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2.5 解直角三角形的应用（2） 编制人：憲福数学 审核人：憲福数学 学案编号：6 时间: 2025 /2 班级 姓名
2.5 解直角三角形的应用（2）
【学习目标】
1.会用解直角三角形的有关知识解某些简单的实际问题；
2.了解方位角、坡度、坡角；
3.感悟抽象、转化和数形结合的数学思想，会用代数方法列出方程解决三角形问题
【学习重点】转化为解直角三角形问题
【学习难点】将实际问题中的数量关系转】将实际问题化为直角三角形中元素间关系进行解题
【学习过程】
一、情境引入
我国东部季风气候区，降水的季节和年际变化大，旱涝灾害频繁，洪水危害严重，从最早的大禹治水传说，到后来的1998年特大洪水，在中国的几千年历史长河中，勤劳勇敢的中国人民一直在和洪水做斗争。著名的黄泛区，历史上黄河的几度泛滥，一度使这条母亲河成为灾害河；一段时间里海河、淮河都是有名的灾害河；1998年长江洪水更是干年一遇，给中华民族带来沉痛的灾难。水库大坝最重要的一个功能就是防洪，据统计，我国主要的七条江河上共分布着245座大型水库大坝，控制着150万平方千米的流域面积，占七大河流域面积的三分之一，很起到很好的防洪作用，著名的三峡水利工程首要的任务就是防洪。
新知探究
在修路、筑坝、开渠和挖河时，都会遇到修筑斜坡的问题。阅读课本第78页，回答以下问题：
1.什么是坡度（或坡比）？
如图，是一段斜坡的横断面，建筑学中把斜坡起止点 A，B 的_________与它们的_________ 的比叫做坡度（或坡比），通常用字母i表示，即i = h∶l。表示坡度时，一般把比的前项取作 1，如 i = 1∶5。如果把图中斜坡 AB 与水平线AC的夹角记作α，那么i = = tanα。这就是说，坡度等于锐角α的正切。
2.右图中斜坡AB的坡度（或坡比）是_________
典型例题
例1.某地计划在河流的上游修建一条拦水大坝。大坝的横断面ABCD是梯形，坝顶宽BC=6m，坝高25 m，迎水坡AB的坡度i =1∶3，背水坡CD的坡度i =1∶2.5。
（1）求斜坡AB的长（精确到0.01 m，参考数据：≈3.162）；
（2）求拦水大坝的底面AD的宽。
【跟踪练习】
如图，拦水坝的横断面为梯形ABCD，根据图中数据，求：
（1）角A和B的大小；
（2）坝底宽AD和斜坡AB的长（精确到0.1 m）。
例2.为了维护国家主权和海洋权利，海监部门对我国领海实现了常态化巡航管理，如图，正在执行巡航任务的海监船以每小时40海里的速度向正东方航行，在A处测得灯塔P在北偏东60°方向上，继续航行1小时到达B处，此时测得灯塔P在北偏东30°方向上．（≈1.414，≈1.732，≈2.236）已知在灯塔P的周围30海里内有暗礁，问海监船继续向正东方向航行是否安全？
【跟踪练习】
如图，一艘船在岛A的正南20海里处，向东航行1.5时后，测得小岛A在北偏西52°24'方向，求该船行驶的速度（精确到0.1海里/时，参考数据：sin52°24'≈0.79,cos52°24'≈0.61,tan52°24'≈1.30）
四、课堂小结 本节课你有什么收获？
五、当堂检测
1.如图，一个小球由地面沿着坡度i＝1：2的坡面向上前进了10m，此时小球距离地面的高度为（　　）
A．5m B．m C．m D．m
2.如图，一艘轮船以40海里/时的速度在海面上航行，当它行驶到A处时，发现它的北偏东30°方向有一灯塔B．轮船继续向北航行2小时后到达C处，发现灯塔B在它的北偏东60°方向．若轮船继续向北航行，那么当再过多长时间时轮船离灯塔最近？（　　）
