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2025年北京市中考数学模拟练习试卷
考生须知：
1.本试卷共6页，共两部分.三道大题，28道小题。满分100分。考试时间120分钟。
2.在试卷和草稿纸上准确填写姓名、准考证号、考场号和座位号。
3.试题答案一律填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。
4.在答题卡上.选择题、作图题用2B铅笔作答，其他试题用黑色字迹签字笔作答。
5.考试结束，将本试卷、答题卡和草稿纸一并交回。
一、选择题（共16分，每题2分）第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个
1.当前随着新一轮科技革命和产业变革孕育兴起，新能源汽车产业正进入加速发展的新阶段．
如图图案是我国的一些国产新能源车企的车标，图案既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
2 .根据中国航天局提供的资料，天和核心舱组合体运行轨道参数是：远地点高度约394900米；
近地点高度约384000米； 将数据394900用科学记数法可以表示为（ ）
A． B． C． D．
光线在不同介质中的传播速度是不同的，因此光线从水中射向空气时，要发生折射．
由于折射率相同，在水中平行的光线，在空气中也是平行的．
如图是从玻璃杯底部发出的一束平行光线经过水面折射形成的光线示意图，
水面与玻璃杯的底面平行．若，，则的大小是（ ）

A． B． C． D．
4 . 实数a，b，c，d在数轴上的位置如图所示，则下列结论中正确的是（ ）
A． B． C． D．
5. 若关于x的方程有解，则k的取值范围是（ ）
A． B． C．且 D．且
6 . 从甲、乙、丙、丁4名同学中随机抽取2名同学参加图书节志愿服务活动，
其中甲同学是女生，乙、丙、丁同学都是男生，被抽到的2名同学都是男生的概率为（ ）
A． B． C． D．
7 . 某商家设计了一个水箱水位自动报警仪，其电路图如图1所示，其中定值电阻，
是一个压敏电阻，用绝缘薄膜包好后放在一个硬质凹形绝缘盒中，放入水箱底部，受力面水平，
承受水压的面积S为0.01，压敏电阻的阻值随所受液体压力F的变化关系如图2所示
（水深h越深，压力F越大），电源电压保持6V不变，当电路中的电流为0.3A时，
报警器（电阻不计）开始报警，水的压强随深度变化的关系图象如图3所示
（参考公式：，，）．则下列说法中不正确的是（ ）
A．当水箱未装水（）时，压强p为0kPa
B．当报警器刚好开始报警时，水箱受到的压力F为40N
C．当报警器刚好开始报警时，水箱中水的深度h是0.8m
D．若想使水深1m时报警，应使定值电阻的阻值为
如图，在中，，，以点为圆心，以为半径作弧交于点，
再分别以，为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点，作射线交于点，
连接．以下结论不正确的是（ ）
A． B．
C． D．
二、填空题（共16分，每题2分）
9. 若是二次根式，则的取值范围是 ．
10.分解因式： .
11.方程的解为 ．
12. 反比例函数的图像经过点、及，则 ．
13 .某校为了解九年级1000名学生一分钟跳绳的情况，随机抽取50名学生进行一分钟跳绳测试，
获得了他们跳绳的数据（单位：个），数据整理如下：
跳绳的个数/个
人数/人 2 5 13 24 6
根据以上数据，估计九年级1000名学生中跳绳的个数不低于175个的人数为 人．
14 .如图，正五边形的边长为，以为圆心，以为半径作弧，
则阴影部分的面积为 （结果保留）．

15 . 小泽和小帅两同学分别从甲地出发，骑自行车沿同一条路到乙地参加社会实践活动．
如图折线和线段分别表示小泽和小帅离甲地的距离（单位：千米）与时间
（单位：小时）之间函数关系的图象，则当小帅到达乙地时，小泽距乙地的距离为 千米．
如图，在矩形中，，将矩形沿折叠，使得点和点重合并相交于点．
已知下列结论：①四边形是菱形； ②；
③若，则；④．
其中正确的结论是 （填写所有正确结论的序号）．
三、解答题（共68分，第17-19题每题5分，第20-21题每题6分，第22-23题每题5分，第24题6分，第25题5分，第26题6分，第27-28题每题7分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程.
17 . 计算：．
18.解不等式组：，并写出它的所有整数解．
19. 化简求值：，其中
在中，，分别是边的中点，延长到点，使，
连结．

