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第八章 实数
8.1 第2课时 算术平方根
【学习目标】
1.了解算术平方根的概念和意义.
2. 会求一些非负数的算术平方根，能运用算术平方根进行计算求值，解决实际问题.
3. 会用计算器和估算的方法求一个非负数的算术平方根，并借此过程感受无限不循环的概念.
4.能用估算的方法确定无理数的大致范围，通过估算的训练感受其在实际生活中的意义.
【学习重点】了解算术平方根的概念，会求一些非负数的算术平方根.
【学习难点】难点：会求一些非负数的算术平方根.
【自主学习】
学校要举行美术作品比赛，小美画了一幅面积为25 dm 的正方形油画，请问这幅正方形油画的边长是多少
问题 1：这幅正方形油画的边长是多少
问题 2：你是怎么得出这个结果的呢
【合作探究】
探究点一、算术平方根的概念和性质
正方形的面积/dm2 4/25 1 9 16 36
长方形的面积/dm2
问题 1：结合平方根的概念，回答各正方形的边长与面积之间有什么关系
问题 2：以上数据中，正方形的面积和边长的大小有什么关系
知识要点: 正数 a 有两个平方根，其中正的平方根 叫作 a 的_________. a 的算术平方根用 来表示 .
规定：0 的算术平方根是 0. 0的算数平方根也记为.
性质 1：一个正数的算术平方根是正数.
性质 2：0 的算术平方根是 0.
性质 3：负数没有算术平方根.
性质 4：被开方数越大，对应的算术平方根也越大.
【典型例题】
例1 求下列各数的算术平方根：
(1) 100； (2) 49/64 ； (3) 0.0001.
解：(1) 因为 102 = 100，所以100 的算术平方根是10，即 = 10.
(2) 因为 (7/8)2= 49/64 ，所以 49/64 的算术平方根是 7/8 ，即= 7/8.
(3)因为 0.012 = 0.000 1，所以 0.000的算术平方根是0.01，即 = 0.01.
【练一练】
1. 求下列各数的算术平方根.
(1) 121； (2) 0； (3) 9/64 ； (4) 0.25.
2. 已知 3＋a 的算术平方根是 5，则 a 的值为_________.
探究点二、算术平方根的估算及大小比较
剪一剪，拼一拼：能否用两个面积为 1 dm2 的小正方形剪拼成一个面积为2 dm2 的大正方形？
回忆三角形三边之间的关系， 究竟是一个怎么样的数？
算一算：估算 的大小.
(1) 比较 1，，2 之间的大小；
(2) 比较1.4，，1.5 之间的大小；
(3) 比较 1.41，√2，1.42 之间的大小.
思考：无限不循环小数是指小数位数无限，且小数部分不循环的小数. 你以前见过这样的数吗
典型例题】
例2 (1) 估计与 最接近的两个整数是多少？
(2) 估计与 最接近的一个整数是多少？
探究点三、用计算器求一个数的算术平方根
探索：用计算器求下列各式的值：
(1) = ；(2) = (精确到0.001) .
合作探究 当“天问一号”火星探测器的速度大于第二宇宙速度 v (单位：m/s) 时，它就会克服地球引力，永远离开地球，飞向火星. v 的大小满足 v = 2gR，其中 g 是地球表面的重力加速度，g ≈ 9.8 (单位：m/s2)，R 是地球半径， R ≈ 6.4×106 (单位：m). 怎样求 v 呢
算术平方根的规律
(1) 利用计算器计算下表中的算术平方根，并将计算结果填在表中，你发现了什么规律 你能说出其中的道理吗
规律：被开方数的小数点每向右移动______位，它的算术平方根的小数点就向右移动_______位；被开方数的小数点每向左移动_______位，它的算术平方根的小数点就向左移动_______位.
(2)用计算器计算(精确到 0.001)，并利用你在 (1) 中发现的规律说出 ,, 的近似值. 你能根据的近似值直接得到 的近似值是多少吗
【典型例题】
例3 小丽想用一块面积为 400 cm2 的正方形纸片，沿着边的方向裁出一块面积为 300 cm2 的长方形纸片，使它的长与宽的比为 3∶2. 但她不知道能否裁得出来，正在发愁，小明见了说：“别发愁，一定能用一块面积大的纸片裁出一块面积小的纸片!”你同意小明的说法吗 小丽能用这块纸片裁出想要的纸片吗
分析：可根据长宽之比为 3:2 和边长与面积的关系设方程，得到长方形的长和宽，再与正方形的边长作比较.估计边长的大小可用前面学习的方法.
