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2025年安徽省合肥市中考模拟数学试题
一、单选题（共10小题，每小题4分，共40分）
1．的值是（ ）
A．-8 B．8 C． D．
2．2019年1月3日，我国的嫦娥四号探测器成功在月球背面着陆，实现了人类探测器首次在月球背面软着陆，标志着我国成功开始了对月球背面的研究，填补了国际空白．月球距离地球的平均距离为384400千米，数据384400用科学记数法表示为（ ）
A． B． C． D．
3．一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体是（ ）

A． B． C． D．
4．下列计算正确的是（ ）
A． B． C． D．
5．已知圆上一段弧长为，它所对的圆心角为，则该圆的半径为（　　）
A． B． C． D．
6．在同一平面直角坐标系中，正比例函数的图象与反比例函数的图象有交点，则下列结论一定正确的是（　　）
A． B． C． D．
7．如图，矩形中，，，于，则的值为（ ）
A．1 B． C．2 D．
8．若a＞b，则下列式子正确的是（　　）
A．﹣3a＜﹣3b B．a﹣3＜b﹣3 C． D．a+3b＜4b
9．如图，在中，，，E为边的中点，交延长线于点D，平分交于点F，连接．下面结论不一定成立的是（ ）

A． B． C． D．
10．如图1，点P是菱形ABCD的对角线AC上一动点，E是边BC的中点，连接PB，PE．设点A和点P之间的距离为x，，图2是点P从点A运动到点C时，y随x变化的关系图象，则图象最低点的纵坐标是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题（共4小题，每小题5分，共20分）
11．若分式有意义，则x的取值范围是 ．
12．比较大小： ．
13．在不透明的口袋中装有2个黑球和2个白球，除颜色外都相同，从中随机取出一个后放回，再随机取出一个，则取出的两个球恰好都是黑球的概率为 ．
14．如图，在正方形中，点E为边上的一个动点，连接，将沿折叠得到，交于点P．
当时， ；
当E为的中点时， ．
三、解答题（共9题，共90分）
15．（8分）解方程：
16．（8分）如图，的顶点坐标分别为，，．

(1)将绕点顺时针旋转，请画出旋转后的；
(2)将平移后得到，若点的对应点坐标为，请画出平移后的；若内部一点的坐标为，则点的对应点的坐标是___________；
(3)若与关于点中心对称，直接写出点的坐标___________．
17．（8分）某校九年级举行“书香润心灵，阅读促成长”活动．学校要求各班班长根据学生阅读需求，统计需购的书籍类型和数量，如表所示．
文学类（本/人） 科普类（本/人）
九（1）班 3 2
九（2）班 4 1
共计（本） 265 110
请你根据以上信息，求九（1）班和九（2）班各有多少人．
18．（8分）“字母表示数”被后人称为从“算术”到“代数”的一次飞跃，用字母表示数可以从特殊到一般的表达数学规律．请观察下列关于正整数的平方拆分的等式：
第1个等式：；第2个等式：；
第3个等式：；第4个等式：；
(1)请用此方法拆分．
(2)请你用上面的方法归纳一般结论，用含n（n为正整数）的等式表示，并借助运算证明这个结论是正确的．
(3)嘉嘉尝试借助图形的面积验证（2）中的结论．思路是将边长为n的正方形（如图）进行适当分割，请你帮助他完成画图，并在图中标出相应线段的长度．
19．（10分）图①、图②分别是某种型号跑步机的实物图与示意图．已知跑步机手柄与地面平行，踏板长为 ，与地面的夹角，支架长为 ，，求跑步机手柄所在直线与地面之间的距离．结果精确到．参考数据：，，，，，，

20．（10分）如图，为的外接圆，，垂足为点D，直径平分，交于点F，连接．
(1)求证：；
(2)若，，求的值．
21．（12分）某校九年级学生进行了体育中考模拟测试，现任意抽取该校九年级部分男生、女生的长跑测试成绩（满分为分），将数据整理得到如下统计表和统计图：
九年级男生长跑测试成绩统计表
分值 人数 百分比

(1)写出男、女学生测试成绩的众数；
(2)分别求出男、女学生测试成绩的满分率（）：
(3)为了更好地提高长跑测试成绩，请你结合相关的统计量，对该校后期长跑备考提出一条合理化的建议．
22．（12分）如图，四边形是平行四边形，，，是的中点，是延长线上的一点.