求证：四边形是平行四边形．
连结，交于点，若，求的长．
21 .为按照国家体育器材设施配备目录及标准要求配足体育设施器材，某校计划购买一批篮球和足球．
已知购买个篮球和个足球共需元，购买3个篮球和2个足球共需元．
求每个篮球、足球的售价；
如果学校计划购买这两种球共个，足球个数不超过篮球个数的倍，
请你给出一种费用最少的购买方案，并求出该方案所需费用．
22 . 图1是某款篮球架，图2是其示意图，立柱垂直地面，支架与交于点，
支架交于点，支架平行地面，篮筺与支架在同一直线上，
米，米，．

求的度数．
(2) 某运动员准备给篮筐挂上篮网，如果他站在凳子上，最高可以把篮网挂到离地面米处，
那么他能挂上篮网吗？请通过计算说明理由．（参考数据：）
23 .第31届大学生夏季运动会在成都开幕，为更好地了解大运会，某中学在七、八年级举行了“迎大运知识竞赛”活动．现从七、八年级各随机抽取50名学生的竞赛成绩，整理如下：（得分用x表示，共分成四组：A．；B．；C．；D．．）八年级50名学生成绩数据中，落在C组中的成绩分别是：91，94，94，93，92，90，93，94，91，90，94，91，94，93，92．根据以上信息，解答下列问题：
七、八年级抽取的学生竞赛成绩统计表
班级 平均数 中位数 众数
七年级 91 92 95
八年级 91 96

(1)求出统计图中m的值，以及表格中n的值；
(2)该校八年级共800人参加了此次竞赛，估计参加此次竞赛成绩优秀（）的八年级学生有多少人？
(3)根据以上数据分析，你认为七、八年级哪个年级竞赛成绩较好？请说明理由．
24 .如图，已知的边所在的直线是的切线，切点为，经过圆心并与圆相交点，，过点作直线，交的延长线于点．
(1)求证：平分；
(2)若，，求的半径．
25. 我们学过二次函数的图象的平移，如：将二次函数的图象向左平移2个单位，再向下平移4个单位，所的图像的函数表达式是．类似地，函数的图象是由反比例函数的图象向右平移个单位，再向上平移个单位得到，其对称中心坐标为．

(1)①将的图象向右平移1个单位，所得图象的函数表达式为 ，再向上平移1个单位，所得图象的函数表达式为 ；
②函数的图象可由得图象向 平移 个单位得到；
③的图象可由哪儿个反比例函数的图象经过怎样的变换得到？
(2)如图，在平面直角坐标系中，请根据给的的图象画出函数的图象，并根据该图象指出，当在什么范围内变化时，．
(3)实际应用：某老师对一位学生的学习情况进行跟踪研究，假设刚学完新知识时的记忆存留量为1，新知识学习后经过的时间为，发现该生的记忆存留量随变化的函数关系式为；若在时进行第一次复习，发现他复习后的记忆存留量是复习前的2倍（复习的时间忽略不计），且复习后的记忆存留量随变化的函数关系式为．如果记忆存留量为时是复习的“最佳时机点”，且他第一次复习是在“最佳时机点”进行的，那么当为何值时，是他第二次复习的“最佳时机点”？请直接写出答案．
26 . 如图，已知直线y＝x+4与x轴交于点A，与y轴交于点C，抛物线y＝ax2+bx+c经过A，C两点，
且与x轴的另一个交点为B，对称轴为直线x＝﹣1．
(1)求抛物线的表达式；
(2) D是第二象限内抛物线上的动点，设点D的横坐标为m，
求四边形ABCD面积S的最大值及此时D点的坐标；
(3) 若点P在抛物线对称轴上，是否存在点P，Q，使以点A，C，P，Q为顶点的四边形是以AC为对角线的菱形？若存在，请求出P，Q两点的坐标；若不存在，请说明理由．
27 .某校数学活动小组在一次活动中，对一个数学问题作如下探究：
(1)问题发现：如图1，在等边中，点P是边上任意一点，连接AP，以为边作等边，连接，与的数量关系是 ；
(2)变式探究：如图2，在等腰中，，点P是边上任意一点，以为腰作等腰，使，，连接，判断和的数量关系，并说明理由；
(3)解决问题：如图3，在正方形中，点P是边上一点，以为边作正方形，Q是正方形的中心，连接．若正方形的边长为5，，求正方形的边长．
28 .对于线段和点给出如下定义：点在线段的垂直平分线上，
若以点为圆心，为半径的优弧上存在三个点，使得是等边三角形，
则称点是线段的“关联点”．例如，图1中的点是线段的一个“关联点”.
特别地，若这样的等边三角形有且只有一个，则称点是线段的“强关联点”．

