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3.1.1函数及其表示方法
课程标准 学习目标
1、在初中用变量之间的依赖关系描述函数的基础上，用集合语言和对应关系刻画函数，建立完整的函数概念，体会集合语言和对应关系在刻画函数概念中的作用。了解构成函数的要素，能求简单函数的定义域和值域。 在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法（如图象法、列表法、解析法）表示函数，理解函数图象的作用。 3、通过具体实例，了解简单的分段函数，并能简单应用。 两个变量关系中提出函数概念. 用图像法表示函数 对函数的定义域、值域的计算。 函数定义域和应用数据的有效性。
知识点01函数的概念
（1）变量观点的定义
在一个变化过程中，数值发生变化的量称为变量；在一个变化过程中，如果有两个变量x与y，并且对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应，那么就称y是x的函数．
（2）集合观点的定义
一般地，给定两个非空实数集A与B，以及对应关系f，如果对于集合A中的每一个实数x，在集合B中都有唯一确定的实数y与x对应，则称f为定义在集合A上的一个函数，记作yf(x)，x∈A，其中x称为自变量，y称为因变量，自变量取值的范围(即数集A)称为这个函数的定义域，所有函数值组成的集合{y∈B|yf(x)，x∈A},称为函数的值域．
注：对函数概念的几点说明
(1)yf(x)是“y是x的函数”的数学表示，不能认为“y等于f与x的乘积”，应理解为：x是自变量，f是对应关系(可以是解析式、图像、表格或文字描述等).
(2)函数符号f(x)表示的对应关系与字母f无关，也可以用g，F，G等表示；同样，自变量x也可以用t，m，h等表示．
【即学即练1】（2024·新疆巴音郭楞·高一八一中学校考期中）如图图形，其中能表示函数的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】根据函数的定义即可得解.
【详解】由函数的定义可知，对定义域内的任何一个变量有唯一的一个变量与对应，
由图可知，ACD三个选项不符合函数的定义，B选项符合函数的定义.
.
知识点02函数的三要素
（1）定义域
函数的定义域是函数yf(x)的自变量x的取值范围．在表示函数时，如果不会产生歧义，函数的定义域有时可以省略，这时就约定这个函数的定义域就是使得这个函数有意义的所有实数组成的集合．在实际问题中，函数的定义域还要受到自变量实际意义的制约．
（2）对应关系
对应关系f是函数的核心，它是对自变量x实施“对应操作”的“程序”或者“方法”．按照这一“程序”，从定义域A中任取一个x，可得到值域{y|yf(x)，x∈A}中唯一的y与之对应．同一“f”可以“操作”不同形式的变量．
（3）值域
函数的值域是函数值的集合，通常一个函数的定义域和对应关系确定了，那么它的值域也就随之确定了．
注：由于值域是由定义域和对应关系决定的，所以确定一个函数只需要两个要素：定义域和对应关系．即要检验给定的两个变量(变量均为数值)之间是否具有函数关系，只要检验：
(1)定义域和对应关系是否给出；
(2)根据给出的对应关系，自变量x在其定义域中的每一个值，是否都能确定唯一的函数值y与之对应．
【即学即练2】（2024·甘肃定西·高二统考开学考试）函数的定义域是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】利用函数有意义直接列式求解即得.
【详解】函数有意义，则，解得，且，
所以函数的定义域是.
【即学即练3】（2024秋·全国·高一专题练习）求下列函数的值域．
(1)；
(2)，；
(3)；
(4).
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)
【分析】（1）由可推导得到函数值域；
（2）将的取值代入解析式即可求得结果；
（3）采用分离常数法可求得函数值域；
（4）采用换元法，将问题转化为关于的二次函数的值域求解问题.
【详解】（1），，即，的值域为.
（2）当时，；当时，；
当时，；当时，；
当时，；当时，；
，的值域为.
（3），
，，的值域为.
（4）令，则且，，
则当时，，的值域为.
知识点03同一个函数
一般地，如果两个函数的定义域相同，对应关系也相同(即对自变量的每一个值，两个函数对应的函数值都相等)，则称这两个函数就是同一个函数．
【即学即练4】（2024·甘肃酒泉·高一校考期中）下列各组函数是同一函数的是（ ）
①与. ②与. ③与. ④与.
A．①② B．①③ C．③④ D．①④
【答案】D
【分析】根据同一函数的判定方法，结合函数的定义域与对应关系，逐个判定，即可求解.
【详解】①中，函数的定义域为，函数的定义域为，
但与的对应关系不一致，所以①不是同一函数.
②中，函数与的定义域都是，但与的对应关系不一致，所以②不是同一函数.
③中，函数与的定义域都是，且与的对应关系一致，所以③是同一函数.
④中，函数与的定义域和对应关系都一致，所以④是同一函数.
.
知识点04函数的表示方法
1.常用的函数的表示方法有三种：列表法、图像法和解析法，具体如下．
列表法 图像法 解析法(公式法)
定义 通过列出自变量与对应函数值的表来表示函数关系的方法． 用“图形”表示函数的方法． 在函数yf(x)(x∈A)中，f(x)是用代数式(或解析式)来表达的方法．
优点 不需要计算就可以直接看出与自变量的值相对应的函数值． 能直观、形象地表示出函数值的变化情况． 通过解析式可求出任意一个自变量所对应的函数值，且便于研究函数的性质．
缺点 列表法只能表示自变量取值为有限个的函数，且从表中很难看出函数的性质． 只能近似地求出自变量所对应的函数值，有时误差较大． 用解析式表示函数时容易漏掉定义域，而且对于一些实际问题，很难找到它的解析式．
2.函数的图像
（1）函数的图像
一般地，将函数yf(x)，x∈A中的自变量x和对应的函数值y，分别看成平面直角坐标系中点的横坐标与纵坐标，则满足条件的点(x，y)组成的集合F称为函数的图像，即
F{(x，y)|yf(x)，x∈A}．
（2）函数图像的作法
①函数图像的特征
函数图像既可以是连续的曲线，也可以是直线、折线、离散的点等．
②描点法作函数图像的三个步骤(注意函数的定义域)
③利用常见函数图像作出所求函数的图像
【即学即练5】（2024·高一课时练习）下图是某校高一(1)班三名同学在高一学年度六次数学测试的成绩及班级平均分表．

(1)选择合适的方法表示测试序号与成绩的关系；
(2)根据表示出来的函数关系对这三位同学的学习情况进行分析．
【答案】(1)答案见解析
(2)答案见解析
【分析】（1）以测试序号为横坐标，成绩为纵坐标描点即可的函数图象；
（2）根据各人成绩与平均成绩比较分析即可.
【详解】（1）不宜用解析法表示，用图象法表示为宜．
在同一个坐标系内画出这四个函数的图象如下：

