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专题50 抛物线（新高考专用）
【知识梳理】 2
【真题自测】 3
【考点突破】 4
【考点1】抛物线的定义和标准方程 4
【考点2】抛物线的几何性质及应用 5
【考点3】直线与抛物线的综合问题 7
【分层检测】 8
【基础篇】 8
【能力篇】 10
【培优篇】 10
考试要求：
1.了解抛物线的定义、几何图形和标准方程，以及它们的简单几何性质.
2.通过圆锥曲线与方程的学习，进一步体会数形结合的思想.
1.抛物线的定义
(1)平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)的距离相等的点的轨迹叫做抛物线.点F叫做抛物线的焦点，直线l叫做抛物线的准线.
(2)其数学表达式：{M||MF|＝d}(d为点M到准线l的距离).
2.抛物线的标准方程与几何性质
图形
标准方程 y2＝2px (p>0) y2＝－2px (p>0) x2＝2py (p>0) x2＝－2py (p>0)
p的几何意义：焦点F到准线l的距离
性 质 顶点 O(0，0)
对称轴 y＝0 x＝0
焦点 F F F F
离心率 e＝1
准线方程 x＝－ x＝ y＝－ y＝
范围 x≥0，y∈R x≤0，y∈R y≥0，x∈R y≤0，x∈R
开口方向 向右 向左 向上 向下
1.通径：过焦点且垂直于对称轴的弦长等于2p，通径是过焦点最短的弦.
2.抛物线y2＝2px(p>0)上一点P(x0，y0)到焦点F的距离|PF|＝x0＋，称为抛物线的焦半径.
一、单选题
1．（2022·全国·高考真题）设F为抛物线的焦点，点A在C上，点，若，则（ ）
A．2 B． C．3 D．
二、多选题
2．（2024·全国·高考真题）抛物线C：的准线为l，P为C上的动点，过P作的一条切线，Q为切点，过P作l的垂线，垂足为B，则（ ）
A．l与相切
B．当P，A，B三点共线时，
C．当时，
D．满足的点有且仅有2个
3．（2023·全国·高考真题）设O为坐标原点，直线过抛物线的焦点，且与C交于M，N两点，l为C的准线，则（ ）．
A． B．
C．以MN为直径的圆与l相切 D．为等腰三角形
4．（2022·全国·高考真题）已知O为坐标原点，过抛物线焦点F的直线与C交于A，B两点，其中A在第一象限，点，若，则（ ）
A．直线的斜率为 B．
C． D．
5．（2022·全国·高考真题）已知O为坐标原点，点在抛物线上，过点的直线交C于P，Q两点，则（ ）
A．C的准线为 B．直线AB与C相切
C． D．
三、填空题
6．（2023·全国·高考真题）已知点在抛物线C：上，则A到C的准线的距离为 .
四、解答题
7．（2022·全国·高考真题）设抛物线的焦点为F，点，过F的直线交C于M，N两点．当直线MD垂直于x轴时，．
(1)求C的方程；
(2)设直线与C的另一个交点分别为A，B，记直线的倾斜角分别为．当取得最大值时，求直线AB的方程．
【考点1】抛物线的定义和标准方程
一、单选题
1．（2024·黑龙江哈尔滨·模拟预测）过抛物线上的一点P作圆C：的切线，切点为A，B，则的最小值是（ ）
A．4 B． C．6 D．
2．（2024·河南南阳·模拟预测）已知过抛物线的焦点且倾斜角为的直线交于两点，是的中点，点是上一点，若点的纵坐标为1，直线，则到的准线的距离与到的距离之和的最小值为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
3．（23-24高三下·河北·开学考试）双曲抛物线又称马鞍面，其形似马具中的马鞍表面而得名．其在力学、建筑学、美学中有着广泛的应用．在空间直角坐标系中，将一条平面内开口向上的抛物线沿着另一条平面内开口向下的抛物线滑动（两条抛物线的顶点重合）所形成的就是马鞍面，其坐标原点被称为马鞍面的鞍点，其标准方程为，则下列说法正确的是（）
A．用平行于平面的面截马鞍面，所得轨迹为双曲线
B．用法向量为的平面截马鞍面所得轨迹为抛物线
C．用垂直于y轴的平面截马鞍面所得轨迹为双曲线
D．用过原点且法向量为的平面截马鞍面所得轨迹为抛物线
4．（23-24高二下·河南·期末）已知抛物线的焦点为，准线为，点是上位于第一象限的动点，点为与轴的交点，则下列说法正确的是（ ）
A．到直线的距离为2
B．以为圆心，为半径的圆与相切
C．直线斜率的最大值为2
D．若，则的面积为2
三、填空题
5．（2024·北京朝阳·一模）已知抛物线的焦点为，准线方程为，则 ；设为原点，点在抛物线上，若，则 .
6．（2024·安徽·二模）已知抛物线的焦点，直线过与抛物线交于，两点，若，则直线的方程为 ，的面积为 （为坐标原点）．
反思提升：
求抛物线标准方程的常用方法是待定系数法，其关键是判断焦点位置、开口方向，在方程的类型已经确定的前提下，由于标准方程只有一个参数p，只需一个条件就可以确定抛物线的标准方程.
【考点2】抛物线的几何性质及应用
一、单选题
1．（2022·江苏·一模）是抛物线的焦点，以为端点的射线与抛物线相交于，与抛物线的准线相交于，若，则
A． B． C． D．
2．（2023·河南郑州·模拟预测）已知抛物线，圆，P为E上一点，Q为C上一点，则的最小值为（ ）
A．2 B． C． D．3
二、多选题
3．（2023·广东佛山·二模）如图拋物线的顶点为，焦点为，准线为，焦准距为4；抛物线的顶点为，焦点也为，准线为，焦准距为6．和交于、两点，分别过、作直线与两准线垂直，垂足分别为M、N、S、T，过的直线与封闭曲线交于、两点，则（ ）
A． B．四边形的面积为100
C． D．的取值范围为
4．（2024·浙江·模拟预测）已知曲线上的点满足：到定点与定直线轴的距离的差为定值，其中，点，分别为曲线上的两点，且点恒在点的右侧，则（ ）
A．若，则曲线的图象为一条抛物线
B．若，则曲线的方程为
C．当时，对于任意的，，都有
D．当时，对于任意的，，都有
三、填空题
5．（22-23高三上·江苏南通·期中）已知抛物线：，圆：，在抛物线上任取一点，向圆作两条切线和，切点分别为，，则的取值范围是 ．
6．（22-23高三上·湖南益阳·期末）已知抛物线的焦点为，圆与交于两点，其中点在第一象限，点在直线上运动，记.
①当时，有；
②当时，有；
③可能是等腰直角三角形；
其中命题中正确的有 .
反思提升：
与抛物线有关的最值问题的两个转化策略
转化策略一：将抛物线上的点到准线的距离转化为该点到焦点的距离，构造出“两点之间线段最短”“三角形两边之和大于第三边”，使问题得以解决.
转化策略二：将抛物线上的点到焦点的距离转化为到准线的距离，利用“与直线上所有点的连线中垂线段最短”原理解决.
