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考点08函数的奇偶性、周期性（3种核心题型+基础保分练+综合提升练+拓展冲刺练）
【考试提醒】
1.了解函数奇偶性的含义，了解函数的周期性及其几何意义.
2.会依据函数的性质进行简单的应用．
【知识点】
1．函数的奇偶性
奇偶性 定义 图象特点
偶函数 一般地，设函数f(x)的定义域为D，如果 x∈D，都有－x∈D，且 ，那么函数f(x)就叫做偶函数 关于 对称
奇函数 一般地，设函数f(x)的定义域为D，如果 x∈D，都有－x∈D，且 ，那么函数f(x)就叫做奇函数 关于 对称
2.周期性
(1)周期函数：一般地，设函数f(x)的定义域为D，如果存在一个非零常数T，使得对每一个x∈D都有x＋T∈D，且 ，那么函数y＝f(x)就叫做周期函数，非零常数T叫做这个函数的周期．
(2)最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个 的正数，那么这个
就叫做f(x)的最小正周期．
常用结论
1．奇函数在关于原点对称的区间上具有相同的单调性；偶函数在关于原点对称的区间上具有相反的单调性．
2．函数周期性常用结论
对f(x)定义域内任一自变量的值x：
(1)若f(x＋a)＝－f(x)，则T＝2a(a>0)．
(2)若f(x＋a)＝，则T＝2a(a>0)．
【核心题型】
题型一　函数奇偶性的判断
判断函数的奇偶性，其中包括两个必备条件
(1)定义域关于原点对称，否则即为非奇非偶函数．
(2)判断f(x)与f(－x)是否具有等量关系，在判断奇偶性的运算中，可以转化为判断奇偶性的等价等量关系式(f(x)＋f(－x)＝0(奇函数)或f(x)－f(－x)＝0(偶函数))是否成立．
【例题1】（多选）（2024·辽宁·模拟预测）函数的图像向左平移个单位长度后得到的图像，则（ ）
A． B．是偶函数
C．的图像关于点中心对称 D．当时，取到最小值
【变式1】（2024·北京丰台·一模）已知函数具有下列性质：
①当时，都有；
②在区间上，单调递增；
③是偶函数．
则 ；函数可能的一个解析式为 ．
【变式2】（2024·内蒙古赤峰·一模）已知，．下列结论中可能成立的有 ．
①；
②；
③是奇函数；
④对，．
【变式3】（2024·河南信阳·一模）若函数的图像关于原点对称，则m＝ ．
题型二　函数奇偶性的应用
(1)利用函数的奇偶性可求函数值或求参数的取值，求解的关键在于借助奇偶性转化为求已知区间上的函数或得到参数的恒等式，利用方程思想求参数的值．
(2)利用函数的奇偶性可画出函数在其对称区间上的图象，结合几何直观求解相关问题．
命题点1　利用奇偶性求值(解析式)
【例题2】（2023·四川·模拟预测）已知是定义在上的奇函数，当时，，则满足的的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【变式1】（2023·安徽马鞍山·三模）函数的定义域为，是偶函数，是奇函数，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【变式2】（2024·陕西安康·模拟预测）写出一个对称中心为的奇函数 .
【变式3】（2024·云南昆明·模拟预测）已知，分别为定义在上的奇函数和偶函数，，则 ．
命题点2　利用奇偶性解不等式
【例题3】（2024·广西柳州·三模）设函数是定义在上的奇函数，且对于任意的x，，都有.若函数，则不等式的解集是（ ）
A． B．
C． D．
【变式1】（2024·辽宁·一模）已知函数，若成立，则实数a的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
【变式2】（2024·四川南充·二模）设函数，则满足的的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【变式3】（2024·贵州贵阳·一模）已知是定义在上的偶函数，且也是偶函数，若，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
题型三　函数的周期性
(1)求解与函数的周期有关的问题，应根据题目特征及周期定义，求出函数的周期．
(2)利用函数的周期性，可将其他区间上的求值、求零点个数、求解析式等问题，转化到已知区间上，进而解决问题．
【例题4】（2024·陕西渭南·模拟预测）已知定义在R上的函数满足，为奇函数，则（ ）
A． B．0 C．1 D．2
【变式1】（2024·江苏徐州·一模）若定义在R上的函数满足，是奇函数，则（ ）
A． B．
C． D．
【变式2】（2024·全国·模拟预测）已知定义域为的函数满足，则（ ）
A． B． C．0 D．3
【变式3】（多选）（2024·全国·模拟预测）若定义在上的函数满足，则下列结论中正确的是（ ）
A．是奇函数 B．是周期为4的周期函数
C． D．
【课后强化】
基础保分练
一、单选题
1．（2024·全国·模拟预测）已知函数的定义域为，设甲：的图象关于轴对称；乙：是奇函数或偶函数，则（ ）
A．甲是乙的充分条件但不是必要条件
B．甲是乙的必要条件但不是充分条件
C．甲是乙的充要条件
D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件
2．（2024·天津·一模）如图是函数的部分图象，则的解析式可能为（ ）

A． B．
C． D．
3．（2024·河北·模拟预测）定义在上的函数周期为，且为奇函数，则（ ）
A．为偶函数 B．为偶函数
C．为奇函数 D．为奇函数
4．（2024·全国·模拟预测）已知函数，则使得成立的正实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
5．（2023·全国·模拟预测）已知函数和分别为R上的奇函数和偶函数，满足，，分别为函数和的导函数，则下列结论中正确的是（ ）
A．
B．当时，的值域为
C．当时，若恒成立，则a的取值范围为
D．当时，满足
6．（2024·浙江金华·模拟预测）已知函数，则（ ）
A．是偶函数 B．的最小正周期为
C．的最大值为 D．的最小值为
三、填空题
7．（2024·全国·模拟预测）已知函数的定义域为，是奇函数，是偶函数，，则 ．
8．（2023·黑龙江·模拟预测）已知函数是定义在上的奇函数，当时，，则当时， ．
四、解答题
9．（2023·陕西西安·模拟预测）已知奇函数在处取得极大值2.
(1)求的解析式；
(2)求在上的最值.
10．（2023·陕西宝鸡·模拟预测）设函数.
(1)求函数在区间上的最大值和最小值；
(2)设函数对任意，有，且当时，；求函数在上的解析式.
11．（22-23高三上·河南·阶段练习）已知是定义在上的偶函数，且.
(1)求的解析式；
(2)若不等式恒成立，求实数的取值范围；
(3)设，若存在，对任意的，都有，求实数的取值范围.
