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专题11 电容器带电粒子在电场中的运动
目录 题型一 有关平行板电容器的问题分析 题型二 带电粒子在电场中的加速直线与偏转 题型三 带电粒子在交变电场中的运动 题型四 带电粒子（带电体）在电场中的力电综合问题
题型一 有关平行板电容器的问题分析
【解题指导】
(1)两类动态问题的分析要抓住C＝、C＝和E＝三个基本关系．
(2)板间粒子的运动常用动力学方法或动能定理分析．
【方法提炼】
平行板电容器的动态问题分析秘籍
(1)抓住三个基本公式：C＝，C＝，E＝。
(2)两类动态分析
d、S、εr变化时U、Q、C、E变化的判断依据：
①充电后与电池两极相连：U不变，C＝，Q＝CU(变化同C)，E＝。
②充电后与电池两极断开：Q不变，C＝，U＝(变化与C相反)，E＝＝。
(3)电势和电势能的变化结合电场的相关公式分析。
【综合训练】
1．生物电是细胞或组织在生命活动中产生的电现象，安静状态下细胞膜存在静息电位，其机理为钾离子从膜内流向膜外后，导致细胞膜内侧与外侧存在电势差。安静状态下膜内外两侧电势呈现外正内负，电荷分布如图所示。下列说法正确的是　　
A．静息电位为正
B．在点电势能大于在点电势能
C．外流过程中，电场力对做负功
D．安静状态下，将灵敏电流计的两极分别插入膜内和膜外后，指针不偏转
【答案】
【解答】解：静息电位为负，因为点周围有很多正电荷，电势高，点周围有很多负电荷，电势低，所以为负，带正电，在电势高的地方电势能大，故错误；
外流过程中，克服电场力做功，电场力对做负功，故正确；
安静状态下，将灵敏电流计的两极分别插入膜内和膜外后，因为膜内和膜存在电势差，电荷发生定向移动，指针发生偏转，故错误。
故选：。
2．为了测量物体的位移，将与被测物体固定相连的电介质板插入平行金属板电容器中，电容器可通过开关与电感或电源相连，如图所示。当开关从拨到时，由电感和电容构成的回路中产生振荡电流。通过检测振荡电流的频率变化，可以推知被测物体的位移。关于此装置，下列说法正确的是　　
A．电源电动势越小，则振荡电流的频率越低
B．当电容器中电量最大时，电路中的电流也最大
C．当电感自感电动势最大时，电容器中电场能最大
D．检测到振荡电流的频率增加，说明被测物体向左运动
【答案】
【解答】解：．根据振荡电流的频率公式：
则有振荡频率与电源电动势无关，故错误；
．由振荡电路可知，当电容器中电量最大时，电路中的电流为零，故错误；
．当电感自感电动势最大时，此时刚刚充电完毕，电容器中电场能最大，故正确；
．检测到振荡电流的频率增加，根据振荡电流的频率公式：
则电容减小，根据电容器的决定式：，可知，电介质在被拔出，说明被测物体向右运动，故错误。
故选：。
3．如图所示为电容式位移传感器，在电容器板上加上恒压源，通过电容器所带电荷量的变化来判断被测物体的位移，下列说法中正确的是　　
A．变大时，被测物体向右移动
B．被测物体向右移动时，电容器的电容变小
C．该传感器是通过改变电容器极板间距使电容变化
D．恒压源越小，传感器灵敏度越高
【答案】
【解答】解：、根据电容的定义式可知，变大时也变大，根据电容的决定式可知，增大，被测物体向左移；减小，减小，被测物体向右移，故错误，正确；
、由题可知，该传感器是通过电介质常数来改变电容的，故错误；
、根据电容的定义式可知，减小，的变化就小，灵敏度越低，故错误；
故选：。
4．通过手机内电容式加速度传感器可以实现运动步数的测量，传感器原理如图所示，电容器的极板固定，与弹簧相连的极板只能按图中标识的“前后”方向运动。则当手机　　
A．匀速运动时，电流表示数为零，电容器极板带负电
B．由静止突然向前加速时，电容器的电容增大
C．由静止突然向前加速时，流过电流表的电流由向
D．保持向前匀减速运动时，电流表示数变小
【答案】
【解答】解：．匀速运动时，极板相对极板的位置不变，电容器的电容不变，则电容器带电量不变，电路中没有电流，电流表示数为零，因为电容器极板与电源正极相连，所以极板带正电，故错误；
．由静止突然向前加速时，因为惯性，极板相对极板向后运动，两极板间距变大，根据
可知电容器的电容减小，根据得
可知电容器带电量减小，则电容器放电，流过电流表的电流由向，故错误，正确；
．保持向前匀减速运动时，加速度恒定不变，极板受力不变，则弹簧形变量不变，极板相对极板的位置不变，电容器两极板间的距离不变，则电容器的电容不变，电容器带电量不变，电路中无电流，电流表示数不变，为零，故错误。
故选：。
5．热膨胀材料在生产生活中有着广泛的应用。某同学用平行板电容器设计制作了单电容热膨胀检测仪，原理如图所示。电容器上极板固定，下极板可随材料竖直方向的尺度变化而上下移动，电源输出电压恒定，闭合开关，被测材料热胀冷缩，下列说法中正确的是　　
A．材料温度降低，电容器电容增大
B．材料温度降低，极板所带电荷量增大
C．滑动变阻器滑片向上滑动少许可以提高检测仪的工作电压
D．检测到灵敏电流计的电流方向为从到，说明材料温度降低
【答案】
【解答】解：材料温度降低时，材料收缩，则电容器两板间距增大，根据可知电容减小，由于电容器两板电势差不变，根据可知极板所带电荷量减小，故错误；
检测仪和滑动变阻器并联，所以检测仪两端电压和滑动变阻器两端电压相等，滑动变阻器滑片向上滑动，阻值增大，可知检测仪的工作电压升高，故正确；
材料温度降低，由上面的分析可知极板所带电荷量减小，电容器放电，则灵敏电流计的电流方向为从到，故错误。
故选：。
题型二 带电粒子在电场中的加速直线与偏转
【解题指导】
(1)带电粒子在匀强电场中做直线运动时，一般用牛顿第二定律与运动学公式结合处理或用动能定理处理．
(2)在匀强电场中做类平抛运动时一般从分解的角度处理．
(3)注意带电粒子重力能否忽略．
【方法提炼】
1．带电粒子在电场中的偏转规律
2．处理带电粒子的偏转问题的方法
(1)运动的分解法
一般用分解的思想来处理，即将带电粒子的运动分解为沿电场力方向上的匀加速直线运动和垂直电场力方向上的匀速直线运动．
(2)功能关系
当讨论带电粒子的末速度v时也可以从能量的角度进行求解：qUy＝mv2－mv，其中Uy＝y，指初、末位置间的电势差．
3.计算粒子打到屏上的位置离屏中心的距离的方法
(1)y＝y0＋Ltan θ(L为屏到偏转电场的水平距离)；
(2)y＝(＋L)tan θ(l为电场宽度)；
(3)y＝y0＋vy·；
(4)根据三角形相似＝.
