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第七章 相交线与平行线
7.1.1 两条直线相交
【学习目标】
1. 理解邻补角、对顶角的概念，能运用对顶角相等、邻补角互补的性质进行计算与说理.
2. 通过观察、试验、猜想、说理等活动，初步学会从几何图形中提出问题、发现问题、解决问题的方法.
3. 通过对对顶角、邻补角性质的研究，体会它们在解决实际问题中的作用，感受数学的严谨性以及数学结论的确定性.
【学习重点】掌握对顶角相等，邻补角互补的性质.
【学习难点】发现两条直线相交时所形成的各类角的位置关系及数量关系
【自主学习】
如图①，在之前的课本中我们学过有关线段和角的知识.如图②，我们将角的两边反向延长，构成一个什么样的图形 在这个图形中还有其他角吗 如果有，这个图形中共有几个角 各角之间有什么样的关系 这节课我们就来研究这个问题.
【合作探究】
探究点一、邻补角与对顶角的概念.
1.画一画：任意画出两条直线 AB 和 CD 相交于点 O，按如图所示标记.
讨论 1：观察图中的四个角，∠1 和∠2 有怎样的位置关系 ∠1 和∠2 的边所在的位置有什么特点
归纳1：像∠1 和∠2这样有一条公共边，另一边互为____________的两个角，我们称这两个角互为___________.
【练一练】
1.下列各图中，∠1 与∠2 是邻补角的是 ( )
A B C
讨论 2：邻补角与补角有什么关系
讨论 3：观察图中的∠1 与∠3 有怎样的位置关系
归纳2：像∠1 和∠3这样有一个公共顶点，一个角的两边分别是另一个角的_______________，我们称这两个角互为___________.
思考：上图中还有哪些对顶角。
【练一练】
2.下列各图中，∠1 与∠2 是对顶角的是 ( )
3.如图所示，三条直线两两相交，你能说出图中所有的对顶角、邻补角吗？
对顶角：
邻补角：
探究点二、对顶角的性质.
思考：∠1 和∠2有什么样的数量关系 ∠1和∠3又有什么样的数量关系呢
讨论 4：∠1 和∠3 的数量关系还可以通过几何证明的方法得到吗
证明：
【典型例题】
例1 如图所示，直线 a，b 相交，∠1 = 40°，求∠2，∠3，∠4 的度数.
例2 教材P3 练习T3 变式.
(1)若∠1 + ∠3 = 80°，求各个角的度数.
(2)若∠1∶∠2 = 2∶ 7，求各个角的度数.
课堂检测
1.下列图形中，∠1 与∠2 是对顶角的是( ).
2. 下列图形中的∠1 与∠2 互为邻补角的是( ).
3. 如图，直线 a，b 相交于一点. 若∠1 = 70°， 则∠2 的度数是( )
A.110° B.70° C.90° D.130°
4. 如图是一把剪刀的简笔画，其中∠1 = 40°，则∠2 的度数为 __________ ，其理由是 : ________________________________.
5.如图，直线 AB，CD，EF 相交于点 O，则∠AOD 的对顶角是________，∠AOC 的邻补角是_______, 若∠AOC = 50°，则 ∠BOD =_______; ∠COB =_______.
第3题图 第4题图 第5题图
6. 如图，直线 AB，CD 相交于点 O. 若∠BOD = 42°，OA 平分∠COE，求∠DOE 的度数.
参考答案
【合作探究】
探究点一、邻补角与对顶角的概念.
讨论1.有一条公共边，另一条边互为反向延长线.
归纳1.反向延长线、邻补角.
【练一练】1.B
讨论2.邻补角是补角的一种特殊情况，不仅在数量上互补，在位置上还有一条公共边，而互补的角与角的位置无关.
讨论3.顶点相同，角的两边互为反向延长线.
归纳2.反向延长线，对顶角.
思考：∠1 和 ∠3；∠2 和 ∠4.
【练一练】2.D 3.符合题意即可
探究点二、对顶角的性质.
思考：∠1＋∠2＝180°；∠1＝∠3
讨论4：因为 ∠1 与∠2 互补，
∠3 与∠2 互补（邻补角的定义），
所以 ∠1=∠3 （同角的补角相等）.
同理 ∠2＝∠4.
【典型例题】
例1 解：由邻补角的定义，得
∠2 = 180°-∠1
=180°- 40°= 140°；
由对顶角相等，得
∠3 =∠1 = 40°，
∠4 =∠2 = 140°.
例2 解：(1) 由对顶角相等得∠1 = ∠3 .
因为∠1 + ∠3 = 80°，
所以 ∠1 = ∠3 = 40°.
由邻补角的定义，得
∠2 = 180° -∠1 = 180°- 40°= 140°.
解：(1) 因为∠1∶∠2 = 2∶ 7，
则令∠1 = 2x，∠2 = 7x.
由邻补角的定义，得∠1 + ∠2 = 180°，
所以 2x + 7x = 180°，x = 20°，
即∠1 = 40°，∠2 = 140°.
由对顶角相等得∠1 = ∠3 = 40°
课堂检测
1.C
2.B
3.A
4.40°，对顶角相等.
5.∠BOC; ∠AOD，∠BOC ; 50 ; 130.
6.解：由对顶角相等得∠AOC = ∠BOD = 42°.
因为 OA 平分∠COE，
所以 ∠COE = 2∠AOC = 84°.
由邻补角的性质得
∠DOE = 180° - ∠COE = 180° - 84° = 96°.
A
B
C
D
A
B
C
D第七章 相交线与平行线
数学活动1 平行线的画法及图案设计
【学习目标】
1. 用平行线的判定方法画平行线.
2. 提高应用意识和创新意识，积极参与数学活动，在数学活动过程中，充分利用所学知识，发挥想象力.
3.在合作交流中，体验获得成功和学习数学的乐趣.
【学习重点】用平行线的判定方法画平行线.
【学习难点】动手操作画出正确的图形.
【自主学习】
在现实生活中，我们经常见到一些美丽的图案，这些图案是怎么生成的呢？
北京奥运 梦幻五环 鸽子 地板
【合作探究】
探究点一、平行线的画法
活动 1：我们在学习平行线的判定时，用什么方法画平行线
讨论：你有其它画平行线的方法吗 与同桌讨论尝试一下.
①用角的数量关系来判定：
②用直线的位置关系来判定：
方法 1：A 同学说可以通过画相等的同位角来画平行线.
思考：是否可以通过画相等的内错角来画平行线
方法 2：三角板画平行线，根据：在同一平面内垂直于同一直线的两条直线平行. 试着画一画.
方法 3：利用方格纸中的直线画平行线，或是利用格点(长方形的对角线)画平行线.
方法 4：利用折纸的方法. 两次折出的都是垂线，利用两个交点处的角都是直角，通过角的关系来说明得到的是平行线.
问题 1：除了利用平行线的判定方法作图，你还能想出其他画平行线的方法吗
观察上述图形特征，你有什么启发 与同桌讨论并尝试画一画.
问题 2：观察下图，猜想该方法是构造出了一个什么图形
①作 PQ ⊥ a
②作 l⊥a，取 RS = QP.
③连接 PS，则 b//a.
归纳总结：你能说出几种平行线的画法
① 利用平行线的判定作图
② 利用平行四边形的特征构图
③ 利用平行线的判定折纸
探究点二、图案平移设计
活动 2：阅读教材 P30-P31 探究与发现相关内容，与同桌讨论完成下列问题.
问题 1：你知道图1 中的图案是怎样形成的吗 与大家讨论.
与利用平移绘制带状的图案类似，在绘制这样的图案时，也要首先选定一个基本图形，然后把这个图形先按某一方向重复移动一定距离，再按另一个方向(与之前平移的方向不平行)重复移动一定距离，就可以得到一幅美丽的图案了.
