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专题11 对数与对数函数（新高考专用）
【知识梳理】 2
【真题自测】 3
【考点突破】 12
【考点1】对数的运算 12
【考点2】对数函数的图象及应用 16
【考点3】对数函数的性质及应用 21
【分层检测】 25
【基础篇】 25
【能力篇】 31
【培优篇】 34
考试要求：
1.理解对数的概念及运算性质，知道用换底公式能将一般对数转化成自然对数或常用对数.
2.通过实例，了解对数函数的概念，能用描点法或借助计算工具画具体对数函数的图象，理解对数函数的单调性与特殊点.
3.了解指数函数y＝ax与对数函数y＝logax(a＞0，且a≠1)互为反函数.
1.对数的概念
如果ax＝N(a>0，且a≠1)，那么数x叫做以a为底N的对数，记作x＝logaN，其中a叫做对数的底数，N叫做真数.
2.对数的性质、运算性质与换底公式
(1)对数的性质：①alogaN＝N；②logaab＝b(a>0，且a≠1).
(2)对数的运算性质
如果a>0且a≠1，M>0，N>0，那么
①loga(MN)＝logaM＋logaN；
②loga＝logaM－logaN；
③logaMn＝nlogaM(n∈R).
(3)换底公式：logab＝(a>0，且a≠1，b>0，c>0，且c≠1).
3.对数函数及其性质
(1)概念：函数y＝logax(a＞0，且a≠1)叫做对数函数，其中x是自变量，定义域是(0，＋∞).
(2)对数函数的图象与性质
a>1 0图象
性质 定义域：(0，＋∞)
值域：R
当x＝1时，y＝0，即过定点(1，0)
当x>1时，y>0； 当01时，y<0； 当00
在(0，＋∞)上是增函数 在(0，＋∞)上是减函数
4.反函数
指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)与对数函数y＝logax(a>0，且a≠1)互为反函数，它们的图象关于直线y＝x对称.它们的定义域和值域正好互换.
1.换底公式的两个重要结论
(1)logab＝(a>0，且a≠1；b>0，且b≠1).
(2)logambn＝logab(a>0，且a≠1；b>0；m，n∈R，且m≠0).
2.对数函数的图象与底数大小的比较
如图，作直线y＝1，则该直线与四个函数图象交点的横坐标为相应的底数.
故0＜c＜d＜1＜a＜b.
由此我们可得到以下规律：在第一象限内从左到右底数逐渐增大.
一、单选题
1．（2023·北京·高考真题）下列函数中，在区间上单调递增的是（ ）
A． B．
C． D．
2．（2022·全国·高考真题）已知，则（ ）
A． B． C． D．
3．（2022·全国·高考真题）设，则（ ）
A． B． C． D．
4．（2021·全国·高考真题）已知，，，则下列判断正确的是（ ）
A． B． C． D．
5．（2021·全国·高考真题）设，，．则（ ）
A． B． C． D．
6．（2021·全国·高考真题）青少年视力是社会普遍关注的问题，视力情况可借助视力表测量．通常用五分记录法和小数记录法记录视力数据，五分记录法的数据L和小数记录表的数据V满足．已知某同学视力的五分记录法的数据为4.9，则其视力的小数记录法的数据为（ ）（）
A．1.5 B．1.2 C．0.8 D．0.6
7．（2021·天津·高考真题）若，则（ ）
A． B． C．1 D．
8．（2021·天津·高考真题）设，则a，b，c的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
9．（2023·全国·高考真题）噪声污染问题越来越受到重视．用声压级来度量声音的强弱，定义声压级，其中常数是听觉下限阈值，是实际声压．下表为不同声源的声压级：
声源 与声源的距离 声压级
燃油汽车 10
混合动力汽车 10
电动汽车 10 40
已知在距离燃油汽车、混合动力汽车、电动汽车处测得实际声压分别为，则（ ）．
A． B．
C． D．
三、填空题
10．（2023·全国·高考真题）设，若函数在上单调递增，则a的取值范围是 .
11．（2023·北京·高考真题）已知函数，则 ．
12．（2022·全国·高考真题）若是奇函数，则 ， ．
参考答案：
1．C
【分析】
利用基本初等函数的单调性，结合复合函数的单调性判断ABC，举反例排除D即可.
【详解】
对于A，因为在上单调递增，在上单调递减，
所以在上单调递减，故A错误；
对于B，因为在上单调递增，在上单调递减，
所以在上单调递减，故B错误；
对于C，因为在上单调递减，在上单调递减，
所以在上单调递增，故C正确；
对于D，因为，，
显然在上不单调，D错误.
故选：C.
2．A
【分析】法一：根据指对互化以及对数函数的单调性即可知，再利用基本不等式，换底公式可得，，然后由指数函数的单调性即可解出．
【详解】［方法一］：（指对数函数性质）
由可得，而，所以，即，所以.
又，所以，即，
所以.综上，.
［方法二］：【最优解】（构造函数）
由，可得．
根据的形式构造函数 ，则，
令，解得 ，由 知 .
在 上单调递增，所以 ，即 ，
又因为 ，所以 .
故选：A.
