资源简介

（中等作业）2024-2025学年下学期小学数学人教新版五年级同步个性化分层作业探索图形练习卷
一．选择题（共5小题）
1．（2023春 隆阳区期末）一个棱长为3厘米的正方体，把6个面涂色后分割成棱长为1厘米的小正方体，这些正方体中，两面涂色的有（　　）个。
A．8 B．12 C．6
2．（2023春 南海区期末）将一个正方体木块6个面都涂上红色，把它切成大小相等的64块小正方体．一个面涂上红色的小正方体有（　　）块
A．4 B．12 C．24 D．48
3．（2022秋 海安市期中）在棱长为6厘米的正方体的表面涂上颜色，然后切成棱长1厘米的小正方体，切成的小正方体中，2面涂色的小正方体有（　　）个。
A．8 B．48 C．64 D．96
4．（2022春 内乡县期末）用若干个相同的小正方体拼一个大正方体，再在大正方体的表面涂色。已知两面涂色的小正方体共24块。那么，这个立体图形中，没有涂色的有（　　）块。
A．0 B．1 C．8 D．27
5．（2022 宝应县）把一个棱长为5厘米的正方体表面涂上红色，然后把它切成棱长为1厘米的小正方体，其中两面涂色的小正方体有（　　）个．
A．8 B．24 C．36
二．填空题（共5小题）
6．（2023春 南海区期中）在一块棱长为16cm的正方体蛋糕表面涂上奶油（底面不涂），然后切成棱长为4cm的小正方体蛋糕，在这些小正方体蛋糕中，2面涂奶油的有 　 　块。
7．（2022秋 杏花岭区期末）把表面涂色的棱长为5厘米的大正方体切成棱长为1厘米的小正方体，一共可以切 　 　个，其中一面涂色的有 　 　个。
8．（2023秋 苏州期中）把一个棱长是5厘米的正方体表面涂上红色，然后切成棱长1厘米的小正方体，其中一面涂色的有 　 　个，两面涂色的有 　 　个，三面涂色的有 　 　个。
9．（2022秋 灌云县期末）一个表面涂色的正方体，按每条棱分成6等份切成同样大的小正方体。在切成的小正方体中，2面涂色的有 　 　个，3面涂色的有 　 　个。
10．（2023春 汉川市期中）用棱长1cm的小正方体拼成如图所示的大正方体后，把它们的表面分别涂上颜色。三面涂色的小正方体有 　 　个，两面涂色的小正方体有 　 　个，一面涂色的小正方体有 　 　个，每个面都没有涂色的小正方体有 　 　个。
三．操作题（共2小题）
11．（2022春 巩义市期末）在学习探索图形时，我们用棱长lcm的正方体拼成如图的三个大正方体后，把它们的表面分别涂上颜色。三面涂色的小正方体分别有 　 　，　 　，　 　块，你发现它们位置的规律是 　 　。
12．（2019 无棣县）一个长方体有六个面，下面是其中的四个面，请认真观察。
请在下面的格子图中画出这个长方体的另外2个面，并涂上阴影。
四．应用题（共2小题）
13．一根2米长绳子从起点开始．每隔4cm标记一个红点，每隔5cm标记一个黄点，最后用剪刀在每个标记点处剪一刀，问一个可以将绳子剪成多少段？
14．把棱长分别为2，4，6的三个正方体木块的表面都涂成黑色，然后把它们都锯成棱长为1的小正方体木块。在这些小木块中至少有1面涂黑的一共有多少个？
五．解答题（共11小题）
15．（2020 绵阳）在左图中，空白部分占整个长方形的；再涂 　 　块，涂色部分就是整个长方形的了。
16．（2014 台湾模拟） 图中这堆积木是由11个全等的正立方体堆成．假如将外露的地方涂上颜色（底部不外露），再把它分开，问有多少面没有涂上颜色（包括底部）﹖
17．（2023春 闽侯县期中）如图是用棱长1cm的小正方体拼成的长方体甲。
右图中①～⑥型号的长方形各有若干个，请在其中挑选适当的长方形，组成的长方体乙，使长方体乙的体积与长方体甲相等。
（1）求长方体甲的体积。
（2）若将甲表面涂上颜色，则三面涂色的小正方体有 　 　个，一面涂色的小正方体有 　 　个。
（3）长方体乙的前后面你挑选 　 　号长方形，左右面你挑选 　 　号长方形，上下面你挑选 　 　号长方形。
（4）拼成的长方体乙的棱长总和是 　 　cm。
18．（2024春 滨江区校级期中）将长6cm、宽5cm、高4cm的长方体木块的六个面都涂上红色，然后分割成棱长1cm的小正方体木块。在这些小正方体中，一面涂色的有几块？没有涂色的有几块？
