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8.3　实数及其简单计算　
第1课时　实数的定义
学习目标
1.经历无理数的探究过程,理解无理数的概念,会判断一个数是否为无理数.
2.进一步理解有理数和无理数的概念,会把实数进行分类.
3.理解实数与数轴的关系,并进行相关运用.
4.通过实数的分类感受数学的严谨性以及数学结论的确定性.
自主探索
1.思考：什么是有理数？什么是无限不循环小数？
2.填一填
任务一　探究实数的概念和分类
活动1　我们知道有理数包括整数和分数，利用计算器把下列分数写成小数的形式，它们有什么特征？动手试一试，说出你的发现并与同学交流.
4，，
问题 由此你可以得到什么结论？
小结：任何一个有理数都可以写成 小数或 小数的形式.任何 小数或 小数也都是有理数.
用计算器把以及我们学习过的π化成小数，你能发现什么？它们是什么小数？它们还是有理数吗？
归纳总结：无理数的概念： 小数叫作无理数.
问题1 你能举出几个无理数的例子吗？
问题2 无理数能写成两个整数之比吗？
问题3 无理数有正负之分吗？与有什么区别？
归纳总结：
(1)无理数是不能写成两个整数之比的数.
(2)像有理数一样，无理数也有 之分.
活动2 实数的分类
(1)我们将有理数和无理数统称为实数.仿照有理数的分类，你能给实数分类吗？
(2)因为非零有理数和无理数都有正负之分，那么你能类比有理数的分类方法，按大小对实数分类吗？
【即时测评】
下列说法中，正确的是（ ）
A. 实数分为正实数和负实数 B. 无限小数都是无理数
C. 无理数都是无限小数 D. 带根号的数都是无理数
任务二　实数与数轴上的点
活动3　每个有理数都可以用数轴上的点来表示，无理数是否也能用数轴上的点表示出来呢？
(1)问题1 直径为1个单位长度的圆，它的周长是多少？
问题2 将直径为1个单位长度的圆在水平地面上滚动一周，它移动的距离是多少？
问题3 如图，直径为1个单位长度的圆从原点沿数轴向右滚动一周，圆上一点由原点到达点O′，点O′对应的数是多少？
(2)前面我们曾经将面积为1dm2的两个正方形拼成了一个面积为2dm2的一个大正方形，大正方形的边长是多少？
问题 你能在数轴上找到表示和-的点吗？画一画，说出你的方法.
总结：当数的范围从有理数扩充到实数后，每一个 数都可以用数轴上的一个点来表示，反过来，数轴上的每一点都表示一个 数.
即：实数和数轴上的点是 的.
问题 当数的范围扩展到实数后，怎样用数轴比较实数的大小？
归纳总结：与有理数一样，实数也可以比较大小：
数轴上右边的点表示的实数比左边的点表示的实数 .
正实数 零，负实数 零，正实数 负实数.
例题：在数轴上表示下列各点，比较它们的大小，并用“ < ”连接它们.
-2,1,-,.
【即时测评】
1. 判断下列说法是否正确：
(1)有理数都可以用数轴上的点来表示.（ ）
(2)无理数都可以用数轴上的点来表示.（ ）
(3)实数都可以用数轴上的点来表示.（ ）
(4)数轴上的点都表示有理数.（ ）
(5) 数轴上的点都表示实数.（ ）
2.如图所示，数轴上A，B两点表示的数分别为和5.1，则与5.1的大小关系为 5.1．
当堂达标
1.下列说法正确的是（ ）
A. a 一定是正实数
B. 是有理数
C. 2是有理数
D. 数轴上任一点都对应一个有理数
2.如图所示，数轴上的点P表示下列四个无理数中的一个，这个无理数是（　　）
A． B． C． D．π
3.判断快枪手看谁最快最准!
(1)实数不是有理数就是无理数( )
(2)无理数都是无限不循环小数.()
(3)带根号的数都是无理数.( )
(4)无理数都是无限小数( )
(5)无理数一定都带根号( )
4.把下列各数填入相应的括号内:
-,,,π,,-,0,,0.13,3.
(1) 有理数:{-, , -,0, 0.13,3 ...}
(2)无理数:{ ...}
(3)整数:{ ...}
(4)负数:{ ...}
(5) 分数: { ...}
(6)实数:{ ...}
参考答案
当堂达标
1.B 2.B 3.(1)√(2)√(3)×(4)√(5)×
4.(1) 有理数:{-, , -,0, 0.13,3 ...}
(2)无理数:{ ,π, ...}
(3)整数:{ -, , 0,3 ...}
(4)负数:{-, -, ...}
(5) 分数: { ,-, 0.13, ...}
(6)实数:{ -,,,π,,-,0,,0.13,3...}
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第1课时　实数的定义
课标摘录 1.了解无理数和实数,知道实数由有理数和无理数组成,了解实数与数轴上的点一一对应. 2.能用数轴上的点表示实数,能比较实数的大小.