12．（2023·黑龙江佳木斯·模拟预测）已知是定义在[－2，2]上的函数，若满足且．
(1)求的解析式；
(2)设函数，若对任意，都有恒成立，求m的取值范围．
综合提升练
一、单选题
1．（2024·广东佛山·一模）已知为奇函数，则在处的切线方程为（ ）
A． B．
C． D．
2．（2024·四川·模拟预测）已知，若，则（ ）
A． B． C． D．
3．（2024·广东茂名·一模）函数和均为上的奇函数，若，则（ ）
A． B． C．0 D．2
4．（2023·广东·一模）已知函数是定义在上的奇函数，当时，，若，则不等式的解集为（ ）
A． B．
C． D．
5．（2024·安徽芜湖·二模）已知直线l：与曲线W：有三个交点D、E、F，且，则以下能作为直线l的方向向量的坐标是（ ）．
A． B． C． D．
6．（2024·四川成都·模拟预测）已知函数，若等差数列的前项和为，且，，则（ ）
A．-4048 B．0 C．2024 D．4048
7．（2024·全国·模拟预测）已知定义在上的函数满足，且为奇函数，，则（ ）
A．4047 B．4048 C．4049 D．4050
8．（2024·黑龙江吉林·二模）已知偶函数满足，且当时，，则的值为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
9．（2022·江苏南通·模拟预测）华人数学家李天岩和美国数学家约克给出了“混沌”的数学定义，由此发展的混沌理论在生物学 经济学和社会学领域都有重要作用.在混沌理论中，函数的周期点是一个关键概念，定义如下：设是定义在R上的函数，对于R，令，若存在正整数k使得，且当0A．0 B． C． D．1
10．（2023·山西·模拟预测）奇函数与偶函数的定义域均为，且满足，则下列判断正确的是（ ）
A． B．
C．在上单调递增 D．的值域为
11．（2024·湖南·二模）已知函数的定义域均为，，且的图像关于直线对称，则以下说法正确的是（ ）
A．和均为奇函数 B．
C． D．
三、填空题
12．（2023·四川雅安·一模）已知函数的定义域为为偶函数，为奇函数，则的最小值为 .
13．（2024·山东枣庄·一模）已知为偶函数，且，则 ．
14．（2023·四川绵阳·模拟预测）已知函数的定义域为，且，若为奇函数，，则 ．
四、解答题
15．（2023·河南洛阳·模拟预测）已知函数是定义在上的奇函数，当时，．
(1)求的解析式；
(2)若关于的方程在上有解，求实数的取值范围．
16．（2023·上海黄浦·一模）已知集合A和定义域为的函数，若对任意，，都有，则称是关于A的同变函数.
(1)当与时，分别判断是否为关于A的同变函数，并说明理由；
(2)若是关于的同变函数，且当时，，试求在上的表达式，并比较与的大小；
(3)若n为正整数，且是关于的同变函数，求证：既是关于的同变函数，也是关于的同变函数.
17．（2023·上海普陀·一模）设函数的表达式为.
(1)求证：“”是“函数为偶函数”的充要条件；
(2)若，且，求实数的取值范围.
18．（2024·全国·模拟预测）已知函数．
(1)若，求证：当时，
(2)若，求证：在上有且仅有三个零点，，（），且．
19．（2023·上海徐汇·一模）若函数的导函数是以为周期的函数，则称函数具有“性质”．
(1)试判断函数和是否具有“性质”，并说明理由；
(2)已知函数，其中具有“性质”，求函数在上的极小值点；
(3)若函数具有“性质”，且存在实数使得对任意都有成立，求证：为周期函数．
（可用结论：若函数的导函数满足，则（常数）．）
拓展冲刺练
一、单选题
1．（23-24高三下·江西·阶段练习）已知函数，则满足不等式的的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
2．（2024·重庆·一模）已知定义在R上的函数满足：，且时，，则关于的不等式的解集为（ ）
A． B．
C． D．
3．（2024·全国·模拟预测）已知函数是定义在上的奇函数，为的导函数，则（ ）
A． B．0 C．1 D．2
4．（2024·云南红河·二模）已知函数，对于任意的，不等式恒成立，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
5．（2024·湖南岳阳·二模）已知函数的定义域为，对任意都有，且，则下列说法正确的是（ ）
A． B．为奇函数
C． D．
6．（2024·河南·一模）定义在R上的函数（且，），若存在实数m使得不等式恒成立，则下列叙述正确的是（ ）
A．若，，则实数m的取值范围为
B．若，，则实数m的取值范围为
C．若，，则实数m的取值范围为
D．若，，则实数m的取值范围为
三、填空题
7．（2024·陕西西安·二模）已知定义域为的函数满足，且当时，，则 .
8．（2024·陕西西安·模拟预测）定义在上的函数的导函数为，且有，且对任意都有，则使得成立的的取值范围是 .
9．（2024·内蒙古呼和浩特·一模）已知，若直线与有个交点，则 .
四、解答题
10．（23-24高三上·全国·阶段练习）已知函数是偶函数.
(1)求的值;
(2)设 ，，若对任意的 ，存在，使得，求的取值范围.
11．（2024·全国·模拟预测）行列式是近代数学中研究线性方程的有力工具，其中最简单的二阶行列式的运算定义如下：．
(1)在等比数列中，是的两个实根，求的值；
(2)已知数列的前项和为，且，若，求数列的前项和；
(3)已知是奇函数，是偶函数．设函数，且存在实数，使得对于任意的都成立，若，求的值．
12．（23-24高三上·云南昆明·阶段练习）悬链线的原理运用于悬索桥、架空电缆、双曲拱桥、拱坝等工程．通过适当建立坐标系，悬链线可为双曲余弦函数的图象，类比三角函数的三种性质：①平方关系：①，②和角公式：，③导数：定义双曲正弦函数．
(1)直接写出，具有的类似①、②、③的三种性质（不需要证明）；
(2)若当时，恒成立，求实数a的取值范围；
(3)求的最小值．
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考点08函数的奇偶性、周期性（3种核心题型+基础保分练+综合提升练+拓展冲刺练）
【考试提醒】
1.了解函数奇偶性的含义，了解函数的周期性及其几何意义.
2.会依据函数的性质进行简单的应用．
【知识点】
1．函数的奇偶性
奇偶性 定义 图象特点
偶函数 一般地，设函数f(x)的定义域为D，如果 x∈D，都有－x∈D，且f(－x)＝f(x)，那么函数f(x)就叫做偶函数 关于y轴对称
奇函数 一般地，设函数f(x)的定义域为D，如果 x∈D，都有－x∈D，且f(－x)＝－f(x)，那么函数f(x)就叫做奇函数 关于原点对称
2.周期性
(1)周期函数：一般地，设函数f(x)的定义域为D，如果存在一个非零常数T，使得对每一个x∈D都有x＋T∈D，且f(x＋T)＝f(x)，那么函数y＝f(x)就叫做周期函数，非零常数T叫做这个函数的周期．
(2)最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期．
常用结论
1．奇函数在关于原点对称的区间上具有相同的单调性；偶函数在关于原点对称的区间上具有相反的单调性．
2．函数周期性常用结论
对f(x)定义域内任一自变量的值x：
(1)若f(x＋a)＝－f(x)，则T＝2a(a>0)．
(2)若f(x＋a)＝，则T＝2a(a>0)．
【核心题型】
题型一　函数奇偶性的判断
判断函数的奇偶性，其中包括两个必备条件
(1)定义域关于原点对称，否则即为非奇非偶函数．
(2)判断f(x)与f(－x)是否具有等量关系，在判断奇偶性的运算中，可以转化为判断奇偶性的等价等量关系式(f(x)＋f(－x)＝0(奇函数)或f(x)－f(－x)＝0(偶函数))是否成立．
【例题1】（多选）（2024·辽宁·模拟预测）函数的图像向左平移个单位长度后得到的图像，则（ ）
A． B．是偶函数
C．的图像关于点中心对称 D．当时，取到最小值
【答案】BC
【分析】利用三角变换和图象变换得到，代入计算后可判断AD的正误，根据定义可判断B的正误，利用整体法可求判断C的正误.