【综合训练】
6．如图，质量为的箱子静止在水平地面上，箱子内质量均为的两个带电小球、用绝缘细线分别系于箱子的上下两端，均处于静止状态，球受到细线的拉力为，下列说法正确的是　　
A．连接的细线的拉力为
B．剪断连接球的细线瞬间，地面受到的压力大于
C．剪断连接球的细线瞬间，地面受到的压力为
D．若给箱子瞬间向上的加速度，则连接球的细线的拉力瞬间为
【答案】
【解答】解：以、整体为研究对象，库仑力为内力，设连接的细线的拉力大小为，
由平衡条件可得：，故错误；
由题意可知，、间为库仑引力，设库仑引力大小为，地面对箱子的支持力大小为，
则剪断连接球的细线瞬间，对有：，
对有：，
对小球与木箱的整体有：，
联立可得：，
则根据牛顿第三定律可知，剪断连接球的细线瞬间，地面受到的压力小于，故错误；
同思路，、间为库仑引力，设其大小为，地面对箱子的支持力大小为，
则剪断连接球的细线瞬间，对有：，
对有：，
对小球与木箱的整体有：，
联立可得：，
则根据牛顿第三定律可知，剪断连接球的细线瞬间，地面受到的压力大小为，故正确；
若给箱子瞬间向上的加速度，设连接球的细线的拉力大小为，
则对有：，
结合前面分析可知：，
联立可得：，故错误；
故选：。
7．如图所示，真空中平行金属板、之间距离为，两板所加的电压为。一质量为、电荷量为的带正电粒子从板由静止释放。不计带电粒子的重力。
（1）求带电粒子所受的静电力的大小；
（2）求带电粒子到达板时的速度大小；
（3）若在带电粒子运动距离时撤去所加电压，求该粒子从板运动到板经历的时间。
【答案】（1）带电粒子所受的静电力的大小为；
（2）带电粒子到达板时的速度大小为；
（3）该粒子从板运动到板经历的时间为。
【解答】解：（1）金属板、之间电场强度大小为
则带电粒子受到的静电力的大小为
（2）带电粒子从板到板的过程，根据动能定理得
解得：
（3）带电粒子在撤去电压前做匀加速直线运动，之后做匀速直线运动，则
其中
该粒子从板运动到板经历的时间为
联立解得：
答：（1）带电粒子所受的静电力的大小为；
（2）带电粒子到达板时的速度大小为；
（3）该粒子从板运动到板经历的时间为。
8．电容器是现代电子产品不可或缺的重要组成部分，近年来，我国无线充专用研发获得重大突破，电容实现国产，电容器是电容量和介质损耗最稳定的电容器之一。如图所示为质子加速器的模型，真空中的平行金属板、间的电压为，金属板、间的电压为，平行金属板、之间的距离为、金属板长也为。质子源发射质量为、电荷量为的质子，质子从板上的小孔进入（不计初速度）平行板、的电场，经加速后从板上的小孔穿出，匀速运动一段距离后以平行于金属板、方向的初速度（大小未知）进入板间，若之间不加偏转电压，质子直接打在竖直平板上的点。加偏转电压后，质子射出平行金属板、并恰好击中距离平行金属板右端处竖直平板上的点。平行金属板、和、之间的电场均可视为匀强电场，质子的重力和质子间的相互作用力均可忽略，则下列分析正确的是　　
A．质子从板上的小孔穿出时的速度大小为
B．质子射出金属板、间时速度的偏转角的正切值为
C．质子垂直于金属板方向的位移的大小为
D．之间的距离大小为
【答案】
【解答】解：质子在平行金属板、间做加速运动，由动能定理有，解得，故错误；
质子在平行金属板、间做类平抛运动，平行于金属板方向上有，垂直于板面方向，，，联立解得，故错误；
质子垂直于板面方向的位移为，解得，故错误；
由几何关系可知，解得，故正确。
故选：。
9．如图所示，一对平行金属板水平正对固定，板长为，板间距为。当两板间加有恒定电压时，两板间充满竖直向下的匀强电场，忽略两极板以外的电场。一质量为、电荷量为的带电粒子从上极板左侧边缘以速度水平向右射入板间电场，能从两板间右侧飞出，且未与两极板碰撞。不计粒子重力，则的大小至少为　　
A． B． C． D．
【答案】
【解答】解：粒子在水平方向上做匀速直线运动，在竖直方向上做初速度为零的匀加速直线运动，粒子的加速度大小为，粒子在电场中的运动时间为，则水平方向有，要让粒子飞出，在竖直方向上要满足，联立解得，故正确，错误。
故选：。
10．三个相同的带电粒子（不计重力，不计粒子间相互作用）从同一位置沿同一方向垂直于电场线飞入偏转电场，出现了如图所示的三条轨迹，由此可判断　　
A．粒子的速度变化量比粒子的小
B．进入电场时，粒子的速度最大
C．粒子的动能增加量最大
D．在粒子飞离电场的同时，粒子刚好打在下极板上
【答案】
【解答】解：、由于三个带电粒子相同，所以它们进入电场后，受到的电场力相等，加速度相等，三个粒子都做类平抛运动，在竖直方向上做初速度为零的匀加速直线运动，偏移量为