19．（2021春 京山市期中）如图，由30个棱长为1米的正方体在地面上摆成一个塔形（注意：每层之间的竖棱不一定对齐，即层与层之间摆的不正），然后喷红色油漆。（当然地面和被盖住的地方喷不上）之后把它们拆散，这样有的小正方体只有一部分不规则的红色，有的一个面是红色，有的完全没有喷上红色，试求这些红色面积的总和。
20．用A、B、C、D、E、F六种燃料去染下图的两个调色盘，要求每个调色盘里的六种颜色不能相同，且相邻四种颜色在两个调色盘里不能重复，那么共有　 　种不同的染色方案（旋转算不同方法）．
21．一个表面涂色的大长方体木块，长7cm，宽6cm，高4cm，把它切割成棱长为1cm的小正方体木块。在这些小正方体木块中，三面涂色、两面涂色、一面涂色和没有涂色的各有多少个？
22．先把一些棱长1cm的小正方体拼成一个大正方体后，再把大正方体的表面涂色。
①一共使用了　 　个小正方体。
②小正方体中三面涂色的有　 　个，在图中标出其中一个。
③小正方体中两面涂色的有　 　个，在图中标出其中一个。
④小正方体中一面涂色的有　 　个，在图中标出其中一个。
⑤所有面都未涂色的小正方体有　 　个。
23．先将一个正方体的每个面都涂上蓝色后，再将它切成若干个大小相等的小正方体，拆开后发现其中有27块小正方体没有被涂色，那么三面涂色、两面涂色、一面涂色的小正方体分别有多少个？
24．把一个六面都涂上颜色的正方体木块切成64块大小相同的小正方体（如图）。问：
（1）三面涂色的小正方体有多少块？
（2）两面涂色的小正方体有多少块？
（3）一面涂色的小正方体有多少块？
25．一个长方体木块，长5dm、宽3dm、高4dm，在它的六个面上都漆满红油漆，然后锯成棱长都是1dm的小正方体木块，锯成的小正方体木块中，多少块三面有红色？两个面、一个面有红色的各有多少块？六个面都没有红色的有多少块？
（中等作业）2024-2025学年下学期小学数学人教新版五年级同步个性化分层作业探索图形练习卷
参考答案与试题解析
题号 1 2 3 4 5
答案 B C B C C
一．选择题（共5小题）
1．（2023春 隆阳区期末）一个棱长为3厘米的正方体，把6个面涂色后分割成棱长为1厘米的小正方体，这些正方体中，两面涂色的有（　　）个。
A．8 B．12 C．6
【考点】染色问题．
【专题】立体图形的认识与计算；空间观念．
【答案】B
【分析】先求出每条棱上切成棱长为1厘米的小正方体的个数：3÷1＝3（个），根据题意可发现顶点处的小正方体三面涂色，除顶点外位于棱上的小正方体两面涂色，位于表面中心的一面涂色，而处于正中心的则没涂色，据此解答即可。
【解答】解：根据以上分析可知：
3÷1＝3（个）
（3﹣2）×12
＝1×12
＝12（个）
答：两面涂色的小正方体有12个。
故选：B。
【点评】抓住表面涂色的正方体切割小正方体的特点：1面涂色的在面上，2面涂色的在棱长上，3面涂色的在顶点处，没有涂色的在内部，由此即可解决此类问题。
2．（2023春 南海区期末）将一个正方体木块6个面都涂上红色，把它切成大小相等的64块小正方体．一个面涂上红色的小正方体有（　　）块
A．4 B．12 C．24 D．48
【考点】染色问题．
【专题】立体图形的认识与计算．
【答案】C
【分析】因为4×4×4＝64，所以大正方体每条棱长上面都有4个小正方体；根据立体图形的知识可知：三个面均为红色的是各顶点处的小正方体；在各棱处，除去顶点处的正方体的有两面红色；在每个面上，除去棱上的正方体都是一面红色；所有的小正方体的个数减去有红色的小正方体的个数即是没有涂色的小正方体．根据上面的结论，即可求得答案．
【解答】解：4×4×4＝64，所以大正方体每条棱长上面都有4个小正方体；
（4﹣2）×（4﹣2）×6
＝2×2×6
＝24（个）
答：一个面涂上红色的小正方体有24块．
故选：C。
【点评】此题考查了立方体的知识．注意数形结合与正方体表面涂色的特点的应用．
3．（2022秋 海安市期中）在棱长为6厘米的正方体的表面涂上颜色，然后切成棱长1厘米的小正方体，切成的小正方体中，2面涂色的小正方体有（　　）个。
A．8 B．48 C．64 D．96
【考点】染色问题．
【专题】应用题；应用意识．
【答案】B