在平面直角坐标系中，点的坐标为．
如图2，在点，，，中，是线段的“关联点”的是 ；
点在直线上．存在点，是线段的“关联点”，也是线段的“强关联点”．
① 直接写出点的坐标；
② 动点在第四象限且，记．若存在点，使得点是线段的“关联点”，
也是的“关联点”，直接写出及线段的取值范围．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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2025年北京市中考数学模拟练习试卷解答
考生须知：
1.本试卷共6页，共两部分.三道大题，28道小题。满分100分。考试时间120分钟。
2.在试卷和草稿纸上准确填写姓名、准考证号、考场号和座位号。
3.试题答案一律填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。
4.在答题卡上.选择题、作图题用2B铅笔作答，其他试题用黑色字迹签字笔作答。
5.考试结束，将本试卷、答题卡和草稿纸一并交回。
一、选择题（共16分，每题2分）第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个
1.当前随着新一轮科技革命和产业变革孕育兴起，新能源汽车产业正进入加速发展的新阶段．
如图图案是我国的一些国产新能源车企的车标，图案既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了轴对称图形和中心对称图形，根据轴对称图形和中心对称图形的概念对各选项分析判断即可得解．
【详解】A、该图形不是轴对称图形，也不是中心对称图形，不符合题意；
B、该图形是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意；
C、该图形是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意；
D、该图形既是中心对称图形又是轴对称图形，符合题意．
故选：D．
2 .根据中国航天局提供的资料，天和核心舱组合体运行轨道参数是：远地点高度约394900米；
近地点高度约384000米； 将数据394900用科学记数法可以表示为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．
【详解】解：．
故选：C．
光线在不同介质中的传播速度是不同的，因此光线从水中射向空气时，要发生折射．
由于折射率相同，在水中平行的光线，在空气中也是平行的．
如图是从玻璃杯底部发出的一束平行光线经过水面折射形成的光线示意图，
水面与玻璃杯的底面平行．若，，则的大小是（ ）

A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题主要考查平行线的性质，理解题意，掌握数形结合的思想是解题的关键．根据平行线的性质，，即可得到答案．
【详解】解：由平行线的性质可得，
，，
，
，
故选B．
4 . 实数a，b，c，d在数轴上的位置如图所示，则下列结论中正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据数轴上点的位置可知，根据a，b，c，d之间的大小关系，进行判断即可．
【详解】解：根据数轴上点的位置可得：，
∴，，，，
故选：D．
5. 若关于x的方程有解，则k的取值范围是（ ）
A． B． C．且 D．且
【答案】A
【分析】本题考查了方程有解的情况，以及一元二次方程根的判别式，根据以及分别讨论求解，即可解题．
【详解】解：关于x的方程有解，
当时，方程为，解得，
时，方程有解；
当，即时，方程为有解，
即，
，
解得，
综上所述，关于x的方程有解，k的取值范围是，
故选：A．
6 . 从甲、乙、丙、丁4名同学中随机抽取2名同学参加图书节志愿服务活动，
其中甲同学是女生，乙、丙、丁同学都是男生，被抽到的2名同学都是男生的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据题意画树状图，再利用概率公式，即可得到答案．
【详解】解：根据题意，画树状图如下：
一共有12种情况，被抽到的2名同学都是男生的情况有6种，
，
故选：B．
7 . 某商家设计了一个水箱水位自动报警仪，其电路图如图1所示，其中定值电阻，
是一个压敏电阻，用绝缘薄膜包好后放在一个硬质凹形绝缘盒中，放入水箱底部，受力面水平，
承受水压的面积S为0.01，压敏电阻的阻值随所受液体压力F的变化关系如图2所示
（水深h越深，压力F越大），电源电压保持6V不变，当电路中的电流为0.3A时，
报警器（电阻不计）开始报警，水的压强随深度变化的关系图象如图3所示
（参考公式：，，）．则下列说法中不正确的是（ ）
A．当水箱未装水（）时，压强p为0kPa
B．当报警器刚好开始报警时，水箱受到的压力F为40N
C．当报警器刚好开始报警时，水箱中水的深度h是0.8m
D．若想使水深1m时报警，应使定值电阻的阻值为
【答案】B
【分析】根据题意结合图、图、图可得，，对各个选项进行逐个计算即可．
【详解】A. 由图得：当时，，故此项说法正确；
B. 当报警器刚好开始报警时，，解得，由图可求得：，解得，故此项说法错误；
C. 当报警器刚好开始报警时，由上得，则有，，由图求得，，解得：，故此项说法正确；
D. 当报警器刚好开始报警时：，，当时，，，，，故此项说法正确．
故选：B．
如图，在中，，，以点为圆心，以为半径作弧交于点，
再分别以，为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点，作射线交于点，
连接．以下结论不正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】由题意得，，平分，根据三角形内角和及角平分线判断A即可；由角平分线求出，得到，根据三角形内角和求出，得到，即可判断B；证明，得到，设，则，求出x，即可判断C；过点E作于G，于H，由角平分线的性质定理推出，即可根据三角形面积公式判断D．
【详解】解：由题意得，，平分，
∵在中，，，
∴
∵平分，
∴，故A正确；
∵平分，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，故B正确；
∵，
∴，
∴，
设，则，
∴，
∴，
解得，
∴，
∴，故C错误；
过点E作于G，于H，