【点评】法一：通过基本不等式和换底公式以及对数函数的单调性比较，方法直接常用，属于通性通法；
法二：利用的形式构造函数，根据函数的单调性得出大小关系，简单明了，是该题的最优解．
3．C
【分析】构造函数， 导数判断其单调性，由此确定的大小.
【详解】方法一：构造法
设，因为，
当时，，当时，
所以函数在单调递减，在上单调递增，
所以，所以，故，即，
所以，所以，故，所以，
故，
设，则,
令，，
当时，，函数单调递减，
当时，，函数单调递增，
又，
所以当时，，
所以当时，，函数单调递增，
所以，即，所以
故选：C.
方法二：比较法
解： ， ， ，
① ，
令
则 ，
故 在 上单调递减，
可得 ，即 ，所以 ；
② ，
令
则 ，
令 ，所以 ，
所以 在 上单调递增，可得 ，即 ，
所以 在 上单调递增，可得 ，即 ，所以
故
4．C
【分析】对数函数的单调性可比较、与的大小关系，由此可得出结论.
【详解】，即.
故选：C.
5．B
【分析】利用对数的运算和对数函数的单调性不难对a,b的大小作出判定，对于a与c，b与c的大小关系，将0.01换成x,分别构造函数,，利用导数分析其在0的右侧包括0.01的较小范围内的单调性，结合f(0)=0,g(0)=0即可得出a与c，b与c的大小关系.
【详解】[方法一]：
，
所以；
下面比较与的大小关系.
记，则，，
由于
所以当0所以在上单调递增，
所以，即，即；
令，则，，
由于，在x>0时，，
所以，即函数在[0，+∞)上单调递减，所以，即，即b综上，，
故选：B.
[方法二]：
令
，即函数在（1，+∞)上单调递减
令
，即函数在（1，3)上单调递增
综上，，
故选：B.
【点睛】本题考查比较大小问题，难度较大，关键难点是将各个值中的共同的量用变量替换，构造函数，利用导数研究相应函数的单调性，进而比较大小，这样的问题，凭借近似估计计算往往是无法解决的.
6．C
【分析】根据关系，当时，求出，再用指数表示，即可求解.
【详解】由，当时，，
则.
故选：C.
7．C
【分析】由已知表示出，再由换底公式可求.
【详解】，，
.
故选：C.
8．D
【分析】根据指数函数和对数函数的性质求出的范围即可求解.
【详解】，，
，，
，，
.
故选：D.
9．ACD
【分析】根据题意可知，结合对数运算逐项分析判断.
【详解】由题意可知：，
对于选项A：可得，
因为，则，即，
所以且，可得，故A正确；
对于选项B：可得，
因为，则，即，
所以且，可得，
当且仅当时，等号成立，故B错误；
对于选项C：因为，即，
可得，即，故C正确；
对于选项D：由选项A可知：，
且，则，
即，可得，且，所以，故D正确；
故选：ACD.
10．
【分析】
原问题等价于恒成立，据此将所得的不等式进行恒等变形，可得，由右侧函数的单调性可得实数的二次不等式，求解二次不等式后可确定实数的取值范围.
【详解】
由函数的解析式可得在区间上恒成立，
则，即在区间上恒成立，
故，而，故，
故即，故，
结合题意可得实数的取值范围是.
故答案为：.
11．1
【分析】根据给定条件，把代入，利用指数、对数运算计算作答.
【详解】函数，所以.
故答案为：1
12． ； ．
【分析】根据奇函数的定义即可求出．
【详解】[方法一]：奇函数定义域的对称性
若，则的定义域为，不关于原点对称
若奇函数的有意义，则且
且，
函数为奇函数，定义域关于原点对称，
，解得，
由得，，
，
故答案为：；．
[方法二]：函数的奇偶性求参
函数为奇函数
[方法三]：
因为函数为奇函数，所以其定义域关于原点对称．
由可得，，所以，解得：，即函数的定义域为，再由可得，．即，在定义域内满足，符合题意．
故答案为：；．
【考点1】对数的运算
一、单选题
1．（2023·宁夏银川·三模）设，，，则（ ）
A． B．
C． D．
2．（2024·黑龙江哈尔滨·一模）酒驾是严重危害交通安全的违法行为．为了保障交通安全，根据国家有关规定：血液中酒精含量达到的驾驶员即为酒后驾车，及以上认定为醉酒驾车．假设某驾驶员喝了一定量的酒后，其血液中的酒精含量上升到了．如果停止喝酒以后，他血液中酒精含量会以每小时的速度减少，那么他至少经过几个小时才能驾驶？（ ）（结果取整数，参考数据：）
A．1 B．2 C．3 D．4
二、多选题
3．（2024·全国·模拟预测）已知实数a，b满足，则下列关系式中可能正确的是（ ）
A．，使 B．，使
C．，有 D．，有
4．（2024·贵州贵阳·一模）已知，则实数满足（ ）
A． B．
C． D．
三、填空题
5．（2024·全国·模拟预测）已知是定义在上的奇函数，当时，，则 ．
6．（2024·广东广州·模拟预测）“阿托秒”是一种时间的国际单位，“阿托秒”等于秒，原子核内部作用过程的持续时间可用“阿托秒”表示.《庄子 天下》中提到，“一尺之棰，日取其半，万世不竭”，如果把“一尺之棰”的长度看成1米，按照此法，至少需要经过 天才能使剩下“棰”的长度小于光在2“阿托秒”内走过的距离.（参考数据：光速为米/秒，）
参考答案：
1．C
【分析】根据题意，由对数的运算可知，即可得到结果.
