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第19章
一次函数
八年级数学下册同步精品课堂（人教版）
人教版 数学
八年级 下册
19.2.3
一次函数与
方程、不等式
复习引入
问题①：解方程2x+20=0；
问题②：当 x为何值时，函数y=2x+20的值为0？
问题③：画出函数y=2x+20的图象，并确定它与x 轴的交点坐标；
问题④：问题① ②有何关系？ ① ③呢？
问题⑤ : 能从函数的角度来解一元一次方程 2x+20=0吗？
思考
新知探究
下面三个方程有什么共同特点？你能从函数的角度对解这三个方程进行解释吗？
（1）x+3=1；（2）x+3=0；（3）x+3=4．
用函数的观点看：
解一元一次方程
ax +b =k 就是求当函
数（y=ax +b）值为k
时对应的自变量的值．
x +3=4 的解
y =x+3
x +3=0 的解
x +3=1 的解
思考
新知探究
1.直线y=2x+2与x轴交点坐标为（____,_____），这说明方程2x＋20＝0的解是x=_____.
-1
0
-1
2.若方程kx＋2＝0的解是x=5，则直线y=kx＋2与x轴交点坐标为（____,_____）.
5
0
新知探究
求一元一次方程
kx+b=0的解．
求一元一次方程
kx+b=0的解．
从“函数值”看
添加小标题
从“函数图象”看
一次函数y= kx+b
中，y=0时x的值．
求直线y= kx+b
与 x 轴交点的横
坐标．
新知探究
一个物体现在的速度是5米/秒，其速度每秒增加3米/秒，再过几秒它的速度为20米/秒？
解法1：设再过x秒它的速度为20米/秒，
由题意得3x+5=20
解得 x=5
答：再过5秒它的速度为20米/秒.
思考
新知探究
一个物体现在的速度是5米/秒，其速度每秒增加3米/秒，再过几秒它的速度为20米/秒？
思考
解法2：速度y（单位：米/秒）是时间x（单位：秒）的函数，y=3x+5
由右图可以看出当y =20时，x=5.
y=3x+5
x
y
O
5
20
5
新知探究
下面三个不等式有什么共同特点？你能从函数的角度对解这三个不等式进行解释吗？能把你得到的结论推广到一般情形吗？
（1）x+3>1；（2）x+3<0；（3）x+3<4．
y =x+3
思考
y =1
y =0
y =4
　　不等式ax+b＞c的解集就是使函数y =ax+b 的函数值大于c的对应的自变量取值范围；
　　不等式ax+b＜c的解集就是使函数y =ax+b 的函数值小于c的对应的自变量取值范围．
新知探究
3
y=x-3
x
0
y
2
y=-2.5x+5
0
x
y
由图可知，
当-2.5x+5>0时，x>2;
当-2.5x+5<0时，x<2.
由图可知，
当x-3>0时，x>3;
当X-3<0时，x<3.
根据下列一次函数的图像，直接写出下列不等式y>0和y<0的解集.
新知探究
根据下列一次函数的图像，直接写出下列不等式y>0和y<0的解集.
由图可知，
当3x+6>0时，即x>-2时y>0;
当3x+6<0时，即x<-2时y<0.
由图可知，
当-x+2>0时, 即x<2时y>0;
当-x+2<0时，即x>2时y<0.
2
0
x
y
-2
y=3x+6
0
x
y
典例精析
例1
如图，已知直线y=kx+b与x轴交于点(- 4,0)，则当y>0时，x的取值范围是（ ）
A.x>-4
B. x>0
C. x<-4
D. x<0
C
典例精析
例2
画出函数y=-2x+6的图象，结合图象求：
（1）不等式-2x+6>0 和-2x+6<0的解集;
（2）当x取何值时，y<4
解：作出函数y=-2x+6的图象，如图所示，图象与x轴交于点B(3，0).
x
O
B(3,0)
A(0,6)
y
由图象可知，不等式
-2x+6>0 的解集是图象位于 x轴上方的x的取值范围,即x<3；不等式 -2x+6<0的解集是图象位于 x轴下方的x的取值范围，即x>3；
典例精析
例2
画出函数y=-2x+6的图象，结合图象求：
（1）不等式-2x+6>0 和-2x+6<0的解集;
（2）当x取何值时，y<4
x
O
B(3,0)
A(0,6)
y
（2）由图象可知，当x>1时，y<4.
4
1
(1,4)
新知探究
求kx+b＞0
(或<0)
(k≠0)的解集
求kx+b＞0
(或<0)
(k≠0)的解集
从“函数值”看
添加小标题
从“函数图象”看
y=kx+b的值
大于(或小于)0时，
x的取值范围
确定直线y=kx+b
在x轴上方(或下方)
的图象所对应的x
取值范围
新知探究
1号探测无人机从海拔5 m 处出发，以1 m/s的速度上升．与此同时，2 号探测无人机从海拔15 m 处出发，以0.5 m/s 的速度上升．两个无人机都上升了1 min．
(1)请用解析式分别表示两个无人机所在位置的海拔 y(m)与无人机上升时间 x(s)的函数关系．
无人机1 海拔高度：y =x+5；
无人机2 海拔高度：y =0.5x+15．
思考
h1
h2
新知探究
一次函数与二元一次方程有什么关系？
一次函数
二元一次方程
一次函数
y =0.5x+15
二元一次方程
y -0.5x =15
二元一次方程
y =0.5x+15
用方程观点看
用函数观点看
　　从式子（数）角度看：
思考
新知探究
由函数图象的定义可知：
直线y =0.5x+15上的每个点的坐标(x，y)都能使等式y=0.5x+15成立，即直线y =0.5x+15上的每个点的坐标都是二元一次方程y=0.5x+15的解.
