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专题4
1.一次函数的图象过点，，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据一次函数的图象分析增减性即可．
【详解】因为一次函数的一次项系数小于0,所以y随x增减而减小．
故选B．
【总结】本题考查一次函数图象的增减性,关键在于分析一次项系数与零的关系．
2.直线不经过第二象限，则关于的方程实数解的个数是（ ）.
A．0个 B．1个 C．2个 D．1个或2个
【答案】D
【分析】根据直线不经过第二象限，得到，再分两种情况判断方程的解的情况.
【详解】∵直线不经过第二象限，
∴，
∵方程，
当a=0时，方程为一元一次方程，故有一个解，
当a<0时，方程为一元二次方程，
∵ =，
∴4-4a>0，
∴方程有两个不相等的实数根，
故选：D.
【总结】此题考查一次函数的性质：利用函数图象经过的象限判断字母的符号，方程的解的情况，注意易错点是a的取值范围，再分类讨论.
3.下列各点在函数图象上的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据一次函数图象上点的坐标特征，将选项中的各点分别代入函数解析式，进行计算即可得到答案．
【详解】解：一次函数图象上的点都在函数图象上，
函数图象上的点都满足函数解析式，
A.当时，，故本选项错误，不符合题意；
B.当时，，故本选项错误，不符合题意；
C.当时，，故本选项错误，不符合题意；
D.当时，，故本选项正确，符合题意；
故选：D．
【总结】本题主要考查了一次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握一次函数图象上的点都在函数图象上，是解题的关键．
4.为了响应“建设绿美中山”的号召，我市某学校计划从某苗木基地购进A、B两种树苗共200棵绿化校园．已知购买3棵A种树苗和4棵B种树苗共需620元；购买2棵A种树苗和3棵B种树苗共需440元．
(1)每棵A种树苗、B种树苗各需多少元？
(2)学校除支付购买树苗的费用外，平均每棵树苗还需支付运输及种植费用20元，设学校购买B种树苗x棵，购买两种树苗及运输、种植所需的总费用为y元，求y与x的函数关系．
(3)在（2）的条件下，若学校用于绿化的总费用在22400元限额内，且购买A种树苗的数量不少于B种树苗的数量，请给出一种费用最省的方案，并求出该方案所需的费用．
【答案】(1)每棵A种树苗需要100元，每棵B种树苗需要80元
(2)
(3)当购进100棵A种树苗，100棵B种树苗时，总费用最少，最少费用为22000元
【分析】本题考查了二元一次方程组的应用、一元一次不等式组的应用以及一次函数的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，找出关于的函数关系式；（3）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组．
（1）设每棵种树苗需要元，每棵种树苗需要元，根据“购买了3棵种树苗和4棵种树苗共需620元；购买2棵种树苗和3棵种树苗共需440元”，可列出关于，的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）由购进两种树苗的总棵数及购进种树苗的棵数，可得出学校购买种树苗棵，利用购买两种树苗及运输、种植所需的总费用单价数量每棵树苗的运输及种植费用，即可找出与的函数关系式；
（3）根据“购买种树苗的数量不少于种树苗的数量，且学校用于绿化的总费用在22400元限额内”，可列出关于的一元一次不等式组，解之可得出的取值范围，再利用一次函数的性质，即可解决最值问题．
【详解】（1）解：设每棵种树苗需要元，每棵种树苗需要元，
根据题意得：，
解得：．
答：每棵种树苗需要100元，每棵种树苗需要80元；
（2）解：学校计划从某苗木基地购进、两种树苗共200棵绿化校园，且学校购买种树苗棵，
学校购买种树苗棵．
根据题意得：，
即；
（3）解：根据题意得：，
解得：．
，
随的增大而减小，
当时，取得最小值，最小值，此时．
答：当购进100棵种树苗，100棵种树苗时，总费用最少，最少费用为22000元．
5.（2024·广东深圳·二模）如图，在平面直角坐标系中，将直线向右平移5个单位长度得到直线．
(1)直接画出直线；
(2)的解析式为______；
(3)直线与之间的距离为______个单位长度．
【答案】(1)见解析
(2)
(3)
【分析】（1）根据平移的性质画出直线；
（2）利用平移的规律求得直线的解析式；
（3）根据三角形面积公式即可得到结论．
【详解】（1）如图，
（2）将直线向右平移5个单位长度得到直线为；
故答案为：；
（3）如图，过O作于C，反向延长交于D，
∵与x轴交于，与y轴交于，
与x轴交于，与y轴交于，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴直线与之间的距离为个单位长度，
故答案为：．
【总结】此题考查了一次函数图象与几何变换，勾股定理，一次函数与坐标轴的交点，正确把握变换规律是解题关键．
知识点一 一次函数的基础
1.一次函数的基础
正比例函数的定义：一般地，形如的函数，叫做正比例函数，其中k叫做比例系数.
一次函数的定义：一般地，形如的函数，叫做一次函数.
【补充】正比例函数是一次函数的特例（当b=0时），即正比例函数是一次函数，而一次函数不一定是正比例函数.
一次函数的一般形式：.
特征：1）k≠0；2）x的次数为1；3）常数b可以取任意实数.
【注意】一般地，一次函数中自变量x的取值范围是任意实数，但在实际问题中x的取值范围要根据具体问题的实际意义来确定.
2.待定系数法
待定系数法：先设出函数解析式，再根据条件确定解析式中未知的系数，从而得出函数解析式的方法叫做待定系数法.
用待定系数法确定一次函数解析式的一般步骤：
1）设：设一次函数的解析式为；
2）列：将已知条件代入解析式，列出关于k、b的二元一次方程组；
3）解：解二元一次方程组，求出k、b；
4）代：将k、b的值代回所设的函数解析式中.
1.正比例函数的图像与性质
正比例函数的图像：正比例函数的图像是经过原点（0，0）的一条直线.
正比例函数的性质：
k的符号 图像 图像的位置 增减性
k＞0 图像经过原点 和第一、三象限 y随x增大而增大
k＜0 图像经过原点 和第二、四象限 y随x增大而减小
【补充】正比例函数必过点（0,0）、（1，k）.