（2）王伟同学的数学成绩始终高于班级平均水平，学习情况比较稳定而且成绩优秀．
张城同学的数学成绩不稳定，总是在班级平均水平上下波动，而且波动幅度较大．
赵磊同学的数学成绩低于班级平均水平，但他的成绩曲线呈上升趋势，表明他的数学成绩在稳步提高．
知识点05分段函数
（1）分段函数的定义
如果一个函数，在其定义域内，对于自变量的不同取值区间，有不同的对应方式，则称其为分段函数．
（2）分段函数的图像
分段函数有几段，它的图像就由几条曲线组成．在同一平面直角坐标系中，根据分段函数每段的定义区间和表达式依次画出图像，要注意接点处点的虚实，保证不重不漏．
注：(1)分段函数是一个函数，而不是几个函数．
(2)求分段函数的函数值的关键是分段归类，即自变量的取值属于哪个区间，就只能用那个区间上的解析式来进行计算．
(3)写分段函数的定义域时，区间端点应不重不漏．分段函数的定义域是各个自变量取值区间的并集．
【即学即练6】（2024·全国·高一专题练习）已知函数
(1)求,,的值;
(2)若,求实数的值;
(3)若,求实数的取值范围.
【答案】(1);;
(2)或
(3)
【分析】（1）根据的范围,分别将代入对应解析式即可求解;
（2）对参数进行分类讨论,解方程求解即可;
（3）对参数进行分类讨论,解不等式求解即可.
【详解】（1）由题可得,
,
因为,
所以.
（2）①当时,,
解得,不合题意,舍去;
②当时,,即,
解得或,
因为,,
所以;
③当时,,
解得,符合题意.
综合①②③知,当时,或.
（3）由,
得或或,
解得或或,
故所求的取值范围是.
难点：数形结合利用图像求分段函数的最值
示例：求函数y|x＋1|＋|x－1|的最小值．
【解析】　y|x＋1|＋|x－1|
作出函数图像如图所示：
由图像可知，x∈[－1，1]时，ymin2.
【方法小结】　(1)分段函数是一个函数，其定义域是各段“定义域”的并集，其值域是各段“值域”的并集．写定义域时，区间的端点需不重不漏．
(2)求分段函数的函数值时，自变量的取值属于哪一段，就用哪一段的解析式．
(3)研究分段函数时，应根据“先分后合”的原则，尤其是作分段函数的图像时，可先将各段的图像分别画出来，从而得到整个函数的图像．
【题型1：函数的概念】
例1．（2024·高一课时练习）下列关系不是函数关系的是 （填序号）．
①乘坐出租车时，所付车费与乘车距离的关系；
②某同学学习时间与其学习成绩的关系；
③人的睡眠质量与身体状况的关系．
【答案】②③
【分析】利用函数的定义即可判断.
【详解】对于①，所付车费与乘车距离是一种确定性关系，是函数关系；
而对于②，③中的两个变量是非确定性关系，不是函数关系．
故答案为：②③
变式1．【多选】（2024·全国·高一专题练习）下列各图中，可能是函数图象的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】ACD
【详解】根据函数的定义，当自变量x在定义域内任意取一个值，都有唯一的一个函数值y与之对应，由此可得结论.
【解答】B选项，x＞0时有两个y值与之对应，不为函数，B错误，
其它均符合函数的定义，
CD.
变式2．【多选】（2024·全国·高一专题练习）已知集合=，集合=，下列能表示从集合到集合的函数关系的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】CD
【分析】根据函数的定义逐一判断即可.
【详解】对于选项A：显然当时，在集合中，没有与之对应的实数，故不表示从集合到集合的函数关系，所以本选项不符合题意；
对于选项B：当时，任意一个，在集合中，都有唯一与之对应的实数，故表示从集合到集合的函数关系，所以本选项符合题意；
对于选项C：显然当时，在集合中有两个数与之对应，故不表示从集合到集合的函数关系，所以本选项不符合题意；
对于选项D：当时，任意一个，在集合中，都有唯一与之对应的实数，故表示从集合到集合的函数关系，所以本选项符合题意，
D
变式3．（2024·高一课时练习）判断下列对应是不是从集合A到集合B的函数.
(1)，，对应法则f：对集合A中的元素取绝对值与B中元素对应；
(2)，，对应法则，，；
(3)，，对应法则，，；
(4)三角形，，对应法则f：对A中元素求面积与B中元素对应.
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)
【分析】根据函数的定义，可依次判断得解.
【详解】（1）对于A中的元素0，在f的作用下得0，但0不属于B，即A中的元素0在B中没有元素与之对应，所以不是函数.
（2）对于A中的元素，在f的作用下与B中的1对应，A中的元素，在f的作用下与B中的4对应，所以满足A中的任一元素与B中唯一元素对应，是“多对一”的对应，故是函数.
（3）对于A中的任一元素，在对应关系f的作用下，B中都有唯一的元素与之对应，如对应1，对应4，所以是函数.
（4）集合A不是数集，故不是函数.
变式4.（2024·高一课时练习）下列变量与的关系式中，不能构成是的函数关系的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】对A，由得是函数关系；
对B，由，得是函数关系；
对C，由，得，此时值不唯一，不是函数关系；
对D，由，得是函数关系，
【方法技巧与总结】
函数关系的判断
(1)判断一个集合A到集合B的对应关系是不是函数关系的方法：①A，B必须都是非空数集；②A中任意一个数在B中必须有并且是唯一的实数和它对应．
注意　A中元素无剩余，B中元素允许有剩余．
(2)函数的定义中“任意一个x”与“有唯一确定的y”说明函数中两变量x，y的对应关系是“一对一”或者是“多对一”，而不能是“一对多”．　
【题型2：求函数的定义域】
（一）已知函数的解析式求定义域
例2．（2024·广西南宁·高一校考阶段练习）函数的定义域用区间表示为 .
【答案】
【分析】根据具体函数的定义域求法可得.
【详解】因为，
所以，
得且，
所以定义域为，
故答案为：
变式1．（2024·宁夏石嘴山·高一石嘴山市第三中学校考阶段练习）函数的定义域为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【详解】由函数有意义，得 ，解得且，
所以原函数的定义域是.
变式2．（2024·新疆乌鲁木齐·高一校考期中）函数的定义域为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】根据开偶数次发根号里的数大于等于零，分母不等于零计算即可.
【详解】由，
得，解得且，
所以函数的定义域为.
.
变式3.（2024·全国·高一课堂例题）函数的定义域是_______.
【答案】
【解析】由题意知，解得，故定义域是.
变式4.（2024·全国·高一课堂例题）函数的定义域为 _________.
【答案】
【解析】由题可得，解得，，且；
∴的定义域为：．
变式5．（2024·全国·高一课堂例题）确定下列函数的定义域：
(1)；
(2)．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据二次根式的性质和分式的性质进行求解即可；
（2）根据分式的性质进行求解即可.
【详解】（1）因为二次根式的分母不能为零，即，且需，即，
故的定义域为．
（2）因为，
所以且，
故的定义域为；
（二）抽象函数的定义域
例3．（2024·新疆乌鲁木齐·高一校考期中）若函数的定义域为，则函数的定义域是 ．
【答案】
【分析】根据复合函数定义域的性质进行求解即可.
【详解】函数的定义域为，
于是有，
即函数的定义域，
故答案为：
变式1．（2024·山东菏泽·高一菏泽一中校考期中）已知函数的定义域为，则的定义域为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据题意先求出的定义域，再可求出的定义域
【详解】由，得，
所以的定义域为，
由，得，
所以的定义域为，
变式2.（2024·全国·高一专题练习）已知的定义域为，则的定义域为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】因为的定义域为，所以，
所以，所以的定义域为．
变式3．（2024·全国·高一专题练习）函数的定义域为，则的定义域为 .
【答案】
【分析】利用抽象函数的定义域可得出关于的不等式组，即可求得函数的定义域.
【详解】因为函数的定义域为，
对于函数，则有，解得.
因此，函数的定义域为.
故答案为：
变式4．（2024·重庆沙坪坝·高三重庆一中校考阶段练习）若函数的定义域为，则的定义域为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】由函数的定义域，求出的定义域，即可得出答案.
【详解】由题意可知，所以，所以的定义域为，
从而的定义域为.
.
变式5．（2024·江西鹰潭·高三贵溪市实验中学校考阶段练习）若函数的定义域是，则函数的定义域是 .
【答案】
【分析】根据抽象函数求定义域的方法和的解析式求定义域即可.
【详解】因为的定义域为，所以函数中，解得，
因为，所以，即，
综上可得，的定义域为.
故答案为：.
变式6．（2024·黑龙江大庆·高二肇州县第二中学校考阶段练习）已知函数的定义域为 则的定义域为
【答案】
【分析】抽象函数定义域求解，需整体在范围内，从而 解出的范围，同时注意需保证，最后求出交集即可得解.
【详解】由已知，的定义域为，所以对于
需满足,解得
故答案为：.
【方法技巧与总结】
求函数定义域的一般原则
求函数定义域时，要注意应用下列原则：
(1)如果f(x)是整式，那么函数的定义域是实数集R.
(2)如果f(x)是分式，那么函数的定义域是使分母不等于零的实数的集合．
(3)如果f(x)是偶次根式，那么函数的定义域是使根号内的式子不小于零的实数的集合．
(4)如果f(x)是由几部分构成的，那么函数的定义域是使各部分都有意义的实数的集合，也就是使各部分有意义的实数的集合的交集．
(5)如果f(x)是根据实际问题列出的，那么函数的定义域是使解析式本身有意义且符合实际意义的实数的集合．
(6)复合函数的定义域就是使所有式子都有意义的自变量的取值范围，注意相同的对应法则所作用对象的范围是一致的．
注意：定义域必须用集合或区间表示，若用区间表示数集，不能用“或”连接，而应用并集符号“∪”连接．　　
【题型3：同一函数】
例4.（2024·福建）下列各组函数中，表示同一函数的是（ ）
A．与 B．与
C．与 D．与
【答案】C
【解析】A中，的定义域为，的定义域为R，故A错误；
B中，，B正确；
C中，的定义域为R，的定义域为，故C错误；
D中，的定义域为，
由可得的定义域为，D错误.
变式1．（2024·福建龙岩·高一福建省连城县第一中学校考阶段练习）下列选项中表示同一函数的是（ ）
A．与
B．
C．；
D．.
【答案】A
【详解】根据函数的对应关系与定义域判断．
【分析】对于A，的定义域为，而定义域为R，故二者不是同一函数；
对于B.定义域为R，定义域为，∵定义域不同，与不是同一函数.
对于C，定义域为R，定义域为，∵定义域不同，与不是同一函数.
对于D，，与定义域与对应关系都相同，与是同一函数.
变式2．【多选】（2024·云南德宏·高一校考期中）下列四组函数中表示同一个函数的是（ ）
A．，
B．，
C．，
D．，
【答案】CC
【分析】根据函数的定义域和对应关系依次判断每个选项得到答案.
【详解】A中，的定义域为，的定义域为，两函数的定义域不同，所以不是同一函数；
B，C中，函数的解析式相同，定义域也相同，所以为同一函数；
D中，的定义域为，的定义域为，两函数的定义域不同，所以不是同一函数.
C.
变式3．（2024·云南怒江·高一校考期中）下列各组函数：
①，；② ；
③，；④，；
⑤汽车匀速运动时，路程与时间的函数关系与一次函数．
其中表示相等函数的是 填上所有正确的序号．
【答案】③⑤
【分析】逐个判断两个函数的定义域、对应法则是否相同即可．
【详解】对于①，定义域为，定义域为，
所以定义不相同，所以不是相等的函数；
对于②，的定义域为，的定义域为，
因为两函数的对应关系不相同，所以两函数不是相等的函数，
对于③，的定义域为，的定义域为，
所以定义域相同，因为，所以这两函数是相等的函数，
对于④，两函数的定义域均为，因为，所以两函数不是相等的函数，
对于⑤，汽车匀速运动时，路程与时间的函数关系与一次函数是相同的函数，
所以表示相等函数的是③⑤，
故答案为：③⑤．
变式4．【多选】（2024·江西·高一江西师大附中校考期中）中文“函数”一词，最早是由近代数学家李善兰翻译的，之所以这么翻译，他给出的原因是“凡此变数中函彼变数者，则此为彼之函数”，也即函数指一个量随着另一个量的变化而变化，下列选项中是同一个函数的是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
【答案】AD
【分析】根据同一函数的概念逐一分析各选项即可判断.
【详解】对于A，因为与的定义域均为，对应关系也相同，故为同一函数；
对于B，的定义域为，的定义域为，定义域不同，故不是同一个函数；
对于C，的定义域是，的定义或是，定义域不同，故不是同一个函数；
对于D，，与的定义域都是，且对应关系相同，所以是同一函数.
D.
【方法技巧与总结】
判断同一函数的三个步骤和两个注意点
(1)判断同一函数的三个步骤
(2)两个注意点：
①在化简解析式时，必须是等价变形；②与用哪个字母表示无关．　
【题型4：根据解析式求函数值】
例5．（2024·全国·高一专题练习）已知函数，
(1)求的定义域；
(2)求，的值；
(3)当时，求的值.
【答案】(1)；
(2)，；
(3).
【分析】（1）利用函数有意义列出不等式，并求解作答.
（2）（3）代入计算作答.
【详解】（1）函数有意义，则，解得，且，
所以函数的定义域是.
（2）依题意，，.
（3）当时，，则.
变式1．（2024·浙江杭州·高一杭州市西湖高级中学校考阶段练习）已知函数
(1)求函数的定义域；
(2)求的值；
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据函数的具体形式求函数的定义域；
（2）根据函数的解析式，代入数值，即可求解.
【详解】（1）函数的定义域需满足，解得：或且，
所以函数的定义域为；
（2），，
所以.
变式2．（2024·全国·高一课堂例题）已知定义域为R的函数．
(1)求，的值；
(2)求的值；
(3)求的值．
【答案】(1)，；
(2)
(3)
【分析】运用代入法对（1）（2）（3）进行求解即可.
【详解】（1）因为，
所以，；
（2）因为，
所以；
（3）因为，
所以.
变式3.（2024·陕西·高三校联考阶段练习）已知函数，，则______，______．
【答案】，
【解析】由题可知，，则；
，则.
故答案为：；.
变式4．（2024·广东东莞·高一东莞市东莞中学松山湖学校校考阶段练习）已知函数，若，则 .
【答案】
【分析】由题意可得，根据奇函数的定义可知函数为奇函数，结合计算即可求解.
【详解】∵，
∴令，
则由定义域为R，关于原点对称且，
∴为奇函数，
∴，
∴，
∵，∴．
故答案为：-13.
变式5．（2024·陕西·高三校联考阶段练习）已知函数的定义域为，，且，则 .
【答案】2023
【分析】通过已知条件得出递推式即可得出的值.
【详解】由题意，定义域为，
在函数中，，且，
令，则，，
故答案为：.
【题型5：求函数的值域】
例6．（2024·全国·高一专题练习）作出下列函数的图象并求出其值域.
(1)；
(2)；
(3).
【答案】(1)图象见解析，
(2)图象见解析，
(3)图象见解析，
【分析】通过列表描点连线作出函数图像，由图像确定值域.
【详解】（1）列表
x 0 1 －2 3
y 0 －1 2 －3
函数图象只是四个点，其值域为．

