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专题15 电磁感应定律及其应用
目录 题型一 楞次定律和法拉第电磁感应定律的应用 题型二 电磁感应的图象问题 题型三 电磁感应中的力、电综合问题 题型四 电磁感应中的动量问题
题型一 楞次定律和法拉第电磁感应定律的应用
【解题指导】
(1)理解“谁”阻碍“谁”，及如何阻碍．
(2)理解楞次定律的广义形式，“结果”阻碍“原因”．
【方法提炼】
1.感应电流方向的判断方法
(1)右手定则，即根据导体在磁场中做切割磁感线运动的情况进行判断。
(2)楞次定律，即根据穿过闭合回路的磁通量的变化情况进行判断。
2．楞次定律中“阻碍”的主要表现形式
(1)阻碍原磁通量的变化——“增反减同”。
(2)阻碍相对运动——“来拒去留”。
(3)使线圈面积有扩大或缩小的趋势——“增缩减扩”。
(4)阻碍原电流的变化(自感现象)——“增反减同”。
3．感应电动势大小的计算
情景图
研究对象 回路(不一定闭合) 一段直导线(或等效直导线) 绕一端转动的一段导体棒 绕与B垂直的轴转动的导线框
表达式 E＝n E＝BLv E＝BL2ω 从图示时刻计时E＝NBS·ωcosωt
【综合训练】
1．三个用同样的细导线做成的刚性闭合线框，正方形线框的边长与圆线框的直径相等，圆线框的半径与正六边形线框的边长相等，如图所示。把它们放入磁感应强度随时间线性变化的同一匀强磁场中线框所在平面均与磁场方向垂直，正方形、圆形和正六边形线框中感应电动势大小分别为、和。则（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】设正方形线框的边长为2r，则圆形线框的半径为r，正六边形线框的边长为r，它们的面积分别为
，，
解得
根据法拉第电磁感应定律，可得
依题意，为同一个值，即感应电动势与线框面积成正比，可得
故选B。
2．如图所示，一不可伸长的细绳的上端固定，下端系在边长为l=0.40m的正方形金属框的D点上。金属框的一条对角线AC水平，其下方有方向垂直于金属框所在平面的匀强磁场。己知构成金属框的导线单位长度的阻值为=5.0×10-3Ω/m。在t=0到t=3.0s时间内，磁感应强度大小随时间t的变化关系为B（t）=0.3-0.1t（SI制）。则下列说法正确的是（　　）
A．t=0到t=3.0s时间内，金属框中产生的感应电动势为0.016V
B．t=0到t=3.0s时间内，金属框中的电流方向为A→D→C→B→A
C．t=2.0s时金属框所受安培力的大小为N
D．在t=0到t=2.0s时间内金属框产生的焦耳热为0.032J
【答案】C
【详解】A．t=0到t=3.0s时间内，金属框中产生的感应电动势为
故A错误；
B．根据楞次定律的增反减同可知t=0到t=3.0s时间内，金属框中的电流方向为D→A→B→C→D。故B错误；
C．由欧姆定律。可得
t=2.0s时磁感应强度为
金属框处于磁场中的有效长度为
所受安培力的大小为
N
故C正确；
D．在t=0到t=2.0s时间内金属框产生的焦耳热为
故D错误。
故选C。
3.(多选)空间存在一方向与纸面垂直、大小随时间变化的匀强磁场，其边界如图a中虚线MN所示。一硬质细导线的电阻率为ρ、横截面积为S，将该导线做成半径为r的圆环固定在纸面内，圆心O在MN上。t＝0时磁感应强度的方向如图a所示；磁感应强度B随时间t的变化关系如图b所示。则在t＝0到t＝t1的时间间隔内(　　)
A．圆环所受安培力的方向始终不变 B．圆环中的感应电流始终沿顺时针方向
C．圆环中的感应电流大小为 D．圆环中的感应电动势大小为
【答案】　BC
【解析】　由于通过圆环的磁通量均匀变化，故圆环中产生的感应电动势、感应电流的大小和方向不变，但t0时刻磁场方向发生变化，故安培力方向发生变化，A错误；根据楞次定律，圆环中感应电流的方向始终沿顺时针方向，B正确；根据法拉第电磁感应定律，感应电动势大小E＝·S′＝·＝，根据闭合电路欧姆定律知，感应电流大小I＝＝＝，C正确，D错误。
4.如图所示，螺线管竖直固定，螺线管正下方水平地面上有一金属圆环，螺线管的轴线通过圆环的圆心，给螺线管通入如图所示方向的电流，电流均匀增大，圆环保持不动，则下列说法正确的是（　　）