不难发现，这个图案是由其中的一个“鸟”形图案平移得到的.那么，这个“鸟”形图案又是怎样画出来的呢
这种正方形上的平移，因为是从一处移到另一处(上移到下、下移到上、左移到右、右移到左)，所以能保证这样的图案平移后互相吻合，不留缝隙，形成一幅美丽的图案.
问题 2：观察下列图案，你说出每个图案中的基本图形是怎样得到的吗
问题 3：你还能用平移设计一些图案吗
课堂检测
1.将如图所示的图案通过平移后可以得到的图案是( )
2.在下列方格中设计美丽的图案.第七章 相交线与平行线
7.2.3 第2课时 平行线的判定与性质综合
【学习目标】
1. 掌握平行线的判定和性质的综合运用.
2. 让学生进一步学会识图，能将复杂图形分解为基本图形，会对已知条件和结论进行转化，能建立已知和未知间的联系，理解数学与实际生活的联系.
3. 通过体会平行线的判定和性质的联系与区别，让学生懂得事物是普遍联系又相互区别.
【学习重点】平行线的判定和性质的区别与联系.
【学习难点】平行线判定和性质灵活运用.
【自主学习】
思考讨论：问题 1：如何判定两直线平行
问题 2：如果两条直线平行，你可以得到什么性质
问题 3：平行线的判定与性质之间的关系.
问题 4： 平行线的其他判定方法，请用几何语言表示.
几何语言： 几何语言：
【合作探究】
探究点一、平行线的性质和判定的综合运用
【典型例题】例1 如图，点 D，F 分别是 BC，AB上的点，DF//AC，∠FDE =∠A. 对 DE // AB 说明理由，将下列解题过程补充完整.
解：∵DF //AC (已知)，
∴∠A =∠BFD ( )①.
∵∠A =∠FDE(已知)，
∴∠FDE = ∠BFD ( ).
∴DE // AB(
【变式训练1】：如图，C，D 是直线 AB 上两点，
∠1＋∠2＝180°，DE 平分∠CDF，EF∥AB.
(1) CE 与 DF 平行吗？为什么？
(2) 若∠DCE＝130°，求∠DEF 的度数．
归纳总结：
【练一练】
1.已知 AB⊥BF，CD⊥BF，∠1 = ∠2，试说明∠3 = ∠E.
2. 如图，∠1 + ∠2 = 180°，∠4 = 35° ，则∠3 等于______°.
探究点二、有关平行线的性质与判定的“拐点”问题
【典型例题】例2 如图，AB∥CD，∠BAE = ∠BCD，AE⊥DE，∠ABC = 35°，求∠CDE的度数.
【练一练】
3.（汉阳区期中）如图，∠1 = ∠2，∠E = ∠F ，判断 AB 与 CD 的位置关系 ，说明理由.
课堂检测
1．如图，AB∥CD，∠1＝58°，FG 平分∠EFD，则∠FGB 的度数为（ ）
A．122° B．151° C．116° D．97°
2．如图，∠1＝∠B，∠2＝25°，则∠D的度数为（ ）
A．25° B．45° C．50° D．65°
3．如图，下列结论不正确的是（ ）
A．若∠2＝∠C，则AE∥CD
B．若AD∥BC，则∠1＝∠B
C．若AE∥CD，则∠1＋∠3＝180°
D．若∠1＝∠2，则AD∥BC
第1题图 第2题图 第3题图
4．如图，若∠1＝40°，∠2＝40°，∠3＝120°，则∠4的度数为 _______.
5．如图，直线a⊥m，直线b⊥m.若∠1＝60°，则∠2的度数是_______.
6．如图，A、B、C三点在同一直线上，∠1＝∠2，∠3＝∠D，试判断BD与CF的位置关系，
7．如图，C，D是直线AB上的两点，∠1＋∠2＝180°，DE平分∠CDF，EF∥AB.
(1)CE与DF平行吗？为什么？
(2)若∠DCE＝130°，求∠DEF的度数．
参考答案
【自主学习】
问题1 除 3 种常用的判定方法，还有有关平行线基本事实的推论.
问题2 两直线平行，可以得到同位角、内错角和同旁内角相关的性质.
问题3 平行线的判定和平行线的性质是一个互逆的过程.
问题4 图①如果 a∥b，b∥c，那么 a∥c.图② 如果 a⊥b，a⊥c，那么 b∥c.
【合作探究】
探究点一、平行线的性质和判定的综合运用
【典型例题】
例1 两直线平行，内错角相等 等式的基本事实 内错角相等，两直线平行
①用的是平行线的性质，②用的是平行线的判定.
变式训练1 解：(1) CE∥DF. 理由如下：∵ ∠1＋∠2＝180°，∠1 + ∠DCE = 180°，∴∠2 = ∠DCE. ∴CE∥DF.
(2)∵CE∥DF，∠DCE = 130°，∴∠CDF = 180°－∠DCE = 180°－130° = 50°.
∵ DE 平分∠CDF，∴∠CDE = 1/2∠CDF = 25°.∵ EF∥AB，∴∠DEF =∠CDE = 25°.
【练一练】
1.解：∵∠1 = ∠2 (已知)，
∴ AB∥EF (内错角相等，两直线平行).∵ AB⊥BF，CD⊥BF，∴ AB∥CD
(垂直于同一条直线的两条直线平行).∴ EF∥CD(平行于同一条直线的两条直线平行).∴∠3 = ∠E (两直线平行，同位角相等). 2.35
探究点二、有关平行线的性质与判定的“拐点”问题
【典型例题】例2
解：过点 E 作 EK∥CD.∵AB∥CD，∴EK∥CD∥AB，
∴∠CDE＋∠DEK＝180°，∠BAE＋∠AEK＝180°，∠ABC＋∠DCB＝180°.
∵∠BAE＝∠BCD，∴∠AEK＝∠ABC＝35°.∵AE⊥DE，∴∠DEK＝90°－35°＝55°.∴∠CDE＝125°．
【练一练】
3.解：AB∥CD，理由如下：如图，延长 BE 交 DC 的延长线于点 M，
∵∠BEF = ∠F，∴BM∥FC.∴∠M = ∠2.∵∠1 = ∠2，∴∠M = ∠1.∴AB∥CD.
课堂检测
1. B 2. A 3. B 4. 60° 5. 120°
6.解：BD∥CF. 理由如下：∵∠1＝∠2，∴ AD∥BF.∴∠D＝∠DBF.
∵∠3＝∠D，∴∠3＝∠DBF.∴BD∥CF.
7.（1）解：CE∥DF. 理由如下：∵∠1＋∠2＝180°，∠1＋∠DCE＝180°，
∴∠2＝∠DCE.∴CE∥DF.
（2）解：∵CE∥DF，∠DCE＝130°，∴∠CDF＝180°－∠DCE＝180°－130°＝50°.
∵DE平分∠CDF，∴∠CDE＝1/2∠CDF＝25°.
∵EF∥AB，∴∠DEF＝∠CDE＝25°.第七章 相交线与平行线
7.4 平移
【学习目标】
1. 理解平移的基本特征.
2. 能按要求作出简单的平面图形平移后的图形，利用平移进行简单的图案设计.
3. 经历观察、分析、操作、概括等过程，探索进而认识平移的性质.
4. 进一步发展空间观念,增强审美意识.
【学习重点】能按要求作出平移图形.
【学习难点】理解并掌握平移的性质.
【自主学习】
我们知道点动成线，线动成面，面动成体，这些几何图形的形成中包含了怎样的运动状态呢 我们如何来描述这样的运动状态
图片中拉抽屉、开窗户这一运动有何特点？
【合作探究】
探究点一、平移的相关概念
讨论：观察下面美丽的图案，并回答问题：
(1)这些图案有什么共同特点
(2)能否根据其中的一部分绘制出整个图案
平移的定义：_______________________________________________________.