2.一次函数的图像与性质
一次函数的图像：一次函数的图像是一条直线，通常也称直线.
一次函数的性质：
一次函数
k、b 的符号 k＞0 k＜0
b＞0 b＝0 b＜0 b＞0 b＝0 b＜0
图像
趋势 从左向右看图像呈上升趋势 从左向右看图像呈下降趋势
增减性 y随x增大而增大 y随x增大而减小
与y轴交点的位置 正半轴 原点 负半轴 正半轴 原点 负半轴
经过 的象限 第一、二、 三象限 第一、三象限 第一、三、 四象限 第一、二、 四象限 第二、四象限 第二、三、 四象限
【补充说明】
1）一次函数的位置由k、b共同决定，k的符号决定一次函数的增减性，b的符号决定一次函数与y轴的交点位置.
2）
的三角形面积为.
3.k，b的符号与直线的关系
在直线中，令y=0，则x=，即直线与x轴交于
1）当时，即k，b异号时，直线与x轴交于正半轴．
2）当，即b=0时，直线经过原点．
3）当，即k，b同号时，直线与x轴交于负半轴．
4.正比例函数与一次函数图像的关系
图像关系：正比例函数的图像是经过原点的一条直线，一次函数的图像可由正比例函数的图像平移|b|个单位长度得到.（当b＞0时，向上平移；当b＜0时，向下平移）
常见的变换方式：
平移变换 平移方式（m＞0） 函数解析式
向上平移m个单位
向下平移m个单位
向左平移m个单位
向右平移m个单位
平移口诀：左加有减（只改变x），上加下减（只改变y）.
对称变换 变换方式 变换后
关于x轴对称
关于y轴对称
关于原点对称
对称口诀：关于谁对称谁不变，关于原点对称都改变.
知识点二 一次函数的图像与性质
1.正比例函数的图像与性质
正比例函数的图像：正比例函数的图像是经过原点（0，0）的一条直线.
正比例函数的性质：
k的符号 图像 图像的位置 增减性
k＞0 图像经过原点 和第一、三象限 y随x增大而增大
k＜0 图像经过原点 和第二、四象限 y随x增大而减小
【补充】正比例函数必过点（0,0）、（1，k）.
2.一次函数的图像与性质
一次函数的图像：一次函数的图像是一条直线，通常也称直线.
一次函数的性质：
一次函数
k、b 的符号 k＞0 k＜0
b＞0 b＝0 b＜0 b＞0 b＝0 b＜0
图像
趋势 从左向右看图像呈上升趋势 从左向右看图像呈下降趋势
增减性 y随x增大而增大 y随x增大而减小
与y轴交点的位置 正半轴 原点 负半轴 正半轴 原点 负半轴
经过 的象限 第一、二、 三象限 第一、三象限 第一、三、 四象限 第一、二、 四象限 第二、四象限 第二、三、 四象限
【补充说明】
1）一次函数的位置由k、b共同决定，k的符号决定一次函数的增减性，b的符号决定一次函数与y轴的交点位置.
2）
的三角形面积为.
3.k，b的符号与直线的关系
在直线中，令y=0，则x=，即直线与x轴交于
1）当时，即k，b异号时，直线与x轴交于正半轴．
2）当，即b=0时，直线经过原点．
3）当，即k，b同号时，直线与x轴交于负半轴．
4.正比例函数与一次函数图像的关系
图像关系：正比例函数的图像是经过原点的一条直线，一次函数的图像可由正比例函数的图像平移|b|个单位长度得到.（当b＞0时，向上平移；当b＜0时，向下平移）
常见的变换方式：
平移变换 平移方式（m＞0） 函数解析式
向上平移m个单位
向下平移m个单位
向左平移m个单位
向右平移m个单位
平移口诀：左加有减（只改变x），上加下减（只改变y）.
对称变换 变换方式 变换后
关于x轴对称
关于y轴对称
关于原点对称
对称口诀：关于谁对称谁不变，关于原点对称都改变.
知识点三 一次函数与方程（组）、不等式
1.一次函数与一元一次方程
从“数”上看：方程的解 函数中，y=0时对应的x的值
从“形”上看：方程的解 函数的图像与x轴交点的横坐标.
【补充】对于一次函数，已知x的值求y的值，或已知y的值求x的值时，就是把问题转化为关于y或x的一元一次方程来求解.
2.一次函数与二元一次方程组
从“数”的角度看：解二元一次方程组相当于考虑自变量为何值时，两个函数的值相等，以及这两个函数值是何值；
从“形”的角度看：解二元一次方程组相当于确定两条直线的交点坐标，一般地，如果一个二元一次方程组有唯一解，那么这个解就是方程组对应的两条直线的交点坐标.
【补充】
1）二元一次方程组的图像解法：画出两个一次函数的图像，找出它们的交点坐标，即得相应的二元一次方程组的解.
2）确定两条直线交点坐标的方法：联立两个一次函数的解析式，构建二元一次方程组，通过解方程组，即可确定两条直线的交点坐标.
3.一次函数与一元一次不等式
从“数”的角度看：解一元一次不等式就是寻求使一次函数的值大于（或小于）0的自变量x的取值范围；
从“形”的角度看：就是确定直线在x轴上（或下）方部分的点的横坐标满足的条件.
利用解一元一次不等式可确定相应的函数值对应的自变量的取值范围，具体的对应关系如下：
1）不等式的解集直线在x轴上方的部分所对应的x的取值范围；
2）不等式的解集直线在x轴下方的部分所对应的x的取值范围；
3）不等式的解集直线在直线上方的部分所对应的x的取值范围；
4）不等式的解集直线在直线下方的部分所对应的x的取值范围.
【补充】不解不等式而直接写出不等式解集的方法：
1）根据图像，求出两直线的交点的横坐标;
2）交点是分水岭，交点左右，哪个图像在上方哪个图像就大，反之亦然.
