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(共92张PPT)
专题十 磁场
考向二 带电粒子在匀强磁场中的运动
2025年高考物理专题复习资料
考点切片
考点1 对洛伦兹力的理解及应用
1.（2024东北三省四市联考）图甲中，在 轴上关于原点对称的位置固定两个等量异种
点电荷。图乙中，在 轴上关于原点对称的位置固定两根垂直于坐标轴平面的长直平行
导线，两根导线中电流大小相同、方向相反。现一个电子以一定的初速度分别从两图中
的点垂直于坐标轴平面向里运动，则关于两幅图中电子在原点 处受力的说法正确的
是( )
C
A.图甲中，电子受到的电场力方向沿 轴正向
B.图甲中，电子受到的电场力方向沿 轴正向
C.图乙中，电子受到的洛仑兹力方向沿 轴正向
D.图乙中，电子受到的洛仑兹力方向沿 轴正向
【解析】 题图甲中,正电荷在点的电场强度沿轴正向,负电荷在 点的电场
强度沿轴正向,则点的合电场强度沿轴正向,电子受电场力方向沿 轴负向。
题图乙中,根据安培定则可知两根导线在点的磁场方向均沿轴负向,则 点的
合磁场方向沿轴负向,根据左手定则可知电子受到的洛伦兹力方向沿 轴正向。
2.情境创新（2024河南驻马店高级中学期中）如图所示，在真空中有两根长且直的平行
导线，其中只有一根携带稳定的电流，其方向未知。一个电子在两根导线确定的平面内
从点移动到点 的轨迹如图所示。以下表述正确的是( )
A
A.导线携带电流，方向从流到 B.导线携带电流，方向从流到
C.导线携带电流，方向从流到 D.导线携带电流，方向从流到
【解析】 本题属于给出结果,让找出产生这种结果的原因。结果：轨迹 。原因：
观察轨迹发现电子越靠近导线,轨迹半径越小,根据洛伦兹力提供向心力有 ,
,故越靠近导线磁感应强度越大,因此一定是 导线携带电流；电子做曲线运
动,受到的合外力方向指向弯曲轨迹的凹侧,则根据左手定则可知,电子所在区域的磁场方
向垂直纸面向外,其中只有一根导线携带稳定的电流,根据安培定则可知, 导线携带电流,
方向从流到 。
考点2 磁场轨迹问题
解题觉醒
1.题型特征：带电粒子（不计重力）在匀强磁场中做匀速圆周运动。
2.解题技巧
（1）直线边界磁场：粒子进入磁场和离开磁场时速度
方向与边界的夹角相等,口诀“等角进出”，如图甲。
（2）圆形磁场：粒子沿径向射入，沿径向射出；口诀
“径向进出”，如图乙。
3.解题思路
（1）画轨迹：根据进、出点或洛伦兹力方向画运动轨迹。
（2）定圆心：①过进、出磁场两点处粒子速度垂线的交点为运动轨迹的圆心；②过任
一点粒子的速度垂线和一条弦的中垂线交点为运动轨迹的圆心。
（3）找半径：利用几何关系求半径。
（4）找角度：粒子在磁场中运动时间，轨迹（劣弧）的圆心角 对应弦的
圆心角倍速弦角，轨迹（优弧）的圆心角 倍速弦角。
3.如图所示，在足够长的水平线上方有方向垂直于纸面向里、范围足够大的匀强磁场区
域。一带负电的粒子从点沿与边界成 角的方向以初速度 垂直磁场方向射入
磁场中，经时间从 点射出磁场。不计粒子重力，下列说法正确的是( )
D
A.粒子 在磁场中偏转的弦长是其做圆周运动半径的2倍
B.若粒子的初速度增大为 ，则粒子射出磁场时与水平线的
夹角为
C.若粒子的初速度增大为，则经时间 射出磁场
D.若磁场方向垂直于纸面向外，粒子还是从 点沿原方向以初
速度射入磁场中，则经时间 射出磁场
【解析】 偏转的弦长即为侧移距离,则 。
无论速度大小如何变化,速度偏转角均相等,则射出方向始终互相平行,因此夹角不变。
（【点拨】根据大招56知,粒子发射源位于磁场边界时,粒子的运动具有对称性,即进入磁
场和离开磁场时速度方向与边界的夹角相等。）
由 ,可知粒子在范围足够大的磁场中运动时间与入射速度
大小无关。
改变磁场方向,因此轨迹对应的圆心角变为 ,原轨迹对应的圆心角为 ,根据
,可知运动时间变为原来的5倍。
4.（2024吉林长春第二实验中学检测）如图所示，分布在半径
为的圆形区域内的匀强磁场，磁感应强度为 ，方向垂直于纸
面向里。电荷量为、质量为的带正电的粒子从磁场边缘 点
沿圆的半径方向射入磁场，离开磁场时速度方向偏转了
角。不计粒子的重力，则( )
B
A.粒子做圆周运动的半径为 B.粒子的入射速度为
C.粒子在磁场中运动的时间为 D.粒子在磁场中运动的时间为
【解析】 设粒子做匀速圆周运动的半径为 ,本题属于粒子指
向圆心射入,根据“指向圆心入,背离圆心出”,可知粒子的运动轨迹如
图所示。根据几何知识可知 ,得到运动轨迹的半径
。
根据牛顿第二定律,有,则 ,粒子的入射速度
。
由于粒子在磁场中的运动方向偏转了 角,则粒子运动
轨迹对应的圆心角为 ,根据 可知
。
5.（2024广西卷） 坐标平面内一有界匀强磁场区域
如图所示，磁感应强度大小为 ，方向垂直纸面向里。
质量为、电荷量为的粒子以初速度从点沿 轴正
向开始运动，粒子过轴时速度与轴正向夹角为 ，
交点为。不计粒子重力，则点至 点的距离为( )