图形平移的方向不限于水平或竖直方向，图形可以沿平面内任何方向平移.
活动 1：如图，将一张半透明的纸盖在一个四边形ABCD 上，在纸上描出四边形，然后将这张纸沿着某一方向移动一定距离.
问题1：这两个四边形的形状、大小有什么关系
问题 2：在这两个四边形中，找出两组对应点 A 与 A'，B 与 B'，连接它们得到 AA' 和 BB'，AA' 和 BB' 有什么位置关系 测量它们的长度，它们的长度有什么关系
把一个图形平移，得到的新图形具有下列特点：
① 新图形与原图形的形状和大小完全相同；
② 新图形中的每一点，都是由原图形中的某一点移动后得到的，这两个点是对应点，连接各组对应点的线段平行(或在同一条直线上)且相等.
请欣赏埃舍尔的作品，并举例生活中平移的运用.
荷兰图形艺术学家埃舍尔在世界艺术中占有独一无二的位置，以其源自数学灵感的木刻、版画等做品而闻名.数学是他的艺术之魂，他在数学的匀称、精确、规则、循序等特性中发现难以言喻的美，同时用它无与伦比的禀赋，创作出广受欢迎的迷人作品.
【练一练】1. 下列现象中不属于平移的是 ( )
A. 滑雪运动员在平坦的雪地上滑雪
B. 火车在一段笔直的铁轨上行驶
C. 高楼的电梯在上上下下
D. 时针的旋转
探究点二、平移的作图与计算
活动 2：如图，平移三角形ABC，使点 A 移动到点 A'，画出平移后的三角形 A'B'C'.
问题 1：要画出平移后的三角形，首先需要确定什么
问题 2：你有其他办法画出平移后的图形吗 试一试.
【典型例题】
例1 如图，将三角形 ABC 沿着 BC 方向平移至三角形 DEF 处.若 EC = 2BE = 4，则 CF 的长为________.
思路点拨：根据平移的性质解题.
例2 如图是一块长方形的草地，长为 21 m，宽为 15 m. 在草地上有一条宽为 1 m 的小道，长方形的草地上除小道外长满青草. 问长草部分的面积为多少
【练一练】2.(1) 如下图，图中哪条线段可以由线段 b 经过平移得到？如何进行平移？
(2) 如下图，在网格中有△ABC，将点 A 平移到点 P，画出△ABC 平移后的图形.
① 将点 A 向___平移___格，再向___平移___格，得到点 P；
② 点 B，C 与点 A 平移的____一样，得到 B′，C′；
③ 连接__________，得到△ABC 平移后的三角形_____.
2. 如图，经过平移，三角形 ABC 的顶点 A 移到了点 D 处，作出平移后的三角形．
想一想：有其他的方法吗？
课堂检测
1.下列哪个图形是由左图平移得到的 ( )
2.如图，三角形 DEF 是由三角形 ABC 经过平移得到的，则平移的距离是 ( )
A.线段 BC 的长度 B.线段 EC 的长度 C.线段 BE 的长度 D.线段 BF 的长度
第2题图 第4题图 第5题图 第6题图
3.在汉字中，可通过平移构造汉字，如将“月”向左平移得汉字“朋”，请你写出一个通过平移得到的汉字__________.
4.如图，平移三角形 ABC 可得到三角形 DEF，如果∠C = 60°，AE = 7 cm，AB = 4 cm，
那么∠F =________ °，DB =_______cm.
5.如图，多边形的相邻两边均互相垂直，则这个多边形的周长为________ .
6.如图，两个大小一样的直角三角形重叠在一起，将其中一个三角形沿着点 B 到点 C 的方向平移到三角形 DEF 的位置，AB = 10，DH = 4，平移距离为 6，则阴影部分的面积为__________.
参考答案
【合作探究】
探究点一、平移的相关概念
讨论 （1）图中的每个图案都是由一些相同的图形组成，
（2）将其中的一个图形平移就能得到整个图案.
平移的定义 一般地，在平面内，将一个图形按某一方向移动一定的距离，这样的图形运动叫作平移.
问题1 形状、大小相等
问题2 AA' 和 BB' 平行且它们的长度相等.
【练一练】1. D
探究点二、平移的作图与计算
问题1 需要确定平移的方向和距离.
问题2 可以借助平行的思路来绘制，连接AA'. 过点 B 画 AA' 的平行线 l、在 l 上截取 BB' = AA'. 则点 B' 就是点 B 的对应点.类似地、作出点 C 的对应点 C'，连接 A'B'、B'C'、C'A'，就得到了平移后的三角形 A'B'C'.
【典型例题】例1 2 思路点拨：根据平移的性质解题.
例2 解：长草部分的面积为 (21 - 1)×15 = 300 (m2).
【练一练】
1.（1）线段 c 先向右平移 3 格，再向上平移 2 格.
（2）①右 4 下 5 ②步骤（距离+方向）③ P、B′、C′ △PB′C′
2.（1） 平移点然后依次连接 （2）平移线
课堂检测
1.C 2.C 3.林(答案不唯一) 4.60 1 5. 2a + 2b 6. 48第七章 相交线与平行线
7.1.3 两条直线被第三条直线所截
【学习目标】
1.了解同位角、内错角、同旁内角的概念，能从图形中辨别这样一一对应的角.
2. 通过观察、探究，辨别同位角、内错角、同旁内角，培养学生对图形的辨别能力.
3. 在学习过程中，培养学生不怕困难、勇于探究的精神.
【学习重点】同位角、内错角、同旁内角的概念.
【学习难点】复杂图形中两角关系的辨别.
【自主学习】
前面我们学习了两条直线相交会形成对顶角和邻补角的相关知识，那么如果两条直线与第三条直接相交，会出现哪些角的关系呢
让我们一起来学习吧!
【合作探究】
探究点一 认识同位角、内错角、同旁内角.
画一画：按下图画出直线 AB、CD 被 EF 所截.
简称“三线八角”.
活动 1：观察图中的∠1 和∠5，它们具有怎样的位置关系
①__________________________________________.
②__________________________________________.
知识要点:像具有∠1 和∠5这样位置关系的两个角叫做同位角.
讨论1：(1) 你能找出图中还有哪几对角构成同位角
(2) 两条直线被第三条直线所截构成的八个角中，共有几对同位角
【练一练】1. 下列图形中，∠1 和∠2 是同位角的有（ ）
A. (1)(2) B. (3)(4) C. (1)(2)(3) D.(2)(3)(4)
活动2：观察图中的∠3和∠5，它们有怎样的位置关系
①__________________________________________.
②__________________________________________.
知识要点:像具有∠3和∠5这样位置关系的两个角叫做内错角.
讨论2：(1)你能找出图中还有哪几对角构成内错角？
(2) 两条直线被第三条直线所截构成的八个角中，共有几对内错角？
【练一练】 如图，与∠1 是内错角的是 （ ）
A. ∠2 B. ∠3
C. ∠4 D. ∠5
活动3：如图，我们称∠3 和∠6 为同旁内角，你能根据两个角的特征，描述一下同旁内角的定义吗？
①__________________________________________.
②__________________________________________.
知识要点:像具有∠3和∠6这样位置关系的两个角叫做同旁内角.
讨论3：(1) 你能找出图中还有哪几对角构成同旁内角？
(2) 两条直线被第三条直线所截构成的八个角中，共有几对同旁内角？
【练一练】3. 下列图形中，∠1和∠2是同旁内角的有（ ）
【典型例题】
例1 如图，直线 DE，BC 被直线 AB 所截.