【分析】根据正方体表面涂色的特点，分别得出切割后的小正方体涂色面的排列特点：没有涂色的都在内部；一面涂色的都在每个面上（除去棱上的小正方体）；两面涂色的在每条棱上（除去顶点处的小正方体）；三面涂色的在每个顶点处；据此解答即可。
【解答】解：（6﹣2）×12
＝4×12
＝48（个）
答：2面涂色的小正方体有48个。
故选：B。
【点评】本题关键要明确：三面有色的处在8个顶点上，两面有色的处在12条棱上，一面有色的处在每个面的中间，无色的处在里心。
4．（2022春 内乡县期末）用若干个相同的小正方体拼一个大正方体，再在大正方体的表面涂色。已知两面涂色的小正方体共24块。那么，这个立体图形中，没有涂色的有（　　）块。
A．0 B．1 C．8 D．27
【考点】染色问题．
【专题】立体图形的认识与计算；空间观念．
【答案】C
【分析】一面涂色的在每个面的中间、两面涂色处在棱的中间、三面涂色的处在顶点上，六个面都没有色的小正方体处在大长方体的中心；三面涂色有8个在顶点上；一面涂色的＝每个面上的个数×6，两面涂色的＝每条棱上的个数×12，六个面都没色的＝总个数﹣一面涂色的个数﹣两面涂色的个数﹣三面涂色的个数。
【解答】解：一面涂色的有：（24÷12）×（24÷12）×6
＝2×2×6
＝4×6
＝24（块）
三面涂色的有8块，两面涂色的有24块，
则没有涂色的块数是：24÷12+2
＝2+2
＝4（块）
4×4×4﹣8﹣24﹣24
＝64﹣8﹣24﹣24
＝56﹣24﹣24
＝32﹣24
＝8（块）
答：没有涂色的有8块。
故选：C。
【点评】本题关键是理解：六个面都没有色的小正方体处在大长方体的中心，一面涂色的处在每个面的中间、两面涂色处在棱的中间、三面涂色的处在顶点上。
5．（2022 宝应县）把一个棱长为5厘米的正方体表面涂上红色，然后把它切成棱长为1厘米的小正方体，其中两面涂色的小正方体有（　　）个．
A．8 B．24 C．36
【考点】染色问题．
【专题】立体图形的认识与计算．
【答案】C
【分析】先求出每条棱上切成棱长为1厘米的小正方体的个数：5÷1＝5（个），根据题意可发现顶点处的小正方体三面涂色，除顶点外位于棱上的小正方体两面涂色，位于表面中心的一面涂色，而处于正中心的则没涂色，据此解答即可．
【解答】解：根据以上分析可知：
5÷1＝5（个）
（5﹣2）×12
＝3×12
＝36（个）；
答：两面涂色的小正方体有36个．
故选：C．
【点评】抓住表面涂色的正方体切割小正方体的特点：1面涂色的在面上，2面涂色的在棱长上，3面涂色的在顶点处，没有涂色的在内部，由此即可解决此类问题．
二．填空题（共5小题）
6．（2023春 南海区期中）在一块棱长为16cm的正方体蛋糕表面涂上奶油（底面不涂），然后切成棱长为4cm的小正方体蛋糕，在这些小正方体蛋糕中，2面涂奶油的有 　20　块。
【考点】染色问题．
【专题】应用意识．
【答案】20。
【分析】因为16÷4＝4，所以每条棱上都有4块小正方体蛋糕，如果每个面都涂奶油，那么2面涂奶油的小正方体蛋糕就在12条棱的中间段，每条棱上有（4﹣2）块。但由于这个蛋糕底面没有涂奶油，所以底面的4条棱中间段的小正方体蛋糕只有一面涂了奶油，而在顶点处有2面涂了奶油。所以2面涂奶油的一共有（2×8+4）块。由此解答即可。
【解答】解：16÷4＝4（块）
2×8+4
＝16+4
＝20（块）
答：2面涂奶油的有20块。
故答案为：20。
【点评】此题考查了学生对问题的分析思考能力。
7．（2022秋 杏花岭区期末）把表面涂色的棱长为5厘米的大正方体切成棱长为1厘米的小正方体，一共可以切 　125　个，其中一面涂色的有 　54　个。
【考点】染色问题．
【专题】立体图形的认识与计算；空间观念．
【答案】125；54。
【分析】5÷1＝5（个），所以大正方体每条棱长上面都有5个小正方体；根据立体图形的知识可知：三个面均为红色的是各顶点处的小正方体，在各棱处，除去顶点处的正方体的有两面红色，在每个面上，除去棱上的正方体都是一面红色；据此解答。
【解答】解：5÷1＝5（个）
5×5×5＝125（个）
所以一共可以切成125个。
一面涂色的有：
（5﹣2）×（5﹣2）×6
＝3×3×6
＝54（块）
答：一共可以切125个，其中一面涂色的有54个。
故答案为：125；54。
【点评】本题主要考查了染色问题，注意数形结合与正方体表面涂色的特点的应用。