关于函数，下列结论成立的是（ ）．
A．函数图象经过点 B．随的增大而增大
C．当时， D．函数图象不经过第一象限
【答案】C
【分析】本题考查了一次函数的性质，熟练掌握一次函数的性质是解题关键．将代入解析式求出函数值，即可判断A选项；根据一次函数的增减性，即可判断B选项；根据一次函数与坐标轴的交点坐标，即可判断C选项；根据一次函数的系数，即可判断D选项．
【详解】解：A．当时，，即函数图象经过点，原结论错误，不符合题意；
B．，即随的增大而减小，原结论错误，不符合题意；
C．函数过点，即当时，，原结论正确，符合题意
D．函数图象经过一、二、四象限，原结论错误，不符合题意；
故选：C．
2．（2022·山东济南·中考真题）某学校要建一块矩形菜地供学生参加劳动实践，菜地的一边靠墙，另外三边用木栏围成，木栏总长为40m．如图所示，设矩形一边长为xm，另一边长为ym，当x在一定范围内变化时，y随x的变化而变化，则y与x满足的函数关系是（ ）
A．正比例函数关系 B．一次函数关系
C．反比例函数关系 D．二次函数关系
【答案】B
【分析】根据矩形周长找出关于x和y的等量关系即可解答．
【详解】解：根据题意得：
，
∴，
∴y与x满足的函数关系是一次函数；
故选：B．
【总结】本题通过矩形的周长考查一次函数的定义，解题的关键是理清实际问题中的等量关系准确地列式．
3.（2024·广东广州·二模）正比例函数的图象经过点，则此图象一定经过点（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题主要考查了正比例函数．熟练掌握正比例函数图象经过的点的坐标适合解析式，是解决问题的关键．
将点代入正比例函数，得正比例函数的解析式为．根据正比例函数图象经过的点的坐标适合解析式，逐项判断．
【详解】∵函数的图象经过点，
∴，
∴，
∴，
A．，
时，，
∴的图象不经过点；
B．，
时，，
∴的图象经过点；
C．，
时，，
∴的图象不经过点；
D．，
时，，
∴的图象不经过点．
故选：B．
4.（2024·广东·中考真题）已知不等式的解集是，则一次函数的图象大致是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】本题考查一次函数与一元一次不等式，解不等式的方法：从函数的角度看，就是寻求使一次函数的值大于（或小于）0的自变量x的取值范围．找到当函数图象位于x轴的下方的图象即可．
【详解】解∶∵不等式的解集是，
∴当时，，
观察各个选项，只有选项B符合题意，
故选：B．
5.（2023·内蒙古·中考真题）如图，直线与双曲线交于点和点，则不等式的解集是（ ）
A． B．
C．或 D．或
【答案】B
【分析】利用数形相结合，借助图象求出不等式的解集即可．
【详解】解：∵把 ，直线与双曲线交于点和点，
∴当时，直线在双曲线的下方且直线在x轴的上方，
∴不等式的解集是：，
故选：B．
【总结】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，反比例函数图象上点的坐标特征，利用数形相结合的思想是解此题的关键．
6.（2022·广东广州·中考真题）点在正比例函数（）的图象上，则的值为（ ）
A．-15 B．15 C． D．
【答案】D
【分析】直接把已知点代入，即可求出k的值．
【详解】解：∵点在正比例函数的图象上，
∴，
∴，
故选：D．
【总结】此题考查了用待定系数法求正比例函数的解析式，解题关键是正确得出k的值．
7.（2024·广东佛山·三模）把直线向上平移三个单位长度后经过点，则b的值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题主要考查了一次函数图象的平移，待定系数法求一次函数解析式．先求出平移后的直线解析式，再根据平移后的直线经过点进行求解即可．
【详解】解：将直线向上平移3个单位长度后的直线解析式为，
平移后的直线经过点，
，
，
故选：B．
8.（2024·广东·模拟预测）下列函数中，y是x的一次函数的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查一次函数的定义，一般地，形如（k，b为常数，且）的函数称为一次函数，据此逐项判断即可．
【详解】解：A、是一次函数，符合题意；
B、不是一次函数，不符合题意；
C、不是一次函数，不符合题意；
D、不是一次函数，不符合题意．
故选：A
9.（2024·广东·中考真题）已知不等式的解集是，则一次函数的图象大致是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】本题考查一次函数与一元一次不等式，解不等式的方法：从函数的角度看，就是寻求使一次函数的值大于（或小于）0的自变量x的取值范围．找到当函数图象位于x轴的下方的图象即可．
【详解】解∶∵不等式的解集是，
∴当时，，
观察各个选项，只有选项B符合题意，
故选：B．
10.（2024·江苏镇江·中考真题）点、在一次函数的图像上，则 （用“”、“”或“”填空）．
【答案】<
【分析】本题主要考查了一次函数图象的性质，根据，可知一次函数值y随着x的增大而增大，再比较x值的大小，可得答案．
【详解】∵一次函数中，，
∴一次函数值y随着x的增大而增大．
∵，
∴．
故答案为：．
11.已知一次函数的图象经过点与点，求该一次函数的表达式．
【答案】
【分析】将两个点代入解析式求解即可．
【详解】解：∵一次函数的图象经过点与点，
∴代入解析式得：，
解得：，
∴一次函数的解析式为：．
【总结】题目主要考查待定系数法确定一次函数解析式．
12.（2024·广东广州·中考真题）一个人的脚印信息往往对应着这个人某些方面的基本特征．某数学兴趣小组收集了大量不同人群的身高和脚长数据，通过对数据的整理和分析，发现身高和脚长之间近似存在一个函数关系，部分数据如下表：
脚长 … …
身高 … …
(1)在图1中描出表中数据对应的点；
(2)根据表中数据，从和中选择一个函数模型，使它能近似地反映身高和脚长的函数关系，并求出这个函数的解析式（不要求写出的取值范围）；
(3)如图2，某场所发现了一个人的脚印，脚长约为，请根据（2）中求出的函数解析式，估计这个人的身高．
【答案】(1)见解析
(2)
(3)
【分析】本题考查了函数的实际应用，正确理解题意，选择合适的函数模型是解题关键．
（1）根据表格数据即可描点；
（2）选择函数近似地反映身高和脚长的函数关系，将点代入即可求解；
（3）将代入代入即可求解；
【详解】（1）解：如图所示：

（2）解：由图可知：随着的增大而增大，
因此选择函数近似地反映身高和脚长的函数关系，
将点代入得：
，
解得：
∴
（3）解：将代入得：
∴估计这个人身高
13.（2022·广东·中考真题）物理实验证实：在弹性限度内，某弹簧长度y（）与所挂物体质量x（）满足函数关系．下表是测量物体质量时，该弹簧长度与所挂物体质量的数量关系．
x 0 2 5
y 15 19 25
(1)求y与x的函数关系式；
(2)当弹簧长度为20时，求所挂物体的质量．
【答案】(1)
(2)所挂物体的质量为2.5kg
【分析】（1）由表格可代入x=2，y=19进行求解函数解析式；
（2）由（1）可把y=20代入函数解析式进行求解即可．
【详解】（1）解：由表格可把x=2，y=19代入解析式得：
，
解得：，
∴y与x的函数关系式为；
（2）解：把y=20代入（1）中函数解析式得：
，
解得：，
即所挂物体的质量为2.5kg．
【总结】本题主要考查一次函数的应用，解题的关键是得出一次函数解析式．
14.（2023·广东广州·中考真题）因活动需要购买某种水果，数学活动小组的同学通过市场调查得知：在甲商店购买该水果的费用（元）与该水果的质量x（千克）之间的关系如图所示；在乙商店购买该水果的费用（元）与该水果的质量x（千克）之间的函数解析式为（）.