【考点3】直线与抛物线的综合问题
一、解答题
1．（2024·广西南宁·一模）已知曲线．
(1)若点是上的任意一点，直线，判断直线与的位置关系并证明．
(2)若是直线上的动点，直线与相切于点，直线与相切于点．
①试问是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由．
②若直线与轴分别交于点，证明：．
2．（2024·江苏南京·二模）在平面直角坐标系中，顶点在原点的抛物线经过点.
(1)求抛物线的方程；
(2)若抛物线不经过第二象限，且经过点的直线交抛物线于，，两点（），过作轴的垂线交线段于点.
①当经过抛物线的焦点时，求直线的方程；
②求点A到直线的距离的最大值.
3．（2024·河南郑州·模拟预测）设抛物线的焦点为，是上一点且，直线经过点．
(1)求抛物线的方程；
(2)①若与相切，且切点在第一象限，求切点的坐标；
②若与在第一象限内的两个不同交点为，且关于原点的对称点为，证明：直线的倾斜角之和为．
4．（2024·山西太原·二模）已知抛物线C：（）的焦点为F，过点且斜率为1的直线经过点F．
(1)求抛物线C的方程；
(2)若A，B是抛物线C上两个动点，在x轴上是否存在定点M（异于坐标原点O），使得当直线AB经过点M时，满足？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
5．（2024·浙江·模拟预测）已知点，，，均在抛物线：上，，关于轴对称，直线，关于直线对称，点在直线的上方，直线交轴于点，直线斜率小于2.
(1)求面积的最大值；
(2)记四边形的面积为，的面积为，若，求.
6．（2025·四川巴中·模拟预测）已知动圆经过点且与直线相切，记圆心的轨迹为曲线．
(1)求曲线的方程；
(2)设过点且斜率为正的直线交曲线于两点（点在点的上方），的中点为，
①过作直线的垂线，垂足分别为，试证明：；
②设线段的垂直平分线交轴于点，若的面积为4，求直线的方程．
反思提升：
1.有关直线与抛物线的弦长问题，要注意直线是否过抛物线的焦点.若过抛物线的焦点，可直接使用公式|AB|＝x1＋x2＋p，若不过焦点，则必须用一般弦长公式.
2.涉及抛物线的弦长、中点、距离等相关问题时，一般利用根与系数的关系采用“设而不求”、“整体代入”等解法.
【基础篇】
一、单选题
1．（2024·北京西城·三模）点F抛物线的焦点，A，B，C为抛物线上三点，若，则（ ）
A．2 B． C．3 D．
2．（2023·陕西榆林·模拟预测）已知抛物线的焦点为F，过点F且斜率为1的直线与抛物线交于A，B两点，若，则（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
3．（2024·河南驻马店·二模）已知点在焦点为的抛物线上，若，则（ ）
A．3 B．6 C．9 D．12
4．（2024·山东聊城·二模）点在抛物线上，若点到点的距离为6，则点到轴的距离为（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
二、多选题
5．（2023·山西·模拟预测）已知抛物线的焦点为F，点在C上，若（O为坐标原点），则（ ）
A． B．
C． D．
6．（2024·河北保定·二模）若直线与抛物线只有1个公共点，则的焦点的坐标可能是（ ）
A． B． C． D．
7．（2023·湖南常德·模拟预测）已知抛物线经过点，其焦点为，过点的直线与抛物线交于点，，设直线，的斜率分别为，，则（ ）
A． B．
C． D．
三、填空题
8．（2024·山西太原·模拟预测）已知等腰梯形ABCD的四个顶点在抛物线上，且，则原点到AB的距离与原点到CD的距离之比为 ．
9．（2024·四川成都·模拟预测）若抛物线的焦点是椭圆的一个顶点，则的值为
10．（2021·青海西宁·二模）在平面直角坐标系中，已知抛物线与双曲线有公共焦点，抛物线Ｍ与双曲线交于，两点，，，三点共线，则双曲线的离心率为 ．
四、解答题
11．（2021·陕西汉中·模拟预测）已知抛物线的焦点为,直线:与抛物线交于两点,且(为坐标原点).
(1)求抛物线的方程;
(2)求证:直线恒过定点.
12．（2024·黑龙江哈尔滨·模拟预测）已知A，B两点的坐标分别是，直线AM，BM相交于点M，且直线AM的斜率与直线BM的斜率的差是，记点M的轨迹为曲线C．
(1)求曲线C的方程．
(2)将曲线C向上平移4个单位得到曲线E，已知斜率为3的直线l与曲线E有两个不同的交点且满足，求直线l的方程．
【能力篇】
一、单选题
1．（2024·陕西西安·三模）设抛物线：的焦点为，过点的直线与抛物线相交于，两点，，，则（ ）
A．1 B．2 C．4 D．22
二、多选题
2．（2024·广东汕头·三模）已知抛物线：的焦点为，为坐标原点，动点在上，若定点满足，则（ ）
A．的准线方程为 B．周长的最小值为5
C．四边形可能是平行四边形 D．的最小值为
三、填空题
3．（2024·广东广州·一模）已知曲线是平面内到定点与到定直线的距离之和等于的点的轨迹，若点在上，对给定的点，用表示的最小值，则的最小值为 .
四、解答题
4．（2024·广西来宾·模拟预测）在平面直角坐标系xOy中，已知F为抛物线C：的焦点，O为坐标原点，M为C的准线l上一点，直线MF的斜率为，的面积为4．
(1)求C的方程；
(2)过点F的直线交C于A，B两点，过点B作y轴的垂线交直线AO于点D，过点A作直线DF的垂线与C的另一交点为E，AE的中点为G，证明：G，B，D三点纵坐标相等．
【培优篇】
一、单选题
1．（2024·西藏林芝·模拟预测）已知O为坐标原点，设双曲线C的方程为，过抛物线的焦点和C的虚轴端点的直线l与C的一条渐近线平行．将C的两条渐近线分别记为，右焦点记为F，若以OF为直径的圆M交直线于O，A两点，点B在上，且，则（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
2．（23-24高二下·四川雅安·开学考试）如图抛物线的顶点为，焦点为，准线为，焦准距为；抛物线的顶点为，焦点也为，准线为，焦准距为.和交于、两点，分别过、作直线与两准线垂直，垂足分别为，过的直线与封闭曲线交于、两点，则下列说法正确的是（ ）
A． B．四边形的面积为
C． D．的取值范围为
3．（2024·湖北武汉·模拟预测）设点（）是抛物线上任意一点，过点作抛物线的两条切线，分别交抛物线于点和点，则下列结论正确的是（ ）
A． B．
C． D．直线与抛物线相
21世纪教育网(www.21cnjy.com)专题50 抛物线（新高考专用）
【知识梳理】 2
【真题自测】 3
【考点突破】 12
【考点1】抛物线的定义和标准方程 12
【考点2】抛物线的几何性质及应用 17
【考点3】直线与抛物线的综合问题 24
【分层检测】 35
【基础篇】 35
【能力篇】 43
【培优篇】 47
考试要求：
1.了解抛物线的定义、几何图形和标准方程，以及它们的简单几何性质.
2.通过圆锥曲线与方程的学习，进一步体会数形结合的思想.
