变式3．（2024·湖北恩施·高一校考阶段练习）解下列方程：
(1)；
(2).
【答案】(1),；
(2).
【分析】（1）由提公因式法即可求解；
（2）由求根公式即可求解.
（1）
则或
解得.
（2）
方程整理得：
由求根公式可得：
.
变式4.（2024·全国·高三专题练习）方程的实数根是_______________．
【答案】
【解析】∵，
∴ ，
令可得，，
∴ ，∴ 或，
由可得，方程无实数解，
由可得，方程的解为.
【方法技巧与总结】
一元二次方程的解法
（1）直接开平方法：利用平方根的定义直接开平方求一元二次方程的解；
（2）配方法：通过方程的简单变形，将左边配成一个含有未知数的完全平方式，若右边是一个非负常数，则可以直接开平方求解；
（3）公式法：将一元二次方程中的系数，，的值代入式子中求解；
（4）因式分解法：通过移项将等式右边变成0，再因式分解，令每个因式为0即可求解。
【题型2：方程根个数的判断及应用】
例2．（2024·高一课时练习）下列一元二次方程没有实数根的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】根据一元二次方程的判别式，可判断方程没有实数根，即可得正确答案.
【详解】对于选项：因为；所以方程有两个相等的实数根，选项不合题意；
对于选项B： ，所以方程没有实数根，选项B符合题意；
对于选项C：因为方程有两个不相等的实数根，选项C不符合题意；
对于选项D：因为，方程有两个不相等的实数根，选项D不合题意．
.
变式1.（2024·辽宁）已知关于x的一元二次方程没有实数根，则k的取值范围是_______．
【答案】
【解析】由题意得：.
变式2．（2024·辽宁·高二统考学业考试）已知关于的方程有两个相等的实数根，下列选项中可以取的值是（ ）．
A．4 B．2 C．0 D．
【答案】C
【分析】根据判别式求解即可.
【详解】解：因为关于的方程有两个相等的实数根，
所以，即
所以选项中可以取的值是
变式3.（2024·江苏）关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】有两个不相等的实数根
变式4．（2024·江苏·高一假期作业）求证：方程有两个同号且不相等实根的充要条件是.
【答案】证明见解析
【分析】由，可得，且，证明充分性；令，解不等式组求出m的范围，可证明必要性.
【详解】充分性：∵，
∴方程的判别式，且，
∴方程有两个同号且不相等的实根．
必要性：若方程有两个同号且不相等的实根，
则有，解得.
综上，方程有两个同号且不相等的实根的充要条件是.
变式5．（2024·广东佛山·高一顺德一中校考开学考试）已知关于x的一元二次方程.
(1)若上述方程无正数根，求实数k的取值范围；
(2)若上述方程的两根都是正数，求实数k的取值范围；
(3)若上述方程的两根恰有一个是正数，且k为整数，如果有直接写出实数k的取值，如果不存在说明理由.
【答案】(1)或.
(2)或
(3)不存在，理由见解析.
【分析】（1）根据根的情况得出判别式分类讨论，再应用根与系数关系列不等式组求解即可；
（2）根据两根都是正整数得出判别式及根与系数关系列不等式组求解即可；
（3）结合（1）（2）写出结论即可.
【详解】（1）由题意得，
若，化简得，解得，此时无实数根，满足题意；
若，解得，设此时两实数根分别为，
则由题意得，，则，
即，解得或，
综上或.
（2），解得，
由题意得，，即，解得或.
（3），解得，
两根恰有一个是正整数,由题意得或，即，解得.
,且k为整数,符合条件的k不存在.
变式6.（2024·高一课时练习）方程的两根均大于1，则实数的取值范围是_______
【答案】
【解析】的两个根都大于
，解得
可求得实数的取值范围为
变式7.（2024·高一课时练习）若关于的方程的一根大于1，另一根小于1，则实数的取值范围为 ．
【答案】
【解析】由题意，关于的方程的一根大于1，另一根小于1，
设，根据二次函数的性质，可得，解得，
所以实数的取值范围为.