（1）求与x之间的函数解析式；
（2）现计划用600元购买该水果，选甲、乙哪家商店能购买该水果更多一些？
【答案】（1）当时，；当时，
（2）选甲家商店能购买该水果更多一些
【解析】
【分析】（1）利用待定系数法求解析式；
（2）分别计算时时x的值，比较即可得到结论
【小问1详解】
解：当时，设，
将代入，得，
∴，
∴；
当时，设，将点，代入，得
，解得，
∴
【小问2详解】
当时，，解得；
当时，，解得，
∵，
∴选甲家商店能购买该水果更多一些．
【总结】此题考查了一次函数的实际应用，待定系数法求一次函数的解析式，求自变量的值，正确理解函数图象是解题的关键．
15.（2024·广东汕头·一模）如图，点B，，，……在x轴上，点A在y轴上，轴，轴，交点为点C，直线经过原点O和点C；点是的中点，，轴，轴，直线经过点O和点；点是的中点，轴，轴，直线经过点O和点……以此类推，若点，则直线的解析式为 ．
【答案】
【分析】本题考查了求一次函数的解析式．先利用待定系数法求得直线的解析式为；直线的解析式为；直线的解析式为；得到规律，依规律求解即可．
【详解】解：设直线的解析式为，
∵，
∴，解得，
∴直线的解析式为；
由题意得，同理直线的解析式为；
，同理直线的解析式为；
∴直线的解析式为；
故答案为：．
16.（2024·广东深圳·三模）在初中阶段的函数学习中，我们经历了“确定函数的表达式→利用函数图象研究其性质→运用函数解决问题”的学习过程．结合学习函数的经验，探究函数的图象与性质，探究过程如下，请补充完整．
（1）列表：
x … 0 1 2 3 4 …
y … b …
（2）描点并连线．
（3）观察图象并填空：
① ，
②写出该函数的一条性质：
③图象与x轴围成的三角形面积为
④当时，直接写出x的取值范围
【答案】（2）见解析；（3）①，；②当时，y随x增大而增大（或）当时，y随x增大而减小（或）当时，y取最小；③16；④或
【分析】本题考查画函数图象，利用函数图象分析解决问题，掌握描点画图是解题的关键．
（2）根据表格描出各点，然后连接即可得到图象；
（3）①把给的任一点的坐标代入求出，然后把代入解题即可；
②观察图象得到性质即可；
④先根据求出自变量x的值，然后借助图象回答即可．
【详解】（2）如图
（3）①把，代入得，解得，
∴当时，，
故答案为：，；
②当时，y随x增大而增大 （或）当时，y随x增大而减小 （或）当时，y取最小
③令，则，解得，，
∴图象与x轴围成的三角形面积为，
故答案为：16 ；
④令，则，解得，，
∴由图像可知，当时，直接写出x的取值范围或．
17.某施工队承接了一项修路任务，每天下班前登记施工进度，列表记录了开工天以来的修路情况，其中表示开工的天数（单位：天），表示剩余未修道路长度（单位：千米）．为描述剩余未修道路长度与开工数的关系，现有以下三种函数关系式可供选择，，．
(1)请在如图所示的平面直角坐标系中描出表中数据对应的点，再选出最符合实际的函数模型，求出相应的函数表达式；
(2)若想要比原计划提前一天完成施工任务，求之后几天平均每天比原计划多修的长度．
【答案】(1)图见解析，
(2)之后几天平均每天比原计划多修千米
【分析】题目主要考查一次函数的应用及待定系数法确定函数解析式，理解题意，确定函数解析式是解题关键．
（1）在坐标系中描出点，根据图象选择一次函数，利用待定系数法确定函数解析式即可．
（2）令，由得，，所以按照原计划还需天可修完，还有千米，平均每天需要修千米．因为要提前一天完成任务，所以之后几天需要每天修（千米）．因为（千米），所以之后几天平均每天比原计划多修千米．
【详解】（1）解：描点如图，
根据图象选择函数，
将，代入得
得，
解得，
．
（2）令，由得，，
按照原计划还需天可修完，还有千米，平均每天需要修千米．
要提前一天完成任务，
之后几天需要每天修（千米）．
（千米），
之后几天平均每天比原计划多修千米．
1．（2024·陕西西安·模拟预测）正比例函数的图像经过点和点，则的值为（ ）
A． B． C． D．2
【答案】B
【分析】本题考查了正比例函数的定义，待定系数法求得解析式是解题的关键．
设正比例函数表达式为，将点代入正比例函数表达式为，得出，则，再将点代入，即可求解．
【详解】解：设正比例函数表达式为，将点代入，
解得，则，
将点代入，
得，解得．
故选：B．
（2024·广东河源·一模）在同一平面直角坐标系中，一次函数与的图象如图所示，则下列结论正确的是（ ）

A．
B．随x的增大而增大
C．当时，
D．关于x，y的方程组的解为
【答案】C
【分析】本题考查了一次函数与方程、不等式的关系．根据一次函数与方程、不等式的关系求解．
【详解】解：A、由图象得：，，所以，故本选项不符合题意；
B、由图象得随的增大而减小，故本选项不符合题意；
C、由图象得：当时，，故本选项符合题意；
D、由图象得：的解为，故本选项不符合题意．
故选：C．
3.（2024·陕西西安·三模）已知正比例函数的图象经过第二、四象限，则（　　）
A．y随x的增大而减小
B．y随x的增大而增大
C．当时，y随x的增大而增大；当时，y随x的增大而减小
D．无论x如何变化，y不变
【答案】A
【分析】本题主要考查了正比函数的图象和性质，根据正比例函数的图象和性质即可求解．
【详解】∵正比例函数的图象经过第二、四象限，