A．从上往下看，圆环中有顺时针方向的感应电流
B．圆环中磁通量均匀增大
C．圆环中感应电流均匀增大
D．圆环受到的安培力均匀增大
【答案】BD
【详解】A B．根据安培定则可知通电螺线管下端为N极，螺线管上电流电流均匀增大，根据电流的磁效应，所以磁场均匀变大，那么圆环中磁通量均匀增大，根据楞次定律可知，从上往下看，圆环中有逆时针方向的感应电流，A错误，B 正确；
C．根据法拉第电磁感应定律与对AB选项的分析可知：圆环中感应电流大小恒定，方向不变，C错误；
D．由于螺线管中的磁场在圆环位置均匀变大，所以圆环受到的安培力均匀增大，D正确。
故选BD。
5.如图所示，金属导体圆环用绝缘支架固定在铁架台上，圆环面水平。在圆环正上方，一质量为m，可视为质点的小磁铁通过细线吊在铁架台的横杆上，细线与圆环的轴线重合，小磁铁距铁架台底面的高度为h。现剪断细线，小磁铁沿圆环轴线下落到铁架台底面上。不计空气阻力，重力加速度为g，下列说法正确的是（　　）
A．小磁铁落在铁架台底面上时的速度大小为
B．小磁铁下落的整个过程中，加速度先小于g后大于g
C．在小磁铁下落的整个过程中，圆环对小磁铁的作用力先竖直向上后竖直向下
D．在小磁铁下落的整个过程中，圆环中的感应电流先逆时针后顺时针（从上往下看）
【答案】D
【详解】A．小磁铁下落的整个过程中，圆环中产生感应电流，则小磁铁的机械能不守恒，所以有
则小磁铁落在铁架台底面上时的速度v小于，故A错误；
BC．根据楞次定律中“来拒去留”可知，小磁铁下落的整个过程中，圆环产生的感应电流总是要阻碍小磁铁与圆环间的相对运动，所以圆环对它的作用力始终竖直向上，则加速度始终小于g，故BC错误；
D．小磁铁在圆环上方下落时，圆环磁通量增加，则产生的感应磁场方向竖直向上，根据右手螺旋定则判断可知，圆环中的感应沿逆时针方向。小磁铁在圆环下方下落时，圆环磁通量减小，产生的感应磁场方向竖直向下，则根据右手螺旋定则判断可知，圆环中的感应沿顺时针方向，故D正确。
故选D。
题型二 电磁感应的图象问题
【解题指导】(1)产生电动势的那部分导体相当于电源，电源内部电流由负极流向正极，电源两端电压为路端电压．
(2)Φ－t图象、B－t图象的斜率对应电动势大小及电流方向，其斜率不变或平行，感应电动势大小不变，电流方向不变．
【方法提炼】
1．图象类型
2．分析方法
3．解答电磁感应中图象类选择题的两个常用方法
排 除 法 定性地分析电磁感应过程中物理量的变化趋势(增大还是减小)、变化快慢(均匀变化还是非均匀变化)，特别是分析物理量的正负，以排除错误的选项
函 数 法 根据题目所给条件定量地写出两个物理量之间的函数关系，然后由函数关系对图象进行分析和判断
【综合训练】
1.如图甲所示，单匝线圈电阻，线圈内部存在垂直纸面向外的磁场，磁场面积为，有一个阻值为的电阻两端分别与线圈两端a、b相连，电阻的一端b接地。磁感应强度B随时间t变化的规律如图乙所示，不考虑圆形线圈缺口对感应电动势的影响，则（　　）

A．在时间内，a点电势高于b点电势
B．当时穿过线圈的磁通量为
C．在时间内，通过电阻R的电荷量大小为
D．在时间内，a、b两点间电压大小为
【答案】C
【详解】A．在时间内，穿过线圈的磁通量增加，根据楞次定律可知，R中有电流从b流向a，b点电势高于a点电势，A错误；
B．由图可知时，，则此时穿过线圈的磁通量为
B错误；
D．根据法拉第电磁感应定律可得
由闭合电路欧姆定律得
R两端电压为
D错误；
C．内通过电阻R的电荷量大小为
C正确。
故选C。
2．一闭合矩形线圈绕垂直于磁感线的固定轴匀速转动，线圈平面位于如图甲所示的匀强磁场中。通过线圈的磁通量随时间的变化规律如图乙所示，下列说法正确的是（　　）

A．、时刻通过线圈的磁通量变化率最大
B．、时刻线圈中感应电流方向改变
C．、时刻线圈中磁通量最大
D．、时刻线圈中感应电动势最小
【答案】D
【详解】AD．根据图乙图像的斜率，可知、时刻通过线圈磁通量的变化率最小为零，根据法拉第电磁感应定律，可知此时线圈中感应电动势最小，为零，故A错误，D正确；
BC．线圈通过中性面时，线圈中产生感应电流的方向发生改变。由图乙可知，、时刻，穿过线圈的磁通量最小，线圈位于峰值面，线圈中感应电流的方向不发生改变，故BC错误；
故选D。
3．如图所示，xOy平面的第一、三象限内充满垂直纸面向外的匀强磁场。边长为L的正方形金属框始终在O点的顶点环绕，在xOy平面内以角速度ω顺时针匀速转动，时刻，金属框开始进入第一象限，已知匀强磁场的磁感应强度为B，金属框的总电阻为R，规定顺时针方向为电流的正方向，不考虑自感影响，关于金属框中感应电流i随时间t变化的图像正确的是（　　）

A． B．
C． D．
【答案】A
【详解】如图所示。

在t=0到的过程中，即金属框顺时针转过90°的过程中，金属框切割磁感线的有效切割长度先变大后变小，根据转动切割感应电动势的计算公式
E=Bω2l
可知E先增大后减小，感应电流先增加后减小，根据楞次定律可知，电流方向为顺时针方向，即正方向；在t=0到的过程中，由圆周运动公式可知
θ=ωt
根据几何关系和三角形的面积公式可得
则穿过线圈的磁通量为
对上述的表达式由数学知识得
由此可知，在t=0到的过程中，E的变化率一直增大，感应电流的变化率一直增加；同理可得在到的过程中，E的变化率一直减小，感应电流的变化率一直减小；故A正确，BCD错误。
故选A。
4．在竖直向上的匀强磁场中，水平放置一个不变形的单匝金属圆线圈，线圈所围的面积为0.1m2，线圈电阻为1Ω。规定线圈中感应电流I的正方向从上往下看是顺时针方向，如图甲所示。磁场的磁感应强度B随时间t的变化规律如图乙所示，以下说法正确的是（ ）

A．在0 ~ 2s时间内，I的最大值为0.02A
B．在3 ~ 5s时间内，I的大小越来越小
C．前2s内，通过线圈某横截面的总电荷量为0.01C
D．第3s内，线圈的发热功率最大
【答案】C
【详解】A．0 ~ 2s时间内，t = 0时刻磁感应强度变化率最大，感应电流最大
故A错误；
B．3 ~ 5s时间内电流大小不变，故B错误；
C．前2s内通过线圈的电荷
故C正确；
D．第3s内，B没有变化，线圈中没有感应电流产生，则线圈的发热功率最小，故D错误。
故选C。
5.一长直导线与闭合金属线框放在同一竖直面内，如图甲所示，长直导线中的电流i随时间t的变化关系如图乙所示（以竖直向上为电流的正方向）。则在0～T时间内，下列说法正确的是（　　）

