资源简介

糖果大挑战
知识储备：抽屉原理
皮皮的发现
老师常说，数学来源于生活,存在于生活,应用于生活。在假期中，我对糖果“情有独钟”，看到妈妈把不同种类的糖果分别放入不同的盘子，突然我想到了这跟我们学过的鸽巢问题很像，那我们一起那糖果做游戏，来玩一玩吧！
小探究，大发现
小试牛刀（新手上路）：
1.操作活动
（1）活动材料：一堆糖果、盘子、白纸、笔
图 1-1 “糖果大挑战”活动材料
操作步骤：
①想一想：把16颗糖果放进3个盘子里
②猜一猜：较多一盘至少有几颗？
我的猜想：
③验一验：
图1-2 “糖果大挑战”验证图
2.数据分析
把题目中的16颗糖果看成“鸽”，3个盘子就是“巢”，问题就变成了——16个各自飞进3个巢：16÷3=5（份）……1（颗） 5+1=6（颗）
思考发现：你能正确的找到题目中的“鸽”、“巢”是什么了吗？
3.归纳整理
原来解决这一类的问题，我们可以把题目变成学过的“鸽巢问题”，找出相应的“鸽”、“巢”是什么来解决。
刨根问底（进阶挑战）:
盘子里有100颗糖果，每次可以拿1-3颗糖果，需要拿多少次，就可以保证其中有5次拿的糖果一样多？
1.知识回顾 还记得鸽巢问题我们是怎么解决的吗？一起回顾一下吧！
找到题目中相应的“鸽”、“巢”
鸽数÷巢数=商数……余数 至少数=商数+1
2.操作活动
依据题目意思拿取糖果的情况有1颗、2颗、3颗三种，而我们要求的是拿几次保证其中有5次拿的糖果一样多。
图2-1 “糖果大挑战”活动材料
思考发现
思考1：题目中的“鸽”、“巢”分别是什么？
思思：题目中给了要拿5次，说明是至少有5次拿的糖果一样多。这个信息是之前我们要求的结果。
皮皮：没错，我还发现这里的“巢”应该是3种拿取糖果的情况。
思思：那么题目就变成了告诉我们至少数和巢数，求鸽数。
皮皮：鸽数÷巢数=商数……余数，至少数=商数+1。把数据代入就应该是3×4+1=13（次）。
小艾老师：你们知道3×4+1=13（次）的含义吗？
要使其中有5次拿的糖果一样多，我们就要考虑最差的情况，当每种均出现4次后，不论下一次拿取几颗，这种情况就出现了第5次了。
思考2：想一想这个题目和前一题有没有什么异同？
思思：第一题是告诉我们鸽数和巢数，让我们求至少数；第二题是告诉我们巢数和至少数，让我们求鸽数。
皮皮：我发现：第一题是考虑尽量平均分，第二题是考虑了最差的情况。
4.归纳整理
解决鸽巢问题时，我们要先分析寻找题目中的鸽数、巢数和至少数。如果求至少数就要考虑尽量平均分，如果是求鸽数就要考虑最差的情况。
知识链接：
抽屉原理”又称“鸽笼原理”，最先是由19世纪的德国数学家狄里克雷提出来的,所以又称“狄里克雷原理”，这一原理在解决实际问题中有着广泛的应用。“抽屉 原理”的应用是千变万化的，用它可以解决许多有趣的问题，并且常常能得到一些令人惊异的结果。
抽屉原理：把多于kn+1个东西任意分放进n个空抽屉（k是正整数），那么一定有一个抽屉中放进了至少k+1个东西。
脑洞大开（追根溯源）:
1.操作活动 如果盘子里有红黄蓝三种不同颜色的糖果共100颗，每次可以拿任意3颗糖果，需要拿多少次，就可以保证其中有5次拿的糖果一样多？
图3-1 “糖果大挑战”活动材料
2.思考发现
小艾老师：这题的鸽数、巢数和至少数分别是什么呢？
思思：巢数应该是10种拿法。
图3-2 “糖果大挑战”推导图
皮皮：还知道了至少数是5次，所以应该是：10×4+1=41（次）
3.归纳整理
在解决鸽巢问题是，我们一定要先分析清楚题目中的鸽数、巢数和至少数。
（插入微课）
小练习，大提升
1.把9条金鱼任意放在4个鱼缸里面，较多的那缸至少有几条鱼？
2.舞蹈小组有13名学生，至少有几名学生的生日在同一个月？
3.52张扑克，任意抽取几张才能保证其中有2种花色？任意抽取几张才能保证其中有3种花色？
4.将扑克牌2、3、4、5、6各4张全部抽出，打乱顺序，问：至少要抽出几张，才能保证有一对数字相同的扑克牌？
5.五年级数学小组共有20名同学，他们在数学小组中都有一些朋友，请你说明：至少有两名同学，他们的朋友人数一样多．
6.篮子里有苹果、梨、桃和桔子，现有81 个小朋友，如果每个小朋友都从中任意拿两个水果，那么至少有多少个小朋友拿的水果是相同的？
参考答案：
将9条金鱼看作9颗鸽，将4个鱼缸看成4个巢。9÷4=2（条）……1（条），2+1=3（条）。较多的那缸至少有3条鱼。
2.将13名学生看作13颗鸽，将12个月各看成12个巢。13÷12=1（名）……1（名），1+1=2（名）。至少有2名学生的生日在同一个月。