【详解】
，
故，
对于A，，故A错误.
对于B，，而，故为偶函数，故B正确.
对于C，令，则，
故的图像的对称中心对称为，当时，对称中心为，故C正确.
对于D，，故为取到最大值，故D错误.
故选：BC.
【变式1】（2024·北京丰台·一模）已知函数具有下列性质：
①当时，都有；
②在区间上，单调递增；
③是偶函数．
则 ；函数可能的一个解析式为 ．
【答案】 （答案不唯一）
【分析】令即可求出，再找到符合题意的函数解析式（一个），然后一一验证即可.
【详解】因为当时，都有，
令可得，解得，
不妨令，，
则，所以在上单调递增，满足②；
又，所以为偶函数，满足③；
当时，
，，
所以，满足①.
故答案为：；（答案不唯一）
【变式2】（2024·内蒙古赤峰·一模）已知，．下列结论中可能成立的有 ．
①；
②；
③是奇函数；
④对，．
【答案】①③④
【分析】根据题意，由指数的运算即可判断①②，由函数奇偶性的定义即可判断③，利用导数判断函数的单调性，即可判断④.
【详解】因为，故①正确；
因为，故②错误；
因为，
定义域为，关于原点对称，
则，
所以，
所以是奇函数，故③正确；
令，其中，
则，
当且仅当时，即时，等号成立，
所以，即函数在上单调递增，
所以，即，
又，
当且仅当时，即时，等号成立，
所以时，，则函数在上单调递增，
所以对，，故④正确；
故答案为：①③④
【变式3】（2024·河南信阳·一模）若函数的图像关于原点对称，则m＝ ．
【答案】/
【分析】根据题意，由条件可得为偶函数，再由偶函数的性质即可得到结果.
【详解】因为的图像关于原点对称，则为奇函数，且为奇函数，
则为偶函数，即，，则，则．
故答案为：
题型二　函数奇偶性的应用
(1)利用函数的奇偶性可求函数值或求参数的取值，求解的关键在于借助奇偶性转化为求已知区间上的函数或得到参数的恒等式，利用方程思想求参数的值．
(2)利用函数的奇偶性可画出函数在其对称区间上的图象，结合几何直观求解相关问题．
命题点1　利用奇偶性求值(解析式)
【例题2】（2023·四川·模拟预测）已知是定义在上的奇函数，当时，，则满足的的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】先通过函数为奇函数求出，再通过求解二次不等式以及奇函数的对称性得答案.
【详解】依题意是奇函数，所以，即，
则，，
当时，令，解得或，
根据对称性，当时，，
故满足的的取值范围是．
故选：C．
【变式1】（2023·安徽马鞍山·三模）函数的定义域为，是偶函数，是奇函数，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据奇偶函数的定义可得，再利用基本不等式求最小值.
【详解】由题意可得，解得，
因为，当且仅当，即时，等号成立，
所以的最小值为.
故选：B.
【变式2】（2024·陕西安康·模拟预测）写出一个对称中心为的奇函数 .
【答案】（答案不唯一）
【分析】根据对称中心，考虑正弦函数（答案不唯一，正确即可）
【详解】因为奇函数关于原点对称，且此函数又关于点对称，
所以此函数可类比于正弦函数，
因为正弦函数是奇函数，且关于点对称，
所以可联想到.
故答案为：（答案不唯一）.
【变式3】（2024·云南昆明·模拟预测）已知，分别为定义在上的奇函数和偶函数，，则 ．
【答案】27
【分析】根据函数奇偶性的定义，利用方程组法求出函数的解析式，即可得解.
【详解】因为，分别为定义在上的奇函数和偶函数，
而，①
所以，即，②
由①②得，所以．
故答案为：.
命题点2　利用奇偶性解不等式
【例题3】（2024·广西柳州·三模）设函数是定义在上的奇函数，且对于任意的x，，都有.若函数，则不等式的解集是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】由的奇偶性可判断 也为奇函数，然后结合，及单调性的定义可判断单调递增，结合单调性及奇函数的定义可求．
【详解】，，
由于是定义在上的奇函数，即，
，故为奇函数，
对于任意的，，有，
，
当时，有，
即，
， 单调递增，
，
，
，
整理可得，，
解可得，或，
故选：D
【变式1】（2024·辽宁·一模）已知函数，若成立，则实数a的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】构造函数，判断的奇偶性，再利用导数讨论其单调性，然后根据单调性将不等式去掉函数符号即可求解.
【详解】记，
令，解得，
当时，，单调递增，
当时，，单调递减.
因为
，
所以为偶函数.
所以，
又在上单调递增，
所以，即，解得.
故选：C
【点睛】方法点睛：抽象函数不等式问题主要利用单调性求解，本题需结合奇偶性，并利用导数研究单调性进行求解.
【变式2】（2024·四川南充·二模）设函数，则满足的的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】构造函数，说明其单调性和奇偶性, 转化为解不等式即可求解.
【详解】，
设，
又易知，为上的奇函数，
又，
在上单调递增，
又，
，
，
，又为上的奇函数，
，又在上单调递增，
，
，
故满足的的取值范围是．
故选：C．
【变式3】（2024·贵州贵阳·一模）已知是定义在上的偶函数，且也是偶函数，若，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】首先根据函数是定义在上的偶函数，，再由函数也是偶函数，变形求得函数的解析式，并求得函数的单调区间，即可求解不等式.
【详解】因为函数是定义在上的偶函数，，所以，则，
又因为函数也是偶函数，所以，得，
因为为减函数，为增函数，所以为减函数，
令，得，
所以时，，在上单调递减，
根据偶函数的性质可知，函数在上单调递增，
所以，即，即，得或，
所以不等式的解集为.
故选：D
【点睛】关键点点睛：本题的关键是根据，得到，从而求得函数的解析式.