（2）列表
x 2 3 4 5 …
y 1 …
当时，图象是反比例函数的一部分，观察图象可知其值域为．

（3）列表
x －2 －1 0 1 2
y 0 －1 0 3 8
画图象，图象是抛物线在之间的部分．

由图可得函数的值域为．
变式1．（2024·全国·高一专题练习）求函数的值域.
【答案】
【分析】利用换元法根据二次函数性质即可求出函数值域.
【详解】由题意可知，所以可得，即函数定义域为，
令，可得；
则，当时，；
故函数值域为.
变式2．（2024·高一课时练习）作出下列函数的图象，并写出其值域．
(1)；
(2).
【答案】(1)图像见解析，.
(2)图像见解析，.
【分析】描点，连线即可的图象，根据图象即可的值域.
【详解】（1）当时，；
当时，；当时，.
函数图象过点.
图象如下图所示．

由图可知，函数的值域为.
（2）当时，；当时，；
当时，.图象如下图所示．

由图可知，函数的值域为.
变式3．（2024·全国·高一专题练习）求下列函数的值域：
(1)；
(2)；
(3)（）；
(4).
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)
【分析】分别利用直接法，分离常数法，基本不等式法，换元法求解函数的值域.
【详解】（1）∵，∴,
∴的值域为.
（2），显然,所以,
故函数的值域为.
（3）由,知.
则,
当且仅当,即时,上式取“”．
∴（）的最小值为8.
故函数（）的值域为.
（4）设,则,且,
所以，
由,结合函数的图象得原函数的值域为.

变式4．（2024·高一课时练习）求下列函数的值域．
(1)；
(2)；
(3).
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）采用分离常数法可知即可得其值域为；
（2）利用换元法，将原函数表示为，根据二次函数单调性可求得结果；
（3）求得函数定义域为，求出二次函数最值即可求得其值域.
【详解】（1）由于，且；
所以可得，
因此函数的值域是．
（2）令，所以，
即，
当时，，
即函数的值域为.
（3）易知需满足，即，即函数定义域为；
，
由二次函数性质可得，
所以的值域为．
变式5．（2024·高一课时练习）求下列函数的值域．
(1)；
(2)；
(3)；
(4).
【答案】(1)
(2)
(3)且
(4)
【分析】（1）由，进而求得函数的值域；
（2）根据二次函数的图象与性质，结合函数的单调性，求得函数的最值，即可求解；
（3）化简函数，结合反比例函数的性质，即可求解；
（4）令，则，结合二次函数的图象与性质，即可求解.
【详解】（1）解：因为，所以，所以函数的值域为.
（2）解：由，可得其对称轴为，
所以函数在区间上单调递减，在区间上单调递增，
所以当时，函数取得最小值，最小值为，
又由当时，；当时，，所以函数的最大值为，
所以函数在区间上的值域为.
（3）解：由函数，可得其定义域为，
则，即，所以函数的值域为且.
（4）解：令，则，
则，
根据二次函数的性质，可得函数在区间上单调递增，在区间上单调递减，
当时，函数取得最大值，最大值为，
当时，，所以函数的值域为.
变式6．（2024·全国·高一课堂例题）求下列函数的值域：
(1)，；
(2)，；
(3)；
(4)；
(5)；
(6)；
(7)．
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)
(7)．
【分析】（1）可由观察法求解；（2）函数是二次函数，可采用配方法结合图像求解；（3）函数是一个分式型函数，可采用分离常数法将其整理为一个常数加一个分式，或用表示出，由求解；（4）利用变量的代换，即换元法求值域；（5）通过变形，利用基本不等式求最值；（6）通过变形，利用基本不等式求最值；（7）通过变形利用判别式法求解．
【详解】（1）（观察法）由，分别代入求值，可得函数的值域为．
（2）（配方法），由，再结合函数的图像，可得函数的值域为．

