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7.3　定义、命题、定理
【素养目标】
1.知道定义、命题、定理的概念,会把一个命题写成“如果……那么……”的形式,会区分命题的题设和结论.
2.知道真命题和假命题的概念,会对一个真命题进行证明,会通过举反例判断一个命题是假命题.
3.在学习过程中,体会证明的必要性,发展初步的演绎推理能力.
【重点】
区分命题的题设和结论,会写成“如果……那么……”的形式.
【自主预习】
1.你能举一个学过的定义的例子吗
2.你能举一个语句是命题的例子吗
3.你能举出一个是定理的例子吗
1.下列语句中不是定义的是 ( )
A.整数和分数统称有理数
B.大于直角的角叫作钝角
C.对顶角相等
D.含有未知数的等式叫作方程
2.下列语句是命题的是 ( )
A.画一条直线 B.正数都大于零
C.多彩的青春 D.明天晴天吗
3.下列命题中,可以作为定理的个数是 ( )
①两直线平行,同旁内角互补;②相等的角是对顶角;③等角的余角相等;④同角的补角相等.
A.1 B.2 C.3 D.4
【参考答案】
预学思考
1.如:等式两边都是整式,只含有一个未知数(元),并且未知数的次数都是1,这样的方程叫作一元一次方程.
2.如:如果两个角是对顶角,那么这两个角相等.
3.如:内错角相等,两直线平行.
自学检测
1.C　2.B　3.C
【合作探究】
定义和命题
阅读课本本课时开始到第一个“练习”之间的内容,思考下列问题:
1.下列描述属于定义吗
(1)单项式和多项式统称整式.
(2)有公共端点的两条射线组成的图形叫作角.
(3)两点之间的所有连线中,线段最短.
(4)连接两点间的线段的长度叫作这两点间的距离.
在学习一些新的数学对象时,对它们进行了 的描述,这样的描述称为数学对象的定义.
2.在下列语句中,哪些是命题 为什么
(1)你参加运动会吗
(2)两条平行线被第三条直线所截,同位角相等.
(3)连接A,B两点.
(4)相等的两个角是对顶角.
3.将上面的命题改写成“如果……那么……”的形式,再找出命题的题设和结论.
4.在上面的命题中,哪些是真命题 哪些是假命题
(1)可以 为正确(或真)或错误(或假)的陈述语句,叫作命题.命题由 和 两部分组成, 是已知事项, 是由已知事项推出的事项.
(2)对于一个命题,如果题设成立,那么结论一定成立,这样的命题叫作 ;如果题设成立时,不能保证结论一定成立,这样的命题叫作 .
定理和证明
阅读课本本课时的“在前面,我们学过……”至第二个“练习”之前的内容,思考下列问题:
1.说说什么样的命题是定理 请举例说明.
2.很多情况下,一个命题的正确性需要经过 才能作出判断,这个 叫作证明.在证明时,每一步推理都要有 .
3.说说什么是反例 要判定“同位角相等”是假命题,你能举出哪些反例
　　通过证明可判定一个命题是真命题,通过举反例可判定一个命题是假命题.
下列选项中,可以用来证明命题“若|a|>1,则a >1”是假命题的反例是 ( )
A.a=-2 B.a=-1 C.a=1 D.a=2
命题的形式
例1　把下列命题改写成“如果……那么……”的形式,并找出每个命题的题设和结论.
(1)等角的补角相等;(2)直角都相等;(3)不相等的角不是对顶角.
命题和证明
例2　如图,已知点A在直线EB上,AD∥BC,AD平分∠EAC,求证:∠B=∠C.
变式训练　如图,给出下列五个命题:①∠1=∠5;②∠1=∠6;③∠4+∠5=180°;④∠3+∠4=180°;⑤∠2+∠7=180°.现在任取两个作为题设,以a∥b∥c作为结论,试写出一个真命题,并证明.
【参考答案】
知识生成
知识点一
1.(1)(2)(4)属于.
揭示概念　清晰、明确
2.(2)(4),它们都是能判断正确或错误的陈述语句.
3.(2)如果两条平行线被第三条直线所截,那么同位角相等.题设:两条平行线被第三条直线所截.结论:同位角相等.(4)如果两个角相等,那么这两个角是对顶角.题设:两个角相等.结论:两个角是对顶角.
4.(2)是真命题,(4)是假命题.
归纳总结
(1)判断　题设　结论　题设　结论
(2)真命题　假命题
知识点二
1.经过推理证实的真命题叫作定理,如对顶角相等;内错角相等,两直线平行.
2.推理　推理的过程　依据
3.符合命题的题设,但不满足结论的例子是反例.如图,∠1和∠2是同位角,但∠1≠∠2.
对点训练　A
题型精讲
例1
解:(1)如果两个角是等角的补角,那么这两个角相等.题设:两个角是等角的补角.结论:这两个角相等.
(2)如果几个角都是直角,那么这几个角相等.题设:几个角是直角.结论:这几个角相等.
(3)如果两个角不相等,那么这两个角不是对顶角.题设:两个角不相等.结论:这两个角不是对顶角.
例2
证明:∵AD平分∠EAC(已知),∴∠EAD=∠DAC(角平分线定义).
∵AD∥BC(已知),
∴∠EAD=∠B(两直线平行,同位角相等),
∠DAC=∠C(两直线平行,内错角相等),
∴∠B=∠C.
变式训练
解:答案不唯一,如用①∠1=∠5,③∠4+∠5=180°作题设.
证明:∵∠1=∠5,∴a∥c.
∵∠4+∠5=180°,
∴b∥c,∴a∥b∥c.

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