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考点06函数的概念及其表示（3种核心题型+基础保分练+综合提升练+拓展冲刺练）
【考试提醒】
1.了解函数的含义.
2.在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、解析法)表示函数.
3.了解简单的分段函数，并会简单的应用．
【知识点】
1．函数的概念
一般地，设A，B是 ，如果对于集合A中的 一个数x，按照某种确定的对应关系f，在集合B中都有 的数y和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数，记作y＝f(x)，x∈A.
2．函数的三要素
(1)函数的三要素： 、 、 ．
(2)如果两个函数的 相同，并且 完全一致，则这两个函数为同一个函数．
3．函数的表示法
表示函数的常用方法有 、图象法和 ．
4．分段函数
若函数在其定义域的不同子集上，因对应关系不同而分别用几个不同的式子来表示，这种函数称为分段函数．
常用结论
1．直线x＝a与函数y＝f(x)的图象至多有1个交点．
2．在函数的定义中，非空数集A，B，A即为函数的定义域，值域为B的子集．
3．分段函数虽由几个部分组成，但它表示的是一个函数．分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集，值域等于各段函数的值域的并集．
【核心题型】
题型一　函数的定义域
(1)无论抽象函数的形式如何，已知定义域还是求定义域，均是指其中的x的取值集合；
(2)若已知函数f(x)的定义域为[a，b]，则复合函数f(g(x))的定义域由不等式a≤g(x)≤b求出；(3)若复合函数f(g(x))的定义域为[a，b]，则函数f(x)的定义域为g(x)在[a，b]上的值域．
【例题1】（2024高三·全国·专题练习）已知集合，，则（ ）
A． B． C． D．
【变式1】（2023·河北衡水·模拟预测）已知函数的定义域为，则函数的定义域是（ ）
A． B． C． D．
【变式2】（2024·全国·模拟预测）若集合，，则集合的真子集的个数为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【变式3】（2023·江苏镇江·模拟预测）若函数的定义域为，则的定义域为（ ）
A． B．
C． D．
题型二　函数的解析式
函数解析式的求法
(1)配凑法；(2)待定系数法；(3)换元法；(4)解方程组法．
【例题2】（2023·重庆·模拟预测）已知函数，则（ ）
A． B． C． D．
【变式1】（2023·河南·模拟预测）已知函数对定义域内的任意实数满足，则 .
【变式2】（2023·山东·模拟预测）已知二次函数的最大值是，且它的图像过点，求函数的解析式．
【变式3】（2024·山东济南·一模）已知集合，函数.若函数满足：对任意，存在，使得，则的解析式可以是 .（写出一个满足条件的函数解析式即可）
题型三　分段函数
分段函数求值问题的解题思路
(1)求函数值：当出现f(f(a))的形式时，应从内到外依次求值．
(2)求自变量的值：先假设所求的值在分段函数定义区间的各段上，然后求出相应自变量的值，切记要代入检验．
【例题3】（2024·四川广安·二模）已知函数，则的值为 .
【变式1】（2024·广东深圳·模拟预测）已知函数，若，使得成立，则实数m的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
【变式2】（2024·陕西西安·三模）已知函数，则（ ）
A．8 B．12 C．16 D．24
【变式3】（23-24高三下·内蒙古赤峰·开学考试）已知函数的最小值为-1，则 .
【课后强化】
基础保分练
一、单选题
1．（2024·陕西西安·一模）已知全集，集合，，则（ ）．
A． B． C． D．
2．（2024·山西运城·一模）已知符号函数则函数的图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
3．（2023·四川成都·模拟预测）给出下列个函数，其中对于任意均成立的是（ ）
A． B．
C． D．
4．（2024·全国·模拟预测）已知集合，，则（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
5．（23-24高三下·河南·阶段练习）已知非常数函数的定义域为，且，则（ ）
A． B．或
C．是上的增函数 D．是上的增函数
6．（2023·江苏连云港·模拟预测）已知函数，若关于的方程恰有两个不同的实数解，则下列选项中可以作为实数取值范围的有（ ）
A． B．
C． D．
三、填空题
7．（2024·北京怀柔·模拟预测）函数的定义域是 .
8．（23-24高三上·河北保定·阶段练习）已知函数在上可导，且，则 ．
四、解答题
9．（2023·江西九江·模拟预测）若的定义域为，求的定义域．
10．（2023·河南信阳·一模）已知函数.
(1)求不等式的解集；
(2)若，，且，求满足条件的整数的所有取值的和.
11．（2024·陕西·模拟预测）已知函数．
(1)求的最小值；
(2)若恒成立，求实数的取值范围．
12．（2023·浙江温州·三模）已知函数在区间上恰有3个零点，其中为正整数.
(1)求函数的解析式；
(2)将函数的图象向左平移个单位得到函数的图象，求函数的单调区间.
