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2025年广东省汕头市龙湖区中考一模数学模拟试题
一、选择题（本大题10小题，每小题3分，共30分）每小题给出四个选项中只有一个是正确的，请把答题卡上对应题目所选的选项涂黑．
1．下列数中：，，，，0，，，25，是负数的有（　　）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
2．龙年春晚分会场，“长沙元素”吸引八方来客，春节假日接待旅游人数万人次，同比增长，其中数据万用科学记数法表示为（　　）
A． B．
C． D．
3．如图所示的几何体由3个同样大小的小立方体搭成，它的俯视图是（　　）
A． B． C． D．
4．下列各式中运算结果为的是（　　）
A． B． C． D．
5．如图，直线，的顶点在直线上，直线交于点，交于点，若，，则的度数是（　　）
A．18° B．20° C．28° D．30°
6．中国美食讲究色香味美，优雅的摆盘造型也会让美食锦上添花，图①中的摆盘，其形状是扇形的一部分，图②是其几何示意图（阴影部分为摆盘），通过测量得，C，D两点之间的距离为，圆心角为，则图②中摆盘的面积是（　　）
A． B． C． D．
7．如图，点在轴正半轴上，，则的值是（　　）
A．1 B． C． D．
8．如图，在三角形纸片中，，，．将沿图示中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与原三角形相似的有（　　）
A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．①②③④
9．如图，若二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）图象的对称轴为x=1，与y轴交于点C，与x轴交于点A、点B（﹣1，0），则
①二次函数的最大值为a+b+c；
②a﹣b+c＜0；
③b2﹣4ac＜0；
④当y＞0时，﹣1＜x＜3，其中正确的个数是（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
10．如图，点P是等边边上的一个作匀速运动的动点，它由点A开始沿边运动到点B，再沿边运动到点C为止，设运动时间为t，的面积为S，则S与t的函数关系式的大致图象是（　　）
A． B．
C． D．
二、填空题（本大题共6题，每题3分，共18分）将正确答案写在答题卡相应的位置上．
11．若，则点A关于原点的对称点的坐标为　 　．
12．三角形的两边长分别为4和5，第三边的长为方程的根，则此三角形的面积为　 　．
13．△ABC的两条高AD、BE所在的直线交于点H，且BH＝AC，则∠ABC＝　 　度
14．某班为了解同学们一周在校参加体育锻炼的时间，随机调查了10名同学，得到如下数据：
锻炼时间（小时） 5 6 7 8
人数 1 4 3 2
则这10名同学一周在校参加体育锻炼时间的平均数是　 　小时．
15．如图，△ABC是⊙O的内接正三角形，图中阴影部分的面积是12π，则⊙O的半径为　 　．
16．如图，在直线：上方的双曲线上有一个动点，过点作轴的垂线，交直线于点，连接，，则面积的最大值是　 　．
三、解答题（一）（本大题3小题，第17、18题各4分，第19题6分，共14分）
17．计算： .
18．化简：.
19．下面是小元设计的“过圆上一点作圆的切线”的尺规作图过程．
已知：如图，⊙O及⊙O上一点P．
求作：过点P的⊙O的切线．
作法：如图，作射线OP；
① 在直线OP外任取一点A，以A为圆心，AP为半径作⊙A，与射线OP交于另一点B；
②连接并延长BA与⊙A交于点C；
③作直线PC；
则直线PC即为所求．根据小元设计的尺规作图过程，
（1）使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹）
（2）完成下面的证明：
证明：∵ BC是⊙A的直径，
∴ ∠BPC=90°（ ）（填推理依据）．
∴ OP⊥PC．
又∵ OP是⊙O的半径，
∴ PC是⊙O的切线（ ）（填推理依据）．
四、解答题（二）（本大题4小题，第20，21每题7分，第22，23每题9分，共32分）
20．为庆祝中国共产党建党100周年，我区某校组织全校2100名学 生进行了党史知识竞赛，参赛学生均获奖．为了解本次竞赛获奖的分布情况，从中随机抽取了部分学生的获奖结果进行统计分析，获奖结果分为四个等级：A级为特等奖，B级 为一等奖，C级为二等奖，D级为三等奖，将统计结果绘制成了如图所示的两幅不完整的 统计图，根据统计图中的信息解答下列问题：
（1）本次被抽取的部分人数是　 　名，扇形统计图中表示B级的扇形圆心角的度数是　 　；
（2）根据抽样结果，请估计该校获得特等奖的人数为　 　名；
（3）某班有4名获特等奖的学生小利、小芳、小明、小亮，班主任要从中随机选择两名 同学进行经验分享，利用列表法或画树状图，求小利被选中的概率．