A．时间内，穿过线框的磁通量最小
B．时间内，线框中始终产生逆时针方向的感应电流
C．时间内，线框先有扩张的趋势后有收缩的趋势
D．时间内，线框所受安培力的合力方向向右
【答案】BC
【详解】A．时间内，长直导线中的电流最大，且保持不变，所以穿过线框的磁通量最大，A错误；
BC．在时间内，导线中的电流先反向减小后正向增大，线框内的磁通量先减小后增大，由楞次定律可以判断线框中感应电流的方向始终沿逆时针方向，线框先有扩张的趋势后有收缩的趋势，BC正确；
D．时间内，导线中电流保持不变，穿过线框的磁通量不变，所以线框内无感应电流产生，线框不受安培力的作用，D错误。
故选BC。
题型三 电磁感应中的力、电综合问题
【解题指导】1.分析导体棒切割磁感线运动时要由牛顿第二定律列方程，在方程中讨论v的变化影响安培力的变化，进而影响加速度a的变化，a的变化又影响v的变化．
2.克服安培力做功的过程就是其他形式的能转化为电能的过程，克服安培力做了多少功，就有多少其他形式的能转化为电能．
【方法提炼】
1.电磁感应中的力电综合问题的分析思路
注：有些物理量必须用动量定理或动量守恒定律定量计算(参考易错警示)。
2．求解电磁感应问题中焦耳热的三个途径
(1)感应电路为纯电阻电路时产生的焦耳热等于克服安培力做的功，即Q＝W克安，一般用于电流变化的电路。
(2)感应电路中电阻产生的焦耳热等于电流通过电阻做的功，即Q＝I2Rt，一般用于电流恒定的电路。
(3)感应电路中产生的焦耳热可通过能量守恒定律列方程求解。
【综合训练】
1.如图所示，平行长直光滑固定的金属导轨、平面与水平面的夹角，导轨间距为，上端接有的电阻，在导轨中间加一垂直轨道平面向下的匀强磁场，磁场区域为，磁感应强度大小为，磁场区域宽度为，放在导轨上的一金属杆质量为、电阻为，从距磁场上边缘处由静止释放，金属杆进入磁场上边缘的速度。导轨的电阻可忽略不计，杆在运动过程中始终与导轨垂直且两端与导轨保持良好接触，重力加速度大小为，求：
（1）金属杆距磁场上边缘的距离；
（2）杆通过磁场区域的过程中所用的时间；
（3）金属杆通过磁场区域的过程中电阻上产生的焦耳热。

【答案】（1）0.4m；（2）0.2s；（3）0.096J
【详解】（1）由机械能守恒可得
解得金属杆距磁场上边缘的距离为
（2）由法拉第电磁感应定律，金属杆刚进入磁场时，电动势为
由闭合电路欧姆定律得
金属杆受到的安培力为
金属杆重力沿轨道平面向下的分力为
所以金属杆进入磁场后做匀速直线运动，则金属杆通过磁场区域的过程中所用的时间
（3）由能量守恒定律得，回路中产生的焦耳热为
金属杆通过磁场区域的过程中，在电阻上产生的热量为
联立解得
2.如图所示，间距为L的平行光滑金属导轨固定在绝缘水平面上，导轨的左端连接一阻值为R的定值电阻。导轨所在空间存在竖直向下的匀强磁场，磁感应强度为B。一根质量为m、长度为L、电阻为r的导体棒cd放在导轨上。导体棒运动过程中始终保持与导轨垂直且接触良好，导轨的电阻可忽略不计。
（1）若对导体棒cd施加一水平向右的恒力，使其以速度v向右做匀速直线运动，求此力的大小；
（2）若对导体棒cd施加一水平向右的拉力，使其沿导轨做初速为零的匀加速直线运动。的大小随时间t变化的图像为一条斜率为k（）的直线。求导体棒cd加速度的大小a。