变式8．【多选】（2024·湖南永州·高一校考期中）已知方程有且只有一个实数根，则（ ）
A．
B．
C．若不等式的解集为，则
D．若不等式的解集为，则
【答案】ABD
【分析】由判别式等于0得，代入选项A中式子后由二次函数知识判断，代入B中式子后由基本不等式判断，再根据二次不等式的解集与二次方程的根的关系，结合韦达定理判断CD．
【详解】由题意，，
，时取等号．A正确；
，当且仅当，即时等号不成立，B正确；
不等式的解集为，则是方程的解，所以，D正确，C错误．
BD．
【方法技巧与总结】
一元二次方程根的个数问题
(1)只有当方程是一元二次方程时，才能利用根的判别式确定字母的取值范围．
(2)对于一元二次方程ax2＋bx＋c0(a≠0)，其根的判别式为Δb2－4ac.
①“方程有两个不相等的实根”的充要条件是“Δ>0”；
②“方程有两个相等的实根”的充要条件是“Δ0”；
③“方程有两个实根”的充要条件是“Δ≥0”；
④“方程没有实根”的充要条件是“Δ<0”．　
【题型3：直接应用根与系数的关系进行计算】
例3．（2024·云南·高一校联考阶段练习）已知一元二次方程的一个根为2，那么另一根为 ；的值为 ．
【答案】
【分析】设一元二次方程的另一根为，所以，解出的值即可得出答案.
【详解】设一元二次方程的另一根为，
所以.
故答案为：；.
变式1．（2024·上海宝山·高一上海市吴淞中学校考期末）已知一元二次方程的两个实根为，则
【答案】
【分析】先利用韦达定理得到，再由代入即可求解.
【详解】因为一元二次方程的两个实根为，
所以.
故
故答案为：
变式2.（2024·高一课时练习）若是方程的两个根，则( )
A． B．2 C．4 D．8
【答案】D
【解析】因为是方程的两个根，
所以由根与系数之间的关系，，，
故..
变式3．（2024·上海徐汇·高一统考期末）已知方程的两个根为、，则 ．
【答案】
【分析】根据韦达定理就可求解.
【详解】由于，故方程有两个不相等的实数根、，
由韦达定理可得，所以，
故答案为：
变式4．（2024·上海嘉定·高一上海市嘉定区第一中学校考期中）设是方程的两个实数根，则
【答案】
【分析】根据韦达定理得到，然后代入计算即可求解.
【详解】因为是方程的两个实数根，由韦达定理得，
所以，故，
故答案为：.
变式5．（2024·上海宝山·高一校考阶段练习）一元二次方程的两个实根为，则 ．
【答案】3
【分析】利用韦达定理即可求解.
【详解】依题意，
因为一元二次方程的两个实根为，
所以由韦达定理得：，，
所以.
故答案为：3.
变式6．（2024·上海静安·高一上海市市西中学校考期中）已知是方程的两根，则 ．
【答案】
【分析】根据一元二次方程根与系数的关系，结合一元二次方程根的判别式进行求解即可.
【详解】因为一元二次方程的判别式，
所以该方程有两个不相等的实数根，则有，
因此，
故答案为：
变式7．（2024·高一课时练习）已知，且，则 .
【答案】
【分析】根据一元二次方程的根与系数的关系求解.
【详解】由题可知，为一元二次方程的两个根，
所以，
所以，
所以，
故答案为：.
变式8．（2024·浙江台州·高一台州一中校考开学考试）已知、是方程的两根，则的值为 .
【答案】
【分析】根据题意得到，，结合韦达定理化简得到.
【详解】由题意得，，故，
则
，
由韦达定理可得，所以.
故答案为：-2
变式9．（2024·山西吕梁·高一统考期中）若a，b是方程的两个实数根，则（ ）
A．2023 B．2023 C．2019 D．2018
【答案】C
【分析】根据一元二次方程的解及根与系数的关系可得出、，将其代入中即可求出结论．
【详解】∵是方程的根，
∴，
∴，
∴.