C
A. B. C. D.
【解析】 粒子运动轨迹如图所示,在磁场中,根据洛伦兹力提供向心力有 ,可
得粒子做圆周运动的半径,根据几何关系可得点至 点的距离
,C项正确。
6.（2023四川内江模拟）如图所示，边长为的正方形区域 内存在着垂直于纸面向
里的匀强磁场，磁感应强度为。一带电粒子以速度从点射入磁场，速度方向与
边夹角为 ，垂直 边射出磁场，则下列说法正确的是( )
C
A.粒子一定带正电
B.粒子的比荷为
C.粒子在磁场中的运动时间为
D.减小粒子的速度，粒子不可能从 边射出
【解析】 结合粒子在磁场中的运动轨迹,根据左手定则可知,粒子一定带负电。
观察题图可知解决这类问题往往需要构造直角三角形求半径。如图所示,根据几何
关系可得粒子做圆周运动的轨迹半径 ,根据洛伦兹力提供向心力有
,联立解得粒子的比荷 。
计算时间需要找粒子做圆周运动的圆心角。由几何关系可知粒子在磁场中做圆周运
动轨迹对应的圆心角为 ,粒子在磁场中的运动时间 。
根据,可得 ,可知速度减小,粒子在磁场中做圆周运动的轨迹半径
减小,由图可知当速度减小到一定值时,粒子可以从 边射出。
7.［多选］（2024福建福州期末）如图所示为宽度为、磁感应强度大小为 的有界匀强
磁场，磁场的方向垂直于纸面向外，长度足够长。在下边界 处有一个粒子源，沿与边
界成 角方向连续发射大量的速度大小不相等的同种带正电粒子，速度方向均在纸面
内。已知以最大速度 射入的粒子，从磁场上边界飞出经历的时间为其做圆周运动周期
的 。不计粒子的重力及粒子间的相互作用，则下列判断正确的是( )
AD
A.粒子的比荷为
B.粒子在磁场中运动的周期为
C.下边界有粒子飞出的长度为
D.从上边界飞出的粒子速度大小范围为
【解析】 速度最大的粒子在磁场中运动的时
间为其做圆周运动周期的 ,运动轨迹如图所示,圆心为
,平行边界磁场,利用平行、垂直关系找角度,其圆弧所
对圆心角为 ,由几何关系得,
解得 ,由洛伦兹力提供向心力有
,解得粒子比荷 ,粒子在磁场中运
动的周期 。
当粒子轨迹恰好与上边界相切时,刚好不从上边界飞出,运动轨迹如图,圆心为 。设
这种情况下粒子速度大小为,半径为,由几何关系得,解得 ,
由洛伦兹力提供向心力有,解得 ,可知从上边界飞出的粒子速
度大小范围为 。
下边界有粒子飞出的长度为 。
8.［多选］（2023全国甲卷）光滑刚性绝缘圆筒内存在着平行于轴的匀强磁场,筒上 点
开有一个小孔,过的横截面是以为圆心的圆,如图所示。一带电粒子从点沿 射入,然
后与筒壁发生碰撞。假设粒子在每次碰撞前、后瞬间,速度沿圆上碰撞点的切线方向的
分量大小不变,沿法线方向的分量大小不变、方向相反;电荷量不变。不计重力。下列说
法正确的是( )
BD
A.粒子的运动轨迹可能通过圆心
B.最少经2次碰撞,粒子就可能从小孔射出
C.射入小孔时粒子的速度越大,在圆内运动时间越短
D.每次碰撞后瞬间,粒子速度方向一定平行于碰撞点与圆心
的连线
【解析】 假设粒子带负电,作出粒子在圆筒中的几种可能的运动情况。如图1所示,
由几何关系可知,所以 ,又粒子沿直径射入,
,则 , ,则每次碰撞后瞬间,粒子速度方向一定平行于
碰撞点与圆心 的连线。（【点拨】根据大招56可知,粒子从指向圆心的方向射入,粒子
出磁场时速度的反向延长线过圆心,所以粒子速度方向一定平行于碰撞点与圆心 的连
线。）
粒子在圆筒中先做圆周运动,与圆筒碰后速度反向,继续做圆周运动,粒子第一次与筒
壁碰撞前的运动过程中,轨迹不过圆心,之后轨迹也不可能过圆心。
粒子最少与圆筒碰撞2次,就可能从小孔射出,如图2所示。
. .
. .
. .
