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22.2 平行四边形的判定
一、单选题
1．不能判定一个四边形是平行四边形的条件是（ ）
A．一组对边相等，另一组对边平行 B．一组对边平行且相等
C．两条对角线互相平分 D．两组对边分别相等
2．如图给出了四边形的部分数据，若使得四边形为平行四边形，还需要添加的条件可以是（ ）
A． B． C． D．
3．如图，在四边形中，．若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
4．用反证法证明命题“已知在中，，则”时，首先应该假设（ ）
A． B．
C． D．且
5．如图，在平行四边形ABCD中，点E，F分别在边上，连接，添加选项中的条件后不能判定四边形是平行四边形的是（　　）

A． B． C． D．
6．如图所示，把两张矩形纸条交叉叠放在一起，重合部分构成一个四边形．固定一张纸条，另一张纸条在转动过程中，下列结论一定成立的是（ ）
A．四边形的周长不变 B．四边形的面积不变
C． D．
7．如图，在中，是上一点，，交于点，，交于点．若，则（ ）

A． B． C． D．
8．如图，在平行四边形ABCD中，E和F分别是边和上的点，，连接和，已知，，四边形的面积是3，则四边形的面积是（ ）

A．4.5 B．5 C．6 D．6.5
9．如图，在平行四边形ABCD中，E、F分别为边AB、DC的中点，连接AF、CE、DE、BF、EF，AF与DE交于点G，CE与BF交于点H，则图中共有平行四边形（ ）
A．3个 B．4个 C．5个 D．6个
10．如图，四边形中，于点E，于点F，交于点C．，连接．以下结论：①；②；③．其中正确的结论个数为（ ）

A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
二、填空题
11．如图,在四边形ABCD中,已知AB∥CD,再添加一个条件 ,则四边形ABCD是平行四边形(图中不再添加辅助线)
12．如图，在四边形中，，若加上，则四边形为平行四边形，现在请你添加一个适当的条件： ，使得四边形为平行四边形．（图中不再添加点和线）
13．对于命题“如图，如果OA＝OC，OB≠OD，那么四边形ABCD不是平行四边形”．用反证法证明这个结论时，第一步应假设 ．
14．已知三条线段长分别为10，14，20，以其中两条为对角线，剩余一条为边，可以画出 个平行四边形.
15．如图，在一束平行光线中插入一张对边平行的纸板，如果光线与纸板右下方所成的∠1是68°25′，那么光线与纸板左上方所成的∠2的度数为 .
16．在四边形ABCD中，AC，BD交于点O，且OA＝OC，OB＝OD，∠ABC＝80°，则∠ADC＝ ．
17．如图，，，，图中有 个平行四边形，它们分别是 ．
18．如图，已知中，∠B=900，点为上一动点，，连接，．与交于点，，，，若，则 ．

