资源简介

目 录
第一章 数与式/1
第二章 方程与不等式/7
第三章 函数/15
第四章 三角形/19
第五章 四边形/29
第六章 图形的变化/30
第七章 圆/32
第八章 统计与概率/36 填空压轴/46
阅读与思考/48 函数压轴/58
几何压轴/72
第一章 数与式
第 1 节 实数
1.（2024 山西第 1 题） 中国空间站位于距离地面约 400 km 的太空环境中 .由 于没有大气层保护，在太阳光线直射下，空间站表面温度可高于零上 150 ℃ , 其背阳面温度可低于零下 100 ℃.若零上 150 ℃记作+150 ℃ , 则零下 100 ℃ 记作 ( )
A. +100 ℃ B. -100 ℃ C. +50 ℃ D. -50 ℃
2. (2023 山西第 1 题） 计算（-1） ×（-3）的结果为 ( )
A. 3 B. 1 C. -3 D. -4
3. (2023 山西第 1 题）山西是全国电力外送基地，2022 年山西省全年外送电量达 到 1 464 亿千瓦时，同比增长 18.55%.数据 1 464 亿千瓦时用科学记数法表示 为 ( )
A. 1.464 × 108 千瓦时 B. 1 464 × 108 千瓦时 C. 1.464 × 1011 千瓦时 D. 1.464 × 1012 千瓦时
4.（2022 山西第 1 题）-6 的相反数是 ( )
A. 6 B.16 C. -16 D. -6
5.（2022 山西第 3 题）粮食是人类赖以生存的重要物质基础. 2021 年我国粮食
总产量再创新高，达 68 285 万吨.该数据可用科学记数法表示为 ( )
A. 6.828 5 × 104 吨 B. 68 285 × 104 吨
C. 6.828 5 × 107 吨 D. 6.828 5 × 108 吨
6.（2021 山西第 1 题）计算-2+8 的结果是 ( )
A ．-6 B ．6 C ．-10 D ．10
1
7 ．（2021 山西第 4 题）《中国核能发展报告 2021》蓝皮书显示，2020 年我国核 能发电量为 3662.43 亿千瓦时，相当于造林 77. 14 万公顷．已知 1 公顷 = 104 平
方米，则数据 77. 14 万公顷用科学记数法表示为 ( )
A ．77. 14×104 平方米 B ．7.714×107 平方米
C ．77. 14×108 平方米 D ．7.714×109 平方米
8 ．（2020 山西第 1 题）计算（-6） ÷（- ）的结果是 ( )
A . ﹣ 18 B ．2 C ．18 D . ﹣2
9.（2019 山西第 4 题）下列二次根式是最简二次根式的是 ( )
A ． B ． C ． D .
10.（2019 山西第 1 题）-3 的绝对值是 ( )
A ．3 B ． C ． D ．-3
11．（2019 山西第7 题）五台山景区空气清爽，景色宜人．“五一 ”小长假期间 购票进山游客 12 万人次，再创历史新高．五台山景区门票价格旺季 168 元/人．以 此计算，“五一 ”小长假期间五台山景区进山门票总收入用科学记数法表示( )
A ．2.016×108 元 B ．0.2016×107 元
C ．2.016×107 元 D ．2016×104 元
12.（2024 山西第 11 题）比较大小： ·6 （填“> ”“< ”或“= ”）2.
13.（2023 山西第 11 题）计算：
14 ．（2022 山西第 11 题）计算： 的结果为 .
15 ．（2021 山西第 11 题）计算： ·12 + -27 = .
16 ．（2020 山西第 11 题）计算： .
2
(
3
(
2
,
)17.（2024 山西第 16 题（1））计算：（-6） × 1 - |( 1 ) -2 + [（-3） + （-1）].
18.（2023 山西第 16 题（1））计算： - 8 ×（- ）2 - （-3 + 5） × 2-1.
19 ．（2022 山西第 16 题（1））计算：（-3）2 ×3﹣1+（-5+2）+|-2|.
20 ．（2021 山西第 16 题（1））计算：（-1）4 × |-8|+（-2）3 × ( ) 2 .
21 ．（2020 山西第 16 题）（1）计算：（-4）2 ×（- ）3 -（-4+1）.
22 ．（2019 山西第 16 题（1）计算： 27 +（- ）﹣2-3tan60 °+ ( π - s2 ）0 .
第 2 节 整式
23.（2024 山西第 3 题）下列运算正确的是 ( )
A. 2m + n = 2mn B. m6 ÷ m2 = m3
C.（-mn）2 = -m2n2 D. m2 · m3 = m5
24.（2023 山西第 3 题）下列运算正确的是 ( )
A. a2 ·a3 = a6 B. （-a3b）2 = -a6b2 C. a6 ÷a3 = a2 D. （a2 ）3 = a6
25 ．（2021 山西第 3 题）下列运算正确的是 ( )
A ．（-m2n）3 = -m6n3 B ．m5-m3 = m2
C ．（m+2）2 = m2+4 D ．（12m4-3m） ÷3m = 4m3
26 ．（2020 山西第 3 题）下列运算正确的是 ( )
A ．3a+2a = 5a2 B ．-8a2 ÷4a = 2a
C ．（-2a2 ）3 = -8a6 D ．4a3 3a2 = 12a6
27 ．（2019 山西第 2 题）下列运算正确的是 ( )
A ．2a+3a = 5a2 B ．（a+2b）2 = a2+4b2
C ．a2 a3 = a6 D ．（-ab2 ）3 = -a3b6
3
28.（2023 山西第 16 题）化简：x（x + 2）+ （x + 1）2 - 4x.
第 3 节 分式
(
1
6
)29.（2022 山西第 7 题）化简 的结果是 ( )
A ． B ．a-3 C ．a+3 D .
30 ．（2019 山西第 11 题）化简- - - 的结果是 . 31.（2024 山西第 ）化简：
32.（2020 山西第 16 题（2））下面是小彬同学进行分式化简的过程，请认真阅 读并完成相应任务.
x2 - 9 2x +1
第二步
(
2
(
x
+
3
)
-
2
(
x
+
3
)
…第三步
)= 2(x - 3) 2x +1
第四步 第五步 第六步
任务一：填空：
① 以 上 化 简 步 骤 中 ， 第 步 是 进 行 分 式 的 通 分 ， 通 分 的 依 据 是 ．或填为 ；
②第 步开始出现错误，这一步错误的原因是 ；
4
任务二：请直接写出该分式化简后的正确结果；
任务三：除纠正上述错误外，请你根据平时的学习经验，就分式化简时还需 要注意的事项给其他同学提一条建议.
规律探索
33.（2023 山西第 12 题）如图是一组有规律的图案，它由若干个大小相同的圆片 组成．第 1 个图案中有 4 个白色圆片，第 2 个图案中有 6 个白色圆片，第 3 个图案中有 8 个白色圆片，第 4 个图案中有 10 个白色圆片，…依此规律，第 n 个图案中有 个白色圆片．（用含 n 的代数式表示）
34.（2020 山西第 12 题）如图是一组有规律的图案，它们是由边长相等的正三角 形组合而成的，第 1 个图案有 4 个三角形，第 2 个图案有 7 个三角形，第 3 个图案有 10 个三角形……按此规律 摆下去，第 n 个图案有 个三角形. （用含n 的代数式表示）
5
数与式 参考答案：
1.B 2.A 3. C 4. A 5.D 6.B 7.D 8.C 9.D 10.A 11.C
12. ＞ 13.3 14. 3 15. 5 16. 5
17.解：原式 = -2 - 4 + （-4） = -10.
18.解：原式 = 8 × = 2 - 1 = 1.
19.解： 原式 = 9× +2 = 3+ +2 = 2. 20.解:原式=1×8-8× = 8-2 = 6.
21.解：原式 = 16× +3 = -2 + 3 = 1. 22.解：原式 = 3 + 4 - 3 + 1 = 5.
23.D 24.D 25. A 26.C 27. D
28. 解：原式 = x2 + 2x + x2 + 2x + 1 - 4x = 2x2 + 1.
29. D 30.
31.解：原式 =
32.解:任务一: 三；分式的基本性质；分式的分子分母都乘（或除以）同一个不 为 0 的整式，分式的值不变；五；括号前面是“- ”，去掉括号后，括号里面的 第二项没有变号.
任务二 .
任务三:答案不唯一，如：分式的混合运算，一般按常规运算顺序，但有时应先 根据题目的特点，运用乘法的运算律运算，会简化运算过程.
33. （2n + 2） 34. （3n + 1）
6
第二章 方程与不等式
第 4 节 方程（组）的概念及解法
1.（2019 山西第 8 题）一元二次方程 x2 - 4x - 1 = 0 配方后可化为 ( )
A.（x + 2）2= 3 B.（x + 2）2= 5
C.（x -2）2= 3 D.（x -2）2= 5
2 ．（2022 山西第 16 题（2））解方程组◆ 3 ．（2019 山西第 16 题（2））解方程组, ◆ 4.（2023 山西第 17 题 ·7 分）解方程 .
第 5 节 方程（组）的实际应用
5.（2020 山西第 14 题）如图是一张长 12 cm 、宽 10 cm 的矩形铁皮，将其剪去 两个全等的正方形和两个全等的矩形，剩余部分（阴影部分）可制成底面积是 24 cm 2 的有盖的长方体铁盒，则剪去的正方形的边长为 cm.
6.（2019 山西第 13 题）如图，在一块长 12 m ，宽 8 m 的矩形空地上，修建同样 宽的两条互相垂直的道路（两条道路各与矩形的一条边平行），剩余部分栽种花 草，且栽种花草的面积为 77 m2 ，设道路的宽为 x m ，则根据题意，可列方程 为 .
7
7. （2024 山西第 19 题 ·7 分）当下电子产品更新换代速度加快，废旧智能手机 数量不断增加 . 科学处理废旧智能手机，既可减少环境污染，还可回收其中的 可利用资源.据研究，从每吨废旧智能手机中能提炼出的白银比黄金多760 克. 已 知从 2.5 吨废旧智能手机中提炼出的黄金，与从 0.6 吨废旧智能手机中提炼出的 白银克数相等，求从每吨废旧智能手机中能提炼出黄金与白银各多少克.
8.（2022 山西第 18 题 ·7 分）2022 年我国已成为全球最大的电动汽车市场，电 动汽车在保障能源安全、改善空气质量等方面较传统汽车都有明显优势.经过对 某款电动汽车和某款燃油车的对比调查发现，电动汽车平均每公里的充电费比燃 油车平均每公里的加油费少 0.6 元.若充电费和加油费均为 200 元时，电动汽车 可行驶的总路程是燃油车的 4 倍，求这款电动汽车平均每公里的充电费.
9.（2021 山西第 17 题 ·6 分）2021 年是中国共产党成立 100 周年，在 7 月 日历 表上可以用一个方框圈出四个数（如图所示），若圈出的四个数中，最小数与最 大数的乘积为 65 ，求这个最小数. （请用方程知识解答）
8
10.（2021山西第18题 ·7分）太原武宿国际机场简称“太原机场 ”，是山西省开 通的首条定期国际客运航线.游客从太原某景区乘车到太原机场，有两条路线可 供选择.路线一：走迎宾路经太榆路全程是25千米，但交通比较拥堵.路线二：走
太原环城高速全程是30千米，平均速度是路线一的倍，因此到达太原机场的时
间比走路线一少用7分钟.求走路线一到达太原机场需要多长时间.
11.（2020 山西第 17 题 ·6 分）2020 年 5 月份，省城太原开展了“活力太原 ·乐 购晋阳 ”消费暖心活动，本次活动中的家电消费券单笔交易满 600 元立减 128 元（每次只能使用一张）.某品牌电饭煲按进价提高 50%后标价，若按标价的八 折销售，某顾客购买该电饭煲时，使用一张家电消费券后，又付现金 568 元.求 该电饭煲的进价.
12.（2020 山西第 21 题（2） ·5 分）经实践调查，一个智能闸机的平均检票速 度是一个人工检票口平均检票速度的 2 倍，180 人的团队通过一个智能闸机口比 通过一个人工检票口可节约 3 分钟，求一个智能闸机平均每分钟检票通过的人 数.
第 6 节 不等式（组）及其实际应用
(
〔
2
x
+
1
≥
3,
l
4
x
-
1
<
7.