题型三　函数的周期性
(1)求解与函数的周期有关的问题，应根据题目特征及周期定义，求出函数的周期．
(2)利用函数的周期性，可将其他区间上的求值、求零点个数、求解析式等问题，转化到已知区间上，进而解决问题．
【例题4】（2024·陕西渭南·模拟预测）已知定义在R上的函数满足，为奇函数，则（ ）
A． B．0 C．1 D．2
【答案】C
【分析】先根据得出函数的周期；再根据为奇函数得出，利用赋值法求出；最后利用的周期即可求解.
【详解】因为，
所以，
所以的周期为6.
又因为为奇函数，
所以，即，即，
令，则，即
所以，
故选：C.
【变式1】（2024·江苏徐州·一模）若定义在R上的函数满足，是奇函数，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根据给定条件，求出函数的周期，及和，再逐项计算判断得解.
【详解】由，得，则，即函数的周期为4，
由是R上的奇函数，得，即，
于是，，即，
因此，AB错误；
由，取，得，则，
因此，取，得，
于是，
则，C错误，D正确.
故选：D
【点睛】思路点睛：涉及抽象函数等式问题，利用赋值法探讨函数的性质，再借助性质即可求解.
【变式2】（2024·全国·模拟预测）已知定义域为的函数满足，则（ ）
A． B． C．0 D．3
【答案】C
【分析】根据抽象函数的周期性求函数值.
【详解】因为，所以．
又因为，所以，
所以，即，
所以，所以函数是周期为4的函数．
在中令，得，即，
所以．
故选:C．
【变式3】（多选）（2024·全国·模拟预测）若定义在上的函数满足，则下列结论中正确的是（ ）
A．是奇函数 B．是周期为4的周期函数
C． D．
【答案】BCD
【分析】利用赋值法结合抽象函数的奇偶性、对称性、周期性计算一一判定选项即可.
【详解】因为，所以．
又因为，所以．
又，则，
即，所以，故是周期为4的周期函数．
因为，所以也是周期为4的周期函数，故B正确；
因为，则，即，
所以，所以为偶函数，故A错误；
因为，令，得，即，
令，得，即，
故，故C正确；
由，
得
，
所以，故D正确．
故选：BCD．
【课后强化】
基础保分练
一、单选题
1．（2024·全国·模拟预测）已知函数的定义域为，设甲：的图象关于轴对称；乙：是奇函数或偶函数，则（ ）
A．甲是乙的充分条件但不是必要条件
B．甲是乙的必要条件但不是充分条件
C．甲是乙的充要条件
D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件
【答案】B
【分析】由寄偶函数的概念及图像性质可判断必要性成立，通过举特例可判断充分性不成立.
【详解】令，若是奇函数或偶函数，则，
所以是偶函数，所以的图像关于轴对称，必要性成立；
反之，不妨令则，所以的图像关于轴对称，
但是是非奇非偶函数，充分性不成立，则甲是乙的必要条件但不是充分条件．
故选：B．
2．（2024·天津·一模）如图是函数的部分图象，则的解析式可能为（ ）

A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根据函数的奇偶性可排除C，根据在原点附近的函数值的正负可排除BA，即可求解.
【详解】由图可知：的图象关于轴对称，则为偶函数，
对于A，，为偶函数，
但当取一个很小的正数，例如，选项中的，而原图象中值为负数，故A不符合，舍去，
对于B, ,为偶函数，但是处有意义，但是原函数在处无意义，故B不符合，
对于C，，为奇函数，故C不符合，
故选：D
3．（2024·河北·模拟预测）定义在上的函数周期为，且为奇函数，则（ ）
A．为偶函数 B．为偶函数
C．为奇函数 D．为奇函数
【答案】D
【分析】根据周期性与奇偶性的定义推导B、D，利用反例说明A、C.
【详解】定义在上的函数周期为，所以，
又为奇函数，所以，
即，所以为奇函数，故B错误；
所以，则，
所以，则为奇函数，故D正确；
由，所以，则关于对称，
令，则，满足函数周期为，
且满足为奇函数，
但是为奇函数，故A错误；
令，则，满足函数周期为，
又满足为奇函数，
但是为偶函数，故C错误.
故选：D
4．（2024·全国·模拟预测）已知函数，则使得成立的正实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】分析函数的奇偶性，单调性，利用函数的单调性求解不等式即可.
【详解】由题知的定义域为，且，
所以为偶函数．
又当时，，
所以函数在上单调递减，在上单调递增，
所以若成立，则需解得．
故选B．
二、多选题
5．（2023·全国·模拟预测）已知函数和分别为R上的奇函数和偶函数，满足，，分别为函数和的导函数，则下列结论中正确的是（ ）
A．
B．当时，的值域为
C．当时，若恒成立，则a的取值范围为
D．当时，满足
【答案】ACD
【分析】根据函数奇偶性以及即可求得，可得A正确；利用基本不等式可得，但等号不成立，即B错误；对参数a的取值进行分类讨论，利用导数求得函数单调性即可得a的取值范围为，即C正确；易知，累成即可得D正确.
【详解】对于A，因为和分别为R上的奇函数和偶函数，满足，
即可得，
所以可得，，故A正确；
对于B，，
当且仅当时，等号成立，又因为，所以的值域为，故B错误．
对于C，分两种情况．①，令，
当时，则，单调递增，
所以，即；
②，方程的正根为，
若，则，单调递减，
，即，与题设矛盾．
综上，a的取值范围是，故C正确．
对于D，，
则，
，
…
，
累乘得
，
故，故D正确．
故选：ACD
6．（2024·浙江金华·模拟预测）已知函数，则（ ）
A．是偶函数 B．的最小正周期为
C．的最大值为 D．的最小值为
【答案】ABD
【分析】先将化简，再逐项分析答案即可.
【详解】因为的定义域为，所以，
又因为
，
所以为偶函数，故A正确；
的最小正周期为，故B正确；
因为，所以没有最大值；
当时，，故D正确.
故选：ABD
三、填空题
7．（2024·全国·模拟预测）已知函数的定义域为，是奇函数，是偶函数，，则 ．
【答案】
【分析】根据题意，结合是奇函数，是偶函数，推得函数是周期为12的周期函数，进而求得的值，得到答案.
【详解】解法一因为是奇函数，可得 ，所以，
又因为是偶函数，可得，即，
所以，
所以是周期为12的周期函数，则．
解法二 因为是奇函数，可得的图象关于点对称，
又因为是偶函数，可得的图象关于直线对称，
所以是周期为12的周期函数，所以，
因为的图象关于直线对称，所以，则．
故答案为：.
8．（2023·黑龙江·模拟预测）已知函数是定义在上的奇函数，当时，，则当时， ．
【答案】
【分析】由奇函数的性质即可求解，注意当时要单调独验证.
【详解】解：当，又因为为上的奇函数，
所以，解得，
又，所以当．
故答案为：.
四、解答题
9．（2023·陕西西安·模拟预测）已知奇函数在处取得极大值2.
