资源简介

数学课题：勾股定理单元复习课
一、学情分析
认知基础： 对定理的应用不是很灵活，理解能力，视图能力，思维能力等方面都有待加强。 活动经验基础： 通过以前的学习，学生已经有了特殊直角三角形的性质以及相关的几何知识，以及初步掌握了数学思想和数学方法。
二、教学目标
知识目标 能应用勾股定理求边长，以及线段之间的数量关系。 能力目标 通过复习思考，从特殊角入手引导学生发现勾股定理中知二求一可以以很多形式出现，培养学生学会从特殊到一般的数学思想。 通过解题，增强了学生灵活应用知识的能力，还有视图能力，培养学生的数形结合思想以及一题多解的发散思维， 情感与价值观目标 通过探究，互相讨论、发表意见等学习活动，培养合作精神和倾听的习惯。 经历一题多解，比较特殊方法和一般方法，对学生的进行及时鼓励，培养学生的自信心。
三、教学重点、难点
重点：复习勾股定理和勾股定理的逆定理，勾股定理的应用。 难点：灵活应用勾股定理以及特殊角的情况。
四、教学流程设计
“勾股定理单元复习课”的教学设计
——基于大单元下的教学设计
教学展示 语言组织 设计意图
课题引入 教师开场介绍，同学们，大家好，今天我们一起来对勾股定理这个章节进行复习吧，希望同学们温故而知新。 开门见山，引入课题
全面回忆 如果我们将三条线段通过平移首尾顺次连接可以组成什么平面图形呢？ 是的，三角形，因为较短两线段之和大于第三条线段，满足三角形的构成条件。 同学们想一想这个三角形有什么特征？ 是的，是直角三角形，因为如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，则三角形是直角三角形。这是直角三角形的判定定理。与勾股定理形成互逆定理，因为两个定理的条件和题设互换位置。 同学们，你们还了解直角三角形的哪些性质呢？无论从哪方面都可以举手发言。 回忆三角形的构成条件，较短两边和大于第三边。 回忆勾股定理的性质定理以及逆定理 回忆两个定理是互逆定理。 回忆直角三角形的其他性质。
复习思考 我们已经对勾股定理及其逆定理进行了全面复习。 现在我提出一个问题，已知三角形的两边分别为3和4，你能得到什么结论？ 是的，不一定是直角三角形，所以另一边不一定是5。 那么这个三角形需要添加什么条件才能成为直角三角形呢？ 是的，方法一：两边3和4的夹角为直角，此刻才可以算出斜边长为5。方法二：让最长边为5，根据勾股定理的逆定理可得直角三角形。 引导同学们从两个角度去添加条件，一方面是角也就是形的方面，一方面是边也就是数的角度。让学生体会两个定理的是互通的以及体现数形结合的思想。
复习思考 通过刚才的问题讨论，我们知道多边形中发现并构造直角三角形是使用勾股定理的关键。希望同学们对勾股定理能有新的思考。 我们知道在直角三角形中，已知两条边可以求未知边。如果我给出这样的直角三角形，已知一条边和一个特殊角，你还能求出其他未知边吗？ 是的，要进行分来讨论，如图所示，直角边为1或者斜边为1,。在求解方程中，大家记得转化为最简二次根式。 在直角三角形中，给出一个特殊角和一条边都可以求出其他边，引导学生应用勾股定理列出方程从而求出未知边长，同时因为已知边长不确实是直角边还是斜边，所以需要学生进行分类讨论。
复习思考 如果把特殊角改成呢？你会分几种情况讨论？ 是的，分三种情况讨论。这道题请同学们课后完成。 同上面一样，但是这道题需要同学分三种情况讨论，区别于上面的三角形是等腰直角三角形。引导学生就题论题，锻炼学生随机应变的反应能力。
复习思考 为什么直角三角形中已知一条边、一个特殊角也可以求出直角三角形的其他位置边长呢？同学们你们谈谈自己的看法？ 是的，因为直角三角形中有了特殊角我们就知道三边之间的比值关系，所以知道一条边长就可以通过比值求出其他未知两条位置边长。 你们想过如果不是特殊角而是任意角这个结论还成立吗？以后到了初三你就可以回答这个问题了。 如果特殊角这个条件换成两边的和差关系，能求出其他边吗？ 归纳起来就是，在直角无论是知两边还是已知一条边、一个特殊角或者是两边的和差关系，都可以根据勾股定理求出其他未知边长 激发学生思考在直角三角形中已知一条边、一个特殊角与已知两边本质上存在内在联系，从而培养学生深入思考问题的习惯，在复习的基础上能温故而知新，同时给学生留白，期待九年级的三角函数学习。同时激发学生的发散思维，辐射到其他情况。