综合提升练
一、单选题
1．（2024·陕西西安·一模）已知函数，则（ ）
A． B． C． D．2
2．（2023·吉林长春·模拟预测）已知函数满足，则（ ）
A．的最小值为2 B．
C．的最大值为2 D．
3．（2023·浙江·二模）已知函数满足，则可能是（ ）．
A． B．
C． D．
4．（2024·山东枣庄·一模）已知集合，，则（ ）
A． B． C． D．
5．（2023·全国·模拟预测）已知函数，若，则的值为（ ）
A．2或 B．2或 C．或 D．1或
6．（2024·全国·模拟预测）已知，函数是上的减函数，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
7．（23-24高三上·四川遂宁·期中）函数的图象恒过点，函数的定义域为，，则函数的值域为（ ）
A． B． C． D．
8．（2024·浙江温州·二模）已知定义在上的函数，则下列结论正确的是（ ）
A．的图象关于对称 B．的图象关于对称
C．在单调递增 D．有最小值
二、多选题
9．（2022·安徽合肥·模拟预测）下列说法不正确的是（ ）
A．函数 在定义域内是减函数
B．若是奇函数，则一定有
C．已知函数 在 上是增函数，则实数的取值范围是
D．若的定义域为，则 的定义域为
10．（2024·湖南·模拟预测）已知函数是定义域为的偶函数，是定义域为的奇函数，且.函数在上的最小值为，则下列结论正确的是（ ）
A． B．在实数集单调递减
C． D．或
11．（23-24高三上·黑龙江大庆·阶段练习）对于函数．下列结论正确的是（ ）
A．任取，都有
B．函数 有2个零点
C．函数在上单调递增
D．若关于的方程有且只有两个不同的实根，则．
三、填空题
12．（2024·北京平谷·模拟预测）函数的定义域是
13．（2023·湖南娄底·模拟预测）已知函数满足以下条件：①在区间上单调递增；②对任意，，均有，则的一个解析式为 ．
14．（2024·辽宁·一模）已知集合，，则 ， .
四、解答题
15．（2023·山东·模拟预测）已知函数的图像过点．
(1)求实数的值；
(2)判断函数的奇偶性并证明．
16．（2023·四川遂宁·模拟预测）已知集合，函数的定义域为集合．
(1)当时，求；
(2)设命题p：，命题q：，若p是q的充分不必要条件，求实数的取值范围．
17．（2023·河南·模拟预测）已知为定义在上的偶函数，，且．
(1)求函数，的解析式；
(2)求不等式的解集．
18．（23-24高三下·青海海南·开学考试）已知，函数.
(1)当时，解不等式;
(2)若的图象与轴围成的面积小于，求的取值范围.
19．（2023·河北衡水·模拟预测）已知函数，其中
(1)求的单调区间
(2)求方程的零点个数.
拓展冲刺练
一、单选题
1．（2023·四川成都·模拟预测）执行如图所示的程序框图，将输出的看成输入的的函数，得到函数，若，则（ ）

A． B． C．或 D．1
2．（2023·全国·模拟预测）设，若，则（ ）
A．14 B．16 C．2 D．6
3．（2023·河南郑州·二模）若函数的部分图象如图所示，则（ ）
A． B． C． D．
4．（23-24高三上·河北保定·期末）已知函数满足：，，成立，且，则（ ）
A． B． C． D．
5．（2024高三·全国·专题练习）已知函数，若关于的方程有8个不相等的实数根，则实数的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
二、多选题
6．（2023·河南·模拟预测）已知函数在R上单调递增，函数在上单调递增，在上单调递减，则（ ）
A．函数在R上单调递增
B．函数在上单调递增
C．函数在上单调递减
D．函数在上单调递减
7．（2023·海南·模拟预测）已知符号函数，
函数则下列说法正确的是（ ）
A．的解集为
B．函数在上的周期为
C．函数的图象关于点对称
D．方程的所有实根之和为
8．（2024·全国·一模）已知函数的定义域为，且满足①；②；③当时，，则（ ）
A． B．若，则
C． D．在区间是减函数
三、填空题
9．（2023·广东佛山·模拟预测）写出一个同时具备下列性质①②③的函数 .
①定义城为，②导函数；③值域为
10．（2023·上海徐汇·三模）函数的定义域为 .
四、解答题
11．（2024·陕西咸阳·模拟预测）已知函数．
(1)画出函数的图象；
(2)设函数的最大值为，若正实数，，满足，求的最小值．
12．（23-24高三上·河北·期末）在信息论中，熵（entropy）是接收的每条消息中包含的信息的平均量，又被称为信息熵 信源熵 平均自信息量.这里，“消息”代表来自分布或数据流中的事件 样本或特征.（熵最好理解为不确定性的量度而不是确定性的量度，因为越随机的信源的熵越大）来自信源的另一个特征是样本的概率分布.这里的想法是，比较不可能发生的事情，当它发生了，会提供更多的信息.由于一些其他的原因，把信息（熵）定义为概率分布的对数的相反数是有道理的.事件的概率分布和每个事件的信息量构成了一个随机变量，这个随机变量的均值（即期望）就是这个分布产生的信息量的平均值（即熵）.熵的单位通常为比特，但也用、、计量，取决于定义用到对数的底.采用概率分布的对数作为信息的量度的原因是其可加性.例如，投掷一次硬币提供了1的信息，而掷次就为位.更一般地，你需要用位来表示一个可以取个值的变量.在1948年，克劳德 艾尔伍德 香农将热力学的熵，引入到信息论，因此它又被称为香农滳.而正是信息熵的发现，使得1871年由英国物理学家詹姆斯 麦克斯韦为了说明违反热力学第二定律的可能性而设想的麦克斯韦妖理论被推翻.设随机变量所有取值为，定义的信息熵，（，）。
(1)若，试探索的信息熵关于的解析式，并求其最大值；
(2)若，（），求此时的信息熵.