(1)求的解析式；
(2)求在上的最值.
【答案】(1)
(2)最大值为52，最小值为
【分析】（1）利用函数奇偶性可得，再由在上取得极大值2可求得，可得解析式；
（2）由（1）中解析式求导可得其在上的单调性，得出极值并比较端点处的函数值即可求出其最值.
【详解】（1）易知函数的定义域为，
因为是奇函数，所以，则.
由，得.
因为在上取得极大值2，
所以解得
经经检验当时，在处取得极大值2，
故.
（2）由（1）可知，，
当时，单调递增；
当和时，单调递减；
即函数在处取得极小值，在处取得极大值；
又因为，
所以在上的最大值为52，最小值为.
10．（2023·陕西宝鸡·模拟预测）设函数.
(1)求函数在区间上的最大值和最小值；
(2)设函数对任意，有，且当时，；求函数在上的解析式.
【答案】(1)最大值为，最小值为0
【分析】（1）利用三角恒等变换得到，再利用三角函数的性质求解；
（2）由得到函数的一个周期为，再由（1）得到求解.
【详解】（1）由已知，
，
又因为则，
所以，即，，
所以函数在区间上的最大值和最小值分别为和0.
（2）由可知函数的一个周期为，
又由（1）可知，
当时，，则，
由知，，
当时，则，
由知，
综上，.
11．（22-23高三上·河南·阶段练习）已知是定义在上的偶函数，且.
(1)求的解析式；
(2)若不等式恒成立，求实数的取值范围；
(3)设，若存在，对任意的，都有，求实数的取值范围.
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）利用偶函数定义可得参数值，从而的解析式；
（2）易知在上单调递增，逆用单调性化为具体不等式问题，参变分离求最值即可；
（3）原问题等价于在上的最小值不大于在上的最小值.
【详解】（1）由题意知，
即，所以，故.
（2）由（1）知，，易知在上单调递增，
所以不等式恒成立，等价于，
即恒成立.
又，当且仅当时，等号成立，
所以，即实数的取值范围是.
（3）因为存在，对任意的，都有，
所以在上的最小值不大于在上的最小值.
因为在上单调递增，
所以当时，.
图象的对称轴方程为，
当时，在上单调递增，，解得，
所以；
当时，在上单调递减，在上单调递增，
，解得；
当时，在上单调递减，，解得，
所以.
综上，实数的取值范围是.
12．（2023·黑龙江佳木斯·模拟预测）已知是定义在[－2，2]上的函数，若满足且．
(1)求的解析式；
(2)设函数，若对任意，都有恒成立，求m的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据函数的奇偶性即可得，进而结合即可求解，
（2）将问题转化为，进而根据函数的单调性的定义即可求解最值，或者利用对勾函数的单调性求解.
【详解】（1），且，所以为奇函数，
将代入可得，即，所以，
即，因为，所以，代入可得，
解得，故；
，函数为奇函数，满足，故．
（2）只要，设，则，
∵，∴，∴，即，
故函数在[1，2]上单调递增，最小值为．
法一：在[1，2]上恒成立，只要，
在上单调递减，在上单调递增，
当时，，当时，，
故当时，，所以．
法二：，，
当时，，，解得，舍去；
当时，，，解得，因此，
综上所述：．
综合提升练
一、单选题
1．（2024·广东佛山·一模）已知为奇函数，则在处的切线方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】根据奇函数定义求出函数表达式，再结合导数和切线相关知识求解切线方程即可.
【详解】因为
，
所以，
因为为奇函数，所以对恒成立，
所以，代入函数表达式得，
所以，则，
所以在处的切线方程为，即.
故选：A
2．（2024·四川·模拟预测）已知，若，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】构造奇函数，利用奇函数的性质运算即可求解.
【详解】设，显然它定义域关于原点对称，
且，
所以为奇函数，
，则，
所以，.
故选：C.
3．（2024·广东茂名·一模）函数和均为上的奇函数，若，则（ ）
A． B． C．0 D．2
【答案】A
【分析】由奇函数性质推导出的周期为4，利用周期性、奇偶性求函数值.
【详解】因为为奇函数，所以关于对称，即，
又关于原点对称，则，有，
所以的周期为4，故.
故选：A
4．（2023·广东·一模）已知函数是定义在上的奇函数，当时，，若，则不等式的解集为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】根据条件可求得时的解析式，根据函数为奇函数继而可求得当时的解析式，分情况解出不等式即可.
【详解】因为函数是定义在上的奇函数，
所以，则，
则，所以，
则当时，，
当时，，
则，
则当时，不等式为，
解得，
当时，不等式为，
解得，
故不等式的解集为，
故选：A.
5．（2024·安徽芜湖·二模）已知直线l：与曲线W：有三个交点D、E、F，且，则以下能作为直线l的方向向量的坐标是（ ）．
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由函数的性质可得曲线的对称中心，即得，再根据给定长度求出点的坐标即得.
【详解】显然函数的定义域为R，，即函数是奇函数，
因此曲线的对称中心为，由直线l与曲线的三个交点满足，得，
设，则，令，则有，即，
解得，即，因此点或，或，
选项中只有坐标为的向量与共线，能作为直线l的方向向量的坐标是.
故选：C
【点睛】关键点点睛：本题的关键首先是得到曲线对称中心为，从而得到，然后再去设点坐标，根据，得到高次方程，利用换元法结合因式分解解出的坐标即可.
6．（2024·四川成都·模拟预测）已知函数，若等差数列的前项和为，且，，则（ ）
A．-4048 B．0 C．2024 D．4048
【答案】D
【分析】先得到，从而得到，利用等差数列的性质和公式求出答案.
【详解】令，定义域为R，
且
，
故为奇函数，
即，，
又，
所以，即，
故选：D
7．（2024·全国·模拟预测）已知定义在上的函数满足，且为奇函数，，则（ ）
A．4047 B．4048 C．4049 D．4050
【答案】C
【分析】首先判断抽象函数的周期，再根据条件求函数值，再根据周期求函数值的和.
【详解】由可得，
故的一个周期为4，
由为奇函数可得，得，
对于，令，得，则，
令，得，又，所以，
则，
故
.
故选：C.
8．（2024·黑龙江吉林·二模）已知偶函数满足，且当时，，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】由偶函数满足，可得函数是以为周期的周期函数，再根据函数的周期性求解即可.
【详解】因为函数为偶函数，所以，
又，所以，即，
所以函数是以为周期的周期函数，
因为，
所以
.
故选：D.
