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1.3解直角三角形 课堂同步强化提分卷
一、选择题
1．如图，河坝横断面迎水坡AB的坡比为1：，坝高BC=4m，则AB的长度为（　　）
A．2m B．4m C．4m D．6m
2．如图是一架人字梯，已知AB＝AC＝2米，AC与地面BC的夹角为a，则两梯脚之间的距离BC为（　　）
A．4cos a B．4sin a C．4tan a D．
3．如图，AC是旗杆AB的一根拉线，拉直AC时，测得BC＝3米，∠ACB＝50°，则AB的高为（　　）
A．3cos50°米 B．3tan50°米 C． 米 D． 米
4．如图，为了测量山坡护坡石坝的坡度（坡面的铅直高度与水平宽度的比称为坡度），把一根长5m的竹竿AC斜靠在石坝旁，量出杆长1m处的D点离地面的高度DE=0.6m，又量得杆底与坝脚的距离AB=3m，则石坝的坡度为（　　）
A． B．3 C． D．4
5．如图，在△ABC中，AC⊥BC，∠ABC=30°，点D是CB延长线上的一点，且BD=BA，则tan∠DAC的值为（　　）
A．2+ B．2 C．3+ D．3
6．南沙群岛是我国固有领土，现在我南海渔民要在南沙某海岛附近进行捕鱼作业，当渔船航行至B处时，测得该岛位于正北方向10（1+ ）海里的C处，为了防止某国海巡警干扰，请求我A处的渔监船前往C处护航．如图，已知C位于A处的东北方向上，A位于B的北偏西30°方向上，则A和C之间的距离为（　　）
A．10 海里 B．20 海里 C．20 海里 D．10 海里
7．如图，斜面AC的坡度（CD与AD的比）为1：2，AC=3 米，坡顶有旗杆BC，旗杆顶端B点与A点有一条彩带相连．若AB=10米，则旗杆BC的高度为（　　）
A．5米 B．6米
C．8米 D．（3+ ）米
8．如图，△ABC中，∠C=90°，AC=3，∠B=30°，P是BC边上的动点，则AP长不可能是（　　）
A．3.5 B．4.2 C．5.8 D．7
9．如图，在正方形ABCD中，点E，F，G分别是AB，BC，CD上的点，EB=3，GC=4，∠FEG=60°．∠EGF=45°，则BC的长为（　　）
A． B． C．4+ D．3+4
10．如图，在△ABC中，∠B=90°，tan∠C= ，AB=6cm．动点P从点A开始沿边AB向点B以1cm/s的速度移动，动点Q从点B开始沿边BC向点C以2cm/s的速度移动．若P，Q两点分别从A，B两点同时出发，在运动过程中，△PBQ的最大面积是（　　）
A．18cm2 B．12cm2 C．9cm2 D．3cm2
二、填空题
11．小明沿着坡比是3：4的斜坡前进10m，此时他所在位置比原来的位置升高了　 　m.
12． 某斜坡的坡度，则它的坡角是　 　．
13．如图，AC是操场上直立的一个旗杆，从旗杆上的B点到地面C涂着红色的油漆，用测角仪测得地面上的D点到B点的仰角是∠BDC=45°，到A点的仰角是∠ADC=60°(测角仪的高度忽略不计).如果BC=3米，那么旗杆的高度AC=　 　米
14．在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=37°，BC=32，则AC=　 　.(参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75)
15．如图，海上有一灯塔P，位于小岛A北偏东60°方向上，一艘轮船从小岛A出发，由西向东航行24nmile到达B处，这时测得灯塔P在北偏东30方向上，如果轮船不改变航向继续向东航行，当轮船到达灯塔P的正南方向时，轮船与灯塔P的距离是　 　n mile． (结果保留一位小数，≈1.73)
16．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，点D在AB边上，AD＝AC，点E在BC边上，∠BAE＝∠ABC，点F为AE上一点，∠ADF＝2∠BCD，若DF＝2，BD＝1，则AD的长为　 　．
三、综合题
17．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°．
（1）已知AB=12，sinA= ，求BC的长；
（2）已知BC= ，AC= ，求∠B的度数．
18．脱贫攻坚工作让老百姓过上了幸福的生活.如图①是政府给贫困户新建的房屋，如图②是房屋的侧面示意图，它是一个轴对称图形，对称轴是房屋的高所在的直线.为了测量房屋的高度，在地面上点测得屋顶的仰角为，此时地面上点、屋檐上点、屋顶上点三点恰好共线，继续向房屋方向走到达点时，又测得屋檐点的仰角为，房屋的顶层横梁，，交于点（点，，在同一水平线上）.（参考数据：，，，）
（1）求屋顶到横梁的距离；
（2）求房屋的高（结果精确到1m）.