21．某水库大坝的横截面是如图所示的四边形，坝顶与坝底平行，已知坝高24米，背水坡的坡度，为提高大坝防洪能力，现需要在大坝的背水坡填筑土石方加固，加固后坝顶加宽6米（即米），背水坡的坡度变为．
（1）求坝底加宽的宽度是多少？
（2）据相关部门估计，该工程需填筑土石方立方米，某施工队承包了这项工程，施工12天后，为尽快完成加固任务，施工队增加了机械设备，工作效率提高到原来的倍，结果比原计划提前20天完成加固任务，求施工队原计划平均每天填筑土石方多少立方米？
22．端午节是中国传统节日，人们有吃粽子的习俗．某商场预测今年端午节期间A粽子能够畅销．根据预测，每千克A粽子节前的进价比节后多2元，节前用240元购进A粽子的数量与节后用200元购进的数量相同．根据以上信息，解答下列问题：
（1）该商场节后每千克A粽子的进价是多少元？
（2）如果该商场在节前和节后共购进A粽子400千克，且总费用不超过4600元，那么该商场节前最多购进多少千克A粽子？
23．【问题背景】在复分线性质的时候，聪明的琪琪同学发现关于三角形角平分线的一个结论：如图①，已知是三角形的角平分线，可以得到．琪琪同学的证明思路是这样的：如图②，过点作，交的延长线于点，构造相似三角形可以证明．
【尝试证明】请你参照琪琪同学的思路，利用图②证明该结论；
【知识迁移】利用以上结论进行计算：若在图①中，，，，则______；
【应用拓展】如图③，已知在中，，，，，求的长．（直接写出结果）
五、解答题（三）（本大题2小题，每小题12分，共24分）
24．如图，是等腰三角形，，点为边上一动点，以点为圆心，为半径的圆分别交，于点，，为线段的中点．
（1）求证：；
（2）如图，连接交圆于点，当点为弧的中点时，求此时的长度；
（3）如图，当圆与相切时，连接，若，求和的周长之比．
25．某数学学习网站，正在讲解如下问题：
【背景呈现】在平面直角坐标系中，直线经过，直线与轴交于点，与直线交于点
【解决问题】
（1）求直线的函数解析式；
（2）求的面积；
【拓展探究】嘉淇为了更好观看图像，用手机截屏该问题的图像，如图所示，嘉淇发现屏幕上有一位置固定的黑点，刚好落在直角坐标系中坐标为的位置上，嘉淇通过手机的触屏功能，在坐标原点的位置与可视范围不改变的情况下，把截屏横向、纵向放大相同的倍数，当直线恰好经过点时，图中坐标系的单位长度变为原来的倍，直接写出的值；
答案解析部分
1．B
2．A
3．C
4．C
5．A
6．C
7．D
8．B
9．B
10．C
11．
12．6
13．45或135
14．6.6
15．6
16．3
17．解：
=6
18．解：原式
19．（1）解：补全图形如图所示，则直线PC即为所求；
（2）解：证明：∵BC是⊙A的直径，
∴∠BPC=90°（圆周角定理），
∴OP⊥PC．
又∵OP是⊙O的半径，
∴PC是⊙O的切线（切线的判定）．
故答案为：圆周角定理；切线的判定．
20．（1）60；108°
（2）105
（3）解：把小利、小芳、小明、小亮分别记为A、B、C、D， 画树状图如图：
共有 12 种等可能的结果，小利被选中的结果有 6 种，
小利被选中的概率为： .
21．（1）坝底加宽的宽度是12米；
（2）原计划平均每天填筑土石方立方米
22．（1）解：设该商场节后每千克A粽子的进价是x元，则节前每千克A粽子的进价是（x+2）元，
根据题意得：，
解得 x＝10，
经检验，x＝10 是原分式方程的解，且符合题意，
答：该商场节后每千克A粽子的进价是10元；
（2）解：由（1）可知，x+2＝12，
设该商场节前购进m千克A粽子，则节后购进A粽子（400﹣m）千克，
根据题意得：12m+10（400﹣m）≤4600，
解得：m≤300，
答：该商场节前最多购进300千克A粽子．
23．（1）证明：由题意知，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴；
（2）4；
（3）
24．（1）证明：∵，，
∴，，
∴，
∴；
（2）解：如图，连接，，
∵点为弧的中点，
∴，
∵为圆的直径，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵为线段的中点，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴；
（3）解：∵为线段的中点，，∴，
∴，
设，，则，，
由（）得：，，
∴，即，
∴，
∵，
∴，，
∴，，
∴，即，
∴，
∴，
∴，
如图，设切点为，连接，，
∵圆与相切，
∴，
∴，
∵为圆的直径，
∴，
由勾股定理得：，
∵，
∴，
∴，即，
∴，解得：，
经检验：是方程的解，
∴，
由（）得：，
∴和的周长之比为．
25．【解决问题】（1）；（2）；【拓展探究】3

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