【详解】因为，，且，
所以.
故选：C
2．D
【分析】设经过个小时才能驾驶，则，再根据指数函数的性质及对数的运算计算可得.
【详解】设经过个小时才能驾驶，则即.
由于在定义域上单调递减，.
他至少经过4小时才能驾驶.
故选：D.
3．ABC
【分析】由原方程可得，构适函数，由函数的单调性得出值域，根据函数的值域判断A；令，代入原方程转化为判断是否有解即可判断B；条件变形放缩后构造函数，利用函数的单调性得出大小，判断CD.
【详解】由
得，
令，则分别在和上单调递增，
令，则分别在和上单调递增，
当时，的值域为，当时，的值域为，
所以存在，使得；
同理可得，存在，使得，
因此，使，故选项A正确．
令，则方程
可化为，
由换底公式可得，
显然关于b的方程在上有解，所以，使，故选项B正确．
当时，因为，所以．
又在上单调递增，所以．
因为，
令，则在上单调递增．
因为，所以，
从而，所以．
综上所述，，故选项C正确．
当时，因为，所以．
又在上单调递增，所以．
因为．
令，则在上单调递增，
因为，所以，
从而，所以．
综上所述，，故选项D错误．
故选：ABC．
【点睛】关键点点睛：本题的关键是根据对数式的运算规则和对数函数的单调性求解.
4．ABD
【分析】由条件求出，结合对数运算，基本不等式逐项判断即可.
【详解】因为，
所以，，
所以，A正确；
，B正确，
，C错误，
由，可得，D正确，
故选：ABD.
5．
【分析】根据题意，求得，结合对数的运算性质，求得的值，即可求解.
【详解】因为函数是定义在上的奇函数可得，
又当时，，则，
所以．
故答案为：.
6．31
【分析】依题意可得尺子经过天后，剩余的长度米，结合对数运算可得结果.
【详解】依题意，光在2“阿托秒”内走的距离为米，
经过天后，剩余的长度米，由，得，
两边同时取对数，得，
而，则，所以至少需要经过31天才能使其长度小于光在2“阿托秒”内走的距离.
故答案为：31.
反思提升：
1.在对数运算中，先利用幂的运算把底数或真数进行变形，化成分数指数幂的形式，使幂的底数最简，然后用对数运算法则化简合并.
2.先将对数式化为同底数对数的和、差、倍数运算，然后逆用对数的运算法则，转化为同底对数真数的积、商、幂再运算.
3.ab＝N b＝logaN(a>0，且a≠1)是解决有关指数、对数问题的有效方法，在运算中应注意互化.
【考点2】对数函数的图象及应用
一、单选题
1．（2024·全国·模拟预测）函数的大致图象为（ ）
A． B．
C． D．
2．（2024·贵州黔东南·二模）若函数的值域为.则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
3．（21-22高一上·河北张家口·期末）在同一直角坐标系中，函数与的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
4．（2022·湖南岳阳·一模）已知函数（且）的图象如下所示．函数的图象上有两个不同的点，，则（ ）
A．， B．在上是奇函数
C．在上是单调递增函数 D．当时，
三、填空题
5．（2024·陕西西安·模拟预测）若直线过函数，且）的定点，则的最小值为 .
6．（2024·全国·模拟预测）已知函数则函数有 个零点．
参考答案：
1．C
【分析】先求的定义域，判断奇偶性，再计算的值，利用排除法即可选出正确的选项．
【详解】解：由题可知，的定义域为，
，
是偶函数，排除A，B，
又，排除D，
故选：C．
2．C
【分析】由对数函数图象性质可得需满足，可得，再利用对数函数单调性以及运算法则可得结果.
【详解】依题意可得要取遍所有正数，
则需要求，因为，解得；
故.
故选：C
3．BD
【分析】分和两种情况讨论两个函数的单调性进行判断.
【详解】当时，在单调递增且其图象恒过点，
在单调递增且其图象恒过点，
则选项B符合要求；
当时，在单调递减且其图象恒过点，
在单调递减且其图象恒过点，
则选项D符合要求；
综上所述，选项B、D符合要求.
故选：BD.
4．BCD
【分析】对于A结合对数型函数图像相关知识求解；对于B运用定义法判断是否在上是奇函数；对于C运用定义法判断函数单调性；对于D通过作差法并对式子变形即可判断.
【详解】对于A，由图像可知，函数（且）在上单调递增，所以，因为经过，所以，所以，，故A错误.
对于B，，定义域关于原点对称，，所以在上是奇函数，故B正确.
对于C，对于，由题意不妨令，则，因为，，所以，即，所以在上是单调递增函数，故C正确.
对于D，，因为，，所以，所以，当且仅当时等号成立，即当时，成立，故D正确.
故选：BCD
5．6
【分析】先根据对数型函数的特点求得定点坐标，代入直线方程得利用其将变形成，最后运用常值代换法即可求得结论.