8．（2023秋 苏州期中）把一个棱长是5厘米的正方体表面涂上红色，然后切成棱长1厘米的小正方体，其中一面涂色的有 　54　个，两面涂色的有 　36　个，三面涂色的有 　8　个。
【考点】染色问题．
【专题】压轴题；空间观念．
【答案】54，36，8。
【分析】因为5÷1＝5（个），所以大正方体每条棱长上面都有5块小正方体；根据立体图形的知识可知：三个面均为红色的小正方体在各顶点处；在各棱处，除去顶点处的小正方体剩下的都是两面红色；在每个面上，除去棱上的小正方体都是一面红色；据此解答即可。
【解答】解：5÷1＝5（个）
一面涂色的有：（5﹣2）×（5﹣2）×6
＝3×3×6
＝54（个）
两面涂色的有：（5﹣2）×12
＝3×12
＝36（个）
三面涂色的都在顶点处，所以一共有8个。
答：其中一面涂色的有54个，两面涂色的有36个，三面涂色的有8个。
故答案为：54，36，8。
【点评】此题考查了立方体的知识。注意数形结合与正方体表面涂色的特点的应用。
9．（2022秋 灌云县期末）一个表面涂色的正方体，按每条棱分成6等份切成同样大的小正方体。在切成的小正方体中，2面涂色的有 　48　个，3面涂色的有 　8　个。
【考点】染色问题．
【专题】推理能力；模型思想．
【答案】48；8。
【分析】正方体有12条棱，每条棱上有6个小正方体，去掉顶点处的两个小正方体，每条棱上有4个小正方体需要涂2个面；
根据正方体的特征可知，正方体有8个顶点，在正方体顶点处的小正方体需要涂3个面。
【解答】解：12×（6﹣2）
＝12×4
＝48（个）
答：2面涂色的有48个，3面涂色的有8个。
故答案为：48；8。
【点评】解答此题的关键是弄清位于什么位置的小正方体三面涂色，位于什么位置的小正方体两面涂色，位于什么位置的小正方体一面涂色，位于什么位置的小正方体没有涂色。
10．（2023春 汉川市期中）用棱长1cm的小正方体拼成如图所示的大正方体后，把它们的表面分别涂上颜色。三面涂色的小正方体有 　8　个，两面涂色的小正方体有 　12　个，一面涂色的小正方体有 　6　个，每个面都没有涂色的小正方体有 　1　个。
【考点】染色问题．
【答案】8，12，6，1。
【分析】三面涂色和顶点有关，8个顶点．
两面染色和棱长有关．即新棱长（棱长﹣2）×12
一面染色和表面积有关．同样用新棱长计算表面积公式（棱长﹣2）×（棱长﹣2）×6
0面染色和体积有关．用新棱长计算体积公式（棱长﹣2）×（棱长﹣2）×（棱长﹣2）
根据以上公式解答。
【解答】解：三面涂色的有8个；
两面涂色的有：（3﹣2）×12
＝1×12
＝12（块）
一面涂色的有：（3﹣2）×（3﹣2）×6
＝1×1×6
＝6（块）
0面染色的有：（3﹣2）×（3﹣2）×（3﹣2）
＝1×1×1
＝1（块）
故答案为：8，12，6，1。
【点评】明确染色问题的基本解法是解决本题的关键。
三．操作题（共2小题）
11．（2022春 巩义市期末）在学习探索图形时，我们用棱长lcm的正方体拼成如图的三个大正方体后，把它们的表面分别涂上颜色。三面涂色的小正方体分别有 　8　，　8　，　8　块，你发现它们位置的规律是 　都位于顶点处　。
【考点】染色问题．
【专题】推理能力．
【答案】8，8，8，都位于顶点处。
【分析】小正方休组成的大正方体的每个顶点处的小正方体三面涂色，一个正方体有8个顶点，因此，三面涂色的有8块，且不论由多少个小正方体组成的大正方体，三面粉色的块数是一定的，都是8块。
【解答】解：三面涂色的小正方体位于顶点处，每个顶点上有1块，共8块。
故答案为：8，8，8，都位于顶点处。
【点评】解答此题的关键是根据模型（或用土豆、萝卜等切割）填表，然后再根据表中的数据找到规律，然后再根据规律解答。
12．（2019 无棣县）一个长方体有六个面，下面是其中的四个面，请认真观察。
请在下面的格子图中画出这个长方体的另外2个面，并涂上阴影。
【考点】染色问题．
【专题】综合题；几何直观．
【答案】
【分析】根据已知图示所示的4个面，可知这个长方体另外的2个面的长是4个方格宽是3个方格，依此画出这个长方体另外的2个面。
【解答】解：如图所示：
【点评】本题是考查长方体的展开图，意在培养学生的观察、分析和空间想象能力。
四．应用题（共2小题）