(1)若，求证：；
(2)在（1）的条件下，若的延长线与交于点，连接，试判断四边形是否为平行四边形？并证明你的结论（请先补全图形，再解答）；
(3)在（1）的条件下，若的延长线交于点，连接与．试说明．
23．（14分）在平面直角坐标系中，抛物线（为常数）与轴交于点，其对称轴与轴交于点，若抛物线的对称轴为直线．
(1)求的值；
(2)若点是抛物线上不与点重合的点，且，求证：点，，三点共线；
(3)点，是抛物线上的两点，记抛物线在，之间的部分为图象（包含，两点），图象上任意两点纵坐标差的最大值记为，若，求的值．
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参考答案
1．B
【分析】直接根据绝对值的意义进行求解即可．
【详解】由；
故选B．
【点睛】本题主要考查绝对值的意义，正确理解绝对值的意义是解题的关键．
2．C
【分析】将一个数表示成的形式，其中，为整数，这种记数方法叫做科学记数法，据此即可得出答案．本题考查科学记数法表示较小的数，科学记数法是基础且重要知识点，必须熟练掌握．
【详解】解：依题意，数据384400用科学记数法表示为
故选：C
3．C
【分析】根据三视图的定义逐个判断即可．
【详解】
解：根据主视图可排除选项A、B，
根据左视图可排除选项D，
再根据俯视图可判断选项C符合题意，
故选：C．
【点睛】本题考查由三视图还原几何体，解答的关键是理解三视图的定义：从正面看到的视图是主视图；从左面看到的视图是左视图；从上面看到的视图是俯视图．注意看得到的棱画实线，看不到的棱画虚线．
4．D
【分析】根据同底数幂的乘法除法法则和幂的乘方判断即可.
【详解】，故A错误；
，故B错误；
，故C错误；
，故D正确.
故本题答案选D
【点睛】本题考查了同底数幂的乘除法和幂的乘方，解决本题的关键，是熟练掌握有理数乘方计算的法则.
5．B
【分析】本题主要考查了弧长公式，设该圆的半径为，根据弧长公式计算，即可求解．
【详解】解：设该圆的半径为，根据题意得：
，
解得：，
即该圆的半径为．
故选：B
6．B
【分析】根据反比例函数与一次函数的交点问题进行解答即可．本题考查的是反比例函数与一次函数的交点问题，熟知反比例函数与一次函数的图象与系数的关系是解答此题的关键．
【详解】解：正比例函数的图象与反比例函数的图象有公共点，
、同号，
．
故选：B．
7．B
【分析】根据矩形的性质得到，由勾股定理得到，利用等积法求出的值即可．
【详解】解：∵四边形是矩形，，，
∴，
∴，
∵，
即，
解得．
故选：B
【点睛】此题考查了矩形的性质、勾股定理等知识，熟练掌握矩形的性质和勾股定理是解题的关键．
8．A
【分析】根据不等式的性质即可判断.
【详解】∵a＞b，
A. ﹣3a＜﹣3b，正确；
B. a﹣3＞b﹣3，故错误；
C.∵3-a＞3-a,
∴，故错误；
D. a+3b＞4b，故错误.
故选A.
【点睛】此题主要考查不等式的性质，解题的关键是熟知不等式的性质.
9．D
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，平行线的判定，等腰三角形的判定与性质．证出可判定A选项成立，证明可判定B选项成立，证明可得，可证，即可判定C选项成立，D选项不一定成立．
【详解】解：平分，，
，
，
，
，
，
，
，故A选项成立；
∵E为边的中点，
，
，
，
，故B选项成立；
，，，
，
，
，，
，
，故C选项成立；
没有条件证出，故D选项不一定成立．
故选：D．
10．B
【分析】根据题意得：点P与点C重合时， ，从而得到，连接BD交AC于点O，连接DE，PD，根据菱形的性质可得．从而得到当E，P，D三点共线时，的值最小，即的值最小，即．然后过点E作于点F，可得△BEF∽△BCO，从而得到，进而得到．再由勾股定理，即可求解．
【详解】解：根据题意得：点P与点C重合时， ，∵E是BC的中点，
∴，
连接BD交AC于点O，连接DE，PD，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC是BD的垂直平分线，
∴．
∴．
∴当E，P，D三点共线时，的值最小，即的值最小，即．
过点E作于点F，
∵四边形ABCD是菱形，
∴，
∴，EF∥AC，
∴△BEF∽△BCO，
∴，
∵E是BC的中点，
∴，
∴．
∴ ．
∴图象最低点的纵坐标是．
故选：B
【点睛】本题主要考查了菱形的性质，相似三角形的判定和性质，线段垂直平分线的性质，勾股定理等知识，利用数形结合思想解答是解题的关键．
11．x≠0且x≠1
【分析】由分式有意义的条件：分母不为零，列不等式解不等式，从而可得答案．
【详解】解：由题意得：
且
且
故答案为：且
【点睛】本题考查的是分式有意义的条件，掌握分式有意义的条件是解题的关键．
12．
【分析】本题考查了实数的大小比较，根据，，比较的大小即可．
【详解】解：∵，，
又，
∴，
∴
故答案为：
13．/
【分析】画出树状图，共有16种可能的结果，其中取出的两个球恰好都是黑球的结果有4种，再由概率公式求解即可．
【详解】解：画树状图如下：
，
共有16种等可能的结果数，其中取出的两个球恰好都是黑球的结果有4种，
取出的两个球恰好都是黑球的概率为，
故答案为：．
【点睛】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果，再从中选出符合事件或的结果数目，然后利用概率公式求事件或的概率．
14． /度 /0.75
【分析】
当时，由正方形的性质得到，由折叠的性质可得，则可得，再利用三角形内角和定理即可求出；
当E为的中点时，取中点T，连接，过点B作于G，过点P作于H，设，则，利用勾股定理求出，则，证明，求出，则，证明，进而证明，得到，设，证明是等腰直角三角形，得到，再证明，即可得到．
【详解】解：∵四边形是正方形，
∴，
当时，由折叠的性质可得 ，
∴，
∴；
如图所示，取中点T，连接，过点B作于G，过点P作于H，设，则，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，即，
∴，
∴，
由折叠的性质可得，
∴，
∵，
∴，
∴，
又∵ ，
∴，
∴，
设，
∵，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∵，
∴，
∴，
故答案为：；．
【点睛】本题主要考查了正方形与折叠问题，勾股定理，相似三角形的性质与判定，平行线分线段成比例定理，等边对等角等等，正确作出辅助线构造相似三角形是解题的关键．
15．，
【分析】先移项，然后利用因式分解法解一元二次方程，即可求出答案．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∴，．
【点睛】本题考查了解一元二次方程，解题的关键是掌握解一元二次方程的方法进行解题．
16．(1)见解析
(2)画图见解析；
(3)
【分析】（1）根据旋转的性质即可将绕点顺时针旋转，画出旋转后的；
（2）根据平移性质即可将平移后得到，根据点对应点坐标为，即可画出平移后的，根据平移性质即可得点的对应点的坐标；
（3）根据中心对称的性质，连接对应点，交点即为点，进而写出点的坐标．
【详解】（1）解：如图，即为所求；