【练一练】1. 比较下列各组数的大小.
(1) 与 2.24； (2) 与 0.5； (3) 与 1.
课堂检测
1.4的算术平方根是 (　　)
A. ±2 B. 2 C. -2 D.
2. 化简 的结果为 (　　)
A.±5 B.25 C.－5 D. 5
3. 下列说法正确的是 (　　)
A. 0的算术平方根是0 B. 9是3的算术平方根
C. ± 3是9的算术平方根 D. －3是9的算术平方根
4. 计算：(1)－ ＝______；(2) ＋ ＝_______ .
5. (1)若 ＋｜n｜＝0，则m＝_______，n＝_________；
(2)已知 ＋ ＝0，则 (a－b)2025 的值为________.
6. 教材P42例3变式求下列各数(式）的算术平方根：
(1) 121； (2) 21/4 ； 　 (3)
参考答案
【自主学习】
问题1 5 dm 问题2 由正方形的面积公式，通过平方和开平方互为逆运算推算，且面积不能为负，所以得出这幅正方形油画的边长为 5 dm.
【合作探究】
探究点一、算术平方根的概念和性质
问题1 正方形的边长是面积值的正平方根.
问题2 面积越大，边长越大. 知识要点 算数平方根
【典型例题】
例1（1） = 10. （2） = . （3） = 0.01
【练一练】
1.(1) 11. (2) 0 . (3) 3/8 . (4)0.5. 2. 22
探究点二、算术平方根的估算及大小比较
算一算 （1）因为 1 = 1，() =2，2 = 4. 所以1<<2.
（2）因为1.4 = 1.96，1.5 =2.25. 所以1.4<<1.5.
（3）因为1.41 =1.9881，1.42 =2.0164. 所以1.41<<1.42.
思考 实际上，很多正有理数的算术平方根 (例如，， 等)都是无限不循环小数.
【典型例题】例2 （1）解：因为 32=9，42=16，所以3 < < 4．（2）3.52 = 12.25，
所以 < 3.5 .所以最接近的整数是 3 .
探究点三、用计算器求一个数的算术平方根
探索 56 1.414
合作探究 由v =2gR及v的实际意义，得v=，其中g ≈9.8(单位：m/s2 )，R≈6.4×106(单位：m).用计算器求得v≈ = 1.12×104.因此，第二宇宙速度v约为 1.12×104 m/s，即 11.2 km/s.
算术平方根的规律
规律 2 1 2 1
(2)小数点只移动了一位，不符合规律...不能直接得到值.
【典型例题】
例3 解：设长方形的长为 3x cm，则宽为 2x cm. 根据边长与面积的关系，得3x·2x = 300，
6x2 = 300，x2 = 50.由边长的实际意义，得 x =.因此长方形纸片的长为 3 cm.因为 50 > 49，所以 > 7.由上可知 3 > 21，即长方形纸片的长应该大于21 cm.
因为 = 20，所以正方形纸片的边长只有20 cm.这样，长方形纸片的长将大于正方形纸片的边长. 答：不同意小明的说法，小丽不能用这块纸片裁出想要的纸片.
【练一练】3（1）解：(1) 因为 ()2 = 5，2.242 = 5.0176，所以 < 2.24．
（2）因为()2 = 5，22 = 4，所以＞2. 所以 1＞1.
所以（ 1）/2＞1/2 ，即（ 1）/2＞0.5.
（3） 因为()2 = 5，32 = 9，所以＜3. 所以 1＜2.
所以 （ 1）/2＜2/2 ，即（ 1）/2＜1.
课堂检测
1. B 2. D 3. A 4. －0.1 9.2　5. 0 0 0
6.解：(1)因为112＝121，所以121的算术平方根是11.
(2)因为( )2 ＝ ＝2 ，所以2的算术平方根是 .
(3)因为＝ ，又因为92＝81，所以＝9.而32＝9，所以 的算术平方根是3.第八章 实数
8.1 第1课时 平方根
【学习目标】
1. 了解平方根的概念，会用根号表示数的平方根.
2. 体会平方运算到求平方根的演变过程，理解二者的互逆关系，培养勤思考、勤动笔的习惯.
3. 会利用平方和开平方的互逆关系求某些非负数的平方根，对一些特殊的数及其平方根形成记忆.
【学习重点】平方根的概念及平方根的求法.
【学习难点】求非负数的平方根.