1.抛物线的定义
(1)平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)的距离相等的点的轨迹叫做抛物线.点F叫做抛物线的焦点，直线l叫做抛物线的准线.
(2)其数学表达式：{M||MF|＝d}(d为点M到准线l的距离).
2.抛物线的标准方程与几何性质
图形
标准方程 y2＝2px (p>0) y2＝－2px (p>0) x2＝2py (p>0) x2＝－2py (p>0)
p的几何意义：焦点F到准线l的距离
性 质 顶点 O(0，0)
对称轴 y＝0 x＝0
焦点 F F F F
离心率 e＝1
准线方程 x＝－ x＝ y＝－ y＝
范围 x≥0，y∈R x≤0，y∈R y≥0，x∈R y≤0，x∈R
开口方向 向右 向左 向上 向下
1.通径：过焦点且垂直于对称轴的弦长等于2p，通径是过焦点最短的弦.
2.抛物线y2＝2px(p>0)上一点P(x0，y0)到焦点F的距离|PF|＝x0＋，称为抛物线的焦半径.
一、单选题
1．（2022·全国·高考真题）设F为抛物线的焦点，点A在C上，点，若，则（ ）
A．2 B． C．3 D．
二、多选题
2．（2024·全国·高考真题）抛物线C：的准线为l，P为C上的动点，过P作的一条切线，Q为切点，过P作l的垂线，垂足为B，则（ ）
A．l与相切
B．当P，A，B三点共线时，
C．当时，
D．满足的点有且仅有2个
3．（2023·全国·高考真题）设O为坐标原点，直线过抛物线的焦点，且与C交于M，N两点，l为C的准线，则（ ）．
A． B．
C．以MN为直径的圆与l相切 D．为等腰三角形
4．（2022·全国·高考真题）已知O为坐标原点，过抛物线焦点F的直线与C交于A，B两点，其中A在第一象限，点，若，则（ ）
A．直线的斜率为 B．
C． D．
5．（2022·全国·高考真题）已知O为坐标原点，点在抛物线上，过点的直线交C于P，Q两点，则（ ）
A．C的准线为 B．直线AB与C相切
C． D．
三、填空题
6．（2023·全国·高考真题）已知点在抛物线C：上，则A到C的准线的距离为 .
四、解答题
7．（2022·全国·高考真题）设抛物线的焦点为F，点，过F的直线交C于M，N两点．当直线MD垂直于x轴时，．
(1)求C的方程；
(2)设直线与C的另一个交点分别为A，B，记直线的倾斜角分别为．当取得最大值时，求直线AB的方程．
参考答案：
题号 1 2 3 4 5
答案 B ABD AC ACD BCD
1．B
【分析】根据抛物线上的点到焦点和准线的距离相等，从而求得点的横坐标，进而求得点坐标，即可得到答案.
【详解】由题意得，，则，
即点到准线的距离为2，所以点的横坐标为，
不妨设点在轴上方，代入得，，
所以.
故选：B
2．ABD
【分析】A选项，抛物线准线为，根据圆心到准线的距离来判断；B选项，三点共线时，先求出的坐标，进而得出切线长；C选项，根据先算出的坐标，然后验证是否成立；D选项，根据抛物线的定义，，于是问题转化成的点的存在性问题，此时考察的中垂线和抛物线的交点个数即可，亦可直接设点坐标进行求解.
【详解】A选项，抛物线的准线为，
的圆心到直线的距离显然是，等于圆的半径，
故准线和相切，A选项正确；
B选项，三点共线时，即，则的纵坐标，
由，得到，故，
此时切线长，B选项正确；
C选项，当时，，此时，故或，
当时，，，，
不满足；
当时，，，，
不满足；
于是不成立，C选项错误；
D选项，方法一：利用抛物线定义转化
根据抛物线的定义，，这里，
于是时点的存在性问题转化成时点的存在性问题，
，中点，中垂线的斜率为，
于是的中垂线方程为：，与抛物线联立可得，
，即的中垂线和抛物线有两个交点，
即存在两个点，使得，D选项正确.
方法二：（设点直接求解）
设，由可得，又，又，
根据两点间的距离公式，，整理得，
，则关于的方程有两个解，
即存在两个这样的点，D选项正确.
故选：ABD
3．AC
【分析】先求得焦点坐标，从而求得，根据弦长公式求得，根据圆与等腰三角形的知识确定正确答案.
【详解】A选项：直线过点，所以抛物线的焦点，
所以，则A选项正确，且抛物线的方程为.
B选项：设，
由消去并化简得，
解得，所以，B选项错误.
C选项：设的中点为，到直线的距离分别为，
因为，
即到直线的距离等于的一半，所以以为直径的圆与直线相切，C选项正确.
D选项：直线，即，
到直线的距离为，
所以三角形的面积为，
由上述分析可知，
所以，
所以三角形不是等腰三角形，D选项错误.
故选：AC.

4．ACD
【分析】由及抛物线方程求得，再由斜率公式即可判断A选项；表示出直线的方程，联立抛物线求得，即可求出判断B选项；由抛物线的定义求出即可判断C选项；由，求得，为钝角即可判断D选项.
【详解】对于A，易得，由可得点在的垂直平分线上，则点横坐标为，
代入抛物线可得，则，则直线的斜率为，A正确；
对于B，由斜率为可得直线的方程为，联立抛物线方程得，
设，则，则，代入抛物线得，解得，则，
则，B错误；
对于C，由抛物线定义知：，C正确；
对于D，，则为钝角，
又，则为钝角，
又，则，D正确.
故选：ACD.
5．BCD
【分析】求出抛物线方程可判断A，联立AB与抛物线的方程求交点可判断B，利用距离公式及弦长公式可判断C、D.
【详解】将点的代入抛物线方程得，所以抛物线方程为，故准线方程为，A错误；
，所以直线的方程为，
联立，可得，解得，故B正确；
设过的直线为，若直线与轴重合，则直线与抛物线只有一个交点，
所以，直线的斜率存在，设其方程为，，
联立，得，
所以，所以或，，
又，，
所以，故C正确；
因为，，
所以，而，故D正确.
故选：BCD
6．
【分析】由题意首先求得抛物线的标准方程，然后由抛物线方程可得抛物线的准线方程为，最后利用点的坐标和准线方程计算点到的准线的距离即可.
【详解】由题意可得：，则，抛物线的方程为，
准线方程为，点到的准线的距离为.
故答案为：.
7．(1)；
(2).
【分析】（1）由抛物线的定义可得，即可得解；
（2）法一：设点的坐标及直线，由韦达定理及斜率公式可得，再由差角的正切公式及基本不等式可得，设直线，结合韦达定理可解.
【详解】（1）抛物线的准线为，当与x轴垂直时，点M的横坐标为p，
此时，所以，
所以抛物线C的方程为；
（2）[方法一]：【最优解】直线方程横截式
设，直线，
由可得，，
由斜率公式可得，，
直线，代入抛物线方程可得，
，所以，同理可得，
所以
又因为直线MN、AB的倾斜角分别为，所以，
若要使最大，则，设，则，
当且仅当即时，等号成立，
所以当最大时，，设直线，
代入抛物线方程可得，
，所以，
所以直线.