根据可知, ,则射入小孔
时粒子的速度越大,粒子的轨迹半径越大,与圆
筒碰撞次数可能会增多,在圆内运动的时间不
一定越短,如图3所示。
9.［多选］（2024河北卷）如图，真空区域有同心正方形
和，其各对应边平行，的边长一定， 的
边长可调，两正方形之间充满恒定匀强磁场，方向垂直于正方
形所在平面。 处有一个粒子源，可逐个发射速度不等、比荷
相等的粒子，粒子沿方向进入磁场。调整 的边长，可
使速度大小合适的粒子经边穿过无磁场区后由 边射出。
对满足前述条件的粒子，下列说法正确的是( )
AD
A.若粒子穿过边时速度方向与边夹角为 ，则粒子必垂直 射出
B.若粒子穿过边时速度方向与边夹角为 ，则粒子必垂直 射出
C.若粒子经边垂直射出，则粒子穿过边时速度方向与边夹角必为
D.若粒子经边垂直射出，则粒子穿过边时速度方向与边夹角必为
【解析】 根据题意可知,粒子一定从边进入无磁场区,当粒子穿过 边时速度方
向与边夹角为 时,由几何关系可知其一定穿过边进入磁场,然后由 边射出,则
其运动轨迹如图1所示,由对称性可知,该粒子垂直 射出。（【点拨】磁场区域和粒子
的直线轨迹均关于线段 对称,可以判断出粒子进出无磁场区瞬间对应的圆周运动半径
关于对称,则第二段圆周运动的圆心在边上,所以其能垂直 边射出。）
. .
当粒子穿过边时速度方向与边夹角为 时,若其从边的 点射出无磁场区,
假设其能垂直射出,则其运动轨迹如图2所示,设圆周运动的半径为 ,根据几何关系可知
（【点拨】延长、分别与、交于、 ,则
。）,与 矛盾,显然假设不成立,该粒子不能垂直
射出。
. .
若粒子经边垂直射出,其运动轨迹如图3所示,由几何关系可知 为矩形,
设边长为,则有,若,则 ,当
时,由题意可知,,, ,则有
,,解得 。
若粒子经边垂直 射出,其运动轨迹如图4所示,由几何关系有
,又 ,解得粒子穿过边时速度方向与 边的夹角
为 。
10.（2024湖南九校联考）世界上最早最精确的
极光观测记录可追溯到汉朝《汉书·天文志》中
的史料记载。极光是高能粒子流（太阳风）射
向地球时，由于地磁场作用，部分进入地球极
区，使空气中的分子或原子受激跃迁到激发态
后辐射光子，而产生的发光现象。假设地磁场边界到地心的距离为地球半径的 倍。
如图乙所示是赤道所在平面的示意图，地球半径为，匀强磁场垂直纸面向外， 为
磁场圆的直径，左侧宽度为的区域内有一群均匀分布、质量为 、带电荷量为
的粒子垂直以速度射入地磁场，正对地心 的粒子恰好打到地球表面，不计粒
子重力及粒子间的相互作用。已知若，则可表示为 。求:
（1） 地磁场的磁感应强度大小；
【答案】
【解析】 正对地心 的粒子恰好打到地球表面,轨迹示意图如图1所示,设粒子在磁场中
运动的轨迹半径为,根据几何关系有
解得
根据洛伦兹力提供向心力有
解得地磁场的磁感应强度大小为 。
（2） 正对地心射入的粒子从进入磁场到打到地球表面的时间；
【答案】
【解析】 设正对地心的粒子恰好打到地球表面,轨迹的圆心角为 ,根据几何关系有
正对地心射入的粒子从进入磁场到打到地球表面的时间为 。
（3） 在地磁场中打到地面的粒子从进入磁场到打到地球表面的最短时间。
【答案】
【解析】 粒子从进入磁场到打到地球表面的时
间最短时,粒子入射点与打在地球表面的落点连
线指向地心,即、、 三点共线,轨迹示意图
如图2所示,设轨迹的圆心角为 ,根据几何关系
有
则
可得
在地磁场中打到地面的粒子从进入磁场到打到地球表面的最短时间为
。
【提醒】微观带电粒子如无特殊说明则均无需考虑重力,而宏观带电微粒如液滴、尘埃、
小球若无特殊说明则均要考虑重力。
考点3 弦长公式
解题觉醒
1.题型特征：当粒子进出磁场对应的弦或速弦角已知或很好求出时，我们可以使用弦长
公式求解其轨迹半径与该弦长的关系。
2.解题技巧：弦长公式。其中
为速弦角，由于与 的乘积为速度垂
直于磁场边界的分量大小，故上式又可表示
为 。
11.（2024江西南昌大学附属中学检测）如图，水
平虚线上方存在匀强磁场，甲、乙两个相同的带
电粒子从虚线上的 点射入磁场，甲粒子的速度
与水平方向的夹角 ，乙粒子的速度与水
平方向的夹角 ，两粒子都经过虚线边界
的点，设甲粒子的速度大小为 ，乙粒子的速
B
A. B. C. D.
度大小为 ，不计粒子重力及粒子间的相互作用，
则 等于( )
【解析】 画出甲、乙粒子在磁场中运动的轨迹,建立
几何关系如图所示,设长度为,可得 ,甲
粒子做圆周运动的轨迹半径 ,同理乙粒子做圆周
运动的轨迹半径,由,可得 。
【大招运用】甲、乙粒子在磁场中运动的轨迹弦长都为
,速弦角分别为 和 ,可运用大招57弦长公式。
,得 。
12.［多选］（2024安徽名校联考）如图所示，纸面内存在一半径
为的圆形有界匀强磁场区域，磁场方向垂直纸面向里，、
分别为圆的水平直径和竖直直径。一质量为、电荷量为 的带电
粒子从点以大小为、方向与夹角为 斜向下的速度沿
纸面射入磁场，运动中粒子恰好从 点射出磁场。不计粒子的重
力，下列说法正确的是( )
BD
A.粒子带负电 B.粒子带正电
C.匀强磁场的磁感应强度大小为 D.粒子在磁场中的运动时间为
【解析】 由左手定则知,粒子带正电。
由几何关系可知,为粒子做匀速圆周运动的直径,则粒子的轨迹半径 ,由
可得,磁感应强度大小。（【大招运用】粒子从点射入,从 点射出,速
弦角为 ,也可运用大招57得弦长,得 。）
粒子在磁场中运动的弧长,则运动时间 。
. .