19．如图，笔直的海岸线l上有A、B两个观测站，A在B的正东方向.有一艘渔船在点P处，从A处测得渔船在北偏西的方向，从B处测得渔船在其东北方向，且测得B、P两点之间的距离为20海里.
（1）求观测站A、B之间的距离（结果保留根号）；
（2）渔船从点P处沿射线的方向航行一段时间后，到点C处等待补给，此时，从B测得渔船在北偏西的方向.在渔船到达C处的同时，一艘补给船从点B出发，以每小时20海里的速度前往C处，请问补给船能否在83分钟之内到达C处？（参考数据：）
20． 如图，有一段斜坡长为10米，坡角，为方便残疾人的轮椅车通行，现准备把坡角降为.
（1）求坡高；
（2）求斜坡新起点与原起点的距离精确到0.1米.
参考数据：，，
21．如图，在矩形中，点E为边上的一动点（点E不与点A，B重合），连接，过点C作，垂足为F．
（1）求证：∽；
（2）若，，求的长．
22．如图1是一种手机平板支架，由托板、支撑板和底座构成，手机放置在托板上，图2是其侧面结构示意图，量得托板长，支撑板长，底座长，托板固定在支撑板顶端点处，且，托板可绕点转动，支撑板可绕点转动．（结果保留小数点后一位）（参考数据：，，，，）
（1）若，，求点到直线的距离；
（2）为了观看舒适，在（1）的情况下，把绕点逆时针旋转后，再将绕点顺时针旋转，使点落在直线上即可，求旋转的角度．
23．如图，点D是△ABC的边BC延长线上一点，点E是边AB上一点，连接DE交AC于点F.
（1）如图1，若点E为AB的中点，且 ，求 的值；
（2）如图2，若 ， ，且 ，求BE与CF的数量关系；
（3）如图3，若 ， ，且 ，试直接写出边AC的长为　 　.
24．测量金字塔高度
如图1，金字塔是正四棱锥S-ABCD，点O是正方形ABCD的中心，SO垂直于地面，是正四棱锥S-ABCD的高.泰勒斯借助太阳光，测量金字塔影子△PBC的相关数据，利用平行投影测算出了金字塔的高度，受此启发，人们对甲、乙、丙三个金字塔高度也进行了测量，甲、乙、丙三个金字塔都用图1的正四棱锥S-ABCD表示.
（1）测量甲金字塔高度：如图2，是甲金字塔的俯视图，测得底座正方形ABCD的边长为80m，金字塔甲的影子是△PBC，PC=PB=50m，此刻，1米的标杆影长为0.7米，则甲金字塔的高度为　 　m.
（2）测量乙金字塔高度：如图1，乙金字塔底座正方形ABCD的边长为80m，金字塔乙的影子是△PBC，∠PCB=75°，PC= m，此刻，1米的标杆影长为0.8米，请利用已测出的数据，计算乙金字塔的高度.
（3）测量丙金字塔高度：如图3，是丙金字塔的俯视图，测得底座正方形ABCD的边长为56m，金字塔丙的影子是△PBC，PC=60m，PB=52m，此刻，1米的标杆影长为0.8米，请利用已测出的数据，计算丙金字塔的高度.（精确到0.1）（ ）
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1.3解直角三角形 课堂同步强化提分卷
一、选择题
1．如图，河坝横断面迎水坡AB的坡比为1：，坝高BC=4m，则AB的长度为（　　）
A．2m B．4m C．4m D．6m
【答案】C
【解析】【解答】解：∵迎水坡AB的坡比为1：，
∴，即，
解得，AC＝4，
由勾股定理得，AB＝=4（m），
故答案为：C.
【分析】坡比等于坡角的正切函数值，据此结合BC的值可得AC，然后根据勾股定理求解即可.
