2.5 解直角三角形的应用(2) 学案(无答案)2024-2025学年青岛版九年级上册

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2.5 解直角三角形的应用(2) 学案(无答案)2024-2025学年青岛版九年级上册

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2.5 解直角三角形的应用(2) 编制人:憲福数学 审核人:憲福数学 学案编号:6 时间: 2025 /2 班级 姓名
2.5 解直角三角形的应用(2)
【学习目标】
1.会用解直角三角形的有关知识解某些简单的实际问题;
2.了解方位角、坡度、坡角;
3.感悟抽象、转化和数形结合的数学思想,会用代数方法列出方程解决三角形问题
【学习重点】转化为解直角三角形问题
【学习难点】将实际问题中的数量关系转】将实际问题化为直角三角形中元素间关系进行解题
【学习过程】
一、情境引入
我国东部季风气候区,降水的季节和年际变化大,旱涝灾害频繁,洪水危害严重,从最早的大禹治水传说,到后来的1998年特大洪水,在中国的几千年历史长河中,勤劳勇敢的中国人民一直在和洪水做斗争。著名的黄泛区,历史上黄河的几度泛滥,一度使这条母亲河成为灾害河;一段时间里海河、淮河都是有名的灾害河;1998年长江洪水更是干年一遇,给中华民族带来沉痛的灾难。水库大坝最重要的一个功能就是防洪,据统计,我国主要的七条江河上共分布着245座大型水库大坝,控制着150万平方千米的流域面积,占七大河流域面积的三分之一,很起到很好的防洪作用,著名的三峡水利工程首要的任务就是防洪。
新知探究
在修路、筑坝、开渠和挖河时,都会遇到修筑斜坡的问题。阅读课本第78页,回答以下问题:
1.什么是坡度(或坡比)?
如图,是一段斜坡的横断面,建筑学中把斜坡起止点 A,B 的_________与它们的_________ 的比叫做坡度(或坡比),通常用字母i表示,即i = h∶l。表示坡度时,一般把比的前项取作 1,如 i = 1∶5。如果把图中斜坡 AB 与水平线AC的夹角记作α,那么i = = tanα。这就是说,坡度等于锐角α的正切。
2.右图中斜坡AB的坡度(或坡比)是_________
典型例题
例1.某地计划在河流的上游修建一条拦水大坝。大坝的横断面ABCD是梯形,坝顶宽BC=6m,坝高25 m,迎水坡AB的坡度i =1∶3,背水坡CD的坡度i =1∶2.5。
(1)求斜坡AB的长(精确到0.01 m,参考数据:≈3.162);
(2)求拦水大坝的底面AD的宽。
【跟踪练习】
如图,拦水坝的横断面为梯形ABCD,根据图中数据,求:
(1)角A和B的大小;
(2)坝底宽AD和斜坡AB的长(精确到0.1 m)。
例2.为了维护国家主权和海洋权利,海监部门对我国领海实现了常态化巡航管理,如图,正在执行巡航任务的海监船以每小时40海里的速度向正东方航行,在A处测得灯塔P在北偏东60°方向上,继续航行1小时到达B处,此时测得灯塔P在北偏东30°方向上.(≈1.414,≈1.732,≈2.236)已知在灯塔P的周围30海里内有暗礁,问海监船继续向正东方向航行是否安全?
【跟踪练习】
如图,一艘船在岛A的正南20海里处,向东航行1.5时后,测得小岛A在北偏西52°24'方向,求该船行驶的速度(精确到0.1海里/时,参考数据:sin52°24'≈0.79,cos52°24'≈0.61,tan52°24'≈1.30)
四、课堂小结 本节课你有什么收获?
五、当堂检测
1.如图,一个小球由地面沿着坡度i=1:2的坡面向上前进了10m,此时小球距离地面的高度为(  )
A.5m B.m C.m D.m
