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2025年广西柳州市中考数学一模试卷
第I卷（选择题）
一、选择题：本题共12小题，每小题3分，共36分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.下列美术字中，是中心对称图形的是( )
A. B. C. D.
2.下列事件中，属于必然事件的是( )
A. 投掷一枚硬币时，硬币的正面朝上
B. 投掷飞镖一次，命中靶心
C. 从只装有白球的盒子里摸出一个球，摸到一个白球
D. 玩“石头，剪刀，布”，对方出“剪刀”
3.如图，点，，均在上，，则的度数为( )
A.
B.
C.
D.
4.已知反比例函数的图象位于第一、三象限，则的取值可以是( )
A. B. C. D.
5.已知扇形的半径为，圆心角为，则这个扇形的面积为( )
A. B. C. D.
6.如图，已知∽，：：，若的长度为，则的长度为( )
A.
B.
C.
D.
7.如图，已知与是以点为位似中心的位似图形，位似比为：，下列说法错误的是( )
A.
B. ：：
C.
D. ：：
8.若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的值可以是( )
A. B. C. D.
9.近年来，由于新能源汽车的崛起，燃油汽车的销量出现了不同程度的下滑，经销商纷纷开展降价促销活动某款燃油汽车今年月份售价为万元，月份售价为万元设该款汽车这两月售价的月均下降率是，则所列方程正确的是( )
A. B. C. D.
10.如图，在中，，，将绕点旋转至，使，交边于点，则的长是( )
A.
B.
C.
D.
11.某项目化研究小组只用一张矩形纸条和刻度尺，来测量一次性纸杯杯底的直径小敏同学想到了如下方法：如图，将纸条拉直并紧贴杯底，纸条的上下边沿分别与杯底相交于、、、四点，然后利用刻度尺量得该纸条的宽为，，请你帮忙计算纸杯杯底的直径为( )
A. B. C. D.
12.对称轴为直线的抛物线为常数，且如图所示，小明同学得出了以下结论：，，，，当时，随的增大而减小其中结论正确为( )
A.
B.
C.
D.
第II卷（非选择题）
二、填空题：本题共4小题，每小题3分，共12分。
13.在平面直角坐标系中，点与点关于原点对称，则点的坐标是______．
14.如图，是小莹设计用手电来测量某古城墙高度的示意图，在点处放一水平的平面镜，光线从点出发经平面镜反射后，刚好射到古城墙的顶端处，已知，，且测得米，米，米，那么该古墙的高度是______米
15.如图所示，为反比例函数图象上一点，垂直轴，垂足为点，若，则的值为______．
16.如图，在中，，，为边的高，点在轴上，点在轴上，点在第一象限，若从原点出发，沿轴向右以每秒个单位长的速度运动，则点随之沿轴下滑，并带动在平面内滑动，设运动时间为秒，当到达原点时停止运动连接，线段的长随的变化而变化，当最大时， ______．
三、解答题：本题共7小题，共52分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.本小题分
已知二次函数．
求当函数值时，自变量的值；
请判断此函数有最大值还是最小值，并求出最大值或最小值．
18.本小题分
如图，直线为常数，与双曲线为常数且相交于，两点．
求反比例函数的解析式；
请直接写出关于的不等式的解集．
连接、，求的面积．
19.本小题分
如图，有一个可以自由转动的转盘，被均匀分成等份，分别标上，，，，五个数字，甲、乙两人玩一个游戏，其规则如下：任意转动转盘一次，转盘停止后指针指向某个数字所在的区域，如果该区域所标的数字是偶数，则甲胜；如果该区域所标的数字是奇数，则乙胜．
转出的数字为的概率是______．
转出的数字不大于的概率是______．
你认为这样的游戏规则对甲、乙两人是否公平？为什么？
20.本小题分