三、解答题
19．已知：如图，，．求证：．
20．如图，在四边形中，，为边上一点，连接并延长的延长线于点，且．求证：．
21．如图，在四边形中，AD//BC，点、在上，AE//CF，且．求证：四边形是平行四边形．
22．如图，在平行四边形ABCD中，点G，H分别是AB，CD的中点，点E、F在对角线AC上，且AE＝CF．求证：四边形EGFH是平行四边形．
23．已知，点B，D在线段AF上，，且．
(1)求证：；
(2)连接，，求证：四边形是平行四边形．
24．如图，在平行四边形ABCD中，直线，与CD、CB的延长线分别交于点E、F，交AB、AD于G、H．
(1)求证：四边形FBDH为平行四边形；
(2)求证：．
25．如图是由小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点．四边形的四个顶点都是格点，仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图（画图过程用虚线，画图结果用实线）．
(1)判断四边形的形状；
(2)在图1中，先在上画点，使，再在上画点，使；
(3)在图2中的上画点，使．
26．已知：如图，在平行四边形中，分别是和的角平分线，交于点E，F连接．
(1)求证：互相平分；
(2)若，求四边形的周长和面积．
27．如图：
(1)如图1，平行四边形ABCD中，于M，于N．求证：．
(2)如图2，平行四边形ABCD中，AC，BD是两条对角线，求证：．
(3)如图3，PT是的中线，已知：，，．求：PT的长度．
28．在平形四边形中，点是对角线的中点，点在边上，的延长线与边交于点，连接、如图1．
(1)求证：四边形是平行四边形；
(2)若，，过点作的垂线，与、、分别交于点、、如图2．
①当，时，求的长；
②求证：．
答案
一、单选题
1．A
【分析】本题考查平行四边形的判定，根据平行四边形的判定方法逐项判断即可．
【解析】解：一组对边相等，另一组对边平行，不能判定一个四边形是平行四边形，故A选项正确；
一组对边平行且相等，能判定一个四边形是平行四边形，故B选项错误；
两条对角线互相平分，能判定一个四边形是平行四边形，故C选项错误；
两组对边分别相等，能判定一个四边形是平行四边形，故D选项错误；
故选A．
2．B
【分析】根据平行四边形的判定定理添加条件即可求解．
【解析】解：∵在四边形中，，
∴，
∴根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形的判定，可添加的条件是：．
故选：B．
3．B
【解析】略
4．】A
【分析】根据反证法的步骤中，第一步是假设结论不成立，反面成立解答．
【解析】解：用反证法证明命题“已知在中，，则”时，首先应该假设．
故选：A
5．D
【分析】根据平行四边形的性质，平行四边形的判定依次进行判断即可得．
【解析】解：∵四边形为平行四边形，
∴，
∵，
∴四边形是平行四边形，
故选项A说法正确，不符合题意；
∵四边形为平行四边形，
∴，
∵，
∴四边形是平行四边形，
故选项B说法正确，不符合题意；
∵四边形为平行四边形，
∴，，
∵，
∴
∴四边形是平行四边形，
故选项C说法正确，不符合题意；
∵四边形为平行四边形，
∴，，
由不能判定四边形是平行四边形，
故选项D说法错误，符合题意；
故选：D．
6．D
【分析】本题考查了平行四边形的判定和性质，由平行四边形的性质进行判断，即可得到答案，解题的关键是掌握平行四边形的判定和性质．
【解析】解：由题意可知，，，
∴四边形是平行四边形，
∴，故符合题意，
随着一张纸条在转动过程中，不一定等于，四边形周长、面积都会改变，
故不符合题意，
故选：．
7．D
【分析】根据已知判定四边形是平行四边形，得到，再根据三角形内角和定理求解．
【解析】解：∵，，
∴四边形是平行四边形，
∴，
∵，
∴，
故选：D．
8．C
【分析】先证明四边形是平行四边形，得，即可推导出，则四边形是平行四边形，设与之间的距离为h，，由，得，于是得到问题的答案．
【解析】解：∵四边形是平行四边形，
∴，，
∵，
∴四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴四边形是平行四边形，
设与之间的距离为h，
∵四边形的面积是3，
∴，
∵，
∴，
故选：C．
9．D
【分析】根据四边形ABCD是平行四边形，得到AB=CD，AB∥CD，根据E、F分别为边AB、DC的中点，得到AE=BE= AB，CF=DF= CD，推出AE=DF =CF=BE，推出四边形ADFE，AFCE，EDFB，EFCB都是平行四边形,得到AE∥CE，DE∥BF，推出四边形EGFH是平行四边形，至此，连原来的平行四边形共有6个．
【解析】∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD，AB∥CD，
∵E、F分别为边AB、DC的中点，
∴AE=BE= AB，CF=DF= CD，
∴AE=DF，AE=CF，BE=CF，BE=DF，
∴四边形ADFE，AFCE，EDFB，EFCB都是平行四边形,
∴AE∥CE，DE∥BF，
∴四边形EGFH是平行四边形，
故平行四边形共有6个．
故选D．
10．C
【分析】根据可判定①，用反证法证明②，根据证得，得到可判断③．
【解析】解：∵于点E，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，故①正确；
用反证法证明②，
假设，
则有为等腰三角形，F为的中点，
又，可证得，与题设不符；
由（1）知，
∴，
连接，
∵
∴四边形为平行四边形，
∴，
∴，
∴，
∵
∴，
∴，故③正确；
故正确的个数有2个．
故选：C．