∵是方程的两个实数根，
∴，
∴
.
变式10．（2024·高一课时练习）若是方程的两个根，试求下列各式的值；
(1)；
(2)；
(3)；
(4)．
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)
【分析】由韦达定理可得答案.
【详解】（1）由韦达定理可得：，，所以：
；
（2）；
（3）;
（4）.
变式11．（2024·辽宁朝阳·高一建平县实验中学校考阶段练习）已知方程的两根为与，求下列各式的值：
(1)；
(2)；
(3).
【答案】(1)7
(2)18
(3)7
【分析】（1）由一元二次方程根与系数的关系可得，再利用完全平方公式可得的值；
（2）利用立方和公式因式分解求解即可；
（3）通分整理求解即可.
【详解】（1）解：已知方程的两根为与，所以可得
所以；
（2）解：由（1）有：，且
所以
（3）解：
变式12.（2024·高一课时练习）已知方程的两根为，，分别计算下列各式的值：
（1）； （2）； （3）； （4）．
【答案】（1）；（2）；（3）；（4）．
【解析】是方程的两根，；
（1）；
（2）；
（3）；
（4）.
【方法技巧与总结】
1.根与系数的关系
在求含有一元二次方程两根的代数式的值时，利用根与系数的关系解题可起到化难为易、化繁为简的作用．在计算时，要先根据原方程求出两根之和与两根之积，再将代数式变形为局部含有两根之和与两根之积的形式，然后代入求值．
2.应用一元二次方程的根与系数的关系时，常有以下变形：
)－2x1x2(x1＋x2)2－2x1x2；
(2)(x1－x2)2(x1＋x2)2－4x1x2；
(3)|x1－x2|；
(4)；
(5).
【题型4：应用根与系数的关系求字母系数的值或范围】
例4．（2024·上海闵行·高一统考期末）已知一元二次方程的两个实根分别为，且，则实数n的值为 ．
【答案】
【分析】利用一元二次方程根与系数的关系列出关于实数n的方程，解之即可得出答案.
【详解】一元二次方程的两个实根分别为，
所以，
所以，解得.
故答案为：.
变式1．（2024·上海普陀·高一曹杨二中校考阶段练习）已知关于的方程的两实根为，若，则实数的值为 ．
【答案】
【分析】根据，结合韦达定理得或，再结合判别式即可得答案.
【详解】解：因为关于的方程的两实根为，
所以，
因为，
所以，即，解得或，
因为，解得或
所以，
故答案为：
变式2．（2024·上海闵行·高一上海市七宝中学校考期末）已知关于的方程的两根为、.若，则实数的值是 ．
【答案】
【分析】根据一元二次方程根与系数的关系可得，则由，即可得的值.
【详解】解：关于的方程的两根为、，
所以，，
所以
所以.
故答案为：.
变式3．（2024·上海普陀·高一曹杨二中校考阶段练习）已知是关于的方程的两个实数根，若，则实数 ．
【答案】
【分析】本题考查根与系数的关系，设而不求的思想，注意检验实数根是否存在.
【详解】有解，则有
韦达定理代入得：，
整理得：，
解之或，
经判别式检验知，
故答案为：
变式4.（2024·高一课时练习）若为实数，关于的方程的解集为，则______．
【答案】
【解析】由关于的方程的解集为，
即是方程的两个实数根，
所以，解得，所以.
变式5．（2024·上海松江·高一校考期中）已知，是关于的一元二次方程的两个实数根.
(1)求实数的取值范围；
(2)若，求实数的值；
(3)求使的值为整数的实数的整数值.
【答案】(1)
(2)
(3)或或
【分析】(1)结合一元二次方程的判别式即可求解；(2)结合韦达定理即可求解；(3)结合韦达定理即可求解.
【详解】（1）因为，是关于的一元二次方程的两个实数根，
从而，解得，
故实数的取值范围为.