2．如图是一架人字梯，已知AB＝AC＝2米，AC与地面BC的夹角为a，则两梯脚之间的距离BC为（　　）
A．4cos a B．4sin a C．4tan a D．
【答案】A
【解析】【解答】解：如图，作AH⊥BC，
又∵AB=AC，
∴BC=2HC
∵HC=ACcosa =2cosa，
∴BC=2HC=4cosa.
故答案为：A.
【分析】作AH⊥BC，利用锐角三角函数定义求出HC长，再利用等腰三角形的性质求BC长即可.
3．如图，AC是旗杆AB的一根拉线，拉直AC时，测得BC＝3米，∠ACB＝50°，则AB的高为（　　）
A．3cos50°米 B．3tan50°米 C． 米 D． 米
【答案】B
【解析】【解答】解：∵BC＝3米，∠ACB＝50°，tan∠ACB＝ ，
∴旗杆AB的高度为AB＝BC×tan∠ACB＝3tan50°（米），
故答案为：B．
【分析】由题意可知在Rt△ABC中，利用∠ACB＝50°的正切函数进行分析解答．
4．如图，为了测量山坡护坡石坝的坡度（坡面的铅直高度与水平宽度的比称为坡度），把一根长5m的竹竿AC斜靠在石坝旁，量出杆长1m处的D点离地面的高度DE=0.6m，又量得杆底与坝脚的距离AB=3m，则石坝的坡度为（　　）
A． B．3 C． D．4
【答案】B
【解析】【解答】解： 如图，过C作CF⊥AB于F，则DE∥CF，
∴ = ，即 = ，
解得CF=3，
∴Rt△ACF中，AF= =4，
又∵AB=3，
∴BF=4﹣3=1，
∴石坝的坡度为 = =3，
故答案为：B．
【分析】过C作CF⊥AB于F，则DE∥CF，根据平行于三角形一边的直线和其他两边(或两边的延长线)相交，所构成的三角形与原三角形相似可得△ADE∽△ACF，于是可得比例式求得CF的值；Rt△ACF中，用勾股定理可求得AF的值，所以石坝的坡度=，代入计算即可求解。
5．如图，在△ABC中，AC⊥BC，∠ABC=30°，点D是CB延长线上的一点，且BD=BA，则tan∠DAC的值为（　　）
A．2+ B．2 C．3+ D．3
【答案】A
【解析】【解答】解： 如图，
∵在△ABC中，AC⊥BC，∠ABC=30°，
∴AB=2AC，BC= = AC．
∵BD=BA，
∴DC=BD+BC=（2+ ）AC，
∴tan∠DAC= =2+ ．
故答案为：A．
【分析】在直角三角形ABC中，由30度角所对的直角边等于斜边的一半可将AB和BC用含AC的代数式表示，因为AB=BD，所以CD也可用含AC的代数式表示，在直角三角形ACD中，tan∠DAC=可求解。
6．南沙群岛是我国固有领土，现在我南海渔民要在南沙某海岛附近进行捕鱼作业，当渔船航行至B处时，测得该岛位于正北方向10（1+ ）海里的C处，为了防止某国海巡警干扰，请求我A处的渔监船前往C处护航．如图，已知C位于A处的东北方向上，A位于B的北偏西30°方向上，则A和C之间的距离为（　　）
A．10 海里 B．20 海里 C．20 海里 D．10 海里
【答案】A
【解析】【解答】解： 过点A作AD⊥BC于点D，如图所示．
设AD=x，则CD=x，AC= x，BD= x．
∵BC=BD+CD=（ +1）x=10（1+ ），
∴x=10，
∴AC=10 ．
故答案为：A．
【分析】过点A作AD⊥BC于点D，设AD=x，利用三角函数可表示出AC、BD，进而可得BC，再由已知BC的值可求出x，即可得AC的值.