(1) ∠1 与∠2，∠1 与∠3，∠1 与∠4 各是什么关系的角？
(2) 如果∠1 = ∠4，那么∠1 与∠2 相等吗？∠1 与∠3互补吗？为什么？
例2如图，∠B 与哪个角是内错角，与哪个角是同旁内角？它们分别是哪两条直线被哪一条直线所截形成的？对∠C 进行同样的讨论.
例3 动手操作：请动手画出一组同位角、内错角、同旁内角.
思考：①根据例3 的动手操作，你能总结一下同位角、内错角、同旁内角分别具有哪些特征吗
② 你认为在图形中识别同位角、内错角、同旁内角的关键是什么
课堂检测
1．如图，直线 a，b 被直线 c 所截，∠1与∠2是（ ）
A．同位角 B．内错角 C．同旁内角 D．邻补角
2．如图，与∠1 是内错角的是（ ）
A．∠2 B．∠3 C．∠4 D．∠5
3．(教材P7 例3 变式)如图，下列说法错误的是（ ）
A．∠A与∠B是同旁内角
B．∠3与∠1是同旁内角
C．∠2与∠3是内错角
D．∠1与∠2是同位角
第1题图 第2题图 第3题图 第4题图
4．如图，∠B与 ________ 是直线 BC 和直线 _______ 被直线 ________ 所截形成的同位角．
5．如图，∠1 和∠2 是哪两条直线被哪一条直线所截形成的？它们是什么角？∠1 和∠3 是哪两条直线被哪一条直线所截形成的？它们是什么角？
参考答案
【合作探究】
探究点一、
①在直线 AB、CD 的同一方（上方） ②在直线 EF 的同侧（右侧）
讨论1 (1) ∠2 和∠6，∠3 和∠7，∠4 和∠8. (2) 4 对.
【练一练】 1. A
活动2 ① 在直线 AB、CD 之间 ② 在直线 EF 的两侧
讨论2 (1) ∠4 和∠6. (2) 2 对.
【练一练】 2. B
活动3 ①在直线 AB、CD 之间 ②在直线 EF 的同一旁（右侧）
讨论3 (1) ∠4 和∠5. (2) 2 对.
【练一练】 3. A
【典型例题】
例1 （1）内错角 同旁内角 同位角 （2） 相等 互补
例2 解：∠B 与∠DAB 是内错角，∠B 与∠BAE 是同旁内角，它们都是由 DE 与 BC 被 AB 所截形成的；∠B 与∠BAC 是同旁内角，它们是由 AC、BC 被 AB 所截形成的；∠B 与∠C 是同旁内角，它们是由 AB 与 AC 被 BC 所截形成的.
例3 作图略
课堂检测
1. A 2.B 3.D 4. ∠CAF AC BF
5.解：∠1 和∠2 是直线 EF，DC 被直线 AB 所截形成的同位角，
∠1 和∠3 是直线 AB，CD 被直线EF 所截形成的同位角．第七章 相交线与平行线
7.2.3 第1课时 平行线的性质
【学习目标】
1. 通过类比平行线的判定掌握平行线的性质，初步感受性质与判定间的互逆关系，发展推理意识.
2. 经历观察、操作，会运用两条直线是平行关系判断角相等或互补，锻炼识图能力，发展空间观念.
3. 能运用平行线的性质进行推理证明，培养数学语言表达能力，发展应用意识与实践能力.
【学习重点】理解平行线的性质.
【学习难点】能运用平行线的性质进行推理证明.
【自主学习】
回顾一下之前我们学习过的平行线的判定方法.
【合作探究】
探究点一、平行线的性质
画一画：任意画出两条平行线 (a∥b)，画一条截线 c 与这两条平行线相交，并用数字标出 8 个角.
活动 1：指出图中的同位角，并度量这些角，把结果填入下表:
第一组 第二组 第一组 第一组
同位角
角的度数
数量关系
活动2：将画出的同位角，选取任一组剪下后，进行叠合，并观察.
猜想：根据以上活动得出的数据与操作得出的结果可猜想：
________________________________________________________ .
在刚刚的图上，再画出一条截线 d，重复操作，你的猜想结论是否仍然成立
性质1 两条平行线被第三条直线所截，同位角相等.
简单说成：_________________________________.
几何语言：∵ a∥b，
∴ ∠1 = ∠2（ ）.【典型例题】例1 如图，a∥b，∠1 = 60°，
则∠2 的度数为( )
A.90° B.100°
C.110° D.120°
探究点二、平行线的性质2和性质3
问题1：如图，如果 a∥b，直线 c 与 a，b 相交，那么∠2 与∠3，∠2 与∠4 在数量上有什么关系 说一说，猜一猜.
问题 2：你能动手验证一下刚刚的猜想吗
如图，如果 a∥b ，能得出∠2 = ∠3 吗？
推导过程:
性质2：两条平行线被第三条直线所截，内错角相等.
简单说成：_______________________________________.
几何语言：
如图，如果 a∥b ，能得出 ∠2+∠4=180°吗？请分组证明并归纳定义.
性质3：两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补.
简单说成：_____________________________________ .
几何语言：
【典型例题】
例2 如图是一块梯形铁片的残余部分，量得∠A = 100°，∠B = 115°，梯形的另外两个角的度数分别是多少？
例3 光线在不同介质中的传播速度不同，因此当光线从水中射向空气时，要发生折射. 由于折射率相同，所以在水中平行的光线，在空气中也是平行的. 如图，当∠1 = 45°，∠2 = 122° 时，求∠3 和∠4 的度数.
【练一练】
1. (1)如图1，若 AB∥DE，AC∥DF，试说明∠A =∠D. 请补全下面的解答过程，括号内填写依据.
解: ∵ AB∥DE ( )，
∴∠A =_______ ( ).
∵ AC∥DF ( ) ，
∴∠D =______ ( ).
∴∠A =∠D ( ).
(2) 如图 2，若 AB∥DE，AC∥DF， 试说明∠A +∠D = 180°. 请补全下面的解答过程，括号内填写依据.
解： ∵ AB∥DE ( )，
∴∠A = ______ ( ).
∵AC∥DF ( ) ，
∴∠D + _______ = 180°.
( ).
∴∠A +∠D = 180° ( ).
课堂检测
1．如图，直线 a∥b，∠1＝50°，则∠2 的度数是（ ）
A．130° B．50° C．40° D．150°
2．如图，DE∥BC，BE 平分∠ABC. 若∠1＝66°，则∠CBE的度数为（ ）
A．33° B．32° C．22° D．56°
第1题图 第2题图 第3题图
3．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠A＝110°，则∠B＝_____________ ° .
4. 如图，把一块含有 45° 角的直角三角板的两个顶点放在直尺的对边上. 如果∠1 = 20°，
那么∠2 的度数是______.
5．如图，AB∥CD，∠1＝110°，∠2＝20°，则∠DEB＝_____________ °.
第5题图 第6题图
6．(教材P20习题T10变式)如图，AB∥CD，BE∥DF，∠B＝65°，求∠D 的度数．
参考答案
【自主学习】
【合作探究】
探究点一、平行线的性质
猜想 两直线平行，同位角相等
性质1 两直线平行，同位角相等 两直线平行，同位角相等
【典型例题】例1 D
探究点二、平行线的性质2和3
问题1 猜想：∠2＝∠3，∠2 ＋∠4＝180°
推导过程 解：∵ a∥b ∴ ∠1 = ∠2 (两直线平行，同位角相等).
又∵∠1 = ∠3(对顶角相等)，∴∠2 = ∠3 (等量代换).
性质2 两直线平行，内错角相等
几何语言 ∵ a∥b，∴ ∠2 = ∠3（两直线平行，内错角相等）.
证明：如果 a∥b，那么 ∠1 = ∠2因为∠1+∠4 = 180°(平角的定义)，
所以∠2+∠4 = 180°.
