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贵阳市2025年高三年级适应性考试（一）
数学
2025年2月
本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分，满分150分．考试时间为120分钟．
注意事项：
1．答卷前，考生务必将姓名、报名号用钢笔填写在答题卡相应位置上．
2．回答第I卷时，选出每小题答案后，用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．写在本试卷上无效．
3．回答第II卷时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效．
4．请保持答题卡平整，不能折叠．考试结束后，监考老师将试题卷、答题卡一并收回．
第I卷（选择题 共58分）
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知复数，则（ ）
A． B． C． D．
2．已知，为直线，为平面，则“，”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
3．设，，，则（ ）
A．1 B． C． D．2
4．20世纪30年代，里克特制订了一种表明地震能量大小的尺度，就是使用测震仪衡量地震能量的等级，地震能量越大，测震仪记录的地震曲线的振幅就越大，这就是我们常说的里氏震级，其计算公式为．其中是被测地震的最大振幅，是“标准地震”的振幅（使用标准地震振幅是为了修正测震仪距实际震中的距离造成的偏差）．假设在一次地震中，一个距离震中100千米的测震仪记录的地震最大振幅是50，此时标准地震的振幅是0.002，则这次地震的震级为（精确到0.1，参考数据：）（ ）
A．4.4 B．4.7 C．5 D．5.4
5．若，，则（ ）
A． B． C． D．
6．已知双曲线的渐近线与抛物线的交点都在圆上，则圆与轴正半轴的交点坐标为（ ）
A． B． C． D．
7．如果等比数列的各项均为正数，其前项和为，且，，设，那么（ ）
A． B． C． D．
8．函数，若，不等式恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
二、多项选择题：本题共3个小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
9．有互不相同的7个样本数据，去掉一个第25百分位数和一个最大的数后组成一组新数据，则新数据与原数据相比，有可能变小的是（ ）
A．平均数 B．中位数 C．极差 D．方差
10．对于函数，和，，下列结论正确的有（ ）
A．与在时有相同的函数值
B．与有相同的最小值
C．与的图象有相同的对称中心
D．与在区间都为增函数
11．封闭曲线是平面内与两个定点和的距离之积为2的点的轨迹，是曲线上一点，为坐标原点．则下列说法正确的有（ ）
A．曲线关于坐标原点对称
B．曲线位于直线和直线所围成的矩形框内
C．的周长的最小值为
D．
第II卷（非选择题 共92分）
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．等差数列8，5，2，……的第10项为________．
13．已知圆锥的侧面积是底面积的2倍，则圆锥的母线与底面所成的角的大小为________．
14．定义集合，比如：若，则．把集合中满足条件的元素组成的集合记为，即．已知集合，则（1）集合中的元素个数为________；（2）若中的元素个数为56，则的值为________．
四、解答题：共5个小题，满分77分。解答应写出相应的文字说明，证明过程或演算步骤。
15．（本题满分13分）在中，内角，，的对边分别为，，，若．
（1）求角的大小；
（2）若，点是边上的一点，平分，且，求的面积．
16．（本题满分15分）在四棱台中，底面为平行四边形，侧面为等腰梯形，且侧面底面，，，，与的距离为，点，分别在棱，上，且，．
（1）求证：平面；
（2）求四棱台的高；
（3）求异面直线与所成的角的余弦值．
17．（本题满分15分）已知函数．
（1）当时，证明函数在单调递增；
（2）若函数在有极值，求实数的取值范围；
（3）若函数的图象在点处的切线方程为，求函数的零点个数．
18．（本题满分17分）某学校有甲、乙两家餐厅，对于学生的午餐就餐情况根据以往的统计调研分析可以得出如下结论：前一天选择甲餐厅就餐的同学第二天选择甲餐厅就餐的概率是，选择乙餐厅就餐的概率为；前一天选择乙餐厅就餐的同学第二天选择甲餐厅就餐的概率是，选择乙餐厅就餐的概率为，如此往复．假设所有同学开学第一天中午等可能随机选择一家餐厅就餐．
（1）第一天中午某班3位同学去餐厅就餐，求这3位同学中至少有1位同学去甲餐厅就餐的概率；
（2）求同学与同学第二天中午在同一餐厅就餐的概率；
（3）假设该学校有2000名学生，试估计一星期后中午在甲餐厅就餐的学生人数。
19．（本题满分17分）已知椭圆的标准方程为：，在这个椭圆上取个点，这些点的坐标分别为，，连接．
（1）若直线的斜率为，求椭圆的离心率；
（2）证明的面积为定值，并求多边形的面积（用表示）：
（3）若，，线段的中点为，证明：．
贵阳市2025年高三年级适应性考试（一）
数学参考答案与评分建议
一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 D B C A A D C B
二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，部分选对得部分分，有错选的得0分）
题号 9 10 11
答案 ACD AC ABD
三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分）
题号 12 13 14
答案 5；9
四、解答题（共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
15．（本小题满分13分）解：（1）因为，所以，
化简得，所以，所以．6分
（2）由正弦定理可得，所以．
又因为，所以，所以，
因为，所以，
所以．13分
16．（本小题满分15分）证明：（1）取的中点，连接，，则是梯形的中位线，
所以且，
又因为且，所以且，
所以四边形是平行四边形，所以，
因为平面，平面，所以平面．5分
解：（2）分别取，的中点，，
因为侧面为等腰梯形，所以，
因为侧面底面，所以底面，
因为，所以，所以平面，
所以，即，
且，所以为与的距离，
所以，解得，
所以四棱台的高为2．10分
（3）以，，所在直线分别为，，轴如图建立空间直角坐标系．
则，，，．
所以，，，
所以，
所以异面直线与所成的角的余弦值为．15分
17．（本小题满分15分）解：（1）当时，，
若，则，又因为，所以，
所以函数在单调递增；4分
（2），
因为函数在有极值，所以在有解，
又因为在单调递增，所以，
所以，所以，所以；9分
（3）因为函数在点处的切线方程为，
所以且，
解得，．
所以，，
当时，，所以在单调递增，且，所以在没有零点；
当时，；
当时，，
所以在没有零点．
综上所述，函数的零点个数为1个．15分
18．（本小题满分17分）解：（1）记事件为“这3位同学中至少有1位同学去甲餐厅就餐”，
则；4分
（2）记事件为“某同学第天在甲餐厅就餐”，
则，
记事件为“同学与同学第二天在同一餐厅就餐”，
则．10分
（3）记事件为“某同学第天在甲餐厅就餐”，
则，
所以，即，
所以数列是以为首项，为公比的等比数列，
所以，即，
记学校2000名学生第天在甲餐厅就餐的学生人数为，则，，
当时，，
所以一星期后在甲餐厅就餐的学生人数大约为人．17分
19．（本小题满分17分）解（1）：，，所以直线的斜率为，所以，
所以椭圆的离心率．4分
证明（2）：直线的方程为，
化简得，
所以原点到直线的距离，
而，
所以．
同理可得
，
所以多边形的面积为．10分
证明（3）：设，所以，，
所以，即，
所以的轨迹方程为一个椭圆，，是该椭圆的焦点，
设，，
点，的坐标可化为，，
所以，，
又因为，，
所以
，
，
因为，所以．17分

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