（3）（分离常数法） ，因为，所以，所以故函数的值域为．
（4）（换元法） 设，则，且，
所以，由，再结合函数的图像，可得函数的值域为．

（5）因为，所以，当且仅当，即时，等号不成立．
故函数的值域为．
（6）因为，所以，令，则，当且仅当，即时，等号不成立，所以，，故函数的值域为．
（7）由知，
整理得．
当时，方程无解；当时，，即．
故所求函数的值域为．
【点睛】方法点睛：本题主要考查求函数得值域，常见的方法有：
（1）观察法，对解析式简单变形观察，利用熟知的初等函数的值域，求解；
（2）配方法，函数是二次函数，可采用配方法结合图像或单调性求解；
（3）分离常数法，反解法，函数是一个分式型函数，可采用分离常数法将其整理为一个常数加一个分式，或用表示出，求解；
（4）换元法，通过对函数解析式进行适当换元，将复杂的函数化为几个简单的函数，从而求值域；
（5）通过对解析式变形，利用基本不等式求最值；
（6）通过对解析式变形，将看成自变量，看成常数，关于的方程有解，利用判别式法求解．
变式7．（2024·江苏南通·高三统考开学考试）已知函数，的值域是，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】画出函数图象，根据二次函数性质和图象可得值域为时，实数的取值范围是.
【详解】画出函数的图象，如下图所示：
易知，；
若时的值域是，由图可知.
变式8．【多选】（2024·海南·高一校考期中）函数的值域为，则下列选项中满足条件的实数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】ABD
【分析】根据给定条件，按是否为0分类，结合一次函数、二次函数的性质求出的范围作答.
【详解】由函数的值域为，得函数的值域包含，
当时，函数的值域是R，包含，则，
当时，要函数的值域包含，当且仅当，解得，
所以实数的取值范围是，显然选项ABD满足，C不满足.
BD
【方法技巧与总结】
求函数值域的常用方法
(1)观察法：对于一些比较简单的函数，其值域可通过观察法得到．
(2)配方法：是求“二次函数”类值域的基本方法．　　
(3)换元法：运用新元代换，将所给函数化成值域易确定的函数，从而求得原函数的值域．对于f(x)ax＋b＋(其中a，b，c，d为常数，且ac≠0)型的函数常用换元法．
(4)分离常数法：此方法主要是针对有理分式，即将有理分式转化为“反比例函数类”的形式，便于求值域.
【题型6：函数的表示方法】
例7．（2024·高一课时练习）某商场为反馈顾客，规定凡购买某品牌商品两件，赠儿童玩具一个，一顾客购买此品牌商品的件数为x件，获赠儿童玩具y个，分别用列表法、解析法、图象法将y表示成的函数．
【答案】答案见解析
【分析】由题意利用列表法和解析法得到函数，再画出函数图象.
【详解】列表法：
x/件 2 4 6 8
y/个 1 2 3 4
解析法：；
图象法：

变式1．（2024·浙江台州·高一校联考期中）已知函数，，，

(1)画出函数，的图象；
(2)，用表示，中的较小者，记为，请分别用图象法和解析法表示函数.
【答案】(1)答案见解析
(2)答案见解析
【分析】（1）结合二次函数与一次函数图象分别为抛物线和直线，画出函数图象；
（2）先根据（1）中两函数图象得到的图象，再写出的解析式.
【详解】（1）与的图象如下，

（2）图象法表示，如图，

解析法表示函数.
变式2．（2024·高一课时练习）下图所示为某市一天24小时内的气温变化图，根据图象回答下列问题.