教学目标 1.经历无理数的探究过程,理解无理数的概念,会判断一个数是否为无理数. 2.进一步理解有理数和无理数的概念,会把实数进行分类. 3.理解实数与数轴的关系,并进行相关运用. 4.通过实数的分类感受数学的严谨性以及数学结论的确定性.
教学重难点 重点:正确认识实数的概念,会对实数按照一定的标准进行分类. 难点:理解实数与数轴的关系,并进行相关运用.
教学策略 学生在前面已经学方根、立方根的知识,已经具备了发现无理数的能力,教学中从把有理数写成小数形式入手,体会到无理数与有理数的不同之处,将数的范围从无理数扩充到实数.通过探究数轴上表示π和的点,化抽象为具体,说明无理数也可以用数轴上的点表示,从而让学生理解无理数是从现实世界抽象出来的,是不同于有理数的一类数.
情境导入 1.思考:什么是有理数 什么是无限不循环小数 2.填一填 项目-1124平方根立方根
师生活动:学生独立思考共同完成填空. 设计意图:回顾平方根和立方根的计算方法,引出无理数及实数的概念. 提问1:上表中所填的这些数都是有理数吗 预设:±1,±2,-1,1都是有理数. 提问2:在七年级上册的学习中,我们通过引入一类新的数——负数,把数的范围扩充到有理数.本章我们认识了像,,这样的无限不循环小数,它们是整数吗 是分数吗 是有理数吗 教师介绍无理数的由来: 公元前500年,古希腊毕达哥拉斯学派的弟子希帕索斯发现了一个惊人的事实,一个正方形的对角线长和边长之比不是一个有理数,这与毕氏学派“万物皆为有理数”的哲理大相径庭.这一发现使该学派领导人惶恐、恼怒,认为这将动摇他们在学术界的统治地位.希帕索斯因此被囚禁,受到百般折磨,最后竟遭到沉舟身亡的惩处,这就是第一次数学危机. 设计意图:介绍无理数的由来,让学生了解数学史料,丰富了数学课堂.也让学生知道任何新知识的产生都不会一帆风顺,激励学生不怕困难,积极探求科学.
新知初探 探究一　实数的概念和分类 活动1　利用计算器把下列分数写成小数的形式,它们有什么特征 动手试一试,说出你的发现并与同学交流. 4,,-,,,. 师生活动:学生独立完成操作后,小组讨论,并派代表回答发现,教师总结——它们都可以化成有限小数或无限循环小数的形式. 4=4.0,=2.5,-=-0.6,=6.75,=1.,=0.. 问题:任何一个整数能化成什么小数 任何一个分数能化成什么小数 归纳总结:见课件. 追问:用计算器把,-,,以及我们学习过的π化成小数,你能发现什么 它们是什么小数 它们还是有理数吗 预设:,-,,和π都能化成无限不循环小数. 归纳总结:见课件. 问题1:你能举出几个无理数的例子吗 问题2:无理数能写成两个整数之比吗 问题3:无理数有正负之分吗 ,,π与-,-,-π有什么区别 归纳总结:见课件. 设计意图:通过计算器探究将有理数化为小数形式的规律,使学生经历观察、猜想、实验等数学活动过程,培养学生数学探究能力和归纳表达能力.让学生参与无理数概念的建立和发现数系扩充必要性的过程,培养学生初步的发现能力,发展学生的分类意识. 教师介绍无理数的溯源,内容见教材P53“溯源”或课件. 活动2　(1)我们将有理数和无理数统称为实数.仿照有理数的分类,你能给实数分类吗 师生活动:学生独立思考,在教师的引导下共同完成实数思维导图(见教材P53或课件). (2)因为非零有理数和无理数都有正负之分,那么你能类比有理数的分类方法,按大小对实数分类吗 答案见教材P53或课件. 设计意图:帮助学生梳理巩固实数的概念及实数与有理数、无理数之间的从属关系,发展推理意识,学会运用图表整理信息.学生类比有理数分类,尝试对实数进行分类,在自主探究的过程中,发展学生的类比思想和分类讨论思想. 【即时测评】见课件、导学案. 探究二　实数与数轴上的点 活动3　每个有理数都可以用数轴上的点来表示,无理数是否也能用数轴上的点表示出来呢 (1)问题1:直径为1个单位长度的圆,它的周长是多少 问题2:将直径为1个单位长度的圆在水平地面上滚动一周,它移动的距离是多少 问题3:如图所示,直径为1个单位长度的圆从原点沿数轴向右滚动一周,圆上一点由原点到达点O',点O'对应的数是多少 师生活动:学生独立思考,然后教师播放课件,展示直径为1个单位长度的圆上的点A滚动一周的运动路径,顺势指出——因为直径为1个单位长度的圆的周长为π,所以数轴上点A表示的数是无理数π. (2)前面我们曾经将面积为1 dm2的两个正方形拼成了一个面积为2 dm2的一个大正方形,大正方形的边长是多少