13．一根2米长绳子从起点开始．每隔4cm标记一个红点，每隔5cm标记一个黄点，最后用剪刀在每个标记点处剪一刀，问一个可以将绳子剪成多少段？
【考点】染色问题．
【专题】传统应用题专题．
【答案】见试题解答内容
【分析】首先求出每4厘米作一个记号，可以作几个记号；再求出每5厘米作一个记号，可以作几个记号；因为4和5的最小公倍数是20，所以每20厘米处的记号重合，由此即可求出绳子被剪出的段数．
【解答】解：2米＝200厘米
200÷4﹣1＝49（个）
200÷5﹣1＝39（个）
4和5互质，所以4和5的最小公倍数是4×5＝20；
200÷20﹣1＝9（个）
49+39﹣9＝79（个）
79+1＝80（段）
答：可以将绳子剪成80段．
【点评】解答此题的关键是分析出每20厘米处的记号重合，并求出重合的记号的个数．
14．把棱长分别为2，4，6的三个正方体木块的表面都涂成黑色，然后把它们都锯成棱长为1的小正方体木块。在这些小木块中至少有1面涂黑的一共有多少个？
【考点】染色问题．
【专题】立体图形的认识与计算；空间观念．
【答案】48个。
【分析】棱长分别为2，4，6的三个正方体木块的表面都涂成黑色，然后把它们都锯成棱长为1的小正方体木块；由于是2层，没有不涂色的，所以在这些小木块中至少有1面涂黑的个数是：2×4×6＝48（个），据此解答即可。
【解答】解：2×4×6＝48（个）
答：在这些小木块中至少有1面涂黑的一共有48个。
【点评】此题考查了立方体的知识，注意数形结合与正方体表面涂色的特点的应用。
五．解答题（共11小题）
15．（2020 绵阳）在左图中，空白部分占整个长方形的；再涂 　4　块，涂色部分就是整个长方形的了。
【考点】染色问题．
【专题】应用题；应用意识．
【答案】；4。
【分析】把整个长方形的面积看作单位“1”，把它平均分成8份，每份是它的，其中5份是空白部分，表示；涂色了3份，表示，需要再涂7﹣3＝4（份），涂色部分就占了。
【解答】解：如图，空白部分占整个长方形的；再涂4块，涂色部分就是整个长方形的了。
故答案为：4。
【点评】此题是考查分数的意义。把单位“1”平均分成若干份，用分数表示，分母是分成的份数，分子是要表示的份数。
16．（2014 台湾模拟） 图中这堆积木是由11个全等的正立方体堆成．假如将外露的地方涂上颜色（底部不外露），再把它分开，问有多少面没有涂上颜色（包括底部）﹖
【考点】染色问题．
【专题】传统应用题专题．
【答案】见试题解答内容
【分析】根据观察三视图的方法，先算出染色的面数，从左右面看染色的面有：6×2＝12个，从前后面看染色的面有：7×2＝14个，从上面看染色的面有：7个，所以染色的面共有：12+14+7＝33个，不染色的面有：6×11﹣33＝33（个），据此解答即可．
【解答】解：根据分析可得：
从左右面看染色的面有：6×2＝12个，从前后面看染色的面有：7×2＝14个，从上面看染色的面有：7个，
6×11﹣（12+14+7）
＝66﹣33
＝33（个）
答：不染色的面有33个．
【点评】本题考查了学生观察的能力以及找规律的能力，关键是换角度思考，先数出涂色的面数．
17．（2023春 闽侯县期中）如图是用棱长1cm的小正方体拼成的长方体甲。
右图中①～⑥型号的长方形各有若干个，请在其中挑选适当的长方形，组成的长方体乙，使长方体乙的体积与长方体甲相等。
（1）求长方体甲的体积。
（2）若将甲表面涂上颜色，则三面涂色的小正方体有 　8　个，一面涂色的小正方体有 　10　个。
（3）长方体乙的前后面你挑选 　①　号长方形，左右面你挑选 　④　号长方形，上下面你挑选 　⑤　号长方形。
（4）拼成的长方体乙的棱长总和是 　44　cm。
【考点】染色问题；长方体和正方体的体积．
【专题】综合题；几何直观．
【答案】（1）36；
（2）8，10；
（3）①，④，⑤；（答案不唯一）
（4）44厘米。
【分析】（1）长方体的体积＝长×宽×高，据此解答即可；
（2）三面涂色的为8个角上的正方体；一面涂色的为中间部分正方体，据此解答；
（3）36＝6×3×2，据此选择拼成的长方形即可；
（4）棱长总和＝（长+宽+高）×4，据此解答。
【解答】解：（1）1×1×1＝1（立方厘米）
3×3×4×1
＝36×1
＝36（立方厘米）
答：长方体甲的体积是36立方厘米。