(1)全天的最高气温、最低气温分别是多少？
(2)大约在什么时刻，气温为？
(3)大约在什么时刻内，气温在以上？
(4)变量Q是关于变量t的函数吗？
【答案】(1)最高气温大约是，最低气温大约是
(2)在0时、8时和22时
(3)在8时到22时之间
(4)Q是t的函数
【分析】（1）（2）（3）认真观察函数的图像，根据时间与温度的关系解答，（4）根据函数的定义可判断.
【详解】（1）观察图像可知：全天最高气温大约是，在14时达到.全天最低气温大约是.
（2）观察图像可知：大约在0时、8时和22时，气温为.
（3）观察图像可知：在8时到22时之间，气温在以上.
（4）根据函数定义，由图像可知对于时间t的每个取值，都有唯一的气温Q与之对应，
所以气温Q是时间t的函数.
变式3．（2024·全国·高一专题练习）已知函数由以下表格给出，则等于 .
x 1 2 3 4
－1 1 2 1
【答案】1
【分析】根据函数的对应关系，求得，即可求得答案.
【详解】由题意得，故，
故答案为：1
变式4．（2024·高一课前预习）函数与的对应关系如下表
1 3 3
1 2 3
则的值为（ ）
A．0 B．3 C．1 D．－1
【答案】A
【详解】由列表法表示的函数可知，，则的值为0
【方法技巧与总结】
理解函数的表示法应关注三点
(1)列表法、图像法、解析法均是函数的表示方法，无论用哪种方式表示函数，都必须满足函数的概念．
(2)判断所给图像、表格、解析式是否表示函数的关键在于是否满足函数的定义．
(3)函数的三种表示方法互相兼容或补充，许多函数是可以用三种方法表示的，但在实际操作中，仍以解析法为主．　
【题型7：求函数的解析式】
例8．【多选】（2024·全国·高一专题练习）设函数为一次函数，满足，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】AD
【分析】设，代入，通过对比系数列方程组，求得，进而求得.
【详解】设，由于，
所以，
所以，解得或，
所以或.
D
变式1．（2024·全国·高一专题练习）回答下面问题
(1)已知，求；
(2)已知函数是一次函数，若，求.
(3)已知，求的解析式；
(4)已知是一次函数，且满足，求的解析式.
【答案】(1)
(2)或
(3)
(4)
【分析】（1）根据配凑法或换元法求解即可；
（2）设，再代入求解即可；
（3）令换元求解即可；
（4）设，再代入求解即可.
【详解】（1）方法一　（配凑法）：∵
，
∴．
方法二　（换元法）：令，则，
∴，
即．
（2）设，
则．
又，∴，
，解得或，
∴或．
（3）令，则，，
因为，
所以，
所以；
（4）由题可设，则
，，
所以
，
所以，
所以，
所以.
变式2．（2024·全国·高一专题练习）（1）已知是二次函数，且满足，，求解析式；
（2）已知，求的解析式.
（3）若对任意实数x，均有，求的解析式.
【答案】（1） ；（2）．（3）
【分析】（1）利用待定系数法即可得到解析式；
（2）利用配凑法或换元法即可得到解析式；
（3）利用方程组法即可得到解析式.
【详解】（1）令 ，
因为，所以，则．
由题意可知：
，
得，所以．
所以.
（2）法一：配凑法
根据．
可以得到．
法二：换元法
令，则，
．
.
（3）因为①，
所以②，
由①②得：，
解得：.
变式3．（2024·全国·高一专题练习）（1）已知是二次函数，且，，求的解析式；
（2）已知函数的定义域为（0，＋∞），且，求的解析式．
【答案】（1）；（2）.
【分析】（1）利用待定系数法进行求解即可；
（2）用代替x，利用代入法进行求解即可.
【详解】（1）设，
因为，所以有，
因为，所以有
，
所以，解得．
所以；
（2）在中，
用代替x，得，
将代入中，
可求得．
变式4．（2024·四川成都·高一校考开学考试）（1）已知函数，求；
（2）已知，求.
【答案】（1）；（2）.
【分析】（1）根据题意，利用换元法，即可求解；
（2）根据题意，用代替，得到，联立方程组，即可求解.
【详解】（1）解：由函数，
令，则，所以，
所以函数的解析式为 .
（2）解：由函数，
用代替，可得，
联立方程组，解得，
所以函数的解析式为.
变式5．（2024·全国·高一专题练习）（1）已知，求的解析式；
（2）已知，求函数的解析式；
（3）已知是二次函数，且满足，，求函数的解析式；
（4）已知，求的解析式．
（5）已知是定义在R上的函数，，且对任意的实数x，y都有，求函数的解析式．
【答案】（1）；（2）；（3）；（4）；（5）
【分析】（1）用代中的计算可得；
（2）用换元法，设，解出后代入可得，注意的取值范围；
（3）设，代入已知条件解方程组可得；
（4）用－x替换中的x，两式组成方程组后解之可得；
（5）在已知式中令代入求解．
【详解】（1）因为，所以．
（2） 设，则，，即，
所以，所以．
（3）因为是二次函数，所以设．由，得c1．
由，得，
整理得，
所以，所以，所以．
（4）用－x替换中的x，得，
由，解得．
（5）令，则，所以．
【方法技巧与总结】
函数解析式的求法
(1)待定系数法：若已知函数的类型(如一次函数、二次函数)，可用待定系数法．
(2)换元法：已知复合函数f(g(x))的解析式，可用换元法，此时要注意新元的取值范围．
(3)配凑法：由已知条件f(g(x))F(x)，可将F(x)改写成关于g(x)的表达式，然后以x替代g(x)，便得f(x)的解析式．　　
(4)解方程法：已知f(x)与f或f(－x)之间的关系式，可根据已知条件再构造出另外一个等式组成方程组，通过解方程组求出f(x).
(5)赋值法：根据抽象函数的解析式的特征，进行对变量赋特殊值.
【题型8：分段函数的问题】
例9．（江苏省南通市2023-2024学年高一上学期10月质量监测数学试题）已知函数，则（ ）
A．8 B． C． D．
【答案】C
【分析】根据分段函数的解析式先求出的值，在求出的值即可.
【详解】因为，
所以，
所以，
.
变式1．（2024·山西太原·高一校考阶段练习）已知函数，则 ．
【答案】5
【分析】由题，先求出的值，再根据分段函数判断求解.
【详解】由题意，可得，
.
故答案为：5.
变式2．（2024·江苏连云港·高一统考期中）已知函数，若，实数（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】D
【分析】根据分段函数解析式计算可得.
【详解】因为，所以，
所以，解得.
变式3．（2024·宁夏银川·高三银川一中校考阶段练习）已知，满足，则的取值范围是 ．
【答案】
【分析】根据自变量的范围，代入解析式，即可由一元二次不等式求解.
【详解】若，则，故，
由可得，
当，则，故，
由可得，
当时，则不符合要求，
综上可知：的取值范围为
故答案为：
变式4.（2024·高一课时练习）已知函数若，则实数________，________．
【答案】，
【解析】由题意得，，
所以，解得，
所以.
故答案为：；.
变式5．（2024·高一课时练习）已知函数则使不成立的的值组成的集合为 .
【答案】
【分析】分段函数分段解一元二次不等式即可得解集.
【详解】由题意可得或
由解得；
由解得.
综上所述，使不成立的的值组成的集合为.
故答案为：.
变式6．【多选】（2024·全国·高一专题练习）已知函数，关于函数的结论正确的是（ ）
A．的定义域为 B．的值域为
C． D．若，则的值是2
【答案】CCD
【分析】对A：根据解析式判断定义域；对B：结合一次函数、二次函数求出值域；对C：代值即可求出结果；对D：利用函数值分段讨论求出变量的值.
【详解】对A：由题意知函数的定义域为，故A错误；
对B：当时，；当时，；
则的值域为，故B正确；
对C：当时，，故C正确；
对D：当时，，解得，不合题意；
当时，，解得或（舍去）；
综上所述：若，则的值是2，故D正确；
CD．
变式7．（2024·甘肃酒泉·高一校考期中）已知函数
(1)求的值；
(2)求的值；
(3)当时，求的值域．
【答案】(1)；
(2)；
(3)．
【分析】（1）利用代入法进行求解即可；
（2）根据平方数的性质，运用代入法进行求解即可；
（3）根据二次函数和一次函数的单调性进行求解即可.
【详解】（1）；
（2）因为，
所以；
（3）当时，因为，所以；
当时，因为；
当时，因为，所以，
故当时，函数的值域是.
变式8．（2024·江西宜春·高三校考阶段练习）已知函数
(1)若，求实数的值；
(2)若，求实数的取值范围.
【答案】(1)或
(2)
【分析】（1）由分段函数，分别和解即可.
（2）由分段函数，分别和解即可.
【详解】（1）当时，，解得或（舍去）；
当时，，解得.
所以的值为或
（2）当时，，不符合题意，
，且，
解得.
所以的取值集合是.
【方法技巧与总结】
求分段函数的函数值
(1)分段函数求值，一定要注意所给自变量的值所在的范围，代入相应的解析式求得．
(2)像本题中含有多层“f”的问题，要按照“由里到外”的顺序，层层处理．
(3)已知函数值求相应的自变量值时，应在各段中分别求解．　
一、单选题
1．（23-24高一上·福建龙岩·阶段练习）函数的定义域是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】根据给定条件，利用函数有意义列出不等式组求解即得.
【详解】函数有意义，则，解得且，
所以所求定义域为.
2．（2024高三·北京·专题练习）下列四个图形中，不是函数图象的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】利用函数的定义一一分析选项即可.
【详解】对于A，B，C选项中的图象，每一个的取值均有唯一的一个值与其对应，
符合函数定义，则A，B，C中图象均为函数图象；
对于D选项，每一个的取值，都有两个值与其对应，不符合函数的定义，
则D中图象不是函数图象．
3．（23-24高二下·广东深圳·期中）已知，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】利用换元法可得答案.
【详解】令，则，
所以，
即.
.
4．（24-25高三上·湖南长沙·阶段练习）对于函数，部分与的对应关系如下表：
则值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据表格先求，再求的值.
【详解】由表格可得，，
所以.
.
5．（23-24高一下·全国·课堂例题）已知函数满足，若，则（ ）
A．2 B．4 C．8 D．16
【答案】C
【分析】利用赋值法，即令代入已知等式，即可求得答案.
【详解】由题意取，
可得
即.
.
6．（22-23高一上·江苏镇江·期中）如图所示，圆柱形水槽内放了一个圆柱形烧杯，向放在水槽底部的烧杯注水（流量一定），注满烧杯后，继续注水，直至注满水槽，水槽中水面上升高度与注水时间之间的函数关系，大致是（ ）
B．
C．D．
【答案】A
【分析】分析水槽内水面上升的高度的速度，可得问题答案.
【详解】开始注水时，水注入烧杯中，水槽内无水，高度不变；
烧杯内注满水后，继续注水，水槽内水面开始上升，且上升速度较快；
当水槽内水面和烧杯水面持平以后，继续注水，水槽内水面继续上升，且上升速度减慢.
7．（2024高三·北京·专题练习）下列各组中的两个函数是同一函数的是（ ）
①，；②，；③，；④，．
A．①② B．②③ C．③ D．③④
【答案】D
【分析】根据题意，结合同一函数的概念，逐个判定，即可求解.
【详解】对于①中，函数与，
则两个函数的定义域不同，所以不是同一函数；
对于②中，函数，与的对应关系不同，所以不是同一函数；
对于③中，函数，与，
可得两函数的的定义域相同，对应关系也相同，所以是同一函数；
对于④中，函数，与，
可得两函数的的定义域不同，所以不是同一函数．
综上，是同一函数的只有③．
．
8．（24-25高一上·广东梅州·开学考试）已知函数的定义域是，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】函数的定义域是，等价于不等式对任意恒不成立，分和两种情况求出实数的取值范围即可.
【详解】因为函数的定义域是，