∴
∴y随x的增大而减小．
故选：A．
4．（2024·湖南岳阳·模拟预测）若正比例函数的图象经过点，则这个图象必经过点（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了正比例函数的图象和性质，先求出该正比例函数解析式，再逐个判断即可．
【详解】解：设正比例函数解析式为，
将代入得：，
∴正比例函数解析式为，
当时，，故不在该正比例函数图象上，不符合题意；
当时，，故不在该正比例函数图象上，不符合题意；
当时，，故不在该正比例函数图象上，不符合题意；
当时，，故在该正比例函数图象上，符合题意；
故选：D．
5.（2024·广东汕头·二模）若直线与直线关于直线对称，则k、b值分别为（ ）
A．、 B．、 C．、 D．、
【答案】D
【分析】本题考查的是一次函数图象与几何变换，待定系数法求函数解析式，先根据题意得出直线与坐标轴的交点是解决问题的关键．
先求出一次函数与轴交点关于直线的对称点，得到的值，再求出一次函数与轴交点关于直线的对称点，代入一次函数，求出的值即可．
【详解】解：∵一次函数与轴交点为，
∴点关于直线的对称点为，
代入直线，可得，
∵一次函数与轴交点为，
∴关于直线的对称点为，
代入直线，可得，
解得．
故选：D．
直线与直线在同一平面直角坐标系中的图象如图所示，则不等式
的解集 为
【答案】
【分析】本题考查一次函数的交点问题，利用两条直线交点求不等式的解集．根据题意利用数形结合求出不等式的解集即可．
【详解】解：由函数图象可知，当时，的图象在图象的下方．
故答案为：．
7.（2023·宁夏·中考真题）如图是某种杆秤．在秤杆的点处固定提纽，点处挂秤盘，点为0刻度点．当秤盘不放物品时，提起提纽，秤砣所挂位置移动到点，秤杆处于平衡．秤盘放入克物品后移动秤砣，当秤砣所挂位置与提扭的距离为毫米时秤杆处于平衡．测得与的几组对应数据如下表：
/克 0 2 4 6 10
/毫米 10 14 18 22 30
由表中数据的规律可知，当克时， 毫米．

【答案】50
【分析】根据表格可得y与x的函数关系式，再将代入求解即可．
【详解】解：由表格可得，物品每增加2克，秤砣所挂位置与提扭的距离增加4毫米，则物品每增加1克，秤砣所挂位置与提扭的距离增加2毫米，
当不挂重物时，秤砣所挂位置与提扭的距离为10毫米，
∴y与x的函数关系式为，
当时，，
故答案为：50．
【总结】本题考查由表格得函数关系式以及求函数值，通过表格得出函数关系式是解题的关键．
8.（2024·广东韶关·模拟预测）如图，机器人从点O出发，向正西方向走到达点；再向正北方向走到达点；再向正东方向走到达点；再向正南方向走到达点；再向正西方向走到达点…，按如此规律走下去，当机器人走到点时，点的坐标为
【答案】
【分析】本题考查了坐标的规律，正确找到序号数与点所在象限的关系是解题的关键．
根据题意，得，在第二象限；在第一象限；在第四象限；在第三象限；在第二象限，由此得到点坐标位置环节为4，即序号数减去1除以4，余数为1，位于第二象限；余数为2，位于第一象限；余数为3，位于第四象限；余数为0，位于第三象限；且位于第四象限的点的横坐标，纵坐标的绝对值都等于序号数，解答即可．
【详解】根据题意，得，在第二象限；在第一象限；在第四象限；在第三象限；在第二象限，
由此得到点坐标位置环节为4，即序号数减去1除以4，余数为1，位于第二象限；
余数为2，位于第一象限；余数为3，位于第四象限；余数为0，位于第三象限；且位于第四象限的点的横坐标，纵坐标的绝对值都等于序号数，
由，
故点位于第四象限，
故点的坐标为；
故答案为：．
9.（2024·广东云浮·一模）已知直线l经过点和点，求直线l的解析式．
【答案】
【分析】本题考查的是利用待定系数法求解一次函数的解析式，把点，代入，再进一步求解可得答案．
【详解】解：设直线的解析式为．
把点，代入，
得，
解得，
10.为加强公民的节水意识，某城市制定了以下用水收费标准：每户每月用水未超过7立方米时，每立方米收费元并加收元的城市污水处理费；超过7立方米的部分每立方米收费元并加收元的城市污水处理费．设某户每月用水量为x(立方米)，应交水费为y(元)．
(1)分别写出未超过7立方米和多于7立方米时，y与x的函数关系式；
(2)如果小明家11月用水 12立方米，应付水费多少元？
【答案】(1)；
(2)元
【分析】本题考查列函数关系式和求函数值，解题的关键是读懂题意，理清收费标准．
（1）根据题干中给定的收费标准列出函数关系式即可．
（2）根据（1）所求把代入中求出y的值即可得到答案．
【详解】（1）解：由题意得，；
（2）解：在中，
当时，，
∴如果小明家11月用水 12立方米，应付水费元．
11.某玩具商店计划购进“汽车”玩具模型和“飞机”玩具模型，同样花费元，“汽车”模型的数量比“飞机”模型多个且每个“汽车”模型成本比每个“飞机”模型成本少．
(1)“汽车”和“飞机”模型的成本各多少元？
(2)该航模店计划购买两种模型共个，且每个“飞机”模型的售价为元，“汽车”模型的售价为元．设购买“飞机”模型个，售卖这两种模型可获得的利润为元，
①求与的函数关系式(不要求写出a的取值范围)；
②若购进“飞机”模型的数量不超过“汽车”模型数量的一半，则购进“飞机”模型多少个时，销售这批模型可以获得最大利润？最大利润是多少？