【详解】时，，
函数，且的图象恒过定点，
定点在直线上，
,
由，
当且仅当时取等号.
即当且仅当时，取得最小值为.
故答案为：6.
6．7
【分析】设，则等价于，作出函数的图像，由图可知有3个根，再根据结合函数的图象得出交点的个数，即得到结果.
【详解】令，则，设，则等价于，
则函数的零点个数问题即为解的个数问题．
二次函数，其图像开口向上，过点，对称轴为，最小值为，
由题意得作出函数的图像如图所示．
由图可知有3个根，当时，，即；
当时，，即.
则对于，当时，;
当时，，此时共有3个解．
对于，此时有1个解，，即有2个解．
对于，此时有1个解，，即无解．
因此，此时函数有7个零点．
故答案为：7.
反思提升：
1.在识别函数图象时，要善于利用已知函数的性质、函数图象上的特殊点(与坐标轴的交点、最高点、最低点等)排除不符合要求的选项.
2.一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图象问题，利用数形结合法求解.
【考点3】对数函数的性质及应用
一、单选题
1．（2024·江苏扬州·模拟预测）设方程和方程的根分别为，设函数，则（ ）
A． B．
C． D．
2．（2021·宁夏银川·二模）中国的5G技术领先世界，5G技术极大地提高了数据传输速率，最大数据传输速率C取决于信道带宽W，经科学研究表明：C与W满足，其中S是信道内信号的平均功率，N是信道内部的高斯噪声功率，为信噪比.当信噪比比较大时，上式中真数中的1可以忽略不计.若不改变带宽W，而将信噪比从1000提升至4000，则C大约增加了（ ）(附：)
A．10% B．20% C．30% D．40%
二、多选题
3．（20-21高三上·辽宁大连·期中）对于实数，，下列真命题的为（ ）
A．若，则 B．若，，则
C．若，则 D．若，且，则的最小值为
4．（23-24高一上·黑龙江齐齐哈尔·期末）已知函数，则下列说法正确的是（ ）
A．函数值域为
B．函数是增函数
C．不等式的解集为
D．
三、填空题
5．（2023·甘肃平凉·模拟预测）已知幂函数的图象过点，设，则a、b、c的大小用小于号连接为 ．
6．（22-23高三上·湖北武汉·期末）对任意正实数，记函数在上的最小值为，函数在上的最大值为，若，则的所有可能值 .
参考答案：
1．B
【分析】画出的图象，由反函数的性质得，结合二次函数性质即可得解.
【详解】由得，由得，
所以令，这3个函数图象情况如下图所示：
设交于点，交于点，
由于的图象关于直线对称，
而的交点为，所以，
注意到函数的对称轴为直线，即，
且二次函数的图象是开口向上的抛物线方程，
从而.
故选：B.
2．B
【分析】先计算和时的最大数据传输速率和，再计算增大的百分比即可.
【详解】当时，；
当时，.
所以增大的百分比为：.
故选：B.
3．BCD
【分析】根据不等式的性质判断ABC，利用对数函数的性质，基本不等式判断D．也可举反例说明．
【详解】时，，A错误；
，则，
，所以，B正确；
，若，则，则成立，
若，则显然成立，
若，则，，所以，综上成立，C正确；
，且，因为是增函数，所以且，
，当且仅当，即时等号成立．D正确．
故选：BCD．
4．ACD
【分析】对于A，令，利用换元法和对数函数的性质即可求得；对于B，令由复合函数的单调性进行判断即可；对于C，利用函数的奇偶性和单调性进行解不等式；对于D，由即可求解.
【详解】对于A，令，又因为在上递增，所以，由对数函数的性质可得，的值域为R，故A正确；
对于B，因为在上递增，在上递减，由复合函数的单调性可知，为减函数，故B错误；
对于C，因为的定义域为，且,
，所以为奇函数，且在上为减函数，
不等式等价于即，
等价于，解得，故C正确；
对于D，因为且，所以
，故D正确.
故选：ACD.
5．
【分析】首先求出幂函数的解析式，再利用其单调性即可比较大小.
【详解】幂函数的图象过点，
则，
所以幂函数的解析式为，且函数为单调递增函数，
又，所以，即.
故答案为：.
6．或
【分析】根据 和 函数图像，对a分类讨论求解即可.
【详解】 和 的图像如图：
当 时， ， ， ， ；
当 时， ；
故答案为： 或 .
反思提升：
利用对数函数的性质，求与对数函数有关的函数值域和复合函数的单调性问题，必须弄清三方面的问题：一是定义域，所有问题都必须在定义域内讨论；二是底数与1的大小关系；三是复合函数的构成，即它是由哪些基本初等函数复合而成的.另外，解题时要注意数形结合、分类讨论、转化与化归思想的应用.