所以不等式对任意恒不成立，
当时，，对任意恒不成立，符合题意；
当时，，即，解得：，
综上，实数的取值范围是;
二、多选题
9．（21-22高一·全国·课后作业）如果某函数的定义域与其值域的交集是，则称该函数为“交汇函数”．下列函数是“交汇函数”的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】CD
【分析】分别计算各选项函数的定义域与值域，再根据“交汇函数”的定义可判断各选项.
【详解】由“交汇函数”定义可知，“交汇函数”表示函数的定义域与值域的交集为，
A选项：的定义域，值域，
则，A选项错误；
B选项：的定义域，值域，
则，B选项正确；
C选项：的定义域，值域，
则，C选项错误；
D选项：的定义域，值域，
则，D选项正确；
D.
10．（23-24高一上·黑龙江齐齐哈尔·期中）若函数的值域为，则的可能取值为（ ）
A． B． C． D．0
【答案】CCD
【分析】对进行分类讨论，结合判别式求得的取值范围.
【详解】①时，，值域为，满足题意；
②时，若的值域为，
则；
综上，．
CD
11．（23-24高一上·山西·期中）已知一次函数满足，则的解析式可能为（ ）
A． B． C． D．
【答案】AD
【分析】根据题意，由待定系数法代入计算，即可得到结果.
【详解】设，则，
所以，解得或，
则或．
D.
三、填空题
12．（23-24高一上·上海长宁·期末）已知，若，则 .
【答案】或
【分析】分别令分段函数中的每一段解析式的函数值为列方程，由此解得的值.
【详解】由，得；
由， 得；
由，得（舍）；
综上或.
故答案为：或.
13．（2024·上海·高考真题）已知，求的的取值范围 .
【答案】
【分析】分与两段求解二次不等式可得.
【详解】根据题意知.
当时，,即，解得，则有；
当时，,即，，即时，不等式都不成立.
综上所述，的的取值范围为.
故答案为：.
14．（24-25高一上·全国·单元测试）函数的值域是 ．
【答案】
【分析】分离常数，求得值域.
【详解】，
因为，所以，所以值域为.
故答案为：.
四、解答题
15．（2024高一·全国·专题练习）已知，求的表达式
【答案】
【分析】在原式中用替换，得，与原式联立方程组，求解即可.
【详解】在原式中用替换，得，
于是有，
消去，得．
∴所求函数的表达式为.
16．（23-24高二下·陕西西安·期中）设．
(1)求的值；
(2)若，求t值.
【答案】(1)0
(2)或或
【分析】（1）根据分段函数的特征可计算；
（2）就的不同取值范围构建不同的方程后可求的值.
【详解】（1）.
（2）当时，，∴；
当时，，解得：；
当时，，∴，
综上所述：或或．
17．（23-24高一上·天津·期末）函数，
(1)若的解集是或，求实数，的值；
(2)当时，若，求实数的值；
(3)，若，求的解集.
【答案】(1)，
(2)
(3)答案见解析
【分析】（1）根据三个二次的关系可求参数的值.
（2）先求出，再根据代数式恒相等可求的值.
（3）原不等式即为，就不同情形分类讨论后可得不等式的解.
【详解】（1）不等式的解集为或，
，且的两根为，，
，，，.
（2），
得，.
（3），，
即，
（1）当时，
（2）当时，则，
①当时，；
②当时，若，即时，或 ，
若，即时， ；
若，即时，或 ；
综上所述：当时，不等式的解集为或；
当时，不等式的解集为；
当时，不等式的解集为或；
当时，不等式的解集为；
当时，不等式的解集为.
18．（24-25高三上·江苏盐城·开学考试）已知二次函数满足，且图像被轴截得的线段长度是.
(1)求的解析式；
(2)若，求的最大值.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）设出的解析式，然后利用待定系数法求得正确答案.
（2）利用基本不等式求得的最大值.
【详解】（1）设，
依题意，则，
由于，所以，
整理得，所以，
所以，
设方程的两个根为，
则，即，
解得，则，所以.
（2）若，则
，
当且仅当时等号不成立.
19．（23-24高一上·浙江杭州·期中）求下列函数的值域：
(1)
(2)
(3)
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）（3）根据题意结合基本不等式求值域；
（2）换元令，结合二次函数求值域.
【详解】（1）因为，则，
可得，
当且仅当，即时，等号不成立，
所以函数的值域为.
（2）令，则，
可得，
当时，等号不成立，
所以函数的值域为.
（3）因为，则，
可得，
当且仅当，即时，等号不成立，
即，所以函数的值域为.
20．（23-24高一上·贵州六盘水·期末）近年来，中美贸易摩擦不断，特别是美国对我国华为的限制．尽管美国对华为极力封锁，百般刁难，并不断加大对各国的施压，拉拢他们抵制华为，但这并没有让华为怯步．2023年8月30日，据华为官网披露，上半年华为营收3082.90亿元，上年同期为2986.80亿元，净利润为465.23亿元，上年同期为146.29亿元．为了进一步提升市场竞争力，再创新高，华为旗下某一子公司计划在2024年利用新技术生产某款新手机．通过市场分析，2024年生产此款手机（单位：千部）需要投入两项成本，其中固定成本为200万元，其它成本为（单位：万元），且假设每部手机售价0.65万元，全年生产的手机当年能全部售完．
(1)写出此款手机的年利润（单位：万元）关于年产量（单位：千部）的函数解析式；（利润=销售额-成本）
(2)根据（1）中模型预测2024年此款手机产量为多少（单位：千部）时，所获利润最大？最大利润是多少？
【答案】(1)
(2)产量100（千部），最大利润9080（万元）
【分析】（1）由已知条件，根据销售额和成本计算利润；
（2）由利润的函数解析式，结合函数性质和基本不等式，求最大值.
【详解】（1）由题意可得
即.
（2）当时，，
当时，取最大值，（万元）；
当时，，
，
（万元），当且仅当，即时，等号不成立，
因为，
故当年产量为100（千部）时所获利润最大，最大利润为9080（万元）.
21．（24-25高一上·全国·课后作业）已知函数，．
(1)作出，的图像；
(2)对任意，用表示、中的较小者，记作，请用图像法和解析法表示．
【答案】(1)答案见解析
(2)答案见解析
【分析】（1）根据绝对值的性质去绝对值，即可得函数表达式，进而根据一次函数的性质作出图象即可，
（2）根据的定义，即可结合函数图象求解.
【详解】（1）
图像如图．
（2）函数的图像如图．
表达式为
22．（23-24高三下·西藏拉萨·阶段练习）设函数.
(1)若，求实数的取值范围；
(2)当时，函数有两个零点，且满足，求实数的值.
【答案】(1).
(2)3
【分析】（1）由，代入函数得，再两边平方即可求解；
（2）根据，分析函数的单调性，并计算，当时，分别讨论和两种情况，并计算对应的.
【详解】（1）若，则，
即
两边平方，得，即，
解得，
所以实数的取值范围是.
（2）因为，
所以函数.
观察图象，知函数在上单调递减，
在和上单调递增，且，
①当时，.
由，解得；
②当时，，
此时，与矛盾，舍去.
综上，实数的值为3.
21世纪教育网(www.21cnjy.com)3.1.1函数及其表示方法
课程标准 学习目标
1、在初中用变量之间的依赖关系描述函数的基础上，用集合语言和对应关系刻画函数，建立完整的函数概念，体会集合语言和对应关系在刻画函数概念中的作用。了解构成函数的要素，能求简单函数的定义域和值域。 在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法（如图象法、列表法、解析法）表示函数，理解函数图象的作用。 3、通过具体实例，了解简单的分段函数，并能简单应用。 两个变量关系中提出函数概念. 用图像法表示函数 对函数的定义域、值域的计算。 函数定义域和应用数据的有效性。
知识点01函数的概念
（1）变量观点的定义
在一个变化过程中，数值发生变化的量称为变量；在一个变化过程中，如果有两个变量x与y，并且对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应，那么就称y是x的函数．
（2）集合观点的定义
一般地，给定两个非空实数集A与B，以及对应关系f，如果对于集合A中的每一个实数x，在集合B中都有唯一确定的实数y与x对应，则称f为定义在集合A上的一个函数，记作yf(x)，x∈A，其中x称为自变量，y称为因变量，自变量取值的范围(即数集A)称为这个函数的定义域，所有函数值组成的集合{y∈B|yf(x)，x∈A},称为函数的值域．
注：对函数概念的几点说明
(1)yf(x)是“y是x的函数”的数学表示，不能认为“y等于f与x的乘积”，应理解为：x是自变量，f是对应关系(可以是解析式、图像、表格或文字描述等).
(2)函数符号f(x)表示的对应关系与字母f无关，也可以用g，F，G等表示；同样，自变量x也可以用t，m，h等表示．
【即学即练1】（2024·新疆巴音郭楞·高一八一中学校考期中）如图图形，其中能表示函数的是（ ）
A． B．
C． D．
知识点02函数的三要素
（1）定义域
函数的定义域是函数yf(x)的自变量x的取值范围．在表示函数时，如果不会产生歧义，函数的定义域有时可以省略，这时就约定这个函数的定义域就是使得这个函数有意义的所有实数组成的集合．在实际问题中，函数的定义域还要受到自变量实际意义的制约．
（2）对应关系
对应关系f是函数的核心，它是对自变量x实施“对应操作”的“程序”或者“方法”．按照这一“程序”，从定义域A中任取一个x，可得到值域{y|yf(x)，x∈A}中唯一的y与之对应．同一“f”可以“操作”不同形式的变量．
（3）值域
函数的值域是函数值的集合，通常一个函数的定义域和对应关系确定了，那么它的值域也就随之确定了．
注：由于值域是由定义域和对应关系决定的，所以确定一个函数只需要两个要素：定义域和对应关系．即要检验给定的两个变量(变量均为数值)之间是否具有函数关系，只要检验：
(1)定义域和对应关系是否给出；
(2)根据给出的对应关系，自变量x在其定义域中的每一个值，是否都能确定唯一的函数值y与之对应．
【即学即练2】（2024·甘肃定西·高二统考开学考试）函数的定义域是（ ）
A． B．
C． D．
【即学即练3】（2024秋·全国·高一专题练习）求下列函数的值域．
(1)；
(2)，；
(3)；
(4).
知识点03同一个函数
一般地，如果两个函数的定义域相同，对应关系也相同(即对自变量的每一个值，两个函数对应的函数值都相等)，则称这两个函数就是同一个函数．
【即学即练4】（2024·甘肃酒泉·高一校考期中）下列各组函数是同一函数的是（ ）
①与. ②与. ③与. ④与.
A．①② B．①③ C．③④ D．①④
知识点04函数的表示方法
1.常用的函数的表示方法有三种：列表法、图像法和解析法，具体如下．
列表法 图像法 解析法(公式法)
定义 通过列出自变量与对应函数值的表来表示函数关系的方法． 用“图形”表示函数的方法． 在函数yf(x)(x∈A)中，f(x)是用代数式(或解析式)来表达的方法．
优点 不需要计算就可以直接看出与自变量的值相对应的函数值． 能直观、形象地表示出函数值的变化情况． 通过解析式可求出任意一个自变量所对应的函数值，且便于研究函数的性质．
缺点 列表法只能表示自变量取值为有限个的函数，且从表中很难看出函数的性质． 只能近似地求出自变量所对应的函数值，有时误差较大． 用解析式表示函数时容易漏掉定义域，而且对于一些实际问题，很难找到它的解析式．
2.函数的图像
（1）函数的图像
一般地，将函数yf(x)，x∈A中的自变量x和对应的函数值y，分别看成平面直角坐标系中点的横坐标与纵坐标，则满足条件的点(x，y)组成的集合F称为函数的图像，即
F{(x，y)|yf(x)，x∈A}．
（2）函数图像的作法
①函数图像的特征
函数图像既可以是连续的曲线，也可以是直线、折线、离散的点等．
②描点法作函数图像的三个步骤(注意函数的定义域)
③利用常见函数图像作出所求函数的图像
【即学即练5】（2024·高一课时练习）下图是某校高一(1)班三名同学在高一学年度六次数学测试的成绩及班级平均分表．