【自主学习】
“西兰卡普”是一种土家族织锦的叫法，是土家族浓郁的民族特色和传统文化的代表，亦是国家级非物质文化遗产.如图，这张正方形的“西兰卡普”面积为 4 m ，请问它的边长是多少
问题 1：你算出的边长是多少
问题 2：你是怎样算出这个边长的
【合作探究】
探究点一、平方根的概念
问题1：如果一个数的平方等于9，那么这个数是多少
问题2：填写下表：
x2 1 16 0.36 49 1/25
x
思考1：上述表格得到的 x 值有什么特点
思考 2：求一个数与自身相乘积的运算叫作平方，那么知道一个数的平方，求这个数的运算叫什么
知识要点 一般地，如果一个数 x 的平方等于 a，即 x2 = a，那么这个数 x 叫作 a 的______或________. 求一个数的平方根的运算，叫作_______.
比较两图中的两种运算的特点，你能发现什么？
总结：平方与开平方互为_________.根据这种互逆关系，可以求一个数的平方根.
【典型例题】
例1 分别求下列各数的平方根：
(1) 64； (2) 9/100 (3) 0.01.
【练一练】1.分别求下列各数的平方根：
(1) 16/9 (2) 1.44 (3) 121
2.判断对错:
(1) 8 是 64 的平方根； ( )
(2) －8 是 64 的平方根； ( )
(3) ±8 是 64 的平方根； ( )
(4) 一个数的平方等于81，则这个数是9. ( )
探究点二、平方根的性质
思考1：观察以上平方和开平方的过程你有什么发现
思考2：1，4，9，1/4 的平方根是多少 它们有什么特点？
思考3：0 的平方根是多少
思考4：－1，－4，－9，－1/4 的平方根是多少
平方根的性质归纳
性质1：__________________________________；
性质2：__________________________________；
性质3：__________________________________.
追问：前面我们学了一个数的平方的书写方式，那一个数的平方根又该如何表示呢
正数 a 的正的平方根记为“”，读作“根号 a ”， a 叫作被开方数；
正数 a 的负的平方根记为“－ ”，读作“负根号 a ”
0 的平方根记为 = 0
注意：只有当 a ≥ 0 时， 才有意义. 而当a ＜ 0 时，无意义.
【典型例题】
例2 下列各数有平方根吗 如果有，求它的平方根；如果没有，说明理由.
(1) 0.36； (2) －5； (3) (－4)2.
【练一练】
3. m－1 与 3－2m 是某正数的两个不同的平方根，则 m 的值是( )
A. 4 B. 2 C. －2 D. －4/3
4. 求下列式子中 x 的值.
(1) x2 = 49 (2) 4x = 9
课堂检测
1.16的平方根是(　　)
A.4 B.-4 C.±4 D.±8
2. 下列说法正确的是(　　)
A. 任何非负数都有两个平方根
B. 一个正数的平方根仍然是正数
C. 只有正数才有平方根
D. 负数没有平方根
3. 求下列各数（式）的平方根：
(1) 124/25 ； (2) 0.0001； (3) (－2)2.　
4. 求下列各式中x的值：
(1) 81x2－49＝0； 　(2) 49(x2＋1)＝50.
5. 一个正数的两个平方根分别是2a＋1和a－4，求这个数.
参考答案
【自主学习】
问题1 面积＝边长×边长 边长为 2 m
问题2 通过正方形的面积公式反推出来
【合作探究】
探究点一、平方根的概念
问题1 3或－3 问题2 ±1 ±4 ±0.6 ±7 ±1/5
思考1 都有两个值，且这两个值互为相反数 思考2 开平方
知识要点 平方根 二次方根 开平方
总结 逆运算
【典型例题】
例1 解：(1) 因为 ( ±8 )2 = 64，所以 64 的平方根是 ±8；
(2) 因为 (±3/10)2 = 9/100 ；所以 9/100 的平方根是 ±3/10；
(3) 因为 ( ±0.1)2 = 0.01，所以 0.01 的平方根是±0.1.
【练一练】1.解：(1) 因为 (±4/3)^2 = 16/9 ，所以 16/9 的平方根是 ±4/3.
(2) 因为 ( ±1.2 )2 = 1.44，所以 1.44 的平方根是 ±1.2.
(3) 因为 ( ±11)2 = 121，所以 121 的平方根是±11.
