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数学北师大版（2024）七年级下册
第一章 整式的乘除
1.1 幂的乘除
第1课时 同底数幂的乘法
一、教学目标
1.了解同底数幂的乘法的运算性质.
2.能熟练地运用同底数幂的乘法的运算性质进行运算.
3.经历探索同底数幂乘法运算法则的过程，进一步体会幂运算的意义及类比、归纳等方法的作用.
4.在合作探究的学习过程中，让学生获取成功的体验，培养学生解决问题的能力，建立学习的自信心.
二、教学重难点
重点：了解同底数幂的乘法的运算性质.
难点：能熟练地运用同底数幂的乘法的运算法则进行运算.
三、教学过程设计
环节一 创设情境
【复习回顾】
教师活动：教师提出问题，引导学生思考回答.
问题：幂的意义是什么？
预设：几个相同数的乘法.
注意：a可以是有理数、单项式、多项式，
也可以是其他代数式，n为正整数.
【情境导入】
问题：光在真空中的速度大约是3×108km/s，太阳系以外距离地球最近的恒星是比邻星，它发出的光到达地球大约需要4.22年.
一年以3×107s计算，比邻星与地球的距离约为多少千米？
3×108×3×107×4.22
=37.98×(108×107)
想一想：108×107等于多少呢？该如何计算？
设计意图：通过复习幂的意义，为新课的探究学习打下基础，通过情境导入,提出新的问题，激发学生的学习兴趣.
环节二 探究新知
【探究】
教师活动：先利用幂的意义探究情境导入中的计算问题，再让学生自主进行做一做的练习，通过探究、交流，归纳总结出同底数幂的乘法性质.
问题1 观察算式108×107，两个因式有何特点？
预设：108 和107这两个因数底数相同，是同底数幂的形式.
所以我们把108×107这种运算叫做同底数幂的乘法.
设计意图：通过观察算式，明确什么是同底数幂的乘法.
问题2 108和107表示的意义分别是什么？
预设：
105＝10×10×10×10×10×10×10×10
8个10
107＝10×10×10×10×10×10×10
7个10
问题3 如何计算108×107呢？
预设：
108×107
=(10×10×…×10)×(10×10×…×10)
8个10 7个10
=10×10×…×10
15个10
=1015
设计意图：理解具体幂的意义，为探索同底数幂的乘法的运算性质做好知识和方法的铺垫.
【做一做】
根据幂的意义，算一算.
1.(1) 102×103；
102×103
=(10×10)×(10×10×10)
=105
=102+3
(2)105×108；
105×108
=(10×10×….×10)×(10×10×…×10)
5个10 8个10
=1013
=105+8
(3) 10m×10n (m， n都是正整数).
10m×10n
=(10×10×…×10)×(10×10×…×10)
m个10 n个10
=10m+n
提问：你发现了什么？
预设：结果中的底数与原来两个幂的底数相同，结果中的指数是原来两个幂的指数和.
2. 2m×2n等于多少？和(–3)m×(–3)n呢？(m， n都是正整数).
预设：
2m×2n
=(2×2×…×2)×(2×2×…×2)
m个2 n个2
=2m+n
m个 n个
=
(–3)m×(–3)n
=(–3)m+n
小结：我们也发现：结果中的底数与原来两个幂的底数相同，结果中的指数是原来两个幂的指数和.
设计意图：通过特殊过渡到一般，让学生自己发现同底数幂乘法的运算性质，并在发现的过程中不断巩固幂的意义.
【议一议】
m， n都是正整数，那么am · an等于什么？为什么？
预设：
am · an
=(a·a·…·a)×(a·a·…·a)
m个a n个a
=a·a·…·a
(m+n)个a
=am+n
小结：我们同样发现：结果中的底数与原来两个幂的底数相同，结果中的指数是原来两个幂的指数和.
设计意图：引导学生将上面发现的文字规律，学会用字母进行表示和运算.
【归纳】
同底数幂乘法运算性质：
am · an=am+n(m，n都是正整数)
同底数幂相乘，底数不变，指数相加.　
设计意图：明运算性质，并学会用符号语言表示.确同底数幂乘法.
环节三 应用新知
【典型例题】
教师提出问题，学生先独立思考，解答.然后再小组交流探讨，教师巡视，如遇到有困难的学生适当点拨，最终教师展示答题过程.