[方法二]：直线方程点斜式
由题可知，直线MN的斜率存在.
设,直线
由 得：，,同理，.
直线MD:,代入抛物线方程可得：，同理，.
代入抛物线方程可得:,所以，同理可得，
由斜率公式可得：
（下同方法一）若要使最大，则，
设，则，
当且仅当即时，等号成立，
所以当最大时，，设直线，
代入抛物线方程可得，，所以，所以直线.
[方法三]：三点共线
设，
设,若 P、M、N三点共线，由
所以，化简得，
反之，若,可得MN过定点
因此，由M、N、F三点共线，得，
由M、D、A三点共线，得，
由N、D、B三点共线，得，
则，AB过定点（4,0）
（下同方法一）若要使最大，则，
设，则，
当且仅当即时，等号成立，
所以当最大时，，所以直线.
【整体点评】（2）法一：利用直线方程横截式，简化了联立方程的运算，通过寻找直线的斜率关系，由基本不等式即可求出直线AB的斜率，再根据韦达定理求出直线方程，是该题的最优解，也是通性通法；
法二：常规设直线方程点斜式，解题过程同解法一；
法三：通过设点由三点共线寻找纵坐标关系，快速找到直线过定点，省去联立过程，也不失为一种简化运算的好方法．
【考点1】抛物线的定义和标准方程
一、单选题
1．（2024·黑龙江哈尔滨·模拟预测）过抛物线上的一点P作圆C：的切线，切点为A，B，则的最小值是（ ）
A．4 B． C．6 D．
2．（2024·河南南阳·模拟预测）已知过抛物线的焦点且倾斜角为的直线交于两点，是的中点，点是上一点，若点的纵坐标为1，直线，则到的准线的距离与到的距离之和的最小值为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
3．（23-24高三下·河北·开学考试）双曲抛物线又称马鞍面，其形似马具中的马鞍表面而得名．其在力学、建筑学、美学中有着广泛的应用．在空间直角坐标系中，将一条平面内开口向上的抛物线沿着另一条平面内开口向下的抛物线滑动（两条抛物线的顶点重合）所形成的就是马鞍面，其坐标原点被称为马鞍面的鞍点，其标准方程为，则下列说法正确的是（）
A．用平行于平面的面截马鞍面，所得轨迹为双曲线
B．用法向量为的平面截马鞍面所得轨迹为抛物线
C．用垂直于y轴的平面截马鞍面所得轨迹为双曲线
D．用过原点且法向量为的平面截马鞍面所得轨迹为抛物线
4．（23-24高二下·河南·期末）已知抛物线的焦点为，准线为，点是上位于第一象限的动点，点为与轴的交点，则下列说法正确的是（ ）
A．到直线的距离为2
B．以为圆心，为半径的圆与相切
C．直线斜率的最大值为2
D．若，则的面积为2
三、填空题
5．（2024·北京朝阳·一模）已知抛物线的焦点为，准线方程为，则 ；设为原点，点在抛物线上，若，则 .
6．（2024·安徽·二模）已知抛物线的焦点，直线过与抛物线交于，两点，若，则直线的方程为 ，的面积为 （为坐标原点）．
参考答案：
题号 1 2 3 4
答案 B D AB ABD
1．B
【分析】设，利用圆的切线性质，借助图形的面积把表示为的函数，再求出函数的最小值即可.
【详解】设，则，圆的圆心，半径，
由切圆于点，得，
则
，当且仅当时取等号，
所以的最小值为.
故选：B.
2．D
【分析】首先联立与抛物线方程，结合已知、韦达定理求得，进一步通过抛物线定义、三角形三边关系即可求解，注意检验等号成立的条件.
【详解】由题得的焦点为，设倾斜角为的直线的方程为，
与的方程联立得，
设，则，故的方程为.

由抛物线定义可知点到准线的距离等于点到焦点的距离，
联立抛物线与直线，化简得，
由得与相离.
分别是过点向准线、直线以及过点向直线引垂线的垂足，连接，
所以点到的准线的距离与点到直线的距离之和,等号成立当且仅当点为线段与抛物线的交点，
所以到的准线的距离与到的距离之和的最小值为点到直线0的距离，即.
故选：D.
3．AB
【分析】利用空间向量的相关知识，结合马鞍面的标准方程，逐一变换方程判断各选项即可得解.
【详解】因为马鞍面的标准方程为，
对于A，平行于平面的面中为常数，不妨设为，
得，故所得轨迹是双曲线.，故A正确；
对于B，法向量为的平面中为常数，不妨设为，
则，为抛物线方程，故B正确；
对于C，垂直于轴的平面中为常数，不妨设为，
则，为抛物线方程，故C错误；
对于D，不妨设平面上的点坐标为，
因为平面过原点且法向量为，由，得，
故，代入马鞍面标准方程，得，
当时，方程为，不是抛物线，故D错误.
故选：AB.
4．ABD
【分析】A选项，求出焦点坐标和准线方程，得到答案；B选项，由抛物线焦半径公式可得B正确；C选项，当直线与抛物线相切时，的斜率取得最大值．设直线，联立抛物线方程，根据根的判别式得到方程，求出直线斜率的最大值；D选项，设，根据焦半径公式得到方程，求出，求出三角形面积.
【详解】A选项，易知，准线，所以到直线的距离为2，A选项正确；
B选项，由抛物线的定义，点到准线的距离等于，所以以为圆心，为半径的圆与相切，B选项正确；
C选项，当直线与抛物线相切时，的斜率取得最大值．设直线，
与抛物线联立可得：，令得：，
所以直线斜率的最大值为1，C选项错误；
D选项，，设，则，解得，
所以的面积为，D选项正确.
故选：ABD．
5． /0.5
【分析】借助抛物线的性质及其定义计算即可得.
【详解】由抛物线准线方程为，故，
则，，由在抛物线上，
故，
由，可得，
即，即.
故答案为：；.
6． /
【分析】由题意求出抛物线方程，进而求出直线的方程，联立抛物线方程，求得，，结合计算即可求解.
【详解】因为抛物线过点A，所以，解得，所以抛物线的方程为，
则，得直线的方程为，与联立整理得，
设，故，，
故的面积为．
故答案为：；
反思提升：
求抛物线标准方程的常用方法是待定系数法，其关键是判断焦点位置、开口方向，在方程的类型已经确定的前提下，由于标准方程只有一个参数p，只需一个条件就可以确定抛物线的标准方程.