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考点06函数的概念及其表示（3种核心题型+基础保分练+综合提升练+拓展冲刺练）
【考试提醒】
1.了解函数的含义.2.在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、解析法)表示函数.3.了解简单的分段函数，并会简单的应用．
【知识点】
1．函数的概念
一般地，设A，B是非空的实数集，如果对于集合A中的任意一个数x，按照某种确定的对应关系f，在集合B中都有唯一确定的数y和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数，记作y＝f(x)，x∈A.
2．函数的三要素
(1)函数的三要素：定义域、对应关系、值域．
(2)如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，则这两个函数为同一个函数．
3．函数的表示法
表示函数的常用方法有解析法、图象法和列表法．
4．分段函数
若函数在其定义域的不同子集上，因对应关系不同而分别用几个不同的式子来表示，这种函数称为分段函数．
常用结论
1．直线x＝a与函数y＝f(x)的图象至多有1个交点．
2．在函数的定义中，非空数集A，B，A即为函数的定义域，值域为B的子集．
3．分段函数虽由几个部分组成，但它表示的是一个函数．分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集，值域等于各段函数的值域的并集．
【核心题型】
题型一　函数的定义域
(1)无论抽象函数的形式如何，已知定义域还是求定义域，均是指其中的x的取值集合；
(2)若已知函数f(x)的定义域为[a，b]，则复合函数f(g(x))的定义域由不等式a≤g(x)≤b求出；(3)若复合函数f(g(x))的定义域为[a，b]，则函数f(x)的定义域为g(x)在[a，b]上的值域．
【例题1】（2024高三·全国·专题练习）已知集合，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】分别求解集合，再求即可.
【详解】因为的定义域为，所以，
由得，解得，所以，
故，
故选：B．
【变式1】（2023·河北衡水·模拟预测）已知函数的定义域为，则函数的定义域是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据给定条件，利用函数有意义并结合复合函数的意义列出不等式组，求解不等式组作答.
【详解】因为函数的定义域为，又函数有意义，
则有，解得或，
所以函数的定义域是.
故选：C
【变式2】（2024·全国·模拟预测）若集合，，则集合的真子集的个数为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】D
【分析】先求集合A，确定即可求解.
【详解】因为，，所以，
所以集合的真子集的个数为.
故选:D.
【变式3】（2023·江苏镇江·模拟预测）若函数的定义域为，则的定义域为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】利用抽象函数定义域的求解原则可求出函数的定义域，对于函数，可列出关于的不等式组，由此可得出函数的定义域.
【详解】因为函数的定义域为，则，可得，
所以，函数的定义域为，
对于函数，则有，解得，
因此，函数的定义域为.
故选：C.
题型二　函数的解析式
函数解析式的求法
(1)配凑法；(2)待定系数法；(3)换元法；(4)解方程组法．
【例题2】（2023·重庆·模拟预测）已知函数，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】利用换元法令，运算求解即可.
【详解】令，则，且，则，
可得，
所以.
故选：B.
【变式1】（2023·河南·模拟预测）已知函数对定义域内的任意实数满足，则 .
【答案】
【分析】先把x都化为2x，进行化简得到，再把x替换为得到，最后联立方程组求解即可.
【详解】由，得，即①，将换为，得②，由①+2②，得，故.
故答案为：.
【变式2】（2023·山东·模拟预测）已知二次函数的最大值是，且它的图像过点，求函数的解析式．
【答案】
【分析】由二次函数性质与待定系数法求解．
【详解】解：根据题意设，
又过点，则
解得，
故
【变式3】（2024·山东济南·一模）已知集合，函数.若函数满足：对任意，存在，使得，则的解析式可以是 .（写出一个满足条件的函数解析式即可）
【答案】（满足，且一次项系数不为零的所有一次或者二次函数解析式均正确）
【分析】根据，求得，则满足的一次函数或二次函数均可.
【详解】，，
，，
，，
所以，则的解析式可以为.
经检验，满足题意.
故答案为：（答案不唯一）.
【点睛】关键点点睛：本题的关键是根据函数的形式，确定函数的关键特征和条件.
题型三　分段函数
分段函数求值问题的解题思路
(1)求函数值：当出现f(f(a))的形式时，应从内到外依次求值．
(2)求自变量的值：先假设所求的值在分段函数定义区间的各段上，然后求出相应自变量的值，切记要代入检验．
【例题3】（2024·四川广安·二模）已知函数，则的值为 .
【答案】
【分析】先求的值，结合所求结果的符号，再代入解析式求得.