（2）2×4+2＝10（个）
答：若将甲表面涂上颜色，则三面涂色的小正方体有8个，一面涂色的小正方体有10个。
（3）如图，
长方体乙的前后面我挑选 ①号长方形，左右面你挑选 ④号长方形，上下面你挑选 ⑤号长方形。（答案不唯一）
（4）（6+3+2）×4
＝11×4
＝44（厘米）
答：拼成的长方体乙的棱长总和是44厘米。
【点评】本题主要考查了长方体的体积、棱长总和的求解方法，以及染色问题的灵活应用。
18．（2024春 滨江区校级期中）将长6cm、宽5cm、高4cm的长方体木块的六个面都涂上红色，然后分割成棱长1cm的小正方体木块。在这些小正方体中，一面涂色的有几块？没有涂色的有几块？
【考点】染色问题．
【专题】应用题；应用意识．
【答案】一面涂色的有52块；没有涂色的有24块。
【分析】根据分析可知，根据长方体的体积＝长×宽×高，用（6×5×4）÷（1×1×1）即可求出被切成的小正方体的块数；三个面均涂色的是各顶点处的小正方体，长方体有8个顶点，所以三面涂色的有8个；在各棱处，除去顶点处的正方体，其他的是两面涂色；在每个面上，除去棱上的正方体都是一面油漆；最后用所有的小正方体的个数减去有红色的小正方体的个数即是没有涂色的小正方体。根据上面的结论，即可求得答案。
【解答】解：小正方体的总个数：（6×5×4）÷（1×1×1）
＝120÷1
＝120（个）
有8个顶点，所以三面涂色的小正方体有8个，
两面涂色的有：（6﹣2）×4+（5﹣2）×4+（4﹣2）×4
＝4×4+3×4+2×4
＝16+12+8
＝36（个）
一面涂色的有：[（6﹣2）×（5﹣2）+（6﹣2）×（4﹣2）+（5﹣2）×（4﹣2）]×2
＝[4×3+4×2+3×2]×2
＝[12+8+6]×2
＝26×2
＝52（个）
没有涂色的有：120﹣8﹣36﹣52＝24（个）
答：一面涂色的有52块；没有涂色的有24块。
【点评】此题主要考查了染色问题，解题的关键是抓住三面涂色的在顶点处，两面涂色的在棱长上，一面涂色的在正方体的面中间上。
19．（2021春 京山市期中）如图，由30个棱长为1米的正方体在地面上摆成一个塔形（注意：每层之间的竖棱不一定对齐，即层与层之间摆的不正），然后喷红色油漆。（当然地面和被盖住的地方喷不上）之后把它们拆散，这样有的小正方体只有一部分不规则的红色，有的一个面是红色，有的完全没有喷上红色，试求这些红色面积的总和。
【考点】染色问题．
【专题】几何直观．
【答案】56m2。
【分析】通过观察看出，塔形的每一上层都盖住了它的下层的一部分，可以这样想，把塔从顶端层层压进去，最后会成为一个最低层的形状的长方体，塔的上面涂色部分就是形成的这个长方体的上面面积，再加上塔层周围面积，就是总的涂色面积。
【解答】解：4×4＝16（m2）
1×1×（4×4+3×4+2×4+1×4）
＝1×40
＝40（m2）
16+40＝56（m2）
答：涂色面积总和是56m2。
【点评】本题考查了学生的观察能力，及转化思想。
20．用A、B、C、D、E、F六种燃料去染下图的两个调色盘，要求每个调色盘里的六种颜色不能相同，且相邻四种颜色在两个调色盘里不能重复，那么共有　488160　种不同的染色方案（旋转算不同方法）．
【考点】染色问题．
【答案】见试题解答内容
【分析】由于有两个调色盘，先在两个调色盘中选一个，则在这个调色盘里有6×5×4×3×2×1＝720种染法，再看另外一个调色盘，相邻的四种颜色重复分为4个重复，5个重复和6个重复，但由于5个重复6个就必然重复，所以只要分4和6两种就行了．4种颜色重复有6种情况，6种颜色重复只有1种．每种情况经旋转可变出6种．所以共有6×5×4×3×2×1﹣1×6﹣6×6＝678．总共有678×720＝488160种．
【解答】解：在一个调色盘里有6×5×4×3×2×1＝720种染法；
再看另外一个调色盘，相邻的四种颜色重复分为4个重复，5个重复和6个重复，
由于5个重复6个就必然重复，所以只要分4和6两种就行了．
4种颜色重复有6种情况，6种颜色重复只有1种，每种情况经旋转可变出6种；
所以共有6×5×4×3×2×1﹣1×6﹣6×6＝678，
所以总共有678×720＝488160种．
故答案为：488160．
【点评】完成本题要在了解简单的排列组合知识的基础上完成．