)13.（2022山西第5题）不等式组{ 的解集为 ( )
9
A. x ≥ 1 B. x < 2 C. 1 ≤ x < 2 D. x <
14.（2020 山西第 6 题）不等式组{l〔x->-, 的解集是 ( )
A．x＞5 B ．3＜x＜5 C．x＜5 D．x＞-5
15.（2019 山西第 6 题）不等式组{l〔 -- ,4 的解集是 ( )
A．x＞4 B．x＞-1 C ．-1＜x＜4 D．x＜-1
16.（2022 山西第 14 题）某品牌护眼灯的进价为 240 元，商店以 320 元的价格 出售. “五一 ”期间，商店让利于顾客，计划以利润率不低于 20%的价格降价出 售，则该护眼灯最多可降价 元.
17.（2021 山西第 16 题（2））下面是小明同学解不等式的过程，请认真阅读并 完成相应的任务.
解：2（2x - 1）＞3（3x-2）-6……第一步
4x-2＞9x-6-6……第二步 4x-9x＞-6-6+2……第三步 -5x＞-10……第四步
x＞2……第五步
任务一：填空：①以上解题过程中，第二步是依据 （运算律）进行变 形的；②第 步开始出现错误，这一步错误的原因是 ；
任务二：请直接写出该不等式的正确解集.
10
18.（2024 山西第 17 题 ·7 分）为加强校园消防安全，学校计划购买某种型号的 水基灭火器和干粉灭火器共 50 个.其中水基灭火器的单价为 540 元/个，干粉灭火 器的单价为 380 元/个.若学校购买这两种灭火器的总价不超过 21 000 元，则最多 可购买这种型号的水基灭火器多少个？
19.（2023 山西第 19 题 ·9 分）风陵渡黄河公路大桥是连接山西、陕西、河南三 省的交通要塞．该大桥限重标志牌显示，载重后总质量超过 30 吨的车辆禁止通 行．现有一辆自重 8 吨的卡车，要运输若干套某种设备，每套设备由 1 个 A 部 件和 3 个 B 部件组成，这种设备必须成套运输．已知 1 个 A 部件和 2 个 B 部件 的总质量为 2.8 吨，2 个 A 部件和 3 个 B 部件的质量相等.
（1）求 1 个 A 部件和 1 个 B 部件的质量各是多少.
（2）该卡车要运输这种成套设备通过此大桥，一次最多可运输多少套这种设备.
11
方程与不等式 参考答案：
1.D
2.①+ ②得，3x ＝9， ∴x ＝3，
将 x ＝3 代入②得：3+y ＝6， ∴y ＝3，
∴原方程组的解为
3.（2）①+ ②得，4x＝-8， ∴x＝-2，
把 x＝-2 代入①得，-6-2y＝-8， ∴y ＝1，
4.原方程可化为
方程两边同乘 2（x - 1），得 2 + 2（x - 1）= 3.
解得 .
检验：当 x = ∴原分式方程的解为 .
5. 2 6.（12 - x）（8 - x）＝77
7. 解：设从每吨废旧智能手机中能提炼出黄金 x 克，白银 y 克.
根据题意得 解得
答：从每吨废旧智能手机中能提炼出黄金 240 克，白银 1 000 克.
12
8.解：设这款电动汽车平均每公里的充电费为 x 元.
根据题意得 .
解得 x = 0.2.
经检验，x = 0.2 是原方程的根.
答：这款电动汽车平均每公里的充电费为 0.2 元. 9.解：设这个最小数为 x.
根据题意得 x（x + 8）= 65.
解得 x1 = 5 ，x2 = -13（不符合题意，舍去）. 答：这个最小数为 5.
10.解：设走路线一到达太原机场需要 x 分钟.
根据题意得 ，解得x = 25.
经检验，x = 25 是原方程的解.
答：走路线一到达太原机场需要 25 分钟. 11.解：设该电饭煲的进价为 x 元.
根据题意得（1 + 50%）x ·80% -128 = 568.解得 x = 580. 答：该电饭煲的进价为580 元.
12.解：设一个人工检票口平均每分钟检票通过的人数为 x 人.
根据题意得 .
解得 x = 30.
经检验，x =30 是原方程的根. 当 x = 30 时，2x = 60.
答：一个智能闸机平均每分钟检票通过的人数为 60 人.
13
13.C 14.A 15.C 16.32
17.任务一：乘法分配律（或分配律） 五 不等式两边都除以-5 ，不等号
的方向没有改变（或不符合不等式的性质 3）. 任务二：x < 2.
18.解：设购买这种型号的水基灭火器 x 个. 根据题意得 540x + 380（50 - x）≤ 21 000. 解得 x ≤ 12.5.
因为 x 为整数，且 x 取最大值，所以 x = 12. 答：最多可购买这种型号的水基灭火器 12 个.
19.解：（1）设 1 个 A 部件的质量为 x 吨，1 个 B 部件的质量为y 吨，
由题意得 2.8, 解得
答：1 个 A 部件的质量为 1.2 吨，1 个 B 部件的质量为 0.8 吨. （2）设该卡车一次可运输 m 套这种设备通过此大桥.
根据题意得（1.2 + 0.8 × 3）m + 8 ≤ 30，
解得
.
∵m 为整数，且 m 取最大值， ∴m = 6.
答：该卡车一次最多可运输 6 套这种设备通过此大桥.
14
第三章 函数
第 7 节 平面直角坐标系与函数总体认识
1.（2021 山西第 12 题）如图是一片枫叶标本，其形状呈“掌状五裂型 ”，裂片 具有少数突出的齿.将其放在平面直角坐标系中，表示叶片“顶部 ”A，B 两点的 坐标分别为（-2 ，2），（-3 ，0），则叶杆“底部 ”点 C 的坐标为 .
第 8 节 函数的概念与表达式的确定
2.（2021 山西第 10 题）抛物线的函数表达式为y = 3（x - 2）2+ 1 ，若将 x 轴 向上平移 2 个单位长度，将y 轴向左平移 3 个单位长度，则该抛物线在新的平面 直角坐标系中的函数表达式为 ( )
A. y = 3（x + 1）2+ 3 B. y = 3（x - 5）2+ 3
C. y = 3（x - 5）2- 1 D. y = 3（x + 1）2- 1
3.（2019 山西第 14 题）如图，在平面直角坐标系中，点 O 为坐标原点，菱形 ABCD 的顶点 B 在 x 轴的正半轴上，点 A 的坐标为（-4，0），点 D 的坐标为（-1，4），
反比例函数 的图象恰好经过点 C，则 k 的值为 .
第 9 节 函数的图象与性质
4.（2024 山西第 6 题）已知点 A（x1 ，y1 ），B（x2 ，y2 ）都在正比例函数 y = 3x
的图象上，若 x1 < x2，则 y1 与 y2 的大小关系是 ( )
A. y1 > y2 B. y1 < y2 C. y1 = y2 D. y1 ≥ y2
5.（2023 山西第 8 题）已知 A（-2，a），B（-1，b），C（3，c）都在反比例函
数 的图象上，则 a、b、c 的关系是 ( )
15
A. a < b < c B. b < a < c C. c < b < a D. c < a < b
6.（2021 山西第 5 题）已知反比例函数 ，则下列描述不正确的是 ( )
A.图象位于第一、第三象限 B.图象必经过点（4 ， ）
C.图象不可能与坐标轴相交 D.y 随 x 的增大而减小
7.（2020 山西第 7 题）已知点 A（x1 ，y1 ），B（x2 ，y2 ），C（x3 ，y3 ）都
在反比例函数 的图象上，且 x1 < x2 < 0 < x3 ，则y1 ，y2 ，y3 的
大小关系是 ( )
A. y2 > y1 > y3 B. y3 > y2 > y1
C. y1 > y2 > y3 D. y3 > y1 > y2
第 10 节 函数的实际应用
8.（2023 山西第 9 题）生物学研究表明，某种蛇在一定生长阶段，其体长 y（cm） 是尾长x （cm）的一次函数，部分数据如下表所示，则 y 与 x 之间的关系式为 ( )
A. y = 7.5x + 0.5 B. y = 7.5x - 0.5 C. y = 15x D. y = 15x + 45.5
9.（2023 山西第 6 题）一种弹簧秤最大能称不超过 10kg 的物体，不挂物体时弹 簧的长为 12 cm，每挂重 1kg 物体，弹簧伸长 0.5 cm，在弹性限度内，挂重后弹
簧的长度 y（cm）与所挂物体的质量x（kg）之间的函数关系式为 ( )
A．y＝ 12﹣0.5x B．y＝ 12 + 0.5x C．y＝ 10 + 0.5x D．y＝0.5x
16
10.（2024 山西第 13 题）机器狗是一种模拟真实犬只形态和部分行为的机器装置， 其最快移动速度 v（m/s）是载重后总质量 m（kg）的反比例函数，已知一款机 器狗载重后总质量 m = 60 kg 时，它的最快移动速度 v = 6 m/s；当其载重后总 质量 m = 90 kg 时，它的最快移动速度 v = m/s.
11.（2022 山西第 12 题）根据物理学知识，在压力不变的情况下，某物体承受 的压强p（Pa）是它的受力面积 S（m 2 ）的反比例函数，其函数图象如图所示. 当 S = 0.25 m 2 时，该物体承受的压强p 的值为 Pa.
12.（2020 山西第 9 题）竖直上抛物体离地面的高度h（m ）与运动时间 t （s） 之间的关系可以近似地用公式 h = -5t2 + v0t + h0 表示，其中 h0 （m ）是物体 抛出时离地面的高度，v0 （m/s）是物体抛出时的速度.某人将一个小球从距地 面 1.5 m 的高处以 20 m/s 的速度竖直向上抛出，小球达到的离地面的最大高度
为 ( )
A. 23.5 m B. 22.5 m C. 21.5 m D. 20.5 m
13.（2019 山西第9 题）北中环桥是省城太原的一座跨汾河大桥（如图 1），它 由五个高度不同、跨径也不同的抛物线型钢拱通过吊杆，拉索与主梁相连.最高 的钢拱如图 2 所示，此钢拱（近似看成二次函数的图象 — 抛物线）在同一竖直 平面内，与拱脚所在的水平面相交于 A ，B 两点.拱高为 78 米（即最高点 O 到 AB 的距离为 78 米），跨径为 90 米（即 AB = 90 米），以最高点 O 为坐标原点， 以平行于 AB 的直线为 x 轴建立平面直角坐标系，则此抛物线型钢拱的函数表达 式为 ( )
(
14
.（
2019
山西
19
题
8
分）某游泳馆推出了两种
收费方式.
)A.y = C.y = D.y = -
方式一：顾客先购买会员卡，每张会员卡 200 元，仅限本人一年内使用，凭卡游 泳，每次游泳再付费30 元.
方式二：顾客不购买会员卡，每次游泳付费 40 元.
设小亮在一年内来此游泳馆的次数为 x 次，选择方式一的总费用为y1（元），选 择方式二的总费用为y2（元）.
（1）请分别写出y1 ，y2 与 x 之间的函数表达式.
（2）小亮一年内在此游泳馆游泳的次数 x 在什么范围时，选择方式一比方式二 省钱？
17
函数参考答案：
1.（2 ，-3） 2. C 3. 16
4.B 5. B 6. D 7. A 8.A 9. B 10.4 11. 400 12. C
13. B
14. 解：（1） y1 = 30x + 200 . y2 = 40x .
（2）由 y1 < y2 ，得 30x + 200 < 40x . 解得 x > 20 . ∴当 x > 20 时，选择方式一比方式二省钱.
18
第四章 三角形
第 11 节 几何图形初步
1.（2024 山西第 5 题）一只杯子静止在斜面上，其受力分析如图所示，重力 G 的方向竖直向下，支持力 F1 的方向与斜面垂直，摩擦力 F2 的方向与斜面平行.