问题探究 通过刚才的问题我们知道从“数”和“形”的角度都可以构造直角三角形。有了直角三角形就可以计算相关线段的长。例如求这个四边形的面积？ 是的，连接AC，可以发现不规则四边形通过分割的方法转化成两个直角三角形，而直角三角形的面积等于直角边乘积的一半，方便求解。有的同学尝试通过做垂直用补的方法进行求解理论上也可以，大家课后可以试一试，比较割补法求此四边形的面积，看看哪种方法更适合本题求解。 学生应用已有直角连线构造直角三角形，同时通过勾股定理的逆定理发现另一个直角三角形，从而选择用分割的方法求出四边形的面积。另外，引导同学比较割补法求面积，学会选择最优求解方案。
问题探究 同学们，接下来我们把特殊直角三角形放入直角坐标系中来探讨一些相关的问题，例如:已知在直角三角形中所对的直角边为，请求出边OB的中点坐标。你有几种方法呢？ 第一种方法很通用，根据所对直角边等于斜边的一半，从而求出斜边AB=，再根据勾股定理求出BO=4，最后根据中点定义求出点P的横坐标。 第二种方法是直接根据AO:BO=1:,直接求出BO=4. 鼓励学生有了新的结论，要灵活应用，成为今后做题的活动经验，从而提升学生的解题能力。
问题探究 把长方形AOBC沿着对角线AB进行折叠，形成的图形如图所示，求点F的坐标。同学们你们发现了其它特殊角吗？是的有很多的角，我们先把它们全部标注出来。接下来你们有什么方法可以求出点F的坐标呢？ 同学们很聪明，用了三种方法进行求解。 思路①：在RT△AEO中，设OE=x,根据所对直角边等于斜边的一半，AE=2OE=2x，再根据勾股定理列出方程,从而求出x=2. 思路②：在RT△AEO中，已知OA=，直接根据OE:OA=1:,直接求出OE=2。 思路③：在RT△AEO中，设OE=x,根据等角对等边可以得到AE=BE=OB-OE=6-x,在根据勾股定理列出方程 求出x=2. 思路④：设OE=x,OE+EB=OB即x+2x=6, 求出x=2. 思路⑤：…… 我们主要针对四种方法来梳理一下，方法一和方法二都是根据特殊角找到边和边的数量关系，分别根据勾股定理列出方程以及直接计算求出OE的大小。 方法三和方法四都是根等腰三角形从而对线段进行转换，分别根据线段的和差以及勾股定理列出方程从而求出OE. 在矩形的翻折下，找出含特殊角的直角三角形，可以给计算带来很大的便利。同时激发学生的发散思维，一题多解。 另外，深化两个以下基本活动经验，一是上面说过特殊角可得三边之比，二是平行线中有角平分线的等腰三角形。
问题探究 同学们，如果删除特殊角的条件，而取而代之的是OB=6,这种情况你还有四种方法吗？ 是的，如果没有特殊角，你会发现第四种方法是最实用的，看来根据勾股定理列出方程是一种通用的方法。 和上面那个问题形成对比，从而突出勾股定理蕴含的等式可以作为列出方程的等量依据。体现做题的通法。同时渗透从特殊到一般的数学思想。
复习归纳 我们的课快要接近尾声了，通过本堂课的复习？你什么新的收获吗？ 很好，温顾而知新。 勾股定理在解题中作用是什么？应用勾股定理的关键是什么 勾股定理在图形中可求出线段的长度，关键是发现和构造直角三角形。 本节课你复习了哪些数学方法和数学思想？ 对本节课，通过提问引导学生进行及时的梳理和总结。
课后作业 同学们根据今天所学，在作业1中求出没有特殊角的情况下求出点E和点F的坐标。 另外，勾股定理确实可以求出未知线段的长度，但是结论的本身体现的是线段与线段之间的数量关心，那么作业2，同学们可以尝试构造之间三角形进行证明。 同学们，今天我们的课到此结束。 作业一是让学生继续应用勾股定理建立方程求未知线段。作业二通过灵活构造直角三角形应用勾股定理找出线段之间的数量关系。 希望学生课后进行巩固和提升，体会勾股定理的作用。(共13张PPT)
勾股定理的单元复习
人教版·八年级下册
（1）在边长为1的正方形网格中作出长为5的线段.