【答案】（1）；（2）
【详解】（1）根据法拉第电磁感应定律可知导体棒产生的感应电动势
根据闭合电路欧姆定律有
根据共点力平衡
联立解得
（2）导体棒沿导轨做初速为零的匀加速直线运动，则有
又
，，
根据牛顿第二定律可得
联立可得
可知图像的斜率为
解得
3.如图所示，宽度、足够长的平行导轨固定于绝缘水平面上，左端接有一个电动势、内阻的电源，右端接有一个降压限流器件（当电路电流大于或等于时相当于一个可变电阻而保持电流恒为，电流小于时相当于电阻为0的导线）和一个的定值电阻，其他电阻不计，是分界线且与左右两端足够远，导轨间有垂直导轨平面向上的匀强磁场，磁场的磁感应强度大小，导轨在P、Q点各有一个断路小缺口，不计电阻的金属杆从距足够远处由静止释放，在的左侧，金属杆与导轨间的动摩擦因数。在的右侧，金属杆与导轨间的摩擦可忽略不计。已知金属杆到达之前已经在做匀速运动，且速度大小为，金属杆越过时，由于有缺口，杆的速度大小立即减为原来的60%，取重力加速度大小。求：
（1）金属杆的质量；
（2）金属杆越过后运动的距离；
（3）整个过程中，通过降压限流器件上的电荷量。
【答案】（1）；（2）；（3）
【详解】（1）金属杆做匀速运动，受到的安培力大小
根据受力平衡有
根据闭合电路欧姆定律有
解得
（2）金属杆越过后速度大小变为
如果器件电阻为零，电路中的电流
所以当金属杆速度大小减为v2时，器件电阻恰为零，此减速过程中，通过金属杆的电流恒为
解得
从到的过程中，金属杆所受安培力不变，做匀减速直线运动，根据牛顿第二定律有
解得
从到的过程中，金属杆运动的时间
金属杆运动的距离
之后器件电阻为零，金属杆做加速度减小的减速运动直到静止，根据动量定理有
即
解得金属杆减速运动的距离
综上，金属杆越过后运动的距离
（3）金属杆匀减速运动时通过降压限流器件的电荷量
金属杆做加速度减小的诚速运动直到静止，通过降压限流器件的电荷量
综上，通过降压限流器件的电荷量
4.如图所示，足够长的平行金属导轨倾斜放置，导轨所在平面倾角，导轨间距，在水平虚线的上方有垂直于导轨平面向下的匀强磁场，水平虚线下方有平行于导轨平面向下的匀强磁场，两磁场的磁感应强度大小均为。导体棒垂直放置在导轨上，开始时给两导体棒施加约束力使它们静止在斜面上，现给棒施加沿斜面向上的拉力，同时撤去对两导体棒的约束力，使沿斜面向上以的加速度做匀加速直线运动，棒沿斜面向下运动，运动过程中导体棒始终与导轨垂直并接触良好，已知导体棒与导轨间的动摩擦因数均为，导体棒的质量均为，两导体棒组成的回路总电阻为，导轨的电阻不计，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，，，，求：
（1）当棒向下运动的速度达到最大时，棒受到的安培力的大小和方向；
（2）当回路中的瞬时电功率为2W时，在此过程中，通过棒横截面的电量；
（3）当棒速度减为零时，回路中的电流大小。
【答案】（1）0.4N，方向垂直导轨向下；（2）1C；（3）0.8A
【详解】（1）沿斜面向上运动切割磁感线，根据右手定则可知，产生的感应电流方向由流向，则中电流方向由流向，根据左手定则可知，棒受到的安培力方向垂直导轨向下；当棒运动的速度达到最大时，以以棒为对象，沿斜面方向有
解得
（2）当回路中的瞬时电功率为时，电功率为
电源的电动势为
由速度位移关系得
在此过程中，通过棒横截面的电量
联立解得
（3）棒向下运动的过程中，对棒列动量定理得
可得
在此过程中，通过棒横截面的电量就是通过棒电量
为棒运动的距离
联立解得
此时棒的速度
电动势
回路中的电流
题型四 电磁感应中的动量问题
【方法提炼】
示意图
动力学观点 导体棒1受安培力的作用做加速度减小的减速运动，导体棒2受安培力的作用做加速度减小的加速运动，最后两棒以相同的速度做匀速直线运动 导体棒1做加速度逐渐减小的加速运动，导体棒2做加速度逐渐增大的加速运动，最终两棒以相同的加速度做匀加速直线运动
动量观点 系统动量守恒 系统动量不守恒
能量观点 棒1动能的减少量＝棒2动能的增加量＋焦耳热 外力做的功＝棒1的动能＋棒2的动能＋焦耳热
1.杆＋导轨模型可以考查学生综合运用动力学、能量、动量的观点解决电磁感应问题，有可能作为压轴题或最后一道选择题出现(如江苏高考)，所以有必要介绍一下。常见的杆＋导轨模型如下：
(1)单杆模型的常见情况
(2)双杆模型的常见情况
杆＋导轨模型的动力学、能量分析参见典例探究例3后面的规律总结，因为杆一般做变加速运动，所以有些物理量必须从动量的角度求解。
2．应用动量观点解决电磁感应综合问题可分为两类：
(1)利用动量定理求感应电荷量或运动位移
应用动量定理可以由动量变化来求解变力的冲量，如在导体棒做非匀变速运动的问题中，应用动量定理可以解决牛顿运动定律不易解答的问题。
如：BLΔt＝Δp，q＝·Δt，可得q＝。
Δt＝Δp，x＝Δt，可得x＝。
(2)利用动量守恒定律分析双导体杆问题
在相互平行的光滑水平轨道间的双棒做切割磁感线运动时，由于这两根导体棒所受的安培力等大反向，合外力为零，若不受其他外力，两导体棒的总动量守恒(上面双杆模型的第二种情况动量不守恒，须用动量定理)。解决此类问题往往要应用动量守恒定律。
【综合训练】
1.如图，质量为0.1kg的方形铝管静置在足够大的绝缘水平面上，现使质量为0.2kg的条形磁铁（条形磁铁横截面比铝管管内横截面小）以v=3m/s的水平初速度自左向右穿过铝管，忽略一切摩擦，不计管壁厚度。则（　　）