若斜面的坡角α = 25 ° , 则摩擦力 F2 与重力G 方向的夹角β 的度数为 ( )
A. 155 ° B. 125 ° C. 115 ° D. 65 °
2.（2023 山西第 1 题）如图，一束平行于主光轴的光线经凸透镜折射后，其折射 光线与一束经过光心 O的光线相交于点 P，点 F为焦点.若∠1= 155 ° , ∠2= 30 ° , 则∠3 的度数为 ( )
A. 45 ° B. 50 ° C. 55 ° D. 60 °
3.（2023 山西第 10 题）蜂巢结构精巧，其巢房横截面的形状均为正六边形 .如 图是部分巢房的横截面图，图中 7 个全等的正六边形不重叠且无缝隙，将其放 在平面直角坐标系中，点 P，Q，M 均为正六边形的顶点.若点 P，Q 的坐标分别 为（-2 · , 3），（0 ，-3），则点 M 的坐标为 ( )
A.（3 · , -2） B. （3 V3 ，2） C. （2 ，-3 · ) D. （-2 ，-3 · )
4.（2022 山西第 6 题）如图，Rt△ABC 是一块直角三角板，其中∠C = 90 ° , ∠BAC = 30 °.直尺的一边DE 经过顶点A.若DE∥CB，则∠DAB 的度数为 ( )
A. 100 ° B. 120 ° C. 135 ° D. 150 °
19
5.（2019 山西第 5 题）如图，在△ABC 中，AB = AC， ∠A = 30 ° , 直线 a∥b， 顶点 C 在直线b 上，直线 a 交 AB 于点 D ，交 AC 于点 E.若∠1 = 145 ° , 则∠2 的度数是 ( )
A. 30° B. 35° C. 40° D. 45°
6.（2018 山西第 12 题）图 1 是我国古代建筑中的一种窗格，其中冰裂纹图案象 征着坚冰出现裂纹并开始消融，形状无一定规则，代表一种自然和谐美.图 2 是 从图1 冰裂纹窗格图案中提取的由五条线段组成的图形，则∠1+ ∠2+ ∠3+ ∠ 4 + ∠5 = .
第 12 节 全等三角形
7.（2022 山西第 17 题 ·8 分）如图，在矩形 ABCD 中，AC 是对角线.
实践与操作：（1）利用尺规作线段 AC 的垂直平分线，垂足为 O ，交边 AD 于点 E，交边 BC 于点 F. （要求：尺规作图并保留作图痕迹，不写作法，标明字母） 猜想与证明：（2）试猜想线段 AE 与 CF 的数量关系，并加以证明.
20
8.（2019 山西第 17 题 ·7 分）如图，点 B ，D 在线段 AE 上，AD = BE，AC ∥ EF， ∠C = ∠F. 求证：BC = DF.
第 14 节 相似三角形
9.（2024 山西第 12 题）黄金分割是汉字结构最基本的规律 . 借助如图的正方形 习字格书写的汉字“晋 ”端庄稳重、舒展美观 . 已知一条分割线的端点 A，B 分
别在习字格的边 MN，PQ 上，且 AB∥NP ，“晋 ”字的笔画“、”的位置在 AB
的黄金分割点 C 处，且 .若 NP = 2 cm ，则 BC 的长为 cm.
（结果保留根号）
10.（2022 山西第4 题）神奇的自然界处处蕴含着数学知识.动物学家在鹦鹉螺 外壳上发现，其每圈螺纹的直径与相邻螺纹直径的比约为 0.618.这体现了数学中 的 ( )
A.平移 B.旋转 C.轴对称 D.黄金分割
11.（2020 山西第 5 题）泰勒斯是古希腊时期的思想家、科学家、哲学家，他最 早提出了命题的证明.泰勒斯曾通过测量同一时刻标杆的影长、标杆的高度、金
字塔的影长，推算出金字塔的高度，这种测量原理运用了我们所学的 ( )
A.图形的平移 B.图形的旋转 C.图形的轴对称 D.图形的相似
21
第 15 节 锐角三角函数及其应用
12.（2021 山西第 14 题）太原地铁 2 号线是山西省第一条开通运营的地铁线路， 于 2020 年 12 月 26 日开通.如图是该地铁某站扶梯的示意图，扶梯 AB 的坡度 i = 5 ∶ 12（i 为铅直高度与水平宽度的比）. 王老师乘扶梯从扶梯底端 A 以 0.5 米/ 秒的速度用时 40 秒到达扶梯顶端 B ，则王老师上升的铅直高度 BC 为 米.
13.（2024 山西第 20 题 ·7 分）
研学实践：为重温解放军东渡黄河“红色记忆 ”，学校组织研学活动. 同学们来 到毛主席东渡黄河纪念碑所在地，在了解相关历史背景后，利用航模搭载的 3D 扫描仪采集纪念碑的相关数据.
数据采集：如下图，点 A 是纪念碑顶部一点，AB 的长表示点 A 到水平地面的距 离.航模从纪念碑前水平地面的点 M 处竖直上升，飞行至距离地面 20 米的点 C 处时，测得点 A 的仰角∠ACD= 18.4 ° ; 然后沿 CN 方向继续飞行，飞行方向 与水平线的夹角∠NCD= 37 ° , 当到达点 A 正上方的点 E 处时，测得 AE = 9 米……
数据应用：已知图中各点均在同一竖直平面内，E ，A ，B 三点在同一直线上.请 根据上述数据计算纪念碑顶部点 A 到地面的距离 AB 的长.（ 结果精确到 1 米 . 参考数据：sin 37 ° ≈ 0.60，cos 37 ° ≈ 0.80，tan 37 ° ≈ 0.75，sin 18.4 ° ≈ 0.32 ，cos 18.4 ° ≈ 0.95 ，tan 18.4 ° ≈ 0.33）
14.（2023 山西第 20 题 ·8 分）2023 年 3 月，水利部印发《母亲河复苏行动河 湖名单（2022—2025 年）》，我省内有汾河、桑干河、洋河、清漳河、浊漳河、 沁河六条河流入选.在推进实施母亲河复苏行动中，需要砌筑各种驳岸（也叫护 坡）.某校“综合与实践 ”小组的同学把“母亲河驳岸的调研与计算 ”作为一项 课题活动，利用课余时间完成了实践调查，并形成了如下活动报告.请根据活动 报告计算 BC 和 AB 的长度.（结果 精确到 0.1 m.参考数据： · ≈1.73 ， · ≈ 1.41）
22
15.（2022 山西第 21 题 ·8 分）随着科技的发展，无人机已广泛应用于生产和生 活，如代替人们在高空测量距离和角度.某校“综合与实践 ”活动小组的同学要 测量 AB ，CD 两座楼之间的距离，他们借助无人机设计了如下测量方案：无人 机在 AB ，CD 两楼之间上方的点 O 处，点 O 距地面 AC 的高度为 60 m ，此时观 测到楼 AB 底部点 A 处的俯角为 70 ° , 楼 CD 上点 E 处的俯角为 30 ° , 沿水平 方向由点 O 飞行 24 m 到达点 F，测得点 E 处俯角为 60 ° , 其中点A，B，C，D， E ，F，O 均在同一竖直平面内.请根据以上数据求楼 AB 与 CD 之间的距离 AC 的长.（结果精确到 1 m.参考数据：sin 70 ° ≈ 0.94，cos 70 ° ≈ 0.34，tan 70 ° ≈ 2.75 ， 3 ≈ 1.73）
16.（2021 山西第 21 题 ·8 分）某公园为引导游客观光游览公园的景点，在主要 路口设置了导览指示牌.某校“综合与实践 ”活动小组想要测量此指示牌的高度， 他们绘制了该指示牌支架侧面的截面图如图所示，并测得 AB = 100 cm，BC = 80 cm ， ∠ABC =120 ° , ∠BCD = 75 ° , 四边形 DEFG 为矩形，且 DE = 5 cm.请帮
助该小组求出指示牌最高点 A 到地面 EF 的距离.（结果精确到 0.l cm.参考数 据:sin 75 ° ≈ 0.97 ，cos 75 ° ≈0.26 ，tan 75 ° ≈ 3.73 ， ≈ 1.41）
23
17.（2020 山西第 21 题节选 ·5 分）图 1 是某车站的一组智能通道闸机，当行人 通过时智能闸机会自动识别行人身份，识别成功后，两侧的圆弧翼闸会收回到两 侧闸机箱内，这时行人即可通过.图 2 是两圆弧翼展开时的截面图，扇形 ABC 和 DEF 是闸机的“ 圆弧翼 ”，两圆弧翼成轴对称，BC 和 EF 均垂直于地面，扇形 的圆心角∠ABC=∠DEF=28 ° , 半径 BA=ED=60cm ，点 A 与点 D 在同一水平线 上，且它们之间的距离为 10 cm.求闸机通道的宽度，即BC 与EF 之间的距离.（参 考数据：sin 28 ° ≈ 0.47 ，cos 28 ° ≈ 0.88 ，tan 28 ° ≈ 0.53）
18.（2019 山西第 20 题 ·9 分）某“综合与实践 ”小组开展了测量本校旗杆高度 的实践活动.他们制定了测量方案，并利用课余时间完成了实地测量.他们在该旗 杆底部所在的平地上，选取两个不同测点，分别测量了该旗杆顶端的仰角以及这 两个测点之间的距离.为了减小测量误差，小组在测量仰角的度数以及两个测点 之间的距离时，都分别测量了两次并取两次的平均值作为测量结果，测量数据如 下表（不完整）.
任务一：两次测量 A ，B 之间的距离的平均值是 m.
任务二：根据以上测量结果，请你帮助“综合与实践 ”小组求出学校旗杆 GH 的 高度.（结果精确到 0.1 m ，参考数据：sin 25.7 ° ≈ 0.43 ，cos 25.7 ° ≈ 0.90， tan 25.7 ° ≈ 0.48 ，sin 31 ° ≈0.52 ，cos 31 ° ≈ 0.86 ，tan 31 ° ≈ 0.60）
任务三：该“综合与实践 ”小组在制定方案时，讨论过“利用物体在阳光下的影 子测量旗杆的高度 ”的方案，但未被采纳.你认为其原因可能是什么？（写出一 条即可）
24
三角形 参考答案：
1.C 2. C 3. A 4. B 5. C 6. 360 °
7.解：（1）如答图所示，直线 EF 即为所求.
（2）AE = CF.证明如下：
∵四边形 ABCD 是矩形， ∴AD∥BC. ∴ ∠EAO = ∠FCO ， ∠AEO = ∠CFO. ∵EF 为 AC 的垂直平分线， ∴OA = OC. ∴△AEO ≌ △CFO. ∴AE = CF . 8.证明： ∵AD = BE， ∴AD - BD = BE - BD. ∴AB = ED.
∵AC ∥ EF， ∴ ∠A = ∠E.
在△ABC 和△EDF 中， ∠C = ∠F， ∠A = ∠E，AB = ED， ∴△ABC ≌ △EDF（AAS）. ∴BC = DF.
9. (i5 -1) 10. D 11. D 12.
13.解：如答图，延长 CD 交 AB 于点 H.
由题意得四边形 CMBH 为矩形， ∴CM = HB = 20.
在 Rt△ACH 中， ∠AHC = 90 ° , ∠ACH = 18.4 ° ,
在 Rt△ECH 中， ∠EHC = 90 ° , ∠ECH = 37 ° ,
25
设 AH = x.
“AE = 9 ，:EH = x + 9. : .
解得 x ≈ 7.1.
:AB = AH + HB ≈ 7.1 + 20 = 27.1 ≈ 27（米）. 答：点 A 到地面的距离 AB 的长约为 27 米.
14. 解：如答图，过点 E 作 EF丄CD 于点 F，
则上EFD = 90 。.
由题意得，在 Rt△EFD 中，上EDF = 60 。，ED = 6.
:EF = ED ·sin上EDF = 6 × sin60 。 = 6 × = 3 ·、i3 .
如答图，延长 AB ，DC 交于点 H ，由题意得上H = 90 。，则四边形 AEFH 是矩形.
:AH = EF = 3 ·3 ，HF = AE = 1.5 . “CF = CD - FD = 3.5 - 3 = 0.5.
:CH = HF - CF = 1.5 - 0.5 = 1.
在 RT△BCH 中，上H = 90 。，上BCH = 180 。-上BCD = 180 。 - 135 。 = 45 。.
:BH = CH ·tan上BCH = 1.
:AB = AH - BH = 3 ·3 - 1 ≈ 3 × 1.73 - 1 ≈ 4.2（ m ）. 答：BC 的长约为 1.4 m ，AB 的长约为 4.2 m.
15.解：如答图，延长 AB 和 CD 分别与直线 OF 交于点 G 和点 H，
26
则∠AGO = ∠EHO = 90 °.