例1 计算.
(1)（–3）7×（–3）6；
(2)；
(3)–x3·x5；
(4)b2m·b2m+1.
分析：根据同底数幂相乘，底数不变，指数相加计算即可.
解：(1)（–3）7×（–3）6= （–3）13
(2)；
(3)–x3·x5=–x8
(4)b2m·b2m+1=b4m+1
设计意图：通过练习，让学生进一步熟练同底数幂乘法运算性质，加强学生的运算能力和应用意识.
【想一想】
am · an · ap等于什么？
预设：am · an · ap=am +n+p
用你的方法验证下吧！
利用同底数幂乘法的运算性质：
am · an · ap
=（am · an）· ap
=am +n · ap
=am +n+p
利用幂的意义：
am · an · ap
=(a·a·…·a)·(a· a · …·a)·(a·a·…·a)
m个a n个a p个a
=am +n+p
例2 光在真空中的速度约为3×108 m/s，太阳光照射到地球上大约需要5×102 s.地球距离太阳大约有多远？
分析：根据路程=速度×时间及同底数幂的乘法运算性质即可求解.
解：3×108×5×102
=15×1010
=1.5×1011(m)
答：地球距离太阳大约有1.5×1011 m.
设计意图：运用同底数幂的运算性质解决一些实际问题,进一步让学生感受大数，发展数感.
环节四 课堂练习
教师给出练习，随时观察学生完成情况并相应指导，最后给出答案，根据学生完成情况适当分析讲解.
【随堂练习】
1.判断下列计算是否正确：
(1) n3·n7=n10；
(2) a3+a5=a8；
(3) y5·y4=y20；
(4) b4·b4=2b4.
答案：（1）√；（2）（3）（4）×.
2.计算：
(1)52×57； (2)7×7 ×7 ；
（3）–x2·x3； (4)(–c)3·(–c)m.
解：(1)52×57=52+7=59
(2)7×7 ×7 =71+3+2=76
(3)–x2·x3=–x2+3=–x5
(4)(– c )3·(–c)m=(–c)3+m
3.已知am=2， an=8，求am+n的值．
分析：同底数幂乘法运算性质的逆用.
解：am+n=am·an=2×8=16.
4.在我国，平均每平方千米的土地一年从太阳得到的能量，相当于燃烧1.3×108kg的煤所产生的能量，我国陆地约9.60×106km2的土地上，一年从太阳得到的能量相当于燃烧多少千克的煤所产生的能量？(结果用科学记数法表示)
解：1.3×108×9.6×106
=1.3×9.6×108×106
=12.48×1014
=1.248×1015(kg)
答：一年从太阳得到的能量相当于燃烧1.248×1015千克的煤所产生的能量.
设计意图：通过课堂练习及时巩固本节课所学内容，并考查学生的知识应用能力，培养学生独立完成练习的习惯.
环节五 总结归纳
思维导图的形式呈现本节课的主要内容：
设计意图：通过小结总结回顾本节课学习内容，帮助学生归纳、巩固所学知识.(共20张PPT)
第一章 整式的乘除
第一课时 同底数幂的乘法
第一节 幂的乘除
数学北师大版（2024）七年级下册
1.了解同底数幂的乘法的运算性质.
2.能熟练地运用同底数幂的乘法的运算法则进行运算.
3.经历探索同底数幂乘法运算法则的过程，进一步体会幂运算的意义及类比、归纳等方法的作用.
4.在合作探究的学习过程中，让学生获取成功的体验，培养学生解决问题的能力，建立学习的自信心.
重点
难点
幂的意义是什么？
几个相同数的乘法.
an
n个a
底数
指数
幂
注意：a可以是_________、__________、_______，
也可以是其他 _______，n为正整数.
有理数
单项式
多项式
代数式
问题：光在真空中的速度大约是3×108m/s，太阳系以外距离地球最近的恒星是比邻星，它发出的光到达地球大约需要4.22年.
一年以3×107s计算，比邻星与地球的距离约为多少千米？
3×108×3×107×4.22
=37.98×(108×107)
等于多少呢？该如何计算？
问题1 观察算式108 ×107，两个因式有何特点？
108 和107这两个因数底数相同，是同底数幂的形式.
所以我们把108 ×107这种运算叫做同底数幂的乘法.