二、填空题
11．AB=CD（或AD∥BC）
【分析】根据平行四边形的判定定理添加条件即可.
【解析】解：已知AB∥CD，
∵一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；两组对边分别平行的四边形是平行四边形，
∴可添加AB=CD或AD∥BC，
故答案为AB=CD（或AD∥BC）.
12．
【解析】连结，交于点，
∵，，
∴四边形是平行四边形，
∴，，
∵，
∴，
∴四边形为平行四边形．
13．四边形ABCD是平行四边形
【分析】用反证法证明命题的真假，先假设命题的结论不成立，从这个结论出发，经过推理论证，得出矛盾；由矛盾判定假设不正确，从而肯定命题的结论正确．
【解析】解：用反证法证明某个命题的结论“四边形ABCD不是平行四边形”时，第一步应假设四边形ABCD是平行四边形，
故答案为：四边形ABCD是平行四边形．
14．2
【分析】根据平行四边形性质得出OA=OC= AC，BO =OD=BD，分为三种情况：①AC=10，BD=14，AB=20时，②AC=10，BD=20，AB=14时，③AC=20，BD=14，AB=10时，求出AO和BO的值，根据三角形的三边关系定理看看△AOB是否存在即可．
【解析】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA=OC=AC，BO=OD=BD，
分为三种情况：
①AC=10，BD=14，AB=20时，AO=5，BO=7，
则5+7＜20，不符合三角形三边关系定理；不能组成平行四边形；
②AC=10，BD=20，AB=14时，AO=5，BO=10，
则5+10＞14，符合三角形三边关系定理；能组成平行四边形；
③AC=20，BD=14，AB=10时，AO=10，BO=7，
则7+10＞10，符合三角形三边关系定理；能组成平行四边形；
可以画出不同形状的平行四边形的个数是2，
故答案为2．
15．68°25′
【分析】先证明四边形ABCD是平行四边形，进而即可求解.
【解析】因为AB∥CD，AD∥BC，所以四边形ABCD是平行四边形，所以∠2=∠1=68°25′，
故答案为68°25′.
16．80°
【解析】略
17． 3 、、
【分析】由平行四边形的判定即可得出结论．
【解析】解：图中有3个平行四边形，分别为、、，理由如下：
，，，
四边形、四边形、四边形是平行四边形．
故答案为3， 、、．
18．
【分析】延长，过点E作，交延长线于点G，连接，可证明，有，；再证明四边形为平行四边形，，
；由勾股定理可求得的长，从而可求得的长，最后由勾股定理即可求得结果．
【解析】解：延长，过点E作，交延长线于点G，连接，如图，
则，
∵∠B=900，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，；
∵，
∴，
∵，
∴，
∵∠B=900，，
∴，
∴四边形为平行四边形，
∴，；
由勾股定理得：；
在中，由勾股定理得；
∴，
∴，
在中，由勾股定理得：,
故答案为：．

三、解答题
19．证明：∵，
∴，
又∵，
∴，
即：，
∴，
∴四边形为平行四边形，
∴．
20．证明：∵，，
∴，
∴AB∥CD，
∵，
∴四边形是平行四边形，
∴AD∥CB，
∴．
21．∵AD//BC
（两直线平行，内错角相等）
又∵AE//CF
（两直线平行，内错角相等）
在△ADE和△CBF中，
四边形是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）
22．证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB//CD，AB＝CD，
∴∠GAE＝∠HCF，
∵点G，H分别是AB，CD的中点，
∴AG＝CH，
在△AGE和△CHF中，
，
∴△AGE≌△CHF（SAS），
∴GE＝HF，∠AEG＝∠CFH，
∴∠GEF＝∠HFE，
∴GE//HF，
又∵GE＝HF，
∴四边形EGFH是平行四边形
23．（1）证明：如图所示：
∵，
∴．
∴．
∵，
∴．
在和△FDE中，
∵，
∴．
（2）连接，，
由（1）知，
∴，．
∴．
∴四边形是平行四边形．
24．（1）∵四边形ABCD为平行四边形，
∴，
∴，
∴四边形FBDH为平行四边形，
（2）∵四边形FBDH为平行四边形，
∴，
∵，，
∴四边形BDEG为平行四边形，
∴，
∴，
∴，
∴．
25．（1）解：∵，，
∴四边形是平行四边形．
（2）解：如图1中，点E，点F即为所求；
根据格点特点可知，，，
∴，
∴；
∵四边形为平行四边形，
∴，，
∴，，
∴，
∴．
（3）解：如图2中，点G即为所求．
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
26．（1）解：∵四边形是平行四边形
∴，
∵分别是和的角平分线
∴
∵，
∴
∴
∴，
∴，
∴即
∵，
∴四边形是平行四边形，
∴互相平分；
（2）∵，
∴△ADE是等边三角形
∵，
∴，
∵，
∴
∴四边形的周长；
过D点作于点G，
在中，，
∴，
∴，
∴，
∴四边形的面积．
27．（1）证明：∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
又∵，
∴，
在和中，，
∴ ，
∴．
（2）证明：作于M，于N，如图所示，
在和中，
根据勾股定理得，，
∴，
同理，在和中，
根据勾股定理得，，
∴，
∴，
联系第一问，易证：，
∴,
∴，
又∵，
∴．
（3）延长PT至S，使得，连接QS，RS，如图所示，
∵PT是的中线，
∴，
∴四边形PQSR为平行四边形，
∴，，
由（2）得，
∴，
解得，
∵ ，
∴．
28．（1）证明：∵在平行四边形中，点是对角线的中点，
∴，，
∴，
在与中，
，
∴，
∴，
又∵，即，
∴四边形是平行四边形．
（2）①解：如图，过点作于点，
∵，，，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴．
∴的长为．
②证明：∵，，
∴，，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴．

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