因
所以
则在飞离电场的同时，刚好打在负极板上；由于不计重力，三个粒子仅受电场力，受到的电场力相等，即竖直方向的加速度大小相等，根据△可知△△△，所以，粒子的速度变化量比粒子的小，故正确；
、粒子进入电场后，在水平方向做匀速直线运动，速度大小为
结合，
可得，故正确；
、根据动能定理有
△
因为三个粒子仅受电场力，且受到的电场力相等，粒子的偏移量最小，所以粒子的动能增加量最小，故错误。
故选：。
题型三 带电粒子在交变电场中的运动
【解题指导】
1.在交变电场中做直线运动时，一般是几段变速运动组合．可画出v－t图象，分析速度、位移变化．
2.在交变电场中的偏转若是几段类平抛运动的组合，可分解后画出沿电场方向分运动的v－t图象，分析速度变化，或是分析偏转位移与偏转电压的关系式．
【方法提炼】
1．常见的交变电场
常见的产生交变电场的电压波形有方形波、锯齿波、正弦波等．
2．常见的试题类型
此类题型一般有三种情况：
(1)粒子做单向直线运动(一般用牛顿运动定律求解)．
(2)粒子做往返运动(一般分段研究)．
(3)粒子做偏转运动(一般根据交变电场特点分段研究)．
3．解答带电粒子在交变电场中运动的思维方法
(1)注重全面分析(分析受力特点和运动规律)，抓住粒子的运动具有周期性和在空间上具有对称性的特征，
求解粒子运动过程中的速度、位移、做功或确定与物理过程相关的边界条件．
(2)分析时从两条思路出发：一是力和运动的关系，根据牛顿第二定律及运动学规律分析；二是功能关系．
(3)注意对称性和周期性变化关系的应用．
4.利用速度图象分析带电粒子的运动过程时的注意事项
(1)带电粒子进入电场的时刻；
(2)速度图象的切线斜率表示加速度；
(3)图线与坐标轴围成的面积表示位移，且在横轴上方所围成的面积为正，在横轴下方所围成的面积为负；
(4)注意对称性和周期性变化关系的应用；
(5)图线与横轴有交点，表示此时速度改变方向，对运动很复杂、不容易画出速度图象的问题，还应逐段分析求解．
5.交变电压的周期性变化，势必会引起带电粒子的某个运动过程和某些物理量的周期性变化，所以应注意：
(1)分过程解决．“一个周期”往往是我们的最佳选择．
(2)建立模型．带电粒子的运动过程往往能在力学中找到它的类似模型．
(3)正确的运动分析和受力分析：合力的变化影响粒子的加速度(大小、方向)变化，而物体的运动性质则由加速度和速度的方向关系确定．
【综合训练】
11．如图甲所示，距离足够大的两平行金属板中央有一个静止的电子（不计电子所受重力），在、两板间加上如图乙所示的交变电压。若取电子的初始运动方向为正，则下列图像中，能正确反映电子的位移、速度、加速度和动能随时间（一个周期内）变化规律的是　　
A． B．
C． D．
【答案】
【解答】解：．电子一个周期内的运动情况为：时间内，电子从静止开始向板做匀加速直线运动，时间内，原方向做匀减速直线运动，时刻速度为零。时间内，向板做匀加速直线运动，时间内，继续向板做匀减速直线运动，根据匀变速运动速度图象是倾斜的直线；电子做匀变速直线运动时图象是抛物线，故错误；
．由于牛顿第二定律，解得可知匀变速运动的加速度大小不变，方向发生变化，故图象应平行于横轴，故正确；
．匀变速运动速度图象是倾斜的直线，根据，可知与成二次函数关系，结合上述分析，与在每一阶段均为一次函数关系，由此可知图象是曲线，故错误。
故选：。
12．图甲为直线加速原理示意图，它由多个截面积相同的同轴金属圆筒依次组成，奇数序号与偶数序号圆筒分别与交变电源相连，交变电源两极间电压变化规律如图乙。在时，奇数圆筒比偶数圆筒电势高，此时序号为0的金属圆板中央有一电子由静止开始在各狭缝间不断加速。若电子质量为，电荷量为，交变电源电压大小为，周期为。不考虑电子的重力和相对论效应，且忽略电子通过狭缝的时间。下列说法正确的是　　
A．金属圆筒1、2、3的长度之比为
B．电子离开圆筒1时的速度为进入时速度的两倍
C．第个圆筒的长度应满足
D．进入第个圆筒时电子的速率为
【答案】
【解答】解：、由于电子每经过圆筒狭缝时都要加速，进入圆筒后做匀速运动，所以电子在筒内运动的时间均为，电子在加速过程中加速度相同，经过次加速后，根据动能定理得
可得
则电子进入第个圆筒时的速度为
不计缝隙时间，电子在圆筒内的时间均为，则第个圆筒的长度为
所以金属圆筒1、2、3的长度之比为，故错误，正确；
、由于电子在筒内做匀速直线运动，所以电子离开圆筒1时的速度等于进入时的速度，故错误；
故选：。