【考点2】抛物线的几何性质及应用
一、单选题
1．（2022·江苏·一模）是抛物线的焦点，以为端点的射线与抛物线相交于，与抛物线的准线相交于，若，则
A． B． C． D．
2．（2023·河南郑州·模拟预测）已知抛物线，圆，P为E上一点，Q为C上一点，则的最小值为（ ）
A．2 B． C． D．3
二、多选题
3．（2023·广东佛山·二模）如图拋物线的顶点为，焦点为，准线为，焦准距为4；抛物线的顶点为，焦点也为，准线为，焦准距为6．和交于、两点，分别过、作直线与两准线垂直，垂足分别为M、N、S、T，过的直线与封闭曲线交于、两点，则（ ）
A． B．四边形的面积为100
C． D．的取值范围为
4．（2024·浙江·模拟预测）已知曲线上的点满足：到定点与定直线轴的距离的差为定值，其中，点，分别为曲线上的两点，且点恒在点的右侧，则（ ）
A．若，则曲线的图象为一条抛物线
B．若，则曲线的方程为
C．当时，对于任意的，，都有
D．当时，对于任意的，，都有
三、填空题
5．（22-23高三上·江苏南通·期中）已知抛物线：，圆：，在抛物线上任取一点，向圆作两条切线和，切点分别为，，则的取值范围是 ．
6．（22-23高三上·湖南益阳·期末）已知抛物线的焦点为，圆与交于两点，其中点在第一象限，点在直线上运动，记.
①当时，有；
②当时，有；
③可能是等腰直角三角形；
其中命题中正确的有 .
参考答案：
题号 1 2 3 4
答案 D B ACD AC
1．D
【详解】由题意，设的横坐标为，则由抛物线的定义，可得．则．所以．所以．故本题答案选．
2．B
【分析】设，利用两点距离公式结合点在抛物线上有，再利用二次函数的性质和圆的半径即可得到答案.
【详解】由题意知,设，则,
所以当时,，又因为圆的半径为1，所以.
故选：B.

3．ACD
【分析】根据抛物线的定义可得判断A，以为原点建立平面直角坐标系，根据条件可得抛物线的方程为，可得，进而判断B，利用抛物线的定义结合条件可得可判断C，利用抛物线的性质结合焦点弦的性质可判断D.
【详解】设直线与直线分别交于，由题可知，
所以，，故A正确；
如图以为原点建立平面直角坐标系，则，，
所以抛物线的方程为，
连接，由抛物线的定义可知，又，
所以，代入，可得，
所以，又，故四边形的面积为，故B错误；
连接，因为，所以，
所以，
故，故C正确；
根据抛物线的对称性不妨设点在封闭曲线的上部分，设在直线上的射影分别为，
当点在抛物线，点在抛物线上时，，
当与重合时，最小，最小值为，
当与重合，点在抛物线上时，因为，直线，
与抛物线的方程为联立，可得，设，
则，，
所以；
当点在抛物线，点在抛物线上时，设，
与抛物线的方程为联立，可得，设，
则，，当，
即时取等号，故此时；
当点在抛物线，点在抛物线上时，根据抛物线的对称性可知，；
综上，，故D正确.
故选：ACD.
4．AC
【分析】设曲线上的点，由题意求出的方程，分、化简后逐项判断可得答案.
【详解】对于A，若，设曲线上的点，由题意可得，
化简得，当时，为抛物线，
当时，，因为，所以，而，显然不成立，
综上，若，则曲线的图象为一条抛物线，故A错误；
对于B，若，设曲线上的点，
由题意可得，
化简得，当时，为抛物线，
当时，为一条射线，故B错误；
对于C，若，设曲线上的点，
由题意可得，
化简得，
因为，
当时，，
为开口向右，顶点为的抛物线的一部分，，
当时，，
为开口向左，顶点为的抛物线的一部分，，
且与关于对称,其图象大致如下，
因为，两点的纵坐标相同，
根据对称性可得，故C正确；
对于D，若，设曲线上的点，
由题意可得，
化简得，因为，
当时，，
为开口向左，顶点为的抛物线的一部分，
当时，，
为开口向右，顶点为的抛物线的一部分，
且与关于对称,其图象大致如下，
因为，两点的纵坐标相同，
根据对称性可得，故D错误.
故选：AC.
【点睛】关键点点睛：解题的关键点是设曲线上的点，求出点的轨迹方程，数形结合求出答案.
5．
【分析】设点，由已知关系，可用点坐标表示出.在，有
，进而可推出，根据的范围，即可得到结果.
【详解】
由已知，，.
如图，设点，则，
，
在中，有
，
易知，则，
则，
因为，，所以当时，取得最大值，
又，所以，.
所以，的取值范围是.
故答案为：.
6．①②
【分析】联立方程求得，结合可得，当时，点三点共线，求得，即可求得，判断①；当时，由，求得的值，判断②；分情况讨论为等腰直角三角形情况，判断③.
【详解】由圆与，联立方程，解得或（舍），当时，，
所以，
从而，
即，因为点在直线上运动，所以，
则，
①当时，点三点共线，由于，
所以，所以，
由题意知，所以，故①正确；
②当时，即，所以，
即，
解得，又，得，所以②正确；
③若是等腰直角三角形，
则或或为直角，
因为，
当时，则，得，
此时，不是等腰直角三角形，
由对称性可知当时，也不是等腰直角三角形，；
当时，因为首先是等腰三角形，由抛物线的对称性可知点在轴上，
此时，，,
,即，故不是等腰直角三角形，
综上所述，不可能是等腰直角三角形，所以③错误，
故答案为：①②.
【点睛】方法点睛：题目中涉及到向量的运算即，因此要利用向量的坐标运算，表示出，则①②即可判断；判断是否为等腰直角三角形，要讨论直角顶点可能的位置，即分类讨论，结合抛物线的对称性进行解答.
反思提升：
与抛物线有关的最值问题的两个转化策略
转化策略一：将抛物线上的点到准线的距离转化为该点到焦点的距离，构造出“两点之间线段最短”“三角形两边之和大于第三边”，使问题得以解决.
转化策略二：将抛物线上的点到焦点的距离转化为到准线的距离，利用“与直线上所有点的连线中垂线段最短”原理解决.
【考点3】直线与抛物线的综合问题
一、解答题
1．（2024·广西南宁·一模）已知曲线．
(1)若点是上的任意一点，直线，判断直线与的位置关系并证明．
(2)若是直线上的动点，直线与相切于点，直线与相切于点．
①试问是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由．
②若直线与轴分别交于点，证明：．
2．（2024·江苏南京·二模）在平面直角坐标系中，顶点在原点的抛物线经过点.
(1)求抛物线的方程；
(2)若抛物线不经过第二象限，且经过点的直线交抛物线于，，两点（），过作轴的垂线交线段于点.
①当经过抛物线的焦点时，求直线的方程；
②求点A到直线的距离的最大值.
3．（2024·河南郑州·模拟预测）设抛物线的焦点为，是上一点且，直线经过点．
(1)求抛物线的方程；
(2)①若与相切，且切点在第一象限，求切点的坐标；
②若与在第一象限内的两个不同交点为，且关于原点的对称点为，证明：直线的倾斜角之和为．
4．（2024·山西太原·二模）已知抛物线C：（）的焦点为F，过点且斜率为1的直线经过点F．
(1)求抛物线C的方程；
(2)若A，B是抛物线C上两个动点，在x轴上是否存在定点M（异于坐标原点O），使得当直线AB经过点M时，满足？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
5．（2024·浙江·模拟预测）已知点，，，均在抛物线：上，，关于轴对称，直线，关于直线对称，点在直线的上方，直线交轴于点，直线斜率小于2.
(1)求面积的最大值；
(2)记四边形的面积为，的面积为，若，求.