. .
考点4 磁场中的“动态圆”问题
题组1 平移圆
13.［多选］（2023河南开封检测）如图所示，在某空间的一个区
域内有一直线与水平面成 角，在 两侧存在垂直于纸面且
方向相反的匀强磁场，磁感应强度大小均为。位于直线上的 点
有一粒子源，能不断地水平向右发射速率不等的相同粒子，粒子
带正电，电荷量为，质量为 ，所有粒子运动过程中都经过直线
ABC
A. B. C. D.
上的点，已知 ，不计粒子重力及粒子间的相互作用力，则粒子的速率可能为
( )
【解析】 由题意可知粒子可能的运动轨迹如图所示,所有圆弧的圆心角均
为 ,所以粒子运动的半径 ,由洛伦兹力提供向心力得
,则 。
14.（2024山西晋城一中期末）如图所示，在 平面的第Ⅰ、Ⅳ象限
内有一圆心为、半径为的半圆形匀强磁场，线状粒子源从 轴左
侧平行于轴正方向不断射出质量为、电荷量为、速度大小为
的带正电粒子。磁场的磁感应强度大小为、方向垂直平面 向
里。不考虑粒子间的相互作用，不计粒子受到的重力。所有从不同
位置进入磁场的粒子中，在磁场中运动的时间最长为( )
C
A. B. C. D.
【解析】 粒子在磁场中做匀速圆周运动,洛伦兹力提供向心力,则
有,解得 （【点拨】当粒子在磁场中的运动轨迹
对应的圆心角最大时,粒子在磁场中运动的时间最长,由于
,要使圆心角 最大,最长。）,如图所示,当粒子从 轴
上的点射入、从轴上的 点射出磁场时,粒子在磁场中运动的时
间最长,由,解得,且,解得 ,故
选C。
. .
. .
15.（2024福建三明期末）如图，空间存在垂直于 平面向里的匀强磁场，第一象限与
第二象限的磁感应强度分别为、。一质量为、带电荷量为的粒子从原点 以速
度射入第一象限，入射方向与轴正方向的夹角 ，不计粒子重力。
（1） 在图中画出该带电粒子一个周期内的运动轨迹；
【答案】 见解析
【解析】 根据,可知在第一象限内粒子的轨道半径 ,由左手定则可知粒
子逆时针偏转,偏转的圆心角为 。
在第二象限内粒子的轨道半径,偏转的圆心角为 ,运动轨迹如图1所示。
图1
（2） 求粒子运动一个周期沿轴移动的距离 ；
【答案】
【解析】 由几何关系知粒子在一个周期内沿 轴移动的距离
解得 。
（3） 求粒子连续两次经过轴上同一点的时间间隔 。
【答案】
【解析】 粒子在第一象限内运动的周期
在第二象限内运动的周期
图2
如图2所示,粒子连续两次经过 轴上同一点时,在第一象限运动一次,在第
二象限运动两次, 因此时间间隔 。
题组2 放缩圆
大招58 对应练习
解题觉醒
1.题型特征：多个相同粒子射入匀强磁场的速度方向不变、但速率不同，或单粒子以不
同的速率沿同一方向射入匀强磁场。
2.解题技巧：（1）画轨迹（轨迹圆的圆心共线，放缩半径），找轨迹临界；（2）定圆
心；（3）找半径。
3.求最长（或最短）时间：找速弦角 ，当出、入射点对应的
弦的速弦角 越小时，粒子在磁场中运动的时间越短，速率越
大。再根据速弦角得出运动时间。
16.［多选］（2024黑龙江哈尔滨师范大学附属中学期末）如图所示，正方形 区域
内有垂直于纸面向里的匀强磁场，点是 边的中点。若一个带正电的粒子（重力忽略
不计）从点沿纸面以垂直于边的某一速度射入正方形内，经过时间刚好从 点射
出磁场。现设法使该带电粒子从点沿纸面以与成 角的方向，以各种不同的速率
射入正方形内，那么下列说法正确的是( )
AD
A.该带电粒子不可能刚好从正方形的某个顶点射出磁场
B.若该带电粒子从边射出磁场，它在磁场中经历的时间可能是
C.若该带电粒子从边射出磁场，它在磁场中经历的时间可能是
D.若该带电粒子从边射出磁场，它在磁场中经历的时间一定是
【解析】 带电粒子以垂直于 边的某一速度射入正方形内,经
过时间刚好从点射出磁场,则带电粒子的运动周期 。该粒
子从点以与成 角的方向射入磁场,粒子运动轨迹由
依次渐变（【点拨】粒子轨迹圆心在垂直 的方
向上,随着粒子速度逐渐增大,轨迹半径逐渐增大,作出轨迹与其他三
边相切的临界状态,从而确定粒子从各边射出的范围。）,由图可知粒子在四个边射出时,
射出范围分别为、、、 之间,不可能从四个顶点射出。
由上述分析知粒子运动周期为,从边射出的粒子所用时间不可能为 ,
从边射出的粒子所用时间不超过,所有从边射出的粒子圆心角都是 ,所
用时间为 。
. .