13．、是一对平行的金属板，一电子静止在两板中间，时刻在两极板间加上如图若两金属板加上如图丙所示的交变电压，电子的运动情况为　　
A．电子一直向板运动
B．电子一直向板运动
C．电子先向板运动，然后向板运动，再返回出发点做周期性来回运动
D．电子先向板运动，然后向板运动，再返回出发点做周期性来回运动
【答案】
【解答】解：根据，作出电子的图像，如左图所示，在内电子做匀加速直线运动，时速度最大，做匀减速直线运动，时速度减为零，反向做匀加速直线运动，时速度最大，做匀减速直线运动，时速度减为零，回到出发点，然后重复往返运动，其图像如右图所示，故错误，正确。
故选：。
14．如图所示，一对平行金属板长为，两板间距为，两板间所加交变电压为，交变电压的周期。质量为、电荷量为的电子从平行板左侧以速度沿两板的中线持续不断的进入平行板之间，已知所有电子都能穿过平行板，且最大偏距的电子刚好从极板的边缘飞出，不计重力作用，下列说法正确的是　　
A．时刻进入电场的电子，在两板间运动时最大侧位移为
B．时刻进入电场的电子，在两板间运动时最大侧位移为
C．所有电子在两板间运动的时间都为
D．所有电子离开电场时的动能都相同
【答案】
【解答】解：、电子进入电场后做类平抛运动，不同时刻进入电场竖直方向的分速度如图所示：
由图看出，所有电子离开电场时竖直方向分速度为，速度都等于，则动能都是相同，故正确；
、电子在水平方向做匀速直线运动，时间为：，故错误；
、时刻进入电场的电子，在时刻侧位移最大，最大侧位移为：
时刻进入电场的电子的位移最大，则有：
联立解得：，故错误；
、时刻进入电场的电子垂直极板方向的速度—时间图像如下图所示：
由图像可知，在时刻侧位移最大，最大侧位移为：
在时刻进入电场的电子的位移最大，为：
联立解得：，故错误。
故选：。
15．图甲为板间距为，长度为两水平金属板，在两板间加上周期为的交变电压，电压随时间变化的图线如图乙所示，在时刻，一质量为、不计重力的带电粒子沿板间中线垂直电场方向射入电场，粒子射入电场时的速度为，刚好沿板右边缘射出电场，已知电场变化周期，下列关于粒子运动的描述不正确的是　　
A．粒子的电荷量为
B．若粒子在时刻以进入电场，由该粒子在时刻射出电场
C．若该粒子在时刻以速度进入电场，从进入到射出电场，电场力对粒子不做功
D．若该粒子在时刻以速度进入电场，粒子会水平射出电场
【答案】
【解答】解：．粒子在电场中水平方向做匀速运动，
即运动时间为
竖直方向粒子先加速后减速，则
即
解得
故正确，不符合题意；
．若粒子在时刻以进入电场，则经过时间，粒子将打到极板上，即该粒子不能射出电场，故错误；
．若该粒子在时刻以速度进入电场，粒子在电场中运动时间为；在竖直方向粒子在时间内先加速，在内做减速运动速度减为零，然后时间内反向加速，在内做减速直至减为零，以速度水平射出电场，则从进入到射出电场，电场力对粒子不做功，故正确，不符合题意；
故选：。
题型四 带电粒子（带电体）在电场中的力电综合问题
【解题指导】
1.匀强电场可与重力场合成用一合场代替，即电场力与重力合成一合力，用该合力代替两个力．
2.力电综合问题注意受力分析、运动过程分析，应用动力学知识或功能关系解题．
【方法提炼】
1带电粒子在电场中力电综合问题的分析思路
(1)首先分析粒子的运动规律，确定粒子在电场中做直线运动还是曲线运动。
(2)对于直线运动问题，可根据对粒子的受力分析与运动分析，从以下两种途径进行处理：
①如果是带电粒子受恒定电场力作用下的直线运动问题，应用牛顿第二定律求出加速度，结合运动学公式确定带电粒子的速度、位移等。
②如果是非匀强电场中的直线运动问题，一般利用动能定理分析全过程中能的转化，研究带电粒子的速度变化、运动的位移等。
(3)对于曲线运动问题，通常有以下两种情况：
①对于在匀强电场中的曲线运动，一般是类平抛运动，通常采用运动的合成与分解的方法处理。通过对带电粒子的受力分析和运动规律分析，借助运动的合成与分解，寻找两个分运动，再应用牛顿运动定律或运动学规律求解。
②对于在非匀强电场中的曲线运动，一般是根据牛顿运动定律、曲线运动知识和动能定理、能量守恒定律定性分析。
(4)当带电粒子从一个电场区域进入另一个电场区域时，要注意分析带电粒子的运动规律的变化及两区域电场交界处的有关联的物理量，这些关联量往往是解决问题的突破口。
2.带电体在电场、重力场中运动的动力学问题
1．等效重力法
将重力与电场力进行合成，如图所示，
则F合为等效重力场中的“重力”，g′＝为等效重力场中的“等效重力加速度”，F合的方向等效为“重力”的方向，即在等效重力场中的竖直向下方向．
2．物理最高点与几何最高点