2.（1）√ （2）√ （3）√ （4）×
探究点二、平方根的性质
问题1 平方和开平方是一个互逆的过程
问题2 ±1，±2，±3，±1/2 有两个平方根，且互为相反数
问题3 0 问题4 没有平方根
平方根的性质归纳：正数有两个平方根，它们互为相反数；0 的平方根是 0；负数没有平方根.
【典型例题】例2 解：(1) 因为 0.36 是正数，所以 0.36 有两个平方根，
± = ±0.6；
(2) 因为 －5 是负数，所以 －5 没有平方根；
(3) 因为 (－4)2 = 16 是正数，所以 (－4)2 有两个平方根，
±2 = ± = ±4.
3.B 分析：因为 m－1 和 3－2m是某正数的两个不同的平方根，则有 m－1＋3－2m＝0，即 －m＋2＝0，解得 m＝2.
【练一练】4 解：(1) x = ± = ±7 .(2) x = 9/4 ， x = ± = ±3/2.
课堂检测
1. C 2. D 3.解：(1)因为1＝49/25 ，(±7/5 )2＝49/25 ，所以1 的平方根为±7/5 .(2)因为(±0.01)2＝0.0001，所以0.0001的平方根是±0.01.
(3)因为(±2)2＝4＝(－2)2，所以(－2)2的平方根是±2.
4.(1)解：整理81x2－49＝0，得x2＝49/81 ，开平方得x＝±＝±7/9 .
(2)解：整理49(x2＋1)＝50，得x2＝1/49 ，开平方得x＝± ＝±1/7 .
5.解：由于这个正数的两个平方根分别是2a＋1和a－4，则有2a＋1＋a－4＝0，
即3a－3＝0，解得a＝1.所以这个数为(2a＋1)2＝(2＋1)2＝9.第八章 实数
8.3 第2课时 实数的性质及运算
【学习目标】
1. 了解实数范围内相反数、绝对值、倒数的意义，会求一个数的相反数、绝对值.
2. 清楚有理数的运算法则和运算律在实数范围仍适用，能利用化简对实数进行简单的四则运算.
3. 会按要求用近似有限小数代替无理数，再进行计算.
4. 增强独立思考、合作探究的能力，进一步利用类比的方法探究实数的性质.
【学习重点】实数范围内相反数、绝对值、倒数的意义，利用实数的运算法则、运算律进行正确运算.
【学习难点】利用实数的运算法则、运算律进行正确运算.
【自主学习】
有理数中的几个重要概念：
①相反数：
②绝对值：
③倒数：
思考：无理数也有相反数吗？如果有怎么表示？有绝对值吗？如果有怎么表示？有倒数吗？如果有又该怎么表示？
【合作探究】
探究点一、实数的性质
填一填：
(1) 的相反数是_______；－π的相反数是_______；0的相反数是_______；
(2) ||＝______；|－π |＝_____；| 0 |＝_____.
(3) －5 的倒数为_____.
根据填空的内容，你能得出什么结论
要点归纳
1. 若 a是一个实数，则实数a的相反数为－a.
2. 一个正实数的绝对值是它本身；一个负实数的绝对值是它的相反数；0 的绝对值是 0.即设 a 表示一个实数，当a＞0时 ，则|a|=a，当a＝0时；|a|=0；当a＜0时.|a|=－a，
一个实数的绝对值就是它在数轴上的对应点与原点的距离.
3.若 a 是一个非零实数，则 a 的倒数为 1/a.
【典型例题】
例1 (1)分别写出－，π－3.14 的相反数；
(2) 指出 － ，1－ 分别是什么数的相反数；
(3) 求 的绝对值；
(4) 已知一个数的绝对值是，求这个数.
【练一练】1. 分别求出下列各数(式)的相反数和绝对值：
(1) ； (2) ； (3) － .
2. 已知|a|=，则a的值为 ______.
探究点二、实数的运算
思考：根据实数的性质试着完成下列各题，并猜想有理数中学过的运算法则及运算律对实数是否适用
填空：设 a，b，c 是任意实数，则
（1）a + b =_________（加法交换律）；
（2）(a + b) + c =_________（加法结合律）；
（3）a + 0 = 0 + a =_________；
（4）a + (-a) = (-a) + a =_________；
（5）ab =_________（乘法交换律）；
（6）(ab)c =_________（乘法结合律）；
（7） 1 · a = a · 1 =_________；
（8）a(b + c) =_________（乘法对于加法的分配律），
(b + c)a =_________（乘法对于加法的分配律）；
（9）实数的减法运算规定为 a - b = a +_________ ；
（10）对于每一个非零实数 a，存在一个实数 b，满足 a · b = b · a = 1，我们把b叫作a的＿＿＿；
（11）实数的除法运算（除数 b≠0），规定为 a÷b= a ·_____ ；
（12）实数有一条重要性质：如果 a≠0，b≠0， 那么 ab＿＿0.
