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相交线与平行线——猪蹄模型
一、图解模型
【证明】如上图所示，过点 O作OE//AB
∵AB∥CD,∴OE∥CD,
∴∠B=∠1,∠C=∠2,
∴∠1+∠2=∠B+∠C，
即∠BOC=∠B＋∠C.
二、模型拓展
锯齿模型：如果两平行线间至少存在两个拐点，且拐点方向不一致时，如图所示，构成“锯齿”状，我们便将此类模型，叫做锯齿模型。
过拐点“E”、“F”分别作直线AB的平行线，可以发现相邻两条平行线间均为内错角。根据内错角相等，得到结论：
所有开口向左的角的度数和等于所有开口向右的角的度数和，即∠B+∠F=∠E+∠D。 如果两平行线间有多个拐点，同样适用:
∠E +∠E +∠E +…+∠E =∠B+∠F +∠F +…+∠Fn-1+∠C.
【例1】如图，已知，，，则的度数为　　
A． B． C． D．
【答案】
【解析】作，
，
，
，
，，
，，
，，
，
故选．
【例2】如图，，直线分别交，于点，，且满足，，则的度数为　　
A． B． C． D．不确定
【答案】
【解析】过点作，
，
，
，
，
，
，
，
故选．
【例3】已知，在，内有一条折线．
（1）如图①，过点作，试说明；
（2）如图②，已知的平分线与的平分线相交于点，运用（1）中结论探究与的数量关系，并说明理由．
【拓展应用】如图②，若，，，则的度数为 　　（用含，的代数式表示）．
【解析】（1），
，
，
，
，
，
；
（2），
理由：由（1）可得：，
，
平分，平分，
，，
，
，
即．
【拓展应用】由（1）可得：，
，
，，
，
，
，
故答案为：．
【变式1】如图，，平分，平分．若，则的度数是　　
A． B． C． D．
【答案】
【解析】如图：过点作，
，
，
，
，
，
，
同理可得：，
平分，平分，
，，
，，
，
，
，
，
故选．
【变式2】如图是路灯维护工程车工作时的示意图，工作篮底部与支撑平台平行．当，时，的度数为　　
A． B． C． D．
【答案】
【解析】如图：延长与交于点，
，
，
是的一个外角，
，
，
故选．
【变式3】如图，与交于点，点在直线上，，，，下列四个结论：①；②；③；④．其中正确的结论是　　
A．①②③ B．②④ C．①②④ D．①④
【答案】
【解析】，
，
①正确；
过点作，
，
，
，，
设，，则，，
，
，
②正确；
，
，
，
③错误；
，
④正确．
综上所述，正确答案为①②④．
故选．
【变式4】（1）【问题解决】如图1，已知，，，求的度数；
（2）【问题迁移】如图2，若，点在的上方，则，，之间有何数量关系？并说明理由；
（3）【联想拓展】如图3，在（2）的条件下，已知，的平分线和的平分线交于点，求的度数（结果用含的式子表示）．
【解析】（1）过点作，
，
，
，
，
，
的度数为；
（2），
理由：过点作，
，
，
，
，
，
；
（3）平分，平分，
，，
由（2）可得：，
，
的度数为．
1．如图，已知，，，那么等于　　
A． B． C． D．
【答案】
【解析】过点作，
，
；
，，
．
故选．
2．李四在学行线”的知识后，将手中的等腰直角三角形摆放在直尺上，如图所示，则与的数量关系是　　
A． B． C． D．
【答案】
【解析】如图：过点作，
，
，
，
，
，
，
，，
，
故选．
3．如图，若，，那么　　
A． B． C． D．
【答案】
【解析】，，
，．
．
故选．
4．如图，将一块含有角的直角三角板的两个顶点放在两条平行的直线，上，如果，那么的度数为　　
A． B． C． D．
【答案】
【解析】如图：过点作，
，
，
，
，
，
，
故选．
5．如图，已知，点、点是，之间的点，平分，平分，若，则的度数是　　
A． B． C． D．
【答案】
【解析】过点作，
，
，
，
，
，
，
同理可得：，
平分，平分，
，，
，
故选．
6．如图，点在的边的延长线上，，若，，则的度数为　　