又∵∠GAC = 90 ° , ∴四边形 ACHG 是矩形. ∴GH = AC.
由题意得 AG = 60 ，OF = 24 ， ∠AOG = 70 ° , ∠EOF = 30 ° , ∠EFH = 60 °.
在 Rt△AGO 中， ∠AGO = 90 ° , tan∠AOG = ，
∵∠EFH 是△EOF 的外角，
∴ ∠FEO = ∠EFH - ∠EOF = 60 ° - 30 ° = 30 ° . ∴ ∠EOF = ∠FEO. ∴EF = OF = 24.
(
∴
FH
=
EF
cos
∠
EFH
=
2
4
×
cos60
° =
12
.
)在 Rt△EHF·中， ∠EHF = 90 ° , cos∠EFH = ，
∴AC = GH = GO + OF + FH = 21.8 + 24 + 12 ≈ 58（m ）. 答：楼 AB 与 CD 之间的距离 AC 的长约为 58 m.
16.解：如答图，过点 A 作 AH⊥EF 于点 H，交直线 DG 于点 M.
过点 B 作 BN⊥DG 于点 N，BP⊥AH 于点 P ，则四边形 BNMP 和四边形 DEHM
均为矩形.
∴PM = BN，MH = DE = 5 ，BP ∥ DG. ∴ ∠CBP = ∠BCD = 75 °. ∴ ∠ABP = ∠ABC - ∠CBP = 120 ° - 75 ° = 45 °.
在 Rt△ABP 中， ∠APB = 90 ° , sin 45 ° = ，
27
在 Rt△BCN 中， ∠BNC = 90 ° , sin 75 ° = ，
∴BN = BC ·sin 75 ° ≈ 80 × 0.97 = 77.6. ∴PM = BN = 77.6.
∴AH= AP + PM + MH = 50- + 77.6 + 5 ≈ 50×1.41 + 77.6 + 5 = 153.1 （cm）.
答：指示牌最高点A 到地面 EF 的距离为 153.1 cm.
17.解：如答图，连接 AD ，并向两方延长，分别交 BC，EF 于点 M，N.
由点A 与点 D 在同一水平线上，BC，EF 均垂直于地面可知，MN⊥BC，MN⊥EF， ∴MN的长度就是 BC 与 EF 之间的距离.同时，由两圆弧翼成轴对称可得 AM = DN.
在 Rt△ABM 中， ∠AMB = 90 ° , ∠ABM = 28 ° , AB = 60，
(
∴
AM
=
AB
sin
∠
ABM
=
60
×
sin 28
°
≈
60
×
0.47
=
28.2.
)
∴MN = AM + DN + AD = 2AM+ AD = 28.2 × 2 + 10 = 66.4（cm）. ∴BC 与 EF 之间的距离为 66.4 cm.
18.解：任务一：5.5
任务二：由题意可得四边形 ACDB ，四边形 ACEH 都是矩形， ∴EH = AC = 1.5 ，CD = AB = 5.5 .
设 EG = x m.在 Rt△DEG 中， ∠DEG = 90 ° , ∠GDE = 31 ° ,
在 Rt△CEG 中， ∠CEG = 90 ° , ∠GCE = 25.7 ° ,
∵CD = CE - DE， ∴ = 5.5.
∴x = 13.2. ∴GH = GE + EH = 13.2 + 1.5 = 14.7（m ）. 答：旗杆 GH 的高度为 14.7 m.
任务三：答案不唯一.没有太阳光，旗杆底部不可到达，测量旗杆影子的长度遇 到困难，等等.
28
第五章 四边形
第 16 节 特殊平行四边形
1.（2024 山西第 10 题）在四边形 ABCD 中，点 E，F，G，H 分别是边 AB，BC， CD，DA 的中点，EG，FH 交于点 O.若四边形 ABCD 的对角线相等，则线段 EG 与 FH 一定满足的关系为 ( )
A. 互相垂直平分 B. 互相平分且相等
C. 互相垂直且相等 D. 互相垂直平分且相等
2.（2021 山西第 13 题）如图，在菱形 ABCD 中，对角线 AC，BD 相交于点 O， BD = 8，AC = 6 ，OE∥AB ，交 BC 于点 E，则 OE 的长为 .
四边形 参考答案：
1.A 2.
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第六章 图形的变化
第 19 节 图形的轴对称
1.（2020 山西第2 题） 自新冠肺炎疫情发生以来，全国人民共同抗疫，各地积 极普及科学防控知识.下面是科学防控知识的图案和文字说明，其中的图案是轴 对称图形的是 ( )
A B C D
2. （2023 山西第 2 题）全民阅读有助于提升一个国家、一个民族的精神力量. 图书馆是开展全民阅读的重要场所. 以下是我省四个地市的图书馆标志，其文字 上方的图案是轴对称图形的是 ( )
A B C D
第 20 节图形的旋转
3.（2024 山西第 2 题）1949 年，伴随着新中国的诞生，中国科学院（简称“ 中 科院 ”）成立.下列是中科院部分研究所的图标，其文字上方的图案是中心对称 图形的是 ( )
4.（2022 山西第 2 题）2022 年 4 月 16 日， “神舟十三号 ”载人飞船圆满完成 全部既定任务，顺利返回地球家园.六个月的飞天之旅展现了中国航天科技的新
高度.观察下列航天图标，其图案是中心对称图形的是 ( )
A B C D
5.（2021 山西第 2 题）为推动世界冰雪运动的发展，我国将于 2022 年举办北京 冬奥会，在此之前进行了冬奥会会标的征集活动，以下是部分参选作品，其文字
30
上方的图案既是轴对称图形又是中心对称图形的是 ( )
A B C D
第 21 节 投影与视图
6.（2024 山西第 4 题）斗拱是中国古典建筑上的重要部件.如图是一种斗形构件
“三才升 ”的示意图及其主视图，则它的左视图为 ( )
7.（2019 山西第 3 题）某正方体的每个面上都有一个汉字，如图是它的一种展
开图，那么在原正方体中，与“点 ”字所在面相对的面上的汉字是 ( )
A.青 B. 春 C. 梦 D. 想
8.（2020 山西第4 题）下列几何体都是由4 个大小相同的小正方体组成的，其 中主视图与左视图相同的几何体是 ( )
A B C D
图形的变化 参考答案：
1.D 2.C 3.A 4.B 5.B 6.C 7.B 8.B
31
第七章 圆
第 22 节 圆的有关概念和性质
1.（2024 山西第 7 题）如图，已知△ABC，以 AB 为直径的☉O 交 BC 于点 D，
与 AC 相切于点 A，连接 OD.若∠AOD = 80° , 则∠C 的度数为 ( )
A. 30° B. 40° C. 45° D. 50°
2．（2023 山西第 5 题）如图，四边形 ABCD 内接于⊙O，AC，BD 为对角线，
BD 经过圆心 O．若∠BAC＝40° , 则∠DBC 的度数为 ( )
A．40° B．50° C．60° D．70°
3.（2022 山西第 8 题）如图，△ABC 内接于⊙O，AD 是⊙O 的直径，若∠B = 20 ° , 则∠CAD 的度数是 ( )
A. 60° B. 65° C. 70° D. 75°
4.（2022 山西第 10 题）如图，扇形纸片AOB 的半径为 3，沿 AB 折叠扇形纸片，
点 O 恰好落在弧 AB 上的点 C 处，图中阴影部分的面积为 ( )
A. 3π - 3 B. C. 2π - 3 D.
5.（2021 山西第 9 题）如图，正六边形 ABCDEF 的边长为 2 ，以 A 为圆心，AC
32
的长为半径画弧，得弧 EC ，连接 AC，AE，则图中阴影部分的面积为 ( )
A.2π B. 4π C. π D.
6.（2020 山西第 8 题）中国美食讲究色香味美，优雅的摆盘造型也会让美食锦 上添花.图①中的摆盘，其形状是扇形的一部分，图②是其几何示意图（阴影部 分为摆盘），通过测量得到 AC=BD=12 cm ，C，D 两点之间的距离为 4 cm ，圆 心角为 60 ° , 则图中摆盘的面积是 ( )
A.80π cm2 B. 40π cm2 C. 24π cm2 D. 2π cm2
7.（2019 山西第 10 题）如图，在 Rt△ABC 中，∠ABC=90 ° , AB=2 ，BC=2，
以 AB 的中点 O 为圆心，OA 的长为半径作半圆交 AC 于点 D ，则图中阴影部分 的面积为 ( )
C. 2 -π D. 4 - π
8.（2024 山西第 14 题）如图 1 是小区围墙上的花窗，其形状是扇形的一部分， 图 2 是其几何示意图（阴影部分为花窗），通过测量得到扇形 AOB 的圆心角为 90 ° , OA = 1m ，点 C ，D 分别为 OA ，OB 的 中点 ，则花 窗的面积为 m2.
33
第 23 节 与圆有关的位置关系
9.（2023 山西第9 题）中国高铁的飞速发展，促进了中国现代化的建设 .如图 是高铁线路在转向处所设计的圆曲线（即圆 弧），高铁列车在转弯时的曲线起 点为 A，曲线终点为 B，过点 A，B 的两条切线相交于点 C，列车在从 A 到 B 行驶 的过程中转角α为 60 °.若圆曲线的半径 OA = 1.5 km ，则这段圆曲线 AB 的长 为 （ B ）
第 9 题图 第 10 题图
A. km B. km C. km D.
10.（2021 山西第 7 题）如图，在 ⊙O 中， AB 切 ⊙O 于点A，连接 OB 交 ⊙ O 于点 C，过点 A 作 AD ∥ OB 交 ⊙O 于点 D ，连接 CD. 若∠B=50 ° , 则 ∠OCD 为 ( )
A.15 ° B. 20 ° C. 25 ° D. 30 °
11.（2020 山西第 18 题）如图，四边形 OABC 是平行四边形，以点 O 为圆心， OC 为半径的⊙O 与 AB 相切于点 B，与 AO 相交于点 D，AO 的延长线交 ⊙O 于 点 E，连接 EB ，交 OC 于点 F，求∠C 和∠E 的度数.
第 24 节 尺规作图
12.（2023 山西第 13 题）如图，在 ABCD 中， ∠D = 60° . 以点 B 为圆心，以 BA 的长为半径作弧交边 BC 于点 E，连接 AE.分别以点 A ，E 为圆心，以大于
AE 的长为半径作弧，两弧交于点 P ，作射线 BP 交 AE 于点 O ，交边 AD 于点 F ，则 的值为 .
34
圆与尺规作图 参考答案：
1.D 2.B 3.C 4.B 5.A 6.B 7.A 8. 9.B 10.B
11.解：如答图，连接 OB.
“AB 与 ΘO 相切于点 B ，:OB 丄 AB ，:上OBA = 90 。.
“四边形 OABC 是平行四边形，:AB Ⅱ OC.:上BOC = 上OBA = 90 。. “OB = OC，
:上C = 上OBC = = 45 。.
“四边形 OABC 是平行四边形，:上A = 上C = 45 。.
:上AOB = 180 。 - 上A - 上OBA = 180 。- 45 。 - 90 。 = 45 。.
:上E = 上DOB = 上AOB = × 45 。 = 22.5 。.
12. ·3
35
第八章 统计与概率
第 25 节 统计
1.（2021 山西第 6 题）每天登录“学习强国 ”App 进行学习，在获得积分的同 时，还可获得“点点通 ”附加奖励.李老师最近一周每日“点点通 ”收入明细如
下表，则这组数据的中位数和众数分别是 ( )
A.27 点，21 点 B. 21 点，27 点 C. 21 点，21 点 D. 24 点，21 点
2.（2022 山西第 13 题）生物学研究表明，植物光合作用速率越高，单位时间内 合成的有机物越多.为了解甲、乙两个品种大豆的光合作用速率，科研人员从甲、 乙两个品种的大豆中各选五株，在同等实验条件下，测量它们的光合作用速率（单 位： μmol ·m -2 ·s -1 ），结果统计如下：
则两个品种的大豆中光合作用速率更稳定的是 （填“ 甲 ”或“ 乙 ”）.
3.（2020 山西第 13 题）某校为了选拔一名百米赛跑运动员参加市中学生运动会， 组织了6 次预选赛，其中甲，乙两名运动员较为突出，他们在 6 次预选赛中的成 绩（单位：秒）如下表所示：
由于甲，乙两名运动员的成绩的平均数相同，学校决定依据他们成绩的稳定性进 行选拔，那么被选中的运动员是 .
