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人教版八年级数学下册
第18章 平行四边形
18.2.2 菱形
第2课时 菱形的判定
学习目标
1. 掌握菱形的判定定理及证明方法.
2. 能根据不同的已知条件，选择适当的判定定理进行推理和计算．
矩形 菱形
定义
有一角是直角的平行四边形叫做矩形.
有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形.
平行四边形的性质
性质
边
角
对角线
四个角都是直角
相等
互相垂直且平分每一组对角
判定
有一角是直角的平行四边形
对角线相等的平行四边形
三个角都是直角的四边形
四条边都相等
？
学习平行四边形的判定和矩形的判定时，首先想到的第一种方法是什么？
定义
回顾旧知
一组邻边相等的平行四边形是菱形.
A
B
C
D
还有其他的判定方法吗
根据菱形的定义，可得菱形的判定方法1
∵四边形ABCD是平行四边形且AB=BC
∴ 四边形ABCD是菱形
几何语言：
新知引入
用一长一短两根细木条,在它们的中点处固定一个小钉，做成一个可以转动的十字，四周围上一根橡皮筋,做成一个四边形.
猜想：对角线互相垂直的平行四边形是菱形.
平行四边形
转动木条,你有什么发现
合作探究
∴ ABCD是菱形
命题：对角线互相垂直的平行四边形是菱形.
已知：在 中，AC和BD相交于点O，
AC ⊥ BD
ABCD
ABCD
求证： 是菱形
证明：
又∵ AC ⊥ BD
∵四边形ABCD是平行四边形
∴ OA=OC
∴ BA=BC
A
B
C
D
O
定理：对角线互相垂直的平行四边形是菱形.
几何语言：
∵四边形ABCD是平行四边形
AC ⊥ BD
∴ ABCD是菱形
∴ BD垂直平分AC
合作探究
例：如图， ABCD的两条对角线AC、BD相交于点O，AB=5，AC=8，DB=6. 求证：四边形ABCD是菱形.
A
B
C
D
O
△ABO是直角三角形
分析：
要证四边形ABCD是菱形
只需AC⊥BD或一组邻边相等
ABCD
典例分析
∴OA= AC=4，OB= DB=3
A
B
C
D
O
∴四边形ABCD是菱形.
证明：
∵AB=5
∴
即AC⊥BD
∴∠AOB= 90°
∵四边形ABCD是平行四边形
∵ 四边形ABCD是平行四边形
(平行四边形的对角线互相平分)
(对角线互相垂直的平行四边形是菱形).
类比学习平行四边形和矩形的判定过程，研究菱形性质定理的逆命题，你能找到菱形判定的其他方法吗？
猜想：四条边都相等的四边形是菱形
菱形的边特有性质：菱形的四条边相等
合作探究
命题： 有四条边相等的四边形是菱形.
几何语言：
已知：在四边形ABCD中，
AB=BC=CD=DA
求证：四边形ABCD是菱形
证明：
∴四边形ABCD是菱形
∵ 在四边形ABCD中AB=BC=CD=DA
∴四边形ABCD是菱形
∵AD=BC， AB=CD
又∵AB=AD
定理： 有四条边相等的四边形是菱形.
A
B
C
D
∴四边形ABCD是平行四边形
合作探究
文字语言 图形语言 几何语言
判定 方法1
判定 方法2 对角线互相垂直的平行四边形是菱形
判定 方法3 四边相等的四边形是菱形
菱形的判定：
A
B
C
D
在四边形ABCD中
∵AB=BC=CD=DA
∴□ABCD是菱形
在□ABCD中
∵AC⊥BD
∴□ABCD是菱形
在□ABCD中
∵AB=AD
∴四边形ABCD是菱形
A
O
A
B
C
D
一组邻边相等的平行四边形是菱形
D
B
C
小结归纳
+邻边相等 =
+对角线互相垂直=
四条边相等+ =
1.
2.
3.
菱形常用的判定方法
小结归纳
1. 判断
(1)对角线互相垂直的四边形是菱形；
(2)对角线互相垂直且平分的四边形是菱形；
(3)对角线互相垂直，且有一组邻边相等的四边形是菱形；
(4)两条邻边相等，且一条对角线平分一组对角的四边形是菱形．
√
╳
╳
╳
2. 一边长为13cm平行四边形的两条对角线的长分别为24cm和10cm，那么平行四边形的面积是 .
120cm2
方法小结：菱形面积=底×高=对角线乘积的一半
A
B
C
D
O
A
B
C
D
O
当堂巩固
3. 下列命题中正确的是（ ）
A.一组邻边相等的四边形是菱形
B.三条边相等的四边形是菱形
C.四条边相等的四边形是菱形
D.四个角相等的四边形是菱形
4. 下列条件中，不能判定四边形ABCD为菱形的是（ ）
A. AC⊥BD， AC与BD互相平分
B. AB=BC=CD=DA
C. AB=BC，AD=CD， 且AC⊥BD
D. AB=CD，AD=BC， AC⊥BD
C
C
A
B
C
D
O
E
5. 如图，矩形ABCD的对角线相交于点O，DE∥AC，CE∥BD.