A． B． C． D．
【答案】
【解析】，，
，
，，
，
故选．
7．如图，，为上方一点，，分别平分，．若，则的度数为　　
A． B． C． D．
【答案】
【解析】如图：延长交于点，
，
，，
，分别平分，，
，，
是的一个外角，
，
，
，
是的一个外角，
，
，
，
，
，
，
解得：，
故选．
8．如图，，为直线、之间一点，的平分线与邻补角的角平分线所在直线交于点，则与之间的关系为　　
A． B． C． D．
【答案】
【解析】如图：过点作，
，
，
，
，
，
，
，
，
是的一个外角，
，
，
，
平分，平分，
，，
，
，
，
故选．
9．如图，直线，于点．若，则的度数是 　　．
【答案】．
【解析】延长交于点，
，
，
，
，
是的一个外角，
，
故答案为：．
10．如图，已知直线，点在和之间，连接，，若，，则
　　．
【答案】20．
【解析】如图，过点作直线，
，
，
，，
，
，
．
故答案为：20．
11．如图，，为的平分线，为的平分线，，，则的度数为 　　．
【答案】57．
【解析】过点作，
，
，
为的平分线，为的平分线，
，，
，
，
，
，
，
，
故答案为：57．
12．如图，已知，点，分别在，上，点，在两条平行线，之间，与的平分线交于点．若，，则　　．
【答案】．
【解析】过点，，作，，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，，
，
平分，平分，
，，
，
，
，
，
，，
，
即，
故答案为：．
13．如图，，点，分别在，上，点在两条平行线之间，与的平分线相交于点，若，则　　度．（用含的式子表示）
【答案】．
【解析】如图：过点作，
，
，
，
，
，
，
同理可得：，
平分，平分，
，，
，
故答案为：．
14．如图，，点，分别是，上的点，点位于与之间且在的右侧．
（1）若，则　　；
（2）若，与的角平分线交于点，则的度数为　　．（用含的式子表示）
【答案】（1）；
（2）．
【解析】（1）过点作，
，
，
，，
，
，
，
．
故答案为：；
（2）过点作，
，
，
，，
，
与的角平分找交于点，
，，
，
由（1）得，，
．
故答案为：．
15．已知，点在连线的右侧，与的角平分线相交于点，则：
①；
②；
③若，则；
④若，则；
以上说法正确的是 　　．
【答案】①②④．
【解析】解：如图，作，
，
，
，，
，即，故①正确；
如图，作，
，
，
，，
，
即，故②正确；
若，则，
平分，平分，
，
，故③不正确；
同理可证：，
若，
则，
，，
，
，
，
，故④正确；
故答案为：①②④．
16．课题学行线问题中的转化思想．
【阅读理解】“两条平行线被第三条直线所截”是平行线中的一个重要的“基本图形”．与平行线有关的角都存在着这个“基本图形”中，且都分布在“第三条直线”的两旁．当发现题目的图形“不完整”时要添加适当的辅助线将其补充完整．将“非基本图形”转化为“基本图形”这体现了转化思想．有这样一道典型问题：
例题：如图（1），已知，点在直线、之间，探究与、之间的关系．
解：过点作．
，，
，
，，
，
．
【学以致用】
（1）当，时，　　．
（2）①如图（2），已知，若，，求出的度数．
②如图（3），在①的条件下，若、分别平分和，求的度数．
【解析】（1），
又，，
，
故答案为：；
（2）①过点作，如图：
，，
，
，，
又，，
，，
，
答：的度为；
②，平分，
，
，平分，
，
由（1）问可知：，
答：的度数为：．
17．如图1，点是直线上一点，是直线上一点，是直线、之间的一点．．
（1）求证：；
（2）如图2，作，与的角平分线交于点，若，求的度数；
（3）如图3，平分，平分，，已知，试探究的值，若不变求其值，若变化说明理由．
【解析】（1）证明：过点作，
，
，，
，
，
；
（2）解：平分，
，
，
，
，
，
，
，
，
的度数为；
（3）解：的值不变，
理由：平分，平分，
，，
，
，
，
，，
，
，
的值为.