4.（2019 山西第 12 题）要表示一个家庭一年用于“教育 ” “服装 ” “食品 ” “其他 ”这四项的支出各占家庭本年总支出的百分比，从“扇形统计图 ” “条 形统计图 ” “折线统计图 ”中选择一种统计图，最适合的统计图是 . 5.（2024 山西第 18 题））为激发青少年崇尚科学、探索未知的热情，学校开展 “科学小博士 ”知识竞赛，各班以小组为单位组织初赛，规定满分为 10 分，9 分及以上为优秀.
数据整理：小夏将本班甲、乙两组同学（每组 8 人）初赛的成绩整理成如下的统 计图.
36
数据分析：小夏对这两个小组的成绩进行了如下分析：
请认真阅读上述信息，回答下列问题：
（1）填空：a = ，b = ，c = .
（2）小祺认为甲、乙两组成绩的平均数相等，因此两个组成绩一样好 .小夏认 为小祺的观点比较片面，请结合上表中的信息帮小夏说明理由.（ 写出两条即可） 6 ．（2023 山西第 18 题）为增强学生的社会实践能力，促进学生全面发展，某 校计划建立小记者站，有 20 名学生报名参加选拔．报名的学生需参加采访、写 作、摄影三项测试，每项测试均由七位评委打分（满分 100 分），取平均分作为 该项的测试成绩，再将采访、写作、摄影三项的测试成绩按 4：4：2 的比例计算 出每人的总评成绩.
小悦、小涵的三项测试成绩和总评成绩如表，这 20 名学生的总评成绩频数分 布直方图（每组含最小值，不含最大值）如图.
选手 测试成绩/分 总评成 绩/分
采访 写作 摄影
小悦 83 72 80 78
小涵 86 84 ▲ ▲
（1）在摄影测试中，七位评委给小涵打出的分数如下：67 ，72 ，68 ，69 ，74， 69 ，71．这组数据的中位数是 分，众数是 分，平均数是 分.
（2）请你计算小涵的总评成绩；
（3）学校决定根据总评成绩择优选拔 12 名小记者．试分析小悦、小涵能否 入选，并说明理由.
37
7.（2022 山西第 19 题）首届全民阅读大会于 2022 年 4 月 23 日在北京开幕，大会主题是“ 阅读新时 代 ·奋进新征程 ”.某校“综合与实践 ”小组为了 解全校 3 600 名学生的读书情况，随机抽取部分
学生进行问卷调查，形成了如下调查报告（不完整）：
× ×中学学生读书情况调查报告
请根据以上调查报告，解答下列问题：
（1）求参与本次抽样调查的学生人数及这些学生中选择“从图书馆借阅 ”的人 数.
（2）估计该校 3 600 名学生中，平均每周阅读课外书时间在“8 小时及以上 ” 的人数.
（3）该小组要根据以上调查报告在全班进行交流，假如你是小组成员，请结合 以上两项调查数据分别写出一条你获取的信息.
38
8.（2021 山西第 19 题节选）2021 年 3 月，教育部印发了《关于举办第三届中华 经典诵写讲大赛的通知》.本届大赛以“传承中华经典、庆祝建党百年 ”为主题， 分为“诵读中国 ”经典诵读、 “诗教中国 ”诗词讲解， “笔墨中国 ”汉字书写， “ 印记中国 ”印章篆刻比赛四类（依次记为 A ，B ，C ，D）.为了解同学们参与 这四类比赛的意向，某校学生会从有意向参与比赛的学生中随机抽取若干名学生 进行了问卷调查（调查问卷如下图所示)，所有问卷全部收回，并将调查结果绘 制成如下所示的统计图和统计表（均不完整）.
请根据图表提供的信息，解答下列问题:
（1）参与本次问卷调查的总人数为 人，统计表中C 所占的百分比 m 为 .
（2）请补全统计图.
（3）小华想用扇形统计图反映有意向参与各类比赛的人数占被调查总人数的百 分比是否可行？若可行，求出表示 C 类比赛的扇形圆心角的度数；若不可行， 请说明理由 .
9.（2020 山西第 19 题节选）2020 年国家提出并部署了“新基建 ”项目，主要 包含特高压、城际高速铁路和城市轨道交通、5G 基站建设、工业互联网、大数 据中心、人工智能、新能源汽车充电桩等. 《2020 新基建中高端人才市场就业 吸引力报告》重点刻画了“新基建 ”中五大细分领域（5G 基站建设、工业互联 网、大数据中心、人工智能、新能源汽车充电桩）总体的人才与就业机会，下图 是其中的一个统计图.
39
请根据图中信息，解答下列问题：
（1）填空：图中2020 年“新基建 ”七大领域预计投资规模的中位数是 亿元. （2）甲、乙两位待业人员，仅根据上面统计图中的数据，从五大细分领域中分 别选择了“5G 基站建设 ”和“人工智能 ”作为自己的就业方向，请简要说明他 们选择就业方向的理由各是什么.
10.（2019 山西第 18 题节选）中华人民共和国第二届青年运动会（简称二青会） 将于 2019 年 8 月在山西举行.太原市作为主赛区，将承担多项赛事.现正从某高 校的甲，乙两班分别招募 10 人作为颁奖礼仪志愿者，同学们勇跃报名，甲，乙 两班各报了20 人，现已对他们进行了基本素质测评，满分 10 分，各班按测评成 绩从高分到低分的顺序各录用 10 人.对这次基本素质测评中甲，乙两班学生的成 绩绘制了如图所示的统计图 . 请解答下列问题:
（1）甲班的小华和乙班的小丽基本素质测评成绩都为 7 分，请你分别判断小华、 小丽能否被录用（只写判断结果，不必写理由）.
（2）请你对甲，乙两班各被录用的 10 名志愿者的成绩作出评价（从“众数 ”“中 位数 ”或“平均数 ”中的一个方面评价即可）.
40
第 26 节 概率
11.（2024 山西第 8 题）一个不透明的盒子里装有一个红球、一个白球和一个绿 球，这些球除颜色外都相同.从中随机摸出一个球，记下颜色后不放回，再从中
随机摸出一个球，则两次摸到的球恰好有一个红球的概率是 ( )
1 2 4 5
A. B. C. D.
3 3 9 9
12.（2022 山西第9 题）“二十四节气 ”是中华上古农耕文明的智慧结晶，被国 际气象界誉为“ 中国第五大发明 ”.小文购买了“二十四节气 ”主题邮票，他要 将“立春 ” “立夏 ”“秋分 ” “大寒 ”四枚邮票中的两枚送给好朋友小乐.小 文将它们背面朝上放在桌面上（邮票背面完全相同），让小乐从中随机抽取一枚 （不放回），再从中随机抽取一枚，则小乐抽到的两枚邮票恰好是“立春 ”和“立 夏 ”的概率是 ( )
A. B. C. D.
13.（2020 山西第 10 题）如图是一张矩形纸板，顺次连接各边中点得到菱形， 再顺次连接菱形各边中点得到一个小矩形.将一个飞镖随机投掷到大矩形纸板上， 则飞镖落在阴影区域的概率是 ( )
A. B. C. D.
14 ．（2023 山西第 14 题）中国古代的“ 四书 ”是指《论语》《孟子》《大学》 《中庸》，它是儒家思想的核心著作，是中国传统文化的重要组成部分．若 从这四部著作中随机抽取两本（先随机抽取一本，不放回，再随机抽取另一 本），则抽取的两本恰好是《论语》和《大学》的概率是 .
41
15.（2021 山西第 19 题节选）学校“诗教中国 ”诗词讲解大赛初赛的规则是： 组委会提供“春 ” “夏 ” “秋 ” “冬 ”四组题目（依次记为 C ，X ，Q ，D）， 由电脑随机给每位参赛选手派发一组，选手根据题目要求进行诗词讲解.请用列 表或画树状图的方法求甲、乙两名选手抽到的题目在同一组的概率.
16.（2020 山西第 19 题）小勇对“新基建 ”很感兴趣，他收集到了五大细分领 域的图标，依次制成编号为 W ，G ，D ，R ，X 的五张卡片（除编号和内容外， 其余完全相同），将这五张卡片背面朝上，洗匀放好，从中随机抽取一张（不放 回），再从中随机抽取一张 .请用列表或画树状图的方法求抽到的两张卡片恰好 是编号为 W（5G 基站建设）和 R（人工智能）的概率.
17.（2019 山西第 18 题节选）甲，乙两班被录用的每一位志愿者都将通过抽取卡 片的方式决定去以下四个场馆中的两个场馆进行颁奖礼仪服务.四个场馆分别为: 太原学院足球场，太原市沙滩排球场，山西省射击射箭训练基地，太原水上运动 中心，这四个场馆分别用字母 A，B ，C，D 表示.现把分别印有 A，B ，C，D 的 四张卡片（除字母外，其余都相同）背面朝上，洗匀放好.志愿者小玲从中随机 抽取一张（不放回），再从中随机抽取一张.请你用列表或画树状图的方法求小 玲抽到的两张卡片恰好是“A ”和“B ”的概率.
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统计与概率 参考答案：
1.C 2. 乙 3.甲 4.扇形统计图
5.解：（1）7.5 7 25%
（2）答 案 不 唯 一 . 例 如：①甲 组 成 绩 的 优 秀 率 为 37.5%，高于乙 组成绩的优秀率 25% ，所以从优秀率的角度看，甲组成绩比乙组好；②虽然甲、 乙两组成绩的平均数相等，但甲组成绩的方差为 4.48，高于乙组成绩的方差 0.73， 所以从方差的角度看，乙组成绩更整齐；③甲组成绩的中位数为 7.5 分，高于 乙组成绩的中位数 7 分，所以从中位数的角度看，甲组成绩比乙组好，等等. 因 此不能仅从平均数的角度说明两组成绩一样好，可见小祺的观点比较片面.
6.解：（1）69 69 70
答：小涵的总评成绩为 82 分.
（3）不能判断小悦能否入选，但是小涵能入选.
理由：由 20 名学生的总评成绩频数分布直方图可得，小于 80 分的有 10 名，因
为小悦 78 分、小涵 82 分，所以不能判断小悦能否入选，但是小涵能入选.
7.解：（1）33 ÷ 11% = 300（人）.（解法不唯一） 300 × 62% = 186（人）.
答：参与本次抽样调查的学生人数为 300 人，这些学生中选择“从图书馆借阅 ” 的人数为 186 人.
（2）3 600 × 32% = 1 152（人）.
答：估计该校 3 600 名学生中，平均每周阅读课外书时间在“8 小时及以上 ”的 人数有 1 152 人.
（3）答案不唯一.例如，第一项：①平均每周阅读课外书的时间在“4-6 小时 ” 的人数最多；②平均每周阅读课外书的时间在“0-4 小时 ”的人数最少；③平均 每周阅读课外书的时间在“8 小时及以上 ”的学生人数占调查总人数的 32%；等 等.第二项：①阅读的课外书的主要来源中选择“从图书馆借阅 ”的人数最多；
②阅读的课外书的主要来源中选择“ 向他人借阅 ”的人数最少；等等. 8.解：（1）120 50%
（2）补全统计图如图所示.
43
（3）不可行.理由：答案不唯一.
如：由统计表可知，70% + 30% + 50% + 20% > 1，即有意向参与比赛的人数占调 查总人数的百分比之和大于 1；或 84 + 60 > 120，即有意向参与 A 类与C 类的人 数之和大于总人数 120.
9.解：（1）300
（2）甲更关注在线职位增长率，在“新基建 ”五大细分领域中，2020 年一季度 “5G 基站建设 ”在线职位与 2019 年同期相比增长率最高；乙更关注预计投资规 模，在“新基建 ”五大细分领域中， “人工智能 ”在 2020 年预计投资规模最大. 10.解：（1）小华在甲班是第 11 名，不能录用；小丽在乙班是第 10 名，可以录 用；
（2）从众数来看，甲乙两班各被录用的 10 名志愿者的众数分别为 8 分、10 分， 说明甲班被录用的 10 名志愿者中 8 分最多，乙班被录用的 10 名志愿者中 10 分 最多；从中位数来看，甲乙两班被录用的 10 名志愿者成绩的中位数分别为 9 分、 8.5 分，说明甲班被录用的 10 名志愿者成绩的中位数大于乙班被录用的 10 名志 愿者成绩的中位数；从平均数看，甲乙两班被录用的 10 名志愿者成绩的平均数 分别为 8.9 分、8.7 分，说明甲班被录用的 10 名志愿者成绩的平均数大于乙班被 录用的 10 名志愿者成绩的平均数.