【详解】，
.
故答案为：.
【变式1】（2024·广东深圳·模拟预测）已知函数，若，使得成立，则实数m的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】先求出分段函数的最小值；再求解不等式的解集即可.
【详解】因为函数在区间上单调递减，在区间上单调递增，
所以当时，函数取得最小值.
又因为函数在区间上单调递增，
所以当时，.
综上可得函数的最小值为.
因为，使得成立，
所以，解得：或.
故选：C.
【变式2】（2024·陕西西安·三模）已知函数，则（ ）
A．8 B．12 C．16 D．24
【答案】D
【分析】根据给定条件，判断并代入计算函数值即得.
【详解】由，得，
所以.
故选：D
【变式3】（23-24高三下·内蒙古赤峰·开学考试）已知函数的最小值为-1，则 .
【答案】2
【分析】由题意得出函数在上取得最小值-1，由此即可列出式子求解.
【详解】当时，.
因为的最小值为-1，所以函数在上取得最小值-1，
则，解得.
故答案为：2.
【课后强化】
基础保分练
一、单选题
1．（2024·陕西西安·一模）已知全集，集合，，则（ ）．
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】先求集合M，然后由集合的运算可得.
【详解】由解得，
所以，所以.
故选：B
2．（2024·山西运城·一模）已知符号函数则函数的图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】先得到为偶函数，排除AB，再计算出，得到正确答案.
【详解】定义域为R，且为奇函数，故，
故的定义域为R，
且
，
故为偶函数，AB错误；
当时，，C错误，D正确.
故选：D
3．（2023·四川成都·模拟预测）给出下列个函数，其中对于任意均成立的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根据函数定义逐项判断ABC，采用换元的方法求解D中函数的解析式并进行判断.
【详解】对于A，当时，；当时，，与函数定义矛盾，不符合；
对于B，当时，；当时，，与函数定义矛盾，不符合；
对于C，当时，；当时，，与函数定义矛盾，不符合；
对于D，令，则，所以，
令，所以，
所以，
所以，符合.
故选：D.
4．（2024·全国·模拟预测）已知集合，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】先解不等式，再利用集合的交集即可求解.
【详解】因为集合且，所以．
又集合，所以，则．
故选：A．
二、多选题
5．（23-24高三下·河南·阶段练习）已知非常数函数的定义域为，且，则（ ）
A． B．或
C．是上的增函数 D．是上的增函数
【答案】AC
【分析】A.令判断；B.令，分别令，判断；CD.由，令判断.
【详解】解：在中，
令，得，即．
因为函数为非常数函数，所以，A正确．
令，则．
令，则，①
令，则，②
由①②，解得，从而，B错误．
令，则，即，
因为，所以，所以C正确，D错误．
故选：AC
6．（2023·江苏连云港·模拟预测）已知函数，若关于的方程恰有两个不同的实数解，则下列选项中可以作为实数取值范围的有（ ）
A． B．
C． D．
【答案】BCD
【分析】将方程有根转化为曲线和直线的交点个数问题，根据函数图像分析运算即可得解.
【详解】解：因为关于的方程恰有两个不同的实数解，
所以函数的图象与直线的图象有两个交点，作出函数图象，如下图所示，

所以当时，函数与的图象有两个交点，
所以实数m的取值范围是．
四个选项中只要是的子集就满足要求.
故选：BCD.
三、填空题
7．（2024·北京怀柔·模拟预测）函数的定义域是 .
【答案】
【分析】利用对数函数的定义，列出不等式求解即得.
【详解】函数有意义，则，解得或，
所以函数的定义域是.
故答案为：
8．（23-24高三上·河北保定·阶段练习）已知函数在上可导，且，则 ．
【答案】
【分析】利用换元法求得解析式，求导，求即可.
【详解】令，则，则，即，
，所以．
故答案为：-4
四、解答题
9．（2023·江西九江·模拟预测）若的定义域为，求的定义域．
【答案】.
【分析】由题意列出不等式组解之即得.
【详解】由函数的定义域为，则要使函数有意义，
则，
解得,
∴函数的定义域为.
10．（2023·河南信阳·一模）已知函数.
(1)求不等式的解集；
(2)若，，且，求满足条件的整数的所有取值的和.
【答案】(1)
(2)6
【分析】（1）分，和三种情况讨论，去绝对值符号，解不等式即可；
（2）先判断函数的奇偶性，再去绝对值符号，作出函数图象，结合图象分类讨论即可得解.
【详解】（1）解：当时，，
∴，∴，∴；
当时，，∴，，∴；
当时，，∴，，∴，
综上，不等式的解集为；
（2）解：因为，
∴为偶函数，
当时，，
当时，，
当时，，
作出函数图象如图所示，
若，则
①，∴；
②，∴或；
③，，∴，
综上整数的取值为0，1，2，3，故和为6.
11．（2024·陕西·模拟预测）已知函数．
(1)求的最小值；
(2)若恒成立，求实数的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用分类讨论，去掉绝对值，结合一次函数的单调性即可得解；
（2）结合（1）中结论，作出与的大致图象，求得恒成立的临界情况对应的值，从而得解.