18．已知．
（1）如图1，若垂足为点，，则　　．
（2）如图2，垂足为点，过点作于点，说明．
（3）如图3，、的角平分线交于点，若，则　　（用含的式子表示）．
【解析】（1）过点作，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
故答案为：；
（2），
，
，
由（1）可得：，
；
（3）由（1）可得：，，
平分，平分，
，，
，
故答案为：．
19．综合运用
（1）如图1，，点在直线，之间，连接，．若，，求的度数．
（2）如图2，，，交于点，试探究，，之间的数量关系，并说明理由．
（3）如图3，，，分别平分，，且，所在直线交于点，过点作，若，求的度数．
【解析】（1）过点作，
，
，
，
，
，
即，
，，
，
的度数为；
（2），
理由：延长到，
由（1）得：，
，
，
；
（3）延长交于点，
由（2）可得：，
，
，
，分别平分，，
，，
，
，
是的一个外角，
，
，
，
的度数为．
20．综合与实践
问题情景：图1是一种弹弓模型，在支架两端挂上弹力绳，拉动弹力绳可形成如图2所示的图形，弹弓支架的两边．
猜想与证明：（1）如图2，当点在，之间时，请写出，与之间的数量关系，并说明理由．
问题解决：（2）如图3，点在的上方，且，过点作直线交直线于点，使，过点作的平行线交的延长线于点，求证：平分．
【解析】（1）解：，
理由：过点作，
，
，
，
，
，
；
（2）证明：延长交于点，
，
，
，
，
，
，
平分，
，
，
，
，
，
，
，
平分．
21．如图1，点是直线上一点，是直线上一点，是直线、之间的一点，．
（1）求证：；
（2）如图2，作，与的角平分线交于点．若，求的度数；
（3）如图3，平分，平分，，已知，则　　（直接写出结果）
【解析】（1）证明：过点作，
，
，，
，
，
．
（2）平分，
，
，
，
，
由（1）可知，
，
，
．
答：的度数为．
（3）平分，平分，
，，
，
，
，
，
，
，
．
故答案为：．
22．【探索发现】
（1）已知：如图1，，点在，之间，连接，．证明：．
【深入思考】
（2）如图2，点，分别是射线，上一点，点是线段上一点，连接并延长，交直线于点，连接，，若，求证：；
【拓展延伸】
如图3，在（2）的条件下，，平分，平分，与交点，若，，．求的度数．
【解析】证明：（1）如图：过点作，
，
，
，，
，即；
（2）证明：在三角形中，，
，
，
，
，
；
（3）解：平分，，
，
设，
，
，
在（2）的条件下，，
，
解得：，
，
设，
平分，
，
，
，
，
，
，
同理可得：，
即，
解得：，
．
23．（1）发现问题：如图1，，试写出，，之间的数量关系．
（2）解决问题：已知，与两个角的角平分线相交于点．
①如图2，若，求的度数．
②如图3，若，试写出与之间的数量关系并证明你的结论．
③若，请直接用含有，的代数式表示出
【解析】（1）过点作，
，
，
，
，
，
；
（2）①过点作，
，
，
，
，
，
，
由（1）可得：，
，
，
平分，平分，
，，
，
的度数为；
②，
理由：由（1）可得：，
，
由①可得：，
由①可得：，，
，
，
，
即；
③，
，
即：．中小学教育资源及组卷应用平台
相交线与平行线——猪蹄模型
一、图解模型
【证明】如上图所示，过点 O作OE//AB
∵AB∥CD,∴OE∥CD,
∴∠B=∠1,∠C=∠2,
∴∠1+∠2=∠B+∠C，
即∠BOC=∠B＋∠C.
二、模型拓展
锯齿模型：如果两平行线间至少存在两个拐点，且拐点方向不一致时，如图所示，构成“锯齿”状，我们便将此类模型，叫做锯齿模型。
过拐点“E”、“F”分别作直线AB的平行线，可以发现相邻两条平行线间均为内错角。根据内错角相等，得到结论：
所有开口向左的角的度数和等于所有开口向右的角的度数和，即∠B+∠F=∠E+∠D。 如果两平行线间有多个拐点，同样适用:
∠E +∠E +∠E +…+∠E =∠B+∠F +∠F +…+∠Fn-1+∠C.