∵平分，，，
∴
∴，故D正确；
故选：C．
二、填空题（共16分，每题2分）
9. 若是二次根式，则的取值范围是 ．
【答案】
【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，熟练掌握二次根式有意义的条件是被开方数是非负数是解题的关键．根据被开方数是非负数，建立不等式求解即可．
【详解】解：是二次根式，
，即，
故答案为：．
10.分解因式： .
【答案】
【分析】先提取公因式，再套用公式分解即可．
本题考查了因式分解，熟练掌握先提取公因式，再套用公式分解是解题的关键．
【详解】．
故答案为：．
11.方程的解为 ．
【答案】
【分析】本题考查了解分式方程，注意不要漏掉检验这一关键步骤．
【详解】解：将分式方程化为整式方程得：，
解得：，
检验：当时，，
∴分式方程的解为：
故答案为：
12. 反比例函数的图像经过点、及，则 ．
【答案】2
【分析】设反比例函数解析式为，把点代入求出的值，得到反比例函数的解析式为，将、分别代入分别求出的值，最后计算即可．
【详解】解：设反比例函数解析式为，
把点代入得，
反比例函数的解析式为：，
把、分别代入得，
，，
解得：，，
，
故答案为：2．
13 .某校为了解九年级1000名学生一分钟跳绳的情况，随机抽取50名学生进行一分钟跳绳测试，
获得了他们跳绳的数据（单位：个），数据整理如下：
跳绳的个数/个
人数/人 2 5 13 24 6
根据以上数据，估计九年级1000名学生中跳绳的个数不低于175个的人数为 人．
【答案】600
【分析】本题考查了样本估计总体，先求出样本中学生中跳绳的个数不低于175个的人数的百分比，再乘以总数，即可求解；理解样本于总体之间的关系是解题的关键．
【详解】解：由题意得：
（人），
即估计九年级1000名学生中跳绳的个数不低于175个的人数为600人．
14 .如图，正五边形的边长为，以为圆心，以为半径作弧，
则阴影部分的面积为 （结果保留）．