3.把相同的花色的扑克放到一起，可以发现每种花色各有13张。要保证其中有2种花色，就要抽13+1=14（张）。要保证其中有2种花色，就要抽13+13+1=27（张）。
4. 把2、3、4、5、6这5个数字当作5个巢。先抽取2、3、4、5、6各一张，不管再抽取到一张什么牌，一定有一对数字相同的扑克牌。5+1=6（次），至少要抽6张。
5.数学小组共有20名同学，因此每个同学最多有19个朋友；又由于他们都有朋友，所以每个同学至少有1个朋友。因此，这20名同学中，每个同学的朋友数只有19种可能：1，2，3，……，19。把这20名同学看作20个鸽，把同学的朋友数目看作19个巢，根据抽屉原理，至少有2名同学，他们的朋友人数一样多。
6.首先应弄清不同的水果搭配有多少种。两个水果是相同的有4种，两个水果不同有6种：苹果和梨、苹果和桃、苹果和桔子、梨和桃、梨和桔子、桃和桔子。所以不同的水果搭配共有4＋6＝10（种）。将这10种搭配作为10个“抽屉”。81÷10=8……1（个）至少有8＋1＝9（个）小朋友拿的水果相同。(共13张PPT)
“密”糖
准备材料
实验探究
①摆一摆：把4颗糖果放进3个盘子里。
②记一记：会出现多少种不同的情况？可以画一画，也可以写一写。
③想一想：你有什么发现？
新知讲解
我发现把4颗糖果放进3个盘子里，有4种情况。
第一盘 第二盘 第三盘
4 0 0
3 1 0
2 2 0
2 1 1
至少
至少
总有一个盘子里至少有2颗糖。
新知讲解
为什么“总有一个盘子里至少有2颗糖”呢？
假设没有一个盘子里至少有2颗糖，那么每个盘子里最多是1颗糖，3个盘就只有3颗糖，不符合4颗糖的总数。
所以，剩下的1颗糖无论放入哪个盘子，那个盘子就会有2颗糖。
像这样通过假设原来的结论不成立，推理得到与原有条件相矛盾的结果，从而证明原来的结论成立的方法，叫做反证法。
新知讲解
“7颗糖放入3个盘子中，总有一个盘子中至少有3颗糖。”这句话对吗？写一写你的理由。
假设没有一个盘子里有3颗糖，也就是每个盘子里最多2颗，3个盘子放6颗糖，与7颗的总数不符，所以，剩下的1颗不管放入哪个盘子，那个盘子就有3颗糖，也就是说总有一个盘子里至少有3颗糖。
新知讲解
第一盘 4 3 2 2
第二盘 0 1 2 1
第三盘 0 0 0 1
4颗糖果
7颗糖果
第一盘 3
第二盘 2
第三盘 2
新知讲解
思考： 8颗糖放入3个盘子中，总有一个盘子中至少有几颗糖呢？
从每个盘子里的糖果数相对平均的情况下来考虑，可以用除法8÷3=2（颗）……2（颗），每个盘子里放入2颗。余下的两颗放到不同的盘子里，那么3个盘子糖果数量是3颗，3颗，2颗。
第一盘 1 1 1 2 2
第二盘 1 2 3 2 3
第三盘 6 5 4 4 3
新知讲解
抽屉原理
在解决这样的问题时，我们可以通过摆一摆、列一列，有序枚举出所有的可能，从中找出答案；也可以通过反证法来证明，从而解决问题。
抽屉原理最先是由19世纪的德国数学家狄利克雷提出并解决数论中的问题,所以又称“狄利克雷原理”。它是组合数学中的一个重要原理。
把10个苹果放到9个抽屉里，无论怎么放，总有一个抽屉中至少放有两个苹果。这一现象就是我们说的抽屉原理。
把多于kn+1个东西任意分放进n个空抽屉（k是正整数），那么一定有一个抽屉中放进了至少k+1个东西。
新知讲解
统计13个人的生日月份，至少有2个人在同一个月生日。
（ ）是苹果，
（ ）是抽屉。
抢凳子游戏时，凳子数比人数少，就能淘汰掉一些人。
（ ）是苹果，
（ ）是抽屉。
42个小朋友，每人在纸上任意画两条直线，至少有（ ）个小朋友画出直线的位置关系是一样的。
（ ）是苹果，（ ）是抽屉。
谁是“苹果”，谁是“抽屉”？
13个人的生日月份
12个月份
人数
凳子数
新知讲解
1958年的《美国数学月刊》上有这样一道题目：证明任意6人的集会上，有3个人以前彼此都认识，或者3个人以前彼此都不认识，这两者必有其一。
脑洞大开
在6个人中任选一人，我们称为主人，那么他与其他5人的关系就可以分成两类：认识的和不认识的。“认识的”和“不认识的”就是两个抽屉，5人就是苹果啦。
怎么解释3个人以前彼此都认识，或者3个人以前彼此都不认识？
小朋友们请你想一想，也可以用画图的方式哦！
这是著名的六人集会问题，它是组合数学中著名的拉姆齐(Ramsey)定理的一个简单特例。还可以用来证明这6个顶点两个点连成一条边，用红、蓝二色任意着色，必然至少存在一个红色边三角形，或蓝色边三角形。小朋友可以试试哦！
谢谢
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