性质3 两直线平行，同旁内角互补
几何语言 ∵ a∥b，∴ ∠2 +∠4 = 180°（两直线平行，内错角相等）.
【典型例题】
例2 ∠D+∠A = 180°∠C+∠B = 180° ∠D = 80°∠C = 65°
例3 解：由题意得，AE∥BF，∴∠1 = ∠3 = 45°.
因为 AB∥CD，∴∠2 +∠5 = 180°，即∠5 = 58°.又因为 AC∥BD，
∴∠5 = ∠4 = 58° .
【练一练】1 （1）已知 ∠CPE 两直线平行，同位角相等 已知 ∠CPE 两直线平行，同位角相等 等量代换
（2）已知 ∠CPD 两直线平行，同位角相等 已知 ∠CPD 两直线平行，同旁内角互补 等量代换
课堂检测
1. B 2.A 3. 70 4.25° 5.90
6.解：∵AB∥CD，∴∠BED＝∠B＝65°.
∵BE∥FD，∴∠BED＋∠D＝180°.
∴∠D＝180°－∠BED＝180°－65°＝115°.
两直线平行第七章 相交线与平行线
7.3.1 定义、命题
【学习目标】
1. 掌握定义、命题的概念，并能分清命题的组成.
2. 通过讨论、探究、交流等形式，让学生在辩论中获得知识体验.
3. 在学习过程中培养学生敢于怀疑、大胆探究的品质.
【学习重点】掌握定义、命题的概念.
【学习难点】分清命题的组成，能判断一个命题是真命题还是假命题.
【自主学习】
比比谁能答得又快又准.
对顶角的性质：
平行公理的推论：
平行线的判定方法：
平行线的性质：
【情境导入】
刘徽与 “正负数” 定义
在中国古代数学的发展历程中，刘徽有着举足轻重的地位. 在《九章算术》的注释中，他对正负数给出了清晰的定义和解释.
刘徽是这样定义正负数的：“今两算得失相反，要令正负以名之.” 意思是当两种数量具有相反的意义时，就分别用正数和负数来命名它们.他还规定了用红色算筹表示正数，黑色算筹表示负数（或者用正放的算筹表示正数，斜放的算筹表示负数）. 在方程术的应用中，正负数的定义更是发挥了关键作用.
【合作探究】
探究点一、定义
以前我们在学习一些新的数学对象时，对它们进行了清晰、明确的描述.
例如：规定了原点、正方向和单位长度的直线叫作数轴.
讨论：你能举出其他类似的例子吗
(1) 规定了原点、正方向和单位长度的直线叫作数轴.
(2) 使方程左、右两边的值相等的未知数的值，叫作方程的解；
(3) 从一个角的顶点出发，把这个角分成两个相等的角的射线， 叫作这个角的平分线；
(4) 直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫作点到直线的距离.
思考：我们举出的这些例子，有些什么特征
【概念归纳】
我们举例的一些描述称为数学对象的定义，一个数学对象的定义揭示了它的本质特征，能够帮助我们准确地理解它，并作出准确的判断.
例如，“数轴”指的是一条直线，而且这条直线上有规定的原点、正方向和单位长度；
根据方程的解的定义，可以判断 x = 3/2是方程 2x = 3 的解.
探究点二、命题
讨论：我们一起来看一些可以判断正确与否的陈述.
1. 对顶角相等；
2. 如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也相互平行；
3. 同位角相等，两直线平行；
4. 两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补.
思考：上述这些语句有什么特征
归纳小结：
像这样可以判断为正确(或真)或错误(或假)的陈述句，叫作______.被判断为正确(或真)的命题叫作________，被判断为错误(或假)的命题叫作________.
注意：只要对一件事情作出了判断，不管正确与否，都是命题.
不是命题的形式，如：
① 疑问句；如：你喜欢数学吗？
② 感叹句；如：今天天气很好啊！
③ 祈使句；如：作线段 AB = CD.
【典型例题】例1观察下列命题，你能发现这些命题有什么共同的结构特征？
与同伴交流.
(1) 如果两个三角形的三条边分别相等，那么这两个三角形的周长相等；
(2) 如果两个数的绝对值相等，那么这两个数也相等；
(3) 如果一个数的平方等于 9，那么这个数是 3.
思考：上面这些命题，哪些是真命题 哪些是假命题 你对命题的结构理解了吗
数学中的命题常可以写成“如果……那么……”的形式，这时“如果”后接的部分是题设，“那么”后接的部分是结论.
题设:________________.结论:________________.
例2 请将下列命题改写成“如果······那么······”的形式，并指出条件和结论.
(1) 垂直于同一直线的两条直线互相垂直.
(2) 过一点有且只有一条直线与已知直线平行.
【合作探究】指出下列各命题的条件和结论，其中哪些命题是正确的，哪些错误的 你是如何判断的 与同伴进行交流.
(1) 如果两个数互为相反数，那么这两个数的绝对值相等；
(2) 如果两个角互补，那么它们是邻补角.
归纳小结：判断命题的真假：正确的命题就是真命题；错误的命题就是假命题.
真命题——可以用推理的方法，假命题——可以举反例来说明.
反例：指具备命题的条件，而不具备命题的结论的例子.
【练一练】1. 判断下列命题的真假.
(1) 同旁内角互补 ( )
(2) 一个角的补角大于这个角 ( )
(3) 相等的两个角是对顶角 ( )
(4) 两点可以确定一条直线 ( )
(5) 两点之间线段最短 ( )
(6) 同角的余角相等 ( )
课堂检测
1.下列语句中，不是命题的是( )
A. 两点之间线段最短
B. 对顶角相等
C. 不是对顶角不相等
D. 过直线 AB 外一点 P 作直线 AB 的垂线
2. 有下列句子：① -2 的相反数是 2；② x = 1是 2x + 3 = 5 的解吗 ③过点 A，B 画直线 AB；④已知a + b = 1；⑤两个单项式可以合并同类项；⑥互余的两个角不一定相等. 其中，是命题的有( )
A. 1 个 B. 2 个 C. 3 个 D. 4 个
3. 把命题“平行于同一条直线的两条直线互相平行”改写成“如果······那么······”的形式
为____________________________________________________________________，
它是_______命题.
4. 写一个学过的定义的例子____________________________________________________.
5. 下面有 3 个命题：① 同位角相等；② 内错角相等，两直线平行；③平方后等于 4 的数一定是 2. 其中____________是真命题(填序号).
6.举反例说明下列命题是假命题.
(1)若两个角不是对顶角，则这两个角不相等；
(2)若ab = 0，则 a + b = 0.
7. 已知：三条不同的直线 a，b，c 在同一平面内：
① a∥b；② a⊥c；③ b⊥c；④ a⊥b. 请你用 ①②③④ 所给出的其中两个事项作为条件，其中一个事项作为结论(用如果······那么······的形式，写出命题，例如：如果 a⊥c，b丄c，那么 a∥b).
(1)写出一个真命题，并证明它的正确性；
(2)写出一个假命题，并举出反例.
参考答案
【合作探究】
探究点一、定义
思考 都是“……叫作……”的形式.
探究点二、命题
思考 都是在对一件事进行判断.
归纳小结 命题 真命题 假命题
【典型例题】例1 （1）是真命题 （2）（3）是假命题.
已知事项 已知事项推出的事项
【典型例题】例2 如果两条直线垂直于同一直线，那么这两条直线互相垂直.
如果过一点向已知直线做平行线，那么这种直线有且只有一条.
合作探究 （1）命题正确 （2）命题错误
【练一练】1. （1）× （2）× （3）× （4）√ （5） √（6） √ （7）√
课堂检测
1.D 2.C 3.如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行 真
4.直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫作点到直线的距离(答案不唯一)
5.②
6.解：(1) 两条平行直线被第三条直线所截形成的内错角，这两个角不是对顶角，但是它们相等.(2)当 a = 5，b = 0 时，ab = 0，但 a + b ≠ 0.