【答案】
【分析】根据正多边形内角和公式求出正五边形的内角和，再求出的度数，利用扇形面积公式计算即可．
【详解】解：正五边形的内角和，
，
，
故答案为：．
15 . 小泽和小帅两同学分别从甲地出发，骑自行车沿同一条路到乙地参加社会实践活动．
如图折线和线段分别表示小泽和小帅离甲地的距离（单位：千米）与时间
（单位：小时）之间函数关系的图象，则当小帅到达乙地时，小泽距乙地的距离为 千米．
【答案】4
【分析】此题考查了一次函数的应用，准确求出函数解析式是解题的关键．先求出直线的解析式，再求出直线的解析式，求出当时，，即可得到答案．
【详解】解：由图象可得，点和点在直线上，设直线的解析式为：
代入得，，解得，
当时，，解得，
点点
点，点在直线上，
设直线的解析式为：
代入得，
解得
当时，，
此时小泽距离乙地的距离为：千米
故答案为：4
如图，在矩形中，，将矩形沿折叠，使得点和点重合并相交于点．
已知下列结论：①四边形是菱形； ②；
③若，则；④．
其中正确的结论是 （填写所有正确结论的序号）．
【答案】①②③
【分析】首先根据矩形的性质得到，进而得到，然后根据折叠的性质得到，，，等量代换得到，进而得到，证明出四边形是菱形，即可判断①；根据矩形的性质和折叠的性质得到，，即可证明出，进而判断②；根据三角形内角和定理得到，然后由菱形的性质得到，，进而求出，然后利用含角直角三角形的性质和等量代换得到，即可判断③；首先根据题意得到，，然后假设，得到，然后由题意得到，进而判断④．
【详解】∵四边形是矩形
∴
∴
∵将矩形沿折叠，使得点和点重合并相交于点
∴，，
∴
∴
∴
∴四边形是菱形，故①正确；
∵四边形是矩形
∴，
∴
∵将矩形沿折叠，使得点和点重合并相交于点
∴
∴，故②正确；
∵，
∴
∵四边形是菱形
∴，
∴
∵
∴
∵
∴
∵
∴，故③正确；
∵，
若
∴
∴
∴
而由题意的，，故④错误．
综上所述，其中正确的结论是①②③．
故答案为：①②③．
三、解答题（共68分，第17-19题每题5分，第20-21题每题6分，第22-23题每题5分，第24题6分，第25题5分，第26题6分，第27-28题每题7分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程.
17 . 计算：．
【答案】
【分析】本题考查了实数的混合运算，根据有理数的乘方，负指数幂，特殊角的三角函数值，二次根式的性质，进行计算即可求解．
【详解】解：
18.解不等式组：，并写出它的所有整数解．
【答案】，整数解为0，1，2
【分析】分别求解两个不等式，再写出解集，最后求出满足条件的整数解即可．
【详解】解：解不等式①，得，
解不等式②，得，
在同一条数轴上表示不等式①②的解集，

原不等式组的解集是，
∴整数解为0，1，2．
19. 化简求值：，其中
【答案】，
【分析】原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，
同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，再把的值代入计算即可求出值
【详解】解：
，
当时，原式．
在中，，分别是边的中点，延长到点，使，
连结．

求证：四边形是平行四边形．
连结，交于点，若，求的长．
【答案】(1)证明见解析；
(2)．
【分析】（）利用三角形中位线的性质得，进而可得，即可求证；
（）由可得，，利用勾股定理得，再根据平行四边形的性质得，，利用勾股定理求出即可求解；
本题考查了三角形中位线的性质，平行四边形的判定和性质，勾股定理，掌握三角形中位线的性质和平行四边形的性质是解题的关键．
【详解】（1）证明：∵分别为的中点，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴四边形是平行四边形；
（2）解：∵，，
∴，，
∵，
∴，
在中，，
在平行四边形中，，，
在中，，
∴．
21 .为按照国家体育器材设施配备目录及标准要求配足体育设施器材，某校计划购买一批篮球和足球．
已知购买个篮球和个足球共需元，购买3个篮球和2个足球共需元．
求每个篮球、足球的售价；
如果学校计划购买这两种球共个，足球个数不超过篮球个数的倍，
请你给出一种费用最少的购买方案，并求出该方案所需费用．
【答案】(1)每个篮球的售价为元，每个足球的售价为元
(2)费用最少的购买方案为购买篮球个、足球个，所需费用为元
【分析】（1）设每个篮球的售价为x元，每个排球的售价为y元，则每个足球的售价为y元，根据题意列方程组求解即可得到答案；
（2）设购买篮球m个，则购买足球总数为个，根据题意列不等式，求得，设购买篮球和足球的费用为元，再由题意列出关于m的一次函数，根据一次函数的性质即可得到答案．
【详解】（1）解：设每个篮球的售价为x元，每个足球的售价为y元，
依题意得：，
解得：，
答：每个篮球的售价为元，每个足球的售价为元；
（2）设购买篮球m个，则购买足球总数为个，
依题意，得：，
解得：，
设购买篮球和足球的费用为元，
由题意得：，
∵随的增大而增大，
∴当时，的值最小，
此时，，
答：费用最少的购买方案为购买篮球个、足球个，所需费用为元．
22 . 图1是某款篮球架，图2是其示意图，立柱垂直地面，支架与交于点，
支架交于点，支架平行地面，篮筺与支架在同一直线上，
米，米，．