在“等效力场”中做圆周运动的小球，经常遇到小球在竖直平面内做圆周运动的临界速度问题．小球能维持圆周运动的条件是能过最高点，而这里的最高点不一定是几何最高点，而应是物理最高点．几何最高点是图形中所画圆的最上端，是符合人眼视觉习惯的最高点．而物理最高点是物体在圆周运动过程中速度最小(称为临界速度)的点．
【综合训练】
16．如图所示，倾斜放置的平行板电容器两极板与水平面夹角为，极板间距为，带负电的微粒质量为、带电量为，从极板的左边缘处以初速度水平射入，沿直线运动并从极板的右边缘处射出，则　　
A．微粒的加速度大小等于
B．两极板的电势差
C．微粒从点到点的过程速度大小不变
D．微粒从点到点的过程电势能增加
【答案】
【解答】解：、设极板间的电场强度大小为，对微粒受力分析，如图所示
根据牛顿第二定律有，解得微粒的加速度大小为，方向水平向左，所以微粒从点到点做匀减速直线运动，故错误；
、由上面的受力图可得，方向从指向，所以，故错误；
、根据微粒的受力图可知，微粒从点到点电场力做负功，所以微粒的电势能增大，电势能的增加量为△，解得，故正确。
故选：。
17．在竖直向下的匀强电场中射入、两带电油滴，两油滴质量相等，的带电量为，带电量为。在电场中、两油滴分别沿着如图中的方向匀速直线运动。不计油滴间及油滴和空气间的相互作用，下列说法正确的有　　
A．的带电量大于
B．带负电，带正电
C．的运动方向电势升高，的运动方向电势降低
D．的电势能逐渐减小，的电势能逐渐增大
【答案】
【解答】解：设匀强电场中电场强度大小为，、质量均为，、带电荷量的大小分别为、，
因为、都受竖直向下的重力，则由、轨迹偏转方向可知，、所受电场力方向均竖直向上，因为匀强电场方向竖直向下，所以、均带负电，
由、轨迹偏转方向可知：，，
可得：，故正确，错误；
因为沿着电场线的方向电势逐渐降低，所以的运动方向电势升高，的运动方向电势降低，故正确；
结合前面分析可知，电场力对做正功，电场力对做负功，则由电场力做功与电势能变化的关系可知，的电势能逐渐减小，的电势能逐渐增大，故正确；
故选：。
18．将如图所示，在沿水平方向的匀强电场中有一固定点，用一根长度为的绝缘细线把质量为、带电量为的金属小球悬挂在点。小球静止在点时，细线与竖直方向的夹角为。重力加速度为，，。现将小球拉至位置使细线水平后由静止释放，以下说法中正确的是　　
A．小球带负电
B．从到最低点的过程中小球的速度一直增大
C．从到最低点的过程中小球的向心力大小先增大后减小
D．若在点给一个初速度，小球可以做完整的圆周运动，则速度最大值出现在点
【答案】
【解答】解：由小球可以静止在点，可知电场力沿水平向右，所以小球带正电，故错误；
．由题意可知，点为等效最低点，所以从到最低点的过程中，小球的速度先增大后减小，故错误；
根据公式：，由分析可知其速度先增大后减小，结合公式可知此过程小球的向心力大小先增大后减小，故正确；
根据竖直平面等效圆周运动，可知小球做完整的圆周运动时，速度最大值出现在点，故正确。
故选：。
19．如图所示，在点以速度水平向左抛出一个质量、电荷量小球，小球抛出后进入左侧水平向右的匀强电场。经过一段时间，小球返回到点正下方的点，重力加速度取。求：
（1）匀强电场的电场强度的大小；
（2）小球从点到点的运动过程中，抛出后多长时间速度有最小值，最小值为多少。
【答案】（1）匀强电场的电场强度的大小等于
（2）抛出后时间速度有最小值，最小值为。
【解答】解：（1）小球在竖直方向上做自由落体运动
水平方向上做匀变速直线运动
解得
（2）将电场力和重力合成等效重力
解得
方向与水平方向成夹角斜向右下方；
将运动沿着合加速度方向方向）和垂直于合加速度方向方向）分解
在方向从开始到方向的分速度变为0所用的时间
最小速度
解得
答：（1）匀强电场的电场强度的大小等于
（2）抛出后时间速度有最小值，最小值为。
20．如图所示，绝缘光滑轨道竖直放在与水平方向成的匀强电场中，其中部分是半径为的半圆环，轨道的水平部分与半圆平滑相切，现把一质量为、电荷量为的小球（大小忽略不计），放在水平面上点由静止开始释放，小球能沿轨道通过半圆轨道最高点，且落地时恰好落在点，重力加速度。求：
（1）电场强度的大小；
（2）小球过点时的速度大小；
（3）轨道起点距点的距离的大小。
【答案】（1）电场强度的大小为；
（2）小球过点时的速度大小为；
（3）轨道起点距点的距离的大小为。
【解答】解：（1）设小球所受的电场力为，方向与场强方向相同；
当小球通过点时，设速度为，根据牛顿第二定律和向心力公式
小球通过点后在水平方向做匀减速直线运动，加速度的大小