从形的角度看，一次函数与
二元一次方程有什么关系？
15
10
5
-5
5
10
O
x
y
y =0.5x+15
思考
新知探究
从数的角度看：
就是求自变量为何值时，两个一次函数 y =x+5，y =0.5x+15 的函数值相等，并求出函数值．
解方程组
y =x+5
y =0.5x+15
(2)什么时刻，1 号无人机的高度赶上2 号无人机的高度？
这时的高度是多少？请从数和形两方面分别加以研究.
无人机1 海拔高度：y =x+5
无人机2 海拔高度：y =0.5x+15
h1
h2
思考
新知探究
　　二元一次方程组的解就是相应的 两个一次函数图象 的交点坐标．
A（20，25）
30
25
20
15
10
5
10
20
y =x+5
y =0.5x+15
15
5
O
x
y
　　从形的角度看，二元一次方程组与一次函数有什么关系？
思考
总结归纳
新知探究
一般地，任何一个二元一次方程都可以转化为一次函数y=kx+b(k、b为常数，且k≠0)的形式，所以每个二元一次方程都对应一个一次函数，也对应一条直线．
方程组的解 对应两条直线交点的坐标.
新知探究
观察函数图象，直接回答下列问题：
（1）在什么时候，1 号无人机比2 号无人机高？
（2）在什么时候，2 号无人机比1 号无人机高？
无人机1 海拔高度：y =x+5
无人机2 海拔高度：y =0.5x+15
（1）20min后，1 号无人机比2 号无人机高.
（2）0~20min时，1 号无人机比2 号无人机高.
思考
典例精析
例3
O
y
x
如图，求直线l1与l2 的交点坐标.
解方程组
y =2x+2，
y =-x+3，
解：因为直线l1过点(-1，0)，
(0，2) ，用待定系数法可求得
直线l1的解析式为y =2x+2.同理
可求得直线l2的解析式为y =-x+3.
得
x=
y=
即直线l1与l2 的交点坐标为
典例精析
例4
如图，一次函数y=ax+b与y=cx+d的图象交于点P，则方程组 的解是多少？
解：此方程组的解是
1
2
3
-1
-2
-3
-1
-3
-4
-5
2
O
-2
1
4
-6
x
y
P
y=ax+b
y=cx+d
归纳总结
一次函数与方程、不等式
解一元一次方程 对应一次函数的值为0时，求相应的自变量的值，即一次函数与x轴交点的横坐标.
解一元一次不等式 对应一次函数的函数值大（小）于0时，求自变量的取值范围，即在x轴上方(或下方)的图象所对应的x取值范围 .
解二元一次方程组 求对应两条直线交点的坐标 .
当堂检测
1.若以二元一次方程x+2y﹣b=0的解为坐标的点（x，y）都在直线 上，则常数b=（　　）
A． B．2 C．﹣1 D．1
B
2.如图所示，直线l1： 与直线l2： 交于点P
（﹣2，3），不等式 的解集是（　　）
A．x＞﹣2 B．x≥﹣2
C．x＜﹣2 D．x≤﹣2
A
3.一次函数y=3x-4的图象是一条直线，它由无数个点组成的，那么方程的解有（ ）.
A.1个 B.2个 C.3个 D.无数个
D
当堂检测
5.一次函数y1=4x+5与y2=3x+10的图象如图所示,则4x+5>3x+10的解集是（ ）
A.x<5
B.x>5
C.x>-5
D.x>25
1
B
y=4x+5
y=3x+10
x
y
4.直线 与x轴的交点是（ ）
A．（0，-3） B．（-3，0）
C．（0，3） D．（0，-3）
B
当堂检测
6.小亮用作图象的方法解二元一次方程组时，在同一直角坐标系内作出了相应的两个一次函数的图象 l1、l2如图 ，他解的这个方程组是( )
D
当堂检测
7.方程 的解是 ，则函数 在自变量 等于
时的函数值是8.
x=2
2
8.直线y=-x+4和直线y=2x-5的交点坐标是 .
9.一次函数y=2x-3与y=2x+5的图象是两条 的直线，因此 的解的情况是 .
(3,1)
平行
无解
当堂检测
10.用函数图象来解决5x+6>3x+10.
解：化简，得2x-4>0.画出直线y=2x-4的图象.
-4
2
y
x
0
y=2x-4
可以看出，当x＞2时，这条直线上的点在x轴的上方，即这时y=2x-4>0.
所以不等式的解集是x>2.

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