求的度数．
(2) 某运动员准备给篮筐挂上篮网，如果他站在凳子上，最高可以把篮网挂到离地面米处，
那么他能挂上篮网吗？请通过计算说明理由．（参考数据：）
【答案】(1)
(2)该运动员能挂上篮网，理由见解析
【分析】（1）根据直角三角形的两个锐角互余即可求解；
（2）延长交于点，根据题意得出，解，求得，根据与比较即可求解．
【详解】（1）解：∵，
∴，
∵，
∴．
（2）该运动员能挂上篮网，理由如下．
如图，延长交于点，

∵，
∴，
又∵，
∴，
在中，，
∴，
∴该运动员能挂上篮网．
23 .第31届大学生夏季运动会在成都开幕，为更好地了解大运会，某中学在七、八年级举行了“迎大运知识竞赛”活动．现从七、八年级各随机抽取50名学生的竞赛成绩，整理如下：（得分用x表示，共分成四组：A．；B．；C．；D．．）八年级50名学生成绩数据中，落在C组中的成绩分别是：91，94，94，93，92，90，93，94，91，90，94，91，94，93，92．根据以上信息，解答下列问题：
七、八年级抽取的学生竞赛成绩统计表
班级 平均数 中位数 众数
七年级 91 92 95
八年级 91 96

(1)求出统计图中m的值，以及表格中n的值；
(2)该校八年级共800人参加了此次竞赛，估计参加此次竞赛成绩优秀（）的八年级学生有多少人？
(3)根据以上数据分析，你认为七、八年级哪个年级竞赛成绩较好？请说明理由．
【答案】(1)
(2)估计参加此次比赛成绩优秀（）的八年级学生人数是560人；
(3)八年级成绩较好，理由见解析
【分析】（1）先求得C组占比，即可求得D组占比；根据中位数的定义可求得n的值；
（2）样本估计总体可能求解；
（3）根据中位数的性质即可判断．
【详解】（1）解：C组占比：，
则D组占比：，
∴．
八年级50名学生成绩数据中，A、B组人数为，
中位数是第25、26个数据，落在C组，
C组中的成绩重新排列为：90，90，91，91，91，92，92，93，93，93，94，94，94，94，94．
由中位数是；
（2）解：（人）．
答：估计参加此次比赛成绩优秀（）的八年级学生人数是560人；
（3）解：八年级成绩较好．
从中位数看，七年级一半的学生分数不低于92分，八年级一半的学生分数不低于分；从众数看，八年级的众数高于七年级的众数．
24 .如图，已知的边所在的直线是的切线，切点为，经过圆心并与圆相交点，，过点作直线，交的延长线于点．
(1)求证：平分；
(2)若，，求的半径．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）连接，根据切线的性质可得，进而可证得，根据等腰三角形的性质和平行线的性质得到即可证得结论；
（2）连接，先利用圆周角定理和勾股定理求得，再证明得到，进而求得即可求解
【详解】（1）证明：连接，
∵边所在的直线是的切线，
∴，
又，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴平分；
（2）解：连接，
∵经过圆心并与圆相交点，，
∴，
∵在中，，，，
∴，
∵，，
∴，
∴即，
解得：，
∴的半径为．
25. 我们学过二次函数的图象的平移，如：将二次函数的图象向左平移2个单位，再向下平移4个单位，所的图像的函数表达式是．类似地，函数的图象是由反比例函数的图象向右平移个单位，再向上平移个单位得到，其对称中心坐标为．