7．如图，斜面AC的坡度（CD与AD的比）为1：2，AC=3 米，坡顶有旗杆BC，旗杆顶端B点与A点有一条彩带相连．若AB=10米，则旗杆BC的高度为（　　）
A．5米 B．6米
C．8米 D．（3+ ）米
【答案】A
【解析】【解答】解： 设CD=x，则AD=2x，
由勾股定理可得，AC= = x，
∵AC=3 米，
∴ x=3 ，
∴x=3米，
∴CD=3米，
∴AD=2×3=6米，
在Rt△ABD中，BD= =8米，
∴BC=8﹣3=5米．
故答案为：A
【分析】设CD=x，则AD=2x，利用勾股定理表示出AC，再由已知AC的值，求出x的值，再由勾股定理求出BD的值，即可得BC的值.
8．如图，△ABC中，∠C=90°，AC=3，∠B=30°，P是BC边上的动点，则AP长不可能是（　　）
A．3.5 B．4.2 C．5.8 D．7
【答案】D
【解析】【解答】解：ABC中，∠C=90°，AC=3，∠B=30°，
则AB=
则3≤AP≤6，AP的长度不可能为7.
故答案为D。
【分析】由特殊角的三角函数值可求出AB的长，而AC≤AP≤AB确定AP的取值范围。
9．如图，在正方形ABCD中，点E，F，G分别是AB，BC，CD上的点，EB=3，GC=4，∠FEG=60°．∠EGF=45°，则BC的长为（　　）
A． B． C．4+ D．3+4
【答案】A
【解析】【解答】解：过点F作FH⊥EG于点O，交AD于点H，如图，
∴∠EOH=∠GOF=90°，
∵∠EGF=45°，
∴∠OFG=∠OGF=45°，
∴OF=OG，
在正方形ABCD中，
∵FH⊥EG，
∴FH=EG，
∴OH=OE，
∴EH∥FG，
∴△EHO∽△GFO，
∴，
在Rt△EOF中，
设OE=x，
∵∠OEF=60°，
∴tan60°=，
即OF=OE·tan60°=x，
在Rt△GOF中，
∵∠OGF=60°，
∴OG=OF=x，FG==x，
在Rt△EOH中，
∵OH=OE=x，
∴EH==x，
∴=，
即△EHO与△GFO的相似比为：，
∵△AEH∽△CGF，CG=4，
∴，
即，
∴AE=，
又∵EB=3，
∴BC=AB=AE+EB=3+.
故答案为：A.
【分析】过点F作FH⊥EG于点O，交AD于点H，根据三角形内角和及等腰三角形性质可得OF=OG，由正方形的对称性可知FH=EG，OH=OE，EH∥FG，根据相似三角的判定得△EHO∽△GFO，在Rt△EOF中，设OE=x，由锐角三角形函数定义得OF=OG=x，在Rt△GOF中，根据勾股定理得FG=x，在Rt△EOH中，根据勾股定理得EH=x，从而可得△EHO与△GFO的相似比为：=，由相似三角形的性质得，代入数值可求得AE=，由BC=AB=AE+EB即可求得答案.
10．如图，在△ABC中，∠B=90°，tan∠C= ，AB=6cm．动点P从点A开始沿边AB向点B以1cm/s的速度移动，动点Q从点B开始沿边BC向点C以2cm/s的速度移动．若P，Q两点分别从A，B两点同时出发，在运动过程中，△PBQ的最大面积是（　　）
A．18cm2 B．12cm2 C．9cm2 D．3cm2
【答案】C
【解析】【解答】解：∵tan∠C= ，AB=6cm，
∴ = ，
∴BC=8，
由题意得：AP=t，BP=6﹣t，BQ=2t，
设△PBQ的面积为S，
则S= ×BP×BQ= ×2t×（6﹣t），
S=﹣t2+6t=﹣（t2﹣6t+9﹣9）=﹣（t﹣3）2+9，
P：0≤t≤6，Q：0≤t≤4，
∴当t=3时，S有最大值为9，
即当t=3时，△PBQ的最大面积为9cm2；
故答案为：C．
【分析】根据解直角三角形中正切的定义，求出BC的值，由三角形的面积公式得到二次函数，由顶点式得到最大面积.
二、填空题
11．小明沿着坡比是3：4的斜坡前进10m，此时他所在位置比原来的位置升高了　 　m.
【答案】6
【解析】【解答】解：∵坡比是3：4，
∴设小明他所在位置比原来的位置升高了3x，则他前进的水平距离为4x，
∴根据勾股定理得，102=（3x）2+（4x）2，
解得x=2或-2（舍去），
∴3x=2×3=6，
∴他所在位置比原来的位置升高了6m，
故答案为：6.