(1)选择合适的方法表示测试序号与成绩的关系；
(2)根据表示出来的函数关系对这三位同学的学习情况进行分析．
知识点05分段函数
（1）分段函数的定义
如果一个函数，在其定义域内，对于自变量的不同取值区间，有不同的对应方式，则称其为分段函数．
（2）分段函数的图像
分段函数有几段，它的图像就由几条曲线组成．在同一平面直角坐标系中，根据分段函数每段的定义区间和表达式依次画出图像，要注意接点处点的虚实，保证不重不漏．
注：(1)分段函数是一个函数，而不是几个函数．
(2)求分段函数的函数值的关键是分段归类，即自变量的取值属于哪个区间，就只能用那个区间上的解析式来进行计算．
(3)写分段函数的定义域时，区间端点应不重不漏．分段函数的定义域是各个自变量取值区间的并集．
【即学即练6】（2024·全国·高一专题练习）已知函数
(1)求,,的值;
(2)若,求实数的值;
(3)若,求实数的取值范围.
难点：数形结合利用图像求分段函数的最值
示例：求函数y|x＋1|＋|x－1|的最小值．
【题型1：函数的概念】
例1．（2024·高一课时练习）下列关系不是函数关系的是 （填序号）．
①乘坐出租车时，所付车费与乘车距离的关系；
②某同学学习时间与其学习成绩的关系；
③人的睡眠质量与身体状况的关系．
变式1．【多选】（2024·全国·高一专题练习）下列各图中，可能是函数图象的是（ ）
A． B．
C． D．
变式2．【多选】（2024·全国·高一专题练习）已知集合=，集合=，下列能表示从集合到集合的函数关系的是（ ）
A． B．
C． D．
变式3．（2024·高一课时练习）判断下列对应是不是从集合A到集合B的函数.
(1)，，对应法则f：对集合A中的元素取绝对值与B中元素对应；
(2)，，对应法则，，；
(3)，，对应法则，，；
(4)三角形，，对应法则f：对A中元素求面积与B中元素对应.
变式4.（2024·高一课时练习）下列变量与的关系式中，不能构成是的函数关系的是（ ）
A． B． C． D．
【方法技巧与总结】
函数关系的判断
(1)判断一个集合A到集合B的对应关系是不是函数关系的方法：①A，B必须都是非空数集；②A中任意一个数在B中必须有并且是唯一的实数和它对应．
注意　A中元素无剩余，B中元素允许有剩余．
(2)函数的定义中“任意一个x”与“有唯一确定的y”说明函数中两变量x，y的对应关系是“一对一”或者是“多对一”，而不能是“一对多”．　
【题型2：求函数的定义域】
（一）已知函数的解析式求定义域
例2．（2024·广西南宁·高一校考阶段练习）函数的定义域用区间表示为 .
变式1．（2024·宁夏石嘴山·高一石嘴山市第三中学校考阶段练习）函数的定义域为（ ）
A． B．
C． D．
变式2．（2024·新疆乌鲁木齐·高一校考期中）函数的定义域为（ ）
A． B．
C． D．
变式3.（2024·全国·高一课堂例题）函数的定义域是_______.
变式4.（2024·全国·高一课堂例题）函数的定义域为 _________.
变式5．（2024·全国·高一课堂例题）确定下列函数的定义域：
(1)；
(2)．
（二）抽象函数的定义域
例3．（2024·新疆乌鲁木齐·高一校考期中）若函数的定义域为，则函数的定义域是 ．
变式1．（2024·山东菏泽·高一菏泽一中校考期中）已知函数的定义域为，则的定义域为（ ）
A． B． C． D．
变式2.（2024·全国·高一专题练习）已知的定义域为，则的定义域为（ ）
A． B． C． D．
变式3．（2024·全国·高一专题练习）函数的定义域为，则的定义域为 .
变式4．（2024·重庆沙坪坝·高三重庆一中校考阶段练习）若函数的定义域为，则的定义域为（ ）
A． B． C． D．
变式5．（2024·江西鹰潭·高三贵溪市实验中学校考阶段练习）若函数的定义域是，则函数的定义域是 .
变式6．（2024·黑龙江大庆·高二肇州县第二中学校考阶段练习）已知函数的定义域为 则的定义域为
【方法技巧与总结】
求函数定义域的一般原则
求函数定义域时，要注意应用下列原则：
(1)如果f(x)是整式，那么函数的定义域是实数集R.
(2)如果f(x)是分式，那么函数的定义域是使分母不等于零的实数的集合．
(3)如果f(x)是偶次根式，那么函数的定义域是使根号内的式子不小于零的实数的集合．
(4)如果f(x)是由几部分构成的，那么函数的定义域是使各部分都有意义的实数的集合，也就是使各部分有意义的实数的集合的交集．
(5)如果f(x)是根据实际问题列出的，那么函数的定义域是使解析式本身有意义且符合实际意义的实数的集合．
(6)复合函数的定义域就是使所有式子都有意义的自变量的取值范围，注意相同的对应法则所作用对象的范围是一致的．
注意：定义域必须用集合或区间表示，若用区间表示数集，不能用“或”连接，而应用并集符号“∪”连接．　　
【题型3：同一函数】
例4.（2024·福建）下列各组函数中，表示同一函数的是（ ）
A．与 B．与
C．与 D．与
变式1．（2024·福建龙岩·高一福建省连城县第一中学校考阶段练习）下列选项中表示同一函数的是（ ）
A．与
B．
C．；
D．.
变式2．【多选】（2024·云南德宏·高一校考期中）下列四组函数中表示同一个函数的是（ ）
A．，
B．，
C．，
D．，
变式3．（2024·云南怒江·高一校考期中）下列各组函数：
①，；② ；
③，；④，；
⑤汽车匀速运动时，路程与时间的函数关系与一次函数．
其中表示相等函数的是 填上所有正确的序号．
变式4．【多选】（2024·江西·高一江西师大附中校考期中）中文“函数”一词，最早是由近代数学家李善兰翻译的，之所以这么翻译，他给出的原因是“凡此变数中函彼变数者，则此为彼之函数”，也即函数指一个量随着另一个量的变化而变化，下列选项中是同一个函数的是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
【方法技巧与总结】
判断同一函数的三个步骤和两个注意点
(1)判断同一函数的三个步骤
(2)两个注意点：
①在化简解析式时，必须是等价变形；②与用哪个字母表示无关．　
【题型4：根据解析式求函数值】
例5．（2024·全国·高一专题练习）已知函数，
(1)求的定义域；
(2)求，的值；
(3)当时，求的值.
变式1．（2024·浙江杭州·高一杭州市西湖高级中学校考阶段练习）已知函数
(1)求函数的定义域；
(2)求的值；
变式2．（2024·全国·高一课堂例题）已知定义域为R的函数．
(1)求，的值；
(2)求的值；
(3)求的值．
变式3.（2024·陕西·高三校联考阶段练习）已知函数，，则______，______．
变式4．（2024·广东东莞·高一东莞市东莞中学松山湖学校校考阶段练习）已知函数，若，则 .
变式5．（2024·陕西·高三校联考阶段练习）已知函数的定义域为，，且，则 .
【题型5：求函数的值域】
例6．（2024·全国·高一专题练习）作出下列函数的图象并求出其值域.
(1)；
(2)；
(3).
变式1．（2024·全国·高一专题练习）求函数的值域.
变式2．（2024·高一课时练习）作出下列函数的图象，并写出其值域．
(1)；
(2).
变式3．（2024·全国·高一专题练习）求下列函数的值域：
(1)；
(2)；
(3)（）；
(4).
变式4．（2024·高一课时练习）求下列函数的值域．
(1)；
(2)；
(3).
变式5．（2024·高一课时练习）求下列函数的值域．
(1)；
(2)；
(3)；
(4).
变式6．（2024·全国·高一课堂例题）求下列函数的值域：
(1)，；
(2)，；
(3)；
(4)；
(5)；
(6)；
(7)．
变式7．（2024·江苏南通·高三统考开学考试）已知函数，的值域是，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
变式8．【多选】（2024·海南·高一校考期中）函数的值域为，则下列选项中满足条件的实数为（ ）
A． B． C． D．
【方法技巧与总结】
求函数值域的常用方法
(1)观察法：对于一些比较简单的函数，其值域可通过观察法得到．
(2)配方法：是求“二次函数”类值域的基本方法．　　
(3)换元法：运用新元代换，将所给函数化成值域易确定的函数，从而求得原函数的值域．对于f(x)ax＋b＋(其中a，b，c，d为常数，且ac≠0)型的函数常用换元法．
(4)分离常数法：此方法主要是针对有理分式，即将有理分式转化为“反比例函数类”的形式，便于求值域.
【题型6：函数的表示方法】
例7．（2024·高一课时练习）某商场为反馈顾客，规定凡购买某品牌商品两件，赠儿童玩具一个，一顾客购买此品牌商品的件数为x件，获赠儿童玩具y个，分别用列表法、解析法、图象法将y表示成的函数．
变式1．（2024·浙江台州·高一校联考期中）已知函数，，，