（2）如图，即为所求；
根据图形的平移可得平移规律为向左平移个单位，向下平移个单位，则；

故答案为：；
（3）如图，点即为所求；

根据旋转的性质知：，且，
根据平移的性质知：，且，
∴，且，
四边形是平行四边形，
点是的中点，
坐标为，坐标为，
．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了作图-旋转变换，作图-平移变换，中心对称的性质，平行四边形的性质与判定，解决本题的关键是作图时要先找到图形的关键点，分别把这几个关键点按照平移的方向和距离确定对应点后，再顺次连接对应点即可得到平移后的图形．也考查了平行四边形的判定和性质．
17．九（1）班有35人，九（2）班有40人
【分析】本题考查二元一次方程组的应用，理解题意，根据表格数据列方程组并正确求解即可．
【详解】解：设九（1）班有人，九（2）班有人
由题意得：解得：
答：九（1）班有35人，九（2）班有40人．
18．(1)
(2)，证明见解析
(3)见解析
【分析】本题主要考查了数字规律型问题，还考查了整式的混合运算和乘法公式．熟练掌握等式所反映的规律，是解题的关键．
（1）依据材料中等式的规律解答即可；
（2）根据依据材料中发现等式的规律写出含 n的等式证明成立即可．
（3）根据题意画出图形即可．
【详解】（1）第1个等式：；
第2个等式：；
第3个等式：；
第4个等式：；
∴第2023个等式：
（2）第1个等式：；
第2个等式：；
第3个等式：；
第4个等式：；
则含n的等式是．
理由：∵右边，
左边，
∴左边＝右边，
∴成立．
（3）如图，满足要求，
19．跑步机手柄所在直线与地面之间的距离约为
【分析】本题考查了解直角三角形的应用；过点作交所在的直线于点，延长交于点，解，求出，在中求得，根据，即可求解．
【详解】解：过点作交所在的直线于点，延长交于点，