A．磁铁穿过铝管过程中，铝管受到的安培力可能先水平向左后水平向右
B．磁铁穿过铝管后，铝管速度可能为4m/s
C．磁铁穿过铝管正中央时，铝管加速度为零
D．磁铁穿过铝管过程所产生的热量可能达到0.2J
【答案】D
【详解】A．根据楞次定律的“来拒去留”可知，磁铁对铝管的安培力一直水平向右，A错误；
B．磁铁与铝管组成的系统动量守恒，如果铝管足够长，则磁铁穿过铝管时二者共速，由动量守恒定律得
解得
所以铝管的速度不可能大于1m/s，B错误；
C．磁铁穿过铝管正中央时，由楞次定律可知，磁铁始终受到铝管的磁场力方向向左，根据牛顿第三定律，磁铁对铝管的反作用力水平向右，根据牛顿第二定律得，铝管加速度不为零，C错误；
D．磁铁的初动能为
假设铝管足够长，则二者共速，根据对B项分析可知磁铁穿过铝管过程所产生的热量最多为
所以磁铁穿过铝管过程所产生的热量可能达到0.2J，D正确。
故选D。
2.如图，两根足够长的光滑平行金属导轨固定在同一水平面内，两导轨间的距离为L＝1m。导轨上放置两导体棒ab、cd，与导轨垂直并构成闭合回路，两导体棒ab、cd的质量分别为、，长度均为L＝1m，电阻均为R＝0.3Ω，其余部分电阻不计。在整个导轨所在平面内存在方向竖直向上、磁感应强度大小为B＝1T的匀强磁场。初始时，两导体棒均在导轨上静止不动，某时刻给导体棒ab以水平向右的初速度，若两杆初始时相距足够远，运动全程中两杆始终不相遇，则当两杆速度最终稳定时（　　）
A．两杆的最终末速度相等，大小为
B．电路中产生的焦耳热为
C．安培力对cd杆做功
D．电路中通过的电荷量为
【答案】ACD
【详解】A．从初始至两棒达到速度相同的过程中，两棒总动量守恒，设速度相同时为v有
得
故A正确；
B．根据能量守恒，设产生热量为Q，则整个过程中产生的总热量
代入得
故B错误；
C．设安培力做功为W，根据动能定理知
故C正确；
D．当cd棒从速度0变为v，由安培力冲量可知
则
代入得
因电路中电荷量处处相同则电路中通过的电荷量为，故D正确；
故选ACD。
3.如图所示，两足够长的光滑平行金属导轨固定在绝缘水平面上，导轨间距为L，导轨间有方向竖直向下的匀强磁场，磁场的磁感应强度大小为B，质量均为m、有效电阻均为R的金属棒和垂直于导轨放置，均处于静止状态，现给棒一个方向水平向左、大小为的初速度，下列说法正确的是（　　）
A．从棒开始运动到回路无电流的过程中，回路产生的焦耳热为
B．从棒开始运动到回路无电流的过程中，回路产生的焦耳热为
C．最终回路无电流通过后，两棒间的距离比静止时增大
D．最终回路无电流通过后，两棒间的距离比静止时增大
【答案】BC
【详解】AB．棒存在方向水平向左、大小为的初速度，此时磁通量改变，电路产生感应电流，在安培力的作用下，棒向左运动，最终闭合回路间的磁通量不发生改变，即金属棒和共速，由水平方向上动量守恒，可得
解得
根据能量守恒可得
解得
故A错误，B正确；
CD．金属棒受到的安培力为
根据动量定理可得
解得
故C正确，D错误；
故选BC。
4.如图所示，有两根光滑平行导轨，左侧为位于竖直平面的金属圆弧，右侧为水平直导轨，圆弧底部和直导轨相切，两条导轨水平部分在同一水平面内，两导轨的间距为d=0.5m，导轨的左侧接着一个阻值为R=2Ω的定值电阻，水平导轨的ABNM区域存在竖直向下的匀强磁场，磁感应强度大小为B=2T，虚线AM和BN垂直于导轨，BN右边无磁场，AB和MN的长度均为x=1.5m，两根金属棒a、b垂直放置在导轨上，质量均为m=0.2kg，接入电路的电阻均为r=2Ω，金属棒a从圆弧轨道距水平轨道高h=0.8m处由静止滑下，与静止在圆弧底部的金属棒b发生弹性碰撞，碰撞后金属棒b进入磁场区域，最终通过BN虚线，继续向右运动。不计金属导轨的电阻，求：
（1）金属棒b刚进入磁场区域时的速度大小；
（2）整个运动过程中金属杆a上产生的焦耳热（此结果保留两位小数）。
【答案】（1）4m/s；（2）0.23J
【详解】（1）金属棒a由高处从静止沿轨道滑下，由机械能守恒定律得
解得
此后a与b发生弹性碰撞，由动量守恒定律和机械能守恒定律可知
解得
即金属棒b刚进入磁场区域的速度大小是4m/s。
（2）金属棒b在从A到B做减速运动，由动量定理得
又
联立解得
由能量守恒定律得
解得
在金属棒a上产生的焦耳热
5.如图所示，两条足够长的平行导电导轨MN、PQ水平放置，导轨间距L=1.0m，在轨道区域内有竖直向下的匀强磁场，磁感应强度大小为B=1T。导体棒a、b质量均为m=1kg，电阻均为R=0.5Ω，与导轨间的动摩擦因数均为=0.3，运动过程中导体棒与导轨始终垂直且接触良好。重力加速度g=10m/s2，导轨电阻可忽略，设最大静摩擦力等于滑动摩擦力。
（1）若开始时导体棒a初速度为零，导体棒b获得=2m/s的水平向右的初速度，求此时导体棒a和b的加速度大小；
（2）若同时分别给两导体棒不同的冲量，使导体棒a获得平行于导轨向左的初速度=2m/s的同时，导体棒b获得向右的平行于导轨的初速度=4m/s，求流经导体棒a的最大电流；
（3）在（2）的条件下，从导体棒a速度为零到两棒相距最远的过程中，已知导体棒b产生的焦耳热为0.25J，求此过程中导体棒b的位移。
【答案】（1）0；5m/s2；（2）6A；（3）0.5m
【详解】（1）导体棒b运动产生的感应电动势
回路电流
导体棒受安培力
解得
F0=2N
因
则a加速度为零，b的加速度
方向向左；
（2）两棒反向运动，开始时的速度最大，产生的感应电动势最大
最大电流
解得
Im=6A
（3）两棒开始向相反方向运动时，两棒系统受合外力为零，则动量守恒，当a棒速度为零时
解得b棒速度
v3=2m/s
由（1）的计算可知，此时a棒受安培力小于摩擦力，可知以后a棒静止，b棒向右做减速运动，当速度减为零时两棒最远，因导体棒b产生的焦耳热为0.25J，则此过程中，系统产生的总焦耳热为
Q=0.5J
此时由能量关系
解得
x=0.5m
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专题15 电磁感应定律及其应用
题型一 楞次定律和法拉第电磁感应定律的应用 题型二 电磁感应的图象问题 题型三 电磁感应中的力、电综合问题 题型四 电磁感应中的动量问题
题型一 楞次定律和法拉第电磁感应定律的应用
【解题指导】
(1)理解“谁”阻碍“谁”，及如何阻碍．
(2)理解楞次定律的广义形式，“结果”阻碍“原因”．
【方法提炼】
1.感应电流方向的判断方法
(1)右手定则，即根据导体在磁场中做切割磁感线运动的情况进行判断。
(2)楞次定律，即根据穿过闭合回路的磁通量的变化情况进行判断。
2．楞次定律中“阻碍”的主要表现形式
(1)阻碍原磁通量的变化——“增反减同”。
(2)阻碍相对运动——“来拒去留”。
(3)使线圈面积有扩大或缩小的趋势——“增缩减扩”。
(4)阻碍原电流的变化(自感现象)——“增反减同”。
3．感应电动势大小的计算
情景图
研究对象 回路(不一定闭合) 一段直导线(或等效直导线) 绕一端转动的一段导体棒 绕与B垂直的轴转动的导线框
表达式 E＝n E＝BLv E＝BL2ω 从图示时刻计时E＝NBS·ωcosωt
【综合训练】
1．三个用同样的细导线做成的刚性闭合线框，正方形线框的边长与圆线框的直径相等，圆线框的半径与正六边形线框的边长相等，如图所示。把它们放入磁感应强度随时间线性变化的同一匀强磁场中线框所在平面均与磁场方向垂直，正方形、圆形和正六边形线框中感应电动势大小分别为、和。则（　　）
A． B． C． D．
2．如图所示，一不可伸长的细绳的上端固定，下端系在边长为l=0.40m的正方形金属框的D点上。金属框的一条对角线AC水平，其下方有方向垂直于金属框所在平面的匀强磁场。己知构成金属框的导线单位长度的阻值为=5.0×10-3Ω/m。在t=0到t=3.0s时间内，磁感应强度大小随时间t的变化关系为B（t）=0.3-0.1t（SI制）。则下列说法正确的是（　　）
A．t=0到t=3.0s时间内，金属框中产生的感应电动势为0.016V
B．t=0到t=3.0s时间内，金属框中的电流方向为A→D→C→B→A
C．t=2.0s时金属框所受安培力的大小为N
D．在t=0到t=2.0s时间内金属框产生的焦耳热为0.032J
3.(多选)空间存在一方向与纸面垂直、大小随时间变化的匀强磁场，其边界如图a中虚线MN所示。一硬质细导线的电阻率为ρ、横截面积为S，将该导线做成半径为r的圆环固定在纸面内，圆心O在MN上。t＝0时磁感应强度的方向如图a所示；磁感应强度B随时间t的变化关系如图b所示。则在t＝0到t＝t1的时间间隔内(　　)
A．圆环所受安培力的方向始终不变 B．圆环中的感应电流始终沿顺时针方向
C．圆环中的感应电流大小为 D．圆环中的感应电动势大小为
4.如图所示，螺线管竖直固定，螺线管正下方水平地面上有一金属圆环，螺线管的轴线通过圆环的圆心，给螺线管通入如图所示方向的电流，电流均匀增大，圆环保持不动，则下列说法正确的是（　　）