【分析】坡比是坡面的铅直高度和水平高度的比，从而设小明他所在位置比原来的位置升高了3x，则他前进的水平距离为4x，根据勾股定理列出关于x的方程，解方程求出x的值，即可求解.
12． 某斜坡的坡度，则它的坡角是　 　．
【答案】
【解析】【解答】斜坡的坡度，
即
故答案为： .
【分析】根据坡比的定义即可求解.
13．如图，AC是操场上直立的一个旗杆，从旗杆上的B点到地面C涂着红色的油漆，用测角仪测得地面上的D点到B点的仰角是∠BDC=45°，到A点的仰角是∠ADC=60°(测角仪的高度忽略不计).如果BC=3米，那么旗杆的高度AC=　 　米
【答案】
【解析】【解答】解 ：在Rt△BDC中，∵∠BDC=45°，∠C=90°，BC=3米，∴DC=BC=3米，在Rt△ADC中，∵∠ADC=60°，∠C=90°，∴AC=DCtan 60°=3× =3 (米)
故答案为：
【分析】在Rt△BDC中，根据等腰直角三角形的性质得出DC=BC=3米，在Rt△ADC中，根据正切函数的定义由AC=DCtan 60°得出AC的长度。
14．在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=37°，BC=32，则AC=　 　.(参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75)
【答案】24
【解析】【解答】解：在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=37°，BC=32，
则AC=BC×tanB≈32×0.75=24.
故答案为：24.
【分析】由正切函数可得tanB=，代入tanB和BC的值即可求得AC。
15．如图，海上有一灯塔P，位于小岛A北偏东60°方向上，一艘轮船从小岛A出发，由西向东航行24nmile到达B处，这时测得灯塔P在北偏东30方向上，如果轮船不改变航向继续向东航行，当轮船到达灯塔P的正南方向时，轮船与灯塔P的距离是　 　n mile． (结果保留一位小数，≈1.73)
【答案】20.8
【解析】【解答】解：如图，过点P作PH⊥AB于H，则∠AHP=90°，则 轮船到达灯塔P的正南方向时， 轮船与灯塔P的距离为PH
由题知：∠APH=60°，∠BPH=30°，AB=24
∴ ∠PAH=30°，∠PBH=60°
在Rt中，tan∠PBH=tan60°=
∴ PH=BH
在Rt中，tan∠PAH=tan30°=
∴ PH=
∴BH=
解得BH=12
则PH=12≈20.8
则轮船与灯塔的距离约为20.8n mile.
故答案为：20.8.
【分析】本题考查解直角三角形--方位角，找出直角三角形中角度与长度的关系，是解题关键。过点P作PH⊥AB于H，则∠AHP=90°，∠PAH=30°，∠PBH=60°，根据tan∠PBH=；tan∠PAH=得BH，可得PH，即可知轮船与灯塔P的距离.
16．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，点D在AB边上，AD＝AC，点E在BC边上，∠BAE＝∠ABC，点F为AE上一点，∠ADF＝2∠BCD，若DF＝2，BD＝1，则AD的长为　 　．
【答案】4
【解析】【解答】解：过点F作GF⊥DF于点F，交AD于点G，
设∠BCD=α，∠BAE=β，AD=AC=x，
∴∠ADF=2α，∠B=2β，AB=AD+BD=x+1，
∵∠ACB=90°，AD=AC，
∴∠ACD=∠ADC=∠ACB-∠BCD=90°-α
∵∠ADC=∠BCD+∠B=α+2β，
∴90°-α=α+2β，
∴2α+2β=90°，
∵在Rt△DFG中，∠FGD=90°-∠FDA=90°-2α=2β，
∴∠FGD=∠B，
∵，
∴
解之：，
∴；
∵∠FGD=2β，∠BAE=β，
∴∠GFA=∠FGD-∠BAE=β=∠BAE，
∴GF=AG，
在Rt△FGD中，
FG2+DF2=GD2即AG2+4=（x-AG）2，
解之：，
解之：x1=4，x2=0（舍去），
∴AD=4.