(1)①将的图象向右平移1个单位，所得图象的函数表达式为 ，再向上平移1个单位，所得图象的函数表达式为 ；
②函数的图象可由得图象向 平移 个单位得到；
③的图象可由哪儿个反比例函数的图象经过怎样的变换得到？
(2)如图，在平面直角坐标系中，请根据给的的图象画出函数的图象，并根据该图象指出，当在什么范围内变化时，．
(3)实际应用：某老师对一位学生的学习情况进行跟踪研究，假设刚学完新知识时的记忆存留量为1，新知识学习后经过的时间为，发现该生的记忆存留量随变化的函数关系式为；若在时进行第一次复习，发现他复习后的记忆存留量是复习前的2倍（复习的时间忽略不计），且复习后的记忆存留量随变化的函数关系式为．如果记忆存留量为时是复习的“最佳时机点”，且他第一次复习是在“最佳时机点”进行的，那么当为何值时，是他第二次复习的“最佳时机点”？请直接写出答案．
【答案】(1)①，；②上，1；③它的图象可由反比例函数的图象先向右平移2个单位，再向上平移1个单位得到
(2)见解析，
(3)
【分析】（1）①由阅读部分提示信息直接作答即可；②由，结合提示信息可得答案；③由，结合提示信息可得答案；
（2）先判断是把先向右平移2个单位，再向下平移2个单位得到；再利用图象的平移进行画图即可，结合函数的图象可得时x的范围；
（3）先求出第一次复习的“最佳时机点”，然后代入，求出解析式，然后再求出第二次复习的“最佳时机点”．
【详解】（1）解：①由题意可得：将的图象向右平移1个单位，所得图象的函数表达式为，再向上平移1个单位，所得图象的函数表达式为；
②∵，
∴函数的图象可由得图象向上平移1个单位得到；
③∵，
∴它的图象可由反比例函数的图象先向右平移2个单位，再向上平移1个单位得到．
（2）∵是把先向右平移2个单位，再向下平移2个单位得到；
∴其对称中心是．图象如图所示：

由，得， 解得，经检验符合题意．
结合图象可得，当时，．
（3）当时， ，
则由，解得：，经检验符合题意，
即当时，进行第一次复习，复习后的记忆存留量变为1，
∴点在函数的图象上，
则，解得：， 经检验符合题意；
∴， 当，
解得：，经检验符合题意；
即当时，是他第二次复习的“最佳时机点”．
26 . 如图，已知直线y＝x+4与x轴交于点A，与y轴交于点C，抛物线y＝ax2+bx+c经过A，C两点，
且与x轴的另一个交点为B，对称轴为直线x＝﹣1．
(1)求抛物线的表达式；
(2) D是第二象限内抛物线上的动点，设点D的横坐标为m，
求四边形ABCD面积S的最大值及此时D点的坐标；
(3) 若点P在抛物线对称轴上，是否存在点P，Q，使以点A，C，P，Q为顶点的四边形是以AC为对角线的菱形？若存在，请求出P，Q两点的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)y＝﹣x2﹣x+4
(2)S最大＝，D（﹣，5）
(3)存在，Q（﹣2，）
【分析】（1）先求得A，C，B三点的坐标，将抛物线设为交点式，进一步求得结果；
（2）作DF⊥AB于F，交AC于E，根据点D和点E坐标可表示出DE的长，进而表示出三角形ADC的面积，进而表示出S的函数关系式，进一步求得结果；
（3）根据菱形性质可得PA＝PC，进而求得点P的坐标，根据菱形性质，进一步求得点Q坐标．
【详解】（1）解：当x＝0时，y＝4，
∴C （0，4），
当y＝0时，x+4＝0，
∴x＝﹣3，
∴A （﹣3，0），
∵对称轴为直线x＝﹣1，
∴B（1，0），
∴设抛物线的表达式：y＝a（x﹣1） （x+3），
∴4＝﹣3a，
∴a＝﹣，
∴抛物线的表达式为：y＝﹣（x﹣1） （x+3）＝﹣x2﹣x+4；
（2）如图1，
作DF⊥AB于F，交AC于E，
∴D（m，﹣﹣m+4），E（m，m+4），
∴DE＝﹣﹣m+4﹣（m+4）＝﹣m2﹣4m，
∴S△ADC＝OA＝ （﹣m2﹣4m）＝﹣2m2﹣6m，
∵S△ABC＝＝＝8，
∴S＝﹣2m2﹣6m+8＝﹣2（m+）2+，
∴当m＝﹣时，S最大＝，
当m＝﹣时，y＝﹣＝5，
∴D（﹣，5）；
（3）设P（﹣1，n），
∵以A，C，P，Q为顶点的四边形是以AC为对角线的菱形，
∴PA＝PC，
即：PA2＝PC2，
∴（﹣1+3）2+n2＝1+（n﹣4）2，
∴n＝，
∴P（﹣1，），
∵xP+xQ＝xA+xC，yP+yQ＝yA+yC
∴xQ＝﹣3﹣（﹣1）＝﹣2，yQ＝4﹣＝，
∴Q（﹣2，）．
27 .某校数学活动小组在一次活动中，对一个数学问题作如下探究：
(1)问题发现：如图1，在等边中，点P是边上任意一点，连接AP，以为边作等边，连接，与的数量关系是 ；
(2)变式探究：如图2，在等腰中，，点P是边上任意一点，以为腰作等腰，使，，连接，判断和的数量关系，并说明理由；
(3)解决问题：如图3，在正方形中，点P是边上一点，以为边作正方形，Q是正方形的中心，连接．若正方形的边长为5，，求正方形的边长．
【答案】(1)
(2)，理由见解析
(3)4
【分析】本题考查的是正方形的性质、三角形全等的判定和性质、三角形相似的判定和性质、勾股定理的应用，掌握相似三角形的判定定理和性质定理、正方形的性质是解题的关键．
（1）利用定理证明，根据全等三角形的性质解答；
（2）先证明，得到，再证明，根据相似三角形的性质解答即可；
（3）连接、，根据相似三角形的性质求出，根据勾股定理列出方程，解方程得到答案．
【详解】（1）问题发现：∵和都是等边三角形，
∴，，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
故答案为：；
（2）变式探究：，
理由如下：∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
（3）解决问题：如图3，连接、，
∵四边形是正方形，
∴，，
∵Q是正方形的中心，
∴，，
∴，即，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
设，则 ，
在中，，即，
解得，（舍去），，
∴正方形的边长为：．
对于线段和点给出如下定义：点在线段的垂直平分线上，
若以点为圆心，为半径的优弧上存在三个点，使得是等边三角形，
则称点是线段的“关联点”．例如，图1中的点是线段的一个“关联点”.
特别地，若这样的等边三角形有且只有一个，则称点是线段的“强关联点”．