问题:你能在数轴上找到表示和-的点吗 画一画,说出你的方法. 师生活动:教师引导学生利用圆规和直尺画图,学生在数轴上尝试画出表示和-的点. 追问:通过解决以上问题,你发现了数轴上的点可以表示哪些数 师生活动:学生独立思考后小组讨论,选代表回答. 归纳总结:见课件. 设计意图:注重新旧知识的连贯性,使学生体会到学习的内容是融会贯通的,激发学生的求知欲.除了课件演示外,再让学生动手实践操作,充分认识到可以用数轴上的点来表示无理数,体会实数与数轴上的点是一一对应关系.将数与形联系起来,进一步体会数形结合的思想.教师在此环节中要留给学生充足的时间,让其自己归纳和总结. 思考:怎样用数轴比较有理数的大小 追问:当数的范围扩展到实数后,怎样用数轴比较实数的大小 归纳总结:见课件. 【例题】见课件、导学案. 师生活动:学生独立完成习题,选学生回答,其他同学判断正误,教师总结解题技巧. 设计意图:进一步理解实数可以用数轴上的点来表示,锻炼并掌握实数范围内比较大小的方法,提高解题能力. 【即时测评】见课件、导学案. 设计意图:帮助学生加深对所学知识的理解运用,以基础为主,让学生灵活运用所学知识解决问题,巩固新知. 师生活动:学生独立思考,举手回答,师生交流心得与方法.
当堂达标 见课件、导学案
课堂小结 1.什么是无理数 你能举出几个无理数的例子吗 2.实数是怎样分类的 分类的标准是什么 3.实数与数轴有什么关系 谈谈你的看法. 4.本节课你还有哪些收获 存在什么问题
板书设计 8.3　实数及其简单运算 第1课时　实数的定义 实数
教学反思
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第8章 实数
8.3　实数及其简单计算　
第1课时　实数的定义
学习目标
1.经历无理数的探究过程,理解无理数的概念,会判断一个数是否为无理数.
2.进一步理解有理数和无理数的概念,会把实数进行分类.
3.理解实数与数轴的关系,并进行相关运用.
4.通过实数的分类感受数学的严谨性以及数学结论的确定性.
情境导入
壹
目
录
课堂小结
肆
当堂达标
叁
新知初探
贰
情境导入
壹
情境导入
1. 什么是有理数？什么是无限不循环小数？
2.填一填
±1
±
±2
-1
1
上表中所填的这些数都是有理数吗？
数学危机
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新知初探
贰
新知初探
任务一　实数的概念和分类
活动1 我们知道有理数包括整数和分数，利用计算器把下列分数写成小数的形式，它们有什么特征？
4=4.0，
思考 由此你可以得到什么结论？
用计算器把 以及我们学习过的π化成小数，你能发现什么？它们是什么小数？它们还是有理数吗？
问题1 你能举出几个无理数的例子吗？
问题2 无理数能写成两个整数之比吗？
问题3 无理数有正负之分吗？ 与 有什么区别？
归纳总结：
(1)无理数是不能写成两个整数之比的数.
(2)像有理数一样，无理数也有正负之分.
无理数的溯源
我国古人对无理数已经有了很多认识.《九章算术》中用“面”来表示开平方开不尽的数.刘徽在其著作《九章算术注》中，不仅记录了包含无理数运算的问题，而且给出了用有限小数无限逼近无理数的算法“求微数法”.
思考：我们将有理数和无理数统称为实数. 你能仿照有
理数的分类给实数分类吗？
无理数：
无限不循环小数
有理数：可以写成
有限小数或无限循环小数
实 数
（1）按定义分
分数
整数
开不尽方的数开方所得结果；
有规律但不循环的无限小数；
……
化简后含有 π 的数；
活动2 实数的分类
负实数
正实数
数实
正有理数
负有理数
（2）按符号分
0
正无理数
负无理数
(2)因为非零有理数和无理数都有正负之分，那么你能类比有理数的分类方法，按大小对实数分类吗？
下列说法中，正确的是（ ）
A. 实数分为正实数和负实数
B. 无限小数都是无理数
C. 无理数都是无限小数
D. 带根号的数都是无理数
即时测评
C
问题1 直径为1个单位长度的圆，它的周长是多少？
任务二　实数与数轴上的点
问题2 将直径为1个单位长度的圆在水平地面上滚动一周，它移动的距离是多少？
问题3 如图，直径为1个单位长度的圆从原点沿数轴向右滚动一周，圆上一点由原点到达点O′，点O′对应的数是多少？
因为圆的周长为π,无理数π可以用数轴上的点来表示.