（2）由韦达定理可知，，，，
所以，
解得.
从而实数的值为.
（3）结合(2)中韦达定理可知，，
因为，
所以欲使的值为整数，只需为或或，
从而实数的整数值为或或.
变式6．（2024·北京·高一北京十五中校考期中）已知：关于的方程的两个实数根分别为、.
(1)求实数的取值范围；
(2)当时，求的值；
(3)若，求实数的值.
【答案】(1)
(2)15
(3)
【分析】（1）根据，即可求得实数的取值范围；
（2）将代入方程，根据韦达定理，得到，又，代入即可；
（3）根据韦达定理，可得，化简，代入即可求得的值，注意结合第（1）问中的范围进行取舍.
【详解】（1）因为，方程有两个实数根，
所以，，即，即，解得.
（2）当时，方程可化为，
由韦达定理可得，所以.
（3）因为，
又关于的方程的两个实数根分别为、.
由韦达定理可得，所以，
整理可得，，解得或.
又由（1）知，所以.
变式7．（2024·辽宁·高一辽宁实验中学校考期中）已知方程的两根分别是和，且满足，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】利用根的判别式可得到或，利用一元二次方程根与系数的关系可得到，，代入不等式求解即可
【详解】因为方程的两根分别是和，
所以，解得或，
，，
因为，
所以，解得，
所以实数的取值范围是，
变式8．（2024·新疆和田·高一统考期中）设函数，若，
(1)求证：方程有实根.
(2)若，、为方程的两实数根，求的取值范围.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）推导出，再利用判别式法可判断出方程有实根；
（2）利用韦达定理结合二次函数的基本性质可求得的取值范围.
【详解】（1）证明：若，由可得，
所以，，与已知条件矛盾，所以，，
对于方程，，
所以，方程必有实根.
（2）解：由韦达定理可得，，
因为，则，
所以，
，
因此，.
【方法技巧与总结】
应用根与系数的关系求字母系数的值或范围
利用一元二次方程根与系数的关系求待定字母的值时，务必注意根与系数的关系的应用前提条件，即Δ≥0.
一、单选题
1．（2024高一上·辽宁阜新·阶段练习）关于的一元二次方程：有实数根，若其中一个根为，则另一个根为（ ）.
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】利用韦达定理求出方程的另一个根，再检验即可.
【详解】因为为关于的一元二次方程的根，
显然，且，不妨令，则，
此时，方程可化为，经检验符合题意，
即方程另一个根为.
2．（2024高一下·辽宁抚顺·阶段练习）若方程两根为c，d，则方程的根是（ ）
A．， B．， C．， D．，
【答案】A
【分析】由题意，整理两个方程，结合韦达定理即可求解.
【详解】，
又c、d为该方程的两根，由韦达定理得，
，
有，
即，解得.
3．（24-25高一上·全国·课后作业）已知，是方程的两个根，则的值为（ ）
A． B．2
C． D．
【答案】A
【分析】利用韦达定理求出，，再将通分代入计算可得.
【详解】因为，是方程的两个根，显然，
则，，
所以.
4．（2024高一上·江苏宿迁·阶段练习）关于的方程有实数根的充要条件是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】由方程有实根，应用判别式求参数范围，结合充分、必要性定义判断充要条件.
【详解】由方程有实根，则，可得.
所以是题设方程有实根的充要条件.
5．（2024高一上·湖南株洲·阶段练习）已知是方程的两个根，，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据题意，利用韦达定理得到，结合，即可求解.
【详解】因为是方程的两个根，可得，
则.
.
6．（24-25高一上·上海·随堂练习）若关于x的一元二次方程中m为实数，则（ ）．
A．没有实根 B．有两相等实根
C．有两不相等实根 D．可能有实根
【答案】D
【分析】利用根的判别式进行判断即可．
【详解】
，
故方程有两不相等实根
．
7．（2024高一上·上海·期中）已知，则关于的方程 ）
A．一定有不相等的两个实数根 B．一定有两个相等的实数根
C．可能有两个相等的实数根 D．没有实数根
【答案】D
【分析】根据已知条件及判别式即可求解.