【答案】(1)“飞机”模型成本为每个元，“汽车”模型成本为每个元
(2)①与的函数关系式为；②购进“飞机”模型个时，销售这批模型可以获得最大利润，最大利润是元
【分析】本题考查一次函数的应用、一元一次不等式的应用和分式方程的应用，
（1）设“飞机”模型成本为每个元，则“汽车”模型成本为每个元，根据同样花费元，购进“汽车”模型的数量比“飞机”模型多个．列出方程，解方程即可，注意验根；
（2）①设购买“飞机”模型个，则购买“汽车”模型个，根据总利润两种模型利润之和列出函数解析式即可；
②根据购进“飞机”模型的数量不超过“汽车”模型数量的一半求出的取值范围，由函数的性质求最值即可．
【详解】（1）解：设“飞机”模型成本为每个元，则“汽车”模型成本为每个元，
根据题意得：
解得，
经检验，是原方程的解，且符合实际意义，
元，
答：“飞机”模型成本为每个元，“汽车”模型成本为每个元；
（2）①设购买“飞机”模型个，则购买“汽车”模型个，
则，
与的函数关系式为；
②∵购进“飞机”模型的数量不超过“汽车”模型数量的一半，
，
解得，
，，是正整数，
当时，最大，最大值为，
答：购进“飞机”模型个时，销售这批模型可以获得最大利润，最大利润是元．
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专题4
1.一次函数的图象过点，，，则（ ）
A． B． C． D．
2.直线不经过第二象限，则关于的方程实数解的个数是（ ）.
A．0个 B．1个 C．2个 D．1个或2个
3.下列各点在函数图象上的是（ ）
A． B． C． D．
4.为了响应“建设绿美中山”的号召，我市某学校计划从某苗木基地购进A、B两种树苗共200棵绿化校园．已知购买3棵A种树苗和4棵B种树苗共需620元；购买2棵A种树苗和3棵B种树苗共需440元．
(1)每棵A种树苗、B种树苗各需多少元？
(2)学校除支付购买树苗的费用外，平均每棵树苗还需支付运输及种植费用20元，设学校购买B种树苗x棵，购买两种树苗及运输、种植所需的总费用为y元，求y与x的函数关系．
(3)在（2）的条件下，若学校用于绿化的总费用在22400元限额内，且购买A种树苗的数量不少于B种树苗的数量，请给出一种费用最省的方案，并求出该方案所需的费用．
5.（2024·广东深圳·二模）如图，在平面直角坐标系中，将直线向右平移5个单位长度得到直线．
(1)直接画出直线；
(2)的解析式为______；
(3)直线与之间的距离为______个单位长度．
知识点一 一次函数的基础
1.一次函数的基础
正比例函数的定义：一般地，形如的函数，叫做正比例函数，其中k叫做比例系数.
一次函数的定义：一般地，形如的函数，叫做一次函数.
【补充】正比例函数是一次函数的特例（当b=0时），即正比例函数是一次函数，而一次函数不一定是正比例函数.
一次函数的一般形式：.
特征：1）k≠0；2）x的次数为1；3）常数b可以取任意实数.
【注意】一般地，一次函数中自变量x的取值范围是任意实数，但在实际问题中x的取值范围要根据具体问题的实际意义来确定.
2.待定系数法
待定系数法：先设出函数解析式，再根据条件确定解析式中未知的系数，从而得出函数解析式的方法叫做待定系数法.
用待定系数法确定一次函数解析式的一般步骤：
1）设：设一次函数的解析式为；
2）列：将已知条件代入解析式，列出关于k、b的二元一次方程组；
3）解：解二元一次方程组，求出k、b；
4）代：将k、b的值代回所设的函数解析式中.
1.正比例函数的图像与性质
正比例函数的图像：正比例函数的图像是经过原点（0，0）的一条直线.
正比例函数的性质：
k的符号 图像 图像的位置 增减性
k＞0 图像经过原点 和第一、三象限 y随x增大而增大
k＜0 图像经过原点 和第二、四象限 y随x增大而减小
【补充】正比例函数必过点（0,0）、（1，k）.
2.一次函数的图像与性质
一次函数的图像：一次函数的图像是一条直线，通常也称直线.
一次函数的性质：
一次函数
k、b 的符号 k＞0 k＜0
b＞0 b＝0 b＜0 b＞0 b＝0 b＜0
图像
趋势 从左向右看图像呈上升趋势 从左向右看图像呈下降趋势
增减性 y随x增大而增大 y随x增大而减小
与y轴交点的位置 正半轴 原点 负半轴 正半轴 原点 负半轴
经过 的象限 第一、二、 三象限 第一、三象限 第一、三、 四象限 第一、二、 四象限 第二、四象限 第二、三、 四象限
【补充说明】
1）一次函数的位置由k、b共同决定，k的符号决定一次函数的增减性，b的符号决定一次函数与y轴的交点位置.
2）
的三角形面积为.
3.k，b的符号与直线的关系
在直线中，令y=0，则x=，即直线与x轴交于
1）当时，即k，b异号时，直线与x轴交于正半轴．
2）当，即b=0时，直线经过原点．
3）当，即k，b同号时，直线与x轴交于负半轴．
4.正比例函数与一次函数图像的关系
图像关系：正比例函数的图像是经过原点的一条直线，一次函数的图像可由正比例函数的图像平移|b|个单位长度得到.（当b＞0时，向上平移；当b＜0时，向下平移）
常见的变换方式：
平移变换 平移方式（m＞0） 函数解析式
向上平移m个单位
向下平移m个单位
向左平移m个单位
向右平移m个单位
平移口诀：左加有减（只改变x），上加下减（只改变y）.