某店销售某种进价为元的产品，已知该店按元出售时，每天可售出，后来经过市场调查发现，单价每降低元，则每天的销售量可增加．
若单价降低元，则每天的销售量是______千克，若单价降低元，则每天的销售量是______千克；用含的代数式表示
若该店销售这种产品计划每天获利元，单价应降价多少元？
当单价降低多少元时，该店每天的利润最大，最大利润是多少元？
21.本小题分
如图，是的直径，四边形内接于，连接，，过点作交的延长线于点．
求证：是的切线；
若，的半径为，求的长．
22.本小题分
综合探究运用二次函数来研究植物幼苗叶片的生长状况在大自然里，有很多数学的奥秘图是一片美丽的心形叶片，图是一棵生长的幼苗都可以看作把一条抛物线的一部分沿直线折叠而形成．
【探究一】确定心形叶片的形状
如图建立平面直角坐标系，心形叶片下部轮廓线可以看作是二次函数图象的一部分，已知图像过原点，求抛物线的解析式及顶点的坐标；
【探究二】研究心形叶片的宽度：
如图，在的条件下，心形叶片的对称轴，即直线与坐标轴交于，两点，抛物线与轴交于另一点，点，是叶片上的一对对称点，交直线于点求叶片此处的宽度；
【探究三】探究幼苗叶片的长度
小李同学在观察幼苗生长的过程中，发现幼苗叶片下方轮廓线都可以看作是二次函数图象的一部分；如图，幼苗叶片下方轮廓线正好对应探究一中的二次函数已知直线点为叶尖与水平线的夹角为，求幼苗叶片的长度．
23.本小题分
问题背景：一次数学综合实践活动课上，小慧发现并证明了关于三角形角平分线的一个结论如图，已知是的角平分线，可证小慧的证明思路是：如图，过点作，交的延长线于点，构造相似三角形来证明．
尝试证明：请参照小慧的思路，利用图证明；
基础训练：如图，在中，，是边上一点连接，将沿所在直线折叠，点恰好落在边上的点处若，，求的长；
拓展升华：如图，中，，，，的中垂线交延长线于点，当时，求的长．
1.【答案】
2.【答案】
3.【答案】
4.【答案】
5.【答案】
6.【答案】
7.【答案】
8.【答案】
9.【答案】
10.【答案】
11.【答案】
12.【答案】
13.【答案】
14.【答案】
15.【答案】
16.【答案】
17.【答案】解：当时，，
，
或，
，；
当函数值时，自变量的值为或；
因为，开口向上，所以函数有最小值．
，
此函数最小值为．
18.【答案】：由题意，将点代入双曲线解析式，
，
．
双曲线为．
关于的不等式的解集为：或．
在双曲线为，
，
，
将，代入，
得：，
解得：，
，
设与轴交于点，则坐标，
，
答：的面积为．
19.【答案】
20.【答案】
21.【答案】证明：如图，连接，，
，是半径，
，
是的直径，
，即，
，
过点作交的延长线于点，
，
是半径，
是的切线；
解：由题意知，，
由勾股定理得，；
是的直径，
；
，
，
∽，
，
，
解得，；
的长为．
22.【答案】解：心形叶片下部轮廓线可以看作是二次函数图象的一部分，且图象过原点，将代入得：
．
解得：．
抛物线的解析式为，
顶点的坐标为；
抛物线与轴交于另一点，点，是叶片上的一对对称点，
当时得：，
解得：，，
点的坐标为，
设的解析式为将点的坐标代入得：
．
解得：．
的解析式为．
联立得：，
解得：，
点的坐标为，
，
；
作抛物线的对称轴于点，则，
直线与水平线的夹角为，
．
设点的横坐标为，
抛物线的对称轴为直线，
．
顶点的坐标为，
点的纵坐标为．
点在抛物线上，
，
解得：，
点的坐标为，
．
23.【答案】证明：，
，，
∽，
，
是的角平分线，
，
，
，
；
解：将沿所在直线折叠，点恰好落在边上的点处，
，，
由可知：，
又，，
，
，
，
在直角三角形中，由勾股定理得：，
，
，
，
；
解：，即是的角平分线，
由可得：，
，，，
，
，
的中垂线交延长线于，
，
，
，，
，
，
∽，
，
又，
，
．
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