6．（2025·四川巴中·模拟预测）已知动圆经过点且与直线相切，记圆心的轨迹为曲线．
(1)求曲线的方程；
(2)设过点且斜率为正的直线交曲线于两点（点在点的上方），的中点为，
①过作直线的垂线，垂足分别为，试证明：；
②设线段的垂直平分线交轴于点，若的面积为4，求直线的方程．
参考答案：
1．(1)相切，证明见解析
(2)①为定值；；②证明见解析
【分析】（1）利用点在曲线上，结合联立方程，利用判别式，即可得出结论并证明之；
（2）①设，可得切线，的方程，进而求得E点纵坐标，结合是直线上的动点，即可得结论；
②设，设相关参数，表示出，利用两角差的正切公式推出，从而证明∽，即可证明结论.
【详解】（1）由题意知点是上的任意一点，则，
联立，得，
则，故直线与相切；
（2）①：为定值
设，
由（1）知切线AE为，切线BE为，
联立得，则，
又E点在直线上，故，
则，
故，即为定值；
②证明：设，直线AB的斜率必存在，设为k，倾斜角为，
则，
的斜率存在，不妨设为，倾斜角为，
的斜率存在，不妨设为，倾斜角为，
则，
，
由题意知为锐角，
则，
又，故∽，
所以.
【点睛】难点点睛：本题考查了直线和抛物线的位置关系以及定值和线段成比例问题，综合性强，计算量大，难点在于（2）中，要证明线段成比例，即证明∽，其中计算过程比较复杂，计算量大，且基本都是有关字母参数的运算，要十分细心.
2．(1)或
(2)①；②
【分析】（1）分类讨论焦点所在位置，结合抛物线的标准方程运算求解；
（2）根据题意可得.①求得，进而可得直线，联立求点得坐标，即可得方程；②联立方程，利用韦达定理可证直线经过定点，即可得结果.
【详解】（1）若抛物线的焦点在轴上时，可设抛物线的方程为，
且抛物线过点，所以，解得；
若抛物线的焦点在轴上时，可设抛物线的方程为，
且抛物线过点，所以，解得；
综上所述：抛物线的方程为或.
（2）因为抛物线不经过第二象限，由（1）可知，抛物线的方程为，

且,，
①当经过抛物线的焦点时，令，得，
在中，令，得，
又因为，则，可得直线，
由，解得或，即，
所以直线，即；
②设，，，
由，消去整理得，
所以，，，
且，即，
则，
令，得
，
所以直线经过定点，
所以当，即点A以直线的距离取得最大值，为.
【点睛】方法点睛：过定点问题的两大类型及解法
（1）动直线l过定点问题．解法：设动直线方程(斜率存在)为，由题设条件将t用k表示为，得，故动直线过定点；
（2）动曲线C过定点问题．解法：引入参变量建立曲线 C的方程，再根据其对参变量恒成立，令其系数等于零，得出定点．
3．(1)
(2)①；②证明见解析
【分析】（1）由化简得，再根据定义得，代入即可的抛物线方程；
（2）①设切点坐标为，通过导数求出切线方程，将点代入即可；②设直线的方程为，，，联立得，，然后计算即可.
【详解】（1）因为，
所以，
所以，
所以，
又P是C上一点，
所以，
所以，解得，
所以抛物线C的方程为．
（2）①设切点坐标为，
因为，所以，切线的斜率为，
所以切线方程为，
将代入上式，得，
所以，
所以切点坐标为．
②由①得，直线的斜率都存在，
要证：直线的倾斜角之和为，
只要证明：直线的斜率之和为．
设直线的方程为，，，,
则，，
由得，
所以，，，即，
所以，
即直线的倾斜角之和为．
【点睛】
4．(1)
(2)存在；
【分析】（1）根据点斜式求解直线方程，即可求解焦点坐标，进而可得，
（2）联立直线与抛物线方程得韦达定理，结合向量垂直的坐标运算，即可求解.
【详解】（1）由题意过点且斜率为1的直线方程为，即，令，则，
∴点F的坐标为，∴，
∴．抛物线C的方程为．
（2）由（1）得抛物线C：，假设存在定点，
设直线AB的方程为（），，，
由，得，
∴，，，
∵，∴，
∴
，
∴或（舍去），
当时，点M的坐标为，满足，，
∴存在定点．
5．(1)16
(2)
【分析】（1）设，则，令可得的坐标，由韦达定理可表示出，从而可求得面积的表达式，结合基本不等式即可求解；
（2）设的面积为， 由题意，由韦达定理以及同理思想可得，由公式可知也可以用表示，进而可以得出关于的方程，解出，结合二倍角公式、平方关系即可求解.
【详解】（1）由题意，解得，所以抛物线：，
因为，关于轴对称，直线，关于直线对称，
所以斜率互为相反数，不妨设，
则，
设与轴交于点，而直线交轴于点，
所以，
联立与抛物线：，化简并整理得，
，
设，
则，
设面积为，
则
，等号成立当且仅当，
所以面积的最大值为16；
（2）
由（1）可知，解得，
设点的坐标为，同理可得，
所以，
设的面积为，而四边形的面积为，的面积为，
由题意，所以，
而，
而，所以，即，解得，
由题意轴，且，设，
所以，
所以.
6．(1)
(2)①证明见解析；②
【分析】（1）由抛物线的定义知P点轨迹是抛物线，方程为标准方程，求出焦参数可得；
（2）①设直线的方程为，，可求得，进而可得，，联立直线与抛物线方程可得，进而可得，可证结论；
②求得的中点，进而可得线段的垂直平分线方程为，进而可得，结合已知可得，可求直线的方程.
【详解】（1）依题意可得圆心到定点的距离等于到定直线的距离相等，
所以的轨迹是以为焦点，为准线的抛物线，
又到直线的距离为，所心抛物线的方程为；
（2）①设直线的方程为，，
则的中点，由（1）可知，，
联立方程组，消去可得，
所以，，
所以，
又，所以，所以；
②由①可得，代入，可得中点的横坐标为，
所以，又线段的垂直平分线的斜率为，
所以线段的垂直平分线方程为，
令，可得，所以，
所以，
所以，
又的面积为4，所以，所以，
解得，所以直线的主程为，即.
反思提升：
1.有关直线与抛物线的弦长问题，要注意直线是否过抛物线的焦点.若过抛物线的焦点，可直接使用公式|AB|＝x1＋x2＋p，若不过焦点，则必须用一般弦长公式.
2.涉及抛物线的弦长、中点、距离等相关问题时，一般利用根与系数的关系采用“设而不求”、“整体代入”等解法.