【详解】由，得，且，
所以
，
所以关于的方程有实数根，但不能确定是否一定相等.
.
8．（2024高一上·北京西城·期中）已知方程组的解集为，且，则（ ）
A．1或 B．或 C．或 D．2或
【答案】C
【分析】由方程组可得，应用韦达定理有，，再由列方程求参数值即可.
【详解】由题设，则，且，
所以，，
而，即，
整理得，可得.
二、多选题
9．（2024高一上·湖北·期中）已知函数有两个零点，，则（ ）
A． B．且
C．若，则 D．函数有四个零点或两个零点
【答案】AC
【分析】根据函数零点与方程根的关系可判断A,根据一元二次方程中韦达定理可判断B,C，根据特殊情况可判断D错误.
【详解】由有两个零点可知：，故，故A正确，
由韦达定理可得：，由于，故可正可负可为0，因此无法判断，的正负，故B错误；
时，则，故C正确，
，比如当时，令，可得,此时有3个零点，故D错误，
故选:AC
10．（2024高一上·全国·课后作业）已知关于x的方程，下列说法正确的是（ ）
A．若方程有两个互为相反数的实数根，则
B．若方程没有实数根，则方程必有两个不相等的实数根
C．若二次三项式是完全平方式，则
D．若，则方程必有两个不相等的实数根
【答案】ABC
【分析】对A，根据韦达定理判断即可；对B，根据判别式正负分析即可；对C，令再展开根据系数关系判断即可；对D，举反例判断即可.
【详解】对A，若方程有两个互为相反数的实数根，则由韦达定理可得，即，故A正确；
对B，若方程没有实数根，则，故.
又，故，则方程判别式，故方程必有两个不相等的实数根，故B正确；
对C，若二次三项式是完全平方式，则令有，故，则不成立，故C正确；
对D，若，则，解得仅有，故D错误.
BC
11．（2024高一上·安徽铜陵·阶段练习）已知二次函数有两个零点，，且，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】ABC
【分析】根据韦达定理即可判断ABC,根据二次函数的图象特征，结合二次函数的零点分布即可判断D.
【详解】的两个零点，，且，
因此，由于，所以恒不成立
故，
对于A，，故A正确，
对于B，，故B正确，
对于C，，故C正确，
对于D，由于二次函数的开口向下，且对称轴为，
，且因此两个根，，故D错误，
BC
12．（2024高一上·重庆璧山·阶段练习）已知，是关于x的方程的两个实根，则（ ）
A．或 B．
C． D．
【答案】ABD
【分析】A.根据判别式即可求得k的取值范围；B，C，D选项，先用韦达定理求出以及的值，变形化简可以推出.
【详解】由已知得，，解得或，A正确；
由韦达定理可得，，则
∵
∴，B正确；
当时，，此时无意义；
当时，
当k=0时，，C错误；
当时，，此时无意义；
当时，，D正确.
BD.
三、填空题
13．（2024高一上·上海松江·期末）已知方程 的两个根为 ，则
【答案】6
【分析】直接解方程求解答案即可.
【详解】由，得，
所以.
故答案为：6
14．（24-25高一上·上海·随堂练习）若、是一元二次方程的两个根，则的值是 ．
【答案】/
【分析】根据一元二次方程根与系数的关系，可得和，再进行化简整理即可.
【详解】由题意：、为一元二次方程的两根，
所以，.
所以.
故答案为：
15．（24-25高一上·全国·课后作业）已知二次函数（m为常数）的图象与x轴的一个交点为，则关于x的一元二次方程的两实数根是 ．
【答案】，
【分析】根据交点求解，即可求解方程的根.
【详解】由于（m为常数）的图象与x轴的一个交点为，所以，所以，
故，解得，，
故答案为：，
16．（2024高二下·辽宁·期末）已知关于x的方程的两个实数根同号，则实数m的取值范围为 ．
【答案】
【分析】运用解题即可.