（2）在边长为1的正方形网格中作出长为的线段.
（3）在边长为1的正方形网格中作出长为的线段.
（4）将长为5，，的三条线段首尾顺次相
接能组成什么图形？
∵+ =25
∴这是一个直角三角形
勾股定理逆定理
全面回忆
复习思考
1.已知△ABC中，其中两边长分别是3和4，你能得到什么结论？
【追问】这个三角形添加什么条件才能变成直角三角形.
①添加一个直角
②添加一条边为5
③添加一条边为
4
3
3
5
4
4
3
2.(1)在直角三角形中，已知一条边长为1，一个锐角为 45°，你能求出其他边长吗？
1
复习思考
2.(2)在直角三角形中，已知一条边长为1，一个锐角为 30°，你能求出其他边长吗？
复习思考
BC:AC:AB=1:1:
BC:AC:AB=1::2
复习思考
【问题1】如图所示，四边形ABCD中，AB=4,BC=3,CD=13,AD=12, 且∠B=90°，求四边形ABCD的面积.
解：由题意得 AC=
∵+=
∴∠CAD=90°
∴S四边形ABCD=
6
30
问题探究
(1)若点P是BO的中点，请求出点P坐标.
解：由图可知，在Rt△ABO中，
∵∠ABO=30°.AO= ,
∴AB=2AO= .
∴BO=
∵点P是BO的中点,
∴PO=3
即P点坐标（3,0）.
问题探究
另解：根AO:BO=1:，
BO= AO=6
∵点P是BO的中点,
∴PO=3
即P点坐标（3,0）.
【问题1】如图所示，在直角坐标系中，点A的坐标是
（0，），点B 在x轴的正半轴上，且 ∠ABO=30°.
（2）分别过点A、B作y轴，x轴垂线，交于点 C,再将△ABC沿AB翻折，C的对应点为F,AF与 x轴交于点E，请求出E点坐标.
问题探究
30°
30°
30°
30°
30°
分析前提：由（1）可知在Rt△ABO中,OB=6, AO=
由折叠可知BF= ,AF=6,∠ BAF=30°
根据“等角对等边”可得： AE=BE
【问题2】如图所示，在直角坐标系中，点A的坐标是
（0，），点B 在x轴的正半轴上，且 ∠ABO=30°.
（2）分别过点A、B作y轴，x轴垂线，交于点C,再将△ABC沿AB翻折，C的对应点为F,AF与x轴交于点E，请求出E点坐标.
问题探究
30°
30°
30°
30°
30°
思路②：在Rt△AEO中,EO:AO=1: ,EO==2，即E(2,0)
思路①：在Rt△AEO中,设EO=x,则AE=2x,
+ ,求得x=2，即E(2,0)
思路③：设EO=x, 则BE=AE=2x,根据EO+EB=6可得x+2x=6,求得x=2，即E(2,0)
思路④：在Rt△AEO中,设EO=x,AE=6-x,+ ,求得x=2，即E(2,0)
分析思路：
【问题2】如图所示，在直角坐标系中，点A的坐标是
（0，），点B 在x轴的正半轴上，且 ∠ABO=30°.
思路⑤：……
问题探究
x
6
解：∵AC∥ x轴，∴ ∠ BAC=∠ ABE
∵由折叠可知： ∠ BAC=∠ BAE
∴ ∠ ABE= ∠ BAE
∴ AE=BE
+ ,
求得x=2，
∴ EO=2，即E点坐标是(2,0)
∵在Rt△AEO中，设EO= x，则AE=BE= 6-x
分别过点A、B作y轴，x轴垂线，交于点C,再将△ABC沿AB翻折，C的对应点为F,AF与x轴交于点E，请求出E点坐标.
【问题3】如图所示，在直角坐标系中，点A的坐标是
（0，），点B 在x轴的正半轴上，且AB=6.
梳理反思
【作业一】
【作业二】
布置作业
D

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