对称变换 变换方式 变换后
关于x轴对称
关于y轴对称
关于原点对称
对称口诀：关于谁对称谁不变，关于原点对称都改变.
知识点二 一次函数的图像与性质
1.正比例函数的图像与性质
正比例函数的图像：正比例函数的图像是经过原点（0，0）的一条直线.
正比例函数的性质：
k的符号 图像 图像的位置 增减性
k＞0 图像经过原点 和第一、三象限 y随x增大而增大
k＜0 图像经过原点 和第二、四象限 y随x增大而减小
【补充】正比例函数必过点（0,0）、（1，k）.
2.一次函数的图像与性质
一次函数的图像：一次函数的图像是一条直线，通常也称直线.
一次函数的性质：
一次函数
k、b 的符号 k＞0 k＜0
b＞0 b＝0 b＜0 b＞0 b＝0 b＜0
图像
趋势 从左向右看图像呈上升趋势 从左向右看图像呈下降趋势
增减性 y随x增大而增大 y随x增大而减小
与y轴交点的位置 正半轴 原点 负半轴 正半轴 原点 负半轴
经过 的象限 第一、二、 三象限 第一、三象限 第一、三、 四象限 第一、二、 四象限 第二、四象限 第二、三、 四象限
【补充说明】
1）一次函数的位置由k、b共同决定，k的符号决定一次函数的增减性，b的符号决定一次函数与y轴的交点位置.
2）
的三角形面积为.
3.k，b的符号与直线的关系
在直线中，令y=0，则x=，即直线与x轴交于
1）当时，即k，b异号时，直线与x轴交于正半轴．
2）当，即b=0时，直线经过原点．
3）当，即k，b同号时，直线与x轴交于负半轴．
4.正比例函数与一次函数图像的关系
图像关系：正比例函数的图像是经过原点的一条直线，一次函数的图像可由正比例函数的图像平移|b|个单位长度得到.（当b＞0时，向上平移；当b＜0时，向下平移）
常见的变换方式：
平移变换 平移方式（m＞0） 函数解析式
向上平移m个单位
向下平移m个单位
向左平移m个单位
向右平移m个单位
平移口诀：左加有减（只改变x），上加下减（只改变y）.
对称变换 变换方式 变换后
关于x轴对称
关于y轴对称
关于原点对称
对称口诀：关于谁对称谁不变，关于原点对称都改变.
知识点三 一次函数与方程（组）、不等式
1.一次函数与一元一次方程
从“数”上看：方程的解 函数中，y=0时对应的x的值
从“形”上看：方程的解 函数的图像与x轴交点的横坐标.
【补充】对于一次函数，已知x的值求y的值，或已知y的值求x的值时，就是把问题转化为关于y或x的一元一次方程来求解.
2.一次函数与二元一次方程组
从“数”的角度看：解二元一次方程组相当于考虑自变量为何值时，两个函数的值相等，以及这两个函数值是何值；
从“形”的角度看：解二元一次方程组相当于确定两条直线的交点坐标，一般地，如果一个二元一次方程组有唯一解，那么这个解就是方程组对应的两条直线的交点坐标.
【补充】
1）二元一次方程组的图像解法：画出两个一次函数的图像，找出它们的交点坐标，即得相应的二元一次方程组的解.
2）确定两条直线交点坐标的方法：联立两个一次函数的解析式，构建二元一次方程组，通过解方程组，即可确定两条直线的交点坐标.
3.一次函数与一元一次不等式
从“数”的角度看：解一元一次不等式就是寻求使一次函数的值大于（或小于）0的自变量x的取值范围；
从“形”的角度看：就是确定直线在x轴上（或下）方部分的点的横坐标满足的条件.
利用解一元一次不等式可确定相应的函数值对应的自变量的取值范围，具体的对应关系如下：
1）不等式的解集直线在x轴上方的部分所对应的x的取值范围；
2）不等式的解集直线在x轴下方的部分所对应的x的取值范围；
3）不等式的解集直线在直线上方的部分所对应的x的取值范围；
4）不等式的解集直线在直线下方的部分所对应的x的取值范围.
【补充】不解不等式而直接写出不等式解集的方法：
1）根据图像，求出两直线的交点的横坐标;
2）交点是分水岭，交点左右，哪个图像在上方哪个图像就大，反之亦然.