由于小球落地时恰好落在点，水平位移
竖直方向做匀加速直线运动，加速度的大小
竖直位移
根据电场力公式
代入数据联立解得
（2）在点由重力和电场力的竖直分力共同提供向心力，则
代入数据解得过点的速度为
（3）由到的过程，根据动能定理
代入数据解得。
答：（1）电场强度的大小为；
（2）小球过点时的速度大小为；
（3）轨道起点距点的距离的大小为。
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专题11 电容器带电粒子在电场中的运动
目录 题型一 有关平行板电容器的问题分析 题型二 带电粒子在电场中的加速直线与偏转 题型三 带电粒子在交变电场中的运动 题型四 带电粒子（带电体）在电场中的力电综合问题
题型一 有关平行板电容器的问题分析
【解题指导】
(1)两类动态问题的分析要抓住C＝、C＝和E＝三个基本关系．
(2)板间粒子的运动常用动力学方法或动能定理分析．
【方法提炼】
平行板电容器的动态问题分析秘籍
(1)抓住三个基本公式：C＝，C＝，E＝。
(2)两类动态分析
d、S、εr变化时U、Q、C、E变化的判断依据：
①充电后与电池两极相连：U不变，C＝，Q＝CU(变化同C)，E＝。
②充电后与电池两极断开：Q不变，C＝，U＝(变化与C相反)，E＝＝。
(3)电势和电势能的变化结合电场的相关公式分析。
【综合训练】
1．生物电是细胞或组织在生命活动中产生的电现象，安静状态下细胞膜存在静息电位，其机理为钾离子从膜内流向膜外后，导致细胞膜内侧与外侧存在电势差。安静状态下膜内外两侧电势呈现外正内负，电荷分布如图所示。下列说法正确的是　　
A．静息电位为正
B．在点电势能大于在点电势能
C．外流过程中，电场力对做负功
D．安静状态下，将灵敏电流计的两极分别插入膜内和膜外后，指针不偏转
2．为了测量物体的位移，将与被测物体固定相连的电介质板插入平行金属板电容器中，电容器可通过开关与电感或电源相连，如图所示。当开关从拨到时，由电感和电容构成的回路中产生振荡电流。通过检测振荡电流的频率变化，可以推知被测物体的位移。关于此装置，下列说法正确的是　　
A．电源电动势越小，则振荡电流的频率越低
B．当电容器中电量最大时，电路中的电流也最大
C．当电感自感电动势最大时，电容器中电场能最大
D．检测到振荡电流的频率增加，说明被测物体向左运动
3．如图所示为电容式位移传感器，在电容器板上加上恒压源，通过电容器所带电荷量的变化来判断被测物体的位移，下列说法中正确的是　　
A．变大时，被测物体向右移动
B．被测物体向右移动时，电容器的电容变小
C．该传感器是通过改变电容器极板间距使电容变化
D．恒压源越小，传感器灵敏度越高
4．通过手机内电容式加速度传感器可以实现运动步数的测量，传感器原理如图所示，电容器的极板固定，与弹簧相连的极板只能按图中标识的“前后”方向运动。则当手机　　
A．匀速运动时，电流表示数为零，电容器极板带负电
B．由静止突然向前加速时，电容器的电容增大
C．由静止突然向前加速时，流过电流表的电流由向
D．保持向前匀减速运动时，电流表示数变小
5．热膨胀材料在生产生活中有着广泛的应用。某同学用平行板电容器设计制作了单电容热膨胀检测仪，原理如图所示。电容器上极板固定，下极板可随材料竖直方向的尺度变化而上下移动，电源输出电压恒定，闭合开关，被测材料热胀冷缩，下列说法中正确的是　　
A．材料温度降低，电容器电容增大
B．材料温度降低，极板所带电荷量增大
C．滑动变阻器滑片向上滑动少许可以提高检测仪的工作电压
D．检测到灵敏电流计的电流方向为从到，说明材料温度降低
题型二 带电粒子在电场中的加速直线与偏转
【解题指导】
(1)带电粒子在匀强电场中做直线运动时，一般用牛顿第二定律与运动学公式结合处理或用动能定理处理．
(2)在匀强电场中做类平抛运动时一般从分解的角度处理．
(3)注意带电粒子重力能否忽略．
【方法提炼】
1．带电粒子在电场中的偏转规律
2．处理带电粒子的偏转问题的方法
(1)运动的分解法
一般用分解的思想来处理，即将带电粒子的运动分解为沿电场力方向上的匀加速直线运动和垂直电场力方向上的匀速直线运动．
(2)功能关系
当讨论带电粒子的末速度v时也可以从能量的角度进行求解：qUy＝mv2－mv，其中Uy＝y，指初、末位置间的电势差．
3.计算粒子打到屏上的位置离屏中心的距离的方法
(1)y＝y0＋Ltan θ(L为屏到偏转电场的水平距离)；
(2)y＝(＋L)tan θ(l为电场宽度)；
(3)y＝y0＋vy·；
(4)根据三角形相似＝.