11.B 12.C 13.B 14.
15.解：（列表略）画树状图如下，
由列表可知，总共有 16 种结果，每种结果出现的可能性都相同.其中甲、乙两名 选手抽到的题目在同一组的结果有 4 种. 所以，P（甲、乙抽到的题目在同一组）
4 1 = =
.
16 4
16.解：列树状图如下：
由表可知，共有 20 种等可能结果，其中抽到“W ”和“R ”的结果有 2 种，
∴抽到的两张卡片恰好是编号为 W（5G 基站建设）和 R（人工智能）的概率
17.解：画树状图如下：
44
由树状图知，共有 12 种等可能结果，其中抽到的两张卡片恰好是“A ”和“B ”
的有 2 种结果，所以抽到的两张卡片恰好是“A ”和“B ”的概率为 = .
45
填空压轴
1.（2024 山西第 15 题）如图，在 ABCD 中，AC 为对角线，AE⊥BC 于点 E， 点 F 是 AE 延长线上一点，且∠ACF= ∠CAF ，线段 AB ，CF 的延长线交于点 G. 若 AB = 5 ，AD = 4 ，tan∠ABC = 2 ，则 BG 的长为 .
2 ．（2023 山西第 15 题）如图，在四边形 ABCD 中，∠BCD = 90 ° , 对角线 AC， BD 相交于点 O. 若 AB = AC = 5 ， BC = 6 ， ∠ADB = 2∠CBD ，则 AD 的长 为 .
3.（2022 山西第 15 题）如图，在正方形 ABCD 中，点 E 是边 BC 上的一点，点 F 在边 CD 的延长线上，且 BE = DF，连接 EF 交边 AD 于点 G ．过点 A 作 AN⊥ EF，垂足为点M，交边 CD 于点N．若BE= 5，CN= 8，则线段AN 的长为 .
4 ．（2021 山西第 15 题）如图，在△ABC 中，点 D 是 AB 边上的一点，且 AD= 3BD ，连接 CD 并取 CD 的中点 E，连接 BE，若∠ACD= ∠BED= 45 ° , 且 CD , 则 AB 的长为 .
46
5 ．（2020 山西第 15 题）如图，在 Rt△ABC 中，∠ACB = 90 ° , AC = 3，BC = 4， CD⊥AB，垂足为 D，E 为 BC 的中点，AE 与 CD 交于点 F，则 DF 的长为 .
6 ．（2019 山西第 15 题）如图，在△ABC 中，∠BAC = 90 ° , AB = AC = 10cm， 点 D 为△ABC 内一点， ∠BAD= 15 ° , AD = 6 cm ，连接 BD ，将△ABD 绕点A 按逆时针方向旋转，使 AB 与 AC 重合，点 D 的对应点为点 E，连接 DE，DE 交 AC 于点 F，则 CF 的长为 cm .
填空压轴 参考答案：
1. 2. 3.4s34 4.4s13 5. 6.10-2
47
阅读与思考
1.（2024 山西第 21 题）阅读与思考
下面是博学小组同学的研究性学习报告的部分内容，请认真阅读，并完成相应任务.
关于“等边半正多边形”的研究报告 博学小组 研究对象：等边半正多边形 研究思路：类比三角形、四边形，按“概念—性质—判定”的路径，由一般到特殊 进行研究. 研究方法：观察（测量、实验）—猜想—推理证明. 研究内容： 【一般概念】对于一个凸多边形（边数为偶数），若其各边都相等，且相间的角 相等、相邻的角不相等，我们称这个凸多边形为等边半正多边形. 如图 1，我们学习过的菱形（正方形除外）就是等边半正四边形.类似地，还有等 边半正六边形、等边半正八边形 … … 【特例研究】根据等边半正多边形的定义，对等边半正六边形研究如下： 概念理解：如图 2，如果六边形 ABCDEF 是等边半正六边形，那么AB = BC = CD = DE = EF = FA ， ∠A = ∠C = ∠E， ∠B = ∠D = ∠F，且∠A ≠ ∠B. 性质探索：根据定义，探索等边半正六边形的性质，得到如下结论： 内角：等边半正六边形相邻两个内角的和为 ▲ °. 对角线：
任务：
（1）直接写出研究报告中“▲ ”处空缺的内容： .
（2）如图 3，六边形 ABCDEF 是等边半正六边形.连接对角线 AD，猜想∠BAD 与∠FAD 的数量关系，并说明理由.
（3）如图 4 ，已知△ACE 是正三角形， ☉O 是它的外接圆.请在图 4 中作一个等 边半正六边形 ABCDEF.（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法，标明字 母）
48
2 ．（2023 山西第 21 题）阅读与思考
下面是一位同学的数学学习笔记，请仔细阅读并完成相应任务.
瓦里尼翁平行四边形 我们知道，如图 1 ，在四边形 ABCD 中，点 E ，F，G ，H 分别是边 AB ，BC，CD ，DA 的中点，顺次连接 E ，F，G ，H，得 到的四边形 EFGH 是平行四边形. 我查阅了许多资料，得知这个平行四边形 EFGH 被称为瓦里尼翁平行四边形.瓦 里尼翁（Varingnon ，Pierre1654—1722）是法国数学家、力学家 . 瓦里尼翁 平 行四边形与原四边形关系密切. ①当原四边形的对角线满足一定关系时，瓦里尼 翁平行四边形可能是菱 形、矩形或正方形. ②瓦里尼翁平行四边形的周长与原四 边形对角线的长度也有一定关系. ③瓦里尼翁平行四边形的面积等于原四边形面 积的一半.此结论可借助图 1 证明如下： 证明：如图 2 ，连接 AC，分别交 EH，FG 于点 P ，Q ，过点 D 作 DM⊥AC 于点 M，交 HG 于点 N. ∵H，G 分别为 AD ，CD 的中点， ∴HG∥AC，HG = . ∵ DG = GC， ∴DN= NM= ∵四边形 EFGH 是瓦里尼翁平行四边形， ∴HE∥GF，即 HP∥GQ. ∵HG∥AC，即 HG∥PQ ， ∴四边形 HPQG 是平行四边形.（依据2） 同理，
任务
49
（1）填空：材料中的依据 1 是指： . 依据 2 是指： .
（2）请用刻度尺、三角板等工具，画一个四边形 ABCD 及它的瓦里尼翁平行四 边形 EFGH，使得四边形 EFGH 为矩形.（要求同时画出四边形 ABCD 的对角线）
（3）在图 1 中，分别连接 AC，BD 得到图 3，请猜想瓦里尼翁平行四边形 EFGH 的周长与对角线 AC，BD 长度的关系，并证明你的结论.
3.（2022 山西第 20 题）阅读与思考
下面是小宇同学的数学小论文，请仔细阅读并完成相应的任务.
用函数观点认识一元二次方程根的情况 我们知道，一元二次方程 ax2+bx+c= 0（a≠0）的根就是相应的二次函数y= ax2+bx+c（a≠0）的图象（称为抛物线）与 x 轴交点的横坐标．抛物线与 x 轴 的交点有三种情况：有两个交点、有一个交点、无交点．与此相对应，一元 二次方程的根也有三种情况：有两个不相等的实数根、有两个相等的实数根、 无实数根．因此可用抛物线与 x 轴的交点个数确定一元二次方程根的情况. 下面根据抛物线的顶点坐标和一元二次方程根的判别式 Δ = b2-4ac ，分别分 a＞0 和 a＜0 两种情况进行分析： （1）a＞0 时，抛物线开口向上. ①当 Δ = b2-4ac＞0 时，有 4ac-b2＜0 . ∵a＞0 ， ∴顶点纵坐标 ∴顶点在 x 轴的下方，抛物线与 x 轴有两个交点（如图 1）. ②当 Δ = b2-4ac = 0 时，有 4ac-b2 = 0 . ∵a＞0 ，∴顶点纵坐标 ∴顶点在 x 轴上，抛物线与 x 轴有一个交点（如图2）. ∴一元二次方程 ax2+bx+c= 0（a≠0）有两个相等的实数根.
50
③当 Δ = b2-4ac＜0 时， （2）a＜0 时，抛物线开口向下. ……
任务：（1）上面小论文中的分析过程，主要运用的数学思想是 （从下 面选项中选出两个即可）；
A ．数形结合 B ．统计思想
C ．分类讨论 D ．转化思想
（2）请参照小论文中当 a＞0 时①②的分析过程，写出③中当a＞0，Δ＜0 时， 一元二次方程根的情况的分析过程，并画出相应的示意图；
（3）实际上，除一元二次方程外，初中数学还有一些知识也可以用函数观点来 认识 ．例如： 可用函数观点来认识一元一次方程的解 ．请你再举出一例 为 .
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4.（2021 山西第 20 题）阅读与思考
请阅读下列科普材料，并完成相应的任务.
图算法 图算法也叫诺模图，是根据几何原理，将某一已知函数关系式中的各变量， 分别编成有刻度的直线（或曲线），并把它们按一定的规律排列在一起的一 种图形，可以用来解函数式中的未知量．比如想知道 10 摄氏度相当于多少华 氏度，我们可根据摄氏温度与华氏温度之间的关系C+32 得出，当 C = 10 时，F = 50．但是如果你的温度计上有华氏温标刻度，就可以从温度计上直 接 读出答案，这种利用特制的线条进行计算的方法就是图算法. 再看一个例子：设有两只电阻，分别为 5 千欧和 7.5 千欧，问并联后的电阻值 是多少？我们可以利用公式求得 R 的值，也可以设计一种图算法 直接得出结果：我们先来画出一个 120 ° 的角，再画一条角平分线，在角的两 边及角平分线上用同样的单位长度进行刻度，这样就制好了一张算图．我们 只要把角的两边刻着 7.5 和 5 的两点连成一条直线，这条直线与角平分线的交 点的刻度值就是并联后的电阻值. 图算法得出的数据大多是近似值，但在大多数情况下是够用的，那些需要用 同一类公式进行计算的测量制图人员，往往更能体会到它的优越性.
任务：（1）请根据以上材料简要说明图算法的优越性；
（2）请用以下两种方法验证第二个例子中图算法的正确性：
①用公式计算：当 R1 = 7.5 ，R2 = 5 时，R 的值为多少；
②如图，在△AOB 中， ∠AOB = 120 ° , OC 是△AOB 的角平分线，OA = 7.5， OB = 5 ，用你所学的几何知识求线段 OC 的长.
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5.（2020 山西第 20 题）阅读与思考
如图是小宇同学的数学日记，请仔细阅读，并完成相应的任务．
×年×月× 日星期日 没有直角尺也能作出直角 今天，我在书店一本书上看到下面材料：木工师傅有一块如图①所示的四边 形木板，他已经在木板上画出一条裁割线 AB ，现根据木板的情况，要过 AB 上的一点 C，作出AB 的垂线，用锯子进行裁割，然而手头没有直角尺，怎么 办呢？ 办法一：如图① ，可利用一把有刻度的直尺在 AB 上量出 CD = 30 cm ，然后 分别以 D ，C 为圆心，以 50 cm 与 40 cm 为半径画圆弧，两弧相交于点 E，作 直 线 CE，则∠DCE 必为 90 °． 办法二：如图②，可以取一根笔直的木棒，用铅笔在木棒上点出 M，N 两点， 然后把木棒斜放在木板上，使点 M 与点 C 重合，用铅笔在木板上将点 N 对应 的位置标记为点 Q，保持点 N 不动，将木棒绕点 N 旋转，使点 M 落在 AB 上， 在木板上将点 M 对应的位置标记为点 R ．然后将 RQ 延长，在延长线上截取 线段 QS= MN，得到点 S，作直线 SC，则∠RCS= 90 °． 我有如下思考：以上两种办法依据的是什么数学原理呢？我还有什么办法不 用直角尺也能作出垂线呢？……
任务：（1）填空：“办法一 ”依据的一个数学定理是 ；
（2）根据“办法二 ”的操作过程，证明∠RCS= 90 °；
（3）①尺规作图：请在图③的木板上，过点 C 作出AB 的垂线（在木板上保留 作图痕迹，不写作法）；
②说明你的作法所依据的数学定理或基本事实（写出一个即可）．
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6.（2019 山西第 21 题）阅读以下材料，并按要求完成相应的任务：
莱昂哈德 欧拉（LeonhardEuler）是瑞士数学家，在数学上经常见到以他的名字 命名的重要常数，公式和定理，下面就是欧拉发现的一个定理：在△ABC 中，R 和r 分别为外接圆和内切圆的半径，O 和I 分别为其中外心和内心，则OI2 = R2-2Rr .
