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10.4 三元一次方程组的解法
第十章 二元一次方程组
七年级数学·人教版
1.了解三元一次方程组的概念.
2.能解简单的三元一次方程组，在解的过程中进一步体会“消元”思想.
3.会解较复杂的三元一次方程组.
学习目标
导入新课
1.解二元一次方程组有哪几种方法？
2.解二元一次方程组的基本思路是什么？
二元一次方程组
代入
加减
消元
一元一次方程
化二元为一元
化归转化思想
代入消元法和加减消元法
消元法
思考：若含有3个未知数的方程组如何求解？
探究新知
知识点一 三元一次方程组的概念
问题： 1．题中有哪些未知量？你能找出哪些等量关系？
2．根据等量关系你能列出方程组吗？
3.观察列出的三个方程，你有什么发现？
问题：在一次足球联赛中，一支球队共参加了22场比赛。积47分，且胜的场数比负的场数的4倍多2。按照足球联赛的积分规则。胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分，那么这支球队胜、平、负各多少场
问题1：题中有哪些未知量？你能找出哪些等量关系？
未知量：
胜的场数
平的场数
负的场数
每一个未知量都用一个字母表示
x场
y场
z场
三个未知数（张）
问题2：等量关系：
(1)胜的场数+平的场数+负的场数=12
(2)胜的积分+平的积分=47
(3)胜的场数比负的场数的4倍多2
用方程表示等量关系.
x+y+z=22.

3x+y=47.

x=4z+2

问题3：观察列出的三个方程，你有什么发现？
二元一次方程
三元一次方程
含两个未知数
未知数的次数都是1
含三个未知数
未知数的次数都是1
x十y十z=22.
3x+y=47
x=4z+2.
这个问题的解必须同时满足上面三个条件，因此，我们把这三个方程合在一起。写成
归纳：在这个方程组中，含有三个未知数，每个方程中所含未知数的项的次数都是1，并且一共有三个方程，像这样的方程组叫做三元一次方程组.
1.下列方程组不是三元一次方程组的是 ( )
A.
B.
C.
D.
D
注意： 组成三元一次方程组的三个一次方程中，不一定要求每一个一次方程都含有三个未知数．
2、下列方程组中，是三元一次方程组的是(　　)
A. B.
C. D.
D
知识点二 三元一次方程组的解法
类似二元一次方程组的解，三元一次方程组中各个方程的公共解，叫做这个三元一次方程组的解.
怎样解三元一次方程组呢？
能不能像以前一样“消元”，把“三元”化成“二元”呢？
解方程组
解：由方程③得 x=4z+2 ④
把④分别代入①②得
解由⑤⑥组成的二元一次方程组，得
把z=3代入③，得x=14
所以原方程的解是



归纳：解三元一次方程组的基本思路是：通过“代入”或“加减”进行 ，把 转化为 ，使解三元一次方程组转化为解 ，进而再转化为解 .
三元一次方程组
二元一次方程组
一元一次方程
消元
消元
消元
“三元”
“二元”
二元一次方程组
一元一次方程
【例1】解三元一次方程组：
例2 在等式 y=ax2＋bx＋c中,当x=－1时,y=0;当x=2时,y=3;当x=5时,
y=60. 求a,b,c的值.
解:根据题意，得三元一次方程组
②－①， 得 a＋b=1 ④；
③－①，得 4a＋b=10 ⑤；
④与⑤组成二元一次方程组
解得
把代入①，得c=-5,
因此
知识点三 三元一次方程组的应用
例3 幼儿营养标准中要求每一个幼儿每天所需的营养量中应包含35单位的铁、70单位的钙和35单位的维生素.现有一批营养师根据上面的标准给幼儿园小朋友们配餐，其中包含A、B、C三种食物，下表给出的是每份（50g)食物A、B、C分别所含的铁、钙和维生素的量（单位）
食物 铁 钙 维生素
A 5 20 5
B 5 10 15
C 10 10 5
（1）如果设食谱中A、B、C三种食物各为x、y、z份，请列出方程组，使得A、B、C三种食物中所含的营养量刚好满足幼儿营养标准中的要求.
（2）解该三元一次方程组，求出满足要求的A、B、C的份数.
解：(1)由该食谱中包含35单位的铁、70单位的钙和35单位的维生素，得方程组



(2) - ×4, - ,得
⑤

④
⑤+④,得
⑥

④
通过回代，得 z=2,y=1,x=2.
答：该食谱中包含A种食物2份，B种食物1份，C种食物2份.
课堂练习
1.若x＋2y＋3z＝10，4x＋3y＋2z＝15，则x＋y＋z的值为（ ）
A.2 B.3 C.4 D.5
D
2.解方程组 ,则x＝_____，y＝_______，
z＝_______.
x＋y－z＝11，
y＋z－x＝5，
z＋x－y＝1.
①
②
③
6
8
3
3.若|a－b－1|＋(b－2a＋c)2＋|2c－b|＝0，求a，b，c的值．
解：因为三个非负数的和等于0，所以每个非负数都为0.
可得方程组
解得
4.一个三位数，十位上的数字是个位上的数字的 ，百位上的数字与十位上的数字之和比个位上的数字大1.将百位与个位上的数字对调后得到的新三位数比原三位数大495，求原三位数．
解：设原三位数百位、十位、个位上的数字分别为x、y、z.由题意，得
解得答：原三位数是368.
课堂小结
三元一次方程组
三元一次方程组的概念
三元一次方程组的解法
三元一次方程组的应用
课后作业
完成本节课对应练习。

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