【基础篇】
一、单选题
1．（2024·河南三门峡·模拟预测）研究表明，地震时释放的能量（单位：焦耳）与地震里氏震级之间的关系为.2024年1月30日在新疆克孜勒苏州阿合奇县发生了里氏5.7级地震，所释放的能量记为年1月13日在汤加群岛发生了里氏5.2级地震，所释放的能量记为，则比值的整数部分为（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
2．（2024·湖南·一模）已知，且，则是的（ ）
A．充要条件 B．充分不必要条件
C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
3．（2024·甘肃武威·模拟预测）设，则的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
4．（2024·四川成都·一模）函数的图象经过变换后得到函数的图象，则（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
5．（2022·海南·模拟预测）下列函数最小值为2的是（ ）
A． B．
C． D．
6．（2023·福建厦门·一模）已知实数，，满足，则下列关系式中可能成立的是（ ）
A． B． C． D．
7．（2024·河南·模拟预测）已知正数，则下列选项正确的是（ ）
A． B．
C． D．
三、填空题
8．（2022·上海·模拟预测）若函数（且）有最大值，则的取值范围是 .
9．（2023·江苏镇江·模拟预测）已知函数的零点为，函数的零点为，则 ．
10．（2021·全国·模拟预测）已知函数是奇函数，则 .
四、解答题
11．（21-22高一上·四川资阳·期末）已知（其中且）．
(1)若，，求实数的取值范围；
(2)若，的最大值大于1，求的取值范围．
12．（2023·四川成都·二模）已知函数
(1)当时，求函数的定义域；
(2)当函数的值域为R时，求实数的取值范围.
参考答案：
1．B
【分析】由对数运算性质可得，进而可得，结合可得结果.
【详解】由已知得，所以，
所以，
因为，所以，
所以.
故选：B.
2．D
【分析】利用不等式的性质、对数运算及充分、必要条件的定义判定即可.
【详解】若，符合，但此时，不满足充分性，
若，符合，但是，不满足必要性.
故选：D
3．D
【分析】利用中间值“1”与比较得出，再由作差比较法比较，利用换底公式和对数函数的单调性即得.
【详解】因为，所以．同理
又因在定义域内为减函数，故，
而，
因，，且，故，即，所以．
故选：D.
4．B
【分析】由已知可得出，代入可得出的表达式，即可得出的表达式.
【详解】由已知可得，代入可得，则，
即，因此，.
故选：B.
5．ABC
【分析】A选项直接由二次函数的性质判断；B、C选项指数函数结合基本不等式进行判断；D选项通过对数函数的性质进行判断.
【详解】对于A，，最小值为2；
对于B，，当且仅当，时取得最小值2；
对于C，，当且仅当，即时取得最小值2；
对于D，，当时取得最小值1，综上可知：ABC正确.
故选：ABC.
6．BCD
【分析】设，得到，，，分别作出，，的图象，结合图象，即可求解.
【详解】根据题意，设，其中，则，，，
在同一坐标系中分别画出函数，，的图象，
当时，；当时，；当时，，
由此可以看出，不可能出现这种情况.
故选：BCD.

7．AC
【分析】取特值验证可判断B；根据对数函数、指数函数的单调性，结合不等式的性质可判断ACD.
【详解】因为，所以，C正确；
又因为在上单调递增，所以，A正确；
不妨取，则，B错误；
因为，所以，
又在R上单调递增，所以，D错误.
故选：AC.
8．
【分析】因为内函数的是开口向下的二次函数，有最大值，则外函数为增函数，且内函数的最大值为正数，由此可列出不等式组求解.
【详解】因为内函数的是开口向下的二次函数，有最大值，则外函数为增函数，且内函数的最大值为正数,所以， 解得
故答案为：
9．2
【分析】根据零点的定义，等价转化为两个函数求交点，根据反函数的定义，结合对称性，可得答案.
【详解】由，得， 函数与互为反函数，
在同一坐标系中分别作出函数，，的图象，
如图所示，则，，由反函数性质知A，B关于对称，
则，.
故答案为：.
10．
【分析】根据函数为奇函数，求出当时的解析式，进而求出.
【详解】因为当时，，
所以.
因为是奇函数，所以，所以当x<0时，，
则，所以.
故答案为：
11．(1)
(2)
【分析】（1）由对数函数的定义域和单调性解不等式即可求解的取值范围；
（2）由取值范围求出取值范围，分类讨论参数，由函数的增减性，确定函数最大值，再令解不等式即可.
【详解】（1）当时，，
即有，
所以解得，
故实数的取值范围是；
（2）因为，则时，．
当时，则函数最大值，解得；
当时，则函数最大值，解得；
综上所述，的取值范围是．
12．(1)
(2)
【分析】（1）利用零点分段法解不等式，求出函数的定义域；
（2）由的值域为R得到能取遍所有正数，结合绝对值三角不等式得到，故，求出实数的取值范围.
【详解】（1）当时，令，
即①，或②，或③，
解①得：，解②得：，解③得：，
所以定义域为；
（2）因为的值域为R，
故能取遍所有正数，
由绝对值三角不等式，
故，所以，故实数的取值范围是.
【能力篇】
一、单选题
1．（2024·陕西西安·模拟预测）设a，b，c都是正数，且，那么（ ）．
A． B． C． D．
二、多选题
2．（2024·山西晋中·模拟预测）下列说法正确的是（ ）
A．若函数的定义域为，则函数的定义域为
B．当时，不等式恒成立，则的取值范围是
C．函数在区间上单调递减
D．若函数的值域为，则实数的取值范围是
三、填空题
3．（2024·全国·模拟预测）表示两个实数，中的较小数．已知函数，且当时，，则的最小值为 ．
四、解答题
4．（2022·四川成都·模拟预测）已知函数.