归纳总结：实数之间不仅可以进行加、减、乘、除(除数不为0)、乘方运算，而且正数及0可以进行开平方运算，任意一个实数可以进行开立方运算.在进行实数的运算时，有理数的运算法则及运算性质等同样适用.
实数的运算顺序：(1) 先算乘方、开方；(2) 再算乘除，最后算加减；(3) 如果遇到括号，先进行括号里的运算.
【典型例题】
例2 计算下列各式的值：
（1）（）- ； （2）
【练一练】
3. 计算下列各式：
(1) 2＋3－5－3；
(2)|1－|＋|－|；
(3) －(＋)＋.
【典型例题】
例3 计算(结果保留小数点后两位)：
(1) －； (2) π·.
【练一练】
4 计算 (结果保留小数点后两位)：
(1) +π； (2) ×
例4 如图，小明将一个小正方形 ABCD 和一个大正方形 CEFG 拼在了一起，其中小正方形的面积为 2 dm ，大正方形的面积为 3 dm ，请问这两个正方形的边长之和是多少 (结果保留两位小数)
课堂检测
1. － 的相反数为(　　)
A. B. C.3 D.-3
2.实数－的绝对值是(　　)
A.5 B. C.D.- D.
3.的倒数是(　　)
A. 2 B. －2 C. 1/2 D. －1/2
4. 如图，数轴上的点A，B分别对应实数a，b，下列结论正确的是(　　)
A. a＞b B.｜a｜＞｜b｜
C.－a＜b D. a＋b＜0
5. 计算：
(1)－5； (2)｜3－π｜＋；
(3)＋｜－2｜－.
6. 已知x＋7的平方根是±3，2x－y－13的立方根是－2，求5x－6y的算术平方根.
参考答案
【自主学习】
①相反数：只有符号不同的两个数互为相反数；
②绝对值：数轴上表示数 a 的点到原点的距离叫作数 a 的绝对值，用 | a | 来表示.
③倒数：如果两个数的积是1，那么这两个数互为倒数.
【合作探究】
探究点一、实数的性质
填一填 （1） π 0 （2） π 0 （3） 1/5
【典型例题】
例1 (1) ，3.14－π (2) ， －1 (3) 4 （4） 或
【练一练】1.(1) 相反数-15 绝对值15 (2)相反数 ；绝对值 (3) 相反数 绝对值 . 2. ±.
探究点二、实数的运算
（1）b + a；（2）a + (b + c)；（3）a （4）0；（5）ba；（6）a(bc)；（7） a；
（8）ab + ac，ba + ca ；（9）(-b)；（10）倒数;（11）1/b ；（12）≠.
【典型例题】
例2 5.
练一练
3. （1）－3 （2）－1 （3） 5
例3 (1) － ≈ 2.236－2.646 ＝－0.41；
(2) π· ≈3.142×1.442≈4.53.
【练一练】
4 (1) +π ≈2.236+3.142≈5.38
(2) × ≈1.732×1.141≈2.45
例4 解：因为小正方形的面积为 2 dm2，所以小正方形的边长 BC 为 dm.
因为大正方形的面积为 3 dm ，所以大正方形的边长 CG 为 dm.
所以边长之和为：BC＋CG＝ ＋≈1.414＋1.732 ≈ 3.15 dm.
课堂检测
1. A 2. B 3. C 4. C
5.(1)解：原式＝2－5＝－3. (2)解：原式＝π－3＋4－π＝1.
解：原式＝－3＋2－ －3/2 ＝－5/2 － .
6.解：因为x＋7的平方根是±3，所以x＋7＝(±3)2＝9，解得x＝2.因为2x－y－13的立方根是－2，所以2x－y－13＝(－2)3＝－8.即2×2－y－13＝－8，解得y＝－1.所以5x－6y＝5×2－6×(－1)＝16.则5x－6y的算术平方根为 ＝4.第八章 实数
8.2 立方根
【学习目标】
1. 通过类比推理，了解立方根的概念，区分平方根与立方根的不同，会用根号表示数的立方根，会用立方运算求千以内的完全立方数的立方根.
2. 能用有理数估计一个开立方不能开尽的数的立方根的大致范围，形成估算的意识，培养估算能力.