【例1】如图，已知，，，则的度数为　　
A． B． C． D．
【例2】如图，，直线分别交，于点，，且满足，，则的度数为　　
A． B． C． D．不确定
【例3】已知，在，内有一条折线．
（1）如图①，过点作，试说明；
（2）如图②，已知的平分线与的平分线相交于点，运用（1）中结论探究与的数量关系，并说明理由．
【拓展应用】如图②，若，，，则的度数为 　　（用含，的代数式表示）．
【变式1】如图，，平分，平分．若，则的度数是　　
A． B． C． D．
【变式2】如图是路灯维护工程车工作时的示意图，工作篮底部与支撑平台平行．当，时，的度数为　　
A． B． C． D．
【变式3】如图，与交于点，点在直线上，，，，下列四个结论：①；②；③；④．其中正确的结论是　　
A．①②③ B．②④ C．①②④ D．①④
【变式4】（1）【问题解决】如图1，已知，，，求的度数；
（2）【问题迁移】如图2，若，点在的上方，则，，之间有何数量关系？并说明理由；
（3）【联想拓展】如图3，在（2）的条件下，已知，的平分线和的平分线交于点，求的度数（结果用含的式子表示）．
1．如图，已知，，，那么等于　　
A． B． C． D．
2．李四在学行线”的知识后，将手中的等腰直角三角形摆放在直尺上，如图所示，则与的数量关系是　　
A． B． C． D．
3．如图，若，，那么　　
A． B． C． D．
4．如图，将一块含有角的直角三角板的两个顶点放在两条平行的直线，上，如果，那么的度数为　　
A． B． C． D．
5．如图，已知，点、点是，之间的点，平分，平分，若，则的度数是　　
A． B． C． D．
6．如图，点在的边的延长线上，，若，，则的度数为　　
A． B． C． D．
7．如图，，为上方一点，，分别平分，．若，则的度数为　　
A． B． C． D．
8．如图，，为直线、之间一点，的平分线与邻补角的角平分线所在直线交于点，则与之间的关系为　　
A． B． C． D．
9．如图，直线，于点．若，则的度数是 　　．
10．如图，已知直线，点在和之间，连接，，若，，则
　　．
11．如图，，为的平分线，为的平分线，，，则的度数为 　　．
12．如图，已知，点，分别在，上，点，在两条平行线，之间，与的平分线交于点．若，，则　　．
13．如图，，点，分别在，上，点在两条平行线之间，与的平分线相交于点，若，则　　度．（用含的式子表示）
14．如图，，点，分别是，上的点，点位于与之间且在的右侧．
（1）若，则　　；
（2）若，与的角平分线交于点，则的度数为　　．（用含的式子表示）
15．已知，点在连线的右侧，与的角平分线相交于点，则：
①；
②；
③若，则；
④若，则；
以上说法正确的是 　　．
16．课题学行线问题中的转化思想．
【阅读理解】“两条平行线被第三条直线所截”是平行线中的一个重要的“基本图形”．与平行线有关的角都存在着这个“基本图形”中，且都分布在“第三条直线”的两旁．当发现题目的图形“不完整”时要添加适当的辅助线将其补充完整．将“非基本图形”转化为“基本图形”这体现了转化思想．有这样一道典型问题：
例题：如图（1），已知，点在直线、之间，探究与、之间的关系．
解：过点作．
，，
，
，，
，
．
【学以致用】
（1）当，时，　　．
（2）①如图（2），已知，若，，求出的度数．
②如图（3），在①的条件下，若、分别平分和，求的度数．
17．如图1，点是直线上一点，是直线上一点，是直线、之间的一点．．
（1）求证：；
（2）如图2，作，与的角平分线交于点，若，求的度数；
（3）如图3，平分，平分，，已知，试探究的值，若不变求其值，若变化说明理由．
18．已知．
（1）如图1，若垂足为点，，则　　．
（2）如图2，垂足为点，过点作于点，说明．
（3）如图3，、的角平分线交于点，若，则　　（用含的式子表示）．
19．综合运用
（1）如图1，，点在直线，之间，连接，．若，，求的度数．
（2）如图2，，，交于点，试探究，，之间的数量关系，并说明理由．
（3）如图3，，，分别平分，，且，所在直线交于点，过点作，若，求的度数．
20．综合与实践
问题情景：图1是一种弹弓模型，在支架两端挂上弹力绳，拉动弹力绳可形成如图2所示的图形，弹弓支架的两边．
猜想与证明：（1）如图2，当点在，之间时，请写出，与之间的数量关系，并说明理由．
问题解决：（2）如图3，点在的上方，且，过点作直线交直线于点，使，过点作的平行线交的延长线于点，求证：平分．
21．如图1，点是直线上一点，是直线上一点，是直线、之间的一点，．
（1）求证：；
（2）如图2，作，与的角平分线交于点．若，求的度数；
（3）如图3，平分，平分，，已知，则　　（直接写出结果）
22．【探索发现】
（1）已知：如图1，，点在，之间，连接，．证明：．
【深入思考】
（2）如图2，点，分别是射线，上一点，点是线段上一点，连接并延长，交直线于点，连接，，若，求证：；
【拓展延伸】
如图3，在（2）的条件下，，平分，平分，与交点，若，，．求的度数．
23．（1）发现问题：如图1，，试写出，，之间的数量关系．
（2）解决问题：已知，与两个角的角平分线相交于点．
①如图2，若，求的度数．
②如图3，若，试写出与之间的数量关系并证明你的结论．
③若，请直接用含有，的代数式表示出

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