【详解】（1）因为，
当时，，此时；
当时，，此时，即；
当时，，此时；
综上，的最小值为.
（2）记，作出与的大致图象，
要使恒成立，
则只需当函数的图象过点或时，为临界情况（如图），
由，得或（舍去），
由，得或（舍去），
所以，即实数的取值范围为.
12．（2023·浙江温州·三模）已知函数在区间上恰有3个零点，其中为正整数.
(1)求函数的解析式；
(2)将函数的图象向左平移个单位得到函数的图象，求函数的单调区间.
【答案】(1)；
(2).
【分析】（1）根据给定条件，求出的范围，再结合正弦函数的零点情况列出不等式求解作答.
（2）由（1）求出函数的解析式，进而求出，再利用正切函数的单调性求解作答.
【详解】（1）由，得，
因为函数在区间上恰有3个零点，
于是，解得，而为正整数，因此，
所以.
（2）由（1）知，，
由，得，即有，
因此，
由，解得，
所以函数的单调减区间为.
综合提升练
一、单选题
1．（2024·陕西西安·一模）已知函数，则（ ）
A． B． C． D．2
【答案】A
【分析】根据给定的分段函数，依次代入计算即得.
【详解】函数，则，
所以.
故选：A
2．（2023·吉林长春·模拟预测）已知函数满足，则（ ）
A．的最小值为2 B．
C．的最大值为2 D．
【答案】B
【分析】首先根据题意得到，再结合二次函数的性质依次判断选项即可.
【详解】因为，，
所以.
所以，所以的最小值，无最大值，为故A，C错误.
对选项B，，
因为，所以，即，
故B正确.
对选项D，，
因为，所以，即，
故D错误.
故选：B
3．（2023·浙江·二模）已知函数满足，则可能是（ ）．
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根据函数满足，一一验证各选项中的函数是否满足该性质，即可得答案.
【详解】对于A，，则，，不满足；
对于B，，则，，
不满足；
对于C，，则，，不满足；
对于D，，当时，，故；
当时，，故，
即此时满足，D正确，
故选：D
4．（2024·山东枣庄·一模）已知集合，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】首先解对数不等式求出集合，再根据函数的定义求出集合，最后根据补集、并集的定义计算可得.
【详解】由，可得，所以，
即，
对于函数，则，解得或，
所以，
所以，
所以.
故选：D
5．（2023·全国·模拟预测）已知函数，若，则的值为（ ）
A．2或 B．2或 C．或 D．1或
【答案】A
【分析】根据分段函数的解析式，讨论的范围，明确方程，解出即可.
【详解】当时，，解得，
当时，，得，
所以的值是2或．
故选：
6．（2024·全国·模拟预测）已知，函数是上的减函数，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据分段函数的单调性和指数函数的单调性列出不等式组，解之即可直接得出结果.
【详解】因为函数是减函数，所以．
又因为函数5）图像的对称轴是直线，
所以函数在上单调递减，在上单调递增．
又函数是上的减函数，所以，解得，
所以的取值范围是．
故选:B．
7．（23-24高三上·四川遂宁·期中）函数的图象恒过点，函数的定义域为，，则函数的值域为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由题可知，当时，即可求出定点坐标，即可求得的解析式，进而可得的解析式，再结合抽象函数的定义域求得的定义域，结合函数的单调性即可求解.
【详解】当时，即，则，
所以恒过定点，
则，定义域为，由，得，
则的定义域为，
则，
又在上单调递增，则在上单调递增，
则，
，
所以函数的值域为.
故选：C
8．（2024·浙江温州·二模）已知定义在上的函数，则下列结论正确的是（ ）
A．的图象关于对称 B．的图象关于对称
C．在单调递增 D．有最小值
【答案】A
【分析】利用特殊值可排除B、C，利用函数的性质可确定A、D.
【详解】对于BC，由题意可知：，
显然的图象不关于对称，而，故B、C错误；
对于D，若为有理数，则，显然，函数无最小值，故D错误；
对于A，若是有理数，即互质，则也互质，即，
若为无理数，则也为无理数，即，
所以的图象关于对称，故A正确.
下证：互质，则也互质.
反证法：若互质，不互质，不妨设，
则，此时与假设矛盾，所以也互质.
故选：A
【点睛】思路点睛：根据抽象函数的对称性结合互质的定义去判定A、B，而作为抽象函数可以适当选取特殊值验证选项，提高正确率.
二、多选题
9．（2022·安徽合肥·模拟预测）下列说法不正确的是（ ）
A．函数 在定义域内是减函数
B．若是奇函数，则一定有
C．已知函数 在 上是增函数，则实数的取值范围是
D．若的定义域为，则 的定义域为
【答案】ABC
【分析】对于AB，取，即可说明；对于C，分段讨论，但要注意结合，由此即可判断；对于D，由即可判断.