2.如图,一艘轮船以40海里/时的速度在海面上航行,当它行驶到A处时,发现它的北偏东30°方向有一灯塔B.轮船继续向北航行2小时后到达C处,发现灯塔B在它的北偏东60°方向.若轮船继续向北航行,那么当再过多长时间时轮船离灯塔最近?(  )
A.1小时 B.小时 C.2小时 D.小时
六、课后分层作业
【基础闯关】
1.如图,在平地上种植树木时,要求株距(相邻两树间的水平距离)为4m.如果在坡度为0.75的山坡上种树,也要求株距为4m,那么相邻两树间的坡面距离为(  )
A.5m B.6m C.7m D.8m
2.如图,两根竹竿AB和AD斜靠在墙CE上,量得∠ABC=α,∠ADC=β,则竹竿AB与AD的长度之比为(  )
A. B. C. D.
3.如图,一架长为6米的梯子AB斜靠在一竖直的墙AO上,这时测得∠ABO=70°,如果梯子的底端B外移到D,则梯子顶端A下移到C,这时又测得∠CDO=50°,那么AC的长度约为         
   米.(sin70°≈0.94,sin50°≈0.77,cos70°≈0.34,cos50°≈0.64)
4.如图,某一时刻太阳光从窗户射入房间内,与地面夹角∠DPC=30°,已知窗户的高度AF=2m,窗台的高度CF=1m,窗外水平遮阳篷的宽AD=0.8m,则CP的长度为    (结果精确到0.1m).
第1题 第2题 第3题 第4题
5.如图,在一次数学实践活动中,小明同学要测量一座与地面垂直的古塔AB的高度,他从古塔底部点B处前行30m到达斜坡CE的底部点C处,然后沿斜坡CE前行20m到达最佳测量点D处,在点D处测得塔顶A的仰角为30°,已知斜坡的斜面坡度i=1:,且点A,B,C,D,E在同一平面内,求古塔AB的高度。
【能力提升】
6.如图,在距离铁轨200米的B处,观察由南宁开往百色的“和谐号”动车,当动车车头在A处时,恰好位于B处的北偏东60°方向上;10秒钟后,动车车头到达C处,恰好位于B处的西北方向上,则这时段动车的平均速度是(  )米/秒.
A.20(1) B.20(1) C.200 D.300
7.如图,测量河宽AB(假设河的两岸平行),在C点测得∠ACB=30°,D点测得∠ADB=60°,又CD=60m,则河宽AB为   m(结果保留根号).
8.如图,“人字梯”放在水平的地面上,当梯子的一边与地面所夹的锐角α为60°时,两梯角之间的距离BC的长为3m.周日亮亮帮助妈妈整理换季衣服,先使α为60°,后又调整α为45°,则梯子顶端离地面的高度AD下降了   m(结果保留根号).
9.小明想测量一棵树的高度,他发现树的影子恰好落在地面和一斜坡上;如图,此时测得地面上的影长为8米,坡面上的影长为4米.已知斜坡的坡角为30°,同一时刻,一根长为1米、垂直于地面放置的标杆在地面上的影长为2米,则树的高度为(  )
A.(6)米 B.12米 C.(4+2)米 D.6米
10.一个长方体木箱沿斜面下滑,当木箱滑至如图位置时,AB=3m,已知木箱高BEm,斜面坡角为30°,则木箱端点E距地面AC的高度EF为   m.
第6题 第7题 第8题 第9题
11.如图,一艘轮船在A处测得灯塔P在船的北偏东30°的方向,轮船沿着北偏东60°的方向航行16km后到达B处,这时灯塔P在船的北偏西75°的方向.灯塔P与B之间的距离(结果保留根号).
【培优创新】
12.如图,某中学依山而建,校门A处有一坡度i=5:12的斜坡AB,长度为13米,在坡顶B处看教学楼CF的楼顶C的仰角∠CBF=45°,离B点4米远的E处有一个花台,在E处仰望C的仰角是∠CEF=60°,CF的延长线交校门处的水平面于点D.
(1)求坡顶B的高度;
(2)求楼顶C的高度CD.

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