. .
17.（2020全国Ⅰ卷）一匀强磁场的磁感应强度大小为 ,方向垂直于纸面向外，其边界如
图中虚线所示，为半圆，、与直径共线，、 间的距离等于半圆的半径。一
束质量为、电荷量为的粒子，在纸面内从点垂直于 射入磁场，这些粒子
具有各种速率。不计粒子之间的相互作用。在磁场中运动时间最长的粒子，其运动时间
为( )
C
A. B. C. D.
图1
【解析】 带电粒子在匀强磁场中运动,运动轨迹如图1所示,由洛伦兹
力提供向心力有,解得,运动时间, 为带电粒
子在磁场中运动的轨迹所对的圆心角,粒子在磁场中运动时间由轨迹所对
圆心角决定。采用放缩法,粒子垂直射入磁场,则轨迹圆圆心必在直线 上,将粒子的轨
迹半径从零开始逐渐放大,当（为的半径）或时,粒子分别从、
区域射出磁场,运动时间等于半个周期。当时,粒子从弧 上射出,轨迹半
径从逐渐增大,粒子射出位置从点沿弧向右移动,轨迹所对圆心角从 逐渐增大,当
半径为 时, 轨迹所对圆心角最大,再增大轨迹半径,轨迹所对圆心角减小,因此轨迹半径等
于时,所对圆心角最大,即,粒子最长运动时间为 。
图2
跳跳学长 传妙招
应用速弦角和圆心角的关系确定最大圆心角,如图2所示,以轨
迹6为例,速度与弦构成速弦角 ,轨迹圆弧对应圆心角
（优弧对应的圆心角）,由数学中圆的知识,可知速弦角
的大小等于它所夹的弧所对的圆周角。同一段弧所对应的圆
心角为圆周角的两倍,若速弦角最大,则圆心角最大,若弦向下
偏离直线的角度越大,则圆周角越大,当弦与半圆弧相切时,偏离直线 的角度最大,
由此确定轨迹5对应的情况取极值。
18.科技应用（2024广东河源联考）现代科技中常常利用电场
和磁场来控制带电粒子的运动，某控制装置如图所示，区域Ⅰ
是圆弧形均匀辐向电场，半径为的中心线 处的场强大小
处处相等，且大小为，方向指向圆心 ；在空间直角坐标
系中，区域Ⅱ是边长为 的正方体空间，该空间内充满
沿轴正方向的匀强电场（大小未知）；区域Ⅲ也是边长为 的正方体空间，空间内
充满平行于平面、与轴负方向成 角的匀强磁场，磁感应强度大小为 ，在区域
Ⅲ的上表面是一粒子收集板；一群比荷不同的带正电粒子以不同的速率先后从 沿切线
方向进入辐向电场，所有粒子都能通过辐向电场且从坐标原点沿 轴正方向进入区域Ⅱ，
不计带电粒子所受重力和粒子之间的相互作用。
（1） 若某一粒子进入辐向电场的速率为，该粒子通过区域Ⅱ后刚好从 点进入区域
Ⅲ中，已知点坐标为，求该粒子的比荷和区域Ⅱ中电场强度 的大小；
【答案】 ;
【解析】 某一粒子进入辐向电场的速率为 ,粒子在辐向电场中做匀速圆周运动,由电场
力提供向心力可得
解得该粒子的比荷为
粒子在区域Ⅱ中做类平抛运动,从点到点,沿轴方向有
沿轴方向有,
联立解得区域Ⅱ中电场强度的大小为 。
（2） 保持（1）问中 不变，为了使粒子能够在区域Ⅲ中直接打到粒子收集板上，求
粒子的比荷 需要满足的条件。
【答案】
【解析】 设粒子电荷量为,质量为,粒子进入辐向电场的速率为 ,则粒子在辐向电场
中有
解得
粒子在区域Ⅱ中做类平抛运动,设粒子都能进入区域Ⅲ,则沿轴方向有
沿轴方向有,,
联立解得,
可知所有粒子经过区域Ⅱ后都从点进入区域Ⅲ中,设进入区域Ⅲ的粒子速度方向与 轴正
方向的夹角为 ,则有
解得
粒子进入区域Ⅲ的速度大小为
粒子在磁场中由洛伦兹力提供向心力,则有
解得
为了保证粒子能够打到粒子收集板上,如图所示
由几何关系可知粒子在磁场中做圆周运动的半径需要满足 （【大招运用】
放缩圆问题运用大招58分析思路求放缩圆半径,画轨迹临界。粒子进入区域Ⅲ,由左手定
则判定出粒子向上偏转,若使所有粒子能直接打到粒子收集板上,画出最小半径与最大半
径。若,粒子将会从左侧边界射出；若 ,粒子将会从右侧边界射出。）,联
立解得粒子的比荷需要满足 。
. .