7.解：(1) 如果 a丄c，b丄c，那么 a∥b.
证明如下：如图，∵ a丄c，b⊥c，
∴∠1 = 90°，∠2 = 90°. ∴∠1 = ∠2. ∴a∥b.
(2)如果 a丄c，b丄c，那么 a丄b.
反例：如图，如果a丄c，b丄c，那么a∥b.第七章 相交线与平行线
7.3.2 定理、证明
【学习目标】
1. 掌握定理的概念，并能分清命题与定理之间的关系.
2. 了解证明的意义，知道要判断一个数学结论是否正确，仅仅依靠经验、观察或实验是不够的，必须一步一步、有理有据地进行推理.
【学习重点】掌握定理的概念，了解证明的意义.
【学习难点】掌握推理的方法和步骤.
【自主学习】
1. 什么叫定义
2. 命题的结构是什么
思考：如何证实一个命题是真命题呢？
古希腊数学家欧几里得 (公元前 300 年前后) 编写了一本书，书名叫做《原本》. 为了说明每一结论的正确性，他在编写这本书时进行了大胆创造：挑选了一部分数学名词和一部分公认的真命题作为证实其他命题的出发点和依据.
【合作探究】
探究点一、定理
讨论：判断下列命题哪些是真命题 哪些是假命题
(1) 在同一平面内，如果一条直线垂直于两条平行线中的一条，那么也垂直于另一条；
(2) 如果两个角互补，那么它们是邻补角；
(3) 如果 | a | = | b |，那么 a = b；
(4) 经过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行；
(5) 两点确定一条直线.
(1) 在同一平面内，如果一条直线垂直于两条平行线中的一条，那么也垂直于另一条；
(4) 经过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行；
(5) 两点确定一条直线.
上面练习中的(1)的正确性是经过推理证实的，这样得到的真命题叫作定理.
定理也可以作为继续推理的依据.(4)(5)是真命题，属于基本事实.
基本事实：不需要证明，除了基本事实外，其他真命题的正确性都需要通过演绎推理的方法证实.
思考1：你能举例说出几个学过的定理吗
思考2：你能举例说出几个学过的基本事实吗
探究点二、证明
讨论：前面我们学习了命题、定理，现在我们来学习证明，命题、定理和证明之间有什么联系和区别
定义，命题，基本事实，定理之间的区别与联系：
【典型例题】例1如图，已知直线 a⊥b，b∥c，求证：a⊥c．
例2 如图，给出下列论断：(1) AB∥DC，(2)AD∥BC，(3) ∠A +∠ABC = 180°，(4)∠ABC +∠C = 180°，以其中一个作为题设，另一个作为结论，写出一个真命题.想一想，若连接 BD，你能试着写出一个真命题并写出其推理过程吗
思考：证明需要注意些什么
归纳小结
课堂检测
1. 请把下面证明过程补充完整.
如图，已知 AD⊥BC 于点 D，点 E 在 BA 的延长线上，EG⊥BC 于点 C，交 AC 于点 F，∠E =∠1.求证：AD 平分∠BAC.
证明：∵AD⊥BC，EG⊥BC，
∴∠ADC = ∠EGC = 90°( ).
∴ AD∥EG ( ).
∴∠1=∠2( )，
∠E =∠3( ).
∵∠E =∠ (已知)，∴∠2 =∠3( ).
∴AD 平分∠BAC ( ).
2. 如图，现有以下 3 个论断：①AB∥CD；
②∠B =∠C；③∠E =∠F. 请以其中 2 个论断为条件，另一个论断为结论构造命题.
(1) 你构造的是哪几个命题
(2) 请选择其中一个真命题加以证明.
3.如图，点D在AB上，直线DG交AF于点E.请从①DG∥AC，②AF平分∠BAC，③∠DAE=∠DEA 中任选两个作为题设，余下一个作为结论，构造一个真命题，并予以证明.
题设：_______，结论：_______. (均填写序号)
参考答案
【自主学习】
1.我们举例的一些描述称为数学对象的定义，一个数学对象的定义揭示了它的本质特征，能够帮助我们准确地理解它，并作出准确的判断.
2.数学中的命题常可以写成“如果……那么……”的形式，这时“如果”后接的部分是题设，“那么”后接的部分是结论.
【合作探究】
探究点一、定理
讨论 （1）真命题 （2）假命题 （3）假命题 （4）真命题 （5）真命题
思考1 对顶角相等，内错角相等，两直线平行
思考2 1. 两点确定一条直线. 2. 两点之间线段最短.3. 同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直.4. 两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行 (简述为：同位角相等，两直线平行).5. 过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行.
探究点二、证明
讨论：在很多情况下，一个命题的正确性需要经过推理，才能作出判断，这个推理过程叫作证明.
【典型例题】
例1证明：∵ a⊥b(已知)，∴ ∠1 = 90°(垂直的定义).
又 ∵ b∥c(已知)，∴∠2 =∠1 = 90°(两直线平行，同位角相等).
∴∠2 = 90°(等式的基本事实).∴ a⊥c(垂直的定义).
例2 如果 AB∥DC，那么∠A +∠B = 180°.如果 AB∥DC，那么∠ABD =∠BDC.
证明：∵AB∥DC(已知)，∴∠ABD =∠BDC(两直线平行，同位角相等).
思考 证明中的每一步推理都要有根据，这些根据可以是已知条件，也可以是学过的定义、基本事实、定理等.
课堂检测
1. 垂直的定义 同位角相等，两直线平行 两直线平行，内错角相等 两直线平行，同位角相等 1 等量代换 角平分线的定义
2. 解：(1)由①②得③；由①③得②； 由②③得①.
(2) 由①②得③，证明过程如下：
∵ AB∥CD，∴∠EAB =∠C.又∵∠B =∠C，∴∠EAB = ∠B.∴CE∥BF. ∴∠E =∠F. (答案不唯一)
3. ①② ③ 证明:∵DG∥AC，∴∠DEA=∠EAC．
∵AF平分∠BAC，∴∠DAE＝∠EAC.∴∠DAE＝∠DEA．(答案不唯一)第七章 相交线与平行线
7.2.1 平行线的概念
【学习目标】
1. 理解平行线的意义，了解同一平面内两条直线的位置关系.
2. 理解并掌握平行线的基本事实及其推论.
3. 会根据几何语句画图，会用直尺和三角板画平行线.
4. 通过对几何模型的操作，培养学生的直觉思维和创造性思维，使学生获得成就感.
【学习重点】探索和掌握平行线的基本事实及推论.
【学习难点】对平行线基本事实的理解.
【自主学习】
思考：图中铁轨、操场上跑道中的分道线、围栏的栏杆会不会出现交点 在位置上给人怎样的感觉
【合作探究】
探究点一、平行线的概念
活动1：分别将木条 a，b 与木条 c 钉在一起，并把它们想象成在同一平面内两端可以无限延伸的三条直线， 顺时针转动 a .
(1) 直线 a 与直线 b 的交点位置将发生什么变化
(2) 在这个过程中，有没有直线 a 与 b 不相交的位置
知识要点.在同一平面内，不重合的两条直线有两种位置关系：____________.
定义：同一个平面内，不相交的两条直线互相平行.
注意事项：书写时需要注意大小写.
【练一练】1. 在下图中，哪些线段是相互平行的？
探究点二、平行线的画法、基本事实及其推论.
活动 2：平行线的画法
(1) 如何画平行线呢 给一条直线 a，你能画出直线 a 的平行线吗
(2) 过点 B 画直线 a 的平行线能画几条 过点 C 再试试.它和前面过点 B 画出直线平行吗？
知识要点.平行线的基本事实：________________________________________.