【点睛】方法点睛：函数的三个性质：单调性、奇偶性和周期性，在高考中一般不会单独命题，而是常将它们综合在一起考查，其中单调性与奇偶性结合、周期性与抽象函数相结合，并结合奇偶性求函数值，多以选择题、填空题的形式呈现，且主要有以下几种命题角度；
（1）函数的单调性与奇偶性相结合，注意函数的单调性及奇偶性的定义，以及奇、偶函数图象的对称性．
（2）周期性与奇偶性相结合，此类问题多考查求值问题，常利用奇偶性及周期性进行交换，将所求函数值的自变量转化到已知解析式的函数定义域内求解；
（3）周期性、奇偶性与单调性相结合，解决此类问题通常先利用周期性转化自变量所在的区间，然后利用奇偶性和单调性求解.
二、多选题
9．（2022·江苏南通·模拟预测）华人数学家李天岩和美国数学家约克给出了“混沌”的数学定义，由此发展的混沌理论在生物学 经济学和社会学领域都有重要作用.在混沌理论中，函数的周期点是一个关键概念，定义如下：设是定义在R上的函数，对于R，令，若存在正整数k使得，且当0A．0 B． C． D．1
【答案】AC
【分析】根据题意中周期点定义，分别求出当、、、时的函数周期，进而得出结果.
【详解】A：时，，周期为1，故A正确；
B：时，，
所以不是的周期点.故B错误；
C：时，，周期为1，故C正确；
D：时，，不是周期为1的周期点，故D错误.
故选：AC.
10．（2023·山西·模拟预测）奇函数与偶函数的定义域均为，且满足，则下列判断正确的是（ ）
A． B．
C．在上单调递增 D．的值域为
【答案】BCD
【分析】根据奇偶性求出即可判断ABC；利用基本不等式可判断D.
【详解】因为为奇函数，为偶函数，所以，
因为①，所以，即②，
所以由①②解得，故B正确；
，故A错误；
在上单调递增，在上单调递减，则在上单调递增，故C正确；
因为，当且仅当时取等号，
所以的值域为，所以D正确.
故选：BCD.
11．（2024·湖南·二模）已知函数的定义域均为，，且的图像关于直线对称，则以下说法正确的是（ ）
A．和均为奇函数 B．
C． D．
【答案】BCD
【分析】利用函数奇偶性，对称性与周期性的性质，逐一分析各选项即可得解.
【详解】对于B，由，得，
又，，
的图象关于直线对称，，
，
，则是周期函数，且周期为，
所以，故B正确；
对于A，的图象关于直线对称，
是偶函数，
若为奇函数，则恒成立，不满足，故A错误；
对于C，由，得，
，
因为，则，
所以是周期函数，且周期为，则，故C正确；
对于D，由，得，
又，
由，得，故D正确.
故选：BCD.
【点睛】结论点睛：解决抽象函数的求值、性质判断等问题，常见结论：
（1）关于对称：若函数关于直线轴对称，则，若函数关于点中心对称，则，反之也成立；
（2）关于周期：若，或，或，可知函数的周期为.
三、填空题
12．（2023·四川雅安·一模）已知函数的定义域为为偶函数，为奇函数，则的最小值为 .
【答案】/
【分析】根据奇偶性得出关于和的两个方程，联立解得，再由基本不等式得最小值．
【详解】是偶函数，所以，
是奇函数，所以，
两式联立解得，
由基本不等式得，当且仅当，即时，等号成立，因此的最小值是．
故答案为：．
13．（2024·山东枣庄·一模）已知为偶函数，且，则 ．
【答案】
【分析】由条件结合偶函数定义可得，由结合周期函数定义证明为周期函数，利用周期性及赋值法求结论.
【详解】因为为偶函数，
所以，又，
所以，
因为，所以，
所以，
所以函数为周期函数，周期为，
所以，
由，可得，
由，可得，
所以，
所以，
故答案为：.
14．（2023·四川绵阳·模拟预测）已知函数的定义域为，且，若为奇函数，，则 ．
【答案】
【分析】由的对称性及得，再由为奇函数得，从而得，即是周期为8的周期函数，再利用周期可得答案.
【详解】由为奇函数，得，即，
由，得，又，
于是，即，从而，
即，因此，函数的周期为8的周期函数，
显然，又，
所以.
故答案为：
【点睛】结论点睛：函数关于直线对称，则有；函数关于中心对称，则有；函数的周期为，则有.
四、解答题
15．（2023·河南洛阳·模拟预测）已知函数是定义在上的奇函数，当时，．
(1)求的解析式；
(2)若关于的方程在上有解，求实数的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据函数奇偶性求解析式；
（2）求函数的值域，即可求的取值范围.
【详解】（1）当时，，
则，
因为函数是定义在上的奇函数，
所以，
故，
当时，，符合上式，
综上，所以的解析式为.
（2）当时，，
因为，所以，所以，
所以，
由对称性可知，当时，，
当时，，
综上，，
所以实数的取值范围是．
16．（2023·上海黄浦·一模）已知集合A和定义域为的函数，若对任意，，都有，则称是关于A的同变函数.
(1)当与时，分别判断是否为关于A的同变函数，并说明理由；
(2)若是关于的同变函数，且当时，，试求在上的表达式，并比较与的大小；
(3)若n为正整数，且是关于的同变函数，求证：既是关于的同变函数，也是关于的同变函数.
【答案】(1)当时， 是关于的同变函数；当时， 不是关于的同变函数，理由见解析.
(2)，当时，；当时，.
(3)证明见解析.
【分析】（1）当时，运用定义证明即可；当时，举反例说明即可.
（2）由定义推导出是以2为周期的周期函数，进而可得在解析式，再运用作差法后使用换元法研究函数的最值来比较与的大小.
（3）运用定义推导出是以为周期的周期函数，再用定义分别证明与两种情况即可.
【详解】（1）当时，对任意的，，，
由，可得，又，所以，
故是关于的同变函数；
当时，存在，，使得，即，所以不是关于的同变函数.
（2）由是关于的同变函数，可知恒成立，
所以恒成立，故是以2为周期的周期函数.
当时，，由，
可知.
（提示：也可通过分类讨论与累加法予以证明，下面的*式也同理可证）
对任意的，都存在，使得，故.
所以
令，则，可得，
所以（当且仅当，即时取等号）.
所以当时，；
当时，.
（3）因为是关于的同变函数，
所以对任意的，，都有，
故，用代换x，可得，
所以，即，
又，故，且.
所以，故是以为周期的周期函数.
对任意的，，由，
可得，（*）
所以是关于的同变函数.
对任意的，存在非负整数m，使，
所以，对任意的，
，即，
所以是关于的同变函数.
故既是关于的同变函数，也是关于的同变函数.
17．（2023·上海普陀·一模）设函数的表达式为.
(1)求证：“”是“函数为偶函数”的充要条件；
(2)若，且，求实数的取值范围.
【答案】(1)证明见解析；
(2)或.
【分析】（1）根据给定条件，利用偶函数的定义、结合充要条件的意义推理即得.
（2）利用偶函数性质及在的单调性求解不等式即可.
【详解】（1）函数的定义域为R，不恒为0，
函数为偶函数
，
所以“”是“函数为偶函数”的充要条件.