故答案为：4
【分析】过点F作GF⊥DF于点F，交AD于点G，设∠BCD=α，∠BAE=β，AD=AC=x，可表示出∠ADF，∠B，AC=AD=x，可表示出BA的长，再利用等腰三角形的性质可得到2α+2β=90°，；再证明∠FGD=∠B，利用解直角三角形可得到方程，解方程表示出DG，AG的长；利用三角形的外角的性质可表示出∠GFA，利用等角对等边可证得GF=AG，在Rt△FGD中，利用勾股定理可得到关于x的方程，解方程求出x的值，可得到AD的长.
三、综合题
17．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°．
（1）已知AB=12，sinA= ，求BC的长；
（2）已知BC= ，AC= ，求∠B的度数．
【答案】（1）解：在Rt△ABC中，sinA= ，
∴ =
∵AB=12，
∴AB=4．
（2）解：在Rt△ABC中，BC= ，AC= ，
∴tan B= ，
∴∠B=60°．
【解析】【分析】（1）根据锐角三角函数正弦定义：在Rt△ABC中， sinA=，结合 AB=12，sinA=，即可求出BC；
（2）根据根据锐角三角函数正切定义：在Rt△ABC中，tanB=，结合BC=，AC=，得出tanB=，再根据特殊角对应的正切值即可求出∠B的度数.
18．脱贫攻坚工作让老百姓过上了幸福的生活.如图①是政府给贫困户新建的房屋，如图②是房屋的侧面示意图，它是一个轴对称图形，对称轴是房屋的高所在的直线.为了测量房屋的高度，在地面上点测得屋顶的仰角为，此时地面上点、屋檐上点、屋顶上点三点恰好共线，继续向房屋方向走到达点时，又测得屋檐点的仰角为，房屋的顶层横梁，，交于点（点，，在同一水平线上）.（参考数据：，，，）
（1）求屋顶到横梁的距离；
（2）求房屋的高（结果精确到1m）.
【答案】（1）解：∵房屋的侧面示意图是轴对称图形，所在直线是对称轴，，
∴，，.
在中，，，
∵，，.
∴（米）
答：屋顶到横梁的距离约是4.2米.
（2）解：过点作于点，设，
在中，，，
∵，
∴，
在中，，，
∵，
∴.
∵，
∴，
∵，，
解得.
∴（米）
答：房屋的高约是14米.
【解析】【分析】（1）由轴对称图形的性质得AG⊥EF，EG=EF=6，由平行线的性质得∠AEG=∠ACB=35°，在Rt△AEG中，由∠AEG的正切函数可求出AG；
（2） 过点E作EH⊥CB于点H，设EH=x， 在Rt△EDH中，由正切函数的定义可表示出DH的长，在Rt△ECH中由∠ECH的正切函数可表示出CH，根据CD=CH-DH=8建立方程，可求出x的值，进而根据矩形的性质及AB=AG+BG求出房屋的高度.
19．如图，笔直的海岸线l上有A、B两个观测站，A在B的正东方向.有一艘渔船在点P处，从A处测得渔船在北偏西的方向，从B处测得渔船在其东北方向，且测得B、P两点之间的距离为20海里.
（1）求观测站A、B之间的距离（结果保留根号）；
（2）渔船从点P处沿射线的方向航行一段时间后，到点C处等待补给，此时，从B测得渔船在北偏西的方向.在渔船到达C处的同时，一艘补给船从点B出发，以每小时20海里的速度前往C处，请问补给船能否在83分钟之内到达C处？（参考数据：）
【答案】（1）解：过点P作于D点，
∴，
在中，，海里，
∴（海里）， （海里），
在中，，
∴（海里），
∴海里，
∴观测站A，B之间的距离为海里；
（2）解：补给船能在82分钟之内到达C处，
理由：过点B作，垂足为F，
∴，
由题意得：，，
∴，
在中，，
∴海里，
在中，，
∴海里，
∴补给船从B到C处的航行时间（分钟）分钟，
∴补给船能在83分钟之内到达C处.
【解析】【分析】（1）过点P作PD⊥AB于点D，由题意可得∠PAD=30°，∠PBD=45°，BP=20海里，根据三角函数的概念可得DP、BD、AB，据此解答；
（2）过点B作BF⊥AC，垂足为F，由题意可得∠ABC=105°，∠PAD=30°，由内角和定理可得∠C=45°，根据含30°角的直角三角形的性质可得BF=AB，然后根据三角函数的概念求出BC的值，再除以速度可得从B到C处的航行时间，最后与83进行比较即可判断.