A．从上往下看，圆环中有顺时针方向的感应电流
B．圆环中磁通量均匀增大
C．圆环中感应电流均匀增大
D．圆环受到的安培力均匀增大
5.如图所示，金属导体圆环用绝缘支架固定在铁架台上，圆环面水平。在圆环正上方，一质量为m，可视为质点的小磁铁通过细线吊在铁架台的横杆上，细线与圆环的轴线重合，小磁铁距铁架台底面的高度为h。现剪断细线，小磁铁沿圆环轴线下落到铁架台底面上。不计空气阻力，重力加速度为g，下列说法正确的是（　　）
A．小磁铁落在铁架台底面上时的速度大小为
B．小磁铁下落的整个过程中，加速度先小于g后大于g
C．在小磁铁下落的整个过程中，圆环对小磁铁的作用力先竖直向上后竖直向下
D．在小磁铁下落的整个过程中，圆环中的感应电流先逆时针后顺时针（从上往下看）
题型二 电磁感应的图象问题
【解题指导】(1)产生电动势的那部分导体相当于电源，电源内部电流由负极流向正极，电源两端电压为路端电压．
(2)Φ－t图象、B－t图象的斜率对应电动势大小及电流方向，其斜率不变或平行，感应电动势大小不变，电流方向不变．
【方法提炼】
1．图象类型
2．分析方法
3．解答电磁感应中图象类选择题的两个常用方法
排 除 法 定性地分析电磁感应过程中物理量的变化趋势(增大还是减小)、变化快慢(均匀变化还是非均匀变化)，特别是分析物理量的正负，以排除错误的选项
函 数 法 根据题目所给条件定量地写出两个物理量之间的函数关系，然后由函数关系对图象进行分析和判断
【综合训练】
1.如图甲所示，单匝线圈电阻，线圈内部存在垂直纸面向外的磁场，磁场面积为，有一个阻值为的电阻两端分别与线圈两端a、b相连，电阻的一端b接地。磁感应强度B随时间t变化的规律如图乙所示，不考虑圆形线圈缺口对感应电动势的影响，则（　　）

A．在时间内，a点电势高于b点电势
B．当时穿过线圈的磁通量为
C．在时间内，通过电阻R的电荷量大小为
D．在时间内，a、b两点间电压大小为
2．一闭合矩形线圈绕垂直于磁感线的固定轴匀速转动，线圈平面位于如图甲所示的匀强磁场中。通过线圈的磁通量随时间的变化规律如图乙所示，下列说法正确的是（　　）

A．、时刻通过线圈的磁通量变化率最大
B．、时刻线圈中感应电流方向改变
C．、时刻线圈中磁通量最大
D．、时刻线圈中感应电动势最小
3．如图所示，xOy平面的第一、三象限内充满垂直纸面向外的匀强磁场。边长为L的正方形金属框始终在O点的顶点环绕，在xOy平面内以角速度ω顺时针匀速转动，时刻，金属框开始进入第一象限，已知匀强磁场的磁感应强度为B，金属框的总电阻为R，规定顺时针方向为电流的正方向，不考虑自感影响，关于金属框中感应电流i随时间t变化的图像正确的是（　　）