【详解】对于AB，若，因为，是奇函数，但，时，无意义，故AB描述不正确，符合题意；
对于C，已知函数 在 上是增函数，
首先当时，单调递增，则，
其次当时，（对称轴为）单调递增，则，即，
但若要保证函数 在 上是增函数，还需满足，即，
所以实数的取值范围是 ，故C描述不正确，符合题意；
对于D，若的定义域为，则的定义域满足，解得，故D描述正确，不符合题意.
故选：ABC.
10．（2024·湖南·模拟预测）已知函数是定义域为的偶函数，是定义域为的奇函数，且.函数在上的最小值为，则下列结论正确的是（ ）
A． B．在实数集单调递减
C． D．或
【答案】AC
【分析】根据函数的奇偶性可得出关于的方程组，即可得的解析式，从而得选项A；结合函数的单调性，可判断选项B；根据的解析式，求出的解析式，利用换元法，将所求函数转化为二次函数的最值问题，结合二次函数的对称轴和二次函数的定义域，即可求出其最小值，从而解得，即可判断选项C与选项D.
【详解】A，因为为偶函数，所以，又为奇函数，所以，
因为①，所以，即②，
由得：，，所以选项A正确；
B，因为函数在上均为增函数，
故在上单调递增，所以选项错误；
C、D，因为，
所以，
又，当，即时等号成立，，
设，对称轴，
当时，函数在上为减函数，在上为增函数，
则，解得或（舍）；
当时，在上单调递增，，解得：，不符合题意.
综上，所以选项C正确，错误.
故选：.
11．（23-24高三上·黑龙江大庆·阶段练习）对于函数．下列结论正确的是（ ）
A．任取，都有
B．函数 有2个零点
C．函数在上单调递增
D．若关于的方程有且只有两个不同的实根，则．
【答案】AD
【分析】利用分段函数及三角函数的图象与性质一一判定选项即可.
【详解】
根据分段函数的性质可知：时，，
当时，，……可作出函数的部分图象，如上所示，
对于选项A，易知时，，
故任取，都有，
当或时取得等号，故A正确；
对于选项B，的零点即与的交点横坐标，
易知在上单调递增，
而，，
，
利用零点存在性定理及三角函数的单调性结合图象可知，
在和上分别各一个零点，
又也是其一个零点，故B错误；
对于C项，易知，此时在上单调递增，故C错误；
对于D项，由图象可知时满足题意，由三角函数的对称性可知，故D正确.
故选：AD
【点睛】方法点睛：本题利用函数的“类周期”性质，作出函数草图，根据数形结合及三角函数的性质、函数与方程的关系一一判定选项即可.
三、填空题
12．（2024·北京平谷·模拟预测）函数的定义域是
【答案】
【分析】根据分数和对数有意义的条件即可求解.
【详解】函数有意义的条件是，解得且，
所以函数定义域为.
故答案为：.
13．（2023·湖南娄底·模拟预测）已知函数满足以下条件：①在区间上单调递增；②对任意，，均有，则的一个解析式为 ．
【答案】（答案不唯一）
【分析】根据对数运算性质及对数函数性质写出一个函数解析式即可.
【详解】如：，则，，
又，则，
此时在区间上单调递增，满足题设.
故答案为：（答案不唯一）
14．（2024·辽宁·一模）已知集合，，则 ， .
【答案】
【分析】首先解一元二次不等式求出集合，再根据交集的定义计算可得.
【详解】由，即，解得，
所以，
又，所以.
故答案为：；
四、解答题
15．（2023·山东·模拟预测）已知函数的图像过点．
(1)求实数的值；
(2)判断函数的奇偶性并证明．
【答案】(1)2
(2)奇函数，证明见解析
【分析】（1）将点坐标代入解析式求解，
（2）由奇函数的定义证明．
【详解】（1）解：∵函数的图像过点，
∴，∴；
（2）证明：∵函数的定义域为，
又，
∴函数是奇函数．
16．（2023·四川遂宁·模拟预测）已知集合，函数的定义域为集合．
(1)当时，求；
(2)设命题p：，命题q：，若p是q的充分不必要条件，求实数的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据题意得或，再求交集运算即可；
（2）由题知或，，再根据集合关系求解即可.
【详解】（1）解：当时，，
由题意，解得或，所以或，
又，
所以.
（2）解：由题意，即，解得：或，
所以或，
因为p是q的充分不必要条件，
所以，集合是集合的真子集，
所以或，解得或
故实数的取值范围．
17．（2023·河南·模拟预测）已知为定义在上的偶函数，，且．
(1)求函数，的解析式；
(2)求不等式的解集．
【答案】(1)；；
(2).
【分析】（1）由题可得函数为奇函数，然后根据奇函数和偶函数的性质列方程求函数，的解析式；
（2）令，进而可化为，根据指数函数性质解不等式即得.
【详解】（1）由题意易知，，则，
即，
故为奇函数，故为奇函数，
又①，则，
故②，
由①②解得，；
（2）由，可得，
所以，即，
令，则，
解得，
所以，即，
所以，
解得，
故不等式的解集为．
18．（23-24高三下·青海海南·开学考试）已知，函数.