A．1小时 B．小时 C．2小时 D．小时
六、课后分层作业
【基础闯关】
1.如图，在平地上种植树木时，要求株距（相邻两树间的水平距离）为4m．如果在坡度为0.75的山坡上种树，也要求株距为4m，那么相邻两树间的坡面距离为（　　）
A．5m B．6m C．7m D．8m
2.如图，两根竹竿AB和AD斜靠在墙CE上，量得∠ABC＝α，∠ADC＝β，则竹竿AB与AD的长度之比为（　　）
A． B． C． D．
3.如图，一架长为6米的梯子AB斜靠在一竖直的墙AO上，这时测得∠ABO＝70°，如果梯子的底端B外移到D，则梯子顶端A下移到C，这时又测得∠CDO＝50°，那么AC的长度约为　 　　 　　 　
　 　米．（sin70°≈0.94，sin50°≈0.77，cos70°≈0.34，cos50°≈0.64）
4.如图，某一时刻太阳光从窗户射入房间内，与地面夹角∠DPC＝30°，已知窗户的高度AF＝2m，窗台的高度CF＝1m，窗外水平遮阳篷的宽AD＝0.8m，则CP的长度为 　 　（结果精确到0.1m）．
第1题 第2题 第3题 第4题
5.如图，在一次数学实践活动中，小明同学要测量一座与地面垂直的古塔AB的高度，他从古塔底部点B处前行30m到达斜坡CE的底部点C处，然后沿斜坡CE前行20m到达最佳测量点D处，在点D处测得塔顶A的仰角为30°，已知斜坡的斜面坡度i＝1：，且点A，B，C，D，E在同一平面内，求古塔AB的高度。
【能力提升】
6.如图，在距离铁轨200米的B处，观察由南宁开往百色的“和谐号”动车，当动车车头在A处时，恰好位于B处的北偏东60°方向上；10秒钟后，动车车头到达C处，恰好位于B处的西北方向上，则这时段动车的平均速度是（　　）米/秒．
A．20（1） B．20（1） C．200 D．300
7.如图，测量河宽AB（假设河的两岸平行），在C点测得∠ACB＝30°，D点测得∠ADB＝60°，又CD＝60m，则河宽AB为　 　m（结果保留根号）．
8.如图，“人字梯”放在水平的地面上，当梯子的一边与地面所夹的锐角α为60°时，两梯角之间的距离BC的长为3m．周日亮亮帮助妈妈整理换季衣服，先使α为60°，后又调整α为45°，则梯子顶端离地面的高度AD下降了　 　m（结果保留根号）．
9.小明想测量一棵树的高度，他发现树的影子恰好落在地面和一斜坡上；如图，此时测得地面上的影长为8米，坡面上的影长为4米．已知斜坡的坡角为30°，同一时刻，一根长为1米、垂直于地面放置的标杆在地面上的影长为2米，则树的高度为（　　）
A．（6）米 B．12米 C．（4+2）米 D．6米
10.一个长方体木箱沿斜面下滑，当木箱滑至如图位置时，AB＝3m，已知木箱高BEm，斜面坡角为30°，则木箱端点E距地面AC的高度EF为　 　m．
第6题 第7题 第8题 第9题
11.如图，一艘轮船在A处测得灯塔P在船的北偏东30°的方向，轮船沿着北偏东60°的方向航行16km后到达B处，这时灯塔P在船的北偏西75°的方向．灯塔P与B之间的距离（结果保留根号）．
【培优创新】
12.如图，某中学依山而建，校门A处有一坡度i＝5：12的斜坡AB，长度为13米，在坡顶B处看教学楼CF的楼顶C的仰角∠CBF＝45°，离B点4米远的E处有一个花台，在E处仰望C的仰角是∠CEF＝60°，CF的延长线交校门处的水平面于点D．
（1）求坡顶B的高度；
（2）求楼顶C的高度CD．

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