A． B．
C． D．
4．在竖直向上的匀强磁场中，水平放置一个不变形的单匝金属圆线圈，线圈所围的面积为0.1m2，线圈电阻为1Ω。规定线圈中感应电流I的正方向从上往下看是顺时针方向，如图甲所示。磁场的磁感应强度B随时间t的变化规律如图乙所示，以下说法正确的是（ ）

A．在0 ~ 2s时间内，I的最大值为0.02A
B．在3 ~ 5s时间内，I的大小越来越小
C．前2s内，通过线圈某横截面的总电荷量为0.01C
D．第3s内，线圈的发热功率最大
5.一长直导线与闭合金属线框放在同一竖直面内，如图甲所示，长直导线中的电流i随时间t的变化关系如图乙所示（以竖直向上为电流的正方向）。则在0～T时间内，下列说法正确的是（　　）

A．时间内，穿过线框的磁通量最小
B．时间内，线框中始终产生逆时针方向的感应电流
C．时间内，线框先有扩张的趋势后有收缩的趋势
D．时间内，线框所受安培力的合力方向向右
题型三 电磁感应中的力、电综合问题
【解题指导】1.分析导体棒切割磁感线运动时要由牛顿第二定律列方程，在方程中讨论v的变化影响安培力的变化，进而影响加速度a的变化，a的变化又影响v的变化．
2.克服安培力做功的过程就是其他形式的能转化为电能的过程，克服安培力做了多少功，就有多少其他形式的能转化为电能．
【方法提炼】
1.电磁感应中的力电综合问题的分析思路
注：有些物理量必须用动量定理或动量守恒定律定量计算(参考易错警示)。
2．求解电磁感应问题中焦耳热的三个途径
(1)感应电路为纯电阻电路时产生的焦耳热等于克服安培力做的功，即Q＝W克安，一般用于电流变化的电路。
(2)感应电路中电阻产生的焦耳热等于电流通过电阻做的功，即Q＝I2Rt，一般用于电流恒定的电路。
(3)感应电路中产生的焦耳热可通过能量守恒定律列方程求解。
【综合训练】
1.如图所示，平行长直光滑固定的金属导轨、平面与水平面的夹角，导轨间距为，上端接有的电阻，在导轨中间加一垂直轨道平面向下的匀强磁场，磁场区域为，磁感应强度大小为，磁场区域宽度为，放在导轨上的一金属杆质量为、电阻为，从距磁场上边缘处由静止释放，金属杆进入磁场上边缘的速度。导轨的电阻可忽略不计，杆在运动过程中始终与导轨垂直且两端与导轨保持良好接触，重力加速度大小为，求：
（1）金属杆距磁场上边缘的距离；
（2）杆通过磁场区域的过程中所用的时间；
（3）金属杆通过磁场区域的过程中电阻上产生的焦耳热。

2.如图所示，间距为L的平行光滑金属导轨固定在绝缘水平面上，导轨的左端连接一阻值为R的定值电阻。导轨所在空间存在竖直向下的匀强磁场，磁感应强度为B。一根质量为m、长度为L、电阻为r的导体棒cd放在导轨上。导体棒运动过程中始终保持与导轨垂直且接触良好，导轨的电阻可忽略不计。
（1）若对导体棒cd施加一水平向右的恒力，使其以速度v向右做匀速直线运动，求此力的大小；
（2）若对导体棒cd施加一水平向右的拉力，使其沿导轨做初速为零的匀加速直线运动。的大小随时间t变化的图像为一条斜率为k（）的直线。求导体棒cd加速度的大小a。

3.如图所示，宽度、足够长的平行导轨固定于绝缘水平面上，左端接有一个电动势、内阻的电源，右端接有一个降压限流器件（当电路电流大于或等于时相当于一个可变电阻而保持电流恒为，电流小于时相当于电阻为0的导线）和一个的定值电阻，其他电阻不计，是分界线且与左右两端足够远，导轨间有垂直导轨平面向上的匀强磁场，磁场的磁感应强度大小，导轨在P、Q点各有一个断路小缺口，不计电阻的金属杆从距足够远处由静止释放，在的左侧，金属杆与导轨间的动摩擦因数。在的右侧，金属杆与导轨间的摩擦可忽略不计。已知金属杆到达之前已经在做匀速运动，且速度大小为，金属杆越过时，由于有缺口，杆的速度大小立即减为原来的60%，取重力加速度大小。求：
（1）金属杆的质量；
（2）金属杆越过后运动的距离；
（3）整个过程中，通过降压限流器件上的电荷量。
4.如图所示，足够长的平行金属导轨倾斜放置，导轨所在平面倾角，导轨间距，在水平虚线的上方有垂直于导轨平面向下的匀强磁场，水平虚线下方有平行于导轨平面向下的匀强磁场，两磁场的磁感应强度大小均为。导体棒垂直放置在导轨上，开始时给两导体棒施加约束力使它们静止在斜面上，现给棒施加沿斜面向上的拉力，同时撤去对两导体棒的约束力，使沿斜面向上以的加速度做匀加速直线运动，棒沿斜面向下运动，运动过程中导体棒始终与导轨垂直并接触良好，已知导体棒与导轨间的动摩擦因数均为，导体棒的质量均为，两导体棒组成的回路总电阻为，导轨的电阻不计，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，，，，求：
（1）当棒向下运动的速度达到最大时，棒受到的安培力的大小和方向；
（2）当回路中的瞬时电功率为2W时，在此过程中，通过棒横截面的电量；
（3）当棒速度减为零时，回路中的电流大小。
题型四 电磁感应中的动量问题
【方法提炼】
示意图
动力学观点 导体棒1受安培力的作用做加速度减小的减速运动，导体棒2受安培力的作用做加速度减小的加速运动，最后两棒以相同的速度做匀速直线运动 导体棒1做加速度逐渐减小的加速运动，导体棒2做加速度逐渐增大的加速运动，最终两棒以相同的加速度做匀加速直线运动
动量观点 系统动量守恒 系统动量不守恒
能量观点 棒1动能的减少量＝棒2动能的增加量＋焦耳热 外力做的功＝棒1的动能＋棒2的动能＋焦耳热
1.杆＋导轨模型可以考查学生综合运用动力学、能量、动量的观点解决电磁感应问题，有可能作为压轴题或最后一道选择题出现(如江苏高考)，所以有必要介绍一下。常见的杆＋导轨模型如下：
(1)单杆模型的常见情况
(2)双杆模型的常见情况
杆＋导轨模型的动力学、能量分析参见典例探究例3后面的规律总结，因为杆一般做变加速运动，所以有些物理量必须从动量的角度求解。
2．应用动量观点解决电磁感应综合问题可分为两类：
(1)利用动量定理求感应电荷量或运动位移
应用动量定理可以由动量变化来求解变力的冲量，如在导体棒做非匀变速运动的问题中，应用动量定理可以解决牛顿运动定律不易解答的问题。
如：BLΔt＝Δp，q＝·Δt，可得q＝。
Δt＝Δp，x＝Δt，可得x＝。
(2)利用动量守恒定律分析双导体杆问题
在相互平行的光滑水平轨道间的双棒做切割磁感线运动时，由于这两根导体棒所受的安培力等大反向，合外力为零，若不受其他外力，两导体棒的总动量守恒(上面双杆模型的第二种情况动量不守恒，须用动量定理)。解决此类问题往往要应用动量守恒定律。
【综合训练】
1.如图，质量为0.1kg的方形铝管静置在足够大的绝缘水平面上，现使质量为0.2kg的条形磁铁（条形磁铁横截面比铝管管内横截面小）以v=3m/s的水平初速度自左向右穿过铝管，忽略一切摩擦，不计管壁厚度。则（　　）

