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4.6 两条平行线间的距离
第4章 相交线与平行线
A
B
连接两点的线段的长度叫两点间的距离.
M
从直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离.
N
a
回顾与思考
C.点到点的距离
A.两直线间的距离
B.点到直线的距离
你能用数学知识来解答现实生活中的活动吗？
测
量
跳
远
的
成
绩
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√
C.点到点的距离
A.两直线间的距离
B.点到直线的距离
你能用数学知识来解答现实生活中的活动吗？
测
量
掷铅球
的
成
绩
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√
C.点到点的距离
A.两直线间的距离
B.点到直线的距离
你能用数学知识来解答现实生活中的活动吗？
测
量
直跑道间
距
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√
某火车站一位铁路护路工人因有事出差，为了保证火车安全行驶，假设由你来顶替他工作，你应该怎样确定两条铁轨是平行的呢？
情境引入
活动1：请各位同学用直尺量一量自己的数学课本，它的宽度是多少？
你的直尺与课本的两边成什么角度？量在课本的哪个位置？大家量得的结果是一样的吗？
可以把直尺放在课本上任何一个位置，但必须保持直尺与课本的两边互相垂直，量得的结果是一样的．
两条平行线间的距离
与两条平行直线都垂直的直线，叫做这两条平行直线的公垂线，这时连接两个垂足的线段，叫做这两条平行直线的公垂线段．
概念学习
1. 如图 (1)，已知 m∥n，_____为公垂线；
2. 如图 (2)，已知 a∥b，_____为公垂线段.
m
n
a
b
a
b
A
B
E
C
D
F
┒
┒
b
CD
(1)
(2)
练一练
活动2：请任意画两条互相平行的直线 a、b，在直线 a 上，任意取两点 A、B. 然后量出点 A、B 到直线 b 的距离，并加以比较，你能得到什么结果？
AC = DB
合作探究
A
C
B
D
a
b
活动3：把一把三角尺的一条直角边沿着直线 b 移动，请观察三角尺的另一条直角边与直线 a 交点处的刻度，问：刻度有改变吗？
a
b
通过上述实验，你发现了什么？
两条平行线的所有公垂线段都 .
相等
几何语言：
因为 a∥b，AC，BD 是 a，b 的公垂线段，
所以 AC = BD.
C
D
定义：两条平行线的公垂线段的长度叫做两条平行线间的距离.
归纳总结
A
B
如图，设 l1∥l2，A，B 分别为 l1，l2 上的任意点，连接 AB，再过 A 作 AC⊥l2，垂足为 C，则 AC 是 l1，l2 的一条公垂线段，AB 是 l1，l2 之间
的一条斜线段. 因为 AC，AB 又分别
是点 A 到 l2 的垂线段和斜线段，所
以 AC ＜ AB（垂线段最短）.
猜想：两平行线上各取一点连接而成的所有线段中，公垂线段最短．
B
C
A
l1
l2
思考：你可以说明这个猜想是正确的吗？
在 a 上任取一点 A，过 A 作 AC⊥a，分别与 b，c 相交于 B，C 两点，则 AB，BC，AC 分别表示 a 与 b，b 与 c，a 与 c 的公垂线段.
AC = AB + BC = 5 + 2 = 7 (厘米).
A
b
c
B
C
a
5 厘米
2 厘米
解：
因此 a 与 c 的距离是 7 厘米.
典例精析
例1 如图，设 a，b，c 是三条互相平行的直线. 已知 a 与 b 的距离为 5 厘米，b 与 c 的距离为 2 厘米，求 a 与 c 的距离．
(1) 如图 1，
由 AB = 5 cm，BC = 2 cm，
得 AC = 7 cm.
A
B
C
变式：设 a、b、c 是三条互相平行的直线，已知 a 与 b 的距离为 5 cm，b 与 c 的距离为 2 cm，求 a 与 c 的距离.
解：有两种情况：
图 1
a
b
c
a
c
b
A
B
C
图 2
(2) 如图 2，
由 AB = 5 cm，BC = 2 cm， 得 AC = 3 cm.
综上可知，a 与 c 的距离为 7 cm 或 3 cm.
例2 如图，已知 AD∥BC，判断 与 是否相等，并说明理由.
解：相等. 理由如下：
所以△ABC 与 △DBC 的高相等.
因为 △ABC 与 △DBC 的底都是 BC，
所以 △ABC 与 △DBC 是同底等高三角形.
所以 S△ABC = S△DBC.
因为 AD∥BC，
练一练：如图，MN∥AB，P，Q 为直线 MN 上的任意两点，△PAB 和△QAB 的面积有什么关系？为什么？
△PAB 与△QAB 面积相等. 理由如下：
因为 MN∥AB，
作 PM⊥AB，QN⊥AB.
所以 PM = QN.
所以 S△PAB = S△QAB.
解：
A
B
M
N
Q
P
M
N
2. 点 P，M 分别在直线 AB 和直线 CD 上，且 AB∥CD，点 P 到 CD 的距离为 5 cm，则点 M 到 AB 的距离 ( 　)
A. 大于 5 cm B. 小于 5 cm
C. 等于 5 cm D. 不能确定
1. 两平行线的公垂线段有多少条？（ ）
A. 1 条 B. 2 条
C. 无数条 D. 一条也没有
C
C
3. 如图，a⊥c，b⊥c，c 交 a，b 于A、B 两点，d 交 a，b 于 C、D 两点，且 d 与 c 不平行，则 AB CD（填“＞”“=” “＜”）.
4. 如图，长方形 ABCD 的宽 AD 的长度是 2 cm，点 P 到 AB 的距离是 1.6 cm，那么点 P 到 CD 的距离是________.
＜
3.6 cm
6. 已知 a∥b∥c，a 与 b 之间的距离为 3 cm，b 与 c 之间的距离为 4 cm，则 a 与 c 之间的距离为　　　cm.
5. 如图，已知直线 MN∥PQ，BC = 4 cm，若△ABC 的面积为 6 cm ，则平行线 MN，PQ 的距离是　　 cm.
3
7 或 1
7.如图是山坡上两棵树,你能量出他们之间的距离吗
如图1，MN∥AB，P、Q 为直线 MN 上的任意两点，△PAB 和△QAB 的面积相等吗？为什么？
M P Q N
2. 如图2，MN∥AB，P 是 MN 上的一动点，S△PAB = a cm2. P 沿 MN 的方向每次移动 1 cm，当它移动 10 cm 时得到△P1AB，那么△P1AB 的面积是多少？
A B
图1
M P N
P1
A B
图2

a cm2
拓展提升
相等
a cm2
两条平行线间的距离
概念
性质
公垂线
公垂线段
平行线间的距离
两条平行线的公垂线段都相等

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