如图 1 ，。O 和。I 分别是△ABC 的外接圆和内切圆，。I 与 AB 相切于点 F，设 。O 的半径为 R，。I 的半径为 r，外心 O（三角形三边垂直平分线的交点）与内 心 I（三角形三条角平分线的交点）之间的距离 OI= d，则有d2 = R2-2Rr .
下面是该定理的证明过程（部分）：
延长 AI 交。O 于点 D ，过点 I 作。O 的直径 MN，连接 DM，AN. ∵ ∠D= ∠N， ∠DMI= ∠NAI（同弧所对的圆周角相等）.
∴△MDI∽△ANI. ∴ , ∴IA ID = IM IN，①
如图 2，在图 1（隐去 MD，AN）的基础上作。O 的直径 DE，连接 BE，BD，BI， IF.
∵DE 是。O 的直径， ∴ ∠DBE= 90 ° .
∵。I 与 AB 相切于点 F， ∴ ∠AFI= 90 ° , ∴ ∠DBE= ∠IFA .
∵ ∠BAD= ∠E（同弧所对的圆周角相等）， ∴△AIF∽△EDB ， ∴
任务：（1）观察发现：IM= R+d，IN= （用含 R ，d 的代数式表示）；
（2）请判断 BD 和 ID 的数量关系，并说明理由.
（3）请观察式子①和式子② , 并利用任务（1），（2）的结论，按照上面的 证明思路，完成该定理证明的剩余部分；
（4）应用：若△ABC 的外接圆的半径为 5 cm ，内切圆的半径为 2 cm ，则△ABC 的外心与内心之间的距离为 cm .
54
阅读与思考 参考答案：
1.解：（1）240
（2） ∠BAD = ∠FAD.
理由：如答图，连接 BD，FD.
∵六边形 ABCDEF 是等边半正六边形，
∴AB = BC = CD = DE = EF = FA， ∠C = ∠E. ∴△BCD ≌ △FED. ∴BD = FD.
在△ABD 与△AFD 中，
∴△BAD ≌ △FAD. ∴ ∠BAD = ∠FAD. ………… 7 分
（3）答案不唯一，如答图，六边形 ABCDEF 即为所求.例如：
2.解：（1）三角形中位线定理（或三角形的中位线平行于第 三边且等于第三边 的一半） 平行四边形的定义（或两组对边分别平行的四边形叫做 平行四边形）
（2）答案不唯一；只要符合题意均可得分.例如：如答图即为所求.
答图
55
（3）瓦里尼翁平行四边形 EFGH 的周长等于对角线 AC 与 BD 长度的和. 证明： ∵点 E，F，G ，H 分别是边 AB ，BC，CD ，DA 的中点，
∴EF = GH = AC. ∴EF + GH = AC.同理 EH + FG = BD.
∴四边形 EFGH 的周长 = EF + GH + EH + FG = AC + BD，
即瓦里尼翁平行四边形 EFGH 的周长等于对角线 AC 与 B 长度的和. 3.解：（1）AC
（2）a＞0 时，抛物线开口向上，当 Δ = b2-4ac＜0 时，有 4ac-b2＞0 .
∵a＞0 ， ∴顶点纵坐标
∴顶点在 x 轴的上方，抛物线与 x 轴无交点，如图：
∴一元二次方程 ax2+bx+c = 0（a≠0）无实数根.
（3）可用函数观点认识二元一次方程组的解（答案不唯一）.
4.解：（1）图算法方便、直观，不用公式计算即可得出结果（答案不唯一）.
①当 R1 = 7.5 ，R2 = 5 时， ， ∴R = 3 .
②过点A 作 AM∥CO ，交 BO 的延长线于点 M，如图:
∵OC 是∠AOB 的角平分线， ∴ ∠COB = ∠COA = ∠AOB = × 120 ° =
60 ° .
∵AM∥CO ， ∴ ∠MAO = ∠AOC= 60 ° , ∠M= ∠COB = 60 ° . ∴ ∠MAO= ∠M= 60 ° .
56
∴OA= OM. ∴△OAM 为等边三角形. ∴OM= OA = AM= 7.5 .
∵AM∥CO ， ∴△BCO ∽△BAM. ∴ . ∴OC= 3 .
综上，通过计算验证第二个例子中图算法是正确的. 5.解：（1）勾股定理的逆定理
（2）由作图方法可知，QR = QC，QS= QC， ∴∠QCR = ∠QRC， ∠QCS= ∠ QSC，
∵∠SRC+∠QCS+∠QCR+∠QSC= 180 ° , ∴2 (∠QCR+∠QCS） = 180 ° , ∴∠QCR+∠QCS= 90 ° , 即∠RCS= 90 °.
（3）①如图③所示，直线 PC 即为所求；
②答案不唯一，到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线 上.
6.解：（1）R-d
（2）BD = ID 理由如下：
如图 3 ，过点 I 作。O 直径 MN，连接 AI 交。O 于 D ，连接 MD ，BI，BD，
∵点 I 是△ABC 的内心， ∴ ∠BAD= ∠CAD ， ∠CBI= ∠ABI.
∵ ∠DBC= ∠CAD ， ∠BID = ∠BAD+∠ABI， ∠DBI= ∠DBC+∠CBI， ∴ ∠BID = ∠DBI. ∴BD = ID.
（3）由（2）知 BD = ID ， ∴IA ID = DE IF
∵DE IF = IM IN， ∴2R r = （R+d）（R-d）, ∴R2-d2 = 2Rr. ∴d2 = R2-2Rr. （4） .
57
函数压轴 1.（2024 山西第 22 题）综合与实践
问题情境：如图 1 ，矩形 MNKL 是学校花园的示意图，其中一个花坛的轮廓可 近似看成由抛物线的一部分与线段AB 组成的封闭图形，点A，B 在矩形的边 MN 上，现要对该花坛内种植区域进行划分，以种植不同花卉，学校面向全体同学征 集设计方案.
方案设计：如图 2 ，AB = 6 米，AB 的垂直平分线与抛物线交于点 P ，与 AB 交 于点 O ，点 P 是抛物线的顶点，且 PO= 9 米.欣欣设计的方案如下：
第一步：在线段 OP 上确定点 C ，使∠ACB= 90° . 用篱笆沿线段 AC ，BC 分 隔出△ABC 区域，种植串串红.
第二步：在线段 CP 上取点 F（不与 C ，P 重合），过点 F 作 AB 的平行线， 交抛物线于点 D ，E.用篱笆沿 DE ，CF 将线段 AC ，BC 与抛物线围成的区域分 隔成三部分，分别种植不同花色的月季.
方案实施：学校采用了欣欣的方案，在完成第一步△ABC 区域的分隔后，发现 仅剩 6 米篱笆材料.若要在第二步分隔中恰好用完 6 米材料，需确定 DE 与 CF 的 长.为此，欣欣在图 2 中以 AB 所在直线为 x 轴，OP 所在直线为 y 轴建立平面直 角坐标系.请按照她的方法解决问题：
（1）在图 2 中画出平面直角坐标系，并求抛物线的函数表达式.
（2）求 6 米材料恰好用完时 DE 与 CF 的长.
（3）种植区域分隔完成后，欣欣又想用灯带对该花坛进行装饰，计划将灯带围 成一个矩形.她尝试借助图2 设计矩形四个顶点的位置，其中两个顶点在抛物线 上，另外两个顶点分别在线段 AC ，BC 上，请直接写出符合设计要求的矩形周 长的最大值.
58
2.（2023 山西第 23 题）综合与探究
如图 1 ，二次函数 y = -x2 + 4x 的图象与x 轴的正半轴交于点 A ，经过点 A 的直 线与该函数图象交于点 B（1 ，3），与 y 轴交于点 C.
（1）求直线 AB 的函数表达式及点 C 的坐标.
（2）点 P 是第一象限 内二次函数图象上的一个动点，过点 P 作直线 PE丄x 轴于点 E ，与直线 AB 交于点 D ，设点 P 的横坐标为 m.
①当 PD = OC 时，求 m 的值.
②如图 2 ，当点 P 在直线 AB 上方时，连接 OP，过点 B 作 BQ丄x 轴于点 Q，BQ 与 OP 交于点 F，连接 DF. 设四边形 FQED 的面积为 S，求 S 关于 m 的函数表达 式，并求出 S 的最大值.
3 ．（2022 山西第 23 题）综合与探究
如图，二次函数 的图象与 x 轴交于 A ，B 两点（点 A 在点 B 的
左侧），与y 轴交于点 C．点 P 是第一象限内二次函数图象上的一个动点，设点 P 的横坐标为 m ．过点 P 作直线 PD⊥x 轴于点 D ，作直线 BC 交 PD 于点 E .
（1）求 A ，B ，C 三点的坐标，并直接写出直线 BC 的函数表达式；
（2）当△CEP 是以 PE 为底边的等腰三角形时，求点 P 的坐标；
（3）连接 AC，过点 P 作直线 l∥AC，交y 轴于点 F，连接 DF．试探究：在点 P 运动的过程中，是否存在点 P，使得 CE＝FD ，若存在，请直接写出 m 的值；若
不存在，请说明理由.
59
4 ．（2021 山西第 23 题）综合与探究
如图，抛物线 x2+2x﹣6 与 x 轴交于 A ，B 两点（点 A 在点 B 的左侧），与
y 轴交于点 C，连接 AC，BC.
（1）求 A 、B ，C 三点的坐标并直接写出直线 AC，BC 的函数表达式.
（2）点 P 是直线 AC 下方抛物线上的一个动点，过点 P 作 BC 的平行线l，交线 段 AC 于点 D .
①试探究：在直线 l 上是否存在点 E，使得以点 D ，C，B，E 为顶点的四边形为 菱形，若存在，求出点 E 的坐标，若不存在，请说明理由；
②设抛物线的对称轴与直线 l 交于点 M，与直线 AC 交于点 N．当 S△DMN＝S△AOC
时，请直接写出 DM 的长.
5 ．（2020 山西第 23 题）综合与探究
如图，抛物线 x2﹣x﹣3 与 x 轴交于 A ，B 两点（点 A 在点 B 的左侧），与
y 轴交于点 C．直线 l 与抛物线交于 A ，D 两点，与y 轴交于点 E，点 D 的坐标 为（4 ，-3）.
（1）请直接写出A ，B 两点的坐标及直线l 的函数表达式；
（2）若点 P 是抛物线上的点，点 P 的横坐标为 m（m ≥0），过点 P 作PM⊥x 轴，垂足为 M．PM 与直线 l 交于点 N，当点 N 是线段 PM 的三等分点时，求点 P 的坐标；
（3）若点 Q 是y 轴上的点，且∠ADQ ＝45 ° , 求点 Q 的坐标.
60
6 ．（2019 山西第 23 题）综合与探究
如图，抛物线y ＝ax2+bx+6 经过 A（-2 ，0）、B（4 ，0）两点，与y 轴交于点 C， 点 D 是抛物线上一动点，设点 D 的横坐标为 m（1＜m＜4），连接 AC、BC、
DB、 DC.
（1）求抛物线的函数表达式.
（2）当△BCD 的面积等于△AOC 的面积的 时，求 m 的值.
（3）当 m ＝2 时，若点 M 是 x 轴上一动点，点 N 是抛物线上一动点，试判断是 否存在这样的点 M，使得以点 B 、D 、M、N 为顶点的四边形是平行四边形？若 存在，请直接写出点 M 的坐标；若不存在，请说明理由.
61
函数压轴 参考答案：
1.解：（1）建立如答图所示的平面直角坐标系.
∵OP 所在直线是 AB 的垂直平分线，且 AB = 6，
∴点 B 的坐标为（3 ，0）.