(1)画出函数，的图象；
(2)，用表示，中的较小者，记为，请分别用图象法和解析法表示函数.
变式2．（2024·高一课时练习）下图所示为某市一天24小时内的气温变化图，根据图象回答下列问题.

(1)全天的最高气温、最低气温分别是多少？
(2)大约在什么时刻，气温为？
(3)大约在什么时刻内，气温在以上？
(4)变量Q是关于变量t的函数吗？
变式3．（2024·全国·高一专题练习）已知函数由以下表格给出，则等于 .
x 1 2 3 4
－1 1 2 1
变式4．（2024·高一课前预习）函数与的对应关系如下表
1 3 3
1 2 3
则的值为（ ）
A．0 B．3 C．1 D．－1
【方法技巧与总结】
理解函数的表示法应关注三点
(1)列表法、图像法、解析法均是函数的表示方法，无论用哪种方式表示函数，都必须满足函数的概念．
(2)判断所给图像、表格、解析式是否表示函数的关键在于是否满足函数的定义．
(3)函数的三种表示方法互相兼容或补充，许多函数是可以用三种方法表示的，但在实际操作中，仍以解析法为主．　
【题型7：求函数的解析式】
例8．【多选】（2024·全国·高一专题练习）设函数为一次函数，满足，则（ ）
A． B． C． D．
变式1．（2024·全国·高一专题练习）回答下面问题
(1)已知，求；
(2)已知函数是一次函数，若，求.
(3)已知，求的解析式；
(4)已知是一次函数，且满足，求的解析式.
变式2．（2024·全国·高一专题练习）（1）已知是二次函数，且满足，，求解析式；
（2）已知，求的解析式.
（3）若对任意实数x，均有，求的解析式.
变式3．（2024·全国·高一专题练习）（1）已知是二次函数，且，，求的解析式；
（2）已知函数的定义域为（0，＋∞），且，求的解析式．
变式4．（2024·四川成都·高一校考开学考试）（1）已知函数，求；
（2）已知，求.
变式5．（2024·全国·高一专题练习）（1）已知，求的解析式；
（2）已知，求函数的解析式；
（3）已知是二次函数，且满足，，求函数的解析式；
（4）已知，求的解析式．
（5）已知是定义在R上的函数，，且对任意的实数x，y都有，求函数的解析式．
【方法技巧与总结】
函数解析式的求法
(1)待定系数法：若已知函数的类型(如一次函数、二次函数)，可用待定系数法．
(2)换元法：已知复合函数f(g(x))的解析式，可用换元法，此时要注意新元的取值范围．
(3)配凑法：由已知条件f(g(x))F(x)，可将F(x)改写成关于g(x)的表达式，然后以x替代g(x)，便得f(x)的解析式．　　
(4)解方程法：已知f(x)与f或f(－x)之间的关系式，可根据已知条件再构造出另外一个等式组成方程组，通过解方程组求出f(x).
(5)赋值法：根据抽象函数的解析式的特征，进行对变量赋特殊值.
【题型8：分段函数的问题】
例9．（江苏省南通市2023-2024学年高一上学期10月质量监测数学试题）已知函数，则（ ）
A．8 B． C． D．
变式1．（2024·山西太原·高一校考阶段练习）已知函数，则 ．
变式2．（2024·江苏连云港·高一统考期中）已知函数，若，实数（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
变式3．（2024·宁夏银川·高三银川一中校考阶段练习）已知，满足，则的取值范围是 ．
变式4.（2024·高一课时练习）已知函数若，则实数________，________．
变式5．（2024·高一课时练习）已知函数则使不成立的的值组成的集合为 .
变式6．【多选】（2024·全国·高一专题练习）已知函数，关于函数的结论正确的是（ ）
A．的定义域为 B．的值域为
C． D．若，则的值是2
变式7．（2024·甘肃酒泉·高一校考期中）已知函数
(1)求的值；
(2)求的值；
(3)当时，求的值域．
变式8．（2024·江西宜春·高三校考阶段练习）已知函数
(1)若，求实数的值；
(2)若，求实数的取值范围.
【方法技巧与总结】
求分段函数的函数值
(1)分段函数求值，一定要注意所给自变量的值所在的范围，代入相应的解析式求得．
(2)像本题中含有多层“f”的问题，要按照“由里到外”的顺序，层层处理．
(3)已知函数值求相应的自变量值时，应在各段中分别求解．　
一、单选题
1．（23-24高一上·福建龙岩·阶段练习）函数的定义域是（ ）
A． B．
C． D．
2．（2024高三·北京·专题练习）下列四个图形中，不是函数图象的是（ ）
A． B．
C． D．
3．（23-24高二下·广东深圳·期中）已知，则（ ）
A． B．
C． D．
4．（24-25高三上·湖南长沙·阶段练习）对于函数，部分与的对应关系如下表：
则值为（ ）
A． B． C． D．
5．（23-24高一下·全国·课堂例题）已知函数满足，若，则（ ）
A．2 B．4 C．8 D．16
6．（22-23高一上·江苏镇江·期中）如图所示，圆柱形水槽内放了一个圆柱形烧杯，向放在水槽底部的烧杯注水（流量一定），注满烧杯后，继续注水，直至注满水槽，水槽中水面上升高度与注水时间之间的函数关系，大致是（ ）
B．
C．D．
7．（2024高三·北京·专题练习）下列各组中的两个函数是同一函数的是（ ）
①，；②，；③，；④，．
A．①② B．②③ C．③ D．③④
8．（24-25高一上·广东梅州·开学考试）已知函数的定义域是，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
9．（21-22高一·全国·课后作业）如果某函数的定义域与其值域的交集是，则称该函数为“交汇函数”．下列函数是“交汇函数”的是（ ）
A． B．
C． D．
10．（23-24高一上·黑龙江齐齐哈尔·期中）若函数的值域为，则的可能取值为（ ）
A． B． C． D．0
11．（23-24高一上·山西·期中）已知一次函数满足，则的解析式可能为（ ）
A． B． C． D．
三、填空题
12．（23-24高一上·上海长宁·期末）已知，若，则 .
13．（2024·上海·高考真题）已知，求的的取值范围 .
14．（24-25高一上·全国·单元测试）函数的值域是 ．
四、解答题
15．（2024高一·全国·专题练习）已知，求的表达式
16．（23-24高二下·陕西西安·期中）设．
(1)求的值；
(2)若，求t值.
17．（23-24高一上·天津·期末）函数，
(1)若的解集是或，求实数，的值；
(2)当时，若，求实数的值；
(3)，若，求的解集.
18．（24-25高三上·江苏盐城·开学考试）已知二次函数满足，且图像被轴截得的线段长度是.
(1)求的解析式；
(2)若，求的最大值.
19．（23-24高一上·浙江杭州·期中）求下列函数的值域：
(1)
(2)
(3)
20．（23-24高一上·贵州六盘水·期末）近年来，中美贸易摩擦不断，特别是美国对我国华为的限制．尽管美国对华为极力封锁，百般刁难，并不断加大对各国的施压，拉拢他们抵制华为，但这并没有让华为怯步．2023年8月30日，据华为官网披露，上半年华为营收3082.90亿元，上年同期为2986.80亿元，净利润为465.23亿元，上年同期为146.29亿元．为了进一步提升市场竞争力，再创新高，华为旗下某一子公司计划在2024年利用新技术生产某款新手机．通过市场分析，2024年生产此款手机（单位：千部）需要投入两项成本，其中固定成本为200万元，其它成本为（单位：万元），且假设每部手机售价0.65万元，全年生产的手机当年能全部售完．
(1)写出此款手机的年利润（单位：万元）关于年产量（单位：千部）的函数解析式；（利润=销售额-成本）
(2)根据（1）中模型预测2024年此款手机产量为多少（单位：千部）时，所获利润最大？最大利润是多少？
21．（24-25高一上·全国·课后作业）已知函数，．
(1)作出，的图像；
(2)对任意，用表示、中的较小者，记作，请用图像法和解析法表示．
22．（23-24高三下·西藏拉萨·阶段练习）设函数.
(1)若，求实数的取值范围；
(2)当时，函数有两个零点，且满足，求实数的值.
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