(1)若，求的定义域；
(2)若，，求证：.
参考答案：
1．D
【分析】将指数式化为对数式，根据对数换底公式、对数运算法则逐项验证即可．
【详解】依题意设，则，，，
所以，
则，故A，C错误；
则，故B错误；
则，故D正确.
故选：D.
2．AD
【分析】A选项，利用抽象函数定义域的求解判断即可；B选项，分和两种情况，结合根的判别式得到不等式，求出答案；C选项，求出的定义域即可判断；D选项，将问题转化为能够取到所有正数，分和两种情况，结合根的判别式得到不等式组，求出答案.
【详解】A选项，对于，由，得，
对于，令，解得，
故函数的定义域为，A正确；
B选项，当时，恒成立，满足要求，
当时，需满足，解得，
综上，的取值范围是，B错误；
C选项，令，解得，
当 时显然无意义，所以不可能在上单调递减，C错误；
D选项，若函数的值域为，
则能够取到所有正数，
当时，能够取到所有正数，满足要求，
当时，需满足，即，解得，
综上，实数的取值范围是，D正确.
故选：AD.
3．16
【分析】先分情况讨论得出，然后根据单调性得出若，，则，，最后根据基本不等式即得的最小值为16.
【详解】，
当，即时，，
而当，即时，，
即.
作出函数的大致图象如图所示，由于在上递增，在上递减，
从而若，，则，，即.
所以，当，时，等号成立，所以的最小值为．
故答案为：16.
4．(1)
(2)见解析
【分析】（1）当时,由对数的真数大于0,解不等式得,从而得到的定义域为;
（2）将式子与作差,化简整理得,再令,以为单位将真数的分子与分母的差进行放缩,可得.
【详解】（1）当时,
令,即，
整理得
解这个不等式,得,结合,得，
,得的定义域为
（2）当且时,
设,因为,所以,则
，
而，
，
则，
综上所述,可得当且时,.
【培优篇】
一、单选题
1．（23-24高三上·山西大同·期末）设函数的定义域为，若，，则实数（ ）
A．-2 B． C． D．2
二、多选题
2．（2023·辽宁抚顺·模拟预测）已知实数a，b满足，，，且，则下列结论正确的是（ ）
A．当时， B．当时，
C． D．
三、填空题
3．（2024·全国·模拟预测）函数在区间上的最大值与最小值之和为，则的最小值为 ．
参考答案：
1．A
【分析】设，由此可得关于的表示，再根据得到关于的表示，两式联立可求的值.
【详解】对任意，设，则，整理可得①，
由得，可得②，
由①②可知：，化简可得，
显然不恒为，所以，所以，
故选：A.
【点睛】关键点睛：本题解答的关键是，通过反解以及代入求解出之间的关系式，然后构建方程求解出结果.
2．ABC
【分析】构造函数，利用导数判断单调性，结合对数函数的性质进行求解判断即可.
【详解】因为，
令函数，则，
则函数在上单调递增，且，
可知当时，；当时，；
且，则有：
当时，，即，可得，故A正确；
当时，，即，可得，故B正确；
又因为当时，在定义域内单调递减，可得；
当时，在定义域内单调递增，可得，
所以C正确，D错误．
故选：ABC.
【点睛】关键点睛：构造函数，利用导数判断单调性，结合单调性进行求解运算是解题的关键.
3．/
【分析】将解析式变形为，令，利用奇偶性即可得，然后妙用“1”求解即可.
【详解】
，
令，，
因为定义域关于原点对称，且，
所以为奇函数，所以在区间上的最大值与最小值之和为0，
则函数在区间上的最大值与最小值之和为2，即．
又，，
所以
，
当且仅当，，即，，等号成立．
故答案为：
【点睛】难点点睛：本题难点在于对函数解析式的变形，然后根据奇偶性得到，从而利用“1”的妙用得解.
21世纪教育网(www.21cnjy.com)专题11 对数与对数函数（新高考专用）
【知识梳理】 2
【真题自测】 3
【考点突破】 4
【考点1】对数的运算 4
【考点2】对数函数的图象及应用 6
【考点3】对数函数的性质及应用 7
【分层检测】 8
【基础篇】 9
【能力篇】 10
【培优篇】 11
考试要求：
1.理解对数的概念及运算性质，知道用换底公式能将一般对数转化成自然对数或常用对数.
2.通过实例，了解对数函数的概念，能用描点法或借助计算工具画具体对数函数的图象，理解对数函数的单调性与特殊点.
3.了解指数函数y＝ax与对数函数y＝logax(a＞0，且a≠1)互为反函数.
1.对数的概念
如果ax＝N(a>0，且a≠1)，那么数x叫做以a为底N的对数，记作x＝logaN，其中a叫做对数的底数，N叫做真数.
2.对数的性质、运算性质与换底公式
(1)对数的性质：①alogaN＝N；②logaab＝b(a>0，且a≠1).
(2)对数的运算性质
如果a>0且a≠1，M>0，N>0，那么
①loga(MN)＝logaM＋logaN；
②loga＝logaM－logaN；
③logaMn＝nlogaM(n∈R).