【综合训练】
6．如图，质量为的箱子静止在水平地面上，箱子内质量均为的两个带电小球、用绝缘细线分别系于箱子的上下两端，均处于静止状态，球受到细线的拉力为，下列说法正确的是　　
A．连接的细线的拉力为
B．剪断连接球的细线瞬间，地面受到的压力大于
C．剪断连接球的细线瞬间，地面受到的压力为
D．若给箱子瞬间向上的加速度，则连接球的细线的拉力瞬间为
7．如图所示，真空中平行金属板、之间距离为，两板所加的电压为。一质量为、电荷量为的带正电粒子从板由静止释放。不计带电粒子的重力。
（1）求带电粒子所受的静电力的大小；
（2）求带电粒子到达板时的速度大小；
（3）若在带电粒子运动距离时撤去所加电压，求该粒子从板运动到板经历的时间。
8．电容器是现代电子产品不可或缺的重要组成部分，近年来，我国无线充专用研发获得重大突破，电容实现国产，电容器是电容量和介质损耗最稳定的电容器之一。如图所示为质子加速器的模型，真空中的平行金属板、间的电压为，金属板、间的电压为，平行金属板、之间的距离为、金属板长也为。质子源发射质量为、电荷量为的质子，质子从板上的小孔进入（不计初速度）平行板、的电场，经加速后从板上的小孔穿出，匀速运动一段距离后以平行于金属板、方向的初速度（大小未知）进入板间，若之间不加偏转电压，质子直接打在竖直平板上的点。加偏转电压后，质子射出平行金属板、并恰好击中距离平行金属板右端处竖直平板上的点。平行金属板、和、之间的电场均可视为匀强电场，质子的重力和质子间的相互作用力均可忽略，则下列分析正确的是　　
A．质子从板上的小孔穿出时的速度大小为
B．质子射出金属板、间时速度的偏转角的正切值为
C．质子垂直于金属板方向的位移的大小为
D．之间的距离大小为
9．如图所示，一对平行金属板水平正对固定，板长为，板间距为。当两板间加有恒定电压时，两板间充满竖直向下的匀强电场，忽略两极板以外的电场。一质量为、电荷量为的带电粒子从上极板左侧边缘以速度水平向右射入板间电场，能从两板间右侧飞出，且未与两极板碰撞。不计粒子重力，则的大小至少为　　
A． B． C． D．
10．三个相同的带电粒子（不计重力，不计粒子间相互作用）从同一位置沿同一方向垂直于电场线飞入偏转电场，出现了如图所示的三条轨迹，由此可判断　　
A．粒子的速度变化量比粒子的小
B．进入电场时，粒子的速度最大
C．粒子的动能增加量最大
D．在粒子飞离电场的同时，粒子刚好打在下极板上
题型三 带电粒子在交变电场中的运动
【解题指导】
1.在交变电场中做直线运动时，一般是几段变速运动组合．可画出v－t图象，分析速度、位移变化．
2.在交变电场中的偏转若是几段类平抛运动的组合，可分解后画出沿电场方向分运动的v－t图象，分析速度变化，或是分析偏转位移与偏转电压的关系式．
【方法提炼】
1．常见的交变电场
常见的产生交变电场的电压波形有方形波、锯齿波、正弦波等．
2．常见的试题类型
此类题型一般有三种情况：
(1)粒子做单向直线运动(一般用牛顿运动定律求解)．
(2)粒子做往返运动(一般分段研究)．
(3)粒子做偏转运动(一般根据交变电场特点分段研究)．
3．解答带电粒子在交变电场中运动的思维方法
(1)注重全面分析(分析受力特点和运动规律)，抓住粒子的运动具有周期性和在空间上具有对称性的特征，
求解粒子运动过程中的速度、位移、做功或确定与物理过程相关的边界条件．
(2)分析时从两条思路出发：一是力和运动的关系，根据牛顿第二定律及运动学规律分析；二是功能关系．
(3)注意对称性和周期性变化关系的应用．
4.利用速度图象分析带电粒子的运动过程时的注意事项
(1)带电粒子进入电场的时刻；
(2)速度图象的切线斜率表示加速度；
(3)图线与坐标轴围成的面积表示位移，且在横轴上方所围成的面积为正，在横轴下方所围成的面积为负；
(4)注意对称性和周期性变化关系的应用；
(5)图线与横轴有交点，表示此时速度改变方向，对运动很复杂、不容易画出速度图象的问题，还应逐段分析求解．
5.交变电压的周期性变化，势必会引起带电粒子的某个运动过程和某些物理量的周期性变化，所以应注意：
(1)分过程解决．“一个周期”往往是我们的最佳选择．
(2)建立模型．带电粒子的运动过程往往能在力学中找到它的类似模型．
(3)正确的运动分析和受力分析：合力的变化影响粒子的加速度(大小、方向)变化，而物体的运动性质则由加速度和速度的方向关系确定．
【综合训练】
11．如图甲所示，距离足够大的两平行金属板中央有一个静止的电子（不计电子所受重力），在、两板间加上如图乙所示的交变电压。若取电子的初始运动方向为正，则下列图像中，能正确反映电子的位移、速度、加速度和动能随时间（一个周期内）变化规律的是　　
A． B．
C． D．
12．图甲为直线加速原理示意图，它由多个截面积相同的同轴金属圆筒依次组成，奇数序号与偶数序号圆筒分别与交变电源相连，交变电源两极间电压变化规律如图乙。在时，奇数圆筒比偶数圆筒电势高，此时序号为0的金属圆板中央有一电子由静止开始在各狭缝间不断加速。若电子质量为，电荷量为，交变电源电压大小为，周期为。不考虑电子的重力和相对论效应，且忽略电子通过狭缝的时间。下列说法正确的是　　
A．金属圆筒1、2、3的长度之比为
B．电子离开圆筒1时的速度为进入时速度的两倍
C．第个圆筒的长度应满足
D．进入第个圆筒时电子的速率为
13．、是一对平行的金属板，一电子静止在两板中间，时刻在两极板间加上如图若两金属板加上如图丙所示的交变电压，电子的运动情况为　　