3. 经历运用计算器探求数学规律的过程，发展合情推理能力.
4. 体会数学与实际生活的紧密联系，培养善于发现问题和提出问题的习惯.
【学习重点】会用根号表示立方根，求千以内的完全立方数的立方根.
【学习难点】求千以内的完全立方数的立方根.
【自主学习】
请问图片中展示的物品是什么 若这个物体的体积为 216 cm ，思考如何求此物体的棱长.
(1) 它的形状有什么特点
(2) 在这个问题中，涉及到什么计算问题
(3) 你能找出一个数，使它的立方等于216 吗
【合作探究】
探究点一、立方根的概念及性质
算一算： ＝_____； ＝_____；
(0.5)3＝_____；(-0.5)3 ＝_____；
＝_____； ＝_____；＝_____.
思考 1：通过计算，你能发现正数、0、负数的立方与平方有什么不同之处吗
思考 2：你能类比平方根的定义说出立方根的定义吗
思考 3：你能类比开平方的定义说说什么是开立方吗
思考 4：开立方与立方是什么关系
知识要点 一般地，如果一个数 x 的立方等于 a，即 x3 = a，那么这个数 x 就叫作 a 的_______或________．
开立方：求一个数的立方根的运算，叫作开立方.开立方与立方互为逆运算.
填一填： 根据立方根的意义填空：
因为 13 = 1，所以 1 的立方根是（　）；
因为( )3 = 0.064，所以 0.064 的立方根是（ 　 ）；
因为( )3 ＝ －8，所以 －8 的立方根是（ ）；
因为( )3 ＝ －1/8，所以－1/8 的立方根是（ ）；
因为( )3 ＝ 0，所以 0 的立方根是（　）.
你能发现正数的立方根有什么特点吗 负数呢 0 的立方根是多少
立方根的性质
性质1：正数的立方根是正数；
性质2：负数的立方根是负数，
性质2：0的立方根是0.
立方根是它本身的数有 1，-1，0；平方根是它本身的数只有 0.
【典型例题】
例1 求下列各数的立方根.
(1) (－2)3； (2) 343； (3) －64； (4)
【练一练】1. 求下列各数的立方根.
(1) ﹣27； (2) (3) 0.216； (4) -5.
探究点二、互为相反数的两个数的立方根的关系
计算：(1)因为 =____， =____，所以 ___ - ；
(2)因为 =___， = ____ , ___ -
(3)因为 =___， =____，所以 __
思考：(1)各题中被开方数有什么关系
(2)这些数的立方根有什么关系
(3)根据计算结果，可以得到什么初步结论
讨论：(1) 表示 a 的立方根，那么 ()) 等于什么 等于什么
(2) 与 有什么关系
要点归纳：
结论 1：互为相反数的两个数的立方根互为相反数，即______________.
结论2：“先开立方，再立方”与“先立方，再开立方”的结果相等，都等于原数，即_______________.
【典型例题】
例2求下列各式的值:
(1) ； (2) ； (3) .
【练一练】
1.的算术平方根是_________.
2. 若 与 的值互为相反数，则 x/y 的值为_____.
探究点三、利用计算器求立方根
由于一个数的立方根可能是无限不循环小数，所以我们可以利用计算器求一个数的立方根或它的近似值.
【典型例题】
例3 用计算器求下列各数的立方根：2197，3.
用计算器计算:
(1) ＝_______， ＝_______，＝_______ .
(2) ＝_______， ＝_______，
＝_______，＝_______，
观察题(2)中的式子，你能发现什么规律
【典型例题】例4 若 ≈ 0.6694，则 ≈ _______.
变式：已知 ≈ 1.26， ≈12.6，用含 n 的式子表示 m. .
课堂检测
1.27的立方根为 (　　)
A. ±3 B. 3 C.-3 D. 9
2. 下列说法正确的是 (　　)
A.正数有2个立方根 B-8的立方根是±2
C.负数没有立方根 D.-1的立方根是-1
3. 将一块体积为64cm3的正方体锯成8块同样大小的小正方体木块，则每个小正方体木块的棱长为 (　　)
A. 2cm B. 3cm C. 4cm D.5cm
4. 计算：
(1) ＝________ ；(2) ＝_________；(3)－ ＝_________.
5. 若 ≈ 2.872， ≈ 28.72，则x ＝_______.
6. 求下列各式中的x：
(1)－3x3＝0.081； 　(2)(x－2)3＝729.