【详解】根据题意得到，即，解得.
故答案为：.
17．（25-26高一上·全国·课后作业）已知关于的一元二次方程的两个实数根为，且，则实数的值为 ．
【答案】1
【分析】根据韦达定理即可求解.
【详解】为方程的两个实数根，
,，故
则，
，解得．
符合题意．
故答案为：1
四、解答题
18．（24-25高一上·上海·课后作业）已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根、．若，求的值．
【答案】2
【分析】由题意首先根据方程的解的情况列出不等式组求得且，再结合韦达定理确定的值即可得解.
【详解】由题知，，解得且．
因为，，所以，所以或．
又因为且，所以的值是2．
19．（24-25高一上·上海·课后作业）已知、、均为实数，且，求关于的方程的解集．
【答案】
【分析】先根据二次根式、绝对值、平方数的非负性列方程组求出，然后解一元二次方程即可求解.
【详解】∵，又，，，
∴，∴，∴一元二次方程为，
∴，∴或，
解得或，∴原方程的解集为．
20．（2024高一·上海·课堂例题）已知方程的两个根为、，求下列各式的值：
(1)；
(2)；
(3)；
(4).
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)
【分析】（1）根据韦达定理及计算可得；
（2）根据韦达定理及计算可得；
（3）根据韦达定理及计算可得；
（4）根据韦达定理及计算可得.
【详解】（1）因为、是方程的两个根，
所以，，所以.
（2）.
（3）.
（4）
.
21．（2024高一上·江苏镇江·阶段练习）若，且，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】对于变形后，结合已知可得和是方程的两个根，再利用根与系数的关系可得答案
【详解】由，得，则，
所以，即，
因为，，
所以和是方程的两个根，
所以，即，
22．（2024高一上·江西南昌·阶段练习）设的两实根为，，而以，为根的一元二次方程仍是，则数对组成的集合的真子集的个数是（ ）
A．7 B．8 C．15 D．16
【答案】A
【分析】利用根与系数关系列方程，通过解方程求得的所有可能取值，由此得出正确选项.
【详解】根据题意得，①，②，③，④，
由②、④可得，解得或，即或.
由①、②、③可得，即.
当时，，解得或，
即或把它们代入原方程的判别式中可知符合题意；
当时，，解得或，即或
把它们代入原方程的判别式中可知不合题意，舍去.
所以数对组成的集合的元素个数是3，
所以数对组成的集合的真子集的个数是.
.
23．（2024高三下·四川成都·阶段练习）已知实数满足，则的最大值为 .
【答案】/
【分析】利用判别式可求的最大值.
【详解】原方程可化为，
故，故，故，
当时，，
故的最大值为，
故答案为：
（24-25高一上·上海·随堂练习）法国数学家佛郎索瓦·韦达于1615年在著作《论方程的识别与订正》中建立了方程根与系数的关系，由于韦达最早发现代数方程的根与系数之间的这种关系，人们把这个关系称为韦达定理，它的内容为：“对于一元二次方程，它的两根α、β有如下关系：，．”
韦达定理还有逆定理，它的内容为：“如果两数α和β满足如下关系：，，那么这两个数α和β是方程的根．”通过韦达定理的逆定理，我们就可以利用两数的和与积的关系构造一元二次方程，例如：，，那么m和n是方程的两根．请应用上述材料解决以下问题：
(1)已知m、n是两个不相等的实数，且满足，，求的值；
(2)已知实数x、y满足，，求的值．
【答案】(1)；
(2)22或37．
【分析】（1）根据给定条件，构造一元二次方程，再利用韦达定理求解即得.
（2）变形给定条件，构造一元二次方程，求出方程的解即可.
【详解】（1）由，，得m，n可看作方程的两个不相等的实数根，
则，，
所以．
（2）由，，
得xy，可看作一元二次方程的两个实数根，解得或，
于是，或，，
当，时，；
当，时，．
所以的值为22或37．
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