，
由题意可得：，
，
∴∠DGF=90°，
与地面的夹角，
，
，
在中，，
，
在中，，
，
，
答：跑步机手柄所在直线与地面之间的距离约为．
20．(1)见解析
(2)
【分析】（1）根据圆心角定理得到，根据等角的余角相等证明结论；
（2）过点B作，根据勾股定理求出，根据三角形面积公式求出，根据勾股定理计算即可．
【详解】（1）直径平分，
，
，
，

，
，
．
（2）过点B作，
在中，根据勾股定理得


在中，根据勾股定理得

，

．
【点睛】本题考查的是三角形的外接圆和勾股定理，掌握圆周角定理，等腰三角形的知识是解题的关键．
21．(1)男生测试成绩的众数为分，女生测试成绩的众数为分；
(2)男生测试成绩的满分率为，女生测试成绩的满分率为；
(3)应加强分、分同学的训练，尽可能最后考试中取得分，同时对低分的同学也提出要求，尽可能提高自己长跑的成绩．
【分析】（）根据众数的定义即可求解；
（）求出男、女学生测试人数，根据满分率的计算方法计算即可求解；
（）根据男、女学生测试成绩，提出一条合理化的建议即可；
本题考查了频数分布表和频数分布直方图，众数，根据频数分布表和频数分布直方图，看懂频数分布表和频数分布直方图是解题的关键．
【详解】（1）解：由统计表和统计图可知，男生测试成绩的众数为分，女生测试成绩的众数为分；
（2）解：男生人数为人，
∴男生测试成绩的满分率；
女生人数为人，
∴女生测试成绩的满分率；
（3）答：应加强分、分同学的训练，尽可能最后考试中取得分，同时对低分的同学也提出要求，尽可能提高自己长跑的成绩．（合理即可）
22．(1)见解析
(2)四边形为平行四边形，理由见解析
(3)见解析
【分析】本题考查了平行四边形的性质和判定，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，
（1）根据平行四边形的性质得到，连接，根据全等三角形的判定和性质即可得到结论；
（2）根据全等三角形的性质得到，等量代换得到，于是得到，根据平行四边形的判定定理即可得到四边形为平行四边形；
（3）由（1）知，根据三角形的中位线的性质得到，由此即可得到结论．
【详解】（1）证明：四边形是平行四边形，
连结
是的中点，
，
，
．
，
在和中，
．
（2）解：四边形为平行四边形，理由如下：
补全图形

由（1）知
，
，
四边形为平行四边形，
（3）解：由（1）知，
是的中点，
四边形是平行四边形，
，
，
，
即点是的中点，
在与中，，，

23．(1)1
(2)见解析
(3)0或3
【分析】本题主要考查二次函数的图像和性质，熟练掌握二次函数的图像和性质是解题的关键．
（1）根据对称轴即可解得；
（2）根据题意求出直线的解析式为，求出即可证明；
（3）由题意得出，，，分当，均在对称轴左侧；当点，在对称轴两侧；当，均在对称轴的右侧三种情况分析即可．
【详解】（1）解：抛物线（为常数）的对称轴为直线，
，
解得；
（2）证明：由（1）知，
，
抛物线与轴交于点，对称轴与轴交于点，
，，
设经过点，的直线的解析式为，将其坐标代入，得
，解得，
直线的解析式为，
点是抛物线上不与点重合的点，
，解得或，
，
，
将代入直线，得当时，，
点在直线上，即点，，三点共线；
（3）解：由（1）知，
，
点，是抛物线上的两点，
，，
抛物线的开口向上，对称轴为，
分以下三种情况：
①当，均在对称轴左侧，即时，随的增大而减小，此时点的纵坐标最大，点的纵坐标最小，
，解得；
②当点，在对称轴两侧，则，即，此时图象上的最低点是抛物线的顶点，其纵坐标为2，
，
当点与对称轴的距离小于点与对称轴的距离时，则，即，
，此时点的纵坐标最大，
，
解得（不符合题意，舍去）或（不符合题意，舍去）；
当点与对称轴的距离大于点与对称轴的距离时，
则，
即，
，此时点的纵坐标最大，
，
解得（不符合题意，舍去）或（不符合题意，舍去）；
③当，均在对称轴的右侧，则，即时，随的增大而增大，
此时点的纵坐标最小，点的纵坐标最大，
，解得；
综上所述，的值为0或3．

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