A．电子一直向板运动
B．电子一直向板运动
C．电子先向板运动，然后向板运动，再返回出发点做周期性来回运动
D．电子先向板运动，然后向板运动，再返回出发点做周期性来回运动
14．如图所示，一对平行金属板长为，两板间距为，两板间所加交变电压为，交变电压的周期。质量为、电荷量为的电子从平行板左侧以速度沿两板的中线持续不断的进入平行板之间，已知所有电子都能穿过平行板，且最大偏距的电子刚好从极板的边缘飞出，不计重力作用，下列说法正确的是　　
A．时刻进入电场的电子，在两板间运动时最大侧位移为
B．时刻进入电场的电子，在两板间运动时最大侧位移为
C．所有电子在两板间运动的时间都为
D．所有电子离开电场时的动能都相同
15．图甲为板间距为，长度为两水平金属板，在两板间加上周期为的交变电压，电压随时间变化的图线如图乙所示，在时刻，一质量为、不计重力的带电粒子沿板间中线垂直电场方向射入电场，粒子射入电场时的速度为，刚好沿板右边缘射出电场，已知电场变化周期，下列关于粒子运动的描述不正确的是　　
A．粒子的电荷量为
B．若粒子在时刻以进入电场，由该粒子在时刻射出电场
C．若该粒子在时刻以速度进入电场，从进入到射出电场，电场力对粒子不做功
D．若该粒子在时刻以速度进入电场，粒子会水平射出电场
题型四 带电粒子（带电体）在电场中的力电综合问题
【解题指导】
1.匀强电场可与重力场合成用一合场代替，即电场力与重力合成一合力，用该合力代替两个力．
2.力电综合问题注意受力分析、运动过程分析，应用动力学知识或功能关系解题．
【方法提炼】
1带电粒子在电场中力电综合问题的分析思路
(1)首先分析粒子的运动规律，确定粒子在电场中做直线运动还是曲线运动。
(2)对于直线运动问题，可根据对粒子的受力分析与运动分析，从以下两种途径进行处理：
①如果是带电粒子受恒定电场力作用下的直线运动问题，应用牛顿第二定律求出加速度，结合运动学公式确定带电粒子的速度、位移等。
②如果是非匀强电场中的直线运动问题，一般利用动能定理分析全过程中能的转化，研究带电粒子的速度变化、运动的位移等。
(3)对于曲线运动问题，通常有以下两种情况：
①对于在匀强电场中的曲线运动，一般是类平抛运动，通常采用运动的合成与分解的方法处理。通过对带电粒子的受力分析和运动规律分析，借助运动的合成与分解，寻找两个分运动，再应用牛顿运动定律或运动学规律求解。
②对于在非匀强电场中的曲线运动，一般是根据牛顿运动定律、曲线运动知识和动能定理、能量守恒定律定性分析。
(4)当带电粒子从一个电场区域进入另一个电场区域时，要注意分析带电粒子的运动规律的变化及两区域电场交界处的有关联的物理量，这些关联量往往是解决问题的突破口。
2.带电体在电场、重力场中运动的动力学问题
1．等效重力法
将重力与电场力进行合成，如图所示，
则F合为等效重力场中的“重力”，g′＝为等效重力场中的“等效重力加速度”，F合的方向等效为“重力”的方向，即在等效重力场中的竖直向下方向．
2．物理最高点与几何最高点
在“等效力场”中做圆周运动的小球，经常遇到小球在竖直平面内做圆周运动的临界速度问题．小球能维持圆周运动的条件是能过最高点，而这里的最高点不一定是几何最高点，而应是物理最高点．几何最高点是图形中所画圆的最上端，是符合人眼视觉习惯的最高点．而物理最高点是物体在圆周运动过程中速度最小(称为临界速度)的点．
【综合训练】
16．如图所示，倾斜放置的平行板电容器两极板与水平面夹角为，极板间距为，带负电的微粒质量为、带电量为，从极板的左边缘处以初速度水平射入，沿直线运动并从极板的右边缘处射出，则　　
A．微粒的加速度大小等于
B．两极板的电势差
C．微粒从点到点的过程速度大小不变
D．微粒从点到点的过程电势能增加
17．在竖直向下的匀强电场中射入、两带电油滴，两油滴质量相等，的带电量为，带电量为。在电场中、两油滴分别沿着如图中的方向匀速直线运动。不计油滴间及油滴和空气间的相互作用，下列说法正确的有　　
A．的带电量大于
B．带负电，带正电
C．的运动方向电势升高，的运动方向电势降低
D．的电势能逐渐减小，的电势能逐渐增大
18．将如图所示，在沿水平方向的匀强电场中有一固定点，用一根长度为的绝缘细线把质量为、带电量为的金属小球悬挂在点。小球静止在点时，细线与竖直方向的夹角为。重力加速度为，，。现将小球拉至位置使细线水平后由静止释放，以下说法中正确的是　　
A．小球带负电
B．从到最低点的过程中小球的速度一直增大
C．从到最低点的过程中小球的向心力大小先增大后减小
D．若在点给一个初速度，小球可以做完整的圆周运动，则速度最大值出现在点
19．如图所示，在点以速度水平向左抛出一个质量、电荷量小球，小球抛出后进入左侧水平向右的匀强电场。经过一段时间，小球返回到点正下方的点，重力加速度取。求：
（1）匀强电场的电场强度的大小；
（2）小球从点到点的运动过程中，抛出后多长时间速度有最小值，最小值为多少。
20．如图所示，绝缘光滑轨道竖直放在与水平方向成的匀强电场中，其中部分是半径为的半圆环，轨道的水平部分与半圆平滑相切，现把一质量为、电荷量为的小球（大小忽略不计），放在水平面上点由静止开始释放，小球能沿轨道通过半圆轨道最高点，且落地时恰好落在点，重力加速度。求：
（1）电场强度的大小；
（2）小球过点时的速度大小；
（3）轨道起点距点的距离的大小。
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