A．磁铁穿过铝管过程中，铝管受到的安培力可能先水平向左后水平向右
B．磁铁穿过铝管后，铝管速度可能为4m/s
C．磁铁穿过铝管正中央时，铝管加速度为零
D．磁铁穿过铝管过程所产生的热量可能达到0.2J
2.如图，两根足够长的光滑平行金属导轨固定在同一水平面内，两导轨间的距离为L＝1m。导轨上放置两导体棒ab、cd，与导轨垂直并构成闭合回路，两导体棒ab、cd的质量分别为、，长度均为L＝1m，电阻均为R＝0.3Ω，其余部分电阻不计。在整个导轨所在平面内存在方向竖直向上、磁感应强度大小为B＝1T的匀强磁场。初始时，两导体棒均在导轨上静止不动，某时刻给导体棒ab以水平向右的初速度，若两杆初始时相距足够远，运动全程中两杆始终不相遇，则当两杆速度最终稳定时（　　）
A．两杆的最终末速度相等，大小为
B．电路中产生的焦耳热为
C．安培力对cd杆做功
D．电路中通过的电荷量为
3.如图所示，两足够长的光滑平行金属导轨固定在绝缘水平面上，导轨间距为L，导轨间有方向竖直向下的匀强磁场，磁场的磁感应强度大小为B，质量均为m、有效电阻均为R的金属棒和垂直于导轨放置，均处于静止状态，现给棒一个方向水平向左、大小为的初速度，下列说法正确的是（　　）
A．从棒开始运动到回路无电流的过程中，回路产生的焦耳热为
B．从棒开始运动到回路无电流的过程中，回路产生的焦耳热为
C．最终回路无电流通过后，两棒间的距离比静止时增大
D．最终回路无电流通过后，两棒间的距离比静止时增大
4.如图所示，有两根光滑平行导轨，左侧为位于竖直平面的金属圆弧，右侧为水平直导轨，圆弧底部和直导轨相切，两条导轨水平部分在同一水平面内，两导轨的间距为d=0.5m，导轨的左侧接着一个阻值为R=2Ω的定值电阻，水平导轨的ABNM区域存在竖直向下的匀强磁场，磁感应强度大小为B=2T，虚线AM和BN垂直于导轨，BN右边无磁场，AB和MN的长度均为x=1.5m，两根金属棒a、b垂直放置在导轨上，质量均为m=0.2kg，接入电路的电阻均为r=2Ω，金属棒a从圆弧轨道距水平轨道高h=0.8m处由静止滑下，与静止在圆弧底部的金属棒b发生弹性碰撞，碰撞后金属棒b进入磁场区域，最终通过BN虚线，继续向右运动。不计金属导轨的电阻，求：
（1）金属棒b刚进入磁场区域时的速度大小；
（2）整个运动过程中金属杆a上产生的焦耳热（此结果保留两位小数）。
5.如图所示，两条足够长的平行导电导轨MN、PQ水平放置，导轨间距L=1.0m，在轨道区域内有竖直向下的匀强磁场，磁感应强度大小为B=1T。导体棒a、b质量均为m=1kg，电阻均为R=0.5Ω，与导轨间的动摩擦因数均为=0.3，运动过程中导体棒与导轨始终垂直且接触良好。重力加速度g=10m/s2，导轨电阻可忽略，设最大静摩擦力等于滑动摩擦力。
（1）若开始时导体棒a初速度为零，导体棒b获得=2m/s的水平向右的初速度，求此时导体棒a和b的加速度大小；
（2）若同时分别给两导体棒不同的冲量，使导体棒a获得平行于导轨向左的初速度=2m/s的同时，导体棒b获得向右的平行于导轨的初速度=4m/s，求流经导体棒a的最大电流；
（3）在（2）的条件下，从导体棒a速度为零到两棒相距最远的过程中，已知导体棒b产生的焦耳热为0.25J，求此过程中导体棒b的位移。
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