7. 一个长方体的长为9cm，宽为3cm，高为4cm，而另一个正方体的体积是它的2倍，求这个正方体的棱长.
参考答案
【自主学习】
(1) 是个正方体，各棱长相等 (2)根据体积求棱长 (3) 体积＝棱长3棱长＝6 cm
【合作探究】
探究点一、立方根的概念及性质
算一算 8 -8 0.125 -0.125 8/27 -8/27 0
思考 1 正数的立方和平方结果均为正数，0的平方和立方结果都是0，负数的平方是正数，立方是负数.
思考 2：一般地，如果一个数 x 的立方等于 a，即 x3 = a，那么这个数 x 就叫作 a 的立方根或三次方根．
思考 3：你能类比开平方的定义说说什么是开立方吗
求一个数的立方根的运算，叫作开立方.
思考 4：开立方与立方互为逆运算.
填一填 1 0.4 0.4 -2 -2 1/2 1/2 0 0
【典型例题】
例1 －2 7 －4 5/3
【练一练】1.-3 3/2 0.6
探究点二、互为相反数的两个数的立方根的关系
计算 （1）–2 –2 = （2）–3 3 = （3）–4 4 =
思考：(1)互为相反数. (2)互为相反数.
(3)互为相反数的两个数的立方根也互为相反数.
讨论 （1）(1) ＝ a，( ) ＝ a.（2）相等
要点归纳 ＝ () ＝ ＝
【典型例题】例2 8 0.1 4 【练一练】 2 2/3
探究点三、
【典型例题】例3 11 7 0.8 0.06 0.6 6 60
例4 6.694 变式训练 m=1000n
课堂检测
1.B 2.D 3.A 4. (1)－1/2 (2)－4 (3) 6 5. 23700
6. (1)解：x＝－0.3. (2)解：x＝11.
7.解：设正方体的棱长为a cm，则依题意得a3 ＝ 9×3×4×2 ＝ 216，
解得a＝6.故这个正方体的棱长为 6 cm.第八章 实数
8.3 第1课时 实数
【学习目标】
1. 经历无理数的探究过程，了解无理数和实数的概念，会把实数进行分类.
2.了解实数与数轴上的点一一对应，能用数轴上的点表示实数，能比较实数的大小.
3. 通过实数的分类感受数学的严谨性以及数学结论的确定性.
【学习重点】对实数按照一定的标准进行分类,用数轴上的点表示实数，并比较实数的大小.
【学习难点】用数轴上的点表示实数,并比较实数的大小.
【自主学习】
(1)什么是有理数 有理数包括哪些类别
(2) 什么是无限不循环小数 我们接触的最常见的无限不循环小数有哪些
展示视频“万物皆数”,了解无理数的起源.
【合作探究】
探究点一、无理数和实数的概念及实数分类
计算：把下列有理数写成小数的形式：
5/2= ____ 3/5= ____ 27/4= ____ 11/9= ____ 9/11= ____
思考 1：观察运算结果，请问你有什么发现 请同学们自主讨论得出自己的结论.
思考 2：像 这样的无限不循环小数属于有理数吗 为什么
思考 3：如果无限不循环小数不属于有理数，通过阅读教材P52说说它属于哪一类数
知识要点 类比有理数，我们将无限不循环小数叫作________.
无理数的 3 种常见的表现形式有：
(1) 构造型的无限不循环小数 【如 0.301 001 0001···（每相邻两个1之间依次增加1个0)】 ；
(2) 具有特定意义的数(如 π)；
(3) 含有根号且被开方数不能被开尽的数(如 ).
我们将有理数和无理数统称为实数.
思考 4：类比有理数的分类，你能给实数分类吗
因为非零有理数和无理数都有正负之分，那么你能类比有理数的分类方法，按大小对实数分类吗？
【典型例题】例1 将下列各数分别填入下列相应的括号内：
，0，，
0.252252225…(相邻两个5之间依次增加一个2)
无理数：{ }
有理数：{ }
正实数：{ }
负实数：{ }
【练一练】
1.下列说法中，正确的是（ ）.
A. 实数分为正实数和负实数 B. 无限小数都是无理数
C. 无理数都是无限小数 D. 带根号的数都是无理数
2.有一个数值转换器，其原理如图所示，当输入的x为 81 时，输出的y是（ ）.
