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第十一章 不等式与不等式组
11.1 不等式
11.1.1 不等式及其解集
1.了解不等式及一元一次不等式的概念；
2.能用不等式表示简单的不等关系.
学习目标
导入新课
如图，用两根长度均为l cm的绳子分别围成一个正方形和一个圆.
该正方形与圆面积有什么关系呢？
知识点一 不等式的概念
问题1 一辆汽车在高速公路上匀速行驶，6：00时汽车距前方的A地210km，汽车要在8:00之前驶过A地，车速应满足什么条件
探究新知
分析：
分析:设车速是xkm/h,
汽车要在8:00之前驶过A地，从时间上看，就是以xkm/h的速度行驶210km的时间不到2h，这个不等关系可以表示为
从路程上看，就是以xkm/h的速度行驶2h的路程要超过210km，这个不等关系可以表示为
2x>210.
像①和②这样用符号“<”或“>”表示大小关
系的式子，叫做不等式 . 像a+2≠a-2这样用符号
“≠”表示不等关系的式子也是不等式 .
不等式中常见的不等号有五种：
≠、＞、＜、≥、≤
一个式子是不等式，要把握两点：
一是含有不等号，
二是表示不等关系，而与不等式是否成立无关．
1、下列式子哪些是不等式？
是
不是
是
是
不是
是
① －1﹤3 ② －x+2=4
③ 3x ≠ 4y ④ 6 ﹥ 2
⑤ 2x －3 ⑥ 2m ﹤ n
知识点二 用不等式表示数量关系
列不等式的一般步骤是：
(1)分析题意，找出题目中的各种量；
(2)寻找各种量之间的不等关系；
(3)用代数式表示各量；
(4)用适当的符号将各量连接起来．
例1用不等式表示下列不等关系:
(1)a与15的和大于 27
(2)b的一半与3的差是负数
(3)某县在乡村振兴项目的援助下，共种植1333hm2猴桃，种植面积超过全县原有猕猴桃种植面积的18倍.
归纳： 列不等式首先要找出表示不等关系的关键词，
然后用表示数量关系的式子表示不等式的左边和右边．
2.用不等式表示：
(1) a是正数； (2) a是负数；
(3) a与5的和小于7；(4) a与2的差大于－1；
(5) a的4倍大于8； (6) a的一半小于3.
解：(1)a>0；(2)a<0；(3)a＋5<7；
(4)a－2>－1；(5)4a>8；(6) a<3.
3.下列数量关系用不等式表示错误的是(　　)
A．若a是负数，则a＜0
B．若m的值小于1，则m＜1
C．若x与－1的和大于0，则x－1＞0
D．若a的 大于b，则 a≠b
D
4.某市某天的最高气温是33 ℃，最低气温是24 ℃，则该市这一天的气温t(℃)的变化范围是(　　)
A．t＞33 B．t≤24
C．24＜t＜33 D．24≤t≤33
D
知识点三 不等式的解及解集
当不等式中的字母表示未知数时，经常需要求出未知数应取哪些值，如对于前面问题中的不等式2x>210，我们需要了解满足条件的车速x的值。例如,当x=90时，2x=180，不等式2x>210不成立;当x=110时，2x=220，不等式2x>210成立，这就是说，当x取某些值(如110)时，不等式2x>210成立;当x取某些值(如90)时，不等式不成立。
与方程的解类似，我们把使不等式成立的未知数的值叫作不等式的解，例如，110是不等式2x>210的解，而90不是不等式2x>210的解.

归纳：我们曾经学过“使方程两边相等的未知数的值就是方程的解”，我们也可以把使不等式成立的未知数的值叫做不等式的解．
探究：再取x的一些值试一试，看一看哪些是不等式2x＞210的解
x ... 90 110 ...
2x ... 180 220 ...
观察不等式2x＞210的解，它们都满足什么条件？
可以发现，当x>105时，不等式2x>210总成立；而当x<105或x=105时，不等式2x>210不成立。这就是说，任何一个大于105的数都是不等式2x>210的解，这样的解有无数个;任何一个小于或等于105的数都不是不等式2x>210的解。因此，x>105表示了能使不等式2x>210成立的x的取值范围.
由上可知，在前面的问题中，汽车要在8:00之前驶过A地，车速应大于105 km/h.
