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承德市高中2024—2025学年第一学期高三年级期末考试
数学试卷
注意事项：
1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上.
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
4．本试卷主要考试内容：高考全部内容.
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 已知集合，则（ ）
A. B. C. D.
2. 在复平面内对应的点位于（ ）
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
3. 2024年6月至10月全国进出口总值同比增长速度依次为，，则该组数据极差与中位数之和为（ ）
A. B. C. D.
4. 将函数图象上所有的点向左平移个单位长度，得到函数的图象，则（ ）
A. B. C. D.
5. 已知奇函数的定义域为，且在上的图象如图所示，则函数的零点个数为（ ）
A 7 B. 6 C. 5 D. 4
6. 已知是椭圆的右焦点，若过点且垂直于轴的直线被截得的弦长等于点到直线距离的一半，则的离心率为（ ）
A. B. C. D.
7. 已知函数，则（ ）
A.
B.
C.
D.
8. 《九章算术》是我国古代数学名著之一，其中记载了关于粟米分配问题．现将14斗粟米分给4个人，每人分到的粟米斗数均为整数，每人至少分到1斗粟米，则不同的分配方法有（ ）
A 715种 B. 572种 C. 312种 D. 286种
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 已知的内角的对边分别为为的中点，，则（ ）
A. B.
C. 的面积为 D.
10. 已知分别是双曲线的上、下焦点，过的直线与双曲线的上支交于两点，的长等于实轴长的2倍，且，则（ ）
A. 焦距为
B. 的渐近线方程为
C.
D. 的周长为
11. 已知正三棱锥外接球的表面积为，则下列结论正确的是（ ）
A. 正三棱锥外接球的体积为
B. 当时，点到底面的距离为2
C. 若满足条件的正三棱锥存在两个，则
D. 正三棱锥体积的最大值为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 若，则______，______．
13. 在正方体中，是上靠近的三等分点，则直线与平面所成角的正弦值为______．
14. 若，则______．
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 蛇年来临之际，某商场计划安排新春抽奖活动，方案如下：1号不透明的盒子中装有标有“吉”“安”“和”字样的小球，2号不透明的盒子中装有标有“祥”“康”“顺”字样的小球，顾客先从1号不透明的盒子中取出1个小球，再从2号不透明的盒子取出1个小球，若这2个球上的字组成“吉祥”“安康”“和顺”中的一个词语，则这位顾客中奖，反之没有中奖，每位顾客只能进行一轮抽奖．已知顾客从不透明的盒子取出标有“吉”“安”“和”“祥”“康”“顺”字样小球的概率均为，且顾客取出小球的结果相互独立．
（1）求顾客中奖的概率；
（2）若小明一家三口参加这个抽奖活动，求小明全家中奖次数的分布列及数学期望．
16. 如图，在直四棱柱中，，，.
（1）证明：四边形是梯形．
（2）求平面与平面夹角的余弦值．
17. 已知函数．
（1）求曲线在点处的切线与坐标轴围成的三角形的面积；
（2）若的导函数有最小值，且是增函数，求的取值范围．
18. 已知、、是的三个顶点，、分别为的外心、垂心．
（1）求点、的坐标（用、表示）；
（2）若，求点的轨迹；
（3）设第（2）问中点的轨迹为曲线，过点的直线与曲线交于、两点，与抛物线交于、两点（从左到右依次为、、、
），当最小时，求的斜率．
19. 若数列满足，且，则称是“摆动数列”．已知是“摆动数列”，且的前项和为．
（1）若，列出所有可能的取值；
（2）若，求的取值集合；
（3）若，等可能地取定的正负号（即与发生的概率相等），求是整数的概率．
承德市高中2024—2025学年第一学期高三年级期末考试
数学试卷 参考答案
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
【1题答案】
【答案】A
【2题答案】
【答案】D
【3题答案】
【答案】B
【4题答案】
【答案】C
【5题答案】
【答案】B
【6题答案】
【答案】C
【7题答案】
【答案】B
【8题答案】
【答案】D
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
【9题答案】
【答案】ABD
【10题答案】
【答案】CD
【11题答案】
【答案】ACD
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
【12题答案】
【答案】 ①. 3 ②.
【13题答案】
【答案】
【14题答案】
【答案】3
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
【15题答案】
【答案】（1）
（2）分布列略；期望为1
【16题答案】
【答案】（1）证明略
（2）
【17题答案】
【答案】（1）8 （2）
【18题答案】
【答案】（1），
（2）点的轨迹是以为圆心，为半径的圆（挖去、两点）
（3）
【19题答案】
【答案】（1）
（2）
（3）

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