求证：四边形OCED是菱形
证明：∵DE∥AC， CE∥BD
∴四边形OCED是平行四边形
∵四边形ABCD是矩形
∴OC=OD
∴四边形OCED是菱形（一组邻边相等的平行四边形是菱形)
分析：
欲证四边形AFCE是菱形
四边形AFCE是平行四边形
需证一组邻边相等或对角线互相垂直
1. 如图，已知平行四边形ABCD对角线AC的垂直平分线与边AD、BC分别交于点E、F，求证：四边形AFCE是菱形.
B
C
D
E
F
A
O
1
2
EF⊥AC
对角线互相平分OA=OC，OE=OF
△AOE≌△COF
能力提升
B
C
D
E
F
A
O
1
2
证明: ∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AE∥FC，∴∠1=∠2.
∵EF垂直平分AC，∴AO = OC .
又∵ ∠AOE =∠COF，
∴△AOE≌△COF（ASA），∴EO =FO.
∴四边形AFCE是平行四边形.
小结：要根据已知条件选择适当的判定定理进行推理.
又∵EF⊥AC
∴ 四边形AFCE是菱形.
（对角线互相垂直的平行四边形是菱形）
证△ABE≌△ADF，AB=AD
D
C
B
A
E
F
菱形的面积=BC AE=CD AF，BC=CD
方法小结：运用面积相等解决问题
分析：
欲证四边形ABCD是菱形
需证四边形ABCD是平行四边形
需证一组邻边相等或对角线互相垂直
AB∥CD，AD∥BC
2. 如图，两张等宽的纸条交叉重叠在一起，重叠的部分ABCD是菱形吗？为什么？
能力提升
解：四边形ABCD是菱形
理由如下：
过A点作AE⊥BC与点E，AF⊥CD与点F ∵AB∥CD AD∥BC
∴四边形ABCD是平行四边形
∵菱形的面积=BC·AE=CD·AF，
又∵ AE=AF ∴ BC=CD
∴四边形ABCD是菱形(一组邻边相等的平行四边形是菱形)
D
C
B
A
E
F
1.如图，在矩形ABCD中，点E，F分别在BC，AD上，AF＝EC．只需添加一个条件即可证明四边形AECF是菱形，这个条件可以是 （写出一个即可）．
【解答】解：这个条件可以是AE＝AF，
理由：∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，即AF∥CE，
∵AF＝EC，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵AE＝AF，
∴四边形AECF是菱形，故答案为：AE＝AF．
感受中考
2.如图，DB是□ABCD的对角线．
（1）尺规作图（请用2B铅笔）：作线段BD的垂直平分线EF，交AB，DB，DC分别于E，O，F，连接DE，BF（保留作图痕迹，不写作法）．
（2）试判断四边形DEBF的形状并说明理由．
【解答】解：（1）如图，DE、BF为所作；
感受中考
∴△ODF≌△OBE（ASA），
∴DF＝BE，
∴DE＝EB＝BF＝DF，
∴四边形DEBF为菱形．
（2）四边形DEBF为菱形．
理由如下：如图，
∵EF垂直平分BD，
∴EB＝ED，FB＝FD，OB＝OD，
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴CD∥AB，
∴∠FDB＝∠EBD，
在△ODF和△OBE中，
，
3.如图，四边形ABCD是矩形，E、F分别是线段AD、BC上的点，点O是EF与BD的交点．若将△BED沿直线BD折叠，则点E与点F重合．
（1）求证：四边形BEDF是菱形；
（2）若ED=2AE， ，求EF·BD的值．
感受中考
∴OE=OF，
∵OB=OD，
∴四边形BEDF是平行四边形，
∵EF⊥BD，
∴四边形BEDF是菱形．
【解答】解：（1）证明：矩形ABCD沿EF折叠，使B，D重合，
∴OB=OD，EF⊥BD，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠C=90°，AD∥BC，
∴∠ODE=∠OBF，
在△OBF和△ODE中，
，
∴△OBF≌△ODE（ASA），
（2）如图，∵ ，
∴ ，
∵ED=2AE，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴菱形BEDF的面积 ，
∴ ．
一组邻边相等
对角线互相垂直
四条边相等
五种判定方法
四边形
平行四边形
菱形
1.菱形的判定方法：
2.数学思想：类比、转化
课堂小结
P60：习题18.2：第6题.
P61：习题18.2：第10题.
布置作业

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