（2）当时，，求导得，函数在R上单调递增，
当时，，即函数在单调递增，又是偶函数，
因此，
即，解得或，
所以实数的取值范围是或.
18．（2024·全国·模拟预测）已知函数．
(1)若，求证：当时，
(2)若，求证：在上有且仅有三个零点，，（），且．
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
【分析】（1）构造函数，利用导数判断单调性求出最值可得结果，
（2）函数零点即图像与x轴交点，构造函数，利用函数奇偶性、单调性及零点存在性性定理可得结果.
【详解】（1）若，则．设,，
则，，所以在上单调递增．
所以．又在上单调递增，
所以．即当时，．
（2）若，则．
令，得,设，．
则．所以为奇函数．
又，所以0是的一个零点．
下面证明：函数在上存在唯一的零点．
因为，，所以．
所以当时，，单调递增．
又，，所以在上存在唯一的零点．
由（1）知当时，，即，
所以当时，．
设，，则．
所以当时，，单调递减；
当时，，单调递增，
所以．
所以当时，．
所以当时，仅有一个零点．
因为为奇函数，所以当时，也仅有一个零点．
所以在上有3个零点，分别为，，．
即有3个零点，且．
【点睛】解决本题关键是构造函数，利用函数的奇偶性，零点存在性定理及导数判断函数的单调性证得结果.
19．（2023·上海徐汇·一模）若函数的导函数是以为周期的函数，则称函数具有“性质”．
(1)试判断函数和是否具有“性质”，并说明理由；
(2)已知函数，其中具有“性质”，求函数在上的极小值点；
(3)若函数具有“性质”，且存在实数使得对任意都有成立，求证：为周期函数．
（可用结论：若函数的导函数满足，则（常数）．）
【答案】(1)不具有“性质”，具有“性质”，理由见解析
(2)
(3)证明见解析
【分析】（1）根据所给定义计算可得；
（2）法一：依题意可得可得对恒成立，再令、求出、的值，再利用导数求出函数的极小值点；法二：依题意可得，所以且，即可求出、的值，再利用导数求出函数的极小值点；
（3）令，则，从而得到（为常数），法一：分、、三种情况讨论；法二：分和两种情况讨论，当时，不妨令，记，推出矛盾即可得解.
【详解】（1）不具有“性质”．理由是：，，；
具有“性质”．理由是：，．
（2）法一：，则，
由可得对恒成立．
令，得 ①；令，得 ②．
得，因此，从而恒成立，
即有且．
由得，所以，当时，令可得，列表如下：
x
+ 0 0 +
极大值 极小值
函数在的极小值点为．
法二：，
由，可得，
所以，
即，
所以，所以且，所以且且．
由得，所以，当时，令可得，列表如下：
x
+ 0 0 +
极大值 极小值
函数在的极小值点为．
（3）令，因为具有“”性质
，
，
（为常数），
法一：
① 若，是以为周期的周期函数；
②若，由，
当时，，这与矛盾，舍去；
③若，由，
当时，，这与矛盾，舍去．
综上，．，所以是周期函数．
法二：
当时，，所以是周期函数．
当时，不妨令，记，其中表示不大于的最大整数．（同理可证），
若存在，这．
这与矛盾．
若存在，这．
这与矛盾．
若不存在，使得或，则，此时，与矛盾，故舍去．
综上，．，所以是周期函数．
【点睛】方法点睛：函数新定义问题的方法和技巧：
（1）可通过举例子的方式，将抽象的定义转化为具体的简单的应用，从而加深对信息的理解；
（2）可用自己的语言转述新信息所表达的内容，如果能清晰描述，那么说明对此信息理解的较为透彻；
（3）发现新信息与所学知识的联系，并从描述中体会信息的本质特征与规律；
（4）如果新信息是课本知识的推广，则要关注此信息与课本中概念的不同之处，以及什么情况下可以使用书上的概念.
拓展冲刺练
一、单选题
1．（23-24高三下·江西·阶段练习）已知函数，则满足不等式的的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】先利用函数奇偶性的定义，结合复合函数的单调性与导数，分析得的奇偶性与单调性，从而转化所求不等式得到关于的不等式组，解之即可得解.
【详解】由，得的定义域为，
又，故为偶函数，
而当时，易知单调递增，
而对于，在上恒成立，
所以在上也单调递增，
故在上单调递增，
则由，得，解得或.
故选：D.
2．（2024·重庆·一模）已知定义在R上的函数满足：，且时，，则关于的不等式的解集为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】根据函数单调性和奇偶性则得到不等式，解出即可.
【详解】任取，则，
而时，，则，
，
所以在上单调递减，
，，
取，则，令，
得，
所以为上的奇函数，
，即，则，解得
故选：A.
3．（2024·全国·模拟预测）已知函数是定义在上的奇函数，为的导函数，则（ ）
A． B．0 C．1 D．2
【答案】A
【分析】本题考查函数的奇偶性，根据奇函数的定义和性质进行运算研究即可．
【详解】因为奇函数的定义域关于原点对称，所以，得．
由为奇函数可得，得，
又，所以，
所以，，
故，
故选：A.
4．（2024·云南红河·二模）已知函数，对于任意的，不等式恒成立，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】令，得到为奇函数，从而得到恒成立，根据函数单调性得到不等式，化简得到时，恒成立，设，，求导得到其单调性，结合特殊点的函数值，得到，得到答案.
【详解】设，则，
，所以为奇函数.
所以，
即恒成立，
由在上单调递减且，得在上单调递减，
所以恒成立.
由，知且，
所以时，恒成立.
设，，
，当时，
所以在内单调递减，而，所以，
所以，即.
故选：C.
【点睛】方法点睛：对于求不等式成立时的参数范围问题，一般有三个方法，一是分离参数法, 使不等式一端是含有参数的式子，另一端是一个区间上具体的函数，通过对具体函数的研究确定含参式子满足的条件.二是讨论分析法，根据参数取值情况分类讨论，三是数形结合法，将不等式转化为两个函数，通过两个函数图像确定条件.
二、多选题
5．（2024·湖南岳阳·二模）已知函数的定义域为，对任意都有，且，则下列说法正确的是（ ）
A． B．为奇函数
C． D．
【答案】BCD
【分析】根据题意运用赋值代入法计算，结合函数的奇偶性、周期性逐一验证选项可得答案.
【详解】令，则，所以，
令，则，，故A错误；
要证为奇函数，只需证，即，
令，则，，
令，则，所以成立，故B正确；
令，则，，所以为偶函数，由B可知， ，所以，则有，故C正确；
由C可知，又为偶函数，所以，则周期为2，，，所以，故D正确.
故选：BCD
【点睛】结论点睛：（1）若为奇函数，则满足，若为偶函数，则满足；（2）若为周期函数，且周期为，则满足；（3）若关于点对称，且关于直线对称，则为周期函数，周期为.