∵OP= 9 ， ∴点 P 的坐标为（0 ，9）. ∵点 P 是抛物线的顶点，
∴设抛物线的函数表达式为 y = ax2 + 9（a ≠ 0）.
∵点 B（3 ，0）在抛物线 y = ax2 + 9 上， ∴9a + 9 = 0 ，解得 a = -1.
∴抛物线的函数表达式为 y = -x2 + 9（-3 ≤ x ≤ 3）.
（2） ∵点 D ，E 在抛物线 y = -x2 + 9 上， ∴设点 E 的坐标为（m ，-m2 + 9）.
∵DE∥AB ，交 y 轴于点 F，
∴DF = EF = m ，OF = -m2 + 9. ∴DE = 2m.
∵在 Rt△ABC 中， ∠ACB = 90° , OA = OB，
∴CF = OF - OC = -m2 + 9 - 3 = -m2 + 6.
根据题意，得 DE + CF = 6 ， ∴-m2 + 6 + 2m = 6. 解得 m1 = 2 ，m2 = 0（舍去），
∴m = 2. ∴DE = 2m = 4 ，CF = -m2 + 6 = 2.
62
答：DE 的长为 4 米，CF 的长为 2 米.
（3） .
2.解：（1）由 y = -x + 4x 得，当 y = 0 时，-x + 4x = 0.
解得 x1 = 0 ，x2 = 4. ∵点 A 在 x 轴正半轴上， ∴点 A 的坐标为（4 ，0）
设直线 AB 的函数表达式为 y= kx + b（k≠ 0）.
将 A ，B 两点的坐标（4 ，0），（1 ，3）分别代入 y = kx + b，
得 k++bb==3
解得 k = -1 ， b = 4.
∴直线 AB 的函数表达式为 y = -x + 4.
将 x = 0 代入 y = -x + 4 ，得 y = 4. ∴点 C 的坐标为（0 ，4）.
（2）①∵点 P 在第一象限内二次函数 y = -x + 4x 的图象
上，且 PE⊥x 轴于点 E，与直线 AB 交于点 D ，其横坐标为 m， ∴点 P ，D 的坐标分别为 P（m ，-m + 4m），D（m ，-m + 4）.
∴PE = -m + 4m ，DE = -m + 4 ，OE = m. ∵点 C 的坐标为（0 ，4）， ∴OC = 4.
∵PD = OC ， ∴PD = 2.
如答图 1 ，当点 P 在直线 AB 上方时，
答图 1
PD = PE - DE = -m + 4m -（-m + 4）= -m + 5m - 4. ∵PD = 2 ， ∴-m + 5m - 4 = 2.解得 m1 = 2 ，m2 = 3.
63
如答图 2 ，当点 P 在直线 AB 下方时，
答图 2
PD = DE - PE = -m + 4 -（-m + 4m）= m - 5m + 4. “PD = 2 ，:m - 5m + 4 = 2.
解得 17 .“0 < m < 1 ，:m = 综上所述，m 的值为 2 或 3 或 .
②由①得，OE = m ，PE = -m + 4m ，DE = -m + 4.
“BQ丄x 轴于点 Q ，交 OP 于点 F ，点 B 的坐标为（1 ，3）， :OQ = 1. “点 P 在直线 AB 上方，:EQ = m - 1.
“PE丄x 轴于点 E，:上OQF = 上OEP= 90° . :FQⅡDE.
“上FOQ = 上POE ，:△FOQ ∞ △POE.
:FQ = DE. :四边形 FQED 为平行四边形. :S = EQ·FQ =（m - 1）（-m + 4），
“ 1 < m < 4 ， :当 m = 的最大值为 .
64
3.解： 在y ＝- x+4 中，令 x ＝0 得y ＝4 ，令y ＝0 得 x ＝8 或 x＝-2，
∴A（-2 ，0），B（8 ，0），C（0 ，4），
设直线 BC 解析式为y ＝kx+4 ，将 B（8 ，0）代入得 8k+4 ＝0 ，解得 k＝- ∴直线 BC 解析式为x+4；
（2）过 C 作 CG⊥PD 于 G ，如图：
设 P（m ，- x2+ x+4）， ∴PD ＝- x+4，
∵ ∠COD = ∠PDO = ∠CGD ＝90 ° , ∴四边形 CODG 是矩形， ∴DG ＝OC ＝4 ，CG ＝OD ＝m，
∵CP ＝CE，CG⊥PD ， ∴GE＝PG ＝-
∵ ∠GCE = ∠OBC， ∠CGE ＝90 ° = ∠BOC， ∴△CGE∽△BOC，
即 ，解得 m ＝0 或 m ＝4 ， ∴P
（3）存在点 P，使得 CE＝FD ，理由如下：过 C 作 CH⊥PD 于 H，如图：
设 ，
由 A（-2 ，0），C（0 ，4）可得直线 AC 解析式为y ＝2x+4，
根据 PF∥AC，设直线 PF 解析式为y ＝2x+b ，将 P 代入得
65
: 直线 PF 解析式为y ＝2x - m+4，
令 x ＝0 得y ＝- m+4 ，:F
: OF＝| - m+4| ，同 可得四边形 CODH 是矩形，: CH＝OD，
“CE＝FD ，:Rt△CHE纟Rt△DOF（HL），: 上HCE ＝上FDO ， “ 上HCE ＝上CBO ，: 上FDO ＝上CBO ，:tan上FDO ＝tan上CBO，
即
解得 m ＝2 - 2 或 m ＝ - 2 - 2 或 m ＝4 或 m ＝ - 4， “P 在第一象限，:m ＝2 - 2 或 m ＝4 .
4.解： 当y ＝0 时， x2+2x - 6 ＝0 ，解得 x1 ＝ - 6 ，x2 ＝2，
:A（ - 6 ，0），B（2 ，0），
当 x ＝0 时，y ＝ - 6 ，: C（0 ， - 6），
“A（ - 6 ，0），C（0 ， - 6），: 直线 AC 的函数表达式为y ＝ - x - 6， “B（2 ，0），C（0 ， - 6），: 直线 BC 的函数表达式为y ＝3x - 6；
（2）①存在：设点 D 的坐标为（m ， - m - 6），其中 - 6＜m＜0， “B（2 ，0），C（0 ， - 6），
:BD2 ＝（m - 2）2+（m+6）2，BC2 ＝22+62 ＝40，DC2 ＝m2+（ - m - 6+6）2 ＝2m2， “DEⅡBC，
: 当 DE＝BC 时，以点 D ，C，B ，E 为顶点的四边形为平行四边形， 分两种情况：如图，当 BD＝BC 时，四边形 BDEC 为菱形，
66
∴BD2＝BC2 ， ∴（m﹣2）2+（m+6）2 ＝40 ，解得 m1 = ﹣4 ，m2 ＝0（舍去）， ∴点 D 的坐标为 ( ﹣4 ，﹣2），
∵点 D 向左移动 2 各单位长度，向下移动 6 个单位长度得到点 E， ∴点 E 的坐标为 ( ﹣6 ，﹣8）；
如图，当 CD ＝CB 时，四边形 CBED 为菱形，
∴CD2 ＝CB2 ， ∴2m2 ＝40 ，解得：m1 = ﹣2 ，m2 ＝2 （舍去），
∴点 D 的坐标为 ( ﹣2 5 ，2 5 ﹣6），
∵点 D 向右移动 2 个单位长度，向上移动 6 个单位长度得到点 E，
∴点 E 的坐标为（2﹣2 5 ，2 5 ）；
综上，存在点 E，使得以点 D ，C，B，E 为顶点的四边形为菱形，点 E 的坐标为
( ﹣6 ，﹣8）或（2﹣2 5 ，2 5 ）；
②设点 D 的坐标为（m ，﹣m﹣6），其中﹣6＜m＜0，
67
∵A ( ﹣6 ，0），B（2 ，0）， ∴抛物线的对称轴为直线 x = ﹣2，
∵直线 BC 的函数表达式为y ＝3x﹣6 ，直线 l∥BC， ∴设直线 l 的解析式为y ＝3x+b，
∵点 D 的坐标（m ，﹣m﹣6）， ∴b = ﹣4m﹣6 ， ∴M ( ﹣2 ，﹣4m﹣ 12）， ∵抛物线的对称轴与直线 AC 交于点 N. ∴N ( ﹣2 ，﹣4），
∴MN= ﹣4m﹣ 12+4 = ﹣4m﹣8，
∵S△DMN＝S△AOC， ∴ ×6×6，
整理得 m2+4m﹣5 ＝0 ，解得 m1 = ﹣5 ，m2 ＝1（舍去），
∴点 D 的坐标为 ( ﹣5 ，﹣ 1）， ∴点 M 的坐标为 ( ﹣2 ，8），
答：DM 的长为 3 - .
5.解： 令y ＝0 ，得y ＝ x2﹣x﹣3 ＝0 ，解得 x = ﹣2 ，或 x ＝6，
∴A ( ﹣2 ，0），B（6 ，0），
设直线 l 的解析式为y ＝kx+b ，则 解得 ∴直线 l 的解析式为 .
（2）如图 1 ，根据题意可知，点 P 与点 N 的坐标分别为
P（m ， m2﹣m﹣3），N ，
68
∴PM＝- m2+m+3 ， m+1 ，NP ＝- m+2，
分两种情况：①当 PM＝3MN 时，得- m2+m+3 ＝3 ，
解得，m ＝0 ，或 m = ﹣2（舍）， ∴P（0 ，﹣3）；
②当 PM＝3NP 时，得- m2+m+3 ＝3 ， 解得，m ＝3 ，或 m = ﹣2（舍）， ∴P（3 ，- ）；
∴当点 N 是线段 PM 的三等分点时，点 P 的坐标为 或
∵直线 l：y= - x-1 与y 轴交于点 E， ∴点 E 的坐标为（0 ，﹣ 1），
分两种情况：①如图 2 ，当点 Q 在y 轴的正半轴上时，记为点 Q1，
过 Q1 作 Q1H⊥AD 于点 H，则∠Q1HE = ∠AOE ＝90 ° , ∵∠Q1EH= ∠AEO ， ∴△Q1EH∽△AEO，
即 ∴Q1H＝2HE，
∵∠Q1DH＝45 ° , ∠Q1HD ＝90 ° , ∴Q1H＝DH， ∴DH＝2EH， ∴HE＝ED， 连接 CD，
69
, ∴CD⊥y 轴，∴ED =
∴Q1O ＝Q1E﹣OE ＝9 ， ∴Q1（0 ，9）；
②如图 3 ，当点 Q 在y 轴的负半轴上时，记为点 Q2 ，过 Q2 作 Q2 G⊥AD 于 G， 则∠Q2 GE = ∠AOE ＝90 ° ,
∵∠Q2EG = ∠AEO ， ∴△Q2 GE∽△AOE，
即 ， ∴Q2 G ＝2EG，
∵∠Q2DG ＝45 ° , ∠Q2 GD ＝90 ° , ∴∠DQ2 G = ∠Q2DG ＝45 ° , ∴DG ＝Q2 G ＝2EG ， ∴ED＝EG+DG ＝3EG，
由①可知，ED ＝2 ， ∴3EG ＝2 ， ∴ EG = ， ∴Q2 G = ，
综上，点 Q 的坐标为 或
6.解：（1）由抛物线交点式表达式得
y ＝a（x+2）（x﹣4）＝a（x2﹣2x﹣8）＝ax2﹣2ax﹣8a，
即﹣8a ＝6 ，解得 a ＝- ，
故抛物线的表达式为：y ＝- .
（2）由抛物线的表达式知，点 C（0 ，6），
70
由点 B 、C 的坐标，得直线 BC 的表达式为：y ＝- x+6，
如图所示，过点 D 作y 轴的平行线交直线 BC 于点 H，
设点 D（m ，- m2+ m+6），则点 H（m ，- m+6），
则 S△BDC ＝ HD×OB ＝2（ - m2+ m+6 + m-6）＝2（ - m2+3m），
解得 m ＝1 或 3（舍去 1），故 m ＝3；
（3）当 m ＝2 时，点 D（2 ，6），
设点 ，则 n ＝- t+6① ,
①当 BD 是边时，
点 B 向左平移 2 个单位向上平移 6 个单位得到点 D ，同样点 M（N）向左平移 2 个单位向上平移 6 个单位得到点 N

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