题组3 旋转圆
大招59 对应练习
解题觉醒
1.题型特征：相同的粒子以各个方向射入磁场，粒子做匀速圆周运动的轨迹圆半径相同。
2.解题技巧：（1）求经过区域面积或达到最远距离看轨迹圆直
径；（2）求粒子在磁场中的最长（或最短）时间，利用几何关
系求最长（或最短）弦长，再求圆心角 （以弧度为单位），根
据或 求时间。
19.（2024湖北黄石二中模拟）如图所示，在直角坐标系
中，轴上方有匀强磁场，磁感应强度的大小为 ，磁场方向垂
直于纸面向外。许多质量为、电荷量为 的粒子，以相同的
速率沿纸面内，由轴负方向与 轴正方向之间各个方向从原
D
A. B. C. D.
点 射入磁场区域。不计重力及粒子间的相互作用。下列图中
阴影部分表示带电粒子在磁场中可能经过的区域，其中 ，
正确的图是( )
【解析】 粒子以相同的速率 在磁场中做匀速圆周
运动,根据 ,知粒子运动轨迹的半径相等,由左手定
则可知,沿 轴负方向进入磁场的粒子刚好运动一个圆周,
随着粒子的入射速度方向与 轴正方向的夹角逐渐减小,
这个圆逐渐沿顺时针方向转动,粒子沿 轴正方向进入磁
【提醒】可以的话大家可将硬币带进考场,旋转硬币找临界。
场,运动轨迹刚好为半个圆,如图,图中阴影部分是粒子不经过的地方。
20.［多选］（2024湖南永州检测）如图所示，在直线边界 的右侧分布着范围足够大、
方向垂直于纸面向里的匀强磁场，在磁场中到的距离为的 点有一放射源，放射源
能沿纸面内向各个方向不断地放射出质量为、电荷量为、速率为 的带正电荷的粒子。
已知磁场的磁感应强度大小为 ，不计粒子的重力及粒子间的相互作用，则
( )
AD
A.粒子从边界上射出的范围的长度为
B.如果磁场的磁感应强度增大为原来的 2倍，粒子从 边界上射出
范围的长度也变为原来的2倍
C.如果磁场的磁感应强度减小，粒子从 边界上射出范围的长度也
减小
D.同一时刻放射出的粒子到达边界的时间差最大为
图1
【解析】 粒子刚好射出边界的运动轨迹如图1所示, 上端最远点为直径
与的交点,下端最远点为粒子的运动轨迹与 相切的位置, 根据洛伦兹
力提供向心力可得,解得 ,根据几何关系知, 带电粒子从磁场
边界射出的范围的长度 。
如果磁场的磁感应强度增大为原来的2倍,轨迹半径变为原来的一半,粒
子恰好不能从 边界射出。
如果磁场的磁感应强度减小,轨迹半径增大,边界 上有粒子射出范围
的长度也增大。
图2
如图2所示,最短弦长为 ,则粒子在磁场中运动的时间最短时,粒子在磁
场中运动的轨迹圆弧对应的圆心角为 ,粒子在磁场中运动的时间最长时轨
迹圆弧为优弧,需要找最短弦长对应的优弧,当粒子的运动轨迹圆正好与
相切时,对应的弦最短,则粒子在磁场中运动的时间最长时轨迹圆弧的圆心
角为 （【大招运用】特征识别：粒子向各个方向射入磁场,轨迹圆大小
不变。运用大招59旋转圆分析思路求时间,利用几何关系找最长或最短弦长,
再求圆心角<><><> <><>,根据<><><> <><>求时间。）,因此同一时
刻放射出的粒子到边界的时间差最大为 。
. .
. .
. .
. .
. .
21.（2024辽宁模拟）如图所示，竖直平面内有一 平面直角坐标
系，第一、四象限中存在垂直于纸面向里的匀强磁场，磁感应强度
大小记为（未知）。坐标原点 处有一放射源，放射源可以源源
不断地向一、四象限 范围内以相同速率均匀地辐射出质量为 、
电荷量为的正离子。在轴上固定一能吸收离子的收集板， 点
坐标为，点坐标为，当辐射的离子速率为 时离子最
远恰好能打到收集板上的 点。不计离子的重力及离子间的相互作用的影响，求:
（1） 恰好打到 点的离子在磁场中运动的时间；
【答案】 或
图1
【解析】 由题意可知,沿轴正方向出射的离子,经半圆到达 点,由此可
得,可知通过 点的离子有两个出射方向（【点拨】粒子轨迹圆弧
的圆心在的中垂线上,且到点距离为,确定两圆心,连接 两点确定
半径方向,从而确定速度方向。）,如图1,一个轨迹转过的圆心角为 ,
即 ,
另一个轨迹转过的圆心角为 ,即,离子做匀速圆周运动,周期 ,解得
, 。
. .