6．（2024·河南·一模）定义在R上的函数（且，），若存在实数m使得不等式恒成立，则下列叙述正确的是（ ）
A．若，，则实数m的取值范围为
B．若，，则实数m的取值范围为
C．若，，则实数m的取值范围为
D．若，，则实数m的取值范围为
【答案】BD
【分析】先判断函数为奇函数，再分和讨论的单调性，分和讨论函数的单调性，根据复合函数的单调性判断得出的单调性，利用单调性将进行等价转化成含参数的不等式，求解即得.
【详解】对于函数，因，则函数是奇函数.
不妨设，则，
对于A项，当时，在定义域内为增函数，
因，则在R上也是增函数，故在R上也是增函数.
由，则，即（*），
①当时，此时恒成立；② 当时，由（*）可得，解得，综上可知，，故A项错误；
对于B项，当时，在定义域内为减函数，因，则在R上也是减函数，故在R上是增函数，
由A项分析可得，恒成立可得，，故B项正确；
对于C项，当时，在定义域内为增函数，因，则在R上是减函数，故在R上是减函数，
由，则，即（*），
①当时，无解；② 当时，由（*）可得，解得或，综上可知，，故C项错误；
对于D项，当时，在定义域内为减函数，因，则在R上也是增函数，故在R上是减函数，
由C项分析可得，恒成立可得，，故D项正确.
故选：BD.
【点睛】思路点睛：一般先考虑函数的奇偶性，再根据参数分类判断，构成复合函数的内外函数的单调性，利用单调性去掉抽象函数的符号，将其化成含参数的不等式恒成立问题，再对参数分类讨论不等式解的情况即得.
三、填空题
7．（2024·陕西西安·二模）已知定义域为的函数满足，且当时，，则 .
【答案】
【分析】利用函数的奇偶性与周期性计算即可.
【详解】由已知可得，所以，
所以，即是函数的一个周期，
所以.
故答案为：
8．（2024·陕西西安·模拟预测）定义在上的函数的导函数为，且有，且对任意都有，则使得成立的的取值范围是 .
【答案】
【分析】构造函数，根据导数确定函数的单调性，即可结合奇偶性求解.
【详解】由知是奇函数，，
设，则，
在上单调递增，由得，
即，，得的取值范围是.
故答案为：
9．（2024·内蒙古呼和浩特·一模）已知，若直线与有个交点，则 .
【答案】
【分析】由题意首先确定函数的性质，然后结合直线与圆的位置关系得到的表达式，最后裂项求和即可求得的值.
【详解】当时，，即，，
当时，，所以可得函数周期为2，
画出函数图象，如图所示：
若直线与有个交点，
根据图象知，直线与第个半圆相切其圆心为
不妨设切点为，连接，
所以在中，，
，故，
所以.
故答案为：.
【点睛】方法点睛：已知函数有零点(方程有根)求参数值(取值范围)常用的方法：
（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；
（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；
（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解。
四、解答题
10．（23-24高三上·全国·阶段练习）已知函数是偶函数.
(1)求的值;
(2)设 ，，若对任意的 ，存在，使得，求的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由偶函数的性质即可求解的值；
（2）由题意可得在上的最小值不小于在上的最小值，分别求出和的最小值，即可求解.
【详解】（1）因为是偶函数，
所以，
即，
，
，
，
，
，
，
，
所以，即.
（2），
因为对任意的 ，存在，使得，
所以在上的最小值不小于在上的最小值，
因为在上单调递增，
所以，
因为，
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以，
所以，解得，
所以的取值范围为.
11．（2024·全国·模拟预测）行列式是近代数学中研究线性方程的有力工具，其中最简单的二阶行列式的运算定义如下：．
(1)在等比数列中，是的两个实根，求的值；
(2)已知数列的前项和为，且，若，求数列的前项和；
(3)已知是奇函数，是偶函数．设函数，且存在实数，使得对于任意的都成立，若，求的值．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）根据二阶行列式的运算和韦达定理可推导得到，由等比数列下标和性质可求得结果；
（2）由二阶行列式的计算可得，根据前项和与通项的关系可求得，由此可得，采用错位相减法可求得结果；
（3）分别令和，结合函数奇偶性定义可推导得到；令可推导得到，由此递推求得结果.
【详解】（1）设等比数列的公比为，
由得：，即，
，，
，，
，
，
.
（2），
当时，；当时，；
经检验：满足，，
，
设数列的前项和为，
，
，
，
.
（3）由题意知：存在实数，使得对于任意都成立，
即，
令，则，
为奇函数，为偶函数，
…①；
令，则…②，
由①②得：，
令，则，，
，
.
【点睛】关键点点睛：本题考查新定义问题与数列、函数相结合的问题；解题关键是能够充分利用二阶行列式的运算定义，根据运算定义将问题转化为我们所熟知的数列通项公式与前项和的求解问题、利用函数周期性求值的问题.
12．（23-24高三上·云南昆明·阶段练习）悬链线的原理运用于悬索桥、架空电缆、双曲拱桥、拱坝等工程．通过适当建立坐标系，悬链线可为双曲余弦函数的图象，类比三角函数的三种性质：①平方关系：①，②和角公式：，③导数：定义双曲正弦函数．
(1)直接写出，具有的类似①、②、③的三种性质（不需要证明）；
(2)若当时，恒成立，求实数a的取值范围；
(3)求的最小值．
【答案】(1)答案见解析
(2)
(3)0
【分析】（1）类比，写出平方关系，和角关系和导数关系，并进行证明；
（2）构造函数，，求导，分和两种情况，结合基本不等式，隐零点，得到函数单调性，进而得到答案；
（3）多次求导，结合（2）中结论，先得到在内单调递增，再求出为偶函数，从而得到在内单调递减，求出.
【详解】（1）平方关系：；
和角公式：；
导数：．
理由如下：平方关系，
；
，
和角公式：
故；
导数：，；
（2）构造函数，，由（1）可知，
i．当时，由可知，
故，故单调递增，
此时，故对任意，恒成立，满足题意；
ii．当时，令，，
则，可知单调递增，
由与可知，存在唯一，使得，
故当时，，则在内单调递减，
故对任意，，即，矛盾；
综上所述，实数a的取值范围为．
（3），，
令，则，
令，则，
当时，由（2）可知，，则，
令，则，故在内单调递增，
则，故在内单调递增，
则，故在内单调递增，
则，故在内单调递增，
因为，
即为偶函数，故在内单调递减，
则，故当且仅当时，取得最小值0.
【点睛】对于求不等式成立时的参数范围问题，一般有三个方法，一是分离参数法, 使不等式一端是含有参数的式子，另一端是一个区间上具体的函数，通过对具体函数的研究确定含参式子满足的条件.二是讨论分析法，根据参数取值情况分类讨论，三是数形结合法，将不等式转化为两个函数，通过两个函数图像确定条件.
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