一般地，一个含有未知数的不等式的所有的解，组成这个不等式的解集.例如x>105是不等式2x>210的解集，它可以在数轴上直观表示(图11.1-1)。求不等式的解集的过程叫作解不等式。
例3 下列说法中，正确的是(　　)
A. x＝－3是不等式x＋4＜1的解
B. x＞ 是不等式－2x＞－3的解集
C．不等式x＞－5的负整数解有无数多个
D．不等式x＜7的非正整数解有无数多个
D
解析：当x＝－3时，x＋4＝－3＋4＝1，所以A错；取一个能使不等式x＞ 成立的值，如x＝2，代入不等式－2x＞－3，发现不等式－2x＞－3不成立，故x＝2不是－2x＞－3的解，所以x＞ 不是不等式－2x＞－3的解集，故B错；不等式x＞－5的负整数解只有－1，－2，－3，－4，共4个，所以C错．
归纳：判断一个数值是不是不等式的解，只需代入验证
即可．由于不等式的解集必须符合两个条件：
(1)解集中的每一个数值都能使不等式成立；
(2)能够使不等式成立的所有数值都在解集中，因此如果解集内有一个数能够使不等式不成立或解集外有一个数能够使不等式成立，那么这个解集就不是这个不等式的解集．
知识点
不等式解集在数轴上的表示法
议一议
请你用自己的方式将不等式x＞5的解集和不等式x－5≤－1的解集分别表示在数轴上，并与同伴交流.
不等式x＞5的解集可以用数轴上表示5的点的右边部分来表示（如图）在数轴上表示5的点的位置上画空心圆圈，表示5不在这个解集内.
不等式x－5≤－1的解集x≤4可以用数轴上表示4的点及其左边部分来表示（如图)，在数轴上表示4的点的位置上画实心圆点，表示4在这个解集内.
注意：
若不等号是“≥”或“≤”，则边界点为实心圆点；若不等号是“＞”或“＜”，则边界点为空心圆圈．
不等式的解集在数轴上的表示方法：
例4 在数轴上表示下列不等式的解集：
(1)x>2； (2)x≤3； (3)x<-1； (4)x≥1．
分析：
先画数轴，再定界点，最后定方向．
如图所示．
解：
归纳总结
(1)在定方向时，要注意不要搞错方向，大于向右．小于向左．
(2)有等于号(≤，≥)画实心圆点，无等于号(<，>)画空心圆圈．
(3)在数轴上表示不等式的解集，一般分三步：画数轴，定界点，定方向.
课堂练习
1．用不等式表示下列关系：
（1）a与3的和是正数；
（2）m的倒数大于n的一半；
（3）a与b和的 是非正数 .
解：（1）a+3＞0；
（2） ；
（3） (a+b)≤0
2.下列说法中，错误的是(　　)
A．不等式x<5的整数解有无数个
B．不等式x>－5的负数解有有限个
C．不等式x＋4>0的解集是x>－4
D．x＝－40是不等式2x<－8的一个解
B
3.下列说法中正确的是(　　)
A．x＝1是方程－2x＝2的解
B．x＝－1是不等式－2x>2的唯一解
C．x＝－2是不等式－2x>2的解集
D．x＝－2，－3都是不等式－2x>2的解且它的解有无数个
D
4.直接说出下列不等式的解集：
(1) x＋3＞6；(2) 2x＜8；(3) x－2＞0.
(1) x>3；
(2) x<4；
(3) x>2.
解：
5.下列数中哪些是不等式x＋3＞6的解？哪些不是？
－4，－2.5，0，1，2.5，3，3.2，4.8，8，12.
3.2，4.8，8，12是不等式x＋3>6的解；－4，－2.5，0，1，2.5，3不是不等式x＋3>6的解．
解：
6.在数轴上表示不等式x－1<0的解集，正确的是(　　)
C
7.某个关于x的不等式的解集在数轴上表示如图，则该解集是(　　)
A．－2＜x＜3 B．－2＜x≤3
C．－2≤x＜3 D．－2≤x≤3
B
课堂小结
知识方法要点 关键总结 注意事项
不等式的概念 表示不等关系的式子 注意“不大于”“不小于”的含义
列不等式 理清要比较的两个量；正确使用不等号 弄清题意，抓住关键词
不等式的解 能使不等式成立的未知数的值 指未知数的某个值
不等式的解集 一个含未知数的不等式的所有解 解集中包含了每一个不等式的解
不等式解集的表示方法 ①用简单的不等式表示；②用数轴表示
界点和方向
课后作业
完成本课时对应练习。

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