问题2 108 和107表示的意义分别是什么？
108＝10×10×10×10×10×10×10×10
107＝10×10×10×10×10×10×10
8个10相乘
7个10相乘
问题3 如何计算108 ×107呢？
15个10
108 107
(10 10 … 10)
8个10
(10 10 … 10)
10 10 … 10
1015
幂的意义
乘法结合律
幂的意义
7个10
1.(1) 102×103；
根据幂的意义，算一算.
102×103＝
×(10×10×10)
(10×10)
= 10 2+3
(2) 105×108；
105×108＝
×(10×10×… 10)
(10×10×…×10)
5个10
8个10
= 10 5+8
做一做
1.(3) 10m×10n (m， n都是正整数).
10m×10n＝
×(10×10×… 10)
(10×10×…×10)
m个10
n个10
= 10 m+n
你发现了什么？
结果中的底数与原来两个幂的底数相同，结果中的指数是原来两个幂的指数和.
根据幂的意义，算一算.
做一做
= 2m+n
2m×2n＝
×(2×2×… 2)
(2×2×…×2)
m个2
n个2
m个
n个
根据幂的意义，算一算.
做一做
= (-3) m+n
(-3)m×(-3)n＝
[(-3)×(-3)×…×(-3)]×[(-3)×(-3)×…×(-3)]
m个(-3)
n个(-3)
我们也发现：结果中的底数与原来两个幂的底数相同，结果中的指数是原来两个幂的指数和.
根据幂的意义，算一算.
做一做
m， n都是正整数，那么 等于什么？为什么？
m个a
n个a
(m n)个a
幂的意义
乘法结合律
我们同样发现：结果中的底数与原来两个幂的底数相同，结果中的指数是原来两个幂的指数和.
议一议
am·an
= (a·a·····a).·(a·a·····a）
=(a·a·····a)
=am n
同底数幂乘法运算性质：
同底数幂相乘，底数不变，指数相加.
条件：①底数相同；
②乘法.
结论：①底数不变；
②指数相加.
归纳
(m，n都是正整数).
等于什么？
am · an · ap
am · an · ap=am+n+p
用你的方法验证下吧！
am · an · ap
=(am · an ) · ap
=am+n · ap
=am+n+p
am · an · a p
=(a· a · … ·a)·(a· a · … ·a)·(a· a · … ·a)
m个a
n个a
p个a
=am+n+p
同底数幂运算性质
幂的意义
想一想
例2
根据路程=速度×时间及同底数幂的乘法运算性质即可求解.
分析
光在真空中的速度约为3×108 m/s，太阳光照射到地球上大约需要5×102 s.地球距离太阳大约有多远？
解：3×108×5×102
=15×1010
=1.5×1011(m)
答：地球距离太阳大约有1.5×1011 m.
1.判断下列计算是否正确：
(1) n3·n7 n10；
(2) a3 a5 a8；
(3) y5·y4 y20；
(4) b4·b4 2b4.
等式左边是加法，且不是同类项，不能合并.
y5·y4
y9
y5 4
b4·b4
b8
b4 4
b4 b4 2b4
2.计算：
(1)52×57； (2)7×7 ×7 ；
(3)-x2·x3； (4)(-c)3·(-c)m.
解： (1)52×57=52+7=59
(2)7×7 ×7 =71+3+2=76
(3)-x2·x3=-x2+3=-x5
(4)(-c)3·(-c)m=(-c)3+m
3.已知am=2， an=8，求am+n的值．
am · an =am+n
am+n = am · an
性质反用
解：am+n=am·an=2×8=16.
4.在我国，平均每平方千米的土地一年从太阳得到的能量，相当于燃烧1.3×108kg的煤所产生的能量，我国陆地约9.60×106km2的土地上，一年从太阳得到的能量相当于燃烧多少千克的煤所产生的能量？(结果用科学记数法表示)
解：1.3×108×9.6×106
=1.3×9.6×108×106
=1.248×1015(kg)
答：一年从太阳得到的能量相当于燃烧1.248×1015千克的煤所产生的能量.
=12.48×1014
同底数幂运算性质：
同底数幂的乘法
同底数幂运算性质的推广：
同底数幂相乘，底数不变，指数相加.
上式对于三个及以上的同底数幂乘法仍适用.
(m，n都是正整数).
(m，n，p都是正整数).

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