【基础篇】
一、单选题
1．（2024·北京西城·三模）点F抛物线的焦点，A，B，C为抛物线上三点，若，则（ ）
A．2 B． C．3 D．
2．（2023·陕西榆林·模拟预测）已知抛物线的焦点为F，过点F且斜率为1的直线与抛物线交于A，B两点，若，则（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
3．（2024·河南驻马店·二模）已知点在焦点为的抛物线上，若，则（ ）
A．3 B．6 C．9 D．12
4．（2024·山东聊城·二模）点在抛物线上，若点到点的距离为6，则点到轴的距离为（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
二、多选题
5．（2023·山西·模拟预测）已知抛物线的焦点为F，点在C上，若（O为坐标原点），则（ ）
A． B．
C． D．
6．（2024·河北保定·二模）若直线与抛物线只有1个公共点，则的焦点的坐标可能是（ ）
A． B． C． D．
7．（2023·湖南常德·模拟预测）已知抛物线经过点，其焦点为，过点的直线与抛物线交于点，，设直线，的斜率分别为，，则（ ）
A． B．
C． D．
三、填空题
8．（2024·山西太原·模拟预测）已知等腰梯形ABCD的四个顶点在抛物线上，且，则原点到AB的距离与原点到CD的距离之比为 ．
9．（2024·四川成都·模拟预测）若抛物线的焦点是椭圆的一个顶点，则的值为
10．（2021·青海西宁·二模）在平面直角坐标系中，已知抛物线与双曲线有公共焦点，抛物线Ｍ与双曲线交于，两点，，，三点共线，则双曲线的离心率为 ．
四、解答题
11．（2021·陕西汉中·模拟预测）已知抛物线的焦点为,直线:与抛物线交于两点,且(为坐标原点).
(1)求抛物线的方程;
(2)求证:直线恒过定点.
12．（2024·黑龙江哈尔滨·模拟预测）已知A，B两点的坐标分别是，直线AM，BM相交于点M，且直线AM的斜率与直线BM的斜率的差是，记点M的轨迹为曲线C．
(1)求曲线C的方程．
(2)将曲线C向上平移4个单位得到曲线E，已知斜率为3的直线l与曲线E有两个不同的交点且满足，求直线l的方程．
参考答案：
题号 1 2 3 4 5 6 7
答案 C D A A AC BC ABD
1．C
【分析】设，根据抛物线方程求出焦点坐标和准线方程，再由可得为的重心，从而可求出，再根据抛物线的定义可求得结果.
【详解】设，
由，得，所以，准线方程为，
因为，所以为的重心，
所以，所以，
所以
，
故选：C
2．D
【分析】写出直线方程与抛物线方程联立，得到韦达定理，利用抛物线的定义化简已知式并将韦达定理代入计算即得.
【详解】
如图，，直线的方程为：代入中，消去，可整理得，，
显然设，由韦达定理可得：（*）
因，由，
将（*）代入可得，，解得.
故选：D.
3．A
【分析】由抛物线的定义列方程可得.
【详解】抛物线，准线，,
由抛物线的定义可知，解得.
故选：A.
4．A
【分析】由抛物线的定义知，点到焦点的距离等于点到准线的距离，结合点和准线的位置，求点到轴的距离.
【详解】抛物线开口向右，准线方程为，
点到焦点的距离为6，则点到准线的距离为6，
点在y轴右边，所以点到y轴的距离为4．
故选：A．
5．AC
【分析】根据题意，联立方程组求得点的坐标，结合抛物线的定义和余弦定理，即可求解.
【详解】由，可得，即，
联立方程组，解得或，所以A正确，B不正确；
又由抛物线的定义，可得，所以C正确；
在中，可得，
由余弦定理得，所以D错误．
故选：AC.

6．BC
【分析】根据题意，分和，两种情况讨论，结合直线与抛物线的位置关系的判定方法，即可求解.
【详解】当时，直线与只有一个公共点，满足题意，此时的坐标为；
当时，联立方程组，整理得，
由，解得或（舍去），此时对应的的坐标为.
故选：BC.
7．ABD
【分析】由点坐标代入求出，即可求出抛物线方程与焦点坐标，设直线，联立直线与抛物线方程，消元、列出韦达定理，根据焦点弦公式判断B，根据数量积的坐标表示判断C，根据斜率公式判断D.
【详解】因为抛物线经过点，所以，解得，故A正确；
所以抛物线方程为，则焦点，
设直线，则，消去整理得，
则，所以，，
则，
，
所以，故B正确；
所以，，所以，故C错误；
，故D正确；
故选：ABD
8．
【分析】根据题意分析可知且轴，设设，，结合抛物线方程分析求解.
【详解】由题意可知，且轴，
设，，则，可知，
所以原点到AB的距离与原点到CD的距离之比为．
故答案为：.
9．8
【分析】分别求出抛物线的焦点和椭圆的右顶点坐标，得，即可求解．
【详解】因为抛物线（）的焦点为，
且椭圆的右顶点为，
由题意可得：，解得．
故答案为：8.
10．
【分析】由抛物线和双曲线的对称性可以确定两点关于轴对称，从而得到点的坐标，结合点既在抛物线又在双曲线上，可建立的关系，从而求出离心率.
【详解】解：由抛物线和双曲线的对称性可知，两点关于轴对称，且，
因为，所以，代入双曲线方程有，
所以，
即，解得．
故答案为：.
11．(1)
(2)证明见解析
【分析】(1)根据焦点即可求出,从而写出抛物线方程即可;
(2)联立直线方程和抛物线方程,由判别式大于0及韦达定理可求出,代入抛物线方程可求出,根据,代入即可求出的值,代入直线方程中,即可证明过定点.
【详解】（1）解:由题知抛物线的焦点为,
,即,
抛物线的方程为:;
（2）证明:由(1)知抛物线的方程为:,
联立,
整理可得,
,
,
,
,
即,
解得,符合，
直线的方程为:,
故直线恒过定点.
12．(1)
(2)或
【分析】（1）设点，根据斜率之差的值整理可得曲线C的方程为；
（2）易知曲线E为，联立曲线E和直线l的方程并利用韦达定理以及向量数量积的坐标表示可得结果.
【详解】（1）设点,根据题意可知，
直线AM的斜率为，直线BM的斜率；
即可得，
整理可得.
（2）如下图所示：

将曲线C向上平移4个单位得到曲线E为；
设直线l的方程为，；
联立曲线E和直线l整理可得，
所以；
因此，
即，解得或；
当时，方程的根为，符合题意；
当时，方程的根为，符合题意；
因此可知，直线l的方程为或.
【能力篇】
一、单选题
1．（2024·陕西西安·三模）设抛物线：的焦点为，过点的直线与抛物线相交于，两点，，，则（ ）
A．1 B．2 C．4 D．22
二、多选题
2．（2024·广东汕头·三模）已知抛物线：的焦点为，为坐标原点，动点在上，若定点满足，则（ ）
A．的准线方程为 B．周长的最小值为5
C．四边形可能是平行四边形 D．的最小值为
三、填空题
3．（2024·广东广州·一模）已知曲线是平面内到定点与到定直线的距离之和等于的点的轨迹，若点在上，对给定的点，用表示的最小值，则的最小值为 .
四、解答题
4．（2024·广西来宾·模拟预测）在平面直角坐标系xOy中，已知F为抛物线C：的焦点，O为坐标原点，M为C的准线l上一点，直线MF的斜率为，的面积为4．
(1)求C的方程；
(2)过点F的直线交C于A，B两点，过点B作y轴的垂线交直线AO于点D，过点A作直线DF的垂线与C的另一交点为E，AE的中点为G，证明：G，B，D三点纵坐标相等．
参考答案：
题号 1 2
答案 B BD
1．B
【分析】设直线的方程为，，，联立，利用韦达定理和抛物线的定义即可求解.