20． 如图，有一段斜坡长为10米，坡角，为方便残疾人的轮椅车通行，现准备把坡角降为.
（1）求坡高；
（2）求斜坡新起点与原起点的距离精确到0.1米.
参考数据：，，
【答案】（1）解：在中，，
则，
答：坡高约为米
（2）解：在中，，
则，
在中，，
则，
则，
答：斜坡新起点与原起点的距离约为13.5米.
【解析】【分析】（1）在Rt△CBD中，根据正弦函数的定义得CD=BD×sin∠CBD，据此即可求出CD的长；
（2）在Rt△CBD中，根据正弦函数的定义得BD=BC×cos∠CBD，据此即可求出BD的长，在Rt△CAD中由正切函数的定义可求出AD的长，从而根据AB=AD-BD即可算出答案.
21．如图，在矩形中，点E为边上的一动点（点E不与点A，B重合），连接，过点C作，垂足为F．
（1）求证：∽；
（2）若，，求的长．
【答案】（1）证明：四边形为矩形，
．
，垂足为F，
．
，，
．
∽．
（2）解：∽，
，
．
在中，，，
，
即的长为2．
【解析】【分析】（1）根据四边形为矩形，得出，再推出，则，即可得出结论；
（2）由三角形相似得出∽，得出，在中，，，求出AE的值，即可得解。
22．如图1是一种手机平板支架，由托板、支撑板和底座构成，手机放置在托板上，图2是其侧面结构示意图，量得托板长，支撑板长，底座长，托板固定在支撑板顶端点处，且，托板可绕点转动，支撑板可绕点转动．（结果保留小数点后一位）（参考数据：，，，，）
（1）若，，求点到直线的距离；
（2）为了观看舒适，在（1）的情况下，把绕点逆时针旋转后，再将绕点顺时针旋转，使点落在直线上即可，求旋转的角度．
【答案】（1）解：如图所示，过点A作，，，
则，
∵，，
∴，
又∵，，
∴，，
∴，
∴，
∴，
又∵，，
∴mm，
∴．
∴点到直线的距离是．
（2）解：如图所示，
根据题意可得，，，
∴，
∴，
根据（1）可得，
∴旋转的角度=．
【解析】【分析】（1）过点A作，，，先求出，，再利用线段的和差求出AM的长即可；
（2）根据，求出，再利用角的运算求出旋转的角度即可。
23．如图，点D是△ABC的边BC延长线上一点，点E是边AB上一点，连接DE交AC于点F.
（1）如图1，若点E为AB的中点，且 ，求 的值；
（2）如图2，若 ， ，且 ，求BE与CF的数量关系；
（3）如图3，若 ， ，且 ，试直接写出边AC的长为　 　.
【答案】（1）解：作EG∥AC 交BC于G
∴ ，
，
，
∵ ，即 ，
（2）解：作 CM∥AB 交DE于M ，MN⊥AC于N，
∵ ，且 ，
∴∠A=∠AFE=30°，
∵CM∥AB，
∴ ，
∴ ，
∴CN=FN= MN，MC=2MN，
∴ ，
∵ ，CM∥AB，
∴ ，
；
（3）
【解析】【解答】解：（3）作BH⊥ED，垂足为H，作EG⊥BD，垂足为G，
∵ ，
∴ ，
∴EG∥AC，
∴ ，
∵ ，
∴BC=2， ， ， ，
设 ， ，则 ，
∵ ，
∴ ，
，即 ，
，
， ，
解得， ， ， （舍去），
∵EG∥AC，
∴△BEG∽△BAC，
∴ ，
∴AC= ；
【分析】（1）作EG∥AC 交BC于G，根据平行线分线段成比例先得出BG=CG=BC，再得
，据此即得结论；
（2） 作 CM∥AB 交DE于M ，MN⊥AC于N， 证得，根据直角三角形的性质得出CN=FN= MN，MC=2MN，从而得出，继而得出结论；
（3）作BH⊥ED，垂足为H，作EG⊥BD，垂足为G，根据平行线分线段成比例看额求出BC、CG、BG、DG的长，设 ， ，则 ，由，求出，利用勾股定理建立方程从而求出a、b值，由EG∥AC，可证△BEG∽△BAC，
得出，代入相应数据即可求出结论.