(1)当时，解不等式;
(2)若的图象与轴围成的面积小于，求的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据绝对值不等式及一元二次不等式的解法求解；
（2）转化为分段函数，求出三角形顶点坐标即可求出面积，解不等式得解.
【详解】（1）当时，化为，即，
可得，，即，
所以，解得或，
所以不等式的解集为.
（2）由题设可知，，
所以的图象与轴围成的三角形的三个顶点分别为
，
所以三角形面积，
即，所以，解得，
又，所以.
19．（2023·河北衡水·模拟预测）已知函数，其中
(1)求的单调区间
(2)求方程的零点个数.
【答案】(1)单调增区间是,单调减区间是
(2)个
【分析】(1)求的导函数,解导函数不等式,即可求出单调递增和递减区间;
(2)利用（1）中函数的单调性可得相应的方程，再构建新函数，从而可判断相应方程的根，注意结合这个性质.
【详解】（1）当,,又因为,所以,是单调增区间;
当,,又因为,所以,是单调减区间;
（2）对于方程,
当,
当在是单调递增的;
方程,所以,
设
,设,,
在是单调递增的，而，
故当时，，当时，，
故在上是单调递增，在上单调递减.
故在上有，
下证当，
设，则，
故在上为增函数，故，
故原不等式成立.
由可得，
故当时，有，
故此时方程在上有且只有一个实数根.
当时，，
由在为减函数可得，其中，
因为在为减函数，故在为减函数，
，，
因为，故，所以，故，
故方程在上有且只有一个实数根.
若，则，
而由的解析式可得.
故方程即为，
此时，故，其中，
设，，则，
故在上为减函数，而，
，
故此时在有且只有零点
即在有且只有一个零点，
方程的零点个数有个
【点睛】思路点睛：复合方程的解的个数讨论，应该根据外函数的单调性和函数解析式满足的性质将复杂方程转化为简单方程来处理，后者可进一步利用导数来处理.
拓展冲刺练
一、单选题
1．（2023·四川成都·模拟预测）执行如图所示的程序框图，将输出的看成输入的的函数，得到函数，若，则（ ）

A． B． C．或 D．1
【答案】B
【分析】根据程序框图得到函数解析式，再根据函数解析式求出，再分类讨论，结合函数解析式计算可得.
【详解】由程序框图可得，则，
若，即时，，解得（舍去）；
若，即时，，解得.
故选：B
2．（2023·全国·模拟预测）设，若，则（ ）
A．14 B．16 C．2 D．6
【答案】A
【分析】根据的定义域可得，分和两种情况，结合题意解得，代入求解即可.
【详解】因为的定义域为，则，解得，
若，则，可得，不合题意；
若，则，可得，解得；
综上所述：.
所以.
故选：A.
3．（2023·河南郑州·二模）若函数的部分图象如图所示，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据函数图象，利用待定系数法求出函数解析式，即可得解.
【详解】由图象知，的两根为2，4，且过点，
所以，解得，
所以，
所以，
故选：A
4．（23-24高三上·河北保定·期末）已知函数满足：，，成立，且，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】令，求出，令，求出，令，求出，再令，可求出的关系，再利用累加法结合等差数列前项和公式即可得解.
【详解】令，则，所以，
令，则，
所以，
令，则，所以，
令，则，
所以，
则当时，，
则
，
当时，上式也成立，
所以，
所以.
故选：C.
5．（2024高三·全国·专题练习）已知函数，若关于的方程有8个不相等的实数根，则实数的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】利用导数研究函数的图象和性质，结合绝对值函数的图象作出函数的大致图象，然后根据题意得到一元二次方程根的分布，从而得到关于的不等式组，解不等式组即可得到实数的取值范围.
【详解】令，则，令，解得，
故当时，单调递增，当时，单调递减，
所以，且当时，，当时，，
结合绝对值函数的图象可画出函数的大致图象，如图所示：

令，则方程，
即方程，，
①当时，式无实数根，直线和的图象无交点，原方程无实数根；
②当时，式有两个相等的实数根，直线和的图象最多有4个交点，
因此要使有8个不相等的实数根，
则式有两个不相等的实数根，不妨设为，且，则.
则，解得.
故选：C.
【点睛】关键点点睛：本题关键在于借助导数与绝对值函数的性质作出函数的大致图象，然后根据题意得到一元二次方程根的分布，从而得到关于的不等式组，
二、多选题
6．（2023·河南·模拟预测）已知函数在R上单调递增，函数在上单调递增，在上单调递减，则（ ）
A．函数在R上单调递增
B．函数在上单调递增
C．函数在上单调递减
D．函数在上单调递减
【答案】AB
【分析】由复合函数的单调性判断方法逐一判断即可.
【详解】因为在R上单调递增，所以在R上单调递增，故A正确；
因为在R上单调递增，在上单调递增，所以在上单调递增，故B正确；
因为在上单调递增，所以在上单调递减，因为的值域是否在上无法判断，
所以在上的单调性无法判断，故C错误；
因为在R上单调递减，在上单调递减，因的值域是否在上无法判断，所以在上的单调性无法判断，故D错误.
故选：AB.