0
-2
-1
1
3
2
4
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
A
思考2：你能在数轴上表示出 和 - 吗？
1
1
1
1
把两个边长为1的小正方形通过剪、拼，得到一个大正方形，大正方形的边长为 ，从而说明边长为1的小正方形的对角线为 .
－2
－1
0
1
2
-
每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示；
反过来，数轴上的每一点都表示一个实数.
★实数和数轴上的点是一一对应的.
范例应用
例题：在数轴上表示下列各点，比较它们的大小，并用“ < ”连接它们.
解：如图所示.
1. 判断下列说法是否正确：
(1)有理数都可以用数轴上的点来表示.（ ）
(2)无理数都可以用数轴上的点来表示.（ ）
(3)实数都可以用数轴上的点来表示.（ ）
(4)数轴上的点都表示有理数.（ ）
(5) 数轴上的点都表示实数.（ ）
2.如图所示，数轴上A，B两点表示的数分别为2和5.1，则2与5.1的大小关系为2 5.1．
即时测评
<
×
√
√
√
√
当堂达标
叁
当堂达标
1.下列说法正确的是（ ）
A.a一定是正实数
B. 是有理数
C. 是有理数
D.数轴上任一点都对应一个有理数
B
2.如图所示，数轴上的点P表示下列四个无理数中的一个，这个无理数是（　　）
A． B． C． D．π
B
3.判断快枪手——看谁最快最准！
（1）实数不是有理数就是无理数. （ ）
（2）无理数都是无限不循环小数. （ ）
（4）无理数都是无限小数. （ ）
（3）带根号的数都是无理数. （ ）
（5）无理数一定都带根号. （ ）
×
×
4.把下列各数填入相应的括号内：
（1）有理数： {
（2）无理数： {
（3）整数： {
（4）负数： {
（5）分数： {
（6）实数： {
｝
｝
｝
｝
｝
｝
课堂小结
肆
课堂小结
实数
无理数的概念
实数的概念
实数的分类
实数的数轴表示
实数的大小比较
课后作业
基础题：1.课后习题 第 1题。
提高题：2.请学有余力的同学完成课后习题第2,3题
谢
谢(共14张PPT)
8.3　实数及其简单运算
第1课时　实数的定义
预习导学
课堂互动
中档题
素养题
基础题
预习导学
1.无限　 　小数叫作无理数,　 　和　 　 统称　 数.实数可以按照定义和正负性两个标准分类:
不循环
有理数
无理数
实
有理数
有限小数或
无限循环小数
无理数
无限不循环
小数
正实数
0
负实数
2.　 　与数轴上的点是一一对应的,即每一个实数都可以用数轴上的一个
　 　来表示;反过来,数轴上的每一个点都表示一个　 　.
实数
点
实数
课堂互动
知识点一　实数的有关概念及分类
A
例2　下列说法正确的是( )
A.有理数包括正有理数和负有理数
B.实数包括有理数、无理数和零
C.无论是有理数还是无理数都是实数
D.无限不循环小数和无限循环小数都是无理数
C
知识点二　实数与数轴上的点的对应关系
例3　和数轴上的点一一对应的是( )
A.整数 B.有理数 C.无理数 D.实数
D
B
知识点三　实数的大小比较
C
基础题
D
B
B
A
C
-π(答案不唯一)
0,-10
π,2.022
π,-1.101 001 000 1…(两个1之间依次增加1个0)
中档题
10.(2024巴中)实数a,b在数轴上对应点的位置如图所示,下列结论正确的是( )
A.ab>0 B.a+b<0
C.|a|>|b| D.a-b<0
C
D
OB
12.如图所示是一幅面积为110π的圆形扇面图,它的半径为x.
(1)x是无理数吗 请说明理由.
(2)试估计x的整数部分是多少.
(2)∵100<110<121,即102又∵x>0,∴10∴x的整数部分为10.
素养题
13.(几何直观)如图(1)所示,这是由8个同样大小的立方体组成的魔
方,体积为64.
(1)求出这个魔方的棱长;
(2)图中阴影部分是一个正方形ABCD,求出阴影部分的面积及其边长
(边长结果保留小数点后两位);
(3)把正方形ABCD放到数轴上,如图(2)所示,使得点A对应数-1,那么点D在数轴上表示的数为　　　　(结果保留小数点后两位).
(3)-3.83

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