(3)换底公式：logab＝(a>0，且a≠1，b>0，c>0，且c≠1).
3.对数函数及其性质
(1)概念：函数y＝logax(a＞0，且a≠1)叫做对数函数，其中x是自变量，定义域是(0，＋∞).
(2)对数函数的图象与性质
a>1 0图象
性质 定义域：(0，＋∞)
值域：R
当x＝1时，y＝0，即过定点(1，0)
当x>1时，y>0； 当01时，y<0； 当00
在(0，＋∞)上是增函数 在(0，＋∞)上是减函数
4.反函数
指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)与对数函数y＝logax(a>0，且a≠1)互为反函数，它们的图象关于直线y＝x对称.它们的定义域和值域正好互换.
1.换底公式的两个重要结论
(1)logab＝(a>0，且a≠1；b>0，且b≠1).
(2)logambn＝logab(a>0，且a≠1；b>0；m，n∈R，且m≠0).
2.对数函数的图象与底数大小的比较
如图，作直线y＝1，则该直线与四个函数图象交点的横坐标为相应的底数.
故0＜c＜d＜1＜a＜b.
由此我们可得到以下规律：在第一象限内从左到右底数逐渐增大.
一、单选题
1．（2023·北京·高考真题）下列函数中，在区间上单调递增的是（ ）
A． B．
C． D．
2．（2022·全国·高考真题）已知，则（ ）
A． B． C． D．
3．（2022·全国·高考真题）设，则（ ）
A． B． C． D．
4．（2021·全国·高考真题）已知，，，则下列判断正确的是（ ）
A． B． C． D．
5．（2021·全国·高考真题）设，，．则（ ）
A． B． C． D．
6．（2021·全国·高考真题）青少年视力是社会普遍关注的问题，视力情况可借助视力表测量．通常用五分记录法和小数记录法记录视力数据，五分记录法的数据L和小数记录表的数据V满足．已知某同学视力的五分记录法的数据为4.9，则其视力的小数记录法的数据为（ ）（）
A．1.5 B．1.2 C．0.8 D．0.6
7．（2021·天津·高考真题）若，则（ ）
A． B． C．1 D．
8．（2021·天津·高考真题）设，则a，b，c的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
9．（2023·全国·高考真题）噪声污染问题越来越受到重视．用声压级来度量声音的强弱，定义声压级，其中常数是听觉下限阈值，是实际声压．下表为不同声源的声压级：
声源 与声源的距离 声压级
燃油汽车 10
混合动力汽车 10
电动汽车 10 40
已知在距离燃油汽车、混合动力汽车、电动汽车处测得实际声压分别为，则（ ）．
A． B．
C． D．
三、填空题
10．（2023·全国·高考真题）设，若函数在上单调递增，则a的取值范围是 .
11．（2023·北京·高考真题）已知函数，则 ．
12．（2022·全国·高考真题）若是奇函数，则 ， ．
【考点1】对数的运算
一、单选题
1．（2023·宁夏银川·三模）设，，，则（ ）
A． B．
C． D．
2．（2024·黑龙江哈尔滨·一模）酒驾是严重危害交通安全的违法行为．为了保障交通安全，根据国家有关规定：血液中酒精含量达到的驾驶员即为酒后驾车，及以上认定为醉酒驾车．假设某驾驶员喝了一定量的酒后，其血液中的酒精含量上升到了．如果停止喝酒以后，他血液中酒精含量会以每小时的速度减少，那么他至少经过几个小时才能驾驶？（ ）（结果取整数，参考数据：）
A．1 B．2 C．3 D．4
二、多选题
3．（2024·全国·模拟预测）已知实数a，b满足，则下列关系式中可能正确的是（ ）
A．，使 B．，使
C．，有 D．，有
4．（2024·贵州贵阳·一模）已知，则实数满足（ ）
A． B．
C． D．
三、填空题
5．（2024·全国·模拟预测）已知是定义在上的奇函数，当时，，则 ．
6．（2024·广东广州·模拟预测）“阿托秒”是一种时间的国际单位，“阿托秒”等于秒，原子核内部作用过程的持续时间可用“阿托秒”表示.《庄子 天下》中提到，“一尺之棰，日取其半，万世不竭”，如果把“一尺之棰”的长度看成1米，按照此法，至少需要经过 天才能使剩下“棰”的长度小于光在2“阿托秒”内走过的距离.（参考数据：光速为米/秒，）
反思提升：
1.在对数运算中，先利用幂的运算把底数或真数进行变形，化成分数指数幂的形式，使幂的底数最简，然后用对数运算法则化简合并.
2.先将对数式化为同底数对数的和、差、倍数运算，然后逆用对数的运算法则，转化为同底对数真数的积、商、幂再运算.
3.ab＝N b＝logaN(a>0，且a≠1)是解决有关指数、对数问题的有效方法，在运算中应注意互化.