7．（2023·海南·模拟预测）已知符号函数，
函数则下列说法正确的是（ ）
A．的解集为
B．函数在上的周期为
C．函数的图象关于点对称
D．方程的所有实根之和为
【答案】AC
【分析】利用新定义及三角函数的性质一一判定即可.
【详解】根据定义可知，故的解集为，A正确；
所以，
而，显然，不是函数的一个周期，故B错误；
由题意可得，即函数的图象关于点对称，故C正确；
由上可知，故，
即函数的图象也关于点对称且最大值为2，易知在上单调递增，
且，
所以由零点存在性定理知在内方程存在一根，
由函数的对称性可知有3个根，
且该3根之和为，
故D错误.

故选：AC
【点睛】本题关键在于函数的对称性，二级结论如下：若函数满足函数关于中心对称，此外D项需要判定函数的单调性及零点存在位置，注意不能忽略.
8．（2024·全国·一模）已知函数的定义域为，且满足①；②；③当时，，则（ ）
A． B．若，则
C． D．在区间是减函数
【答案】BC
【分析】根据题意求出的解析式，然后就可逐项求解判断.
【详解】由题意得当时，令，则，
因为，所以，
当时，令，则，
又因为，所以，即，
但在时不成立，
若有且，则得，
这时总可以找到，使，所以,
即，此式与矛盾，即，
从而，
对A：，故A错误；
对B：，即，即，故B正确；
对C：，故C正确；
对D：当，为增函数，故D错误；
故选：BC.
【点睛】关键点点睛：本题主要是根据题中给出的3个条件进行合理运用求出函数的解析式，在求解析式时需要分情况讨论并且要巧妙的当时设，当时设，再结合题中条件从而可求解.
三、填空题
9．（2023·广东佛山·模拟预测）写出一个同时具备下列性质①②③的函数 .
①定义城为，②导函数；③值域为
【答案】（答案不唯一）
【分析】取，验证定义域，导数，值域即可.
【详解】取，
因为，解得，所以的定义城为，符合①；
，符合②；
因为，所以的值域为，符合③.
故答案为：（答案不唯一）
10．（2023·上海徐汇·三模）函数的定义域为 .
【答案】
【分析】利用对数函数的定义列出不等式，求解不等式作答.
【详解】函数中，，即，解得，
所以函数的定义域为.
故答案为：
四、解答题
11．（2024·陕西咸阳·模拟预测）已知函数．
(1)画出函数的图象；
(2)设函数的最大值为，若正实数，，满足，求的最小值．
【答案】(1)作图见解析；
(2).
【分析】（1）化函数为分段函数，再作出图象即得.
（2）由（1）求出的值，再利用柯西不等式求出最小值.
【详解】（1）依题意，函数，函数的图象如下：
（2）由（1）知，当时，，当时，单调递减，，当时，，
因此，即，则，有，
由柯西不等式得，
于是，当且仅当时取等号，
由，且，得，
所以当时，取得最小值.
12．（23-24高三上·河北·期末）在信息论中，熵（entropy）是接收的每条消息中包含的信息的平均量，又被称为信息熵 信源熵 平均自信息量.这里，“消息”代表来自分布或数据流中的事件 样本或特征.（熵最好理解为不确定性的量度而不是确定性的量度，因为越随机的信源的熵越大）来自信源的另一个特征是样本的概率分布.这里的想法是，比较不可能发生的事情，当它发生了，会提供更多的信息.由于一些其他的原因，把信息（熵）定义为概率分布的对数的相反数是有道理的.事件的概率分布和每个事件的信息量构成了一个随机变量，这个随机变量的均值（即期望）就是这个分布产生的信息量的平均值（即熵）.熵的单位通常为比特，但也用、、计量，取决于定义用到对数的底.采用概率分布的对数作为信息的量度的原因是其可加性.例如，投掷一次硬币提供了1的信息，而掷次就为位.更一般地，你需要用位来表示一个可以取个值的变量.在1948年，克劳德 艾尔伍德 香农将热力学的熵，引入到信息论，因此它又被称为香农滳.而正是信息熵的发现，使得1871年由英国物理学家詹姆斯 麦克斯韦为了说明违反热力学第二定律的可能性而设想的麦克斯韦妖理论被推翻.设随机变量所有取值为，定义的信息熵，（，）。
(1)若，试探索的信息熵关于的解析式，并求其最大值；
(2)若，（），求此时的信息熵.
【答案】(1)，，最大值为.
(2).
【分析】（1）由题意可知且，减少变量可得的信息熵关于的解析式，求导可得单调性，故而求出最大值；
（2）由可知数列从第二项起，是首项为，公比为2的等比数列，故而可求出（）的通项公式，再由可得的解析式.
【详解】（1）当时，,，
令，，
则，
所以函数在上单调递增，在上单调递减，
所以当时，取得最大值，最大值为.
（2）因为，（），
所以（），
故，
而，
于是，
整理得
令，
则，
两式相减得
因此，
所以.
【点睛】关键点点睛：第二问，根据等比数列定义写出，进而写出的通项公式，应用裂项相消及等比数列前n项和公式求化简.
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