A. 9 B. C.3 D.
探究点二、实数与数轴上的点
演示1：以单位长度为直径画一个圆，它的周长等于 π. 如图 ，从原点开始，将这个圆沿数轴向右滚动一周，圆上的一点由原点 O 到达点 O′，点 O′ 对应的数是多少
思考 1： 点O′ 对应的数是多少
思考 2： 点O′ 对应的数在数轴上的位置说明了什么
演示2：你能在数轴上表示出和-吗？
两个边长为 1 的小正方形通过剪、拼 得到一个大正方形，由大正方形的面积为 2 可知其边长为_______，从而说明边长为1的小正方形的对角线长为____.
结合两个演示思考下面的问题:
(1)回顾有理数在数轴上的表示，π， 与 － 在数轴上的对应位置说明了什么
归纳小结：每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示；反过来，数轴上的每一点都表示一个实数.
(2) 通过上述探究，比较 π，－ ，，0，1，2，3 的大小，并说明如何比较实数的大小.
要点归纳
要点 1：实数和数轴上的点是一一对应的.
要点 2：与有理数规定的大小一样，数轴上右边的点表示的实数比左边的点表示的实数大.
要点 3：(1)正数大于零，负数小于零，正数大于负数；(2)两个正数，绝对值大的数较大；(3)两个负数，绝对值大的数反而小.
【典型例题】
例2 在数轴上表示下列各数，比较它们的大小，并用“ < ”连接它们.
1， ，－，π ，－
例3 如图所示，数轴上 A，B 两点表示的数分别为－1和 ，点 B 关于点 A 的对称点为 C，求点 C 所表示的实数．
课堂检测
1. 下列实数中，是无理数的是(　　)
A. 0.2 B. 1/2 C. D.－5
2. 下列各数：3.14159，π，√25 ，0.131131113…(相邻的两个3之间依次多一个1)，－，－1/7 ，其中无理数有(　　)
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
3. 下列说法中错误的是(　　)
A. 是有理数 B. 是无理数
C. 是有理数 D. 是分数
4. 如图，数轴上A，B两点表示的数分别为和4.1，则A，B两点之间表示整数的点共有_______个.
5. 把下列各数填入相应的集合内：
- ，－ ， ， ， ，0，π，－ ，，
1.2020020002…(相邻两个2之间0的个数逐次加1).
①有理数集合：{ }.
②无理数集合：{ }.
③整数集合：{ }.
④分数集合：{ }.
⑤正实数集合：{ }.
⑥负实数集合：{ }.
参考答案
【自主学习】
(1)可以写成分数形式的数是有理数，包括整数和分数.
(2)无限不循环小数是指小数点后有无限个数位，但没有周期性的重复.我们接触的最常见的无限不循环小数有 ，π等.
【合作探究】
探究点一、无理数和实数的概念及实数分类
计算 2.5 0.6 6.75 1.222… 0.8181…
思考1 任何一个有理数都可以写成有限小数或无限循环小数的形式.
思考2 不属于，因为有理数都可以化成有限小数或无限循环小数的形式.反过来，不能化成有限小数或无限循环小数的数不是有理数.√2不能化成有限小数或无限循环小数，所以√2不属于有理数.
思考3 无理数 知识要点 无理数
思考4
【典型例题】
例1 无理数：{ ， ， ， ，0.252252225… }
有理数：{ ， ， ，0，， }
正实数：{ ， ， ， ， ，0.252252225… }
负实数：{ }
【练一练】
1.C 2.D
探究点二、实数与数轴上的点
问题1 π 问题2 无理数π可以在数轴上表示
演示2
（1）无理数也可以在数轴上表示出来
（2）－＜0＜1＜＜2＜3＜π，可以根据实数在数轴上对应的位置关系比较大小
【典型例题】例2 －＜－＜1＜＜π
例3 解：因为数轴上 A，B 两点表示的数分别为－1和，所以点 B 到点 A 的距离为1＋，则点C到点A的距离为1＋.设点 C 表示的实数为 x，则点 A 到点C的距离为－1－x，所以－1－x＝1＋，所以 x ＝－2－.
课堂检测
1. C 2. B 3. D 4. 3
5. 把下列各数填入相应的集合内：
- ，－ ， ， ， ，0，π，－ ，，
1.2020020002…(相邻两个2之间0的个数逐次加1).
①有理数集合：{ - , ， ，0，－ ， }.
②无理数集合：{ － ， ，π，1.2020020002… }.
③整数集合：{ ，0， }.
④分数集合：{ - ， ， － ， }.
⑤正实数集合：{ ， ， ，π，1.2020020002… }.
⑥负实数集合：{- ，－ ，－ ，}.

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