24．测量金字塔高度
如图1，金字塔是正四棱锥S-ABCD，点O是正方形ABCD的中心，SO垂直于地面，是正四棱锥S-ABCD的高.泰勒斯借助太阳光，测量金字塔影子△PBC的相关数据，利用平行投影测算出了金字塔的高度，受此启发，人们对甲、乙、丙三个金字塔高度也进行了测量，甲、乙、丙三个金字塔都用图1的正四棱锥S-ABCD表示.
（1）测量甲金字塔高度：如图2，是甲金字塔的俯视图，测得底座正方形ABCD的边长为80m，金字塔甲的影子是△PBC，PC=PB=50m，此刻，1米的标杆影长为0.7米，则甲金字塔的高度为　 　m.
（2）测量乙金字塔高度：如图1，乙金字塔底座正方形ABCD的边长为80m，金字塔乙的影子是△PBC，∠PCB=75°，PC= m，此刻，1米的标杆影长为0.8米，请利用已测出的数据，计算乙金字塔的高度.
（3）测量丙金字塔高度：如图3，是丙金字塔的俯视图，测得底座正方形ABCD的边长为56m，金字塔丙的影子是△PBC，PC=60m，PB=52m，此刻，1米的标杆影长为0.8米，请利用已测出的数据，计算丙金字塔的高度.（精确到0.1）（ ）
【答案】（1）100
（2）解：如图4，作CH⊥OP于H，
∵四边形ABCD是正方形，
AC= m，
∴OC= AC= m，
∵PC= m，
∴OC=PC.
∵∠PCB=75°，
∴∠OCP=45°+75°=120°.
∴∠COP=∠CPO=30°，
∴OH=cos30°×OC= m，
∴OP= m，
由题意，得
，
∴SO= m，
∴乙金字塔的高度是 m；
（3）解：作PM⊥BC于M，作ON⊥PM交|PM的延长线于N，连接ON，作OT⊥BC于T，则四边形ONMT是矩形，
∵四边形ABCD是正方形，
∴OB⊥OC，
∴OT= BC= ×56=28m，
∴MN=28m，
设CM=xm，则BM=(56-x)m，由勾股定理，得
PC2-CM2=PB2-BM2，
∴602-x2=522-(56-x)2，
解得x=36，
∴PM= m，
∴NP=28+48=76m，ON=MT=36-28=8m，
∴OP= ，
由题意得
，
∴SO≈95.5m，
∴ 丙金字塔的高度是95.5m.
【解析】【解答】解：（1）如图1，连接OP，交BC于H，
∵四边形ABCD是正方形，
∴OB=OC，OB⊥OC，
∵PC=PB=50m，
∴OP是BC的垂直平分线，
∴OH=BH= BC=40m，
∴PH= m，
∴OP=40+30=70m，
由题意，得
，
∴SO=100 m，
故答案为：100；
【分析】（1）连接OP，交BC于H，由正方形的性质和勾股定理可求得PH的值，由线段的构成OP=OH+PH客气的OP的值，再根据题意可得比例式求解；
（2） 作CH⊥OP于H，由正方形的性质和勾股定理可求得AC的值，通过计算易得OC=PC，由角的构成 ∠OCP =∠BCO+∠PCB可求得∠OCP的度数，则根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理可求得∠COP=∠CPO的度数，然后由锐角三角函数cos∠COP=可求得OH的值，由直角三角形的性质得OP=2OH，再根据题意可得比例式求解；
（3） 作PM⊥BC于M，作ON⊥PM交PM的延长线于N，作OT⊥BC于T，则四边形ONMT是矩形，由直角三角形的性质得OT=BC=MN， 设CM=xm，则BM=(56-x)m，由勾股定理得PC2-CM2=PB2-BM2，于是可得关于x的方程，解方程可求得x的值，则PM的值可求解，由线段的构成NP=MN+PM，ON=MT=CM-CT可求得NP和ON的值，在直角三角形PON中，用勾股定理可求得OP的值，再根据题意可得比例式求解.
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