21．一个表面涂色的大长方体木块，长7cm，宽6cm，高4cm，把它切割成棱长为1cm的小正方体木块。在这些小正方体木块中，三面涂色、两面涂色、一面涂色和没有涂色的各有多少个？
【考点】染色问题．
【专题】应用题；应用意识．
【答案】三面涂色的有8个，两面涂色的有44个，一面涂色的有76个，没有涂色的有40个。
【分析】分析题意，易知三面涂色的小正方体都在顶点处，有8块；两面涂色的小正方体都在棱上，类似于求棱长总和；一面涂色的小正方体在每个面的中间，类似于求表面积；没有涂色的在正中间找，类似于求体积；据此求解即可。
【解答】解：7﹣2＝5（厘米）
6﹣2＝4（厘米）
4﹣2＝2（厘米）
三面涂色：8个
两面涂色：
（5+4+2）×4
＝11×4
＝44（个）
一面涂色：
（5×4+5×2+4×2）×2
＝（20+10+8）×2
＝38×2
＝76（个）
没有涂色：5×4×2＝40（个）
答：三面涂色的有8个，两面涂色的有44个，一面涂色的有76个，没有涂色的有40个。
【点评】本题主要考查了染色问题，解题的关键是明确3面涂色的在顶点处，只有1面涂色的小正方体在每个正方体的面上，只有2面涂色的小正方体在长方体的棱长上（不包括8个顶点处的小正方体），没有涂色的在内部。
22．先把一些棱长1cm的小正方体拼成一个大正方体后，再把大正方体的表面涂色。
①一共使用了　64　个小正方体。
②小正方体中三面涂色的有　8　个，在图中标出其中一个。
③小正方体中两面涂色的有　24　个，在图中标出其中一个。
④小正方体中一面涂色的有　24　个，在图中标出其中一个。
⑤所有面都未涂色的小正方体有　8　个。
【考点】染色问题．
【专题】压轴题；空间观念．
【答案】①64；②8；③24；④24；⑤8。
【分析】①根据正方体的体积公式解答即可；
②三面涂色的小正方体在顶点处，大正方体有8个顶点，据此解答；
③两面涂色的小正方体在每条棱的中间，每条棱上有2个两面涂色的小正方体，大正方体有12条棱，据此解答；
④一面涂色的小正方体在每个面的中间，据此解答；
⑤大正方体中央的小正方体是所有面都未涂色的，据此解答。
【解答】解：①4×4×4＝64（个）
答：一共使用了64个小正方体。
②三面涂色的小正方体在顶点处，大正方体有8个顶点，所以小正方体中三面涂色的有8个。
答：小正方体中三面涂色的有8个，如图中标（2）的正方体。
③（4﹣2）×12
＝2×12
＝24（个）
答：小正方体中两面涂色的有24个，如图中标（3）的正方体。
④（4﹣2）×（4﹣2）×6
＝2×2×6
＝4×6
＝24（个）
答：小正方体中一面涂色的有24个，如图中标（4）的正方体。
⑤（4﹣2）×（4﹣2）×（4﹣2）
＝2×2×2
＝8（个）
答：所有面都未涂色的小正方体有8个。
故答案为：①64；②8；③24；④24；⑤8。
【点评】解决此类问题的关键是抓住：三面涂色的在顶点处；两面涂色的在每条棱长的中间上；一面涂色的在每个面的中心上；没有涂色的在内部。
23．先将一个正方体的每个面都涂上蓝色后，再将它切成若干个大小相等的小正方体，拆开后发现其中有27块小正方体没有被涂色，那么三面涂色、两面涂色、一面涂色的小正方体分别有多少个？
【考点】染色问题．
【专题】立体图形的认识与计算；空间观念．
【答案】8个、36个、54个。
【分析】根据已知条件可以得27＝3×3×3，所以每条棱上有3+2＝5（个）小正方体，三个面均涂色的是各顶点处的小正方体；在各棱处，除去顶点处的正方体都是两面涂色，据此求出两面涂色的正方体有几个；在每个面上，除去棱上的正方体都是一面涂色，据此解答即可。
【解答】解：27＝3×3×3
所以每条棱上有3+2＝5（个）小正方体；
三面涂色的小正方体都在顶点处，一共有8个；
两面涂色的有：（5﹣2）×12
＝3×12
＝36（个）
一面涂色的有：（5﹣2）×（5﹣2）×6
＝3×3×6
＝54（个）
答：三面涂色、两面涂色、一面涂色的小正方体分别有8个、36个、54个。
【点评】此题是一道染色问题，本题关键要明确：三面有色的处在8个顶点上，两面有色的处在12条棱上（顶点除外），一面有色的处在每个面的中间，无色的处在里心。
24．把一个六面都涂上颜色的正方体木块切成64块大小相同的小正方体（如图）。问：