在平面直角坐标系中，点的坐标为．
如图2，在点，，，中，是线段的“关联点”的是 ；
点在直线上．存在点，是线段的“关联点”，也是线段的“强关联点”．
① 直接写出点的坐标；
② 动点在第四象限且，记．若存在点，使得点是线段的“关联点”，
也是的“关联点”，直接写出及线段的取值范围．
【答案】(1)
(2)①；②或或；
【分析】（1）根据“关联点”的定义进行判断即可；
（2）①设直线与线段的垂直平分线交于点C，求出，根据点P是线段的“关联点”，是线段的“强关联点”，得出点P在直线上，，，证明，求出，得出点B的纵坐标为，即可求出结果；
②根据题意得出点D在以点A为圆心，2为半径的圆上，点Q在直线上，点Q也在的垂直平分线上，画出图形，找出临界点，然后求出的取值范围，的范围即可．
【详解】（1）解：在的垂直平分线上取点，连接，使，以点为圆心，为半径作圆，交的垂直平分线于点，连接，，

则，，
∴为等边三角形，
此时在优弧上只能作一个等边三角形，
∴点是线段的“强关联点”，
∵当时，在优弧上任意作一个圆周角一定大于，
∴要使线段的“关联点”存在，，
∵不在线段的垂直平分线上，
∴点不是线段的“关联点”，
连接，，，，如图所示：

∵，
∴，
∴，
∴，
∴点是线段的“关联点”，
∵，
∴，
∴点不是线段的“关联点”；
∵，
∴，
∴，
∴，
∴点是线段的“关联点”；
（2）解：①设直线与线段的垂直平分线交于点C，如图所示：

把代入得：，
∴，
∴，
∵点P是线段的“关联点”，是线段的“强关联点”，
∴点P在直线上，，，
∴，
∴，，
∴，，
∴点B的纵坐标为，
把代入得：，
解得：，
∴；
②∵，
∴点D在以点A为圆心，2为半径的圆上，
∵，，
∴点O、B在该圆上，
过点A作于点E，
∴，
∴垂直平分，
∴点Q在直线上，
根据解析①可知：，
∴当时，
∴，
∵点Q也在的垂直平分线上，
∴的垂直平分线必须与相交，
当时，的垂直平分线与的垂直平分线互相平行，此时的不符合题意，
根据解析（1）可知，当时，点Q不是的“关联点”，
∴要Q是的“关联点”，则，
即，
如图，取、，使，则点D在（不包括端点、）上时，不符合题意，
∴的取值范围是：或或，

作的垂直平分线交于点F，交于点Q，
则，
∴，
∵，
∴，
∴，
即．
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