（2） 能打到收集板上的离子数占辐射离子总数的比例。
【答案】
【解析】 如图2所示,由旋转圆分析结果可知,能打到收集板上的离子分布在速度方向与
轴正方向成 角的范围内,
打到收集板上的离子数占辐射离子总数的比例为 。
图2
题组4 磁聚焦和磁发散
22.［多选］（2023河南安阳名校联考）如图所示，在 平面内，以
点为圆心，半径为 的圆形磁场区域存在垂直纸面向里的匀强
磁场，圆形区域外范围内存在水平方向、电场强度为 的匀
强电场（图中未画出）。有很多质量为、带电荷量为 的粒子，从
坐标原点以相同速率沿不同方向平行于 平面射入
BD
A.电场方向水平向左 B.磁感应强度大小为
C.所有粒子在电场中运动的时间均为 D.所有粒子在磁场中运动的时间均为
第一象限。已知所有粒子均能从点 离开磁场，不计粒子重力及粒子间的相互作用，
下列说法正确的是( )
【解析】 由于电场仅在圆形区域外 范围内存在,可
知粒子先在磁场中偏转,第一次离开磁场后进入电场时速度方向均
沿 正方向,在电场中先做匀减速直线运动,速度减小到零后做反向
的匀加速直线运动再次进入磁场,然后偏转到 。粒子沿某一方向入
射时,轨迹如图所示,根据粒子运动轨迹,可知在电场中受到电场力方
向向左,所以电场方向向右。
当粒子初速度沿轴正方向时,恰好从 离开磁场,由几何关系可知粒子在磁场中
做匀速圆周运动的轨迹圆半径等于 （【提醒】当圆形磁场的半径和粒子运动半径相等
时,才会有磁聚焦和磁发散现象。）,有得 。
粒子在电场中运动,由牛顿第二定律,有,又有,得 。
. .
. .
粒子在磁场中发生的两段运动过程的总路程恰好等于半圆轨迹长度,有 得
。
23.设问创新（2023湖南株洲模拟）科学工作者通过电场和磁场来控制
带电粒子的运动。如图所示，在平面内，有一个半径为 的圆形
区域和边长为 的正方形区域，在这两个区域里加入匀强电场或匀强
磁场就可以控制带电粒子的运动。圆形区域的圆心的坐标是 ，
是圆的直径，正方形区域中心的坐标是 ，圆和正方形相
切于点。在范围内有宽度为的粒子束平行于 轴射入圆
形区域，粒子束的速度大小均为。已知圆形区域内存在沿 轴负方向的匀强电场，正
方形区域内加上垂直于纸面向里的匀强磁场，粒子的质量为，电荷量为 ，不计重
力及粒子间的相互作用。
（1） 若经过点的粒子刚好偏转经过点，求电场强度 的大小。
【答案】
【解析】 粒子在圆形区域内做类平抛运动,经过点的粒子刚好偏转经过 点,则
水平方向有
竖直方向有
联立解得 。
（2） 在满足（1）的条件下，若经过 点的粒子刚好垂直于正方形边界离开，求正方
形区域内磁感应强度 的大小。
【答案】
图1
【解析】 设粒子进入磁场时与水平方向的夹角为 ,如图1所示,
则
正方形区域中,洛伦兹力提供向心力,有
解得
由几何关系得（【点拨】在中 , ,
。）
则
解得 。
. .
（3） 若把原来的圆形区域和正方形区域里的场都去掉，在圆形区域里加上垂直纸面向
外的匀强磁场，在正方形区域里加上垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度大小均为
，且所有粒子汇聚于 点，最终从正方形区域右边界离开，求粒子从正方形区域右边
界离开时的位置对应的长度 。
【答案】
图2
【解析】 依题意,平行射入圆形区域的所有粒子汇聚于 点,对粒子在磁
场中做圆周运动,由洛伦兹力提供向心力可得,则 ,从
点运动到点粒子的轨迹半径 ,根据题意可知所有粒子在磁场中
运动的轨道半径均为,设从 点进入的粒子从正方形区域右边界离
开的位置最上边为点,最下边为点,作出两个边界圆的圆心分别为 、
,设从点射出的粒子从 点进入正方形区域时速度方向与竖直方向的
夹角为 ,如图2所示,由几何关系可知 （【点拨】设粒子上下边
界与圆形区域的边界交点分别为、,由题意知,则可知四边形 为菱形,且
。）
两个边界圆的轨迹半径
. .
可得,则
故 。
考点5 圆形磁场最小面积问题
大招60 对应练习
解题觉醒
1.题型特征：已知粒子进、出磁场的速度方向，求圆形磁场最小面积。
2.解题步骤：
（1）平移速度，求速度偏转角；
（2）根据速弦角，求速弦角；
（3）代入弦长公式求弦长；
（4）弦长等于最小圆形磁场的直径，根据计算面积。
24.（2024江西南昌开学考试）如图所示，半径为 的圆形区域中有垂直纸面向外的匀强
磁场（图中未画出），磁感应强度为，一比荷为 的带正电粒子，从圆形磁场边界上
的点以的速度垂直直径射入磁场，恰好从点射出，且 ，
下列选项正确的是( )
C
A.粒子在磁场中运动的时间为
B.粒子从 点射出方向竖直向下
C.若粒子改为从圆形磁场边界上的点以相同的速度入射，一定从
点射出
D.若要实现带电粒子从点入射，从 点射出，则所加圆形磁场的最
小面积为
【解析】 粒子恰好从 点射出,粒子做圆周运动的半径
,画出粒子从 点射出的轨迹如图所示,由几何关系可知四
边形为菱形,圆心角 ,粒子在磁场中
运动的周期为,粒子在磁场中运动的时间为 。
粒子在磁场中速度偏转了 ,从 点射出的方向与竖直方向夹
角为 。
若粒子改为从圆形磁场边界上的 点以相同的速度入射,运动轨迹如图所示,由几何
知识可知四边形为菱形,可知一定从 点射出（【点拨】磁聚焦模型：粒子以大小
相同的速度,平行入射到圆形磁场区域,如果轨迹圆半径与磁场半径相等,则所有粒子将从
磁场的同一点射出。）。
. .