【考点2】对数函数的图象及应用
一、单选题
1．（2024·全国·模拟预测）函数的大致图象为（ ）
A． B．
C． D．
2．（2024·贵州黔东南·二模）若函数的值域为.则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
3．（21-22高一上·河北张家口·期末）在同一直角坐标系中，函数与的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
4．（2022·湖南岳阳·一模）已知函数（且）的图象如下所示．函数的图象上有两个不同的点，，则（ ）
A．， B．在上是奇函数
C．在上是单调递增函数 D．当时，
三、填空题
5．（2024·陕西西安·模拟预测）若直线过函数，且）的定点，则的最小值为 .
6．（2024·全国·模拟预测）已知函数则函数有 个零点．
反思提升：
1.在识别函数图象时，要善于利用已知函数的性质、函数图象上的特殊点(与坐标轴的交点、最高点、最低点等)排除不符合要求的选项.
2.一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图象问题，利用数形结合法求解.
【考点3】对数函数的性质及应用
一、单选题
1．（2024·江苏扬州·模拟预测）设方程和方程的根分别为，设函数，则（ ）
A． B．
C． D．
2．（2021·宁夏银川·二模）中国的5G技术领先世界，5G技术极大地提高了数据传输速率，最大数据传输速率C取决于信道带宽W，经科学研究表明：C与W满足，其中S是信道内信号的平均功率，N是信道内部的高斯噪声功率，为信噪比.当信噪比比较大时，上式中真数中的1可以忽略不计.若不改变带宽W，而将信噪比从1000提升至4000，则C大约增加了（ ）(附：)
A．10% B．20% C．30% D．40%
二、多选题
3．（20-21高三上·辽宁大连·期中）对于实数，，下列真命题的为（ ）
A．若，则 B．若，，则
C．若，则 D．若，且，则的最小值为
4．（23-24高一上·黑龙江齐齐哈尔·期末）已知函数，则下列说法正确的是（ ）
A．函数值域为
B．函数是增函数
C．不等式的解集为
D．
三、填空题
5．（2023·甘肃平凉·模拟预测）已知幂函数的图象过点，设，则a、b、c的大小用小于号连接为 ．
6．（22-23高三上·湖北武汉·期末）对任意正实数，记函数在上的最小值为，函数在上的最大值为，若，则的所有可能值 .
反思提升：
利用对数函数的性质，求与对数函数有关的函数值域和复合函数的单调性问题，必须弄清三方面的问题：一是定义域，所有问题都必须在定义域内讨论；二是底数与1的大小关系；三是复合函数的构成，即它是由哪些基本初等函数复合而成的.另外，解题时要注意数形结合、分类讨论、转化与化归思想的应用.
【基础篇】
一、单选题
1．（2024·河南三门峡·模拟预测）研究表明，地震时释放的能量（单位：焦耳）与地震里氏震级之间的关系为.2024年1月30日在新疆克孜勒苏州阿合奇县发生了里氏5.7级地震，所释放的能量记为年1月13日在汤加群岛发生了里氏5.2级地震，所释放的能量记为，则比值的整数部分为（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
2．（2024·湖南·一模）已知，且，则是的（ ）
A．充要条件 B．充分不必要条件
C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
3．（2024·甘肃武威·模拟预测）设，则的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
4．（2024·四川成都·一模）函数的图象经过变换后得到函数的图象，则（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
5．（2022·海南·模拟预测）下列函数最小值为2的是（ ）
A． B．
C． D．
6．（2023·福建厦门·一模）已知实数，，满足，则下列关系式中可能成立的是（ ）
A． B． C． D．
7．（2024·河南·模拟预测）已知正数，则下列选项正确的是（ ）
A． B．
C． D．
三、填空题
8．（2022·上海·模拟预测）若函数（且）有最大值，则的取值范围是 .
9．（2023·江苏镇江·模拟预测）已知函数的零点为，函数的零点为，则 ．
10．（2021·全国·模拟预测）已知函数是奇函数，则 .
四、解答题
11．（21-22高一上·四川资阳·期末）已知（其中且）．
(1)若，，求实数的取值范围；
(2)若，的最大值大于1，求的取值范围．
12．（2023·四川成都·二模）已知函数
(1)当时，求函数的定义域；
(2)当函数的值域为R时，求实数的取值范围.
【能力篇】
一、单选题
1．（2024·陕西西安·模拟预测）设a，b，c都是正数，且，那么（ ）．
A． B． C． D．
二、多选题
2．（2024·山西晋中·模拟预测）下列说法正确的是（ ）
A．若函数的定义域为，则函数的定义域为
B．当时，不等式恒成立，则的取值范围是
C．函数在区间上单调递减
D．若函数的值域为，则实数的取值范围是
三、填空题
3．（2024·全国·模拟预测）表示两个实数，中的较小数．已知函数，且当时，，则的最小值为 ．
四、解答题
4．（2022·四川成都·模拟预测）已知函数.
(1)若，求的定义域；
(2)若，，求证：.
【培优篇】
一、单选题
1．（23-24高三上·山西大同·期末）设函数的定义域为，若，，则实数（ ）
A．-2 B． C． D．2
二、多选题
2．（2023·辽宁抚顺·模拟预测）已知实数a，b满足，，，且，则下列结论正确的是（ ）
A．当时， B．当时，
C． D．
三、填空题
3．（2024·全国·模拟预测）函数在区间上的最大值与最小值之和为，则的最小值为 ．
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