关于函数，下列结论成立的是（ ）．
A．函数图象经过点 B．随的增大而增大
C．当时， D．函数图象不经过第一象限
2．（2022·山东济南·中考真题）某学校要建一块矩形菜地供学生参加劳动实践，菜地的一边靠墙，另外三边用木栏围成，木栏总长为40m．如图所示，设矩形一边长为xm，另一边长为ym，当x在一定范围内变化时，y随x的变化而变化，则y与x满足的函数关系是（ ）
A．正比例函数关系 B．一次函数关系
C．反比例函数关系 D．二次函数关系
3.（2024·广东广州·二模）正比例函数的图象经过点，则此图象一定经过点（ ）
A． B． C． D．
4.（2024·广东·中考真题）已知不等式的解集是，则一次函数的图象大致是（ ）
A．B．C．D．
5.（2023·内蒙古·中考真题）如图，直线与双曲线交于点和点，则不等式的解集是（ ）
A． B．
C．或 D．或
6.（2022·广东广州·中考真题）点在正比例函数（）的图象上，则的值为（ ）
A．-15 B．15 C． D．
7.（2024·广东佛山·三模）把直线向上平移三个单位长度后经过点，则b的值是（ ）
A． B． C． D．
8.（2024·广东·模拟预测）下列函数中，y是x的一次函数的是（ ）
A． B． C． D．
9.（2024·广东·中考真题）已知不等式的解集是，则一次函数的图象大致是（ ）
A．B．C．D．
10.（2024·江苏镇江·中考真题）点、在一次函数的图像上，则 （用“”、“”或“”填空）．
11.已知一次函数的图象经过点与点，求该一次函数的表达式．
12.（2024·广东广州·中考真题）一个人的脚印信息往往对应着这个人某些方面的基本特征．某数学兴趣小组收集了大量不同人群的身高和脚长数据，通过对数据的整理和分析，发现身高和脚长之间近似存在一个函数关系，部分数据如下表：
脚长 … …
身高 … …
(1)在图1中描出表中数据对应的点；
(2)根据表中数据，从和中选择一个函数模型，使它能近似地反映身高和脚长的函数关系，并求出这个函数的解析式（不要求写出的取值范围）；
(3)如图2，某场所发现了一个人的脚印，脚长约为，请根据（2）中求出的函数解析式，估计这个人的身高．
13.（2022·广东·中考真题）物理实验证实：在弹性限度内，某弹簧长度y（）与所挂物体质量x（）满足函数关系．下表是测量物体质量时，该弹簧长度与所挂物体质量的数量关系．
x 0 2 5
y 15 19 25
(1)求y与x的函数关系式；
(2)当弹簧长度为20时，求所挂物体的质量．
14.（2023·广东广州·中考真题）因活动需要购买某种水果，数学活动小组的同学通过市场调查得知：在甲商店购买该水果的费用（元）与该水果的质量x（千克）之间的关系如图所示；在乙商店购买该水果的费用（元）与该水果的质量x（千克）之间的函数解析式为（）.
（1）求与x之间的函数解析式；
（2）现计划用600元购买该水果，选甲、乙哪家商店能购买该水果更多一些？
15.（2024·广东汕头·一模）如图，点B，，，……在x轴上，点A在y轴上，轴，轴，交点为点C，直线经过原点O和点C；点是的中点，，轴，轴，直线经过点O和点；点是的中点，轴，轴，直线经过点O和点……以此类推，若点，求直线的解析式.．
16.（2024·广东深圳·三模）在初中阶段的函数学习中，我们经历了“确定函数的表达式→利用函数图象研究其性质→运用函数解决问题”的学习过程．结合学习函数的经验，探究函数的图象与性质，探究过程如下，请补充完整．
（1）列表：
x … 0 1 2 3 4 …
y … b …
（2）描点并连线．
（3）观察图象并填空：
① ，
②写出该函数的一条性质：
③图象与x轴围成的三角形面积为
④当时，直接写出x的取值范围
17.某施工队承接了一项修路任务，每天下班前登记施工进度，列表记录了开工天以来的修路情况，其中表示开工的天数（单位：天），表示剩余未修道路长度（单位：千米）．为描述剩余未修道路长度与开工数的关系，现有以下三种函数关系式可供选择，，．
(1)请在如图所示的平面直角坐标系中描出表中数据对应的点，再选出最符合实际的函数模型，求出相应的函数表达式；
(2)若想要比原计划提前一天完成施工任务，求之后几天平均每天比原计划多修的长度．
1．（2024·陕西西安·模拟预测）正比例函数的图像经过点和点，则的值为（ ）
A． B． C． D．2
2.（2024·广东河源·一模）在同一平面直角坐标系中，一次函数与的图象如图所示，则下列结论正确的是（ ）

A．
B．随x的增大而增大
C．当时，
D．关于x，y的方程组的解为
3.（2024·陕西西安·三模）已知正比例函数的图象经过第二、四象限，则（　　）
A．y随x的增大而减小
B．y随x的增大而增大
C．当时，y随x的增大而增大；当时，y随x的增大而减小
D．无论x如何变化，y不变
4．（2024·湖南岳阳·模拟预测）若正比例函数的图象经过点，则这个图象必经过点（ ）
A． B． C． D．
5.（2024·广东汕头·二模）若直线与直线关于直线对称，则k、b值分别为（ ）
A．、 B．、 C．、 D．、
直线与直线在同一平面直角坐标系中的图象如图所示，则不等式
的解集 为
7.（2023·宁夏·中考真题）如图是某种杆秤．在秤杆的点处固定提纽，点处挂秤盘，点为0刻度点．当秤盘不放物品时，提起提纽，秤砣所挂位置移动到点，秤杆处于平衡．秤盘放入克物品后移动秤砣，当秤砣所挂位置与提扭的距离为毫米时秤杆处于平衡．测得与的几组对应数据如下表：
/克 0 2 4 6 10
/毫米 10 14 18 22 30
由表中数据的规律可知，当克时， 毫米．

8.（2024·广东韶关·模拟预测）如图，机器人从点O出发，向正西方向走到达点；再向正北方向走到达点；再向正东方向走到达点；再向正南方向走到达点；再向正西方向走到达点…，按如此规律走下去，当机器人走到点时，点的坐标为
9.（2024·广东云浮·一模）已知直线l经过点和点，求直线l的解析式．
10.为加强公民的节水意识，某城市制定了以下用水收费标准：每户每月用水未超过7立方米时，每立方米收费元并加收元的城市污水处理费；超过7立方米的部分每立方米收费元并加收元的城市污水处理费．设某户每月用水量为x(立方米)，应交水费为y(元)．
(1)分别写出未超过7立方米和多于7立方米时，y与x的函数关系式；
(2)如果小明家11月用水 12立方米，应付水费多少元？
11.某玩具商店计划购进“汽车”玩具模型和“飞机”玩具模型，同样花费元，“汽车”模型的数量比“飞机”模型多个且每个“汽车”模型成本比每个“飞机”模型成本少．
(1)“汽车”和“飞机”模型的成本各多少元？
(2)该航模店计划购买两种模型共个，且每个“飞机”模型的售价为元，“汽车”模型的售价为元．设购买“飞机”模型个，售卖这两种模型可获得的利润为元，
①求与的函数关系式(不要求写出a的取值范围)；
②若购进“飞机”模型的数量不超过“汽车”模型数量的一半，则购进“飞机”模型多少个时，销售这批模型可以获得最大利润？最大利润是多少？
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