. .
若要实现带电粒子从点入射,从点射出,则所加圆形磁场以
为直径时面积最小,最小面积为 。（【点拨】求圆
形最小面积需要求弦长,弦长等于最小圆形磁场的直径,本题中最短弦长为 。）
. .
. .
25.（2023安徽六安一中期末）如图所示，一个质量为 、带电
荷量为的粒子沿轴正方向以速度从 点射入磁感应强度
为 的圆形匀强磁场区域，磁场方向垂直纸面向外（图中未画
出），粒子飞出磁场区域后，从点处穿过轴，速度方向与
轴正方向的夹角为 。粒子的重力不计。试求：
（1） 圆形匀强磁场区域的最小面积；
【答案】
图1
【解析】 作出粒子运动轨迹如图1所示,带电粒子在磁场中运动
时,由洛伦兹力提供向心力有
由分析可知带电粒子从处进入磁场,转过 后离开磁场,再做
匀速直线运动从 点射出,带电粒子在磁场中做匀速圆周运动,连
接粒子在磁场区域入射点和出射点,弦长为
要使圆形磁场区域面积最小,其半径刚好为的一半,即
联立解得圆形匀强磁场区域的最小面积 。
【大招运用】计算最小面积可运用大招60分析思路进行解题。
1.将粒子在点的速度方向画在点,注意与表示 的箭头尾部画在一起,如图2,得速度偏
转角 。
图2
2.速弦角 。
3.弦长 。
4.最小面积 。
（2） 粒子在磁场中运动的时间。
【答案】
【解析】 粒子在磁场中运动的周期
则粒子在磁场中运动的时间 。
考点6 带电粒子在磁场中运动的多解问题
26.［多选］（2024重庆八中月考）如图所示的坐标系中， 轴
的左侧存在垂直纸面向外、磁感应强度大小未知的匀强磁场
（图中未画出）， 轴右侧的匀强磁场垂直纸面方向且大小未知，
一带正电的粒子由轴上处沿与轴正方向成 角的方向以
速度射入磁场，已知粒子的比荷为，粒子在 轴右侧的轨道半径
为，最终粒子经过 点，粒子重力不计。下列说法正确的是
( )
A.若轴右侧的磁场垂直纸面向里，则轴右侧的磁感应强度大小为
B.若轴右侧的磁场垂直纸面向里，则粒子从射入到运动至点的时间为
C.若轴右侧的磁场垂直纸面向外，则粒子从射入到运动至点的时间可能为
D.若轴右侧的磁场垂直纸面向外，则粒子从射入到运动至点的时间可能为
√
√
图1
【解析】 若 轴右侧的磁场垂直纸面向里,由题意作出粒子的运动
轨迹,如图1所示,根据,解得,又由几何关系知 ,则有
。
由几何关系可知粒子在轴右侧偏转的角度为 ,(【点拨】粒子轨
迹半径,粒子初速度方向与轴正方向的夹角为 ,则粒子从点
到原点所对应的圆心角为 ,则速度偏转角圆心角 。)
则粒子从射入到运动至点的时间,由于,解得 。
. .
若轴右侧的磁场垂直纸面向外,粒子可能在轴左右两侧各偏转一次经过 点,
如图2所示,由几何关系可知粒子在轴左侧的轨道半径,则 轴左侧磁场的磁感应
强度大小,粒子运动的时间,由于,解得；若
轴右侧的磁场垂直纸面向外,粒子可能在轴的左侧偏转一次、在 轴的右侧偏转两次经
过点,如图3所示,由几何关系可知,粒子在轴左侧的轨道半径 （【点拨】粒子在
进出直线边界磁场时,速度方向与边界的夹角相等（详情可看大招56）。在 轴右侧的磁
场中,两个圆弧所对的弦长相等,则在轴左侧粒子运动轨迹圆弧所对应的弦长等于在 轴
右侧的3倍,粒子在轴左侧的速度偏转角为 ,进一步判断可知粒子在 轴左侧的轨道
半径。）,则轴左侧磁场的磁感应强度大小 ,粒子运动的时间
,由于,解得 。
. .
图2
图3
27.（2025河南安阳模拟）如图所示，在平面直角坐标系第
一象限内存在一理想边界，边界和 轴之间存在垂直纸面、
磁感应强度大小为的匀强磁场（图中未画出），边界与
轴之间存在沿轴负方向、电场强度大小为 的匀强电场。
在第四象限内存在平行于轴向下的匀强电场，在 轴正半
轴上有可移动的粒子源能无初速释放电荷量大小为 、质
量为 的电子，电子从静止被电场加速后进入磁场区域均
（1） 磁场的方向；
【答案】 垂直纸面向里
【解析】 电子能垂直 轴进入第四象限,由左手定则可判定磁场垂直纸面向里。
能垂直穿过轴，图中点坐标为 ，不计电子受到的重力，求:
（2） 边界曲线的方程；
【答案】
【解析】 设电子由静止释放的纵坐标为,到达边界时的速度大小为 ,对应边界上点的
坐标为,则有,对电子在磁场中做圆周运动有,得 ,
解得 。
（3） 能经过 点的电子释放点的纵坐标应满足的条件。
【答案】
【解析】 能经过 点的粒子轨迹如图所示,
设释放点纵坐标为,则有
即满足时电子能经过 点。

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