【详解】设抛物线：的焦点为，过点的直线与抛物线相交于，两点，
设直线的方程为，，，
联立，可得，所以，，
则．因为，，所以，，
则，解得或．因为，所以．
故选：B
2．BD
【分析】首先表示出抛物线的焦点坐标与准线方程，由距离公式得到方程，即可求出，求出抛物线方程，即可判断A；根据抛物线的定义判断B，求出点坐标，即可判断C；设，结合数量积的坐标运算分析求解.
【详解】对于选项A：因为抛物线的焦点为，准线方程为，
又点满足，则，
整理得，解得或（舍去），
即抛物线，
所以准线方程为，焦点为，故A错误；
对于选项B：过点作准线的垂线，垂足为，
由抛物线的定义可知，
则周长
，
当且仅当、、三点共线时取等号，
所以周长的最小值为，故B正确；
对于选项C：过点作的平行线，交抛物线于点，
即，解得，即，
则，
所以四边形不是平行四边形，故C错误；
对于选项D：设，则，
可得，
当且仅当时，等号成立，
所以的最小值为，故D正确；
故选：BD
3．2
【分析】根据给定条件，求出点的轨迹方程，结合图形并借助到两点距离的和不小于这两点间距离求出最小值即得.
【详解】设，当时，，则，
化简得：，即；
当时，，则，
化简得，，即，
对于曲线上的任意一点，，当且仅当是线段与曲线的交点时取等号，
而，当且仅当，即点时取等号，
因此，当且仅当点重合于时取等号，
所以的最小值为2.
故答案为：2

【点睛】方法点睛：圆锥曲线中最值或范围问题的常见解法：
①几何法，若题目的条件和结论能明显体现几何特征和意义，则考虑利用几何法来解决；
②代数法，若题目的条件和结论能体现某种明确的函数关系，则可首先建立目标函数，再求这个函数的最值或范围．
4．(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）设准线l与x轴的交点为N，根据直线MF的斜率为，得到，再根据的面积为1求出，即可得解.
（2）设直线的方程为，设出点和点的坐标，再将直线的方程与抛物线的方程联立，列出韦达定理，写出直线的方程，将代入直线的方程，求出点的坐标，可得，根据直线与直线垂直，可得，然后列出直线的方程并与抛物线方程联立，结合韦达定理求出点的坐标，再根据中点坐标可得点的坐标，即可得出G，B，D三点纵坐标相等.
【详解】（1）设准线l与x轴的交点为N，
∵直线MF的斜率为，∴，又，
∴，∴．
故抛物线C的方程为：．
（2）证明：设直线AB的方程为，设点，，
联立，得，
，
由韦达定理可得，，
又因为直线AO的方程为，
将代入，可得，即点，
所以，
因为，则，
所以直线AE的方程为，
联立，得，则，
故，，
故G，B，D三点纵坐标相等.
【培优篇】
一、单选题
1．（2024·西藏林芝·模拟预测）已知O为坐标原点，设双曲线C的方程为，过抛物线的焦点和C的虚轴端点的直线l与C的一条渐近线平行．将C的两条渐近线分别记为，右焦点记为F，若以OF为直径的圆M交直线于O，A两点，点B在上，且，则（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
2．（23-24高二下·四川雅安·开学考试）如图抛物线的顶点为，焦点为，准线为，焦准距为；抛物线的顶点为，焦点也为，准线为，焦准距为.和交于、两点，分别过、作直线与两准线垂直，垂足分别为，过的直线与封闭曲线交于、两点，则下列说法正确的是（ ）
A． B．四边形的面积为
C． D．的取值范围为
3．（2024·湖北武汉·模拟预测）设点（）是抛物线上任意一点，过点作抛物线的两条切线，分别交抛物线于点和点，则下列结论正确的是（ ）
A． B．
C． D．直线与抛物线相切
参考答案：
题号 1 2 3
答案 A ACD BCD
1．A
【分析】直线l与C的一条渐近线平行求出可得点坐标，根据得点坐标代入，可得渐近线方程，设，求出，利用平方关系、商数关系、余弦的二倍角公式计算可得答案.
【详解】过的直线斜率为，则，则，依题知，
且，则，即，
根据，得，代入，
得，渐近线方程，
设，
，由，所以，
．
故选：A.
【点睛】方法点睛：当解析中与向量问题的结合时，一般的思路有两个，一个是寻找几何关系，比如：中点、垂直、角平分线等，利于数形结合求解；另一个是通过向量坐标化，进而转成代数运算求解.
2．ACD
【分析】根据抛物线的定义判断A，以为原点建立平面直角坐标系，得到的方程，求出，代入方程求出，即可求出矩形的面积，从而判断B，连接，由定义得到，从而得到，，即可推出，从而判断C，不妨设点在封闭曲线的上部分，设在直线上的射影分别为，当点在抛物线，点在抛物线上时求出，当与重合，点在抛物线上时求出，再求出当点在抛物线，点在抛物线上时的范围，即可判断D.
【详解】设直线与直线分别交于、，由题可知，，
所以，，故A正确；
如图以为原点建立平面直角坐标系，则，，
所以抛物线的方程为，
连接，由抛物线的定义可知，，又，
所以，所以，代入，可得，
所以，又，故四边形的面积为，故B错误；
连接，因为，所以，，
所以，故，故C正确；
根据抛物线的对称性不妨设点在封闭曲线的上部分，
设在直线上的射影分别为，
当点在抛物线，点在抛物线上时，，
当与重合时，最小，最小值为，
当与重合，点在抛物线上时，因为，
直线，与抛物线的方程为联立，可得，
设，则，所以，所以；
当点在抛物线，点在抛物线上时，设，
与抛物线的方程为联立，可得，
设，则，
则，
当，即时取等号，故此时；
当点在抛物线，点在抛物线上时，根据抛物线的对称性可知，；
综上可得，故D正确．
故选：ACD
【点睛】关键点点睛：本题解答的关键是抛物线的定义的理解及应用，将到焦点的距离转化为到准线的距离.
3．BCD
【分析】对A：借助斜率公式可表示出直线的斜率，即可表示直线的方程，联立曲线，结合相切的性质与根的判别式计算即可得；对B：同A可得，结合因式分解计算即可得；对C：将B中所得代入A中所得即可得；对D：将直线的方程与抛物线联立，可得其根的判别式，即可得解.
【详解】对A：∵直线的斜率为，
∴直线的方程为，
即，
∵，∴直线的方程为，
联立，消得：，
∵直线与抛物线相切，∴，
∴，∴选项A错误；
对B：同理可得，∴，
∵，∴
整理得，
∵，∴，∴选项B正确；
对C：由可得，
代入得，∴选项C正确；
对D：将直线的方程与抛物线联立，
同理可得，
∴直线与抛物线相切，∴选项D正确.
故选：BCD.
【点睛】关键点点睛：本题关键点在于借助相切的性质，将直线方程与曲线方程联立，从而通过计算去得到所有纵坐标的关系.
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