如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也 ______________ .
【练一练】2. 下列推理正确的是（ ）
A. 因为 a∥d，b∥c，所以 c∥d
B. 因为 a∥c，b∥d，所以 c∥d
C. 因为 a∥b，a∥c，所以 b∥c
D. 因为 a∥b，c∥d，所以 a∥c
3.下列说法正确的是( )
A.同一平面内不相交的两线段必平行
B.同一平面内不相交的两射线必平行
C.同一平面内不相交的一条线段与一条直线必平行
D.同一平面内不相交的两条直线必平行
反思提升：
课堂检测
1．在同一平面内，两条不重合直线的位置关系可能是（ ）
A．垂直或平行 B．垂直或相交
C．平行或相交 D．平行、垂直或相交
2．在同一平面内，若两条直线相交，则公共点的个数为___________；若两直线平行，则公共点的个数为___________.
3．如图，已知直线 a、点 B、点 C，分别过点B、点C 画直线 a 的平行线 b，平行线 c，则直线 b 和 c 的位置关系是__________ (填“相交”或“平行”)．
第3题图 第5题图
4．在同一平面内有三条直线，如果使其中有且只有两条直线平行，那么这三条直线有且只有 ___________ 个交点.
5．如图，已知A，B，C三点及直线EF，过点B作AB∥EF，过点B作BC∥EF，那么A，B，C三点一定在同一条直线上，依据是___________________________．
6．找出图中互相平行的线段(不考虑网格线的线段)．
参考答案
【合作探究】
探究点一、平行线的概念
活动1 （1）交点位置将往左边移动 （2）存在这样的一个位置
知识要点 相交与平行
【练一练】1 HI∥FG，ML∥NO.
探究点二、平行线的画法、基本事实及其推论
活动2 （1） 可以 （1放2靠3推4画）（2）一条 两条直线都与a平行
知识要点 过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行 互相平行
【练一练】2.C
课堂检测
1. C 2. 1 0 3. 平行 4. 2
5. 过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行
6. AC∥HF，DE∥HJ.第七章 相交线与平行线
7.1.2 两条直线垂直
【学习目标】
1. 掌握垂线、垂线段、点到直线的距离等概念，掌握垂线的性质，会过一点画一条直线的垂线.
2. 通过探索垂线的性质，能解决相关的垂线问题，并能够进行简单的说理.
3. 体会垂线在实际问题中的应用，感受数学与生活的密切联系.
【学习重点】垂线的概念、画法和垂线的两个性质.
【学习难点】垂线的画法，理解点到直线的距离.
【自主学习】
如图 ①，当直线 AB 绕点 O 逆时针旋转∠AOC = 90° 时(如图②)，你能求出其他角的度数吗 此图形有什么特点 此时两直线的位置有什么关系？
【合作探究】
探究点一 垂直、垂线、垂足的概念
1.取两根木条 a、b，将它们钉在一起，固定木条 a ，转动木条 b，a、b 所成的夹角 α .
问题1：在木条 b 的转动过程中，什么量也随之发生改变
问题 2：木条 b 与 a 成 90° 的位置有几个 此时，木条 b 与 a 所在的直线有什么位置关系
2.知识要点：
①.两条直线 a，b 相交所成的四个角中，有一个角是直角时，叫作这两条直线______________，记作__________ .
②.两条直线互相垂直，其中的一条直线叫作另一条直线的_________，它们的交点叫做___________.
3.垂直的判定与性质
①判定：如图，若直线 AB 与 CD 相交于点 O，
∠AOD = 90°，则 AB⊥CD，垂足为 O.
符号语言：因为∠AOD = 90°（已知），
所以 AB⊥CD（垂直的定义）.
②性质：若直线 AB⊥CD ，垂足为 O，则∠AOD = 90°.
符号语言：因为 AB⊥CD（已知），
所以∠AOD = 90°（垂直的定义）.
(∠AOC = ∠BOC = ∠BOD = 90°)
4.思考与反思.
① 两条直线垂直和相交是什么关系
② 能否认为在同一平面内，两条直线的位置关系有 3 种：相交、平行、垂直
③ 如何判定两条射线垂直 两条线段呢
5.讨论：和同学讨论，试试举出生活中有关垂直的例子.
【典型例题】
例1 (1)如图1，直线 m、n 交于点 O，∠1= 90°，则 m______n；
(2) 若直线 AB、CD 相交于点 O，且 AB⊥CD，则∠BOD =______°；
(3) 如图2，BO⊥AO，∠BOC 与∠BOA 的度数之比为 1∶5，那么∠COA＝_____°，∠BOC 的补角为_________ °.
探究点二 垂线的画法及基本事实
画一画：用三角尺或量角器画已知直线 l 的垂线.
(1) 经过直线 l 上的一点 A 画 l 的垂线，这样的垂线能画几条
(2) 过直线 l 外的一点 B 画 l 的垂线，这样的垂线能画几条
基本事实：在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直.
画图流程：1.放 2.靠 3.移 4.画
探究点三 垂线的性质及应用
在灌溉时，要把河中的水引到菜地 P 处，如何挖掘能使渠道最短？
讨论：(1) 你能将这个实际问题转化成数学问题吗？
(2) 在直线上有无数个点，试着取几个点与点 P 相连，比较一下线段的长短．你有什么发现？
(3) 你能猜想一下最短的位置会在哪儿？它唯一吗？为什么？
(4) 你能用一句话总结出观察得出的结论吗？
垂线性质：____________________________________________;
简单说成：______________________．
点到直线的距离：直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫作点到直线的距离.
线段 PO 的长度叫作点到直线的距离.
(5) 如果图中的比例尺为 1:100 000，水渠大约要挖多长 (比例尺=图上距离÷实际距离)
(6) 与你的同桌讨论，试着列举生活中类似的实例.
【练一练】
1. 如图，下列说法正确的是 （ ）
A.线段 AB 叫做点 B 到直线 AC 的距离
B.线段 AB 的长度叫做点 A 到直线 BC 的距离
C.线段 BD 的长度叫做点 D 到直线 BC 的距离
D.线段 BD 的长度叫做点 B 到直线 AC 的距离
思路点拨：注意点到直线的距离的定义.
课堂检测
1. 在数学课上，同学们在练习过点 B 作线段 AC 所在直线的垂线段时，有一部分同学画出下列四种图形，其中正确的是( )
A B C D
2.如图，从位置 P 到直线公路 MN 共有四条小道，若用相同的速度行走，能最快到达公路 MN 的小道是( )
A. PA B. PB C. PC D. PD
3. 如图，已知 AB 上 BC，垂足为 B，AB = 3，点 P 是射线 BC 上的动点，则线段 AP 的长不可能是( )
A. 2.5 B. 3 C.4 D. 5
4.【教材 P8 习题 T3 变式】如图，已知点 O 在直线AB 上，CO⊥DO 于点 O. 若∠1 = 150°，则∠3 的度数为( )
A. 30° B. 40° C. 50° D. 60°
5. 如图，点 A 到 BC 的距离是线段 _________ 的长，BC的长是点______ 到直线 __________的距离.
第2题图 第3题图 第4题图
6. 如图，在某村村头 P 处有一条河流，为方便出行，村民想在两岸搭起一座简易木桥，则在 ______________ 处搭建最短.
第5题图 第6题图
7. 如图，O 是直线 AB 上的一点，OC⊥OD，垂足为 O .
(1)若∠BOD = 32°，求∠AOC 的度数；
(2)若∠AOC :∠BOD = 2 : 1，求∠BOD 的度数.
参考答案
【合作探究】
探究点一、垂直、垂线、垂足的概念
问题1 a 与 b 所成的角也随之发生改变.