（1）三面涂色的小正方体有多少块？
（2）两面涂色的小正方体有多少块？
（3）一面涂色的小正方体有多少块？
【考点】染色问题．
【专题】立体图形的认识与计算；空间观念．
【答案】（1）8块；（2）24块；（3）24块。
【分析】大正方体每条棱长上面都有4个小正方体；根据立体图形的知识可知：三个面涂色的是各顶点处的小正方体；在各棱处，除去顶点处的正方体的有两面涂色；在每个面上，除去棱上的正方体都是一面涂色；所有的小正方体的个数减去有涂色的小正方体的个数即是没有涂色的小正方体。根据上面的结论，即可求得答案。
【解答】解：（1）三面涂色的有8块。
答：三面涂色的小正方体有8块。
（2）两面涂色的有：（4﹣2）×12
＝2×12
＝24（块）
答：两面涂色的小正方体有24块。
（3）一面涂色的有：（4﹣2）×（4﹣2）×6
＝2×2×2
＝24（块）
答：一面涂色的小正方体有24块。
【点评】此题考查了立方体的知识。注意数形结合与正方体表面涂色的特点的应用。
25．一个长方体木块，长5dm、宽3dm、高4dm，在它的六个面上都漆满红油漆，然后锯成棱长都是1dm的小正方体木块，锯成的小正方体木块中，多少块三面有红色？两个面、一个面有红色的各有多少块？六个面都没有红色的有多少块？
【考点】染色问题．
【专题】传统应用题专题；空间观念．
【答案】见试题解答内容
【分析】把一个涂色的长方体，切割成若干个小正方体，在8个顶点处的小正方体都是3面涂色，两面涂色的是除了顶点处的两个面相交的地方的小正方体，即长方体的棱长上的小正方体；六个面上每个面除了四周棱长上的小正方体都是一面涂色，由此即可解答．
【解答】解：根据题干分析可得，三面涂漆的小正方体在长方体的8个顶点处，故有8块三面涂漆；
5÷1＝5（块），4÷1＝4（块），3÷1＝3（块）
5﹣2＝3（块），4﹣2＝2（块），3﹣2＝1（块）
所以两面涂漆的有：（3+1+2）×4
＝6×4
＝24（块）
一面涂漆的有：（3×1+3×2+2×1）×2
＝11×2
＝22（块）
六个面都没有红色的：3×2×1＝6（块）
答：锯成的小正方体木块中，有8块三面有红色，24块两面有红色，22块一面有红色的，六个面都没有红色的有6块．
【点评】该题主要考查长方体方体切成若干个小正方体后面上涂色的规律．
考点卡片
1．长方体和正方体的体积
【知识点归纳】
长方体体积公式：V＝abh．（a表示底面的长，b表示底面的宽，h表示高）
正方体体积公式：V＝a3．（a表示棱长）
【命题方向】
常考题型：
例1：一个正方体的棱长扩大3倍，体积扩大（　　）倍．
A、3 B、9 C、27
分析：正方体的体积等于棱长的立方，它的棱长扩大几倍，则它的体积扩大棱长扩大倍数的立方倍，据此规律可得．
解：正方体的棱长扩大3倍，它的体积则扩大33＝27倍．
故选：C．
点评：此题考查正方体的体积及其棱长变化引起体积的变化．
例2：一只长方体的玻璃缸，长8分米，宽6分米，高4分米，水深2.8分米．如果投入一块棱长为4分米的正方体铁块，缸里的水溢出多少升？
分析：根据题意知用水的体积加铁块的体积，再减去玻璃缸的容积，就是溢出水的体积．据此解答．
解：8×6×2.8+4×4×4﹣8×6×4，
＝134.4+64﹣192，
＝6.4（立方分米），
＝6.4（升）．
答：向缸里的水溢出6.4升．
点评：本题的关键是让学生理解：溢出水的体积＝水的体积+铁块的体积﹣玻璃缸的容积，这一数量关系．
2．染色问题
【知识点归纳】
这里的染色问题不是要求如何染色，然后问有多少种染色方法的那类题目，它指的是一种解题方法．染色方法是一种将题目研究对象分类的形象化方法，通过将问题中的对象适当染色，我们可以更形象地观察分析出其中所蕴含的关系，再经过一定的逻辑推理，便能得出问题的答案．这类问题不需要太多的数学知识，但技巧性、逻辑性较强，要注意学会几种典型的染色方法．
染色问题基本解法：三面涂色和顶点有关，8个顶点．
两面染色和棱长有关．即新棱长（棱长﹣2）×12
一面染色和表面积有关．同样用新棱长计算表面积公式（棱长﹣2）×（棱长﹣2）×6
0面染色和体积有关．用新棱长计算体积公式（棱长﹣2）×（棱长﹣2）×（棱长﹣2）
长方体的解法和立方体同理，即计算各种公式前长、宽、高都要先减2再利用公式计算．

展开更多......

收起↑