资源简介

1.2.1　平方差公式
【素养目标】
1.从代数、几何两个不同的角度理解平方差公式的推导过程.
2.掌握平方差公式的结构特征并能够运用平方差公式进行计算.
3.在公式的推导过程中鼓励探索和创新,培养创新意识和应用能力.
【重点】
运用平方差公式进行计算.
【自主预习】
计算下列各式:
(x+1)(x-1)=x2 -1= ;
(x+2)(x-2)=x2 -22= ;
(x+3)(x-3)=x2 -32= ;
(x+4)(x-4)=x2 -42= .
1.补全横线内容.
2.你发现什么规律 (提示:等号左边的两个因式有什么特点 最后的结果有什么特点 )
3.请再举出一些例子,看一看你所发现的规律是否还存在.
【参考答案】1.-x+x　x2-1　-2x+2x　x2-4　-3x+3x　x2-9　-4x+4x　x2-16
2.等号左边都是两个数的和与这两个数的差的乘积,所得的结果是这两个数的平方差.
3.例如,(x+5)(x-5)=x2-5x+5x-52=x2-25(例子不唯一,正确即可),规律依然存在.
1.下列计算正确的是 ( )
A.a3-a2=a
B.(a+1)(-a-1)=a2-1
C.(a3)2=a6
D.(a+1)(a-1)=a2+1
2.若x+y=5,x-y=6,则x2-y2的值为 ( )
A.1　　 　B.11　　 　C.30　　 　D.35
【参考答案】1.C　2.C
【合作探究】
平方差公式
阅读课本本课时“例1”之前的内容,解决下列问题.
验证公式(代数角度):
1.若用x和y表示两个数,你能证明预学思考中发现的结论吗 请写出证明过程.证明中利用了什么运算法则
图解公式(几何角度):
2.(1)图1.2-1(1)中的剩余图形的面积可以表示为 .
(2)图1.2-1(2)中拼成的长方形的面积可以表示为 .
(3)比较两图中的图形的面积,用式子表示你得到的结果.
3.平方差公式:两个数的 与这两个数的 的积等于这两个数的 .可表示为 .
【参考答案】1.证明过程如下:(x+y)(x-y)=x2-xy+xy-y2=x2-y2.证明过程中运用了多项式乘法法则.
2.(1)a2-b2
(2)(a+b)(a-b)
(3)两图中的图形的面积是相等的,可以表示为(a+b)(a-b)=a2-b2.
3.和　差　平方差　(x+y)(x-y)=x2-y2
1.计算(1+a)(1-a)所得的结果是 ( )
A.a2-1 B.1-a2
C.a2+1 D.1+a2
2.如下图所示的分割及拼接图形的方案中,可以验证的等式为　.
【参考答案】1.B　2.(a+b)(a-b)=a2-b2
运用平方差公式进行计算
阅读课本本课时“例1”至“例4”中的内容,解决下列问题.
1.计算“例1”第(1)题时,可以把 看成平方差公式中的x, 看成y,计算第(2)题时,可以把 看成平方差公式中的x, 看成y,计算“例2”时,可以把 看成平方差公式中的x, 看成y.
2.计算“例3”可将第 个括号内的式子调整顺序,转化为平方差公式的形式.
3.计算“例4”可以将1 002变为 ,将998变为 ,从而利用 简便运算.
4.对于满足平方差公式特征的多项式的乘法或有理数运算,可利用该公式进行 运算.
【参考答案】1.2x　1　x　2y　-2x　y
2.2
3.1 000+2　1 000-2　平方差公式
4.简便
3.如果计算(x+my)(x+ny)时能使用平方差公式,那么m,n应满足 ( )
A.m,n同号 B.m,n异号
C.m与n互为相反数 D.以上都不对
4.计算:99.5×100.5.
【参考答案】3.C
4.解:99.5×100.5=(100-0.5)×(100+0.5)=1002-0.52=10 000-0.25=9 999.75.
平方差公式的结构特征
例　在括号内填上怎样的代数式才能利用平方差公式进行计算 按照所填的式子进行计算.
(1)(-2a+b) ;
(2)(-a-b) .
(1)(-2a-b)或(2a+b)　(2)(-a+b)或(a-b)
【参考答案】解:(1)(-2a+b)(-2a-b)=(-2a)2-b2=4a2-b2或(-2a+b)(2a+b)=b2-(2a)2=b2-4a2.
(2)(-a-b)(-a+b)=(-a)2-b2=a2-b2或(-a-b)(a-b)=(-b)2-a2=b2-a2.
变式训练　
下列各式中,不能运用平方差公式计算的是 ,计算其他几个能够用平方差公式计算的式子.
①(ab-1)(ab+1);②(2x-1)(-1+2x);③(-2x-y)(2x-y);④(-a+5)(-a-5).
【参考答案】解:②;(ab-1)(ab+1)=a2b2-1;(-2x-y)(2x-y)=(-y-2x)(-y+2x)=y2-4x2;
(-a+5)(-a-5)=a2-25.

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