问题 2 唯一一个，a 与 b 垂直.
知识要点 ① 互相垂直 a⊥b. ② 垂线 垂足.
思考与反思 ① 垂直属于相交的特殊情况. 所有垂直的两条直线一定相交，但相交的两条直线不一定垂直.
② 在同一平面内，两条直线的位置关系只有两种：相交和平行.
③ 如果两条射线所在的直线相交，并且所成的角为90°，那么这两条射线垂直.将线段延长，使其成为直线，如果这两条直线相交且所成的角为90°，那么这两条线段垂直.
【典型例题】
例1 （1）⊥ (2) 90 (3) 72 162
探究点二、垂线的画法及基本事实
画一画（1）1条 （2）一条
探究点三、
讨论 （1）在直线 l 上是否存在这样一点，它与点 P 的连线在所有连接直线 l 与点 P 的线段中长度最短？
（2）运用直尺测量发现，线段PO 的长度最短.
（3）这样的线段 PO 只有一条.
（4）垂线性质：连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短．
简单说成：垂线段最短．
（5）图中 4.7 cm，实际 4700 m.
（6）合理即可
【练一练】1 D
课堂检测
1.A 2.B 3.A 4.D 5. AC B AC 6. B
7.解：(1) 因为 OC⊥OD，所以∠COD = 90°.
因为∠AOB 是平角，所以 ∠AOB = 180°.
因为∠BOD = 32°，
所以∠AOC = 180° - ∠BOD - ∠COD = 58°.
(2)因为∠COD = 90°，∠AOB =180°，
所以∠AOC +∠BOD = 180° - ∠COD = 90°.
又因为∠AOC : ∠BOD = 2 : 1，则∠AOC = 2∠BOD.
所以3∠BOD = 90°. 所以∠BOD = 30°.第七章 相交线与平行线
7.2.2 平行线的判定
【学习目标】
1. 通过观察、思考、探索等活动掌握平行线的三种判定方法.
2. 通过学生体验、猜想并说理，让学生体会到数学充满着探索和创造，培养学生团结协作、勇于创新的能力.
【学习重点】两条直线平行的三种判定方法.
【学习难点】识别各种图形下平行线判定方法的灵活应用.
【自主学习】
(1) 同一平面内不重合的两条直线，有哪几种位置关系
(2) 判定两条直线平行的方法有哪些呢
【合作探究】
探究点一、利用同位角判定两条直线平行
思考：你还记得如何用三角尺和直尺画平行线的方法吗？
问题1：画图过程中，三角尺起着什么作用？
问题2：直线 a，b 位置关系如何？
判定方法1：两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行.简单说成：_____________________________________.
数学语言：因为∠1=∠2 ,
所以 a∥b（同位角相等，两直线平行）.
【典型例题】
例1 如图，你能说出木工用图中的角尺画平行线的道理吗？
【练一练】1. 如图，用直尺和三角尺作直线 AB，CD，从图中可知，直线 AB 与直线 CD 的位置关系是__________，理由是__________________________.
探究点二、利用内错角、同旁内角判定两条直线平行
如图，依据刚刚学的知识我们知道，同位角相等，两直线平行.
问题 1：能否利用内错角来判定两直线平行呢 如图，如果∠2 = ∠3，那么 a 与 b 平行吗
推导过程：
判定方法2：两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行.简单说成：_____________________________.
问题 2：能否利用同旁内角来判定两条直线平行呢 如图，如果∠2+∠4 = 180°，那么 a 与 b 平行吗
推导过程：
判定方法3：两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行.简单说成：___________________________________.
【练一练】2. 根据条件完成填空.
①∵∠2 = ∠6 (已知)，
∴ ___∥___ ( ).
②∵ ∠3 = ∠5 (已知)，
∴ ___∥___ ( ).
③∵ ∠4 + ___ = 180° (已知)，
∴ ___∥___ ( ).
3.如图，已知∠MCA = ∠A，∠MCA = ∠CDE，那么 AB∥DE 吗？为什么？
【典型例题】例2 如图，BE 是 AB 的延长线.
(1) 由∠CBE =∠A 可以判定哪两条直线平行
依据是什么
(2) 添加一个条件使 AE∥CD.
(3) 由∠D +∠A = 180°可以判定哪两条直线平行 依据是什么
课堂检测
1．如图，能判定EB∥AC的条件是（ ）
A．∠A＝∠ABE B．∠A＝∠EBD
C．∠C＝∠ABC D．∠C＝∠ABE
2. 如图，已知 a，b，c 为平面内三条不同的直线，若 a丄b，c⊥b，
则 a 与 c 的位置关系是______________ .
第1题图 第2题图 第3题图
3. 如图，有以下四个条件：
①∠B + ∠BCD = 180°；②∠1 = ∠2；
③∠3 =∠4；④∠B =∠5. 其中能判定AB∥CD的条件有_________(填序号).
4．若想检验一块破损的木板(如图)的两条直的边缘AB，CD是否平行，你的办法是________________________________________________________________________________(工具不限，可结合图形进行说明，只要能说清思路即可)．
5．已知：如图，∠BAD＝∠DCB，∠BAC＝∠DCA.
试说明：AD∥BC.
解：∵∠BAD＝∠DCB，
∠BAC＝∠DCA( )，
∴∠BAD－___________＝∠DCB－____________ .
即___________＝___________ .
∴AD∥BC( )．
6．如图，直线 AB，CD 被直线 EF 所截，H 为 CD 与EF 的交点，GH⊥CD 于点 H，∠2＝30°，∠1＝60°，能得到 AB∥CD吗？试说明理由．
参考答案
【自主学习】
（1）相交或平行 （2）在同一平面内，两条不相交的直线互相平行.
【合作探究】
探究点一、利用同位角判定两条直线平行
思考 1放2靠3推4画
问题1 保持∠1与∠2 相等 问题2 a∥b
判定方法1 同位角相等，两直线平行
【典型例题】例1 同位角相等，两直线平行
【练一练】 1 AB∥CD 同位角相等，两直线平行
探究点二、利用内错角、同旁内角判定两条直线平行
问题1 推导过程 因为∠1 = ∠2(已知条件)，
∠2 = ∠4(对顶角相等)，
所以∠1 = ∠4(等量代换).
所以 a∥b (同位角相等，两直线平行).
判定方法2 内错角相等，两直线平行
问题2 因为∠1+∠3 = 180°，
∠4+∠3 = 180°(平角的定义)，
所以 ∠1 = ∠4，(同角的补角相等)
所以 a∥b .(同位角相等，两直线平行)
同旁内角互补，两直线平行
【练一练】
2. ①.AB CD 同位角相等，两直线平行②.AB CD 内错角相等，两直线平行
③.AB CD 同旁内角互补，两直线平行
3.解：∵∠MCA = ∠ A（已知），∠MCA =∠CDE ∴ ∠CDE = ∠A.∴ AB∥DE（同位角相等，两直线平行）.
【典型例题】例2
（1）AD∥BC，依据是同位角相等，两直线平行.
（2）∠CBE =∠C (答案不唯一)
（3）AE∥CD. 依据是同旁内角互补，两直线平行.
课堂检测
1. A 2. 平行 3. ①③④
4. 画一条直线 l⊥AB，并测量 l 与 CD 的夹角，若夹角为 90°，则 AB 与 CD 平行；否则不平行.
5.已知 ∠BAC ∠DCA ∠DAC ∠BCA 内错角相等，两直线平行
6.解：能得到 AB∥CD. 理由如下：
∵GH⊥CD，∴∠CHG＝90°.
又∵∠2＝30°，
∴∠3＝90°－∠2＝60°. ∴∠4＝60°.
又∵∠1＝60°，∴∠1＝∠4.
∴AB∥CD (同位角相等，两直线平行)．

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